Centrale Physique et Chimie 2 PSI 2021

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Ci Physique-chimie 2 ri
S oN

_ LR --
CONCOURS CENTRALE-SUPÉLEC 4 heures Calculatrice autorisée ON

Conception technique d'une éolienne

Ce problème étudie les contraintes techniques liées à la conception des 
éoliennes, en accordant -- sauf en partie I
-- une attention particulière aux éoliennes dites de Darrieus de type H (Figure 
1b).

a) Éoliennes à b) Éolienne Darrieus de type H
axe horizontal

Figure 1 Différents types d'éoliennes

Certaines questions, repérées par une barre en marge, ne sont pas guidées et 
demandent de l'initiative de la
part du candidat. Les pistes de recherche doivent être consignées par le 
candidat sur sa copie ; si elles sont
pertinentes, elles seront valorisées. Le barème tient compte du temps 
nécessaire pour explorer ces pistes et
élaborer un raisonnement, il valorise ces questions de façon très significative.

Des données numériques et un formulaire figurent dans le document réponse. Des 
documents utiles sont regroupés
en fin d'énoncé.

I Enjeux énergétiques
Il est déconseillé de consacrer plus de 20 minutes à la résolution de cette 
partie pour laquelle on s'appuiera sur
les documents 1 à 5 en fin d'énoncé.

Pour diminuer les émissions de CO, engendrées par le transport routier, il est 
envisagé, à terme, de remplacer
2 P P ; ; , P
par des véhicules électriques l'ensemble des véhicules à moteur thermique 
utilisés par les particuliers.

Q 1. Calculer le supplément de consommation énergétique annuelle que cette 
conversion au tout électrique
occasionnerait. Cela demanderait-il de créer de nouvelles unités de production 
d'électricité ?

Le passage au tout électrique ne conduit à une diminution significative des 
émissions de CO, que dans la mesure
où l'énergie électrique est produite avec un bilan carbone très faible. 
L'utilisation d'énergie éolienne est, de ce
point de vue, une possibilité à étudier en gardant à l'esprit certains ordres 
de grandeurs évalués dans la question
suivante.

Q 2. Quantifier la puissance de crête nécessaire à la recharge de tous les 
véhicules électriques. Estimer la
surface d'un champ éolien permettant d'assurer cette production d'électricité. 
Commenter.

IT Conversion énergie éolienne en énergie mécanique -- éolienne

type Darrieus
On considère une éolienne à axe vertical, type Darrieus H, FAIRWIND 10 kW, 
implantée sur un site d'essais
dans l'Aude. Celle-ci à fait l'objet d'une étude de contrôle et a donc été 
instrumentée pour relever :
-- la production de l'éolienne sur une période de 6 mois,
-- la vitesse du vent à proximité de l'éolienne.
Les mesures effectuées sont reportés sur la figure 2 et synthétisées dans le 
tableau 1.

P035/2021-02-11 19:37:50 Page 1/10
11 AOÛ

10 AOOÛ
se) 3600
TT 8 3200
s | 2800 =
a m2
S 6 2400 É
2 --+-- Nombre de mesures D
= 5 --e-- Puissance moyenne | | 2000 5
©
= 4 1600 £
u2 ©
À 7
À 3 1200
2 800
1 AOÛ
0 0
0 1 2 3 4 D 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Vitesse du vent v,, (ms)
Figure 2 Mesures de contrôle sur site de l'éolienne FAIRWIND 10 kW.
Vitesse du vent (m:s ) Puissance moyenne (W) Nombre de mesures % du temps
1à5 867 8390 37%
6 à 10 5320 12460 54%
11 à 15 10236 2060 9%
Tableau 1 Synthèse des mesures de contrôle sur site de l'éolienne FAIRWIND 10 
kW.
Q 3. Quelle est l'énergie produite par cette éolienne sur une année ? Justifier 
votre raisonnement. Quelle

est la puissance moyenne produite sur une année.

On s'intéresse à la conversion de l'énergie éolienne en énergie mécanique sur 
cet exemple simple d'éolienne
Darrieus. Pour ce type d'éolienne, les pales sont verticales. La surface 
qu'elles décrivent lors de leur rotation est
un cylindre, appelé « cylindre éolien », de rayon À et de hauteur L.

L'étude suivante porte sur une éolienne à trois pales identiques.

L'éolienne est soumise à un vent constant de vitesse vd, = v,.EUR6.,. Après un 
régime transitoire, les pales tournent
à la vitesse angulaire w = 0 > 0 constante autour de l'axe Oz. Dans toute la 
suite de l'étude, le régime est
supposé permanent.

U À
» L--  \
/ R \
\
Ps \
\
l 0 \
I |
= Ô F- Hæ Z
|
' Cy . L
\ Er ,
\ -- /
\ EUR, Pa
\ /
\ /
\ k À 7
Eolienne Fairwind 10 kW Schéma vu de dessus

Figure 3 Paramétrage de l'éolienne type Darrieus H

P035/2021-02-11 19:37:50 Page 2/10 (cc) BY-NC-SA
On définit de plus (figure 3) :

-- le centre de poussée P; où s'appliquent les forces subies par la pale numéro 
: :

-- le référentiel À, -- (O,6,,EUR,, ü,) associé au sol auquel est ancré le mât 
de l'éolienne ;

-- Je référentiel À, = (P,,6,.,e,,u,) associé à la pale n°1.

-- la vitesse du vent au niveau de l'éolienne dans le référentiel À, est 
supposée uniforme et vaut v, avec

-- _ -- _ -- \ / ,. / DA . .
Vo = Voé, = (1 -- a)v, EUR, où a est appelé facteur d'interférence entre le 
vent et l'éolienne :

-- la vitesse de P, dans le référentiel À, est notée ü :
-- la vitesse apparente du vent dans le référentiel À, au voisinage de P, est 
notée w et est donnée par w = ü, --ü.

