Centrale Physique et Chimie 2 PSI 2019

Thème de l'épreuve Seul sur Mars
Principaux outils utilisés thermodynamique, mécanique du point, mécanique des fluides, cristallographie, cinétique chimique, diffusion de particules
Mots clefs changement d'état, lois de Kepler, force de traînée, The Martian, Ridley Scott, Mark Watney, période synodique, Mars, bactéries, E. coli, Michaelis, enzymes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Centrale Physique et Chimie 2 PSI 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Raphaël Galicher (enseignant-chercheur à 
l'université)
et Alexandre Herault (professeur en CPGE) ; il a été relu par Robin Guichardaz
(professeur agrégé) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE).
Le sujet étudie le réalisme de certaines scènes du film de science-fiction
The Martian (Seul sur Mars) de Ridley Scott avec Matt Damon, sorti en 2015.
· La première partie, la plus courte, s'appuie sur un extrait d'un article 
publié
dans le journal du CNRS. Il est question de déterminer quelques caractéristiques
de la trajectoire de Mars autour du Soleil.
· Voulant s'assurer du réalisme, ou non, de la scène de tempête sur Mars pendant
laquelle le véhicule d'exploration est renversé, la deuxième partie commence
par une étude rapide de l'atmosphère martienne en s'intéressant 
particulièrement à l'état thermodynamiquement stable de l'eau. Vient ensuite 
l'étude
proprement dite des conditions de cette « tempête », ainsi que des conditions
mécaniques requises pour provoquer le basculement du Véhicule Ascensionnel
Martien (VAM). Il est parfois nécessaire de prendre quelques initiatives, 
notamment pour interpréter correctement et complètement les informations 
présentes
en annexe.
· La troisième partie, sans doute la plus simple, aborde succinctement 
l'efficacité
d'une pompe à chaleur ditherme alimentée par des panneaux photovoltaïques.
· La quatrième partie s'intéresse au voyage spatial proprement dit. On s'appuie
sur des orbites de transfert elliptiques, dites orbites de Hohmann. Les calculs
envisagés, purement algébriques donc simples en apparence, nécessitent soin
et rigueur pour utiliser à bon escient les différentes notations introduites et
définir correctement les grandeurs à calculer. La partie se termine par deux
résolutions de problème centrées sur la notion de poussée afin d'expliquer la
scène de récupération de l'astronaute Mark Watney, lorsque ce dernier tente de
rejoindre le véhicule spatial Hermès.
· La cinquième partie aborde la fabrication d'eau sur Mars. Les questions sont
très classiques et c'est la thermodynamique chimique qui constitue l'essentiel
de cette courte partie, notamment grandeurs standard de réaction, constante
d'équilibre, déplacement d'équilibre et calcul de température de flamme.
· La dernière partie traite de la culture des pommes de terre sur Mars que Mark
Watney fait pousser en utilisant des bactéries. On utilise dans cette partie la
bactérie classique E. coli comme organisme modèle et on modélise le stress
oxydant du sol de Mars par du peroxyde d'hydrogène H2 O2 . Cette partie est
l'occasion de traiter de diffusion de particules à travers la paroi des 
bactéries
puis de cinétique pour étudier les variations des concentrations du peroxyde
d'hydrogène à l'intérieur et à l'extérieur des bactéries.
Le sujet est très long et il aborde des thématiques variées sous l'angle 
original de
la validation scientifique d'une oeuvre cinématographique. De nombreuses données
numériques sont fournies en annexe et certaines réponses aux questions s'y 
trouvent.
Il est important dans ce type d'épreuve de se « laisser porter » par le sujet, 
tout en
étant toujours dans la position de l'observateur critique qui peut souvent, par 
simple
bon sens, progresser dans la compréhension des phénomènes.

