E3A Physique PSI 2012

Thème de l'épreuve Phénomènes de transport
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, diffusion thermique, diffusion de particules
Mots clefs équation de la diffusion, fonction erreur, viscosité, bilan thermique, loi de Fick, loi de Fourier, fluide newtonien

Corrigé

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 EUR 3 & CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE Epreuve de Physique PSI Durée 3 h Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de calculatrices est interdit. AVERTISSEMENT La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non encadrés et non justifiés ne seront pas pris en compte. Ce problème est consacré aux phénomènes de transport diffusif, il comporte quatre volets illustrant quelques phénomènes de diffusion à l'état solide et à l'état liquide, ainsi que le transfert de chaleur dans une tige métallique. Remargues préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques ; les résultats exprimés sans unité ne seront pas comptabilisés ; tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italiques ont pour objet d'aider à la compréhension du problème ; tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé parla suite, même s'il n'a pas été démontré par le(la) candidat(e). PREMIERE PARTIE DIFFUSION -- LOI DE FICK Au sein d'un milieu homogène, considérons un ensemble de particules dont la concentration n'est pas uniforme. Ces particules peuvent être des molécules, des atomes ou des ions, des défauts ponctuels, des électrons libres, etc Dans l'hypothèse d'une diffusion unidirectionnelle, leur densité (ou concentration) particulaire n(x, t) dépend de leur position le long de la direction Ox. En 1885, dans le cadre de ses travaux sur les mélanges de gaz et de liquides, Adolf Fick proposa la loi phénoménologique de diffusion. Cette loi introduit le coefficient de diffusion (ou diffusivité) D et relie le vecteur densité volumique de particules jD au gradient de concentration particulaire n. Æ_. Citer la loi physique sur laquelle Fick s'est appuyé pour élaborer sa théorie. & Rappeler la loi de Fick ; expliquer le caractère « phénoménologique » de cette loi. Justifier l'existence d'un flux de particules et son orientation relative vis à vis du gradient de concentration. La loi de Fick ne faisant apparaître que les variations spatiales de la concentration particulaire a un instant t, il convient de la compléter par une équation de bilan lorsque le flux de particules varie au cours du temps. Considérons un cylindre infiniment long, de section 8 constante, parallèle à la direction Ox de la diffusion. & Effectuer un bilan de matière sur un volume élémentaire de section 8 et d'épaisseur dx pour établir une relation traduisant la conservation du nombre de particules. En déduire l'équation de la diffusion : 2 Ë=D----â 2 . ôt ôx A4 Par une analyse dimensionnelle, établir une relation qualitative exprimant la longueur caractéristique L du phénomène de diffusion en fonction de l'ordre de grandeur r de sa durée et du coefficient de diffusion D. A5 Réécrire l'équation de la diffusion dans le cas où le coefficient de diffusion varie avec la concentration de l'espèce diffusante. Proposer un mode de résolution de cette équation. En réalité, l'écoulement des particules dans une direction donnée peut avoir deux origines : l'une est la conduction induite par le gradient de concentration, l'autre est la convection provoquée par l'action d'une force extérieure (dite force de transport) qui déplace les particules avec une vitesse moyenne V constante. A6. En vous inspirent de la loi d'Ohm locale, exprimer simplement le vecteur densité volumique de particules jT pour la seule convection en fonction de v et n(x,t). Compléter la loi de Fick pour obtenir une nouvelle équation de la diffusion dans le cas particulier où D et v sont indépendants de la densité de particules. Pour illustrer la diffusion, considérons la situation expérimentale du dopage d'un semi-- conducteur d'arséniure de gallium (AsGa) avec du silicium. A l'instant t = 0, No atomes de silicium par unité de volume sont brusquement introduits en x = 0, à la surface d'une plaquette d'AsGa considérée comme un milieu semi--infini. L'analyse du régime instationnaire montre que le nombre d'atomes de silicium N(x, t) par unité de volume à l'abscisse x et à l'instant t s'écrit : N(x, t) : & exp£-- 8X2 ] . % t