R
On définit le coefficient de vitesse de l'éolienne (TSR pour Tip Speed Ratio en 
anglais) comme À -- 2, Pour

U

l'étude suivante, on prendra À = 2,4, a = 0,37 et vu, = 6,0 mes !. _

Nous étudions dans un premier temps la pale n°1.

Q 4. Représenter sur la figure À du document réponse, pour chaque position de 
la pale, les vecteurs Up, --ù
et w.

Q 5. Montrer que la norme de w s'exprime par

w = vo 1/1 + 2À, sin 0 + \Y
avec À = À/(1 -- à).

On note a l'angle d'attaque, l'angle entre l'opposé de la direction du vent et 
de la direction tangente à la pale,
tel que à = (6, --w). La vitesse relative du vent définit l'angle d'attaque 
(figure 4).

Ja
D &
NS K » ë,.
w P,
y '
Ü \
O
(+ > T
(a Cr
Figure 4 Définition
de l'angle d'attaque a
cos Ü
Q 6. Montrer que tan à = ----------,
sin 0 + À)
Q 7. De facon qualitative, tracer a en fonction de 0. Obtenir numériquement 
l'intervalle des variations de a.

Chaque pale a un profil d'aile symétrique de type NACA 0012.

Figure 5 Définition de la corde AB = £ (en pointillés),
de ñ et de EUR pour le profil NACA 0012.

La résultante des forces exercées par le vent sur la pale est notée Fet se 
décompose en une force de traînée F,,

(Drag) dans la direction de l'écoulement et une force de portance F} (Lift) 
dans la direction perpendiculaire à
l'écoulement :

Les coefficients aérodynamiques de portance C', et de trainée C',, sont définis 
par
| >.
Fr = 57 LPSUN

= l _

P035/2021-02-11 19:37:50 Page 3/10 (C2) BY-Nc-SA |
où t£ est le vecteur unitaire dans la direction et le sens de la vitesse 
relative du vent w et ñ est le vecteur normal à
t dans le plan perpendiculaire à l'axe OZ, orienté vers l'extérieur de 
l'éolienne. On note p,,, la masse volumique
de l'air et S est la surface alaire de l'aile, c'est-à-dire la projection de 
l'aile sur le plan contenant la corde.

Les coefficients aérodynamiques dépendent de l'angle d'attaque. Les courbes 
donnant C,;(a) et Cj(a) sont
données figure 6 pour différentes valeurs du nombre de Reynolds Re. Pour une 
aile, on précise que la distance
caractéristique intervenant dans le nombre de Reynolds est la corde £.

0,25
---- Re = 5,0 x 10* D ---- Re = 5,0 x 10

ot 1|} - Re=5,0 x 10° 7 & 020!|  Re=50% 10° |
g | Re = 1,0 x 10° | nd Re = 1,0 x 10° |
a Q |
£ E |
o £ 0,15
2, d
= 0 T ' !
= = 0,10!:: l
© EE ' |
È $ | :
oO _] = Lei CD) 0,05 EN 5

0,00 CU RR nee Anne

--20 --10 0 10 20 --20 --10 0 10 20
angle (°) angle (°)

Figure 6 Coefficients de portance (Lift) et de trainée (Drag) en fonction de 
l'angle d'attaque exprimé en
degrés pour trois valeurs du nombre de Reynolds

Q 8. Justifier que, dans le cas des pales de l'éolienne et pour la valeur de À, 
considérée, en peut écrire en
première approximation que C,(a) & ka et CL,  C,. Estimer k.

Sauf mention contraire, on prendra dans la suite C, = 0 et C';(a) = ka.

Q 9. Exprimer la force F, exercée par le vent sur la pale n°1 dans la base 
(EUR, EUR,). Commenter l'effet de
chacune des composantes sur la rotation de l'éolienne.

Q 10.  Exprimer M,,, moment de la force F par rapport à l'axe Oz et montrer que

M , 1 -- Kkf(0)
cos? 0

(A, + sin 0)?
Exprimer le couple l, engendré par les trois pales sur le rotor de l'éolienne.

où f(0) = (1+2A5 sin 0 + \) . En déduire K.

Q 11.
£ 27
Le tracé de la courbe F(0) -- > f (6 -- n--) est fourni figure 7.
n=Û0

1,9

XX, =24
238
1,8 TU UN TU 0
D 1,7 2 ne / \ ," '
= D ° SK 2 NN ,°
1,6 A
1,5
0 60 120 180 240 300 360

o (©)
2 27
Fi 7 'Tracé de F(0) -- Ù Ô --
igure racé de F(6) > i( +n--)

Q 12. La puissance moyenne du couple est P = (T',)w. En déduire la puissance 
moyenne transférée au rotor
dans ce modèle. En donner une estimation numérique dans le cas considéré 
jusqu'ici. Donner un exemple concret
d'objet ou d'installation électrique susceptible d'être alimenté par cette 
éolienne.

Donnée : k = 6,3 rad !.
Page 4/10 CET

P035/2021-02-11 19:37:50
Q 13. Définir puis déterminer le débit d'énergie cinétique D traversant le 
cylindre éolien si l'éolienne était
absente. '

Q 14. Définir le coefficient de puissance n de l'éolienne qui représente le 
rendement moyen de l'éolienne
en énergie. L'exprimer en fonction de k, À, a et des données géométriques de 
l'éolienne. Faire l'application
numérique. Commenter.

