Centrale Physique et Chimie 2 PSI 2019

Thème de l'épreuve Seul sur Mars
Principaux outils utilisés thermodynamique, mécanique du point, mécanique des fluides, cristallographie, cinétique chimique, diffusion de particules
Mots clefs changement d'état, lois de Kepler, force de traînée, The Martian, Ridley Scott, Mark Watney, période synodique, Mars, bactéries, E. coli, Michaelis, enzymes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


Li Physique-chimie 2 D
7 PS! ©
ON

CONCOURS CENTRALE SUPÉLEC 4 heures Calculatrice autorisée

L'histoire du film The Martian (Seul sur Mars) de Ridley Scott, montre comment 
un homme, Mark Watney,
survit seul sur Mars grâce à ses connaissances scientifiques. L'environnement 
hostile de la planète représente
une contrainte de taille pour les ingénieurs et les scientifiques qui 
travaillent pour que des hommes puissent
un jour poser le pied sur la planète rouge. La NASA annonce un vol habité pour 
Mars dans les années 2030,
l'hypothèse du film n'est donc pas irréaliste. Même si cette histoire repose 
sur des travaux scientifiques et des
techniques aérospatiales actuelles, on peut se demander si l'histoire est bien 
réaliste.

Certaines questions, repérées par une barre en marge, ne sont pas guidées et 
demandent de l'initiative de la part
du candidat. Les pistes de recherche doivent être consignées, si elles sont 
pertinentes, elles seront valorisées. Le
barème tient compte du temps nécessaire pour explorer ces pistes et élaborer un 
raisonnement.

Les quatre premières parties du sujet peuvent être liées notamment concernant 
les applications numériques. Les
deux dernières parties sont indépendantes.
Toutes les données nécessaires à la résolution du sujet sont données en fin de 
sujet.

I La planète Mars

Mars est la quatrième planète par ordre de distance croissante au Soleil et la 
deuxième par masse et par taille
croissantes sur les huit planètes que compte le système solaire. Dans le 
référentiel héliocentrique (aussi appelé
référentiel de Kepler), supposé galiléen, la trajectoire de Mars est une 
ellipse contenue dans le plan de l'écliptique.

Extrait de CNRS Le journal

Question : Envoyer des humains sur Mars coûterait au moins 100 ou 200 milliards 
de dollars
et ne serait possible que vers 2050, à condition qu'une vraie volonté politique 
se dégage. Ne
vaut-il pas mieux continuer à envoyer des robots ?

Réponse du planétologue François Forget : C'est un vieux débat, [...] les 
robots ne sont pas
forcément plus efficaces que les humains. Par exemple, un géologue peut repérer 
en quelques
secondes une pierre intéressante, alors qu'il faudra des jours pour la repérer 
en manoeuvrant
un rover depuis la Terre, vu que les signaux radio mettent 5 à 22 minutes entre 
les deux
planètes. Mais il y à une alternative qui me plaît bien : envoyer des humains 
en orbite
martienne sans qu'ils se posent à la surface. Il est en effet très difficile -- 
et donc coûteux --
de poser des charges de plus d'une tonne sur Mars. Parce que l'atmosphère y est 
trop fine pour
freiner correctement avec un parachute comme sur Terre, et trop épaisse pour 
ralentir juste
au-dessus de la surface avec de simples rétrofusées comme sur notre Lune. Autre 
avantage :
plus besoin de MAV pour remonter, ni d'habitat en surface. Au final, depuis 
l'orbite, les
astronautes pourraient facilement aller se poser sur les petites lunes Phobos 
ou Deimos (qui
m'ont presque pas de gravité), et surtout piloter en quasi temps réel des 
robots sophistiqués
envoyés sur Mars elle-même. Une telle mission pourrait avoir lieu dès 2035.

09 novembre 2016

2019-05-12 18:56:31 Page 1/8 CIBLE

Q 1. En utilisant l'extrait du CNRS Le Journal, proposer un encadrement de la 
distance de Mars au Soleil.
En déduire le demi-grand axe a,, de l'ellipse correspondant à la trajectoire de 
Mars.

Q 2. Sachant que la période de révolution de Mars est 7}, -- 687 jours, 
calculer la valeur de a;,. Celle
valeur est-elle en accord avec les propos rapportés par l'extrait d'article 
précédent ? Retrouver également une
estimation de la masse du Soleil.

Pour la suite, on prendra ay; = 228 x 10% km.

