E3A Physique PSI 2008

Thème de l'épreuve Techniques de contrôle non destructif
Principaux outils utilisés électromagnétisme dans les métaux, effet de peau, induction, physique des ondes, milieux dispersifs

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 a:--:+: ,-.--:- ' {.:.1. . -=:=&:=:=:=:: : :: ' '. --: ;.;.;.; 1 :_: .,._fi,{ ....... '.fl'.'.'. . . e 3 &: CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE Epreuve de Physique PSI Durée 3 b Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de calculatrices est autorisé. TZ52 ê:£::=£== '. C'î--üZ'ï-ëï . : 1 ?: lî'Ï'?l'Î*ï":.'. _ . . . . . . . . ,... .' «v. . 4 . . . . . 'I'Zü'î'lü'i E 3 a CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE Epreuve de Physique PSI Durée 3 h Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de calculatrices est autorisé. Techniques de contrôle non destructif Le problème comporte deux parties totalement indépendantes: l'étude des courants de Foucault dans une plaque métallique, débouchant sur la technique de contrôle associée (1ère partie) puis la propagation d'une onde ultrasonore dans une barre d'acier et l'application au contrôle non destructif par ultrasons (2eme partie). Remarques préliminaires importantes. Il est rappelé aux candidat(e)s que : . les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques ; . tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italique ont pour objet d'aider à la compréhension du problème ; . tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé parla suite, même s'il n'a pas été démontré par les candidat(e)s. Tournez la page S.V.P. 2 PREMIERE PARTlE COURANTS DE FOUCAULT DANS UNE PLAQUE METALLIQUE Considérons une plaque métallique conductrice, de grandes dimensions considérées comme infinies suivant Ox, Cv et Oz, de conductivité 0', de perméabilité po ,tu et de permittivité ao, occupant le demi--espace x > 0 , comme le montre la figure 1 ci--dessous. Üz "V Üx M 0 air métal Cette plaque est soumise à un champ magnétique variable dont la direction est parallèle à Ü,. L'inducteur b qui crée ce champ magnétique n'est pas représenté. Dans la plaque règne une densité volumique de courant .7 ( M, ! ), une excitation magnétique Fi (M,t ), un champ magnétique Ë ( M,t ) : pop, H( M,! ) et un champ électrique Ë (M,t ). Dans toute cette partie, l'approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS) est vérifiée et la densité volumique de charge est considérée nulle dans le métal. L'excitation magnétique l--Îl (M,t ) est considérée uniforme en tout point de l'air et vaut : Fl (M,t ) = H,, cos ( cat ) ÜZ (en conséquence, à l'origine et dans l'air, l-7 (O,t ) = H,, cos ( cat ) üz ). La grandeur complexe associée à H,, cos ( cat + ça ) est notée : _l_--I__ : H,, e'"'e""'. Dans tout le problème il n'y a pas lieu de considérer de courant surfacique. Les équations de Maxwell dans le métal sont, dans le cadre de I'ARQS : divË=-£'- divË=0 rotE=----â--; Fôië=pop,î 8 0 Données numériques : 80 : 8,85.10'12 F.m'1,,uo =4rt. 10 '7 H.m",,u,=10î O': 10 7 s.m°', c =3. 108 ms". A [ PROPAGATION D'UNE ONDE DANS UN DEMI-ESPACE INFINI METALLIQUE Cette partie concerne uniquement le métal. A.1 Quelle relation lie Ê(M,t) et Û(M,t) dans le métal? _A_,_2 Montrer qu'une solution H(M,t) : H(M,t) üZ convient. De quelle variable spatiale l'excitation magnétique H(M,t) (notée H par la suite) dépend--elle ? 3 Déduire de l'équation de Maxwell--Ampère la composante de la densité volumique de courant J(M,t) -- qui sera notée J par la suite. Justifier qualitatiVement ce résultat en appliquant la loi de Lenz. Ecrire, d'aprés l'équation de Maxwell--Faraday, une équation aux dérivées partielles vérifiée par H. Procéder de même pour J. De quel type d'équation s'agit--il ? En déduire les deux équations différentielles auxquelles satisfont L-l_ et _J_, grandeurs complexes associées à H et J. 2 "rHO Ü(Ü et expliciter _H_ et J Résoudre ces deux équations en posant ô : Quelle est la signification physique de 8 ? Calculer la valeur numérique de 8 pour une fréquence de 10 kHz. A partir de quelle