E3A Physique PSI 2011

Thème de l'épreuve Acoustique d'un silencieux automobile
Principaux outils utilisés ondes sonores, physique des ondes, mécanique des fluides
Mots clefs silencieux automobile, pavillon exponentiel, tuyau sonore, adaptation d'impédance, onde acoustique, intensité sonore, célérité du son, vitesse du son, réflexion, transmission, impédance acoustique

Corrigé

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Rapport du jury

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 e 3 & CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE Epreuve de Physique PSI Durée 3 h Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de calculatrices est interdit. Le problème, consacré à l'accustique d'un silencieux automobile, se décompose en trois volets : la première partie développe l'étude générale d'une onde acoustique dans un fluide parfait, la seconde partie, plus particulièrement orientée vers l'adaptation de I'impédance, est relative au phénomène de réflexion et transmission de l'onde en incidence normale, la troisième partie propose un modèle simplifié du silencieux d'échappement. Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que : . les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques ; les résultats exprimés sans unité ne seront pas comptabilisés ; 0 tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italiques ont pour objet d'aider à la compréhension du problème mais ne donnent pas lieu à des questions ; . tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s'il n'a pas été démontré par le(Ia) candidat(e). Sur un véhicule à moteur, le silencieux est un système conçu pour limiter le bruit produit par les gaz d'échappement. Le traitement de ces bruits a considérablement progressé ces dernières années. Dans la hiérarchie des nuisances sonores, il est passé derrière les bruits produits par le rayonnement du moteur, la vibration des accessoires, le fonctionnement du ventilateur de refroidissement et le roulage des pneus. PREMIÈRE PARTIE ONDE ACOUSTIQUE DANS UN FLUIDE PARFAIT Le fluide est supposé parfait, son mouvement est décrit sans prendre en compte les effets de viscosité et les échanges thermiques à l'intérieur du fluide. Les détentes et compressions locales du fluide sont isentropiques ; V(P) étant le volume du fluide et P sa pression, le coefficient de compressibilité isentropique, constant pour le fluide, s'écrit : "il?!) ZS V ("P S' La propagation des ondes sonores est associée à un écoulement irrotationnel Les effets de pesanteur ne sont pas pris en compte. Un tuyau cylindrique horizontal infini de section 80 constante et d'axe x'x (figure 1) contient un fluide parfait compressible qui, au repos, possède une masse volumique po et se trouve a la pression Po et a la température To. Ces grandeurs sont uniformes dans l'espace. L'équilibre est perturbé par le passage d'une onde acoustique plane qui se propage dans le cylindre suivant la direction Ox. La perturbation unidirectionnelle ne dépend ainsi que de l'abscisse x le long du « tuyau sonore » et du temps t. Dans le milieu perturbé, u(x,t) représente le déplacement à l'instant t du fluide situé au repos à l'abscisse x. _ u(x1'i ulx+dx. ti ,. Fig... are 1 Les champs de pression et de masse volumique dans le fluide dépendent du temps et de l'espace ; ils peuvent s'écrire sous la forme : P(x,t) = Po +p(x,t) lp(x,t)l << Po ,u (x,t) =,Uo + ,u1(X,t) lfli(x,t)l << #0 La vitesse acoustique, ou vitesse vibratoire en un point d'abscisse x, est liée au au x,t -- --( ) ex. ât L'étude est effectuée dans le cadre de « l'approximation acoustique » limitée aux mouvements de faible amplitude : le déplacement u(x,t), la vitesse acoustique v(x, t), la pression acoustique (ou surpression) p(x, t) et la variation de masse volumique du fluide ,u1(x, t) ainsi que leurs dérivées sont des infiniment petits du premier ordre. déplacement du fluide et définie par : Ç(x, t) = A / CÉLÉRITÉ DU SON La linéarisation consiste à ne garder dans les équations que les termes d'ordre un en p, v et ,tu. A_1_. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à la tranche de fluide de volume Sodx subissant la perturbation, établir à l'ordre un l'équation différentielle suivante : ?E__ ,, êv_ ax ° ôt ' AA Retrouver cette équation, en précisant les hypothèses, par linéarisation de l'équation d'Euler : a; _ __.-- __ _ u --â--t-+(v-grad)v =--gradP+ug. A_3_. Exprimer l'accroissement relatif 6 du volume de la tranche de fluide Sodx entre l'état de 1 ôu repos et l'état perturbé. En déduire la surpression correspondante : p(x,t)=--------âx-- et Xs sa dérivée par rapport au temps : ôp(x,t) =-----l--ÊV--. Ôt XS ÔX azp_ _1_ ô'p 5x2 02 at2 ' Donner l'expression de la vitesse de propagation C de l'onde acoustique le long de l'axe Ox en fonction de Xs et po. A4. Etablir l'équation de propagation relative à la surpression p(x,t) : A5. Le fluide est de l'air assimilé à un gaz parfait à la température T() =293K. Après avoir déterminé Xs en fonction du rapport y des capacités thermiques molaires du gaz et de la pression Po, établir l'expression de C en fonction de To, du rapport y, de la masse molaire M du fluide et de la constante R des gaz parfaits. 020 Dans ces"condifions, la célérité du son dans l'air est Ca,-, : 340 ms" . A_6_= Comparer la célérité dans l'air Cair à la célérité Ceau du son dans l'eau dont le coefficient de compressibilité isentropique est Xs =5.10"'° Pa"1 et la masse volumique ... =103 kg.m"3. Donner un ordre de grandeur de la célérité Csol du son dans un solide. De quels paramètres du solide dépend-elle ? Donnée : x 1,4 . 0,5 B / IMPÉDANCES EN ACOUSTIQUE L'onde plane progressive acoustique se déplace dans le sens des x croissants au sein d'une conduite de section constante 80. Le déplacement est de la forme : u(x, t) : f(t ---â--) . > L'impédance caractéristique Z du fluide où se propage l'onde, est définie par le rapport . . . . . . __ p(x,t) pressron acoustrque / vrtesse acoustique survant . Z .-- v(x t) . _B_j_._ Montrer que l'impédance caractéristique du fluide est une constante 20 à préciser en fonction de po et C. Donner son unité dans le Système international. Calculer Zair dans le cas de l'air à 20°C, sa masse volumique étant pair =1,3 kg.m"3 . BZ. Comparer, sans préciser les valeurs numériques, les impédances caractéristiques d'un gaz, d'un liquide et d'un solide. B3. Exprimer l'impédance caractéristique du fluide pour l'onde inverse, onde plane progressive de la forme: u(x,t) =f(t+--è--), se déplaçant dans le sens des x décroissants. > L'impédance acoustique Za de la conduite est définie par le rapport de la pression acoustique sur le débit volumique du fluide. Pour un tuyau de section constante 80, elle s'écrit : p(x,t) z =-----------. ' so v(x,t) B4 Justifier à l'aide d'une analogie électrocinétique ce terme « impédance » adopté pour caractériser la propagation du son dans la conduite. Donner l'expression de l'impédance acoustique Za d'un tuyau sonore cylindrique, en fonction de sa section 80, de la masse volumique po du fluide qu'il contient et de la vitesse C du son dans le fluide. c / INTENSITÉ SONORE La puissance sonore instantanée :OE(x, t) transportée par l'onde plane progressive à travers une surface Ë : S ëx orthogonale à la direction de propagation &... est définie par: OE(x,t)=5(x,t)-- É, où 5Ë(x,t) est le vecteur densité volumique de courant d'énergie ou puissance surfacique transportée : E(x, t) : p(x, t) v(x, t). L'intensité [(x) de l'onde sonore est, par définition, la valeur de la puissance moyenne temporel/e transférée par l'onde sonore à travers une surface unité d'abscisse x perpendiculaire à sa direction de propagation Ox : ] (x) : {rr} . > Si a (M, t) et b (M, t) sont deux fonctions sinusoïda/es de même pulsation, @ et Q leurs représentations complexes associées, alors la valeur moyenne temporelle, notée < a.b >, du produit a(M, t).b(M, t), est obtenue parla relation : < a.b > : lîRe[g_bîl : --1--'Re[g*b] ,et en particulier < a2 > : --1--|_a_|2. 