Q 3. Déterminer la valeur du champ de pesanteur sur Mars.

II Tempête sur Mars

«

Lors d'une sortie sur Mars, l'écran de contrôle de Mark Watney est superposé à 
celui de l'action (figure 1). À
gauche figurent les données externes et à droite celles concernant le 
scaphandre. Aïnsi la pression extérieure
vaut 0,11 psi (pound per square inch) alors que la pression interne est de 4,75 
psi. Pour la suite on prendra les
valeurs lues sur l'écran de contrôle pour les pressions et températures 
externes et internes (scaphandre).

Fu "th fc Ten TIME téx&é
MISSION DAY LA TT OO |
| L 'M
À *
0.11 a
" ; "
+ U. 14 | PRESSURE
1E MI nn." 4.75 rs)
É "3 n C -
JE. OXYGEN 2 ù
NVIRONUEN 21.01
TEMP
1846 (©)
MAUIRS > SUITCAM
MCE DH DOS IBICITMONC. LOTUS. 13.3 l EUIT DATA

Figure 1 Écran de contrôle de Mark Watney

IT. À --- L''atmosphère martienne

Q 4. Un bon scientifique pourra s'étonner du pourcentage de dioxygène dans le 
scaphandre. Quel est le
problème ?

Q 5. Estimer la masse volumique p de l'atmosphère martienne. Comparer à celle 
de l'atmosphère de la
Terre.

Q 6. Tracer l'allure du diagramme P(T') de l'eau en plaçant en particulier le 
point triple (611 Pa, 0,01 °C)
et le point critique (22 MPa, 374 °C). Préciser la signification physique de 
ces points.

Q 7. Dans quel état se trouve l'eau sur Mars ?
Q 8. Au cours d'une tempête martienne, la combinaison de Mark Watney est 
percée. Donner deux raisons

pour lesquelles Mark Watney ne peut pas survivre dans ces conditions. (On 
supposera que le scaphandre se
dépressurise en restant à température constante.)

II.B - Une tempête martienne peut-elle faire basculer le VAM ?

Les coéquipiers de Mark Watney doivent faire décoller le VAM (Véhicule 
Ascensionnel Martien, figure 2) pris
dans une tempête avant que celui-ci ne bascule et tombe sous la force du vent. 
Pour étudier le réalisme de la
scène, on modélise le VAM (masse estimée : 10 tonnes) par un cylindre de 
diamètre 2R = 10 m ct de hauteur
H = 20 m.

Q 9. Calculer le poids du VAM sur Mars.

Q 10. Évaluer la force de traînée s'exerçant sur le VAM pour un vent de 120 
km-h ! sur Mars (vitesse
maximale mesurée). Sur Terre, donner l'ordre de grandeur de la vitesse d'un 
vent qui produirait une force de
cette valeur.

Q 11. Dans l'hypothèse où le VAM ne glisse pas, on le suppose « ancré » au 
point © (figure 2). Déterminer
la vitesse du vent lorsque le VAM commence à se pencher (a est alors nul) ; on 
admettra que le coefficient de
traînée vaut EURn = 0,4. Commenter.

2019-05-12 18:56:31 Page 2/8 (CH)ELTET:

Figure 2 Basculement du VAM

III Dimensionnement des panneaux solaires

Étant donnés d'importants problèmes logistiques, les ingénieurs martiens 
envisagent des modules d'habitations
cylindriques gonflables. En plus des problèmes liés à la différence de pression 
entre l'intérieur (à la pression
terrestre) et l'extérieur, se pose également le problème du chauffage de ces 
modules. Dans la suite on considère
que le chauffage est assuré par une pompe à chaleur (récepteur ditherme dont la 
finalité est de fournir de
l'énergie à la source chaude) qui maintient une température interne de T; = 20 
°C. Le module (figure 3) est un
cylindre de diamètre 2R = 2 m et de longueur ZL = 6 m dont l'isolation est 
assurée par une couche d'épaisseur
e = 15 cm de dioxyde de carbone. On donne la conductivité thermique du CO, dans 
les conditions du module
= 15mW-m lK

Figure 3 Habitat et panneaux solaires

Q 12. Définir et déterminer l'efficacité maximale (efficacité de Carnot) d'une 
pompe à chaleur, en proposant
une démonstration et une application numérique.

Q 13.  Estimer la résistance thermique du module entre l'intérieur et 
l'extérieur, en admettant que le flux
thermique est uniquement radial. On néglige les flux thermiques à travers les 
bases du cylindre.