A7. Etablir la relation entre a et D, pour que la répartition d'atomes N(x,t) soit solution de l'équation de diffusion établie en _AQ. Traduire la conservation du nombre d'atomes X 2Æ mathématiques enfin d'épreuve, déterminer la valeur de K en fonction de No et D. introduits et, par le changement de variable u= se référant aux compléments Le schéma ci--dessous (Figure 1) traduit le résultat du dopage de la plaquette d'AsGa : l'évolution de la distribution des atomes de silicium est tracée en fonction de l'abscisse x, à différents instants. N(x,t) en 1021 atomes/m3 0 0,5 1,0 1,5 2,0 A8. Analyser la forme des courbes obtenues. Que vaut l'aire sous chacune de ces courbes ? Déterminer, à un instant t donné (en adoptant par exemple t= 1 h ), la profondeur d'implantation L des atomes de silicium correspondant a une concentration moitié de la concentration injectée en x = 0 (il s'agit de la demi--largeur à mi--hauteur). A9. Proposer un mode de détermination du coefficient de diffusion D du silicium dans AsGa. Estimer l'ordre de grandeur du coefficient de diffusion D. DEUXIEME PARTIE DIFFUSION DES MOLECULES D'UN COLORANT ENTRE DEUX SOLUTIONS Etudions la diffusion de molécules de colorant entre deux solutions aqueuses qui, à l'instant initial, ne possèdent pas la même concentration volumique. Une cuve d'épaisseur d et de grandes dimensions dans les deux autres orientations, est constituée de deux bacs de même volume remplis d'une solution contenant des molécules d'un même colorant et séparés par une mince cloison située en z = 0. De part et d'autre de ce plan de séparation, les concentrations sont uniformes et valent respectivement C7 pour 2 < 0 et 02 < C7 pour 2 > 0. (Figure 2) A l'instant t= 0, la cloison est brusquement retirée et les molécules diffusent, conduisant à une concentration C(z,t) en un point de cote z et à l'instant t. Très loin du plan 2 = O, et pour des temps élevés, les concentrations conservent leurs valeurs initiales : C(--oe,t) : C, et C(+oe,t) =C2. L'équation de la diffusion, étudiée dans la partie précédente, admet ici pour solution la fonction d'erreur {détaillée en fin de 2 z " 2 ex --s ds, avec u = . \/7Z ""' p( ) 2th D est le coefficient de diffusion des molécules de colorant dans la solution ; il est supposé indépendant de la concentration. prob/éme ) : erf{u) : B1. Comparer la variation d'énergie potentielle d'une molécule de colorant, de masse molaire MC, lors de son déplacement dans le champ de la pesanteur de l'ordre de la hauteur h de la cuve, à l'énergie d'agitation thermique kBT de cette molécule. En tirer la conclusion utile pour la suite du problème, en utilisant les données suivantes : MC =100 g.moF', h=10 cm, g;10m.s"2, mig, =6.1023 moi--', kB =1,33.10'23 J.K*1 et T=300K. BZ. Présumer, sans effectuer de calcul, de la concentration attendue à l'interface des deux bacs, lorsque le phénomène de diffusion est achevé. Par continu/té en 2 = 0, la concentration dans chaque domaine peut être décrite par une expression du type C(z,t) = A erf(u) + B, A et B étant des constantes. â; Déterminer les constantes A et B à partir des conditions aux limites, puis écrire la loi de répartition de concentration C(z,t). B4. Tracer l'allure du profil de concentration C(z,t) à trois instants successifs : t= 0, t, puis t2 > t1 . Commenter ces tracés. Détermination expérimentale du coefficient de diffusion L'indice de réfraction n d'une solution est, en première approximation, une fonction affine de la concentration du colorant en solution et peut s'écrire : n(z, t) = no + K C(z,t), no et K étant des constantes pos/tives. & Exprimer la constante K en fonction des indices n,, n2 et des concentrations C1, C2 des deux solutions, sachant qu'à la limite n(C : C,) = n1 et n(C : CZ) = n2 . BG. Déterminer le gradient d'indice grad n associé aux variations de l'indice n dans la cuve, puis sa composante sur l'axe Oz en fonction de n,, n2, D, 2 et t. En quelle position cette composante est--elle maximale '? Donner sa valeur correspondante. B7. Représenter l'allure de cette fonction a trois instants successifs : t=0, t, puis t2 >t,. Commenter ces tracés. Un faisceau laser est élargi grâce à une lentille cylindrique inclinée à 45° par rapport à la verticale pour former une nappe laser allongée {Figure 3al. Ces rayons lumineux sont envoyés perpendiculairement à une face de la cuve de façon que différentes hauteurs dans la solution