Centrale Physique et Chimie 2 PSI 2025

PSI
4 heures

Calculatrice autorisée

2025

Physique-chimie 2

Le vélo hybride : toujours électrique, même sans batterie
Le problème comporte 3 parties indépendantes qui abordent le fonctionnement des 
éléments du vélo hybride présentés
figure 1. Le formulaire et les données sont regroupés en fin d'énoncé.
Certaines questions, repérées par leur numéro souligné, ne sont pas guidées et 
demandent de l'initiative de la part du
candidat. Les pistes de recherche doivent être consignées par le candidat sur 
sa copie ; si elles sont pertinentes, elles
seront valorisées. Le barème tient compte du temps nécessaire pour exploiter 
ces pistes et élaborer un raisonnement,
il valorise ces questions de façon très significative.

Figure 1 ­ Les différents éléments du vélo hybride.
Le vélo étudié associe des supercondensateurs, pour une récupération rapide de 
l'énergie, à une petite batterie lithiumion de 80 Wh (650 grammes) pour 
améliorer l'autonomie. En ville, l'autonomie de ce vélo est celle d'un vélo 
classique
doté d'une batterie de 400 Wh. Le vélo est équipé de roues de 26 pouces (rayon 
Rr = 0,35 m).
L'articulation entre les supercondensateurs et la batterie lithium-ion du vélo 
hybride est présentée figure 2.
DC
DC

AC

·

MSAP

DC

·

Pack de
Hacheur SEPIC
supercondensateurs

Onduleur MLI

Moteur synchrone
à aimants permanents

Batterie lithium-ion
Figure 2 ­ Schéma de fonctionnement du vélo hybride.

1 / 12

I ­ Le pack de supercondensateurs
Les supercondensateurs sont conçus pour stocker et restituer rapidement de 
l'énergie électrique, en quantité bien
supérieure aux condensateurs usuels et avec des temps de réponse et des 
puissances échangées bien meilleurs que ce
que permettent les batteries électrochimiques classiques.
+