Q 15. Quelle sera(seront) la(les) fréquence(s) des composantes sinusoïdales du 
couple ? Donner leurs valeurs
dans la plage de fonctionnement nominale, pour v. allant de 0 à 16m. * ?

Q 16. Montrer que la puissance de la force de traînée sur un tour est négative. 
Discuter de l'influence de C';,
sur la puissance moyenne que peut fournir une éolienne.

IIT Générateur

On étudie la production d'énergie électrique par l'éolienne au moyen d'un 
générateur utilisant des aimants
permanents. Il est constitué d'un stator intérieur cylindrique de diamètre D, 
et de longueur L,. selon EUR,. Le
rotor a un diamètre intérieur noté D, + 2e, avec e D, l'entrefer du dispositif 
et est maintenu en rotation
autour de l'axe EUR, par une liaison pivot, sa position angulaire étant notée 
0...

rotor

stator

Figure 8 Rotor et stator du générateur (un courant d'in-
tensité 1 parcourt l'enroulement autour du stator)

Le rotor et le stator sont constitués d'un matériau ferromagnétique doux de 
perméabilité magnétique relative
1, supposée infinie.

IIT.A -- On admet que la longueur axiale Z,. est suffisamment grande pour que 
le champ magnétique dans
l'entrefer soit indépendant de la coordonnée z. On admet également qu'il y est 
toujours radial, dirigé selon EUR,

On enroule autour du stator un câble parcouru par un courant électrique 
d'intensité J > 0 comme représenté sur
la Figure 8. On se place dans l'approximation des régimes quasi-stationnaires 
magnétiques. Comme l'entrefer
est très fin, (e & D), on peut considérer que la norme du champ magnétique y 
est indépendante de r.

Q 17. Montrer que le champ magnétique dans l'entrefer a pour intensité :

I
B, = (IIL.1)
2e

et préciser son sens en fonction de l'angle 6.
Q 18. On enroule autour du stator une deuxième spire parcourue par le même 
courant J, dans un plan de

vecteur normal orienté selon EUR. Tracer la courbe représentative du champ 
magnétique total B (0) = B. 6. dans
l'entrefer en fonction de 6.

On enroule maintenant un grand nombre de spires dans différents plans et on 
admet qu'une répartition adéquate
permet d'obtenir un champ magnétique statorique dans l'entrefer qui varie 
sinusoïdalement avec l'angle 0 selon
_ Nul
2e

B,(1) = Bo(l)cos(6)é. avec  B,(1) (IIL.2)

où V est le nombre effectif de tours de l'enroulement.

Cette expression sera valable dans toute la suite.

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Q 19. Dans cette question uniquement, l'enroulement statorique fournit une 
puissance électrique constante
de 5,0 kW sous une tension de 230 V et on a N -- 21. Calculer la valeur de 
l'intensité du courant J et en déduire
l'intensité maximale du champ magnétique dans l'entrefer pour e = 2 mm.

ITI.B -- On utilise désormais deux enroulements statoriques similaires mais 
produisant chacun un maximum
de leur champ magnétique dans une direction différente. Ces enroulements sont 
respectivement parcourus par
des courants d'intensité Z, et 1, et créent des champs magnétiques respectifs 
B., et B,, donnés par

-- --

B,1(1:) = B5(1;) cos(6)é, B,2(12) -- Bo(l2) cos(0 -- r/2)é,

où B, est défini dans l'expression (IIL2). Les courants 1, et 1, ont même 
amplitude J, et varient sinusoïdalement
à la pulsation w, : 1, = 1, cos{(w,t), 1, = I, cos(w,t -- d).

Q 20. Comment peut-on réaliser l'enroulement créant le champ B ; si l'on 
connait celui qui crée le champ
B., ?

Q 21. Déterminer la valeur de ©, permettant de réaliser un champ dit « tournant 
» tel que:

B, = B, cos(0 -- w,t)é,

et préciser l'expression de B, en fonction, entre autres, de J..
On note ©, = w,t la direction dans laquelle pointe le maximum du champ 
magnétique tournant.

ITI.C --- Le rotor produit, au moyen d'aimants permanents, un champ magnétique 
dans l'entrefer qu'on
considérera lui aussi radial, uniforme sur l'épaisseur de l'entrefer, variant 
sinusoïdalement avec la position, et
solidaire du rotor. On note B,. son expression

B, -- B, cos( EE Pr).

avec B,. une constante positive et ®,. l'angle dont a tourné le rotor.

Le courant dans les enroulements statoriques est désormais induit par le 
mouvement du rotor. On rappelle que
®,. (resp. @.) désigne la direction dans laquelle la composante radiale du 
champ magnétique du rotor (resp. du
champ magnétique tournant statorique) est maximale.

Q 22. Déterminer l'expression de l'énergie magnétique totale dans l'entrefer, 
notée EUR en fonction, entre

autres, de B,, o., ©. et de J..

mag ?

dé

mag

dé,

On suppose dans toute la suite qu'un régime sinusoïdal est établi dans lequel 
le rotor tourne à la pulsation w,
constante et l'intensité du courant statorique oscille à la même pulsation w, = 
w, avec une amplitude 7. On
note Ô = ®,. -- D, = cste qu'on suppose positif.

Q 24. Calculer la valeur maximale possible de la valeur absolue du couple pour 
7, = 22 À et B, =1,2T.

Q 23. En déduire l'expression du couple exercé sur le rotor, donné par [=

Tr

TITI. D -- On peut modéliser chacun des enroulements statoriques par le même 
circuit électrique, représenté sur
la figure 9. La résistance À et l'autoinductance ZL sont celles de 
l'enroulement statorique, la force électromotrice
E est celle produite par le mouvement du rotor. La résistance À, représente 
celle du dipôle alimenté par le
générateur. On prendra À = 1 Q et L = 20 mH.

