E3A Physique PSI 2009

Thème de l'épreuve Étude d'un lambdamètre
Principaux outils utilisés optique géométrique, optique ondulatoire, interférence à deux ondes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                                

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
              

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 &? & CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE Épreuve de Physique PSI Durée 3 h Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de calculatrices est interdit. Etude d'un lambdamètre Le problème se décompose en trois parties corrélées entre elles : une théorie générale sur les interférences (première partie), l'interféromètre de Michelson (deuxième partie) et la conception d'un lambdamètre (troisième partie). Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que . les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques ; . tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italique ont pour objet d'aider à la compréhension du problème ; . tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s'il n'a pas été démontré par les candidat(e)s ; . le tracé de la fonction sinc(x) est donné dans l'annexe en fin d'épreuve, ainsi que des formules trigonométriques utiles. Les lambdamètres permettent de mesurer avec une excellente précision la longueur d'onde d'une source laser. Sans mettre en oeuvre un lourd dispositif de spectroscopie, ils sont basés sur des principes d'interférométrie. Le principe du lambdamètre décrit dans ce problème est dérivé de l'interféromètre de Michelson. La propagation de l'onde lumineuse s'effectue dans un milieu transparent, diélectrique, linéaire, homogène et isotrope (DLH/). La vitesse dela lumière dans le vide est notée c = 3.108 ms". PREMIERE PARTIE INTERFERENCES Les grandeurs harmoniques seront représentées en notation complexe. Une source lumineuse ponctuelle située en S émet, de manière pulsée, des trains d'ondes lumineuses supposées de même pulsation a). Dans le modèle scalaire de la lumière, la fonction de l'onde monochromatique est caractérisée en un point M et à l'instant tpar le signal lumineux ou vibration lumineuse : s(M, t) =a cos[wt--ço(M, t)], où a est l'amplitude supposée constante de l'onde et ça (M, t) son retard de phase en M et à l'instant t par rapport au point de référence 8. Par convention, la grandeur complexe associée à la grandeur réelle s(M, t) est le signal analytique : s(M,t)=a exp{j(æt--ça(M, t))], où j est le nombre complexe pour lequel j2 =--1 . Le complexe conjugué de s(M, t) est noté _8_* (M, t). Le modèle des trains d'ondes suppose que la phase à la source (03 reste constante pendant des intervalles de temps de durée constante Tc entre lesquels elle change aléatoirement de valeur. L'onde émise durant cet intervalle de temps appelé temps de cohérence est nommée "train d'onde". Le train d'onde est ainsi limité dans le temps et se propage dans le vide à la célérité c. La phase de l'onde ças à la source S prend une nouvelle valeur aléatoire à chaque nouveau train d'onde. AI Rayon lumineux La lumière se propage de S à M le long d'un rayon lumineux avec pour vitesse au point P : v(P)=--£---- , où n (P) est l'indice de réfraction du milieu en P ; par définition, le chemin "(P) optique (SM) entre les points 8 et M du rayon lumineux est : (SM) : Ën(P) dt(P) . L'élément d'arc de la courbe suivie parla lumière est noté dt(P) ; il est défini en P et est parcouru par la lumière àla vitesse de propagation v (P) pendant la durée dt. 1) Chemin optique et phase du signal lumineux L'onde se propage sans déformation, le signal s(M, t) reproduit le signal de la source avec un retard T (M). A1*a. Relier le chemin optique (SM) à la durée de propagation du signal T(M). Conclure quant à l'interprétation du chemin optique. A1*b. Calculer l'ordre de grandeur de la pulsation mm du signal lumineux Dans le domaine visible, pour une longueur d'onde moyenne dans le vide a... de l'ordre de 600 nm, calculer l'ordre de grandeur de la pulsation oem du signal lumineux. A1*c. Etablir l'expression du retard de phase (p Il... =(p(M, t)--cp(P, t) lié à la propagation entre P et M, en fonction du chemin optique (PM) et de la longueur d'onde ?... de l'onde étudiée dans le vide. 2) Surface d'onde A2*a. Définir une surface d'onde. Justifier le caractère d'onde sphérique associé au signal lorsque celui-ci se propage dans un milieu d'indice n constant. Enoncer le théorème de Malus. A2*b. Quel instrument d'optique permet d'obtenir une onde plane à partir d'une source ponctuelle ? lllustrer votre réponse à l'aide d'un schéma faisant apparaître les surfaces d'onde. L'éclairement (ou intensité lumineuse) %(M) est mesuré par un détecteur quadratique placé en M sensible à la valeur moyenne temporelle de SZ(M, t). II est conventionnel/ement défini au point M (à une constante multiplicative près) par : %(M) = <_s_(M, t). _s_ * (M, t)} =  . Cette moyenne temporelle est effectuée sur un temps de réponse TR du détecteur toujours très grand devant les temps de cohérence temporelle des sources supposés identiques à rc. Ce temps de cohérence est la durée moyenne de passage des trains d'ondes en un point donné de l'espace. B ! Interférences entre deux sources ponctuelles L'éclairement %(M) résulte de la superposition en M de deux ondes issues de deux sources ponctuel/es 81 et 82 de longueurs d'ondes dans le vide différentes M et M. Elles sont notées respectivement : s1(M,t)=a1 cos[w1t--ça1(M,t)] et 82(M,t)=82 cos[wJ--çæ(M,t)] B1*a. Exprimer l'éclairement %(M) en fonction des intensités & et %'2 de chacune des ondes, de leurs pulsations respectives 001 et 002 et du déphasage >X et D » Y. C1*a. Comment réalise--t-on de telles sources ? Quel est l'éclairement %(M) au point M en fonction de la différence de marche ô,,,(M) : (SZM)--(S1M), de ?... et %5 ? C1*b. Démontrer l'expression approchée de la différence de marche 82,1(M)=(SZM)--(S1M). En déduire l'éclairement %(X) au point M de l'écran en fonction de X, b, D, M et %0. Quelle est la forme des franges d'interférence observées ? C1*c. Définir l'ordre d'interférence p(M) au point M. Préciser en le justifient p(M) lorsque : . la frange d'interférence en M est brillante, . la frange d'interférence en M est sombre. C1*d. Définir et exprimer l'interfrange i en fonction de ?..., b et D. Figure 1 L'écran (E) est maintenant placé perpendiculairement à la droite 8182 en B supposé centre de l'écran (figure 2). Il est situé à une distance D du point milieu C entre les deux sources. Un point M du plan d'observation est défini par : p : BM, avec D >> b et D >> p. C2*a. Démontrer l'expression approchée de la différence de marche 62,1(M) : (SZM)--(S1M) en fonction de b et de l'angle 9 : (ÜË,.ÔÎA) C2*b. Exprimer I'éclairement %(9) au point M de l'écran en fonction de 9, b, i... et % puis en fonction de p, D, b, ?... et %. CZ*c. Justifier la forme des franges d'interférences obtenues. L'ordre d'interférence p(M) en M est-il croissant ou décroissant à partir du centre B ? Justifier la réponse. Figure 2 DEUXIEME PARTIE INTERFEROMETRE DE MICHELSON Les ondes se propagent dans le vide. La figure 3 correspond au schéma de principe de l'inten'éromètre de Miche/son. Les miroirs sont réglés de telle sorte que sont observés, par projection à l'aide d'une lentille convergente (L), des anneaux d'interférence circulaires sur le plan d'observation (E). Ce plan est situé dans le plan focal de la lentille (L) ; celle--ci est parfaitement stigmatique, de distance focale image f' et son axe 02 coupe l'écran en B. Posons OB : D. L'interféromètre supposé idéal est constitué : . d'une lame semi--réfléchissante dite séparatrice (Sp) qui réfléchit la moitié de la lumière qu'elle reçoit ; l'origine O du repère est centrée sur la séparatrice qui fait un angle invariable de 7r/4 avec les axes Ox et 02 ; les déphasages introduits parla séparatrice ne sont pas pris en compte car ils sont compensés par une lame compensatrice (non représentée sur la figure 3) réglée parallèlement à la séparatrice. . de deux miroirs réglables (M1) et (M2) parfaitement plans, perpendiculaires au plan de la figure et dont les orientations fixes font un angle égal à 7r/4 par rapport à l'orientation de la lame séparatrice (Sp) ; le miroir (M1) est susceptible de subir un mouvement de translation parallèlement à la direction Oz alors que le miroir (M2) reste fixe, la