SL12
e 3 a
CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE
Épreuve de Physique PSI
durée 3 heures
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, d'une
part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et
poursuit sa composition
en indiquant les raisons des initiatives qu 'il est amené à prendre.
L'usage de la calculatrice est autorisé
Ce problème est centré sur l'étude mécanique d'un lanceur de type Ariane V,
des communications entre un satellite et la Terre et du traitement du signal de
réception ; il comporte trois parties totalement indépendantes.
Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que
0 les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même
titre que les développements analytiques et les applications numériques,
. tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italique ont pour objet d'aider
à la
compréhension du problème mais ne donnent pas lieu à des questions,
- tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé parla suite,
même s'il
n'a pas été démontré par les candidat(e)s.
Grâce à des lanceurs comme Ariane V, il est possible de placer sur orbite
géostationnaire des satellites de communications de plus de cinq tonnes. Ces
satellites assurent la transmission de données, des communications
téléphoniques et
des programmes de télévision. L'information est véhiculéepar des ondes porteuses
dans des bandes de fréquences bien définies. Les communications entre
satellites et
avec la Terre sont assurées par des systèmes actifs, possédant leur propre
équipement d'émission et de réception de signaux.
Tournez la page S.V.P.
PREMIÈRE PARTIE
ÉTUDE MECANIQUE D'UNE FUSEE ET DE SON SATELLITE
L'objectif d'une fusée ou d'un lanceur est de transporter une masse donnée,
généralement un satellite à une altitude fixée (orbite de parking ou
géostationnaire).
Pour atteindre de tels objectifs, il faut que le lanceur soit capable de
développer une force
importante pendant plusieurs minutes. A titre d'exemple, Ariane 5 développe, au
décollage, une
force d'environ 107 N. Dans l'exemple simple que nous allons étudier, cette
force est fournie par
deux propulseurs (figure 1).
Coifie contenant
le satellite
Oz
Propulseurs
Etgy.re.1
___l it
UU) u(t)
lréacteur ! réacteur
A ! DECOLLAGE DE LA FUSEE
Une fusée sans carburant et contenant le satellite qu'elle a pour mission de
mettre en
orbite possède une masse mm. La fusée contient, au moment du décollage, une
masse de gaz
notée mgaza. Les gaz sont éjectés avec une vitesse verticale par rapport au
référentiel terrestre
(supposé galiléen) et une vitesse relative u par rapport à la fusée. Le débit
massique q... est
constant.
L'influence de l'atmosphère est supposée négligeable (absence de frottement),
l'accélération dela pesanteur g est considérée comme uniforme.
A_1_._ Le système d'étude est la fusée et tout ce qu'elle contient à l'instant
t. En
raisonnant sur ce système fermé, effectuer un bilan de quantité de mouvement et
en déduire l'expression de l'accélération de la fusée à l'instant t (figure 2).
Établir l'expression de la force, due à l'éjection des gaz, subie par la fusée.
A2. Quelle doit être la valeur minimale de cette force pour que la fusée
décolle ?
Calculer l'accélération à l'instant initial. Est--elle supportable pour un être
humain ?
Données : la masse totale de la fusée ( m0 = mm + mgazo ) vaut 460 tonnes ;
l'accélération
dela pesanteur au sol est go = 9,8 ms"? ; le débit total de gaz s'élève à 1, 8.
103 kg. 8" et la
vitesse d'éjection des gaz, par réacteur est évaluée à 2,1.103 m. s".
A_Q, Établir l'expression approchée de la vitesse v(t) de la fusée au cours du
temps
pour un décollage vertical. Calculer la vitesse de la fusée au bout de 15 s.
02
Situation à Situation à
l'instant t l'instant t + dt
Figure 2
Zl(t) ", & a(t)/réacteur
lréacteur
B I ORBITES CIRCULAIRES
La fusée a mis sur orbite le satellite qu'elle transportait et celui--ci décrit
maintenant sa
première orbite basse circulaire.
81. Déterminer l'expression de la vitesse Va (dans le référentiel géocentrique)
que
doit posséder le satellite, considéré comme un point matériel, pour qu'il
décrive à
l'altitude de 200 kilomètres un cercle autour de la Terre.
Données : la masse de la Terre s'élève à 5,97.1024 kg, la constante universelle
de la
gravitation vaut 6,67.10'" m3.s'2.kg'1 ; le rayon dela Terre est RT = 6400 km.
BZ. Exprimer puis calculer la durée 17 d'une révolution du satellite sur une
telle orbite.
83. Qu'est-ce qu'un satellite géostationnaire ?
B4. Établir les caractéristiques de la trajectoire d'un tel satellite :
-- quelle est la nature de la trajectoire ?