soient traversées par les rayons le long d'une diagonale de la face d'entrée. Cette diagonale est inclinée à 45° par rapport au plan horizontal. Un écran, parallèle à la cuve, récupère les impacts des rayons après traversée de la cuve. Selon l'optique des milieux inhomogènes, les rayons lumineux sont déviés dans la cuve et suivent une trajectoire courbe, le rayon de courbure R s'exprimant comme : 1 _ 1 ân(z, t) Rnâz Lors de sa traversée dans la solution (Figure 3h), le rayon lumineux est donc dévié d'un angle a tel que : a x tance % d/R. faisceau Figure 3a laser _ lentille cylindrique faisceau laser Figure 3b BB. Préciser pour quelle valeur de 2 se réalise la déviation maximale du rayon lumineux sur l'écran. Le rayon lumineux subit une déviation a la traversée de la paroi de sortie de la cuve dont l'épaisseur en verre est négligeable. Le rayon émerge de la cuve pour passer dans l'air (d'indice optique na : 7 ) avec un angle de réfraction fl. & Réaliser un schéma illustrant la trajectoire du rayon lumineux à la traversée de la paroi de la cuve en verre d'épaisseur supposée nulle ; faire apparaître les angles et et B, puis évaluer l'angle [3 en sortie de cuve. En déduire la déflexion verticale globale H du rayon en fonction de d, L et ê$. z (utiliser pour cela l'approximation aux petits angles) Exprimer la déflexion verticale maximale Hmax observée sur l'écran en fonction de D, L, d, m, riz et du temps t. Préconiser, en décrivant l'expérimentation et en représentant l'aspect de l'écran, une méthode de détermination du coefficient de diffusion D. Quel(s) paramètre(s) influe(nt) majoritairement sur la précision de détermination du coefficient de diffusion ? TROISIEME PARTIE DIFFUSION DANS UN FLUIDE VISQUEUX Une plaque plane horizontale, dont les dimensions sont suffisamment grandes suivant les directions x et y, est située au fond d'un bassin infiniment grand, rempli d'un fluide visqueux newtonien, incompressible, de masse volumique p et de viscosité dynamique 77 (Figure 4) Initialement la plaque et le fluide sont immobiles; a partir de l'instant pris pour origine ( t _ 0 ), la plaque est animée d'un mouvement de translation horizontale à la vitesse constante U: U ex. Les tranches de fluide, les unes après les autres, sont progressivement entraînées, en partant de la plaque. Etudions l'effet des forces de cisaillement (ou de viscosité) sur un élément infinitésimal de fluide d'épaisseur dz et de section dS selon le plan ( Oxy), parallèle à la plaque en mouvement. plaque mobile La vitesse communiquée au fluide parla plaque est de la forme : & : ux(z,t) & . C1. Exprimer les forces élémentaires horizontales exercées, l'une sur la face supérieure de la tranche de fluide, l'autre sur sa face inférieure ; en déduire leur résultante volumique R... CZ. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à la tranche de fluide en négligeant . . . , . . , . ô 62u son pords afin d'obtemr une équation différentielle du type : ;: _ 5 ; . {E} 2 Identifier V et préciser son unité. Reconnaître ce type de relation et analyser le mouvement du fluide. C3. Rechercher la dimension de la quantité \/v--t, où v est la viscosité cinématique du fluide, et préciser sa signification physique. C4. Comparer le mouvement du fluide avec un éventuel mouvement de convection ; quel coefficient introduire pour les différentier l'un de l'autre ? Etudions maintenant le mouvement du fluide dans les tous premiers instants suivants le mouvement de la plaque (régime instationnaire). Précisons tout d'abord les conditions aux limites : . avant la mise en mouvement de la plaque, le fluide est au repos : ux : 0 , W 5 O ; . la condition de non glissement du fluide sur la paroi de la plaque impose : ux(z=O)=U,lzt>0 ," . a trés grande distance de la plaque, la vitesse ux devient négligeable. Afin de résoudre l'équation différentielle {E}, normalisons la coordonnée z en introduisant la variable 5 , telle que 5 : Ë . Avec cette variable, l'équation différentielle {E} devient : v 2 Ô";+ËÔUX=O. {E'} a; 265 C5 Montrer qu'une solution du type ux(ë) = A eri(£) + B est une solution possible de {E'}. 