2 2 2 |a| : \/a_ _a_* est le module dela grandeur comp/exe _a_. Le domaine de fréquences accessibles à l'oreille humaine s'étend de 20 Hz à environ 20 kHz. A une fréquence de 1 kHz, l'oreille est capable de percevoir un son dont la densité de courant énergétique vaut 10'12W.m"2 et la perception devient douloureuse à 1 W.m°2 . Vu l'énorme différence d'ordre de grandeur entre ces valeurs extrêmes, une échelle logarithmique s'impose. Le seuil de perception [0 =1 0"12W.m"2 est pris comme référence et, à une densité de courant énergétique ] (en W.m'2), est associée une intensité sonore en décibel définie par : IdB =10/0g(--1--). Io L'émetteur, en x = O, génère une vibration sinusoïdale de pulsation @ dela forme : u (0, t) = U... cos(wt) . U... représente l'amplitude du déplacement. L'onde plane progressive qui se propage le long du tuyau supposé infini selon la direction Ox est représentée par : (x, t) = U... cos(wt--kx), - en notation réel/e : u - en notation complexe : g (x, t) = U... exp[j(wt -- kx)] . _Ç_1, Déterminer le nombre d'onde k en fonction de m et de la célérité C de l'onde. Que représente-HI? Retrouver, en fonction de po et C, l'expression de l'impédance p(x,t) y_(x, t) p(x,t) et v(x, t), en fonction de m, u... C et de l'amplitude U... . . Déterminer P... et V..., les valeurs maximales de caractéristique du fluide: 2: C2 Quelle est l'expression de l'intensité acoustique I=(n) pour l'onde plane progressive harmonique en fonction de P... et de l'impédance caractéristique du fluide Z ? C3. Exprimer la puissance moyenne {93} transportée à travers une conduite de section constante 80, en fonction de P... et de l'impédance acoustique de la conduite Za . C4. L'onde sonore de fréquence 1 kHz se propage dans l'air d'impédance caractéristique Za". Le tableau suivant donne, au seuil de perception et au seuil de douleur, les ordres de grandeur des intensités I...; en décibel, ainsi que les pression, vitesse et amplitude , maximales des vibrations notées respectivement P..., Vm et U... _ 59ui]dg pWrePin Sea" dedauleur Justifier «l'approximation acoustique» Commenter succinctement la sensibilité de l'oreille et son domaine d' audition. C5. Quelle est, en décibels, l'intensité sonore résultant de la superposition de deux ondes sonores émises par deux sources indépendantes d'intensité 60 dB ? Donnée : "log 2 x 0,3. DEUXIEME PARTIE REFLEXION ET TRANSMISSION EN INCIDENCE NORMALE D I TUYAU SONORE : INFLUENCES DES FLUIDES ET D'UN RACCORDEMENT Une conduite est constituée de deux tubes cylindriques de sections respect/ves 81 et 82, de même axe x'x et séparés parle plan x = 0. Deux fluides non miscib/es se répartissent de part et d'autre de ce plan (figure 2). > x < 0 :le fluide 1 est de masse volumique ,u, ; le son s'y propage àla célérité C1 ; > x > 0 : le fluide 2 est de masse volumique ,u2 ; le son s'y propage àla célérité C2. Figure 2 Les impédances acoustiques 281 et 282 des tubes de sections respectives S, et 82 sont liées aux impédances caractéristiques 21 et Z 2 des milieux par les relations : #2 C2 ==Ë--2-- pourx>0 avec a=Za7 S2 82 Za2 ------- pourx<0 282: S, 8, Une onde de pression plane progressive harmonique incidente p,- (x, t) se propage dans le milieu 1 selon le sens des x croissants. La discontinuité de I'impédance au niveau du raccordement donne naissance en x = 0 à : C Z lZâ1:fl1 1__1 > une onde de pression transmise dans le milieu 2, p, (0, t) dont la puissance est %, > une onde de pression réfléchie dans le milieu 1, p, (0, t) dont la puissance est ?? . Les pressions acoustiques incidente, transmise et réfléchie s'expriment par : pi (x, t) : P,m cos{w[t--âfl Pt (X, t) = Ptm COS|ÇCÙ(Î --âH Pr (X, t) = P,... Cos{w{t +--â--H La puissance moyenne ($,) est associée à l'onde incidente. Les coefficients de réflexion R et de transmission T en puissance sont définis par les valeurs absolues des rapports des puissances moyennes transportées : J' .? R=<'> et T=< '>.   _D_L Montrer que le déplacement incident, correspondant à pi (x, t), s'écrit sous la forme : ui (x,t)=Uim cos{oe(t--â--]--â--} Exprimer Uim en fonction de P,..., (D, C1 et .... 1 D2. Donner les puissances moyennes transportées (%>, {%,} et <%} en fonction de R..., P...... Ptm "et des impédances acoustiques des tubes, notées Za1 et 282. D3. Enoncer, en les justifiant, les conditions de passage de l'onde à l'interface des deux fluides. En déduire deux équations reliant P...... P..., P,... et a. D4. Déterminer, en fonction de oc, les coefficients de réflexion et de transmission en : pr (03 t) et tp : pt (0, t) Pt (0, t) pi (0, t) . D5. Exprimer les coefficients de réflexion R et de transmission T en puissance à travers l'interface en fonction du seul coefficient on. Quelle relation existe--Hi entre R et T ? Que traduit-elle ? amplitude de pression : rP Influence des deux milieux pour une conduite de section constante : S, = S; = 80 La discontinuité de l'impédance au niveau du raccordement est liée à la différence de nature entre les deux fluides. _D_OEi Le milieu 2 est l'air, d'impédance caractéristique Zair2 et le milieu 1 l'intérieur du corps humain dont les constituants sont caractérisés par une impédance caractéristique Zcorps1 >> Zai,2. Evaluer rP et tp, puis T et R. Commenter. Calculer l'atténuation en décibel TdB =10log(T), correspondant au coefficient de transmission T=1,7.10'3. Pourquoi le médecin utilise--HI un stéthoscope pour écouter les battements cardiaques ou les murmures respiratoires '? Donnée : log 17 x 1,2. Influence du raccordement des deux conduites pour un fluide unique : a : 82/81 Un fluide de masse volumique au repos ya dans lequel le son se propage à la célérité C occupe la conduite constituée des deux tubes de sections différentes 81 et 82. La discontinuité de l'impédance au niveau du raccordement est représentée par le changement de section. l_D_7_. Tracer l'allure de la fonction R(oc). Pour quelle valeur de on, y a--t--il adaptation de l'impédance ? Commenter les cas limites : S., << 81 et 82 >> S,. E ! PAVILLON EXPONENTIEL ET ADAPTATION DE L'IMPÉDANCE Un pavilion acoustique rigide de longueur L, d'axe de révolution Ox et de section circulaire S(x) (figure 3) contient un fluide au repos de pression P0, de masse volumique po et de coefficient de compressibilité isentropique 13 constant. Les effets de pesanteur sont négligés. Figure 3 L'équilibre est perturbé par une onde sonore de faible amplitude qui se propage dans le pavillon suivant Ox. Elle est caractérisée par le déplacement longitudinal u(x, t) du fluide situé au repos à l'abscisse x, par la pression acoustique p(x, t) et par la vitesse acoustique v(x, t)= ÔUÈÎ'Ï) ë. dont la composante radiale est négligée. L'équation d'Euler les relie par ôp(x,t) __ ôv(x,t) ax "" at ' Le champ de pression dans le fluide dépend du temps et de l'espace par la relation : Pl << Po & Exprimer l'accroissement relatif 6 du volume S(x)dx de la tranche de fluide entre l'état de repos et l'état de mouvement. En déduire la surpression correspondante p(x, t) en fonction de Xs, u, È et dlnS(x). ôx dx l'équation différentielle : EZ. Démontrer l'expression de l'équation d'onde à laquelle obéit p(x, t) dans le pavillon : l ôzp(x,t) _ ôzp(x,t) : dlnS(x) ôp(x,t) C2 ôt2 âx2 dx ôx ' La section circulaire du pavillon varie selon la loi : S(x) : S(O) e", avec a > 0. E3. Sachant que l'onde sonore se propage à la célérité C, écrire l'équation de propagation précédente en fonction de C, a et de dérivées spatiales et temporelles de p(x, t). L'onde sonore est considérée plane progressive harmonique, de la forme : p(x, t) : Pm exp[j(æt--Kx)] Le nombre d'onde l_< est, a priori, complexe : 5 = k' -- j k", k' et k" étant réels. E4. Mettre en évidence dans l'expression de p(x, t) les termes d'amortissement et de propagation. Etablir la relation de dispersion reliant _k_, eu, a et C. E5 @; Montrer que le pavillon se comporte comme un filtre passe-haut ; préciser sa pulsation de coupure oec en fonction de a et C. E7. Exprimer la fréquence de coupure fc en fonction de C, L, S(O) et S(L). *? La fréquence de coupure du pavillon acoustique est fc : 150 Hz . E8. L'onde sonore progressive se propage suivant x > 0. Déterminer le réel k' en fonction de C, wc et (0, ainsi que le réel k" en fonction uniquement de a. E9. Déterminer la puissance moyenne transférée par l'onde sonore à travers la surface S(x) perpendiculaire à sa direction de propagation, en fonction de P..., po, C, S(O), co et wc. Commenter. Le pavillon acoustique est intercalé dans le raccordement de deux conduites de sections S(O) et S(L) comme l'indique la figure 4 ci--dessous : Figure 4 E10. Déterminer, pour ou > 10 oec, le coefficient de transmission TpaV =--<----t--'ËËÎf--éËe--> relatif aux <*%ncidente> puissances acoustiques incidente à l'entrée et transférée à la sortie du pavillon de longueur L. Que peut-on dire du rapport des intensités sonores transférée et incidente I transférée ? Commenter 1 incidente 11. Comparer Tpav au coefficient de transmission en puissance T de la conduite en l'absence de pavillon (situation considérée aux questions OE>_._ et Q_7_.) en exprimant le Tpav rapport en fonction de on. Préciser la valeur numérique de ce rapport pour on =9. Commenter en précisant le gain en décibel obtenu par le pavillon intercalé. Donnée : log36 % 1,56. TROISIEME PARTIE MODELE SIMPLIFIE D'UN SILENCIEUX D'ECHAPPEMENT Le tuyau d'échappement d'une automobile est assimilé à une conduite cylindrique supposée infinie de section 81 occupée par un gaz d'échappement de masse volumique ya au repos. L'expulsion de ce gaz de combustion engendre des ondes sonores désagréables pour l'oreille humaine, il faut en diminuer l'intensité. Un filtre acoustique cylindrique, ou silencieux d'échappement, de section SZ ( 82 > $, ) et de longueur L, est intercalé dans la conduite (figure 5). II est traversé par le gaz d'échappement. filtre aceustique expulsian du gaz : f "\ naissance de l'onde échappement SÛHÜÏQ FÏQUÏ'B 5 ...O... L Le son se propage à la célérité C=460 m.s" dans l'ensemble du dispositif à une température de 250°C. Le bruit à assourdir est modélisé par une onde sonore incidente plane progressive harmonique de fréquence f caractérisée parla pression acoustique : E ,(x, t) = P,... exp[j (cat -- kx)] . La pression acoustique E ,(x, t) : P,m exp[j(wt --kx)] obtenue à la sortie du silencieux est la superposition d'une infinité d'ondes sonores transmises aprés réflexions successives dans le filtre acoustique en x = L et x = 0 . I'" S" I'" ." Dans les trois domaines, le champ des pressions associé à l'onde est de la forme : B (x < 0, t) = P,... exp[j(wt--kx)]+e,m exp[j(wt +kx)] p(0 < x < L, t) = P,,% exp[j(æt+kx)]+Pg exp[j(wt--kx)] _,(2 (x > L, t) = P,... exp[j(rot--kx)] > P,m exp[ j (wt+kx)] est la superposition d'une infinité d'ondes qui franchissent l'interface x = 0 dans le sens des x décroissants, à l'issue d'un nombre impair de réflexions aux interfaces du filtre ; P,,'î exp[j(wt --kx)] est la superposition d'une infinité d'ondes se déplaçant au sein du filtre dans le sens des x croissants, transmise à l'interface x = 0 ou après réflexions sur l'interface x = O ; P,}, exp[j(æt +kx)] est la superposition d'une infinité d'ondes se déplaçant au sein du filtre dans le sens des x décroissants, aprés réflexions sur l'interface x = L. Donner les expressions correspondantes du champ des vitesses v(x, t) associé à l'onde dans les trois domaines: v(x<0,t), v(0L,t). Ecrire les quatre relations de continuité permettant de relier R..., P...... P,g, P...':, et Ptm pour les