Q 14. En admettant que la machine fonctionne avec une efficacité égale à 34% de 
l'efficacité théorique de
Carnot, calculer la puissance P}, à fournir pour maintenir le module à 7.

Q 15.  L'éncrgic nécessaire pour alimenter le module en énergie provient de 
panneaux photovoltaïques dont
le rendement de conversion est estimé à 20%. Les panneaux reçoivent du soleil 
la puissance surfacique P4 =
490 W:m *. Quelle est la surface de panneaux solaires nécessaire ? Commenter le 
résultat au regard de la figure 3.

IV Sauvetage de Mark Watney par le vaisseau Hermès

Cette opération consiste à envoyer Mark Watney dans l'espace, grâce à un VAM, 
et à l'intercepter depuis le
vaisseau Hermès « en plein vol », comme représenté figure 5. L'enjeu est donc 
que L'Hermès et Mark Watney
se retrouvent au même endroit, au même moment avec une vitesse relative nulle.

IV.A - Trajectoire du vaisseau Hermès
Dans cette sous-partie, on se place dans le référentiel de Kepler.

Le vaisseau Hermès est utilisé pour les trajets Terre-Mars au cours desquels le 
vaisseau n'est soumis qu'à
l'attraction du Soleil. L'orbite de transfert utilisée est une orbite de 
transfert de Hohmann : ellipse dont le
périhélie est un point de l'orbite de la Terre et l'aphélie un point de 
l'orbite de Mars (figure 6). On supposera,
pour simplifier, que les orbites de la Terre et de Mars sont circulaires de 
rayons respectifs ar et ay.

2019-05-12 18:56:31 Page 3/8 (CD) BY-Nc-sA

Modules de service Propulsion nucléaire

Figure 4 Le vaisseau Hermès

trajectoire de l'Hermès
(hyperbolique dans la sphère d'influence de Mars)

trajectoire de Mark Watney

Figure 5 Principe de la récupération de Mark Watney

orbite de la Terre

orbite de Mars

ellipse de transfert

Figure 6

Q 16. Déterminer le demi grand axe a de l'ellipse de transfert.

On considère le transfert du vaisseau de la Terre vers la planète Mars, les 
positions initiales de la Terre et de
Mars étant notées respectivement 7, et M,,.

Q 17. Déterminer la durée du transfert. En déduire la position de Mars au 
moment du lancement sur Terre
(M,). En déduire également la position de la Terre au moment de l'arrivée du 
vaisseau à proximité de Mars (les
positions de la Terre et de Mars seront à ce moment là notées respectivement T, 
et M.).

Q 18. Montrer qu'un nouveau transfert, à partir de la Terre, ne peut avoir lieu 
qu'environ 780 jours après
le premier lancement (période synodique).

Q 19.  Unc fois le vaisseau arrivé au voisinage de la planète Mars (M,,T°), 
combien de temps faut-il attendre
pour envisager un transfert d'Hohmann permettant de ramener le vaisseau à 
proximité de la Terre ? On notera
T, et M, les positions respectives de la Terre et de Mars au début de ce second 
transfert.

Q 20.  Représenter les points 74, M, T,, M, T, et M,, ainsi que les orbites 
d'aller et de retour, sur un
schéma reproduisant la figure 6.

Q 21. En déduire qu'une mission aller-retour vers Mars dure au minimum 972 
jours. Sachant qu'entre le
départ de l'Hermès vers la Terre, suite à la tempête, et son retour sur Mars, 
il s'est écoulé 549 jours, commenter.

2019-05-12 18:56:31 Page 4/8 (CD) 8Y-Nc-sA

IV.B - La récupération de Mark Watney

Q 22. Au cours de l'opération de sauvetage, le vaisseau Hermès doit réduire 
brutalement sa vitesse de
30 m:s_!. Pour cela les astronautes ont l'idée de vider brutalement un ou des 
modules de l''Hermès de son air
(modules de service sur la figure 4) et de profiter de la propulsion par 
réaction qui en découle pour freiner. On
admet que la vitesse d'éjection des gaz est de l'ordre de 500 m:s-° (ordre de 
grandeur de la vitesse d'agitation
thermique des molécules de l'air de la cabine). Estimer l'ordre de grandeur du 
volume total des différents modules
à vider de façon à freiner correctement le vaisseau Hermès. Commenter.