+ 

- 

-

potentiel

potentiel

U
>0
2

-

-a -a + 

O

#"
ux

U
<0 2 x a- a Figure 3 ­ Schéma du condensateur à double couche. À la différence d'un condensateur usuel, les deux électrodes d'un supercondensateur ne sont pas séparées par un isolant mais par une solution contenant des ions. Lorsque le condensateur est déchargé, les ions sont répartis aléatoirement dans la solution. Lorsqu'il est chargé, les ions négatifs sont attirés vers l'électrode portant une charge positive et réciproquement, ce qui conduit à une accumulation d'ions au voisinage de chaque électrode formant une double couche électrochimique. Dans toute la suite, on considère le supercondensateur comme un système purement unidimensionnel d'axe (Ox), de surface transverse S et d'épaisseur totale 2a ( S  a). Les propriétés électromagnétiques du solvant de l'électrolyte sont analogues à celles du vide, mais avec une permittivité diélectrique 0 r au lieu de 0 . I.1 ­ Étude d'un supercondensateur Compte tenu de la très faible épaisseur de la double couche électrochimique, on la modélise simplement par une distribution surfacique de charge   , distante des électrodes d'une distance a (voir figure 3). En pratique,  peut atteindre une dizaine de nanomètres alors que a peut difficilement être inférieure au micromètre. Ce modèle est appelé modèle de Helmholtz. #" Q1. Déterminer le champ électrostatique Ep créé par un plan infini de densité surfacique de charge . En déduire le #" champ électrostatique E entre les deux électrodes du condensateur double couche (-a < x < a). Q2. En raisonnant sur le potentiel électrostatique, montrer que U= 2a 2(a - ) - . 0 r 0 r Q3. Justifier qu'en régime indépendant du temps, on a   = . En déduire l'expression de la capacité C0 du supercondensateur en régime indépendant du temps. Comparer C0 à la capacité d'un condensateur de même géométrie dans lequel la solution ionique serait remplacée par de l'air, de permittivité diélectrique 0 . I.2 ­ Modèle électrocinétique du supercondensateur Contrairement aux condensateurs usuels dont le temps de charge (ou de décharge) est essentiellement gouverné par la résistance du circuit extérieur, le temps de réponse des supercondensateurs, et donc la puissance maximale qu'ils peuvent délivrer, est dû au temps nécessaire pour former la double couche électrochimique par transport de charge au sein de l'électrolyte. À l'instant initial t = 0, le supercondensateur est soumis à un échelon de tension U à ses bornes. Les doubles couches se forment progressivement, partant de   (t = 0) = 0. Les expressions des champs électriques sont celles calculées à la question Q1, avec   =  a priori. On note  la conductivité électrique de la solution, sachant que les doubles couches (-a < x < -a +  et a -  < x < a) ne permettent pas le déplacement d'ions et sont donc isolantes. Q4. Réaliser un bilan de charge entre t et t + dt pour le plan chargé se trouvant en x = a -  et montrer que sa charge q  vérifie dq -   (t) = S. dt 0 r 2 / 12 Q5. En déduire que d + = U. dt a0 r 2a Identifier un temps caractéristique  d'évolution de   . On modélise le supercondensateur par l'association d'un condensateur de capacité C0 en série avec une résistance R0 . Déterminer R0 en fonction des paramètres du problème. I.3 ­ Dimensionnement du pack de supercondensateurs du vélo hybride Pour déterminer expérimentalement les paramètres R0 et C0 du supercondensateur, on réalise le montage de la figure 4, dans lequel le supercondensateur est associé en série à une source idéale. On réalise un test de caractérisation dans lequel l'intensité I varie avec le temps comme indiqué sur la figure 5. Q6. D'après les résultats du test de caractérisation présentés sur la figure 5, déterminer les valeurs numériques de R0 et C0 . On note VN la tension nominale d'une cellule. U (V) C0 R0 I(A) VN = V1 = 3,00 V V2 = 2,95 V V4 = 1,55 V V3 = 1,50 V U 0 T = 14,5 s -33 A I Figure 4 ­ Modèle du supercondensateur. t(s) Figure 5 ­ Test de caractérisation en décharge. La courbe du haut représente les variations de la tension U et celle du bas les variations de l'intensité I. Bien que les supercondensateurs puissent être totalement déchargés, il est d'usage de ne pas les décharger complètement au cours de leur utilisation. En effet, les faibles niveaux de tension ainsi que les forts courants associés (à puissance constante) peuvent complexifier la gestion du pack. Classiquement, la valeur minimale de tension est choisie à la moitié de la valeur nominale. Masse Hauteur Diamètre Courant maximal 70 g 62,7 mm 35,2 mm 33 A Figure 7 ­ ... et quelques unes de ses caractéristiques. Figure 6 ­ Un supercondensateur... Le pack de supercondensateurs doit satisfaire aux exigences suivantes : · le pack alimente un moteur synchrone à aimants permanents de 250 W sous une tension de 36 V ; · sans utiliser la batterie lithium-ion, le pack de supercondensateurs doit permettre de franchir des dénivelés de 60 m avec un niveau d'assistance faible de 50 % (rapport de l'énergie fournie par le pack sur l'énergie fournie par le cycliste). Cela permet de se déplacer dans la grande majorité des villes de France. Q7. En explicitant les hypothèses simplificatrices réalisées, estimer le nombre de condensateurs que le pack doit comporter pour répondre aux exigences en respectant les contraintes mentionnées. Préciser l'assemblage nécessaire (en série et/ou en parallèle). Des données numériques utiles figurent à la fin de l'énoncé. 3 / 12 I.4 ­ Interface entre les supercondensateurs et l'ensemble onduleur-moteur synchrone Contrairement à la batterie lithium-ion, les supercondensateurs sont soumis à de fortes variations de tension. Cela impose l'utilisation d'un hacheur pour les connecter au reste de l'électronique du vélo. Ce convertisseur est de type SEPIC (Single Ended Primary Inductor Convertor), représenté sur la figure 8. Figure 8 ­ Le convertisseur SEPIC. On utilisera les caractéristiques de fonctionnement et hypothèses suivantes : · les interrupteurs travaillent à la fréquence de découpage f = 300 kHz et avec le rapport cyclique  ; · sur une période de fonctionnement, l'interrupteur K1 est fermé sur l'intervalle [0,T ], ouvert sur l'intervalle [T,T ] et l'interrupteur K2 est ouvert sur l'intervalle [0,T ], fermé sur l'intervalle [T,T ] ; · chaque raisonnement sera mené dans l'hypothèse du régime périodique établi ; · on considérera, sauf mention contraire, les composants de commutation comme idéaux ; · la tension de sortie sera Vs = 36 V ; · la tension d'entrée Ve est celle aux bornes du pack de supercondensateurs. Elle est supposée constante. Sa valeur est comprise entre 27 V et 54 V ; · l'intensité du courant de sortie est considérée constante. Sa valeur est Is = 10 A ; · on tolère des ondulations relatives (par rapport aux valeurs moyennes) de 10 % pour l'intensité du courant d'entrée Ie et de 1 % pour la tension de sortie Vs . Q8. À partir d'un bilan de puissance, calculer la valeur moyenne maximale du courant d'entrée : Ie,max . Q9. Montrer que les valeurs moyennes de VL1 et VL2 sont nulles. En déduire la valeur moyenne < VC1 > de la tension
aux bornes du condensateur de capacité C1 .
Pour la suite, on considère que VC1 (t) < VC1 >.
Q10. En utilisant les hypothèses précédentes, tracer le chronogramme de la 
tension aux bornes de la bobine d'inductance L2 : VL2 (t).
Q11. En déduire le gain du convertisseur