distance qui le sépare de l'origine O est notée La. Seules seront considérées des ondes ayant été réfléchies une et une seule fois sur la lame séparatrice. A partir de la situation de référence où (M,) est confondu avec l'image de (M2) par la séparatrice (Sp): le miroir (M,) subit une translation de longueur e comptée positivement si le miroir s'éloigne de la séparatrice. TZ " (M1) e Ï _ ______________ 4___ Image de M2 par Figure 3 la séparatrice plan focal image (E) B P M de la lentille D I Anneaux d'égale inclinaison L'éclairement obtenu sur l'écran en occultant l'une des deux sources est noté %0. La source ponctuelle S monochromatique, de longueur d'onde i..., est placée à la distance finie Ls : SO de la séparatrice. Le système optique constitué de (Sp), (M,) et (M2) donne deux images 81 et SZ dela source 8. 81 correspond aux rayons qui rencontrent (M,) et SZ aux rayons qui rencontrent ( M2). La lentille (L) est stigmatique et n'introduit aucune différence de marche. D1*a. Préciser les coordonnées de S, et 82 dans le repère Oxz. En déduire la distance 8182 en fonction de e. D1*b. La distance qui sépare les points M et B sur l'écran (E) est notée p=BM. Avec la condition p << f', exprimer la différence de marche 81,2(M) : (S,M)--(SZM) en fonction de e et de l'angle 9=(ËÎË,O'M), puis en fonction de p, e et f'. Illustrer la démonstration par un schéma explicatif faisant apparaître S,, 82, (L) et (E). Déterminer, en fonction de e, la différence de marche A : ô(B) obtenue en B pour p = O. D2*a. Exprimer l'éclairement %(p) obtenu en M en fonction de p, e, f', ?... et %o. En déduire que la figure d'interférence projetée sur (E) est constituée d'anneaux concentriques centrés sur B. D2*b. Le centre B des anneaux correspond a un maximum d'intensité. Quel est l'ordre d'interférence po, supposé entier, au centre des anneaux ? Déterminer le rayon pk du k'eme anneau brillant compté à partir du centre en fonction de e, f', ?... et de son ordre d'interférence pk. DZ*c. Exprimer k en fonction de po et pk ; en déduire l'expression de pk en fonction de e, f ', ?... et k. Déterminer pk en fonction de k et de p1, le rayon du premier anneau compté à partir du centre. D2*d. Quel est le phénomène observé sur l'écran quand l'interféromètre est réglé au contact optique (c'est--à-dire quand e = O) ? Décrire, en la justifiant, l'évolution des anneaux lorsque la valeur de l'épaisseur e de la lame d'air est progressivement augmentée : . les anneaux semblent--ils "entrer" ou "sortir" du centre ? . y a-t-il un nombre croissant ou décroissant d'anneaux visibles sur l'écran ? D2*e. Une lame à faces parallèles d'indice n...& et d'épaisseur e.ame : 8 pm est ajoutée devant et parallèlement au miroir mobile (M,). Pour une source monochromatique de longueur d'onde ?... = 500 nm, un brusque déplacement de 16 anneaux brillants au centre est alors observé. Evaluer numériquement l'indice de la lame n.ame. D3. Est-il indispensable, dans ce montage, de placer l'écran (E) dans le plan focal de la lentille (L) pour observer des interférences ? En serait--il de même si une source étendue incohérente était utilisée ? E I Analyse d'interférogrammes Le miroir (M,) est mobile entre e = 0 et e = L,,... ( L,... > 0). Un détecteur ponctuel est placé au centre B du système d'anneaux. II délivre un signal électrique u (A) proportionnel à l'éclairement qu'il reçoit ; ce signal dépend de la différence de marche A. L'accroissement de e par translation du miroir (M,) entraîne une variation du chemin optique en B de A = 0 à A : A..., et, par conséquent, un défilement des anneaux. Le déplacement de (M,) est contrôlé par un dispositif informatique qui enregistre dans le même temps l'éclairement âÏA) en B. On appelle interférogramme %(A) l'enregistrement de l'évolution de l'éclairement % en fonction de A. L'éclairement obtenu sur l'écran en accu/tant l'une des deux sources est noté %0. 1) Source monochromatique idéale L'inten'érome'tre est éclairé par une source ponctuelle, monochromatique, de longueur d'onde /10 et de pulsation wo. E1*a. Exprimer l'éclairement %(A) en fonction de A, (00, %b et de la célérité de la lumière 0. E1*b. Représenter I'interfërogramme %(A) en fonction de A et indiquer ses paramètres caractéristiques. Justifier qu'au cours du déplacement du miroir (M1) à la vitesse constante V, un scintillement de fréquence \) proportionnelle à V est visible au centre B des anneaux. Ce scintillement est détecté au moyen d'une photodiode. 