Figure 7 Mark Watney se propulsant vers l'Hermès

Q 23. Au moment du sauvetage, Mark Watney s'aperçoit qu'il est encore trop loin 
de l'Hermès. il décide
alors de percer sa combinaison (trou de diamètre de l'ordre de 1 cm) pour se 
propulser. De quelle force de
poussée dispose-t-il alors ? Commenter votre résultat. Commenter également la 
photo (figure 7) représentant
Mark Watney se propulsant vers l'Hermès.

V Fabrication d'eau sur Mars

Mark Watney est bien conscient que l'eau est l'une des clefs de sa survie sur 
Mars. Il n'en manque pas grâce à
l'ingéniosité des procédés développés dans le domaine spatial mais il a besoin 
d'énormes quantités d'eau pour
arroser ses plants de pomme de terre et assurer son alimentation en attendant 
l'aide hypothétique de la Terre.
Heureusement, outre sa qualité de botaniste, il a des notions élémentaires de 
mécanique, de physique et de
chimie.

Mark Watney estime avoir besoin de 600 L d'eau, qu'il décide d'obtenir par 
combustion de dihydrogène par le
dioxygène. Il peut obtenir le dihydrogène par décomposition de l'hydrazine et 
le dioxygène par réduction du
CO, en CO à haute température (800 °C) selon la réaction 2CO, -- O, + 2CO en 
phase gazeuse.

L'hydrazine dont il souhaite tirer le dihydrogène avant de le « brûler » pour 
former l'eau est un carburant no-
tamment utilisé dans la conquête spatiale. Les réactions chimiques de 
décomposition de l'hydrazine en molécules
de N, et H,, en présence d'iridium comme catalyseur, sont les suivantes (en 
phase gazeuse) :

Q 24. Proposer des formules de Lewis pour l'hydrazine N°H,, lammoniac NE, et le 
diazote N:.

Q 25. Déterminer le volume d'hydrazine (densité 1,02) nécessaire pour obtenir 
les 600 L d'eau liquide voulus
par Mark Watney.

Q 26. La présence du catalyseur d'iridium modifie-t-elle l'état d'équilibre ?

Q 27. L'iridium cristallise dans un réseau cubique à faces centrées avec une 
densité de 22,5. Représenter
cette maille cristalline. Estimer le rayon atomique de liridium.

Q 28. Calculer la constante thermodynamique de la réaction 200, = O, + 2C0O à 
800 °C en phase gazeuse.
Commenter.

Q 29. Comment évolue la réaction 200, = O, + 2C0 si on diminue la température ? 
Justifier.

Q 30. Quelle est la température maximale atteinte lors de la combustion du 
dihydrogène ?

2019-05-12 18:56:31 Page 5/8 (Cc)EATE:
VI Peut-on cultiver des pommes de terre sur Mars ?

Pour s'alimenter Mark Watney fait pousser des pommes de terre dans le sol 
martien en utilisant les selles récu-
pérées dans les toilettes de la mission. Les selles contiennent des bactéries 
nécessaires à une culture. Néanmoins,
les sondes Viking ont montré qu'un tel sol, particulièrement oxydant, tue 
toutes les bactéries, à fortiori celles
des selles. Dans cette partie, afin d'étudier l'action oxydante du sol sur les 
bactérie on utilise la bactérie Æ. coli
comme organisme modèle et on modélise le stress oxydant par l'action du 
peroxyde d'hydrogène H,0,;.

VI.A --- Métabolisme de la bactérie

Le peroxyde d'hydrogène est un sous-produit du métabolisme des cellules, sa 
production suit une cinétique
d'ordre 0 de constante de vitesse k, = 15 umol-L ls l. Pour lutter contre le 
peroxyde d'hydrogène, la bactérie
a développé un arsenal de défense dont les principales actrices sont les 
enzymes alkylhydroperoxydase (notée
Ahp) et catalase (notée Cat). Le peroxyde d'hydrogène est également capable de 
diffuser à travers la paroi de
la bactérie. Dans la suite on considère que les concentrations à l'intérieur de 
la bactérie et à l'extérieur sont
uniformes. Le modèle complet a été développé par Uhl et Dukan (PLoS One. 2016 ; 
11(8)).

VI.A.1) La bactérie est modélisée par une sphère de volume total V; de rayon 
externe R et d'épaisseur de
paroi e. On note & le flux de peroxyde d'hydrogène (en mol-s-!) sortant de la 
bactérie à travers sa paroi et D
le coefficient de diffusion particulaire du peroxyde d'hydrogène dans la paroi.

