E3A Physique PSI 2007

Thème de l'épreuve Lancement d'un satellite et communication
Principaux outils utilisés bilan de quantité de mouvement, mécanique céleste, électromagnétisme dans les plasmas, électronique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SL12 e 3 a CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE Épreuve de Physique PSI durée 3 heures Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu 'il est amené à prendre. L'usage de la calculatrice est autorisé Ce problème est centré sur l'étude mécanique d'un lanceur de type Ariane V, des communications entre un satellite et la Terre et du traitement du signal de réception ; il comporte trois parties totalement indépendantes. Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que 0 les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques, . tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italique ont pour objet d'aider à la compréhension du problème mais ne donnent pas lieu à des questions, - tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé parla suite, même s'il n'a pas été démontré par les candidat(e)s. Grâce à des lanceurs comme Ariane V, il est possible de placer sur orbite géostationnaire des satellites de communications de plus de cinq tonnes. Ces satellites assurent la transmission de données, des communications téléphoniques et des programmes de télévision. L'information est véhiculéepar des ondes porteuses dans des bandes de fréquences bien définies. Les communications entre satellites et avec la Terre sont assurées par des systèmes actifs, possédant leur propre équipement d'émission et de réception de signaux. Tournez la page S.V.P. PREMIÈRE PARTIE ÉTUDE MECANIQUE D'UNE FUSEE ET DE SON SATELLITE L'objectif d'une fusée ou d'un lanceur est de transporter une masse donnée, généralement un satellite à une altitude fixée (orbite de parking ou géostationnaire). Pour atteindre de tels objectifs, il faut que le lanceur soit capable de développer une force importante pendant plusieurs minutes. A titre d'exemple, Ariane 5 développe, au décollage, une force d'environ 107 N. Dans l'exemple simple que nous allons étudier, cette force est fournie par deux propulseurs (figure 1). Coifie contenant le satellite Oz Propulseurs Etgy.re.1 ___l it UU) u(t) lréacteur ! réacteur A ! DECOLLAGE DE LA FUSEE Une fusée sans carburant et contenant le satellite qu'elle a pour mission de mettre en orbite possède une masse mm. La fusée contient, au moment du décollage, une masse de gaz notée mgaza. Les gaz sont éjectés avec une vitesse verticale par rapport au référentiel terrestre (supposé galiléen) et une vitesse relative u par rapport à la fusée. Le débit massique q... est constant. L'influence de l'atmosphère est supposée négligeable (absence de frottement), l'accélération dela pesanteur g est considérée comme uniforme. A_1_._ Le système d'étude est la fusée et tout ce qu'elle contient à l'instant t. En raisonnant sur ce système fermé, effectuer un bilan de quantité de mouvement et en déduire l'expression de l'accélération de la fusée à l'instant t (figure 2). Établir l'expression de la force, due à l'éjection des gaz, subie par la fusée. A2. Quelle doit être la valeur minimale de cette force pour que la fusée décolle ? Calculer l'accélération à l'instant initial. Est--elle supportable pour un être humain ? Données : la masse totale de la fusée ( m0 = mm + mgazo ) vaut 460 tonnes ; l'accélération dela pesanteur au sol est go = 9,8 ms"? ; le débit total de gaz s'élève à 1, 8. 103 kg. 8" et la vitesse d'éjection des gaz, par réacteur est évaluée à 2,1.103 m. s". A_Q, Établir l'expression approchée de la vitesse v(t) de la fusée au cours du temps pour un décollage vertical. Calculer la vitesse de la fusée au bout de 15 s. 02 Situation à Situation à l'instant t l'instant t + dt Figure 2 Zl(t) ", & a(t)/réacteur lréacteur B I ORBITES CIRCULAIRES La fusée a mis sur orbite le satellite qu'elle transportait et celui--ci décrit maintenant sa première orbite basse circulaire. 