2) Source délivrant deux ondes de pulsations voisines La source émet, avec la même intensité, deux ondes monochromatiques de pulsations . . . 1 @ et a)2 vorsmes dela pulsation moyenne (00 : 5(w, + raz), avec 50) = (602 -- ca,) << (00 . E2*a. Déterminer l'éclairement %(A) en fonction de A, on... %5, c et de l'écart ôoe : oo2 -- (01. Montrer que son expression diffère de l'éclairement de la question E1*a précédente par le facteur 7 (A) appelé degré de cohérence temporelle qui sera précisé. E2*b. Exprimer le contraste %(A) des franges d'interférence. Représenter %(A) en fonction de A, en indiquant les paramètres caractéristiques de l'interfërogramme. Lors du déplacement du miroir (M1), le contraste varie périodiquement et s'annule en des points dits "points d'anticoihcidence" ; il y a alors brouillage de la figure d'interférence. L'interféromètre est éclairé par une lampe à vapeur de sodium de longueur d'onde moyenne /1,, = 600 nm (valeur adoptée pour faciliter les calculs). Lors de la translation du miroir (M), un éclairement uniforme de l'écran est observé --- il correspond à une anticoïncidence --- pour deux valeurs successives de l'épaisseur e de la lame d'air obtenue entre (M,) et l'image de (M2) parla séparatrice. Entre ces deux annulations de la visibilité des franges, 1000 scintillements sont comptabilisés parla photodiode en B. E2*c. Déterminer numériquement l'écart ôk entre les deux longueurs d'onde du doublet ainsi que ôe, la longueur de déplacement du miroir (M1). 3) Source à profil rectangulaire Pour simplifier les calculs, la source lumineuse est supposée présenter un spectre rectangulaire de largeur spectrale 5w. L'intensité véhiculée dans chaque bras du Miche/son, indépendamment l'un de l'autre, s'écrit: dä, =-ËÊÙ--dw si a) 5 [ca,--%, wo+êË)--] et elle est nulle partout ailleurs. E3*a. Déterminer, par un calcul intégral, l'éclairement %(A) en fonction de A, (bg, % , c et ôoe. Quelle est l'expression du degré de cohérence temporelle y(A) ? E3*b. Exprimer de contraste CEUR(A) des franges d'interférence. Représenter %(A) dans le cas où 60) << (:)0 . Indiquer les paramètres caractéristiques de l'intedérogramme. E3*c. Montrer que les franges d'interiérence restent bien contrastées tant que A vérifie la relation : |A| s A.,. Exprimer Ac en fonction de c et 800, puis en fonction de 7l.0 et ôit. AG est appelé longueur de cohérence. Chaque train d'ondes possède une phase à l'origine ças aléatoire au cours du temps. Il est limité dans le temps par sa durée de cohérence rc et dans l'espace par sa longueur de cohérence Ac=c rc. E3*d. Précisez la signification de AC et commenter la condition d'interférences |A] 3 AC. L'interféromètre de Miche/son est éclairé par une lampe basse pression de longueur d'onde moyenne /to : 600 nm et de largeur de raie & = 10 '2 nm. E3*e. Evaluer sa longueur de cohérence. Répondre à cette même question dans le cas d'un laser de longueur d'onde ?... =600 nm et dont la largeur de raie vaut ôk : 10"6 nm. Que dire de la longueur de cohérence d'une source parfaitement monochromatique ? Commenter. F I Analyse spectrale de l'interférogramme Partant de l'interférogramme, un système informatique calcule numériquement la transformée F (ca) de l'éclairement %(A). Cette transformée est définie par l'intégrale : F(ca) = AT %(A) cos(ÊJ--4) dA C F1*a. Calculer F(oe) dans le cas d'une source idéale monochromatique de pulsation oeo : %(A) = %0 {1 + cos(oeÊA )] Représenter l'allure de la courbe F(oe). Montrer qu'elle présente trois pics dont vous préciserez : . les amplitudes en fonction de %"o et A... ; . la largeur ôoebase de leurs bases (voir annexe) en fonction de A... et de c. Que devient F(oe) lorsque Amex devient très grand ? F1*b. En déduire, sans calcul, l'allure de la courbe F(oe) obtenue pour une source émettant deux ondes de pulsations (... et 002 voisines de la pulsation moyenne wc et de même intensité (oe2 > 031 ). Un spectromètre