Vs
en fonction de . Quel est l'intérêt du convertisseur SEPIC ?
Ve

En réalité, ce gain est limité par les résistances internes des différents 
composants. En tenant compte de la résistance
interne RL = 0,1Rc de la bobine d'inductance L1 , le gain devient
8

RL /Rc = 0
RL /Rc = 0,1

6
Vs
Ve 4
2
Vs
=
Ve

RL
1
(1 - ) 1 +
Rc (1 - )2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Figure 9 ­ Gain en fonction du rapport cyclique.
4 / 12

Q12. Calculer les deux valeurs extrêmes du rapport cyclique  pour les valeurs 
extrêmes de la tension d'entrée Ve .
Commenter ces résultats. Que se passerait-il si on laissait les 
supercondensateurs se décharger totalement ?
Dans les deux questions suivantes, on prendra les valeurs approchées  = 0,4 
pour Ve = 54 V et  = 0,6 pour
Vs = 27 V.
Q13. Calculer la valeur minimale de l'inductance L1 permettant que l'ondulation 
du courant d'entrée soit inférieure
à 10 % de sa valeur moyenne Ie , quelle que soit la valeur de la tension 
d'entrée dans l'intervalle [27 V; 54 V].
Q14. En supposant le courant de sortie Is constant, calculer la valeur minimale 
de C2 permettant de limiter l'ondulation maximale de la tension de sortie Vs à 
1 % de sa valeur moyenne, prise égale à 36 V, pour une tension
d'entrée Ve = 36 V.