I R L

E\(|) R,

Figure 9 Schéma électrique d'un enroulement
statorique

On donne les expressions des forces électromotrices instantanées des 
enroulements parcourus par les courants
1, et Z, définis au IILB, qu'on note respectivement E: et E,,

ND,L,B
BE = -- Tu, sin(d,)
(IIL.3)
ND,L,B
En = Tu, cos(d,)

Q 25. Justifier qualitativement les expressions précédentes.
Q 26. Déterminer, en notation complexe, les expressions des amplitudes 
complexes des intensités 7, et L,.

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Q 27.

Q 28. Calculer la valeur du couple mécanique exercé par l'écoulement de l'air 
sur l'éolienne pour fournir une
puissance moyenne de 5 kW à la charge de résistance À, sous une tension 
efficace de 230 V à la fréquence de
50 Hz.

L'utilisation d'un grand nombre d'aimants régulièrement répartis sur le rotor 
crée désormais un champ magné-
tique

En déduire l'expression du champ magnétique statorique puis celle du couple 
exercé sur le rotor.

B, -- B, cos(pÜ En Pr)Er.

Q 29. Déterminer la valeur de la pulsation w,. de rotation du rotor pour 
laquelle la fréquence fondamentale
du courant électrique produit en régime sinusoïdal établi est 50 Hz pour p = 12.

IV Aimants des rotors

Les aimants des rotors des éoliennes sont majoritairement des aimants au 
néodyme, c'est-à-dire des aimants
permanents composés d'un alliage de néodyme, de fer et de bore (Nd,Fe,,B).

IV.A - Extraction du néodyme

Les terres rares, notamment le néodyme, ont des propriétés magnétiques 
exceptionnelles leur permettant, en al-
liage avec d'autres métaux, la miniaturisation d'aimants très performants, 
utilisés notamment dans les éoliennes,
la téléphonie ou encore l'électroménager.

À l'état naturel, les terres rares ne sont jamais présentes sous forme 
métallique mais sous forme d'oxyde dans
des composés minéraux.

Le néodyme est extrait d'un minerai appelé la monazite. Ce minerai contient des 
terres rares comme le lanthane
(La), le cérium (Ce), le néodyme (Nd) ou le praséodyme (Pr) sous forme d'oxyde. 
La monazite extraite de la
mine de Mount Weld en Australie contient entre 60 et 70% (en masse) d'oxydes de 
terre rare. Le tableau 2
fournit la proportion de chaque oxyde parmi l'ensemble des oxydes de terre rare 
contenus dans ce minerai.

La,0; CeO; PreO: Nd,0O3 SM)O3 EuwO; Gd:03 Tb,0;
26% 51% 4% 15 % 1,8 % 0,4% 1,0% 0,1%