2 (se rapporter à l'annexe, en fin de probléme, pour la fonction erreur) Identifier, grâce aux conditions aux limites, les constantes A et B et exprimer la répartition de vitesse ux(g). C6 Donner l'allure de cette répartition de vitesse, pour un instant t donné ; compléter le schéma avec l'évolution à quelques instants ultérieurs. QUATRIEME PARTIE DIFFUSION THERMIQUE DANS UN FIL ELECTRIQUE Considérons un fil métallique cylindrique, homogène, de section droite 8 dont le périmètre vaut p et de longueur L. Le rayon de ce fil est supposé petit par rapport à sa longueur. Le métal constitutif posséde une conductivité thermique À, une résistiv/té électrique p, une masse volumique # et une capacité thermique mass/que C. Dans la première partie de l'étude, les parois latérales du fil sont parfaitement calor/fugées et les extrémités sont maintenues à des températures T1 et T2 (avec T, >T2 ) grâce a des thermostats. La température T(x) dans le fil ne dépend que de l'abscisse x (Figure 561), avec T(O) : T et T(L) : T2 . 7 Toute l'étude est réalisée en régime permanent. Thermostat Thermostat T1 T2 Figure 5a Figure 5b D1 Rappeler la loi de Fourier pour une densité volumique de courant thermique notée }... ; exprimer le flux (ou puissance) thermique CID... traversant une section droite 8 du fil. DZ Etablir, à l'aide d'un bilan énergétique sur une tranche élémentaire du fil de section 8 et de longueur dx, l'équation différentielle vérifiée par la température T(x). En déduire la loi de répartition de T(x) en fonction de T1, T2, L et x. Tracer schématiquement cette répartition de température en fonction de x. D3 Exprimer la puissance thermique (Dz cédée à la source de température T2 en fonction de ?... 8, T1, T2 et L. Le fil est maintenant parcouru par un courant électrique continu d'intensité [, répartie uniformément sur toute la section 8 {Figure 5b). Les sections termina/es (0%) et (<%) sont maintenues simultanément à des températures constantes T1 et T2, et à des potentiels constants V1 et V2. Après établissement d'un régime stationnaire, les surfaces isothermes et équipotentielles sont des plans orthogonaux à l'axe Ox. La résistivité électrique p du fil est indépendante de la température et le fil est considéré comme un conducteur ohmique ayant une résistance constante bien que la température T(x) ne soit pas uniforme. Les dimensions du fil ne varient pas avec la température. % Exprimer, par application de la loi d'Ohm, la résistance dR d'une tranche élémentaire du fil, de longueur dx et de section 8 ; en déduire la puissance thermique volumique ?7--{... produite au sein du fil, en fonction de l'intensité I, de S et p. D5. Etablir l'équation différentielle vérifiée parla température T(x). En déduire l'expression de T(x), puis celle de la densité volumique de courant de chaleur j...(x) en fonction de p, ?... 8, T1, T2, L, x et I. DG. Ecrire le courant de chaleur ou flux thermique C1)... le long du fil, en notant % =Ê sa L conductance thermique et R sa résistance électrique. Tracer, toujours avec T1 >T2, l'allure de la répartition de température T(x) en distinguant les cas ou le terme -2--RI2 est inférieur ou supeneur a la quantite &? ("E --T2). Commenter. D7. Déterminer la puissance thermique <1>'2 désormais cédée à la source de température T2. lnterpréter physiquement le résultat obtenu. Le dispositif précédent est maintenant placé dans une enceinte maintenue à une température uniforme Ta. Le fil est relié a deux bornes maintenues rigoureusement à la même température Ta. La capacité thermique de ces bornes est suffisamment grande pour que leurs températures restent constantes et égales à Ta. (Figure 6) Le fil subit, a travers sa surface latérale, des pertes thermiques conducto--convectives latérales ; elles correspondent a la puissance thermique dÇDcc : h [T(x) -- Ta] d£ cédée parle fil au milieu extérieur, h étant le coefficient d'échange et d£ un élément de surface latérale du fil. Ce dispositif est destiné a un banc expérimental de mesure de la conductivité thermique du fil métallique ; afin d'améliorer la précision de la mesure, il convient de tenir compte de la variation de la résistivité électrique en fonction de la température, suivant la loi : p(x) : pa [1 + fl(T(x) -- E)], où pa désigne la résistivité électrique à la température Ta et ,B une constante positive. lâîîH'iîêî%tâtëîëîîîîîëîâîîîîfilîîîââîêtiâ'iâäîââitFäii'iää %?Ël%lîêëëëäëâiîîëîîäïäîä enceinte à Ta ; % î Ë i 4 i i % % Figure 6 ......g ...» ».........W...WMW...