profondeur x la densité de courant peut-elle être considérée comme négligeable dans le métal ? En revenant aux grandeurs réelles, préciser les expressions de FI (Mt) et J(M,t) dans la plaque. Définir puis exprimer la moyenne temporelle de la puissance volumique (%> dissipée dans la plaque. Expliquer qualitativement comment réagit la plaque au champ produit par l'inducteur b. BI CONTROLE NON DESTRUCTIF PAR COURANTS DE FOUCAULT Un fil F conducteur rectiligne d'axe Oy est posé sur la plaque précédente. Ce fil de diamètre d1 négligeable et de longueur très grande (supposée infinie), est à l'intérieur d'une gaine iso/ante de sorte qu'il n'y a pas de contact électrique entre la plaque et le fil. Le fil est parcouru parle courant i(t) :! cos ( cat + (p ) orienté selon la direction üy. Dans toute la suite, le champ produit par le fil en tout point de la plaque et de l'air sera considéré comme le champ produit par un fil infini dans le vide. _B_-.1 B.2 Représenter, à l'aide d'une figure (dans le plan 0x2) les lignes de champ du champ magnétique produit parle fil dans l'air. En un point M(x,z) de ce plan et situé dans l'air, établir l'expression du champ résultant Ë(M,t) produit par I'inducteur b et le fil (utiliser les cordonnées polaires avec l'angle e: O) parcourant le fil F dans le sens de üy produit-il le même effet que la fissure ainsi modélisée '? Un capteur électromagnétîque est constitué d'une petite bobine b' plate (considérée --. sans épaisseur) de N spires, bobinée avec un pas à droite, de surface 8 et d'axe u , Z connectée à un oscilloscope. L'axe de la bobine b' est à la distance D de la plaque. La bobine b' se déplace vers la fissure àla vitesse Vb dans la direction ÜZ et à t = 0, elle se trouve àla cote zo (figure 4). i _________ u(t) ll... b' (à t) agrandissement de b' Figure 4 Dans un premier temps, l'effet de la fissure n'est pas pris en compte. B.4 Déterminer la tension uo(t) induite aux bornes du capteur en précisant les orientations choisies pour les calculs de flux à l'aide d'un schéma. Préciser la valeur maximale de uo(t) . Quelle est l'influence du déplacement du capteur sur la tension uo(t) ? L'effet de la fissure est maintenant pris en compte. B.5 La tension induite aux bornes du capteur prend la forme : u(t) : uo(t) + u,(t) . 5 Exprimer u,(t) dans le cas où V|D << Doe, précisez sa valeur maximale ainsi que la position zmax correspondante; tracer le graphe de u(t) et justifier la forme de l'enveloppe. Comment la tension u(t) délivrée par le capteur renseigne--t--elle de la présence d'une fissure ? Pourquoi faut-il que le capteur se déplace '? B.6 Est--il possible de détecter des fissures à l'intérieur de la plaque? Jusqu'à quelle profondeur? B.7 Pourquoi cette configuration (orientations des axes de l'inducteur b et de la bobine b') ne permet-elie pas de détecter des fissures parallèles à l'axe Oz ? Comment détecter une fissure parallèle à l'axe Oz ? DEUXIEME PARTIE PROPAGATION D'UNE ONDE ULTRASONORE DANS UNE BARRE METALLIQUE AI ETUDE DE LA BARRE EN TRACTION Considérons une barre AB d'acier de longueur L à vide (sans traction) de section 8 et d'axe Ox, représentée sur la figure 5. Cette barre, soumise en A à l'effort FA : --- F üx et en B à I'efion' FB : + F üx, passe alors de la longueur L à la longueur L + AL. La barre, sollicitée en traction (AL > 0 ) lorsque F > 0 et en compression (AL < 0 ) lorsque F < 0, subit alors la contrainte de traction a, telle que a = %. Si la limite d'élasticité du matériau n'est pas dépassée, il y a propon'ionna/ité entre F et AL, ce qui se traduit parla loi de Hooke (1635--1703) : 0' =-Ê-- : Y -,% où Y est le module d'Young du matériau (le poids de la barre sera considéré comme négligeable par rapport à la force de traction). Figure 5 De quel autre scientifique célèbre Hooke était-il le contemporain ? |?» l.