II ­ Le recyclage de la batterie lithium-ion
Grâce à l'utilisation des supercondensateurs et la récupération d'énergie, il 
n'y a plus besoin d'une énorme batterie.
Celle du vélo hybride est ultra-compacte. L'intérêt écologique est de limiter 
le recours aux ressources rares. Le vélo
hybride utilise 5 fois moins de lithium, nickel, cobalt et manganèse qu'un vélo 
électrique classique. La capacité de la
batterie est limitée à 80 Wh contre 400 Wh pour un vélo sans supercondensateur.
Les métaux présents dans les batteries sont sujets à de fortes tensions sur le 
marché selon la situation géopolitique
pouvant conduire à des risques majeurs d'approvisionnement. Il faut donc 
économiser leur utilisation mais aussi
préparer le recyclage de la grande quantité de batteries lithium-ion des 
véhicules électriques qui arriveront sur le
marché d'ici une dizaine d'années.
Plusieurs procédés de recyclage existent aujourd'hui, mais ils reposent sur la 
pyrométallurgie qui ne permet pas de
récupérer tous les métaux et qui consomme beaucoup d'énergie.
Cette partie va s'intéresser à une voie nouvelle qui permettra de séparer les 
métaux : l'hydrométallurgie.
Le composant le plus difficile à recycler est l'électrode positive de type 
NMC111 de la batterie.
Sa formule chimique est LiNi1/3 Mn1/3 Co1/3 O2 (s).

II.1 ­ La lixiviation
La première étape appelée « lixiviation » vise à mettre en solution l'électrode 
solide. Il convient d'en comprendre le
mécanisme afin de l'optimiser.
On admet que Ni, Mn, et Co se comportent de la même manière, et qu'une phase 
intermédiaire Li1/m MO2 (s) (m > 1,
M = Ni, Mn ou Co) se forme dans un mécanisme à deux étapes. Le NMC111 est noté 
LiMO2 (s) par
 la suite. Les
notations HCl(aq), LiCl(aq) et MCl2 (aq) désignent respectivement les espèces 
ionisées H3 O+ + Cl- , Li+ + Cl-

et M2+ + 2 Cl- .
· Première étape de délithiation :

LiMO2 (s)+

2m - 2
m-1
m
2m - 2
4m - 4
HCl(aq) --
LiCl(aq)+
MCl2 (aq)+
Li1/m MO2 (s)+
H2 O()
2m - 1
2m - 1
2m - 1
2m - 1
2m - 1

· Seconde étape de dissolution :
1
LiCl(aq) + MCl2 (aq) + 2 H2 O() +
Li1/m MO2 (s) + 4 HCl(aq) --
m

1
1-
2m

Cl2 (g)

Ces deux réactions sont totales.
On note :
· x0 =
·

n0 (HCl)
le rapport entre les quantités initiales de HCl et de NMC111 ;
n0 (NMC111)

s
le rapport initial solide/liquide pour le NMC111 dans le solvant aqueux. Ce 
rapport est exprimé, par la suite,
l
en g · L-1 avec s la masse initiale de NMC111 solide exprimée en gramme et l le 
volume de la phase aqueuse
exprimé en litre.

Le rendement de lixiviation pour un réactif est le rapport entre la quantité de 
matière dissoute sous forme LiCl ou
MCl2 après réaction et la quantité de matière initiale de LiMO2 (s).
5 / 12

[MCl2 (aq)] mol · L-1

On réalise trois expériences en faisant varier les quantités initiales de 
NMC111 et HCl et donc le rapport x0 . Les
résultats sont rassemblés dans les figures 10, 11 et 12.

rendement

1
0,8
0,6
0,4

Li
M

0,2
0

0

50

100
t (min)

150

[MCl2 (aq)] mol · L-1

rendement

0,6
0,4

Li
M

0,2
100
t (min)

0,1
5 · 10-2
0

0

5 · 10-2

0,1

0,15

150

200

1,5

0,25

y = 2,14x - 1,42

1,25

R2 = 0,998

1
0,75
0,5
0,25
0

0

0,25

0,5

0,75

1

[LiCl(aq)] mol · L

1,25

1,5

1,25

1,5

-1

s
= 120 g · L-1 , [HCl]0 = 4 mol · L-1 à T = 54  C.
l
1,5
[MCl2 (aq)] mol · L-1

Figure 11 ­ Expérience B.

0,2

-1

s
= 20 g · L-1 , [HCl]0 = 4 mol · L-1 à T = 54  C.
l

0,8

50

R2 = 0,996

0,15

200

1

0

y = 2,12x - 0,23

0,2

[LiCl(aq)] mol · L

Figure 10 ­ Expérience A.