- ... ... .... Proposer, en raisonnant sur une tranche élémentaire de fil de longueur dx et de section 8, un bilan des flux thermiques en présence ; en déduire l'équation différentielle vérifiée parla grandeur 9(x) : T(x)--Ta , sous la forme: d29(x) dx2 Exprimer m2 en fonction du périmètre p de la section droite, de h, 7», p a, B, 8 et 1, puis écrire k en fonction de 7», pa, 8 et I. +m29(x)=--k. Montrer que, selon la valeur de l'intensité I du courant, trois types de solutions mathématiques de 6(x) sont attendues. (aucune résolution de l'équation différentielle n'est demandée) Réalisons l'expérience suivante : le fil est alimenté par un courant dont l'intensité [0 correspond au cas particulier où m2 = 0 . D10. Préciser la valeur 10 de cette intensité en fonction de h. p, pa, [3 et S. Résoudre l'équation différentielle qui en résulte en établissant la loi de variation de la température 9(x). lllustrer son évolution à l'aide d'un schéma. Analyser physiquement le résultat obtenu. Exprimer la résistance électrique Ra du fil, à la température uniforme Ta, puis celle de sa résistance R lorsqu'il est à la température T en fonction de Ra, B, k et L. R -- R R a , puis l'écrire en fonction des En déduire la variation relative de résistance ô= grandeurs h, p, À, L et S. Le coefficient d'échange h étant déterminé par ailleurs à l'aide d'une autre expérience, proposer le mode de détermination de la conductivité thermique & du métal constituant le fil. FIN DE L'EPREUVE COMPLEMENTS MATHEMATIQUES > Définition de la fonction erreur (error function) : erf(x) : > Propriétés de erf(x) : erf(x)=--erf(--x) erf(0)=0 erfc(x)=1-- erf(x) = %?exp(_52) ds d 2 > Intégrale d'Euler : Iexp(--sz) ds =

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 E3A Physique PSI 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Pierre Lacas (Professeur agrégé) ; il a été relu par Tom Morel (ENS Cachan) et Vincent Freulon (ENS Ulm). L'épreuve traite des phénomènes de transport par diffusion. Elle comporte quatre parties largement indépendantes. · La première partie est consacrée à l'étude générale de la diffusion de particules. On y discute la loi de Fick et l'on établit l'équation de la diffusion dans différentes situations. Elle se termine par l'étude en régime instationnaire du dopage d'un semi-conducteur. · La deuxième partie s'intéresse à la diffusion de molécules de colorant entre deux solutions. On analyse la solution de l'équation de diffusion puis on étudie un dispositif optique permettant de mesurer expérimentalement le coefficient de diffusion. · La troisième partie ­ la plus courte du problème ­ aborde le phénomène de transport de quantité de mouvement et la viscosité. Il s'agit, là encore, d'étudier le régime dépendant du temps. · Enfin, la dernière partie aborde la diffusion thermique dans un fil électrique en contact avec deux thermostats. Elle se distingue des autres dans le sens où, cette fois, on s'intéresse au régime stationnaire, en présence ou non d'un courant électrique, avec ou sans pertes conducto-convectives. Comme de nombreux paramètres interviennent, il faut vérifier régulièrement ses résultats en employant l'analyse dimensionnelle. Bien qu'un peu long pour une épreuve de trois heures, le sujet ne présente pas de difficultés particulières. Il est suffisamment guidé et les principaux résultats intermédiaires sont fournis par l'énoncé. Les questions font appel à de nombreuses notions de cours, en particulier les bilans de grandeurs extensives. Indications Partie I A.3 Compter de deux manières la variation du nombre de particules dans le volume considéré entre deux instants t et t + dt. A.6 La loi d'Ohm n'est pas utile. Raisonner directement par analogie avec l'expression du vecteur densité de courant électrique. A.7 Une erreur s'est glissée dans l'énoncé : N0 représente le nombre de particules introduites à t = 0 par unité de surface, et non par unité de volume. Pour trouver K, utiliser ensuite l'intégrale d'Euler donnée en annexe au sujet. Partie II B.4 La représentation de la fonction erreur est fournie en annexe. B.6 Comme n diminue avec z, n/z < 0. L'énoncé doit donc être rectifié : on cherche pour quelle position |n/z| est maximal. B.9 Penser aux lois de Descartes. B.10 L'allure de l'écran est obtenue en superposant la droite à 45 à la courbe qui représenterait H. Partie III C.1 Pour un fluide newtonien, les forces surfaciques tangentielles s'exerçant sur un élément de fluide sont proportionnelles au gradient de vitesse. C.2 Penser à montrer que l'accélération convective est nulle. C.4 Définir le nombre