81. Déterminer l'expression de la vitesse Va (dans le référentiel géocentrique) que doit posséder le satellite, considéré comme un point matériel, pour qu'il décrive à l'altitude de 200 kilomètres un cercle autour de la Terre. Données : la masse de la Terre s'élève à 5,97.1024 kg, la constante universelle de la gravitation vaut 6,67.10'" m3.s'2.kg'1 ; le rayon dela Terre est RT = 6400 km. BZ. Exprimer puis calculer la durée 17 d'une révolution du satellite sur une telle orbite. 83. Qu'est-ce qu'un satellite géostationnaire ? B4. Établir les caractéristiques de la trajectoire d'un tel satellite : -- quelle est la nature de la trajectoire ? -- dans quel plan s'efiectue-t--elle ? - la norme de la vitesse est-elle constante ? - quelle est l'altitude du satellite ? Tournez la page S.V.P. DEUXIEME PARTIE PROPAGATION D'UNE ONDE ÉLECTROMAÿNÉTIQUE A TRAVERS UN PLASMA (IONOSPHERE) Dans cette partie, nous supposerons que la Terre est entourée d'une atmosphère non ionisée assimilée au vide (d'indice n = 1), elle-même entourée par I'ionosphère. L'ionosphère se comporte comme un plasma, constitué principalement d'hydrogène, gaz ionisé peu dense, renfermant des particules chargées de deux types : N {par unité de volume) protons, de charge et masse unitaires +e = 1,610"9 C et m,, = 1,67.10'2 kg, ainsi que N (par unité de volume) électrons de charge et masse unitaires --- e et me = 9, 1.10'31 kg. Les interactions entre protons et électrons sont négligées. Les permittivité et perméabilité du plasma sont assimilées à celles du vide : 80 = 8, 8. 1042 F.m" et ,uo = 47r.10°7 H.m"'. Le milieu est linéaire de sorte que toute grandeur sinusoïdale x peut s'écrire sous forme complexe : _x_ : _X_e""' . Sous l'action d'une onde électromagnétigue harmonique plane polarisée rectilignement qui se propage suivant l'axe vertical Oz dans l'ionosphère (considéré comme un plasma neutre et peu dense), les particules chargées se mettent en mouvement. A I PROPAGATION DE L'ONDE Aj_,_ Appliquer le principe fondamental de la dynamique aux porteurs de charges, animés d'une vitesse vp et Ve par rapport à un référentiel galiléen et soumis au champ électromagnétique _Ê_ =_ÊO cos(oet --kz) , _Ë_ =_Ë_O cos(oet --kz) . A quelle(s) condition(s) l'action du champ magnétique et celle du poids sont--elles négligeables ? {l'amplitude du champ électrique est largement inférieure à 1010 V. m") A2. Le régime permanent est supposé atteint. Déterminer l'expression complexe de la vitesse des porteurs de charge. (la notation complexe __Ë_ = _Ë_0 eÏ(wt'kz) avec j'°' : ----1 pourra être utilisée) En déduire l'expression complexe du vecteur densité volumique de courant de charges électriques gé,eC.. A3. Montrer que, dans ce cas, le plasma est équivalent à un milieu conducteur ohmique dont la conductivité complexe 0 sera exprimée en fonction de 2 __ NE2 2 __ N92 pe "' ' pp "' 80 me 80 ... (x) w ,aoetoe. P , . . 1 - Calculer les valeurs numenques des pulsatnons co..., et oepp pour N = 101 rn 3. Comparer les contributions respectives des protons et des électrons et en déduire l'expression simplifiée de g. A4. En supposant que les propriétés électriques et magnétiques du plasma sont celles du vide, écrire les équations de Maxwell correspondantes. Montrer que l'équation de Maxwell--Ampère s'écrit sous la forme suivante : 2 .... ("99 )ÊË-._ 002 ôt æîä=eouo<1-- 5 Établir les équations de propagation satisfaites par les champs électrique et magnétique dans le plasma. En déduire que l'onde est transversale. Pour l'onde sinusoïdale étudiée É=È ej(°°t"kz), uelle est, dans ce cas, 0 l'expression de l_<_2 en fonction de co, oepe et c (célérité de la lumière dans le vide). Le milieu est--il dispersif ? Que se passe-t--il si 03 < oepe ? Calculer la valeur correspondante de la densité volumique de particules. Données : pulsation plasma de l'ionosphère terrestre cape = 8, 7. 