a pour fonction de séparer deux radiations de pulsations voisines (01 et (02. Il permet d'accéder à ces pulsations, de mesurer leur écart fréquentiel 5wR : (ca2 ----- ca,) ainsi que les intensités relatives des deux radiations. Le paramètre le plus important pour caractériser cet appareil est son pouvoir de résolution : il estime la capacité du spectromètre à séparer deux pulsations très voisines. Le critère "d'éloignement" adopté pour évaluer l'ordre de grandeur de la limite de résolution du spectromètre est le critère de Ray/eigh : le plus petit écart mesurable est obtenu lorsque deux pics de deux radiations différentes sont distants d'une demi--largeur de base (voir annexe), autrement dit lorsque le maximum principal de l'un correspond à la première annulation de l'autre. F1*c. Estimer le plus petit écart spectral AoeR : oe2 -- oo1 qui puisse être observé par ce dispositif en fonction de c et Amex. wo AwR ' Montrer que le pouvoir de résolution ?? du spectromètre est fixé par le nombre Nmax de maxima d'intensité enregistrés par le détecteur lors de la course finie de l'interféromètre. Commenter. Le pouvoir de résolution ?? du spectromètre est défini par : 9? : "n !° 10 TROISIEME PARTIE DOUBLE INTERFEROMETRE DE MICHELSON : LAMBDAMETRE Le lambdamètre (figure 4) a été élaboré pour mesurer rapidement la longueur d'onde d'un laser stabilisé. Il se présente comme un double interférome'tre de Miche/son qui compare la longueur d'onde inconnue d'un laser stabilisé avec la longueur d'onde connue d'un laser de référence : le laser Hélium--Néon stabilisé sur la raie d'absorption "i" de l'iode à ÂO : 632,8 nm. Le lambdamètre ne nécessite qu'une séparatrice (Sp), deux coins de cube identiques et un miroir réglable (M). Tous les angles de réflexion sont égaux à 75/4. Les "coins de cube" sont des réflecteurs qui ont la propriété de renvoyer la lumière dans la même direction que celle de réception. Ils sont en verre d'indice n = 1,5 et les trois angles au sommet font chacun 90° avec une précision meilleure que la seconde d'arc. Un rayon lumineux tombant sur une des trois faces du coin va se réfléchir trois fois successivement et donc se décaler faiblement en position pour ressortir parallèlement à sa direction incidente. Le coin de cube 2 est mobile, il se déplace verticalement dans une enceinte où le vide est réalisé. Il est suffisamment lourd pour rendre les frottements négligeables lors de la translation. Il est attaché à la poulie d'un moteur pas à pas par l'intermédiaire d'un fil et guidé dans un tube en inox. Les concepteurs ont cherché à se rapprocher le plus possible dela chute libre. Les longueurs de cohérence du laser étalon et du laser COZ stabilisé sont respectivement de l'ordre de 300 m et 30 km. g i vide -- ? F' r 4 : coin de cube 2 ' u e ; mobile Laser étalon (Sp) coin de cube 1 He--Ne fixe .. 1 LAS A // (L1) (D1)@ î f ! ' (L2) 4__> Laser C 02 LAS 32 ÎWH' / (M) 41 (Dz) @" Données: 3160556 x0,6328=2 ; \/0,2=0,45 G1*a. Le rayon issu du laser 1 arrive en A sur la lame semi-réfléchissante : représenter sur un schéma les chemins optiques des deux rayons qui vont interférer. L'anneau central de la figure d'interférences est détecté parla photodiode (D1 ). G1*b. Le rayon issu du laser 2 arrive en B sur la lame semi--réfléchissante : représenter sur un schéma les trajets optiques des deux rayons qui vont interférer. L'anneau central de la figure d'interférences est détecté par la photodiode (DZ), G1*c. Comparer les différences de marche pour les lasers 1 et 2 respectivement aux centres (D1) et (D2) des deux figures d'interférences. Le laser 1 est le laser étalon de longueur d'ondeÀ, : 632,8 nm. Le laser 2 est un laser COZ stabilisé dont la longueur d'onde & est à déterminer. Lors de la chute du coin de cube 2, un compteur évalue à p1 : 3160556 le nombre de scintillements détectés par (D1) et, dans le même temps, p; = 188 679 scintillements sont détectés par (DZ). (_:'v_2= A l'aide de ces mesures, évaluer 7\.2 (en pm). gg_. Citer deux avantages de l'utilisation des coins de cubes pour le fonctionnement du lambdamètre. Pourquoi le vide a-t-il été établi sur la longueur de déplacement du coin de cube ? Commenter le pouvoir de