de Reynolds. Partie IV D.2 Effectuer un bilan d'énergie sur la tranche de fil située en x, de longueur dx entre les instants t et t + dt. D.5 Tenir compte de la puissance électrique dans le bilan énergétique. D.6 Étudier les variations de T(x) dans chaque cas. D.8 Penser à inclure dcc dans le bilan avec un signe moins car il s'agit d'énergie cédée par le fil. D.11 Calculer R par intégration, en sommant toutes les résistances élémentaires de chaque morceau de fil de longueur dx. I. Diffusion ­ Loi de Fick A.1 Fick s'est inspiré de la loi de Fourier sur la diffusion thermique. Cette dernière affirme que le flux de chaleur est proportionnel au gradient de température. Sur un plan historique, que la loi de Fourier date de 1807. Fick énonça la sienne en 1885 et c'est Einstein qui en fit une démonstration en 1905 à partir de ses travaux sur le mouvement brownien. A.2 La loi de Fick traduit, dans l'approximation linéaire, la proportionnalité entre le vecteur densité volumique de courant de particules et le gradient de concentration : -- - D = -D grad n avec D > 0 le coefficient de diffusion. Cette loi est de nature phénoménologique, c'est-à-dire qu'elle modélise un ensemble de faits expérimentaux, sans être issue d'une théorie plus fondamentale. En effet, dans un milieu où règne une inhomogénéité de -- concentration, on observe un courant de particules lié à grad n ; le signe « - » traduit le fait que la diffusion s'effectue dans le sens opposé à ce gradient. La loi de Fick repose sur les conditions suivantes : · l'absence de convection ; · une variation lente de n dans le temps autorisant l'hypothèse d'équilibre thermodynamique local ; · un gradient de concentration suffisamment faible pour que l'approximation linéaire soit justifiée ; · une température uniforme dans le milieu, car D varie avec T. En outre, cette loi ne tient pas compte du retard entre la cause (le gradient de concentration) et la conséquence (le courant de particules). A.3 Effectuons un bilan de particules diffusantes dans un volume élémentaire de section S et d'épaisseur dx entre les instants t et t + dt. On note j D la composante selon x, du vecteur densité volumique de particules - D. La variation du nombre de particules présentes dans le système entre ces deux instants est donnée par - D (x, t) x - D (x + dx, t) x + dx n(x, t + dt) S dx - n(x, t) S dx tandis que les quantités Ne = j D (x, t) S dt et Ns = j D (x + dx, t) S dt représentent respectivement le nombre algébrique de particules qui sont entrées et sorties de ce volume pendant dt. Par conséquent, la conservation du nombre de particules impose n(x, t + dt) S dx - n(x, t) S dx = Ne - Ns = j D (x, t) S dt - j D (x + dx, t) S dt À l'aide d'un développement limité à l'ordre un en dt autour de t, on obtient n dt n(x, t + dt) - n(x, t) = t j D Et, de même, j D (x + dx, t) - j D (x, t) = dx x Finalement, la conservation de la matière est traduite par l'équation n j D =- t x n Avec la loi de Fick, j D = -D x on obtient l'équation de la diffusion qui régit n(x, t) : n 2n =D 2 t x L'équation de la diffusion se distingue de l'équation d'onde 2 2 = c2 2 t x2 qui décrit la propagation de la grandeur à la célérité c. L'équation de la diffusion est du premier ordre en temps, si bien que, contrairement à l'équation des ondes, elle n'est pas invariante par renversement du temps (changement de t en -t) : le phénomène de diffusion est irréversible. A.4 On détermine les dimensions de D à partir de l'équation de la diffusion : [D] = L2 .T-1 Prenons soin de distinguer le symbole de la dimension d'une longueur ­ utilisé ci-dessus ­ de la longueur caractéristique du phénomène de diffusion. La longueur caractéristique L du phénomène de diffusion est reliée à sa durée par l'intermédiaire de D, seul paramètre intervenant dans l'équation. On en déduit L D La dépendance de L à traduit que la distribution de particules met quatre fois plus de temps pour s'étaler deux fois plus : le phénomène de diffusion est de plus p en plus lent ; d'ailleurs, sa vitesse caractéristique, donnée par dL/d D/(4 ) diminue avec le temps. A.5 Si le coefficient de diffusion dépend de n, alors n j D n =- = D(n) t x x x Dans ce cas, l'équation de la diffusion s'écrit 2 n dD n 2n = +D 2 t dn x x Cette équation différentielle non linéaire peut être résolue numériquement, à condition de spécifier les conditions initiales et les conditions aux limites.