105 rad. s", célérité de la lumière dans le vide 0 = 3.108 m. s". Exprimer la vitesse de phase vd), puis la vitesse de groupe V9 = %--Ë. Représenter ces vitesses en fonction de (0. Que se passe--t--il pour 03 >> oepe ? L'indice optique complexe de l'ionosphère est défini par [] =--Ïlg. (:) Établir l'expression de n_2 en fonction de co et oepe. En déduire les expressions de n dans les deux cas @ < cape et m > oepe . Une onde électromagnétique plane harmonique polarisée rectilignement est émise depuis le sol verticalement suivant la direction 02 normale à la surface de séparation atmosphère--ionosphe're (figure 3). E_igyLe_ê il 77777777777777777777777777 Terre Les champs associés aux ondes électromagnétiques incidente, réfléchie et transmise sont les suivants : Champs électriques Champs magnétiques Onde incidente E,- = _Ë_0, exp j(wt --- koz) ëx Ë, : %?!-- exp j(wt -- koz) ëy ...--> Onde réfléchie E, = Q,, exp j(æt + koz) ëx E, = --=E=ËL exp j(wt + koz) ë, Onde transmise _Ë_t : _Ë--0t exp j(wt -- _l_<_z) ëx _Èt : QËËt-- exp j(æt ---- _l_<_z) ëy A partir des conditions aux limites en z = 0 à l'interface atmosphère-ionosphère, écrire deux relations qui lient les amplitudes EOi , EO... Em et _n. Exprimer le coeffrcrent de reflexron en amplitude défini par [=ÊQf--. --Oi Tournez la page S.V.P. 6 A10. Déterminer, en 2 = 0, les expressions de la valeur moyenne temporelle de la norme du vecteur de Poynting incident <" ÎÎ0i"> et réfléchi <" fi0rH>. En déduire l'expression du facteur de réflexion en puissance @, défini par <"ÎÏOrH> "=... , en fonction de _n_. A11. Préciser, dans les deux cas (» < cape et (» > oe l'expression de 9%. Tracer l'allure Pe' de @ en fonction de ---(Î)--, puis commenter cette courbe. Citer des applications. oepe A12. Déduire de la courbe précédente l'allure de o7 , coefficient de transmission en puissance. Proposer une méthode de mesure de la valeur de la pulsation cape. B I INFLUENCE D'UN CHAMP MAGNETIQUE STATIQUE 980 A partir de maintenant, l'effet d'un champ magnétique statique ÿ30, sera pris en compte ; ce champ, uniforme, de l'ordre de 40 ,uT est porté par l'axe Oz, correspondant à la direction de propagation de l'onde. Toute force dissipative sera négligée. En l'absence de champ électrique et en présence du champ magnétique 980, une particule P, non relativiste, de masse m et de charge q est animée au point 0 et à l'instant initial dela vitesse vo : VO ex évaluée par rappon' à un référentiel galiléen. _B_1_._ Déterminer le mouvement ultérieur de P, puis tracer sur une figure (pour 980 >O) l'allure de la trajectoire en distinguant les cas q > 0 et q < 0 . Quelle est l'influence de la masse sur la trajectoire d'une particule de charge qOEo m un proton ? Calculer puis comparer ces deux grandeurs. Justifier le sens des trajectoires observées. q > 0. Que représente la quantité , notée oeoe pour un électron et m.... pour Il est rappelé que le plasma est constitué d'électrons et de protons de même charge, de même densité volumique particulaire N = 1011 m3, de masses respectives me et mp. Il règne dans ce plasma un champ magnétique uniforme et statique E@"3"5:%0ë; avec ?BO>O. Les électrons et les protons du plasma sont soumis uniquement aux actions de @ËB et d'un champ électrique Ë . Ce champ Ë résulte dela séparation des particules chargées du plasma. L'action de Ë engendre un mouvement des charges, entraînant une nouvelle distribution des charges, qui de nouveau modifie le champ électrique E, qui agit sur les charges et ainsi de suite. Le problème se limite au cas correspondant à un champ E contenu dans le plan xOy. La permittivité et la perméabilité demeurent celles du vide. . . ------- aË -_ -- a? av La prolectron des vecteurs E,------,vp,Ve, p e , selon la direction du champ électrique ôt ôt ôt ôv sera notée E,---êË,v,,,v,,,-----------'--'--,ôV9 Ôt Ôt Ôt . Il sera admis que la projection, selon la direction du champ , . 