-- dans quel plan s'efiectue-t--elle ?
- la norme de la vitesse est-elle constante ?
- quelle est l'altitude du satellite ?
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DEUXIEME PARTIE
PROPAGATION D'UNE ONDE ÉLECTROMAÿNÉTIQUE
A TRAVERS UN PLASMA (IONOSPHERE)
Dans cette partie, nous supposerons que la Terre est entourée d'une atmosphère
non
ionisée assimilée au vide (d'indice n = 1), elle-même entourée par I'ionosphère.
L'ionosphère se comporte comme un plasma, constitué principalement d'hydrogène,
gaz
ionisé peu dense, renfermant des particules chargées de deux types : N {par
unité de volume)
protons, de charge et masse unitaires +e = 1,610"9 C et m,, = 1,67.10'2 kg,
ainsi que N (par
unité de volume) électrons de charge et masse unitaires --- e et me = 9,
1.10'31 kg. Les interactions
entre protons et électrons sont négligées. Les permittivité et perméabilité du
plasma sont
assimilées à celles du vide : 80 = 8, 8. 1042 F.m" et ,uo = 47r.10°7 H.m"'. Le
milieu est linéaire de
sorte que toute grandeur sinusoïdale x peut s'écrire sous forme complexe : _x_
: _X_e""' .
Sous l'action d'une onde électromagnétigue harmonique plane polarisée
rectilignement
qui se propage suivant l'axe vertical Oz dans l'ionosphère (considéré comme un
plasma neutre
et peu dense), les particules chargées se mettent en mouvement.
A I PROPAGATION DE L'ONDE
Aj_,_ Appliquer le principe fondamental de la dynamique aux porteurs de charges,
animés d'une vitesse vp et Ve par rapport à un référentiel galiléen et soumis au
champ électromagnétique _Ê_ =_ÊO cos(oet --kz) , _Ë_ =_Ë_O cos(oet --kz) .
A quelle(s) condition(s) l'action du champ magnétique et celle du poids
sont--elles
négligeables ?
{l'amplitude du champ électrique est largement inférieure à 1010 V. m")
A2. Le régime permanent est supposé atteint. Déterminer l'expression complexe
de la
vitesse des porteurs de charge.
(la notation complexe __Ë_ = _Ë_0 eÏ(wt'kz) avec j'°' : ----1 pourra être
utilisée)
En déduire l'expression complexe du vecteur densité volumique de courant de
charges électriques gé,eC..
A3. Montrer que, dans ce cas, le plasma est équivalent à un milieu conducteur
ohmique dont la conductivité complexe 0 sera exprimée en fonction de
2 __ NE2 2 __ N92
pe "' ' pp "'
80 me 80 ...
(x)
w ,aoetoe.
P
, . . 1 -
Calculer les valeurs numenques des pulsatnons co..., et oepp pour N = 101 rn 3.
Comparer les contributions respectives des protons et des électrons et en
déduire
l'expression simplifiée de g.
A4. En supposant que les propriétés électriques et magnétiques du plasma sont
celles du vide, écrire les équations de Maxwell correspondantes.
Montrer que l'équation de Maxwell--Ampère s'écrit sous la forme suivante :
2 ....
("99 )ÊË-._
002 ôt
æîä=eouo<1-- 5 Établir les équations de propagation satisfaites par les champs électrique et magnétique dans le plasma. En déduire que l'onde est transversale. Pour l'onde sinusoïdale étudiée É=È ej(°°t"kz), uelle est, dans ce cas, 0 l'expression de l_<_2 en fonction de co, oepe et c (célérité de la lumière dans le vide). Le milieu est--il dispersif ? Que se passe-t--il si 03 < oepe ? Calculer la valeur correspondante de la densité volumique de particules. Données : pulsation plasma de l'ionosphère terrestre cape = 8, 7. 105 rad. s", célérité de la lumière dans le vide 0 = 3.108 m. s". Exprimer la vitesse de phase vd), puis la vitesse de groupe V9 = %--Ë. Représenter ces vitesses en fonction de (0. Que se passe--t--il pour 03 >> oepe ?
L'indice optique complexe de l'ionosphère est défini par [] =--Ïlg.
(:)
Établir l'expression de n_2 en fonction de co et oepe.
En déduire les expressions de n dans les deux cas @ < cape et m > oepe .
Une onde électromagnétique plane harmonique polarisée rectilignement est émise
depuis le sol verticalement suivant la direction 02 normale à la surface de
séparation
atmosphère--ionosphe're (figure 3).