0

0,25

rendement

1
0,8
0,6
0,4

Li
M

0,2
0

0

50

100
t (min)

150

Figure 12 ­ Expérience C.

200

1,25
1
0,75
0,5
0,25
0

0

0,25

0,5

1

[LiCl(aq)] mol · L

-1

s
= 80 g · L-1 , [HCl]0 = 1 mol · L-1 à T = 54  C.
l

Q15. Justifier que les résultats expérimentaux indiquent que la première étape 
est instantanée et que la seconde est
lente.
Q16. Justifier que l'on a m  2,1.
Q17. Exprimer x0 en fonction de la concentration initiale en acide 
chlorhydrique [HCl]0 , de la masse molaire MNMC111
et du rapport s/l.
Calculer x0 pour chaque expérience.
Q18. Déterminer la valeur critique x1 telle que si x0 est inférieur à x1 , la 
seconde étape ne se produit pas. Pour
laquelle des trois expériences cette condition s'applique-t-elle ? Calculer les 
rendements en lithium Li et en M
pour cette expérience.
On étudie la cinétique de la seconde étape de dissolution. Il s'agit d'une 
réaction à solide consommable.
6 / 12

HCl est noté A(aq) et le Li1/n MO2 (s) est noté B(s) par la suite. Le bilan de 
cette étape est symbolisé par la réaction
ci-dessous, dans lequel  représente un coefficient stoechiométrique :
A(aq) + B(s)  produits
grain consommable n'ayant pas réagi
film externe limite
temps

front de réaction

CA
CAf

0

R(t)

r

Figure 13 ­ Profil de concentration du réactif aqueux autour du grain 
consommable en fonction de r (des
coordonnées sphériques).
Les éléments du modèle utilisé sont schématisés sur la figure 13. Les 
phénomènes physiques et chimiques mis en jeu
lors de la réaction sont :
· le transport du réactif aqueux à travers le film externe limite des 
particules, généralement par convection ;
· la réaction chimique qui est localisée au niveau du front de réaction ;
· le transport des produits aqueux à travers le film externe limite.
Le modèle qui permet de représenter ces phénomènes porte le nom de modèle à 
grain rétrécissant. Dans une version
simple, on suppose que tous les grains de solide sont des sphères de même rayon 
de départ R0 = 15,0 µm et l'on étudie
la décroissance de ce rayon R(t) au cours du temps.
Dans le cas général, la consommation des grains est contrôlée par les deux 
premiers phénomènes cités précédemment.
Cependant, dans certains cas limites, il se peut que l'un des deux phénomènes 
soit beaucoup plus lent que l'autre
et qu'il impose la vitesse de consommation des particules. On parle alors de 
phénomène limitant. Par exemple, si la
réaction chimique est très lente par rapport au phénomène de convection, ce 
sera le phénomène limitant. La vitesse
de consommation des particules sera contrôlée par la réaction chimique et on 
parlera de régime chimique.
On note FA le flux molaire de A à travers le film externe limite parvenant au 
front de réaction. Ce flux s'exprime selon
la loi phénoménologique de transfert
FA = kD S(CA - CAf )
où
· CA désigne la concentration molaire du réactif aqueux A en dehors de la 
couche limite, supposée constante
durant toute la dissolution du solide B ;
· CAf désigne la concentration en réactif aqueux A au niveau du front de 
réaction en r = R ;
· kD est la conductance de transfert à travers le film externe limite (exprimée 
en m · s-1 ). En général, kD augmente
D
pour les grains de petite taille. On trouve dans la littérature la relation kD 
= R(t)
, avec D = 1,25×10-5 m2 · s-1 ;
· S est la surface de la sphère de rayon R(t) du front de réaction.
Q19. Justifier qualitativement la loi phénoménologique liant FA à kD , S, CA , 
CAf .
La réaction de consommation du produit B par réaction avec le réactif A est 
d'ordre 1 par rapport à l'espèce A et
d'ordre 0 par rapport à l'espèce B. La quantité de matière de A consommée par 
unité de temps s'écrit
FAC = kC SCAf ,
où kC est une constante de vitesse de valeur kC = 1,00 × 10-3 m · s-1 .
7 / 12

B
Q20. On admet dans la suite que FA = FAC . Interpréter qualitativement cette 
relation. Montrer que FA = - 1 dN
dt ,
où NB est la quantité de matière du solide B.