Dans l'hypothèse d'un régime stationnaire, on définit une résistance 
particulaire À, à l'aide de l'expression

HO]; -- [HO
R

P

D =

où [HO]; est la concentration en peroxyde d'hydrogène à l'intérieur de la 
bactérie et [H,0,|, sa concentration
dans le milieu extérieur.

Q 31. Citer deux autres domaines de la physique utilisant la notion de 
résistance. Préciser les analogies.
Q 32.  Exprimer À, en fonction de e, D et À.
Q 33.  Simplifier cette expression dans l'hypothèse où e EUR À.

Q 34. Proposer une valeur numérique de À...

Q 35. Montrer que la loi de cinétique de diffusion à travers la membrane peut 
s'écrire sous la forme

d[H0};

TL : +k,([H0)); -- [H0:].)

Q 36. Quel signe doit-on choisir sachant que k, > 0 ? Exprimer k, en fonction 
de e, D et R et proposer une
application numérique.

VI.A.2) Les enzymes présentes dans la bactérie obéissent à une cinétique, dite 
michaeclienne, où la vitesse
de réaction a la forme générale

dfS) vw

_ dis ls
dt  [S]+Ky

où vx EURt Ky7 (constante de Michaclis) sont des constantes caractéristiques de 
l'enzyme et S représente le
composé chimique décomposé par l'enzyme.
Q 37. Quelle est la dimension de la constante KX,, ? Quel sens concret peut-on 
donner au paramètre K,, ?

VI.A.3) La dynamique du peroxyde d'hydrogène est donc décrite par le système 
présenté figure 8.

Réactions associées à HO, Équations chimiques Loi de vitesse
Production métabolique SG -- HO; ordre 0
Décomposition par Ahp H,0, -- H,0 + 16, vAhP -- Vas F0)

2 [HO] + Ki
Décomposition par Cat H0: -- H0 + 10, vert -- Pa re O2]

2 [H0;] + Kat
Diffusion membranaire HO, -- extérieur ù = +ky([H0)]; -- [H0;|)

Figure 8

On note N le nombre de bactéries dans le milieu extérieur. Le volume extérieur 
est noté V.. La densité de
bactéries est alors notée n = N/V.

1
Q 38. Préciser les degrés d'oxydation de l'oxygène dans les trois molécules de 
la réaction H0, -- H,0 + 5 02:

Comment nomme-t-on se type de réaction en chimie ?

2019-05-12 18:56:31 Page 6/8 (Cc)EATE:
Q 39. Calculer la constante thermodynamique de cette réaction de décomposition 
à 25 °C. Commenter.

Q 40. Donner les équations différentielles associées au système dynamique 
ci-dessus vérifiées par [HO,/; et
H2O}e.

En condition physiologique, sans stress exogène, on admet que [HO,| KP et [HO & 
Kat, Ces hypothèses
seront vérifiées à postériori.

Q 41. Déterminer la concentration en peroxyde d'hydrogène à l'équilibre à 
l'intérieur des cellules.

Q 42. Faire l'application numérique, commenter.

VI.B - Situation de stress oxydant

On considère désormais une situation de stress oxydant produit par l'ajout 
d'une importante quantité de per-
oxyde d'hydrogène exogène (c'est-à-dire introduite à l'extéricur de la 
bactérie) : on suppose que les bactéries se
trouvent dans un milieu où la concentration extérieure en peroxyde d'hydrogène 
vaut initialement 1 mol-L*.
Tant que la concentration exogène est très élevée, les bactéries sont 
submergées et par conséquent elles voient leur
concentration interne en peroxyde d'hydrogène atteindre quasi instantanément la 
valeur exogène (la diffusion
n'est plus limitante).

Q 43. Proposer une approximation à l'équation différentielle vérifiée par [H,0, 
|; dans le cas du stress exogène
proposé (tant qu'il est important).

Q 44. En déduire la quantité (en mole) de peroxyde d'hydrogène décomposé par 
seconde et par bactérie.
Q 45. Combien de temps faudra-t-il à n -- 10° bactéries par mL pour décomposer 
la moitié du peroxyde
d'hydrogène externe introduit ? Même question pour 10° bactéries par mL. 
Commenter.