6 ev -- 6 ev ---- electrrque, du vecteur --------- e /\ Bo vaut oeâe V,, et du vecteur ------ ----------'-°-- A Bo vaut --- oeâ, vp . ôt me ôt mp 7 _B_Z_._ A partir de l'équation de Maxwell--Ampère, écrire l'équation différentielle vérifiée parle champ électrique et les vitesses des porteurs de charge. _B_ç_. A partir du principe fondamental de la dynamique appliqué à chaque particule et projeté suivant la direction du champ électrique, établir les équations différentielles couplées vérifiées, parallèlement au champ électrique, par les composantes des vitesses des électrons _\_/_e et des protons _\_/_p en fonction de oeoe, coop, oepe et (ppp. Ce système admet une solution non nulle si la pulsation des oscillations vérifie, compte tenu des valeurs numériques des diverses fréquences woe, wep, cape et m..., la relation suivante : 2 2 ... 2 2 2 2 2 2 _B5_. Déduire de cette expression que le plasma peut avoir un mouvement d'oscillations caractérisé par deux pulsations propres, dites pulsation hybride haute co... et pulsation hybride basse m..., que l'on exprimera en fonction de oepe, oepp, oeoe. Calculer ou... et (|)... à l'aide des données. Dans cette partie, le mouvement des protons sera à nouveau négligé devant celui des électrons. Une onde TEM de champ électrique Ë= E 0e' ""' "> se propage au sein du milieu. Le champ EO est tel que __Êo : _E_ou : _E__OX ex + _E_Oy ey. Le champ électrique est toujours porté parle vecteur unitaire & contenu dans le plan xOy. Les permittivitê et perméabilité sont celles du vide. Le champ magnétique B de l'onde sera négligé devant 930. BS. Montrer que les composantes de la vitesse des électrons vérifient les relations suivantes : (joeeme _E_X --e29305y ) mâ (|) 2--92@32 V __(e2980g + 1oeem _E_y) "y me 2oe2--e2ÿ32 En déduire les composantes de la densité volumique de courant Jé,eC due au déplacement des électrons. y..x= BG. En exploitant l'équation de Maxwell--Ampère, déterminer la nouvelle équation de dispersion. Que se passe--HI si JéleC---- _ Ô? Projeter l'équation précédente suivant les directions ex et ëy, puis montrer que les composantes E.__X et _E_y du champ électrique vérifient une relation du type : aÊx "iBÊy : 0 jB._E_X + OE_E_y : 0 Préciser l'expression des constantes on et B. 87. Justifier l'existence de deux solutions k+ et k.. pour le vecteur d'onde k. Déterminer pour chaque cas les densités volumiques de courant J + et J .. Commenter ces résultats. Tournez la page S.V.P. TROISIEME PARTIE ÉLECTRONIQUE DE RÉCEPTION Pour la transmission de messages, le principe de la modulation d'amplitude ou de fréquence d'une tension vp(t) (la porteuse) de fréquence élevée est souvent utilisé. Le message à transmettre est représenté par une tension v...(t) (le signal modulant) qui s'ajoute àla porteuse. Lorsque la somme de ces deux signaux est reçue, soit parle satellite, soit sur la Terre, il faut alors la démodulen c'est--à--dire extraire la tension v...