CA
avec Réq une « résistance de diffusion » que l'on exprimera en
Q21. Exprimer le flux FA sous la forme FA = R
éq
fonction de D, kC et R.

Q22. Soit NB (R) la quantité de matière du solide B comprise dans la boule de 
rayon R. Exprimer NB (R) en fonction
de B , MB et R, avec B la masse volumique de B et MB sa masse molaire.
Q23. Déduire des deux questions précédentes une équation différentielle à 
variables séparables portant sur l'évolution
du rayon R de la sphère. Puis établir la relation suivante :

 2 !
R
R
+ cin 1 -
t = film 1 -
.
R0
R0
On exprimera :
·film le temps caractéristique de transport dans la couche externe limite ;
·cin le temps caractéristique de consommation par la réaction chimique ;
en fonction de B , MB , R0 , CA , D,  et kC .
cin
. S'agit-il d'un contrôle cinétique ou convectif ?
Q24. Calculer numériquement le rapport film

II.2 ­ La précipitation sélective
On souhaite séparer les ions cobalt(II) Co2+ et manganèse(II) Mn2+ en réalisant 
une précipitation sélective des
hydroxydes métalliques.
Q25. Lorsqu'on dissout dans l'eau de l'hydroxyde de manganèse(II) Mn(OH)2 (s) 
jusqu'à saturation, la solution possède
un pH égal à 9,9. Montrer que le produit de solubilité de l'hydroxyde de 
manganèse(II) est égal à pKs = 12,6.
On dispose d'une solution contenant initialement des ions cobalt(II) Co2+ à la 
concentration C0 = 0,069 mol · L-1
et des ions manganèse(II) Mn2+ à la même concentration C0 . On souhaite 
précipiter plus de 99 % du cobalt sans
précipiter plus de 1 % du manganèse.
Q26. Écrire la condition de précipitation de chacun de ces solides. Puis 
exprimer le pH de début de précipitation en
fonction du pKs pour chacun des hydroxydes métalliques.
Q27. Effectuer l'application numérique pour chaque hydroxyde métallique et 
représenter les pH d'apparition des
précipités sur un axe gradué.
Q28. Dans quel domaine de pH doit-on se placer pour précipiter sélectivement au 
moins 99 % de l'un des ions sans
faire précipiter l'autre ? En déduire une méthode de séparation des cations 
métalliques considérés. Est-il possible
également de précipiter sélectivement les ions Ni2+ ?

III ­ Le moteur roue synchrone et son pilotage
Cette partie aborde l'élément central du vélo hybride. Il s'agit du moteur 
synchrone à aimants permanents. Il y a de
nombreuses contraintes liées à l'utilisation de ce type de moteur pour cette 
application :
­ faibles dimensions ;
­ faibles vitesses de rotation ;
­ couple important.
La commande du moteur est également soumise à des contraintes. Elle doit 
permettre de piloter le couple délivré par
le moteur en évitant les à-coups nuisibles au confort d'utilisation. Une étude 
mécanique montre que le moteur doit
pouvoir délivrer un couple de 50 N · m.