--'1 Montrer simplement que la barre se comporte comme un ressort de raideur Kee| qu'il conviendra d'exprimer en fonction de Y, S et L. A3. Calculer Keq et AL avec les données suivantes : L = 0,5 m, 8 = 5 cm2, F = 104 N, et pour l'acier : module d'Young Y : 2,1.1011 N.m'2, masse volumique p = 7800 kg.m'3. Tournez la page S.V.P. 6 Il est possible de modéliser la barre par des chaines d'atomes parallèles à Ox, chaque atome étant relié aux voisins les plus proches par un ressort élémentaire de raideur K, comme le montre la figure 6. Chaque unité de volume renferme n atomes et au repos, deux atomes sont distants de d. _A_4; Quelle formule simple relie d et n '? _A_ÆL_ Etablir la raideur Kpara"èle du ressort équivalent à deux ressorts identiques de raideur K placés en parallèle, puis la raideur Ksérie du ressort équivalent à deux ressorts identiques de raideur K placés en série (préciser pour chaque configuration la grandeur ---- allongement ou force --- qui est commune au ressort équivalent et aux deux ressorts idenfiques) Evaluer, dans la barre, le nombre de ressorts en série par chaîne, puis le nombre de chaînes de ressorts élémentaires en parallèle. A6. En déduire la relation entre Keq, K et d'autres paramètres, puis entre Y, K et d. Justifier pourquoi, d'après la loi de Hooke, l'allongement est proportionnel à la longueur de la barre. B I MODELE DE LA CHAINE INFINIE D'OSCILLATEURS Le métal est modélisé par un réseau parallélépipédique d'atomes de masse m dont les liaisons sont représentées par des ressorts de sorte que les atomes sont disposés aux noeuds d'un réseau tridimensionnel régulier mai/lé en x, y, et 2 par trois réseaux de droites parallèles orientées selon üx, üy et ÜZ (figure 6). Les ressorts parallèles à Ox ont tous une raideur K et une longueur au repos d. Le nombre d'atomes par unité de volume est n. ' |, , 'I'b a equn | re U Cl N d '\>\ K . ressorts de raideur K ---> Une onde ultrasonore plane longitudinale se propage selon ux et fait osciller simultanément tous les atomes d'un plan d'onde si bien que les rangées parallèles au vecteur "X vibrent toutes de la même manière. Le raisonnement se fera alors sur une seule chaîne d'atomes identiques et équidistants, atomes repérés sur la chaîne par les indices q--1, q et q+1 (figg_r_e_Z). Soit uq le déplacement de l'atome q d'abscisse xq telle que : xq : q d. Figure 6 hors équilibre à l'équilibre .. . . .°.. ,. hors équilibre .. .. OO . ' . 81. En isolant l'atome de rang q, écrire une équation différentielle qui lie uq, uq_1, u..., leurs ' . l I 2 K denvees eventuelles par rapport au temps et oeo = --. m BZ. A quelle condition sur (D et k une onde du type uq(t) == Acos(oet--kqd) peut--elle se propager le long de la barre ? Mettre en évidence une pulsation de coupure (oc : 27c fC , au-delà de laquelle la barre ne peut plus propager une onde sinusoïdale d'amplitude constante. Comment la barre se comporte-t-elle alors ? L'acier est assimilé à du fer de masse molaire M = 56 g.mol", les atomes sont distants de d = 250 pm et la constante d'Avogadro vaut % = 6, 02. 1023 mol ". Calculer ainsi les valeurs de K, 000 et fo. En utilisant une approximation de milieu continu, il est possible d'écrire: M0 = U(x, t)lx.qd , uq.1(t) = u(x, t)l,=(q,,,d, uq-1(t) = U(x, t)lxz(q_,,d- 83. Montrer que le déplacement u(x,t) satisfait à une équation de d'Aiembert de la forme 2 2 g L; --%â--Ë- == 0 . Exprimer alors la vitesse de propagation V de l'onde en fonction de la x masse volumique p du matériau et de son module d'Young Y. Donner la solution générale de cette équation. Qu'est--ce qu'une onde progressive ? Quelle grandeur joue le rôle du module d'Young dans le cas de la propagation d'une onde sonore dans un fluide ? Application numérique : calculer la vitesse V de l'onde sonore dans la barre d'acier. Une onde u(x, t) = A cos[w(t --- EUR)], de pulsation &) = 27: f , se propage dans une barre d'acier de mêmes caractéristiques, supposée maintenant de longueur infinie. _B__4_= Exprimer les énergies cinétiques dä; et potentielles d%Î= emmagasinées par une tranche de longueur dx de la barre (considérer un ressort équivalent à cette tranche), puis comparer leurs valeurs respectives. Déterminer la contrainte de traction o(x,t) subie par l'acier en tout point de la barre. ôu(x,t) ôt Quelle