Données
Terre-Mars
Terre Mars
Composition de l'atmosphère N;, (77%), O, (21%) CO; (95%), N3 (2,7%)
Rayon des planètes (km) 6380 3390
Densité globale 5,5 3,9

Grandeurs thermodynamiques entre 0 °C et 1000 °C (approximation d'Ellingham)

CO Oo CO bé HO
Enthalpie standard de formation (kJ-mol-1)  --394 --111 --242
Entropie standard molaire (J-mol-!-K1) 214 237 198 130 189

Capacité thermique molaire (J-mol--K71) 49,0 34,0 32,0 30,0 37,0

Au sujet de E. coli

Notation Valeurs
Production de H,0; k, 15 pmol-L-t.s7!
Constante de Michaelis pour Catalase KCAt 5,9 X 107* mol-L_!
Constante de Michaelis pour Ahp K AD 1,2 x 10 Smol-L
Vitesse maximale pour Catalase vert 4,9 x 107! mol-L-t.s"1
Vitesse maximale pour Ahp vARP 6,6 x 10 "mol-L ts"!
Coefficient de diffusion membranaire pour H,0,; D 2,0 x 107 *m°.s71
Volume d'une bactérie 12 3,2 x 10° L
Épaisseur de la paroi e 9 nm

E°(H,0,/H,0) -- 1,77 V
E°(0,/H0;) -- 0,69 V

T
_ In 10 & 0,06 V

2019-05-12 18:56:31 Page 7/8 (Cc)EATE:
Fp/(DL)
PV /2

Drag coefficient, cp

Diverses constantes et grandeurs

Constante gravitationnelle

Célérité de la lumière

Constante d'Avogadro

Constante des gaz parfaits

Masses molaires (g-:mol")

Viscosité du CO, (supposée indépendante de la température)
Viscosité de l'air terrestre (à 15 °C)

Distance Terre-Soleil

G = 6,67 x 10 {!m°kg les ?

c = 3.00 x 10 mess !

N 1 = 6,022 x 10% mol !
R=8.314J-K !mol !
H=1,C--=12,N = 14,0 = 16
n = 1,07 x 10 * Pas

nr = 1,79 X 10 * Pa-s

ar = 1u.a. = 1,50 x 10° km

Température de la surface du Soleil T, = 5778K

Rayon du Soleil R, = 6,96 x 10° km

Masse du vaisseau Hermès & 500 t

1 psi = 0,0689 bar

Pression de vapeur saturante de l'eau en fonction de la température
t (°C) P, (Pa) t (°C) P, (Pa) t (°C) P, (Pa) t (°C) P, (Pa)

--715 0,122 --40 12,84 0 611,15 39 5626,7
--70 0,261 --35 27,11 D 872,60 40 7381,4
--65 0,540 --30 38,01 10 1228,1 45 9589,8
--60 1,080 --25 63,29 15 1705,6 DÙ 12344
--55 2,093 --20 103,26 20 2338,8 D9 15752
--50 3,936 --15 165,30 25 3169,0 60 19932
--45 7,202 --10 259,90 30 4245 ,5 65 25022

d'après CRC Handbook of Chemistry and Physics - 2004
Coefficient de traînée

Le graphe donné figure 9 représente l'évolution du coefficient de traînée d'un 
cylindre de diamètre D, de longueur
L, placé dans un écoulement uniforme d'un fluide de masse volumique p et de 
viscosité dynamique y, de vitesse
V.., perpendiculaire à son axe.

100
SÙ
60 |
40 Cylinders
20
Measured by
10 Wieselsberger
ç
42.0
6 80.0
4 æ 300.0
-- - Theory due to Lamb
2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.1 2 468 2 468 2 468 2 468 2 468 2 468 2 468 2 468
107! 10° 10! 10? 10% 10* 10° 106 107
Reynolds number, Rep = pVxkD/y
Figure 9 Coefficient de trainée en fonction du nombre de Reynolds
eeeFINeee
CEE