deux changements de section. En déduire le coefficient complexe de transmission global tp =--Ëfl en amplitude de pression en fonction de S1, 82 et exp (--- 2j kL) . Montrer que le facteur de transmission en énergie TÏ=tP tè ==|tPl2 du filtre peut se 1 1+m sin2EÏt--Î] fo Déterminer la fréquence caractéristique fo en fonction de L et de la célérité C de l'onde. Préciser l'expression de m en fonction de 81 et 82. mettre sous la forme : Ü : Tracer l'allure de la fonction 'Ü(f) en précisant les valeurs des maxima "âme, et des minima "C...... ainsi que les fréquences correspondantes. Comment le graphe est-il modifié lorsque 82 >> 81 ? Préciser dans ce cas la finesse ou max 2 Quelle est la plus courte longueur Lm permettant de réduire au maximum le facteur "C'à une fréquence d'éjection des gaz de combustion de 200 Hz ? facteur de qualité Q du filtre défini pour un facteur de réduction du bruit "Ü : L'intensité sonore, pour cette fréquence et à la sortie du moteur, est de 80 dB. Afin de ramener ce niveau à 60 dB, un silencieux de longueur L... et de diamètre d2 est placé au milieu du tuyau d'échappement de diamètre d1 : 4 cm. Quelle doit être la valeur numérique de son diamètre dz ? Donnée : @ æ 4,5. FIN DE L'ENONCE

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 E3A Physique PSI 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Michel Fruchart (ENS Lyon) ; il a été relu par Tom Morel (ENS Cachan) et Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE). Sous couvert de modéliser un silencieux automobile, ce sujet étudie la propagation et la réflexion d'une onde acoustique dans un fluide parfait. Les trois parties sont relativement indépendantes. Dans les deux premières, des résultats intermédiaires sont régulièrement donnés pour éviter de rester bloqué. · La première partie consiste à retrouver des résultats de cours : il s'agit d'étudier la propagation d'une onde dans un tuyau sonore, en introduisant la notion d'impédance et en calculant des intensités sonores. · La deuxième partie est composée de deux exercices très classiques que sont la réflexion en incidence normale et le pavillon exponentiel. Ce dernier, qui assure l'adaptation d'impédance, c'est-à-dire un transfert important de l'onde sonore, permet d'illustrer l'effet d'une discontinuité de section seule. Ceci aide à comprendre le principe du filtre acoustique de la partie suivante. · La troisième partie traite d'une réalisation du silencieux sous la forme d'un tube de grande section inséré dans la conduite. On aboutit à un système linéaire 4×4. Sans être difficile, la résolution de ce système prend un peu de temps et on aurait pu s'attendre à ce que l'énoncé fournisse le résultat. Pour les applications numériques, l'énoncé fournit les ordres de grandeurs des termes les plus difficiles à évaluer, ce qui permet de tester la cohérence de ses résultats. Le jury fait également remarquer dans son rapport que « les réponses à un certain nombre de questions sont implicitement contenues dans les textes explicatifs ». Indications Première partie A.3 Utiliser l'expression de la compressibilité isentropique donnée au début de la première partie, et passer aux différences finies. A.5 Différentier la loi de Laplace à entropie constante. A.6 La célérité d'une onde sonore dans un solide de module d'Young E et de masse volumique µsol se comporte comme r E Csol µsol B.3 Faire attention aux signes dans le cas d'une onde se propageant en sens inverse. C.2 Utiliser les expressions rappelées par l'énoncé pour travailler avec les grandeurs acoustiques complexes. C.5 Les deux sources sont incohérentes. Deuxième partie D.1 Intégrer l'équation obtenue en A.3. Les éventuelles constantes d'intégration sont nulles car on ne s'intéresse qu'aux termes variant dans le temps et l'espace. D.2 Le sujet n'est pas très clair sur ce point, mais les puissances transportées sont habituellement définies comme des