8 / 12

III.1 ­ Dimensionnement du moteur roue synchrone à aimants permanents
Pour commencer, nous étudions un moteur dont le rotor comporte 2 paires 
d'aimants permanents. Les vecteurs
#"
aimantations de ces quatre aimants Mi sont radiaux et ont la même norme M0 .
#" #"
#"
#"
#" # "
On rappelle que dans les aimants le lien entre B, H et M est B = µ0 (H + M ).
En dehors des zones aimantées, le rotor et le stator (zones hachurées de la 
figure 14) sont réalisés dans un matériau
ferromagnétique linéaire de splitéabilité magnétique relative µr infinie. Ils 
sont séparés par un entrefer d'épaisseur le
constante et de splitéabilité magnétique relative égale à 1. Le rotor, le stator 
et l'entrefer ont une hauteur h. Cette
dimension transversale est considérée suffisamment grande pour négliger les 
effets de bords, c'est-à-dire que dans toute
la suite on considèrera une invariance par translation selon l'axe (Oz).
On considère tout d'abord que le rotor est fixe.
y

#" S
M2
N

entrefer
#"
M3

stator

N S

z

·

S N

x
Rs >> le

rotor
aimant
collé au rotor

#"
M1

le
#" N
M4
S

la

Figure 14 ­ Moteur synchrone outrunner à 2 paires d'aimants permanents.
Q29. On s'intéresse dans un premier temps au champ magnétique créé par le 
rotor. Recopier, sur la copie, le schéma
du rotor et du stator. Tracer l'allure de la carte du champ magnétique, en 
justifiant. On orientera les lignes de
champ. Pour s'aider, on pourra remplacer les quatre aimants par quatre spires 
de courant.
#"
Q30. On note Br () = B · #"
e r la composante radiale du champ magnétique (où #"
e r est le vecteur unitaire radial des
coordonnées cylindriques d'axe (Oz)) dans l'entrefer. Quelle est sa parité ? 
Quelle est sa période ? Tracer Br ()
sur le domaine [-,]. On note BM la norme de Br (), considérée partout la même 
dans l'entrefer.
On crée un champ magnétique dans l'entrefer de norme BM = 1,0 T.
La géométrie exacte des aimants fait que l'on peut confondre Br () avec le 
terme fondamental de son développement
4
en série de Fourier, supposé d'amplitude égale à B1 = BM . Le rotor tourne 
maintenant autour de l'axe (Oz). Sa

rotation est repérée par l'angle r (t) (r = 0 sur la figure 14).
#"
Q31. Montrer que la valeur du champ rotorique Br en tout point fixe de 
l'entrefer repéré par l'angle  est donnée par
#"
Br (, t) = B1 cos[2( - r (t))] #"
e r.
Les enroulements statoriques comportent p paires de bobines alimentées par des 
courants sinusoïdaux de pulsation 
#"
et créent dans l'entrefer un champ statorique tournant de la forme Bs (, t) = 
B0 cos(p - t) #"
e r , avec B0 = 1,0 T.
On note Ve = 2Rs hle le volume de l'entrefer.
Q32. Calculer l'énergie magnétique Eem contenue dans l'entrefer. Pour quelle 
valeur de p cette énergie est-elle fonction
de l'angle r ? On suppose que p garde cette valeur par la suite.
Eem
#"
Q33. Calculer le couple des actions électromagnétiques appliquées au rotor  =  
. #"
ez =
.
r
Q34. On suppose que le rotor tourne à la vitesse angulaire , c'est à dire que r 
(t) = t - . Pour quelle valeur de
 la valeur moyenne du couple est-elle non nulle ?
9 / 12

Q35. Calculer le couple maximal. Faire l'application numérique. Comment 
atteindre le couple maximal, max = 50 N · m,
qui est la valeur nécessaire pour atteindre les performances visées ? Pour ces 
dimensions du moteur, on peut
installer au maximum 8 paires de pôles.

Figure 15 ­ Vue éclatée du moteur.

III.2 ­ L'onduleur MLI
Le moteur est alimenté par un onduleur à commande MLI (Modulation de Largeur 
d'Impulsion). Nous simplifierons
l'étude de l'onduleur par le schéma monophasé de la figure 16. La charge est 
constituée d'une des phases du stator.