Dy,03 Ho,03: EroO3 Tm03 Yb:O3 Lu,O; YO Total
0,2% 0,1% 0,2% < 0,1% 0,1% < 0,1% < 0,1% | 60 --70% Tableau 2 Composition massique des oxydes de terre rare contenus dans la monazite en provenance de la mine de Mount Weld (d'après Techniques de l'ingénieur J6630v2) Q 30. Quelle masse de néodyme est contenue dans une tonne de monazite provenant de la mine australienne de Mount Weld ? IV.B --- Corrosion des aimants La présence du fer dans les aimants au néodyme les rend sujet à la corrosion. La corrosion atmosphérique des métaux est similaire à la corrosion humide. Elle résulte de l'action du dioxygène de l'air, et éventuellement de l'eau (condensation de l'humidité, pluie, projections) sur les métaux. Dans le cas du fer, il peut y avoir formation d'oxydes de fer (rouille) ou encore de cations fer (II) ou fer (III). Le diagramme potentiel-bH de la figure B du document réponse représente le diagramme du fer superposé à celui de l'eau. L'étude suivante se place systématiquement en milieu aqueux acidifié, pour une concentration des espèces solubles C' = 1 x 10 © mol:-L { : les pressions partielles des espèces gazeuses sont prises égales à P° = 1 bar. L'aimant est assimilé en première approximation à du fer solide. Q 31. Donner le nombre d'oxydation du fer et de ses dérivées. Préciser sur la figure B du document réponse, les domaines de corrosion, de passivation et d'immunité à la corrosion du fer. Q 32. Le fer solide est susceptible de réagir avec l'eau ou le dioxygène dissous dans l'eau. Écrire les équations bilan de ces deux réactions en milieu acide, en choisissant un coefficient stoechiométrique égal à 1 pour Fes). Calculer les constantes d'équilibre K° correspondantes et commenter. La corrosion est particulièrement active dans les zones qui présentent une hétérogénéité de surface (rayure, contrainte, défaut), une hétérogénéité de composition (alliages, impuretés, soudures), ou encore une hétérogénéité de la concentration du milieu. Une quelconque de ces hétérogénéités provoque ce qu'on appelle une corrosion différentielle : l'oxydation et la réduction se produisent en deux zones différentes, le métal assurant la circulation des électrons. La corrosion est étudiée au niveau d'une goutte d'eau oxygénée sur le métal (figure EUR du document réponse). Les couples mis en jeu dans la corrosion du fer sont : Fe**/Fe et O,/OH (correspondant au couple O,/H,0 en milieu basique). Page 7/10 CEE P035/2021-02-11 19:37:50 Q 33. Écrire les demi-équations électroniques correspondant à ces deux couples en considérant le dioxygène dissous en milieu aqueux. En déduire l'équation bilan liée au phénomène de corrosion du fer. Sur le schéma de la figure C, repérer la zone correspondant à la réduction et celle correspondant à l'oxydation. Identifier alors l'anode et la cathode et indiquer sur le schéma le déplacement des électrons dans le métal et le déplacement des ions dans l'eau. L'association de l'anode et de la cathode constitue une micropile en court-circuit. Le déplacement des ions dans l'eau vient fermer le circuit électrique. Données : pH de l'eau atmosphérique : 7,0. Surtention cathodique du dioxygène sur une électrode de fer : no(O») = --0,5 V, [Fe**] = 1 x 106 mol-L 1. Il n'y a pas de surtension pour le couple Fe**/Fe sur une électrode de fer. Q 34. En supposant que l'allure des courbes est symétrique, proposer des courbes intensité-potentiel à = f(E) permettant d'interpréter ce phénomène de corrosion. Estimer le potentiel mixte Æ., appelé potentiel de corrosion, de cette micro-pile. Q 35. Sachant que plus la résistance interne du système électrochimique est grande et plus les pentes des courbes à -- f(E) sont faibles, comparer la cinétique de la corrosion des aimants d'une éolienne marine et d'une éolienne terrestre. [IV.C -- Protection des aimants Le dépôt industriel de nickel métallique sur les aimants par électrolyse est très utilisé industriellement. Ce procédé consiste à immerger l'aimant, constitué principalement de fer, dans une solution de sulfate de nickel, la pièce en fer étant placée à la cathode. Pour éviter le dépôt d'hydroxyde de nickel, la solution est acidifiée. L'anode est constituée d'un métal inerte. On réalise le nickelage d'un aimant de rotor de surface totale $,. sous un courant 7 pour un potentiel de cathode Ec. L'opération a lieu pendant une durée At de façon à ce que le nickel recouvre uniformément l'aimant sur une épaisseur h. Le bain permet de maintenir une concentration en nickel à C,, à pH fixé. Données : Eg = 0,50 V, $, = 6,3 dm", 1 = 4,0 À, h = 50 pm, Co = 1 mol-L !, pH = 4,5. Q 36. Quelle est la durée At de cette opération de nickelage ? En réalité, tout le courant ne sert pas à produire du nickel solide. La surtension 7; (en V) au niveau de la cathode est liée à la densité de courant jN; (en A-dm *) par la relation nai = --0,15 log (|jxil) -- 0,30. Q 37. Calculer l'épaisseur de nickel réellement déposée à la surface de l'aimant. Quelle autre demi-réaction a pu se produire en parallèle de la réduction de Ni°* conduisant à la baisse du rendement ? Q 38. Si la couche de nickel présentait une fissure, tel que le fer se retrouvait en contact avec l'eau, le fer serait-il encore protégé ? À l'aide de courbes à = f (E), comparer avec la protection par une couche de zinc. Documents utiles ---- Document 1 Le tableau ci-dessous concerne les voitures particulières en circulation en France métropolitaine pendant l'année 2017. Essence Diesel Nombre 12,7 millions 19,8 millions Kilométrage annuel moyen 8935 km 15 910 km Consommation moyenne 7,3 L/100 km 6,1 L/100 km Avec 43,8 Mtep consommées en 2016, le secteur des transports représente une part croissante de la consommation d'énergie finale de la France : 31 % en 2015 contre 27 % en 1990 et 15 % en 1970. Le transport routier représente à lui seul plus de 80% des consommations finales en énergie du secteur des transports, largement devant le transport aérien (15 %) et ferroviaire (+ 2%) et la navigation intérieure (0,4%). Les consommations du secteur routier proviennent principalement des voitures particulières (62 %), les véhicules utilitaires légers et les camions ne représentant respectivement que 20% et 14% des consommations finales d'énergie des transports routiers. ADEME, Climat Air et Énergie -- Chiffres clés, édition 2018 P035/2021-02-11 19:37:50 Page 8/10 (C2) BY-Nc-SA | ---- Document 2 La production totale d'électricité en France s'établit à 537,7 TW:-h sur l'année 2019, répartie comme indiqué dans le schéma ci-dessous : O © 6,3 L 2,2 11,2% 7,9 1,8 % 70,6 Éolien Solaire Hydraulique Thermique fossile Bioénergies Nucléaire Répartition de la production par filière Les pertes représentent principalement l'énergie dissipée par effet Joule lors du transport sur le réseau haute et très haute tension. Elles dépendent essentiellement de la consommation, du plan de production et des échanges transfrontaliers. Les taux de pertes sur le réseau de transport sont compris entre 2 et 3,5 % de la consommation, suivant les saisons et les heures de la journée. En moyenne, en 2019, le taux s'établit à 2,22 %, ce qui représente environ 11 TW-h. RTE, Bilan électrique 2019 ---- Document 3 RTE a étudié l'impact de différents scénarios de développement de l'électromobilité sur le système électrique français. La figure ci-dessous présente la courbe de charge type pour un jour ouvré moyen pour un million de véhicules électriques dans différents scénarios considérés (dans leurs variantes sans pilotage). Compensation du faible accès aux points de charge -- Hypothèses du scénario Crescendo 1 000 hors domicile + puissance plus élevée des bornes (hors pilotage) : | conduisant à une recharge naturelle plus élevée à 19h x » - Acces médian aux points de charge hors 900 domicile (28%) - Puissance médiane des bornes de recharge 800 - Habitudes de connexion panachées selon les utilisateurs (65% systématique, 35% 700 occasionnelle) > l'accès à Hypothèses du scénario Opera
600 : et de de di (hors pilotage) :
EURs POInts de Change - Fort accès aux points de charge hors
500 sur le lieu de travail domicile (45%)
D - Puissance haute des bornes de recharge

100 - Connexion systématique pour l'essentiel

des utilisateurs (85%)
-- Hypothèses du scénario Forte
300 .
(hors pilotage) :

200 '4 - Faible accès aux points de charge hors

domicile (16%)
- Puissance haute des bornes de recharge

100 - Connexion systématique pour l'essentiel

des utilisateurs (85%)
0
00:00 04:00 08:00 12:00 16:00 20:00

RTE, Enjeux du développement de l'électromobilité pour le système électrique, 
mai 2019

---- Document 4

Le secteur de l'énergie éolienne en France a pris progressivement de 
l'importance : en 2019, sa part dans la
production nette d'électricité du pays atteint 6,3 % et le taux de couverture 
moyen de la consommation par la
production d'origine éolienne a été de 7,2% contre 5,9% en 2018.