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2019-05-12 18:56:31

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique et Chimie 2 PSI 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Raphaël Galicher (enseignant-chercheur à 
l'université)
et Alexandre Herault (professeur en CPGE) ; il a été relu par Robin Guichardaz
(professeur agrégé) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE).
Le sujet étudie le réalisme de certaines scènes du film de science-fiction
The Martian (Seul sur Mars) de Ridley Scott avec Matt Damon, sorti en 2015.
· La première partie, la plus courte, s'appuie sur un extrait d'un article 
publié
dans le journal du CNRS. Il est question de déterminer quelques caractéristiques
de la trajectoire de Mars autour du Soleil.
· Voulant s'assurer du réalisme, ou non, de la scène de tempête sur Mars pendant
laquelle le véhicule d'exploration est renversé, la deuxième partie commence
par une étude rapide de l'atmosphère martienne en s'intéressant 
particulièrement à l'état thermodynamiquement stable de l'eau. Vient ensuite 
l'étude
proprement dite des conditions de cette « tempête », ainsi que des conditions
mécaniques requises pour provoquer le basculement du Véhicule Ascensionnel
Martien (VAM). Il est parfois nécessaire de prendre quelques initiatives, 
notamment pour interpréter correctement et complètement les informations 
présentes
en annexe.
· La troisième partie, sans doute la plus simple, aborde succinctement 
l'efficacité
d'une pompe à chaleur ditherme alimentée par des panneaux photovoltaïques.
· La quatrième partie s'intéresse au voyage spatial proprement dit. On s'appuie
sur des orbites de transfert elliptiques, dites orbites de Hohmann. Les calculs
envisagés, purement algébriques donc simples en apparence, nécessitent soin
et rigueur pour utiliser à bon escient les différentes notations introduites et
définir correctement les grandeurs à calculer. La partie se termine par deux
résolutions de problème centrées sur la notion de poussée afin d'expliquer la
scène de récupération de l'astronaute Mark Watney, lorsque ce dernier tente de
rejoindre le véhicule spatial Hermès.
· La cinquième partie aborde la fabrication d'eau sur Mars. Les questions sont
très classiques et c'est la thermodynamique chimique qui constitue l'essentiel
de cette courte partie, notamment grandeurs standard de réaction, constante
d'équilibre, déplacement d'équilibre et calcul de température de flamme.
· La dernière partie traite de la culture des pommes de terre sur Mars que Mark
Watney fait pousser en utilisant des bactéries. On utilise dans cette partie la
bactérie classique E. coli comme organisme modèle et on modélise le stress
oxydant du sol de Mars par du peroxyde d'hydrogène H2 O2 . Cette partie est
l'occasion de traiter de diffusion de particules à travers la paroi des 
bactéries
puis de cinétique pour étudier les variations des concentrations du peroxyde
d'hydrogène à l'intérieur et à l'extérieur des bactéries.
Le sujet est très long et il aborde des thématiques variées sous l'angle 
original de
la validation scientifique d'une oeuvre cinématographique. De nombreuses données
numériques sont fournies en annexe et certaines réponses aux questions s'y 
trouvent.
Il est important dans ce type d'épreuve de se « laisser porter » par le sujet, 
tout en
étant toujours dans la position de l'observateur critique qui peut souvent, par 
simple
bon sens, progresser dans la compréhension des phénomènes.

Indications
Partie I
1 Utiliser le temps de parcours des signaux radio quand la Terre et Mars sont au
plus proche, puis au plus loin, l'une de l'autre.
2 Utiliser la troisième loi de Kepler.
Partie II
4 La pression dans le scaphandre n'est pas la pression à la surface de la Terre 
et le
corps humain a besoin d'un volume d'oxygène donné à chaque inspiration.
7 Utiliser les valeurs affichées sur la figure 1 pour la température et la 
pression de
l'atmosphère martienne.
8 Une des raisons est liée au taux d'oxygène et l'autre à la vaporisation de 
l'eau.
10 Utiliser le dernier graphe de l'annexe qui donne le coefficient de traînée 
en fonction
du nombre de Reynolds et même l'expression de la force de traînée.
11 Calculer les moments des forces par rapport au point fixe O.
Partie III
15 Estimer la surface des panneaux solaires visibles sur la figure 3.
Partie IV
17 Exprimer le temps de transfert en fonction de la période orbitale du 
vaisseau.
Repérer Mars et la Terre par leurs positions angulaires car leur distance au 
Soleil
est constante.
18 L'angle formé par TSM (Terre, Soleil, Mars) au début du nouveau lancement 
doit
être le même que celui défini par T0 SM0 .
19 Chercher les positions de la Terre et de Mars au début du nouveau transfert.
22 Exprimer la force de poussée en fonction de la masse d'air éjecté. En 
déduire le
volume d'air à éjecter pour réduire la vitesse de 30 m.s-1 . Estimer le volume 
du
vaisseau Hermès.
23 Utiliser la vitesse d'éjection de 500 m.s-1 donnée à la question 22. Pour 
calculer
la densité de l'air dans le scaphandre, utiliser les résultats des questions 2 
et 5.
Trouver en combien de temps le scaphandre se vide de son air. Estimer alors
le temps nécessaire pour que Mark Watney rejoigne le vaisseau en estimant la
distance à parcourir. Utiliser les résultats de la question 8. Remarquer que la
main de Mark Watney n'est pas confondue avec son centre de gravité.
Partie V
25 Penser à la stoechiométrie complète pour la formation d'eau à partir 
d'hydrazine.
27 Utiliser dans un premier temps la densité pour déterminer le paramètre de 
maille.
La masse molaire de l'iridium a été oubliée dans l'énoncé : 192, 2 g.mol-1 .
28 Calculer les grandeurs standard de réaction pour déterminer r G , puis K .
29 Utiliser la relation de Van't Hoff.
30 Faire l'hypothèse d'une transformation adiabatique pour le calcul de la 
température de flamme et se placer en conditions stoechiométriques.