projections sur la direction de propagation, de manière à être positives. D.3 Utiliser la conservation du débit massique µ(x, t)S(x)v(x, t) à travers l'interface située en x = 0 et exprimer la relation obtenue en fonction des surpressions grâce aux impédances. L'autre condition limite s'obtient en appliquant le principe fondamental de la dynamique à l'interface en x = 0, d'épaisseur nulle. E.1 Comme à la question A.3, il faut se servir de la définition du coefficient de compressibilité isentropique. E.6 La relation de dispersion est une équation du second degré sur k. Le signe de son discriminant détermine les différents cas. E.9 Recourir à la notion d'impédance. E.10 Montrer que P(x) ne dépend pas de . Que peut-on en déduire ? Troisième partie F.2 Utiliser la question D.3. F.4 Penser à la relation cos(2) = 1 - 2 sin2 (). F.5 La finesse est le rapport de la fréquence caractéristique par la bande passante (la largeur à mi-hauteur d'un pic). F.7 Se placer dans le cas limite m 1. I. Onde acoustique dans un fluide parfait A. Célérité du son A.1 Considérons une tranche de fluide située entre les abscisses x et x + dx, de masse dm = µ0 S0 dx. Sa vitesse est v(x, t) et elle subit des forces de pression de la part du fluide à sa gauche en x et à sa droite en x + dx. La projection selon - ex du principe fondamental de la dynamique appliqué à cette tranche s'écrit dm dv = [-P(x + dx, t) + P(x, t)] S0 dt v v v dv = +v dt t x t au premier ordre en la vitesse. Remplaçons de plus P(x, t) par P0 + p(x, t) (et de même en x + dx) pour obtenir Or, dm v = [-p(x + dx, t) + p(x, t)] S0 t p v =- dx S0 t x ce qui établit l'équation différentielle liant pression et vitesse soit µ0 S0 dx p v = -µ0 x t A.2 Projetons l'équation d'Euler projetée sur - ex : v v P p µ +v =- =- t x x x avec µ = µ0 + µ1 (x, t). Tous les termes en µ1 ainsi que le terme µ0 v (v/x) sont du second ordre, alors que µ0 (v/t) est du premier ordre, de même que le gradient de pression. Négligeons les termes d'ordre 2 pour obtenir l'équation linéarisée µ0 v p =- t x Il est logique d'obtenir le même résultat puisque l'équation d'Euler est l'écriture locale du principe fondamental de la dynamique. Le rapport du jury insiste sur la nécessité de préciser par rapport à quoi un certain terme est un infiniment petit. Ici, les grandeurs dites du premier ordre sont les grandeurs acoustiques (la surpression p, la variation de masse volumique µ1 , et la vitesse v). Les quantités du second ordre sont les produits de deux grandeurs acoustiques, et ainsi de suite. Les quantités qui ne font pas apparaître les grandeurs acoustiques sont dites d'ordre zéro. A.3 Représentons l'évolution de la tranche fluide considérée entre son état de repos et un état perturbé : u(x) u(x + dx) x x + dx À l'état de repos, le volume de la tranche de fluide est S0 (x + dx) - x = S0 dx = V tandis qu'à l'état perturbé il devient h i u = V + V S0 x + dx + u(x + dx, t) - x + u(x, t) = S0 dx 1 + x L'accroissement relatif du volume de la tranche fluide est la différence entre ces grandeurs rapportée à la grandeur de repos, c'est-à-dire = V u = V x Le coefficient de compressibilité isentropique est défini par 1 V s = - V P S Remplaçons la dérivée partielle par un taux d'accroissement, sachant que l'évolution du fluide est isentropique : 1 V s = - V P L'accroissement de pression P par rapport à l'équilibre est la pression acoustique p. Ainsi, le coefficient de compressibilité isentropique s'écrit s = - p ce qui, en utilisant l'expression de en fonction du déplacement, donne p(x, t) = - 1 u s x En dérivant par rapport au temps, on obtient p 1 2u =- t s t x 1 2u =- s x t soit (théorème de Schwarz) p 1 v = - t s x L'énoncé encourage à raisonner sur le volume d'une tranche, puisqu'il introduit l'accroissement relatif . Si l'on veut éviter les grandeurs extensives, on peut utiliser l'équation de conservation de la masse µ + div (µ- v)=0 t