relation lie o(x,t) au champ des vitesses : v(x,t) pour l'onde progressive considérée ? Tournez la page S.V.P. 8 _B_5_._ Montrer que la puissance @ transportée par cette onde et par unité de surface s'écrit : ?? = --- o(x,t) v(x,t) . En déduire sa valeur moyenne (®) . Calculer l'énergie totale emmagasinée par unité de longueur et la puissance moyenne (®) , pour une amplitude A = 10 nm, une section 8 = 5 cm2 et une fréquence f = 1 MHz. Lorsqu'une onde acoustique longitudinale passe d'un milieu noté 1 (masse volumique p1 et vitesse V,) pour x < 0, à un milieu noté 2 {masse volumique ,02 et vitesse V2) pour x > 0, les coefficients énergétiques de réflexion R et de transmission T valent : 2 R: E... et T=1_R_ a%+æV 2 _B_ÿ_= Calculer les coefficients R et T pour le passage acier-air, sachant que pour l'air à 20°C : pa : 1,2 kg.m'3 et V8: 330 ms". Quelles conclusions peut--on en tirer ? C ! FREQUENCES PROPRES D'UNE BARRE Il sera admis dans la suite que la barre de longueur L (figure 5) est le siège d'ondes acoustiques stationnaires longitudinales de petite amplitude, de sorte que l'équation de propagation établie à la question... B3 traduit bien les phénomènes mis en jeu. Il sera admis que la solution, pour le déplacement, s'écrit dans ce cas u(x, t): il", (x) 9, (t) avec: f,(x)= A, cos(k, x)+B, sin(k, x) et g,(t)= C, cos(w, t)+D, sin(w, t). C1. Comment la solution u, (x,t) : f(x) g,(t) s'appelle--t-elle ? Quelle est sa définition ? Quelle relation (R,) lie k, et co, '? La barre est fixée en x = 0 et libre en x = L. C2. Quelles sont les conditions limites sur o(x,t) et sur u(x,t) ? Donner les trois premières solutions particulières u,,(x,t), u,(x,t) et u,(x,t), . . . V d'amphtudes respectives U... U, et U2 en fonction de m,, : ÏE------ 2L' Dessiner les graphes correspondants de f0(x), f,(x) et f;_(x) (pour x variant de 0 à L). Préciser les points P où la contrainte o(x,t) est maximale. D I REGIME FORCE SINUSOIDAL La barre est libre en x = L, tandis qu'à l'extrémité x = 0, un vibreur impose à la barre un déplacement sinusoïdal de la forme : u (0, t) = A,, cos( cat) . Q_'!_._ En cherchant des solutions du type u(x,t) : f(x) cos(oet), établir l'équation différentielle vérifiée par f(x). Exprimer la solution sous la forme f(x) = A cos(kx) + B sin(kx). Préciser les valeurs de A, B et k. p_z_._ Montrer que certaines fréquences conduisent à un phénomène de résonance d'amplitude. A quoi ces fréquences correspondent--elles ? Expliquer comment à partir d'un vibreur et d'un accéléromètre, il est possible de trouver expérimentalement la valeur du module d'Young de la barre. 9 Pour la barre d'acier considérée, les trois premières fréquences de résonance ont été évaluées à 2655 Hz, 7965 Hz et 13275 Hz. La longueur est connue au centième de millimètre près, les fréquences sont déterminées au hertz prés et la masse volumique au kg. m'3 prés. gg; En déduire la valeur du module d'Young de la barre et l'incertitude relative sur cette détermination. E I CONTROLE NON DESTRUCTIF PAR ULTRASONS Les ultrasons, ondes de fréquence 5 MHz, sont produits par un « palpeur droit » dont la partie essentielle est un cristal cylindrique piézo--électrique réalisé en titanate de baryum, d'épaisseur e et de diamètre @ = 1 cm (figure 8). Quand un tel cristal est excité par une tension électrique sinusoi'dale, il fonctionne comme un émetteur; quand il est excité par une vibration mécanique, il réagit comme un capteur. Cet élément fonctionne donc comme un émetteur-- récepteur: excité à 5 MHz pendant la durée To, il émet alors un train d'ondes longitudinales. La pièce testée est un cylindre d'acier de diamètre 2 cm et de longueur AB : 10 cm. Pour l'acier considéré, la célérité des ondes longitudinales {déplacement dans le sens de la propagation) est VL : 5190 ms". Le balayage d'un oscilloscope est déclenché par chaque émission ; le reste du temps le palpeur joue le rôle de récepteur et transmet le signal reçu à I'oscilioscope. Le cycle se répète 25 fois par seconde. Face A Figure 8 Face 8 Figure 9 Tournez la page S.V.P. Palpeur droit