En 2018, avec près de 8 000 éoliennes terrestres sur 1 380 parcs, la France 
était au quatrième rang européen pour
la production d'électricité éolienne, loin derrière l' Allemagne, le 
Royaume-Uni et l'Espagne, et au septième rang
mondial.

Les éoliennes fonctionnent environ 80% du temps mais avec une puissance très 
variable, située entre 0 et
(théoriquement) 100% : par exemple, en 2019, la puissance éolienne maximale 
s'est élevée à 13330 MW le 19
décembre, avec un facteur de charge de 83,8 % : mais la puissance moyenne 
mensuelle observée est restée entre
2207 MW en août et 6288 MW en décembre, alors que la puissance installée 
atteignait 16494MVW fin 2019 :
le taux d'utilisation (facteur de charge) de cette puissance (puissance 
moyenne/puissance nominale) a été en
moyenne de 24,7% en 2019, en augmentation (22,8 % en 2018) ; sa moyenne a varié 
de 13,9 % en août à 39,5%
en décembre, et sa valeur maximale de 52,3 % en juillet à 83,8% en décembre.

Dans la plupart des parcs éoliens à axe horizontal, un espacement d'environ 6 à 
10 fois le diamètre du rotor
est souvent respecté. Cependant, pour les grands parcs éoliens, des distances 
d'environ 15 diamètres de rotor
devraient être plus économiques, compte tenu des coûts typiques des éoliennes 
et des terrains.

Wikipedia (Énergie éolienne en France, Wind turbine)

P035/2021-02-11 19:37:50 Page 9/10 (cc) BY-NC-SA
--_-- Document 5

Croissance des éoliennes commerciales. L'ordonnée correspond à la hauteur du 
mât. L'inscription au dessus de
chaque éolienne donne le diamètre du rotor et sa puissance nominale.
320

280 Past & Present Wind Turbine

240 |

200

160

120

80

40

1980 - 1990 1990 - 1995 1995 - 2000 2000 - 2005 2005 - 2010 2010 -? 2010-? 
Future Future
Onshore Offshore Onshore Offshore

Silvio Simani, Overview of Modelling and Advanced Control Strategies for Wind 
Turbine Systems
Energies, 2015, 8, p.13396

ee oeFINeee

P035/2021-02-11 19:37:50 Page 10/10 CJERES

OO Numéro de place
(] Numéro d'inscription Gignature
AY NON | |
S, Prénom | |
CONCOURS CENTRALE-SUPÉLEC dl euve : Phusique-chimie à PS
Ne rien porter sur cette feuille avant d'avoir complètement rempli l'entête 
Feuille EE /

Question 4

Ja
TT TT --
T » < Fr. \ / , kR \ / \ / \ \ | | 0 \ | | > L
{ é ]
Î

\ Y l
\ D !

\ T D /

\ _ 0 !

= L D
-- _

Figure A Figure à compléter avec les vitesses d,, ü et w

luametatex 2.0808 20210105 LMTX

Ne rien écrire dans la partie barrée

P035-DR/2021-02-08 09:45:15

Question 31

0,77

FeO:

pH

9,4

0,62

Fe (s) LL.

Figure B Diagramme E-PH du fer à
la concentration C = 1 x 10 $ mol-I {

Question 33

zone 2, présence de O,

dissous zone 1, pauvre en O,
LT - dissous

? Le s
' 7 à
' ? \
r
/ > \
/ \
4 Eau , 7 \
/ / ? \
LL --! fm mm mmmmm mm -- \-- -- -- 4

fer

Figure C Corrosion différentielle du fer dans une goutte d'eau.
Données et formulaire

Données numériques

Pair = 1,2 kg-m Y

n = 1,8 x 10 Y Pa:s

px: = 8,9 x 10° kg-m *
F = 9,65 x 101 C-mol !

Masse volumique de l'air
Viscosité dynamique de l'air
Masse volumique du nickel

Constante de Faraday

Produit ionique de l'eau à 298 K K, = 10
Constante de Nernst à 298 K 2 In(10) = 0,06 V
Tonne équivalent pétrole 1 tep = 42 GJ

S x = 550 000 km?
T (téra) = 1012

Surface de la France métropolitaine

Préfixe du système international d'unité

Caractéristiques de l'éolienne Darrieus H

Rayon R = 4,0 m
Corde £ = 0,45 m
Hauteur des pales L = 8,0 m
Nombre de pales N =3

Caractéristiques du générateur

Diamètre D; = 530 mm
Entrefer e = 2 mm
Longueur axiale L,, = 300 mm

Potentiels standard à 298 K

Zn°* /Zn Fe**/Fe Ni°* /Ni H+/H, Fe°*/Fe**
E° (V) --0,76 --0,44 --0,25 0,00 0,77
Extrait du tableau périodique des éléments
Numéro atomique 1 6 8 28 60
Symbole H C O Ni Nd
Masse molaire atomique (g-mol) 1,01 12,0 16,0 58,7 144,2
Formules trigonométriques
b -- D b
cos a + cosb = 2e0s [TT cos (= | COS & -- COS b -- -- 2sin ( }sin (
b -- D b
sin @ + sin b = 2sin (-- cos (= | sin a--sinb -- 208 [ }sin (

&

&

N

N

O,/H,0

©

©

1,23

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


© Éditions H&K

Centrale Physique et Chimie 2 PSI 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Arthur Alexandre (ENS Paris-Saclay) et Alexandre
Herault (professeur en CPGE) ; il a été relu par Olivier Frantz (professeur 
agrégé en
école d'ingénieurs) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE).