(t). Cette partie étudiera quelques montages utilisés lors dela détection. A / MODÈLES ÉQUIVALENTS D'UN CONDENSATEUR RÉEL Un condensateur réel peut se représenter par des modèles équivalents, un modèle parallèle (figure 4) et un modèle série (figure 5). Un condensateur réel ( C,ée,) dont la capacité C est de 1 ,uF est chargé sous une tension initiale Ua = 5 V. La tension à ses bornes est mesurée grâce à un voltmètre de résistance interne R,; = 10 M0. Le relevé de la tension lors de la décharge est celui de la figure 4. Figure 4 Le condensateur réel est, avec une très bonne approximation, presque parfait (capacité pure). A1. A partir de l'observation du relevé expérimental (figure 4), évaluer Rf. _A_2_. À partir de cette même courbe, montrer que le modèle série (figure 5) n'est pas envisageable dans ce cas. B I ÉTUDE D'UN FILTRE SIMPLIFIÉ Le premier étage de la chaîne de démodulation est modélisé par le schéma de la figure 6. La résistance traduisant les imperfections dela bobine et du condensateur est notée r'. Pour simplifier les calculs, choisissons de prendre r = r' . Figure 6 9 81. Déterminer la fonction de transfert de ce quadripôle, écrite sous la forme H(l®)=-----fiL---- 1+jQ(£--ËÊJ wo @) du module de _H_(joe) en fonction de co. Quelle est la nature de ce filtre ? Calculer les valeurs de ces grandeurs pour C = 1 uF, L = 100 mH et r = 1 MQ. . Identifier les expressions de Ho, @@ et Q. Tracer l'allure La courbe précédente peut être modélisée parla fonction suivante (figure 7) : |H(jw)l= HO w+s, pour wO--2Aw de la tension V3(t). Exprimer cette valeur moyenne en fonction de Q, U+ et a, toujours avec l'hypothèse que eQ << 1. Conclure. A V ... FIN DE L'ÉPREUVE

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 E3A Physique PSI 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Sandrine Ngo (ENS Cachan) ; il a été relu par Vincent Freulon (ENS Ulm) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Le sujet porte sur des problématiques liées à un satellite de communication, depuis sa mise en orbite par un lanceur de type Ariane V jusqu'à son fonctionnement : communications entre le satellite et la Terre, puis traitement du signal de réception. Il comporte trois parties indépendantes faisant appel à des domaines très variés de la physique. · La première partie s'intéresse à la dynamique de la propulsion de la fusée lors du décollage, ainsi qu'au comportement du satellite une fois en orbite. · Dans la deuxième partie, on étudie la propagation d'une onde électromagnétique à travers un plasma afin de modéliser le comportement des signaux de communication dans l'ionosphère. On considère en outre l'influence d'un champ magnétique statique sur cette onde. · La troisième partie est consacrée à l'électronique qui intervient dans le traitement du signal de réception. Après avoir étudié un modèle de condensateur, puis caractérisé un filtre, le sujet se penche sur un montage plus complexe dans lequel intervient le filtre précédent. Ce problème comporte beaucoup de questions pour une épreuve de trois heures. Néanmoins, celles-ci sont pour la plupart très classiques et proches du cours de la filière PSI : celui de première année pour la mécanique et l'électronique, celui de deuxième année pour l'électromagnétisme. Certaines questions sont plus laborieuses et calculatoires, notamment dans la partie II portant sur l'étude d'une particule chargée dans un champ magnétique statique. Il est conseillé de les sauter le jour du concours. De manière générale, les justifications et les interprétations physiques des résultats sont très attendues par le jury. Indications Première partie I.A.1 Il faut bien définir le système (vitesse et masse) en t puis en t + dt. Écrire la variation de la quantité de mouvement entre ces deux instants. Ne pas oublier de prendre en compte l'action de la gravité. Faire une approximation au premier ordre. I.A.2 La poussée des propulseurs doit compenser le poids de la fusée au décollage. I.A.3 Intégrer l'expression de l'accélération entre 0 et t. Deuxième partie II.A.1 Pour comparer les actions des champs électrique et magnétique, utiliser la - - relation de structure qui relie E et B à c. II.A.2 Dans l'expression du vecteur densité volumique de courant, additionner les contributions de chaque type de porteurs de charge. II.A.3 