Figure 10 E.1 Par analogie avec les ondes lumineuses et les résultats sur la diffraction d'une pupille circulaire, déterminer le demi--angle au sommet du cône de divergence des ondes ultrasonores pénétrant dans l'acier. E.2 Quels sont les ordres de grandeur du coefficient de réflexion énergétique R sur la face B « acier--air » et du coefficient de transmission énergétique T sur la face A ? Par quel procédé est-il possible d'augmenter la valeur de T ? La base de temps de I'oscilloscope est réglée pour que l'écho associé à un double aller-- retour (ABABA) soit repéré par 003 sur l'écran de l'oscilloscope, représenté sur la figure 9. L'oscilloscope affiche les signaux reçus parle palpeur : le signal affiché entre 0 et 0, correspond au signal émis, le signal démarrant à l'abscisse 02 correspond au premier écho sur la face 8, tandis que celui démarrant en 03 correspond au deuxième écho. E.3 Quelle est la durée de l'émission To ? _l-_E_A Le palpeur est placé en C sur la tige d'une soupape de moteur thermique de longueur CE : 15 cm (Figure 10). Que faut-il constater sur l'écran si la soupape ne renferme pas de défaut ? E.5 Certaines soupapes présentent un défaut de soudure (soudure avant forgeage par friction) en D'D, repéré par la distance CD =11 cm. Comment déceler ce défaut sur l'écran ? Comment confirmer sa position d'une manière différente ? FIN DE L'EPREUVE

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 E3A Physique PSI 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Éric Vernier (ENS Ulm) ; il a été relu par Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Cette épreuve est constituée de deux parties indépendantes, de longueur et de difficulté comparables, traitant toutes deux de méthodes de contrôle non destructif. · Dans la première partie, centrée sur le programme d'électromagnétisme, on présente une technique de contrôle non destructif d'une plaque métallique par les courants de Foucault. On y utilise d'abord des raisonnements classiques d'électromagnétisme dans les métaux, puis on aboutit à une application à la détection des fissures dans une plaque métallique. · Dans la seconde partie, on établit des résultats sur la propagation des ondes acoustiques dans une barre d'acier pour les appliquer à l'étude d'anomalies de structure dans des pièces métalliques. Cette partie reste conceptuellement proche du cours, mais nécessite une certaine aisance dans l'établissement et l'analyse d'équations d'ondes et de relations de dispersion. Portant essentiellement sur le programme de deuxième année, cette épreuve balaye la plupart des notions requises en électromagnétisme et en physique des ondes. Indications Partie I I.A.2 Penser à considérer les symétries et invariances du problème. - - I.A.3 Utiliser la relation entre le champ magnétique B et l'excitation magnétique H dans le métal. 2 1+j = j. I.A.6 On rappelle que 2 I.A.8 Quel est le phénomène à l'origine de la puissance dissipée P v ? I.B.5 Calculer les dérivées successives de la tension u1 par rapport au temps en utilisant les approximations suggérées par l'énoncé. Partie II II.A.4 Prendre garde à dénombrer correctement le nombre d'atomes appartenant en propre à chaque maille. II.A.5 Pour le cas de deux ressorts en série, utiliser la condition d'équilibre du point de jonction de ces deux ressorts. II.B.2 Utiliser la formule de factorisation a+b a-b cos a + cos b = 2 cos cos 2 2 II.B.4 Exprimer l'élongation et la vitesse instantanée de la tranche élémentaire de longueur dx au repos en fonction des dérivées partielles de u(x, t). On rappelle que cette tranche est équivalente à un ressort de raideur K = YS/dx. II.C.1 Identifier un à un les termes associés aux différentes composantes de Fourier dans l'équation de propagation trouvée à la question II.B.3. II.D.3 Pour calculer l'incertitude relative sur un produit de facteurs mesurés, utiliser la formule des différentielles logarithmiques qui donne un majorant de cette incertitude. II.E.1 On rappelle que dans le cas de la diffraction de la lumière par une ouverture circulaire de