E_igyLe_ê
il
77777777777777777777777777
Terre
Les champs associés aux ondes électromagnétiques incidente, réfléchie et
transmise
sont les suivants :
Champs électriques Champs magnétiques
Onde incidente E,- = _Ë_0, exp j(wt --- koz) ëx Ë, : %?!-- exp j(wt -- koz) ëy
...-->
Onde réfléchie E, = Q,, exp j(æt + koz) ëx E, = --=E=ËL exp j(wt + koz) ë,
Onde transmise _Ë_t : _Ë--0t exp j(wt -- _l_<_z) ëx _Èt : QËËt-- exp j(æt ---- _l_<_z) ëy A partir des conditions aux limites en z = 0 à l'interface atmosphère-ionosphère, écrire deux relations qui lient les amplitudes EOi , EO... Em et _n. Exprimer le coeffrcrent de reflexron en amplitude défini par [=ÊQf--. --Oi Tournez la page S.V.P. 6 A10. Déterminer, en 2 = 0, les expressions de la valeur moyenne temporelle de la norme du vecteur de Poynting incident <" ÎÎ0i"> et réfléchi <" fi0rH>.
En déduire l'expression du facteur de réflexion en puissance @, défini par
<"ÎÏOrH>
"=...
, en fonction de _n_.
A11. Préciser, dans les deux cas (» < cape et (» > oe l'expression de 9%.
Tracer l'allure
Pe'
de @ en fonction de ---(Î)--, puis commenter cette courbe. Citer des
applications.
oepe
A12. Déduire de la courbe précédente l'allure de o7 , coefficient de
transmission en
puissance. Proposer une méthode de mesure de la valeur de la pulsation cape.
B I INFLUENCE D'UN CHAMP MAGNETIQUE STATIQUE 980
A partir de maintenant, l'effet d'un champ magnétique statique ÿ30, sera pris
en compte ;
ce champ, uniforme, de l'ordre de 40 ,uT est porté par l'axe Oz, correspondant
à la direction de
propagation de l'onde. Toute force dissipative sera négligée.
En l'absence de champ électrique et en présence du champ magnétique 980, une
particule P, non relativiste, de masse m et de charge q est animée au point 0
et à l'instant initial
dela vitesse vo : VO ex évaluée par rappon' à un référentiel galiléen.
_B_1_._ Déterminer le mouvement ultérieur de P, puis tracer sur une figure
(pour 980 >O)
l'allure de la trajectoire en distinguant les cas q > 0 et q < 0 . Quelle est l'influence de la masse sur la trajectoire d'une particule de charge qOEo m un proton ? Calculer puis comparer ces deux grandeurs. Justifier le sens des trajectoires observées. q > 0. Que représente la quantité , notée oeoe pour un électron et m.... pour
Il est rappelé que le plasma est constitué d'électrons et de protons de même
charge, de
même densité volumique particulaire N = 1011 m3, de masses respectives me et
mp. Il règne
dans ce plasma un champ magnétique uniforme et statique E@"3"5:%0ë; avec ?BO>O.
Les
électrons et les protons du plasma sont soumis uniquement aux actions de @ËB et
d'un champ
électrique Ë . Ce champ Ë résulte dela séparation des particules chargées du
plasma. L'action
de Ë engendre un mouvement des charges, entraînant une nouvelle distribution
des charges,
qui de nouveau modifie le champ électrique E, qui agit sur les charges et ainsi
de suite.
Le problème se limite au cas correspondant à un champ E contenu dans le plan
xOy. La
permittivité et la perméabilité demeurent celles du vide.
. . ------- aË -_ -- a? av
La prolectron des vecteurs E,------,vp,Ve, p e
, selon la direction du champ électrique
ôt ôt ôt
ôv
sera notée E,---êË,v,,,v,,,-----------'--'--,ôV9
Ôt Ôt Ôt
. Il sera admis que la projection, selon la direction du champ
, . 6 ev -- 6 ev ----
electrrque, du vecteur --------- e /\ Bo vaut oeâe V,, et du vecteur ------
----------'-°-- A Bo vaut --- oeâ, vp .
ôt me ôt mp
7
_B_Z_._ A partir de l'équation de Maxwell--Ampère, écrire l'équation
différentielle vérifiée
parle champ électrique et les vitesses des porteurs de charge.
_B_ç_. A partir du principe fondamental de la dynamique appliqué à chaque
particule et
projeté suivant la direction du champ électrique, établir les équations
différentielles couplées vérifiées, parallèlement au champ électrique, par les
composantes des vitesses des électrons _\_/_e et des protons _\_/_p en fonction
de oeoe,
coop, oepe et (ppp.