résolution du double interféromètre ainsi constitué. G4. Calculer la hauteur de chute e du coin de cube mobile. Comparer à la longueur de cohérence des lasers et commenter. _Q_5_= Déterminer la durée tchute de la chute supposée libre du coin de cube, sachant que l'intensité du champ de pesanteur est 9 = 10 ms"? Commenter. _Ç_5_= Le comptage des franges s'effectue à la frange près. En considérant que la longueur d'onde étalon M est connue sans incertitude, indiquer l'incertitude relative sur l'évaluation de >\.2. Commenter. ANNEXES Formules trigonométriques : a+b a--b cosa+cosb = 2 cos[ 2 ]cos{----2----] sina --- sinb : 2 cos[îÎ--b] sin{ÎÎ--b] 2 2 2 cosa--cosb : cos(a+b)+cos(a--b) FIN DE L'EPREUVE

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 E3A Physique PSI 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Maimbourg (ENS de Cachan) ; il a été relu par Vincent Freulon (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet porte sur l'étude d'un lambdamètre, système optique permettant de mesurer avec une excellente précision la longueur d'onde d'une source laser stabilisée. · Dans la première partie, l'intégralité du cours d'optique ondulatoire est repris de façon progressive. L'énoncé propose de définir la notion de chemin optique et de lier cette grandeur au déphasage entre deux ondes. Les interférences entre deux ondes planes monochromatiques et cohérentes sont proposées à l'étude. Le problème de la cohérence temporelle et spatiale est ensuite analysé en détail. La partie C permet de retrouver les expressions usuelles de l'éclairement dans le cas des trous d'Young en configuration parallèle et orthogonale à l'écran d'observation. · La deuxième partie aborde l'étude d'un interféromètre de Michelson. Le Michelson est placé dans la configuration « coin d'air ». L'expression de l'éclairement est obtenue par analogie avec le cas des trous d'Young en configuration orthogonale à l'écran. La notion d'ordre d'interférence est introduite et largement étudiée. Des problématiques en lien direct avec l'expérimentation sont traitées. · Enfin, l'étude du lambdamètre est l'objet de la troisième partie. Un dispositif original se basant sur le principe de l'interféromètre de Michelson permet de déterminer très précisément la longueur d'onde d'une source inconnue, connaissant celle d'une source référence. Le principe général de l'instrument est abordé. Les questions se font beaucoup plus ouvertes, et plus difficiles, que dans le reste du sujet, et amènent à réfléchir aux aspects techniques. Ce problème porte exclusivement sur le cours d'optique ondulatoire. Il constitue un exercice excellent et exhaustif dans ce domaine. Il est d'une difficulté raisonnable et graduelle : si la première partie est très proche du cours, la deuxième demande une bonne maîtrise de la notion de cohérence spatiale et temporelle, tandis que la troisième fait appel à une réelle réflexion. Le sujet étant long, le jury a regretté que de nombreux candidats se soient lancés dans « une chasse aux points », négligeant la compréhension des phénomènes abordés. Indications A.2.b Compléter le schéma avec des rayons lumineux permet d'expliciter plus aisément la déformation des surfaces d'onde lors de leur passage par la lentille. B.1.b Donner une première condition de cohérence relative aux pulsations. B.1.c Comparer le temps de réponse du détecteur à la différence de pulsation 1 -2 . B.2.b Deux ondes sont dites synchrones si elles ont même pulsation. C.1.a Une manière simple d'avoir deux sources cohérentes est de diviser le faisceau d'une unique source. D.1.a Adopter la configuration dite « repliée » de l'interféromètre de Michelson permet de simplifier le problème. La distance S1 S2 est bien la distance optique, c'est-à-dire l'écart entre les deux sources pour le parcours de la lumière et non la distance géométrique qui les sépare. D.1.b Raisonner par analogie avec le système de fentes d'Young en configuration orthogonale à l'écran. D.2.d L'ordre d'interférence pk est lié au k ième anneau visible et n'est pas lié à un anneau en particulier. D.2.e La lame de verre remplace l'air sur l'épaisseur elame . La différence de marche supplémentaire doit être écrite