K1

K2

E
vch

K1

K2

Figure 16 ­ Onduleur MLI.
Le fonctionnement des interrupteurs permet d'obtenir, aux bornes de la charge, 
la tension vch (t) = vch,0 (t) en forme
de créneaux à paliers nuls, représentée sur la figure 17. Ici, le but est que 
le signal vch (t) s'approche au mieux d'un
signal sinusoïdal.
vch,0
E

 + 0
0

0

2

 - 0

3
2

2 - 0

2
t

-E

Figure 17 ­ Signal de base.
Le développement en série de Fourier du signal vch,0 (t) , de période T =
+

vch,0 (t) =

4E X
b2p+1 sin[(2p + 1)t] avec
 p=0

b2p+1 =

10 / 12

2
, est donné par

1
t0
cos[(2p + 1)0 ] et 0 = 2 .
2p + 1
T

Q36. Présenter sous la forme d'un tableau, les séquences possibles des états 
des interrupteurs K1 , K2 , K1 et K2 dans
cet ordre, permettant d'obtenir vch (t). Les états ouverts ou fermés seront 
systématiquement notés 0 ou 1. Sur
T
une période T , la durée totale de fermeture, ou d'ouverture, de chacun des 
interrupteurs est .
2
On définit le taux global de distorsion harmonique par
H =

p

V 2 - Vf2
Vf

où V est la valeur efficace du signal vch (t) et Vf celle du fondamental.
Q37. Quelle valeur de t0 permet d'éliminer l'harmonique de rang 3 (p = 1). 
Exprimer alors V et Vf en fonction de E
et 0 puis calculer numériquement le taux de distorsion.
Ce taux de distorsion est trop important pour éliminer les à-coups dans le 
pédalier du vélo. Il est nécessaire d'éliminer
davantage d'harmoniques du signal vch (t). On adopte la commande représentée 
sur la figure 18.
vch
E
3
2
0

2
4
6
1 3 5

2

2
t

-E

Figure 18 ­ Commande optimisée d'alimentation.
E
On souhaite fixer la valeur efficace de vch (t) à V =  et faire en sorte que le 
premier harmonique non nul après le
2
fondamental (p = 0) soit celui de rang 13 (p = 6).
Q38. Exprimer vch (t) comme une combinaison linéaire des vch,i (t), i allant de 
1 à 6.
vch,i
E

 + i
0

i

2

 - i

3
2

2 - i

2
t

-E

Figure 19 ­ Signal vch,i (t).
Q39. Montrer qualitativement que l'on peut choisir les 6 paramètres i=1,...,6 
pour que l'harmonique de rang 13 soit
E
le premier non nul et que V =  . Écrire explicitement le système vérifié par 
les i sans chercher à le résoudre.
2

11 / 12

Données et formulaire
Données numériques partie I
Masse du vélo
Masse du cycliste
Accélération de la pesanteur

Mvélo = 20 kg
Mcycliste = 80 kg
g = 9,81 m · s-2

Données numériques partie II
Constante d'Avogadro
Constante des gaz parfaits
Produit ionique de l'eau
Masse molaire du NMC111

Na = 6,02 × 1023 mol-1
R = 8,31 J · K-1 · mol-1
Ke = 10-14
MNMC111 = 97,0 g · mol-1

Données thermodynamiques à 298 K :
Co(OH)2 (s)
Ni(OH)2 (s)
Li(OH)(s)
Produit ionique de l'eau

pKs2 = 16
pKs3 = 16
très soluble
pKe = 14

Données numériques partie III
µ0 = 4 × 10-7 H · m-1
Rs = 4,5 cm
h = 2,0 cm
le = 0,7 mm

Formulaire
2 cos(a) cos(b) = cos(a + b) + cos(a - b)

Fin

12 / 12

P085 - 2 mai 2025 - 10:01:49 c b e a

Perméabilité du vide
Rayon du stator du moteur synchrone
Hauteur du stator du moteur synchrone
Largeur de l'entrefer du moteur synchrone