Partie VI
32 Faire apparaître j, la densité de courant particulaire. Le problème est de 
symétrie
sphérique (une seule dimension r) ; établir une équation différentielle en r 
pour la
concentration. L'intégrer entre R - e et R.
34 Déterminer le rayon R en utilisant le volume de la bactérie.
35 Exprimer le flux de H2 O2 sortant de la bactérie en faisant apparaître le 
volume
de la bactérie et la concentration [H2 O2 ]i .
40 La dérivée de [H2 O2 ]i par rapport au temps fait intervenir les quatre 
phénomènes
décrits figure 8. Pour la variation de [H2 O2 ]e , relier la variation de la 
quantité de
matière à la diffusion à travers toutes les cellules. Utiliser les volumes Ve 
et Vi .
41 À l'équilibre les concentrations intérieure et extérieure sont égales et 
stationnaires.
43 En situation de stress oxydant, [H2 O2 ]  KM , ce qui implique des vitesses
michaeliennes maximales.
45 Si la durée de décomposition est trop longue, les bactéries ont peu de 
chance de
survivre dans ce milieu très agressif.

Seul sur Mars
I. La planète Mars
1 On suppose que la trajectoire de la Terre T
est circulaire. Celle de Mars est une ellipse de
c t1
c t2
foyer le Soleil S. La distance minimale entre
aT
Mars et la Terre est celle entre le périhélie Mp
S
de Mars et la position T de la Terre sur le
schéma. La distance maximale est celle entre Mp T
Ma
l'aphélie Ma de Mars et la position T.
D'après l'article du CNRS, les signaux radio
dmin
dmax
qui se propagent à la vitesse de la lumière c
mettent t1 = 5 min pour aller de T à Mp
et t2 = 22 min pour aller de T à Ma . Les distances minimale et maximale entre
la Terre et Mars sont c t1 et c t2 . On en déduit les distances minimale (dmin 
) et
maximale (dmax ) entre Mars et le Soleil en fonction de la distance 
Terre-Soleil aT

dmin = c t1 + aT = 240 × 106 km
dmax = c t2 - aT = 246 × 106 km
D'après le schéma, on trouve que le demi-grand axe aM est
aM =

dmin + dmax
= 243 × 106 km  1,62 u.a.
2

2 La Terre et Mars orbitent autour du Soleil de masse M . Leurs période P et
demi-grand axe a obéissent donc à la troisième loi de Kepler
a3
G M
=
P2
4 2
-11
3
-1 -2
où G = 6,67 × 10
m .kg .s . On en déduit avec P T = 365 jours

PM
aM = aT
= 229 × 106 km  1,52 u.a.
PT
Cette valeur diffère de (1,62 - 1,52)/1,52  7% de la valeur estimée à partir des
données de l'article. Or, cette estimation se base sur les temps de parcours 
donnés à
la minute près, soit avec une précision de 30 s. Cela implique une précision 
relative
sur aM d'au moins  0,5/5 = 10%. Les valeurs estimées de aM sont donc en accord.
La troisième loi de Kepler permet également de calculer la masse du Soleil
M =

4  2 aT 3
 2,0 × 1030 kg
G PT 2

3 Considérons la répartition de masse de Mars homogène. Le champ de pesanteur g 
M
à la surface de Mars de masse MM et de rayon RM = 3 390 km est donné par
G MM
gM =
.
RM 2
En introduisant la masse volumique M = 3 900 kg.m-3 , il vient
gM =

4 G M RM
 3,7 m.s-2
3

Ce champ est environ trois fois plus petit que sur Terre où il vaut g T  9,81 
m.s-2 .