par rapport à l'indice de l'air et fait par conséquent intervenir (nlame - 1). G.6 La formule de propagation des incertitudes peut s'exprimer ainsi : soit f une fonction des variables {ai }i . En notant ai les incertitudes associées à chacune des variables, l'incertitude absolue sur la fonction f , notée f ({ai }i ), s'écrit : v uX 2 u f · ai 2 f ({ai }i ) = t ai i Les conseils du jury Le rapport du jury note que « l'épreuve était sans conteste longue mais elle présentait l'avantage d'être sélective et classante. Elle permettait au candidat de s'exprimer tant au niveau de sa connaissance du cours que de sa maîtrise expérimentale ». Le sujet permettait en fin d'épreuve de mettre en valeur « le sens pratique et la créativité du candidat futur ingénieur ». Lors de la correction de l'épreuve, le jury dit avoir été particulièrement sensible aux points suivant : · De nombreuses questions font appel au sens physique du candidat. Les « raisonnements effectués avec rigueur et cohérence » et une « interprétation des phénomènes physiques » clairement mise en évidence sont valorisés. · En revanche, l'« utilisation indistincte de formules non justifiées » ou les « réponses données sans justification ni commentaire » sont sanctionnées. · Le jury a enfin tenu à rappeler qu'« une écriture illisible et des réponses non rédigées » indisposent le correcteur. Étude d'un lambdamètre I. Interférences A. Rayon lumineux A.1.a La durée de propagation s'écrit Z Z M Z M 1 M 1 (M) = dt = d(P) = n(P) d(P) c S S S v(P) Ainsi, (M) = (SM) c Le chemin optique est la distance que parcourt la lumière pendant la durée (M) si elle se propage dans le vide à la vitesse c. A.1.b Comme 2 6, m 2 c = 3 · 1015 rad.s-1 m A.1.c En notant la différence de marche entre les deux chemins optiques, le déphasage d'une onde entre deux points s'écrit P M = (M, t) - (P, t) = Comme = (PM), P M = 2 0 2 (PM) 0 Le déphasage entre une onde en P et une onde en M est le rapport entre la distance optique entre ces deux points et la longueur d'onde considérée dans le milieu de propagation. En ce sens, c'est le nombre de longueur d'onde (non nécessairement entier) duquel il faut décaler l'onde en P pour se ramener à l'onde en M. Les fonctions trigonométriques utilisées étant 2-périodiques, ce rapport est multiplié par 2 pour avoir invariance de l'onde pour tout rapport entier. A.2.a Une surface d'onde est une surface équiphase ; c'est-à-dire que pour tout point de cette surface, l'onde possède la même phase. Considérons l'émission d'une onde en un point P. Le déphasage de l'onde en un point M s'écrit alors P M = 2 (PM) 0 De plus, si l'indice du milieu est constant, (PM) s'écrit (PM) = n · PM Les surfaces équiphases (donc les surfaces d'onde) sont ainsi les surfaces équidistantes au point source. Ce sont des sphères centrées sur P. C'est pourquoi ces ondes sont qualifiées de sphériques. Le théorème de Malus affirme que les rayons lumineux sont perpendiculaires aux surfaces d'onde. C'est bien le cas ici puisque les rayons lumineux suivent une trajectoire radiale depuis le point source et les surfaces équiphases sont des sphères centrées sur la source. Le jury rapporte que « de nombreux candidats ne connaissent pas la définition d'une surface d'onde et l'interprètent comme la surface orthogonale aux rayons lumineux. Il est dès lors impossible d'introduire le théorème de Malus ». A.2.b Une lentille convergente permet d'obtenir une onde plane à partir d'une onde sphérique issue d'une source ponctuelle. Il suffit pour cela de placer la source au foyer objet F de la lentille. L'image est alors à l'infini, ce qui correspond à une onde plane. > > F Lentille La lentille est nécessairement convergente dans cette configuration (appelée collimateur). Une lentille divergente peut aussi permettre d'obtenir une onde plane, à condition que l'onde incidente soit convergente et non divergente comme ici. Plus précisément, une lentille divergente permet d'obtenir une onde plane à partir d'un point source virtuel situé sur son plan focal. B. Interférences entre deux sources ponctuelles B.1.a Le signal total en M est la somme des deux signaux : s(M, t) = s1 (M, t) + s2 (M, t) Calculons l'éclairement E (M) :