diamètre D, la demi-largeur angulaire de la tache principale de diffraction est = 1,22 D Techniques de contrôle non destructif Si chacune des deux parties comportait de nombreuses questions très proches du cours (courants induits et effet de peau en électromagnétisme, propagation le long des chaînes d'oscillateurs), le jury déplore le fait que cette apparente familiarité mène certains candidats à considérer le problème comme « la résolution « gentille » d'équations toutes faites, standards, avec des résultats eux aussi standards, appris par coeur » dans laquelle « souvent la compréhension physique est absente ». À cet égard, il importe d'être doublement prudent quant aux conditions d'application des raisonnements connus et au respect des conditions et notations de l'énoncé. Il ne faut en outre jamais perdre de vue le sens physique des arguments énoncés et des résultats obtenus. I. Courants de Foucault dans une plaque métallique I.A Propagation d'une onde dans un demi-espace infini métallique - I.A.1 Dans un matériau conducteur, la densité volumique de courant J est reliée - au champ électrique E par la loi d'Ohm locale - - J (M, t) = E (M, t) I.A.2 En raison des dimensions infinies de la plaque, le problème est invariant par translation selon les directions y et z. Toutes les solutions sont donc à chercher comme fonctions du temps et de la seule variable spatiale x. Par ailleurs, en raison du caractère pseudo-vectoriel de l'excitation magnétique imposée dans l'air, le problème est symétrique par rapport à tout plan z = Cte . - L'excitation magnétique H , qui est un vecteur axial (ou pseudo-vecteur), est donc en tout point orthogonale à de tels plans, d'où - H (M, t) = H(x, t) - u z Notons également qu'en l'absence de courants superficiels à l'interface plaqueair, une telle solution satisfait aux relations de passage entre les deux milieux. - - I.A.3 En remplaçant µ0 µr B par H dans l'équation de Maxwell-Ampère (qui s'écrit - - - rot B = µ0 µr J dans le cadre de l'ARQS), on trouve, sachant que µ0 µr est uniforme dans le métal, - - - J = rot H - ce qui donne, en prenant pour H une solution de la forme donnée à la question I.A.2, - H - J =- u y x Un tel résultat s'interprète dans le cadre de la loi de Lenz : anticipant sur le fait que le champ H décroît en norme quand on s'enfonce dans la plaque, si l'on prend par exemple à une date donnée un champ orienté dans le sens des z croissants, la H dérivée est négative, donc la nappe de courant dans la plaque a une densité x - . Ce courant crée alors dans la plaque volumique J orientée positivement selon - u y , qui contribue donc à y un champ magnétique supplémentaire orienté selon -- u z « amortir » l'excitation magnétique de départ. - - - I.A.4 En remplaçant dans l'équation de Maxwell-Faraday (rot E = - B /t) le - - - - champ électrique E par J / = rot H /, on trouve - µ0 µr H - - rot J = - t - D'après l'expression de J trouvée à la question précédente, la seule composante non - , et cette composante ne dépend spatialement que nulle de J est selon la direction - u y de la variable x. En utilisant la forme cartésienne du rotationnel, on en déduit 2 - - Jy - - - = - H- rot J = J = u u z z x x2 L'équation aux dérivées partielles précédentes se réécrit donc finalement, en projec, tion sur - u z H 2H = µ0 µr x2 t En dérivant cette équation par rapport à x, on trouve, en vertu de la relation établie à la question précédente, 2J J = µ0 µr x2 t - - H et J obéissent donc tous deux à une même équation aux dérivées partielles, qui a la forme d'une équation de diffusion. I.A.5 Pour passer à la notation complexe, il suffit de remplacer l'opérateur de dérivation temporelle par une multiplication par j. On obtient alors 2H = jµ0 µr H x2 et 2J = jµ0 µr J x2 I.A.6 Cherchons les solutions de cette équation sous la forme H0 e rx e jt . En injectant de telles solutions dans l'équation précédente, les exponentielles et l'amplitude H0 se factorisent, et il reste r2 - jµ0 µr = 0 Les deux racines de cette équation s'écrivent 1+j 1+j + r=- µ0 µr = + - 2 r 2 où = µ0 µr