Un conducteur ohmique vérifie la loi d'Ohm locale : - - J élec = E II.A.4 La dérivation temporelle est équivalente à une multiplication par j. II.A.5 Utiliser l'identité vectorielle -- - - - - - rot (rot A ) = grad (div A ) - A - vérifiée pour tout vecteur A . II.A.7 Pour calculer v g , différentier l'expression de k 2 en fonction de 2 déterminée dans la question précédente. II.A.9 Utiliser les équations de continuité des champs à la traversée d'une interface. Le champ total dans l'atmosphère est la somme des champs incident et réfléchi. II.B.1 Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la particule chargée en ne considérant que l'action du champ magnétique. Projeter ensuite l'équation sur des axes judicieusement choisis afin de caractériser la vitesse (suivant la direction du champ magnétique, puis celle de la vitesse...). - II.B.2 Le champ B est uniforme. . Remplacer II.B.5 Projeter le principe fondamental de la dynamique suivant - u et - u x y l'opérateur dérivation temporelle par j. II.B.6 Pour que Ex et Ey soient non nuls, il faut que le système d'équations linéaires auquel ces grandeurs obéissent ait un déterminant nul. En déduire deux relations possibles entre les coefficients et . II.B.7 Pour le commentaire, considérer le déphasage entre les composantes sui- - - vant - u x et uy de chaque vecteur J+ et J- . En déduire leur polarisation. Troisième partie III.A.1 Prendre en compte la résistance du voltmètre dans le circuit équivalent. III.B.1 Utiliser la méthode du pont diviseur de tension, après avoir écrit les impédances équivalentes du circuit. Faire une étude asymptotique afin de tracer l'allure de |H(j)| et déterminer la nature du filtre. III.B.3 Relier l'amplitude de s(t) à celle de e(t) à l'aide de la fonction de transfert. III.C.2 Faire un développement limité de G au second ordre en . III.C.3 Le déphasage est égal à l'argument de la fonction de transfert. I. Étude mécanique d'une fusée et de son satellite A. Décollage de la fusée La fusée a une masse variable. Il s'agit d'un système ouvert, ce qui rend délicate l'application du principe fondamental de la dynamique. Il faut donc se ramener à un système fermé en considérant le système total {fusée+gaz éjecté} à l'instant t, puis t + dt. À noter que le système n'est pas isolé. I.A.1 À l'instant t, le système est composé de la fusée et de tout ce qu'elle contient, de masse m(t) et de vitesse - v (t). Sa quantité de mouvement s'écrit - p (t) = m(t)- v (t) À l'instant t + dt le système fermé se décompose en deux sous-systèmes : · d'une part la fusée et tout ce qu'elle contient de masse m(t + dt) = m(t) + dm (avec dm < 0) et de vitesse - v (t + dt) ; · d'autre part le gaz qui a été expulsé par les propulseurs de masse -dm et de vitesse - v (t) + - u. Dans ce cas, la quantité de mouvement est : - p (t + dt) = (m(t) + dm)- v (t + dt) - (- v (t) + - u ) dm Ces deux situations sont représentées sur la figure 2 de l'énoncé. La variation de quantité de mouvement entre t et t + dt s'écrit d- p =- p (t + dt) - - p (t) = m(t) [- v (t + dt) - - v (t)] + dm[- v (t + dt) - - v (t) - - u] or m(t) [- v (t + dt) - - v (t)] m(t) d- v De plus, on a au premier ordre - dm [- v (t + dt) - - v (t) - - u ] dm (d- v -- u ) -dm u Donc d- p m(t) d- v - dm - u d- p d- v dm - = m(t) - u dt dt dt Par ailleurs, le système est soumis à son poids, donc d'après le principe fondamental de la dynamique d- p = m(t)- g0 dt En égalant les deux expressions précédentes puis en projetant suivant l'axe vertical, dv dm m(t) +u = -m(t) g0 dt dt La fusée comporte deux réacteurs qui expulsent du gaz à un débit massique constant valant q m pour chacun d'eux. La masse de gaz expulsée pendant dt est alors : -dm = 2 q m dt On en déduit l'évolution de la masse de la fusée en fonction du temps dm = -2 q m dt ce qui donne