Ce sujet de physique-chimie a pour objet l'étude d'un modèle particulier 
d'éolienne (Darrieus de type H) pour lequel l'axe de rotation des pales est 
vertical, et
non horizontal comme c'est le cas pour une éolienne classique. Les trois 
premières
parties abordent différents problèmes de physique liés à la conversion de 
puissance
et à la production d'énergie électrique par l'éolienne. La quatrième et 
dernière est
consacrée à la chimie et s'intéresse plus particulièrement aux aimants des 
rotors de
l'éolienne.
· La première partie est consacrée aux enjeux énergétiques liés au remplacement
des véhicules actuels par des véhicules électriques, ainsi qu'à la construction 
de
parcs éoliens pour répondre à la demande énergétique. Elle ne comporte que
deux questions, qui nécessitent de prendre des initiatives en s'appuyant sur les
documents fournis à la fin de l'énoncé.
· Dans la partie II, on s'intéresse à la conversion d'énergie cinétique 
transportée
par l'air en énergie mécanique de rotation. Après avoir mis en évidence la 
vitesse
apparente du vent, on détermine le couple des forces exercées par le vent, puis
on estime la puissance moyenne transférée au rotor.
· Dans la troisième partie, on étudie la production d'électricité par le 
générateur.
Cette partie demande de la réflexion ; elle utilise des notions 
d'électromagnétisme et de conversion électromécanique de puissance.
· Dans la quatrième et dernière partie, dédiée à la chimie, on s'intéresse aux
aimants des rotors constitués d'un alliage contenant du néodyme et du fer.
L'oxydoréduction est le thème principal de cette partie, particulièrement la
corrosion du fer. On utilise des diagrammes potentiel-pH fournis, ainsi que des
courbes courant-potentiel dont on doit proposer l'allure.
La difficulté de ce sujet est modérée. Plusieurs résultats intermédiaires sont 
donnés, ce qui permettait d'espérer traiter l'intégralité du sujet dans le 
temps imparti.

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Indications
Partie I
1 On pourra s'aider de la conversion de Mtep en J donnée à la fin du document
réponse. De plus, pour estimer l'énergie consommée par l'ensemble des véhicules
électriques sur une année, on pourra s'appuyer sur le document 3 donné à la fin
de l'énoncé et estimer l'aire sous l'une des trois courbes proposées.
2 Pour le calcul de la surface du champ éolien, on peut supposer que les 
éoliennes
sont réparties sur un maillage carré.
Partie II
3 Pour calculer la puissance moyenne, on peut utiliser le tableau 1 puis 
vérifier que
le résultat est cohérent avec les données de la figure 2.
6 On pourra déterminer séparément cos  et sin  en exprimant respectivement

-
-
-
-
w ·
e et 
w ·
er , à chaque fois de deux manières différentes.
7 Calculer la dérivée de tan(()) et déterminer les valeurs de  pour lesquelles
cette dérivée s'annule.
8 Calculer le nombre de Reynolds en utilisant les indications de l'énoncé.
10 Utiliser l'approximation   1 et écrire sin    et tan   .
15 Mesurer la période du signal sur le graphique de la figure 7 et vérifier que 
l'on
obtient bien 2/3.
16 Considérer maintenant CD 6= 0 et calculer le moment de la force de traînée.
Partie III
18 Déterminer la courbe B() en superposant les contributions des deux spires.
22 Utiliser l'approximation e  Di ainsi que des formules trigonométriques 
données
à la fin du document réponse.
25 Vérifier que les expressions proposées sont en accord avec la loi de Faraday.
26 Calculer le module des équations obtenues en appliquant la loi des mailles 
aux
deux circuits électriques.
27 Reprendre les expressions obtenues aux questions 21 et 23 et injecter 
l'expression
de Is déterminée à la question 26.
28 Considérer qu'il n'y a pas de pertes énergétiques dans l'entrefer et que 
toute
l'énergie mécanique du rotor est convertie en énergie électrique.
Partie IV
32 Utiliser le diagramme E-pH pour déterminer les produits d'oxydation dans les
deux cas. Tant que les domaines sont disjoints l'oxydation se poursuit. Il faut
calculer le potentiel standard du couple Fe3+ /Fe.
33 Trouver dans quelle zone de l'eau le potentiel est le plus faible. Les 
électrons
remontent les potentiels dans le métal.
34 Déterminer les potentiels pour lesquels les intensités anodique et cathodique
deviennent non nulles, en utilisant les surtensions éventuelles. Les courbes 
étant
symétriques, le potentiel de corrosion se situe à égale distance de ces deux 
valeurs.
35 Dans l'eau de mer, la circulation du courant est plus aisée.
36 Décomposer le raisonnement en plusieurs étapes et déterminer les grandeurs 
suivantes, dans cet ordre : volume de nickel déposé, quantité de matière de 
nickel,
quantité de matière d'électrons puis durée en utilisant la charge et 
l'intensité.