Ce système admet une solution non nulle si la pulsation des oscillations
vérifie, compte
tenu des valeurs numériques des diverses fréquences woe, wep, cape et m..., la
relation suivante :
2
2 ... 2 2 2 2 2 2
_B5_. Déduire de cette expression que le plasma peut avoir un mouvement
d'oscillations caractérisé par deux pulsations propres, dites pulsation hybride
haute co... et pulsation hybride basse m..., que l'on exprimera en fonction de
oepe,
oepp, oeoe. Calculer ou... et (|)... à l'aide des données.
Dans cette partie, le mouvement des protons sera à nouveau négligé devant celui
des
électrons. Une onde TEM de champ électrique Ë= E 0e' ""' "> se propage au sein
du milieu. Le
champ EO est tel que __Êo : _E_ou : _E__OX ex + _E_Oy ey. Le champ électrique
est toujours porté parle
vecteur unitaire & contenu dans le plan xOy. Les permittivitê et perméabilité
sont celles du
vide. Le champ magnétique B de l'onde sera négligé devant 930.
BS. Montrer que les composantes de la vitesse des électrons vérifient les
relations
suivantes :
(joeeme _E_X --e29305y )
mâ (|) 2--92@32
V __(e2980g + 1oeem _E_y)
"y me 2oe2--e2ÿ32
En déduire les composantes de la densité volumique de courant Jé,eC due au
déplacement des électrons.
y..x=
BG. En exploitant l'équation de Maxwell--Ampère, déterminer la nouvelle
équation de
dispersion. Que se passe--HI si JéleC---- _ Ô?
Projeter l'équation précédente suivant les directions ex et ëy, puis montrer que
les composantes E.__X et _E_y du champ électrique vérifient une relation du
type :
aÊx "iBÊy : 0
jB._E_X + OE_E_y : 0
Préciser l'expression des constantes on et B.
87. Justifier l'existence de deux solutions k+ et k.. pour le vecteur d'onde k.
Déterminer pour chaque cas les densités volumiques de courant J + et J ..
Commenter ces résultats.
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TROISIEME PARTIE
ÉLECTRONIQUE DE RÉCEPTION
Pour la transmission de messages, le principe de la modulation d'amplitude ou de
fréquence d'une tension vp(t) (la porteuse) de fréquence élevée est souvent
utilisé. Le message
à transmettre est représenté par une tension v...(t) (le signal modulant) qui
s'ajoute àla porteuse.
Lorsque la somme de ces deux signaux est reçue, soit parle satellite, soit sur
la Terre, il faut
alors la démodulen c'est--à--dire extraire la tension v...(t).
Cette partie étudiera quelques montages utilisés lors dela détection.
A / MODÈLES ÉQUIVALENTS D'UN CONDENSATEUR RÉEL
Un condensateur réel peut se représenter par des modèles équivalents, un modèle
parallèle (figure 4) et un modèle série (figure 5). Un condensateur réel (
C,ée,) dont la capacité C
est de 1 ,uF est chargé sous une tension initiale Ua = 5 V. La tension à ses
bornes est mesurée
grâce à un voltmètre de résistance interne R,; = 10 M0. Le relevé de la tension
lors de la
décharge est celui de la figure 4.
Figure 4
Le condensateur réel est, avec une très bonne approximation, presque parfait
(capacité
pure).
A1. A partir de l'observation du relevé expérimental (figure 4), évaluer Rf.
_A_2_. À partir de cette même courbe, montrer que le modèle série (figure 5)
n'est pas
envisageable dans ce cas.
B I ÉTUDE D'UN FILTRE SIMPLIFIÉ
Le premier étage de la chaîne de démodulation est modélisé par le schéma de la
figure 6. La résistance traduisant les imperfections dela bobine et du
condensateur est notée r'.
Pour simplifier les calculs, choisissons de prendre r = r' .
Figure 6
9
81. Déterminer la fonction de transfert de ce quadripôle, écrite sous la forme
H(l®)=-----fiL----
1+jQ(£--ËÊJ
wo @)
du module de _H_(joe) en fonction de co. Quelle est la nature de ce filtre ?
Calculer les valeurs de ces grandeurs pour C = 1 uF, L = 100 mH et r = 1 MQ.
. Identifier les expressions de Ho, @@ et Q. Tracer l'allure
La courbe précédente peut être modélisée parla fonction suivante (figure 7) :
|H(jw)l= HO w+s, pour wO--2Aw de la tension V3(t).
Exprimer
cette valeur moyenne en fonction de Q, U+ et a, toujours avec l'hypothèse que
eQ << 1. Conclure. A V ... FIN DE L'ÉPREUVE