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I. Enjeux énergétiques
1 Il s'agit de calculer l'énergie supplémentaire Eélec consommée sur une année 
si
tous les véhicules actuels en France étaient remplacés par des véhicules 
électriques.
On note Eactuel et Eélec l'énergie consommée respectivement par l'ensemble des 
véhicules actuels et par l'ensemble des véhicules électriques. Le document 1 
indique l'énergie consommée en France sur une année par le secteur des 
transports : 43,8 Mtep (que
l'on peut convertir en J en utilisant la donnée du formulaire). Il est aussi 
mentionné
la part énergétique consommée par les voitures particulières : 0,62 × 0,8. On 
trouve
Eactuel = 43,8 × 0,62 × 0,8
= 21,7 Mtep = 9,1 × 1017 J
Pour calculer Eélec , on utilise les données des documents 1 et 3. Le graphique 
du
document 3 donne la puissance de charge nécessaire d'un million de véhicules 
électriques en fonction du temps sur une journée. Pour déterminer l'énergie 
consommée,
il faut estimer l'aire sous la courbe. Pour cela, on peut utiliser une méthode, 
certes
grossière, qui consiste à estimer la hauteur d'une droite horizontale telle que 
l'aire
sous la courbe et au-dessus de la droite est égale à celle au-dessus de la 
courbe et endessous de la droite. Quelle que soit la courbe considérée, cela 
donne une puissance
moyenne nécessaire Pmoy  300 MW sur une journée, pour un million de véhicules.
Le document 1 donne le nombre total de véhicules en circulation : 32,5 · 106 . 
Ainsi,
Eélec = 300 · 106 × 3 600 × 24 × 365 × 32,5
= 3,1 × 1017 J = 85 TWh
Pour estimer l'aire sous la courbe du graphique du document 3, on peut
utiliser la méthode des rectangles, mais cela peut prendre beaucoup de temps.
Finalement, on trouve que le supplément énergétique annuel engendré par un 
remplacement des voitures actuelles par des véhicules électriques est
E = Eélec - Eactuel = -6,0 · 1017 J = -14,4 Mtep
La conversion au tout électrique entraînerait une baisse de la consommation 
énergétique. Les moteurs électriques sont donc plus efficaces énergétiquement 
que les
moteurs thermiques. Étant donné que les sources de production énergétique sont 
différentes (diesel, essence/électricité), la conversion au tout électrique 
suppose
de créer de nouvelles unités de production électrique.
Estimons le nombre de réacteurs nécessaires pour produire Eélec . Étant donné
que la puissance d'un réacteur de centrale nucléaire est de l'ordre du GW,
cela correspond à une énergie produite sur un an de 8,8 TWh. Il faut donc
environ environ 10 réacteurs pour produire Eélec sur une année, ce qui est
évidemment très important.
2 Pour évaluer la puissance crête, on s'appuie sur le document 3 où trois 
scénarios
sont proposés. Le pic de charge des véhicules se situe vers 20 heures pour les 
trois
scénarios. À cette heure, la puissance crête nécessaire à la recharge est de 
850 MW
dans le pire des scénarios pour 1 million de véhicules électriques. On trouve 
que la
puissance crête nécessaire à la recharge de tous les véhicules électriques est
Pcrête = 850 · 106 × 32,5 = 28 GW

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On souhaite à présent estimer la surface d'un champ éolien capable de produire
cette puissance électrique. D'après les données du document 5, on trouve que 
l'ordre
de grandeur de la puissance d'une éolienne est Péolienne = 10 MW. En prenant en
compte le facteur de charge ou taux d'utilisation  = 0,25, le nombre 
d'éoliennes à
construire est
Néolienne =

Pcrête
= 1 · 104
 Péolienne

L'ordre de grandeur obtenu est évidemment gigantesque, les grands parcs
éoliens actuels possèdent environ 102 éoliennes.
Déterminons à présent l'ordre de grandeur de la surface nécessaire pour une 
éolienne.
L'ordre de grandeur du diamètre du rotor est de 100 m. D'après le document 4, 
les
éoliennes doivent être séparées d'environ 10 fois le diamètre du rotor. En 
supposant
que les éoliennes sont réparties suivant un maillage carré, on obtient alors la 
surface
nécessaire pour une éolienne :
Séolienne = (100 × 10)2 = 106 m2 = 1 km2
La surface totale du parc éolien permettant d'assurer la production nécessaire 
à la
recharge de tous les véhicules électriques est donc
Stotal = Néolienne × Séolienne  104 km2
On obtient un ordre de grandeur gigantesque par rapport à la surface d'un parc 
éolien
classique ( 102 km2 ). Une solution « tout éolien » semble donc exclue. Il faut 
alors
envisager une diversification de la production énergétique (hydraulique, 
solaire, ...).
Dans tous les cas, cela reste un défi très important.

II. Conversion énergie éolienne en énergie
mécanique - éolienne type Darrieus
3 En utilisant les données du tableau 1, on détermine l'énergie produite par 
l'éolienne de type Darrieus sur une année Emoy = Pmoy t, avec Pmoy la puissance
moyenne calculée en pondérant les données de puissance du tableau par les 
pourcentages de temps et t la durée d'une année exprimée en seconde. On trouve
Pmoy = 867 × 0,37 + 5 320 × 0,54 + 10 236 × 0,09 = 4,1 kW
et

Emoy = 4,1 · 103 × 365 × 24 × 3 600 = 1,3 · 1011 J = 36 MWh

Le résultat obtenu pour la puissance moyenne est cohérent avec le graphique de 
la
figure 2. En effet, on peut estimer la vitesse moyenne du vent en regardant où 
se situe
le pic de la courbe de mesures, c'est-à-dire pour environ v = 6 m.s-1 . La 
puissance
moyenne délivrée par l'éolienne pour cette vitesse est Pmoy = 3 kW, ce qui est 
en
accord avec le résultat calculé.