Indications
Partie I
1 Utiliser le temps de parcours des signaux radio quand la Terre et Mars sont au
plus proche, puis au plus loin, l'une de l'autre.
2 Utiliser la troisième loi de Kepler.
Partie II
4 La pression dans le scaphandre n'est pas la pression à la surface de la Terre 
et le
corps humain a besoin d'un volume d'oxygène donné à chaque inspiration.
7 Utiliser les valeurs affichées sur la figure 1 pour la température et la 
pression de
l'atmosphère martienne.
8 Une des raisons est liée au taux d'oxygène et l'autre à la vaporisation de 
l'eau.
10 Utiliser le dernier graphe de l'annexe qui donne le coefficient de traînée 
en fonction
du nombre de Reynolds et même l'expression de la force de traînée.
11 Calculer les moments des forces par rapport au point fixe O.
Partie III
15 Estimer la surface des panneaux solaires visibles sur la figure 3.
Partie IV
17 Exprimer le temps de transfert en fonction de la période orbitale du 
vaisseau.
Repérer Mars et la Terre par leurs positions angulaires car leur distance au 
Soleil
est constante.
18 L'angle formé par TSM (Terre, Soleil, Mars) au début du nouveau lancement 
doit
être le même que celui défini par T0 SM0 .
19 Chercher les positions de la Terre et de Mars au début du nouveau transfert.
22 Exprimer la force de poussée en fonction de la masse d'air éjecté. En 
déduire le
volume d'air à éjecter pour réduire la vitesse de 30 m.s-1 . Estimer le volume 
du
vaisseau Hermès.
23 Utiliser la vitesse d'éjection de 500 m.s-1 donnée à la question 22. Pour 
calculer
la densité de l'air dans le scaphandre, utiliser les résultats des questions 2 
et 5.
Trouver en combien de temps le scaphandre se vide de son air. Estimer alors
le temps nécessaire pour que Mark Watney rejoigne le vaisseau en estimant la
distance à parcourir. Utiliser les résultats de la question 8. Remarquer que la
main de Mark Watney n'est pas confondue avec son centre de gravité.
Partie V
25 Penser à la stoechiométrie complète pour la formation d'eau à partir 
d'hydrazine.
27 Utiliser dans un premier temps la densité pour déterminer le paramètre de 
maille.
La masse molaire de l'iridium a été oubliée dans l'énoncé : 192, 2 g.mol-1 .
28 Calculer les grandeurs standard de réaction pour déterminer r G , puis K .
29 Utiliser la relation de Van't Hoff.
30 Faire l'hypothèse d'une transformation adiabatique pour le calcul de la 
température de flamme et se placer en conditions stoechiométriques.

Partie VI
32 Faire apparaître j, la densité de courant particulaire. Le problème est de 
symétrie
sphérique (une seule dimension r) ; établir une équation différentielle en r 
pour la
concentration. L'intégrer entre R - e et R.
34 Déterminer le rayon R en utilisant le volume de la bactérie.
35 Exprimer le flux de H2 O2 sortant de la bactérie en faisant apparaître le 
volume
de la bactérie et la concentration [H2 O2 ]i .
40 La dérivée de [H2 O2 ]i par rapport au temps fait intervenir les quatre 
phénomènes
décrits figure 8. Pour la variation de [H2 O2 ]e , relier la variation de la 
quantité de
matière à la diffusion à travers toutes les cellules. Utiliser les volumes Ve 
et Vi .
41 À l'équilibre les concentrations intérieure et extérieure sont égales et 
stationnaires.
43 En situation de stress oxydant, [H2 O2 ]  KM , ce qui implique des vitesses
michaeliennes maximales.
45 Si la durée de décomposition est trop longue, les bactéries ont peu de 
chance de
survivre dans ce milieu très agressif.

Seul sur Mars
I. La planète Mars
1 On suppose que la trajectoire de la Terre T
est circulaire. Celle de Mars est une ellipse de
c t1
c t2
foyer le Soleil S. La distance minimale entre
aT
Mars et la Terre est celle entre le périhélie Mp
S
de Mars et la position T de la Terre sur le
schéma. La distance maximale est celle entre Mp T
Ma
l'aphélie Ma de Mars et la position T.
D'après l'article du CNRS, les signaux radio
dmin
dmax
qui se propagent à la vitesse de la lumière c
mettent t1 = 5 min pour aller de T à Mp
et t2 = 22 min pour aller de T à Ma . Les distances minimale et maximale entre
la Terre et Mars sont c t1 et c t2 . On en déduit les distances minimale (dmin 
) et
maximale (dmax ) entre Mars et le Soleil en fonction de la distance 
Terre-Soleil aT

dmin = c t1 + aT = 240 × 106 km
dmax = c t2 - aT = 246 × 106 km
D'après le schéma, on trouve que le demi-grand axe aM est
aM =

dmin + dmax
= 243 × 106 km  1,62 u.a.
2

2 La Terre et Mars orbitent autour du Soleil de masse M . Leurs période P et
demi-grand axe a obéissent donc à la troisième loi de Kepler
a3
G M
=
P2
4 2
-11
3
-1 -2
où G = 6,67 × 10
m .kg .s . On en déduit avec P T = 365 jours

PM
aM = aT
= 229 × 106 km  1,52 u.a.
PT
Cette valeur diffère de (1,62 - 1,52)/1,52  7% de la valeur estimée à partir des
données de l'article. Or, cette estimation se base sur les temps de parcours 
donnés à
la minute près, soit avec une précision de 30 s. Cela implique une précision 
relative
sur aM d'au moins  0,5/5 = 10%. Les valeurs estimées de aM sont donc en accord.
La troisième loi de Kepler permet également de calculer la masse du Soleil
M =

4  2 aT 3
 2,0 × 1030 kg
G PT 2

3 Considérons la répartition de masse de Mars homogène. Le champ de pesanteur g 
M
à la surface de Mars de masse MM et de rayon RM = 3 390 km est donné par
G MM
gM =
.
RM 2
En introduisant la masse volumique M = 3 900 kg.m-3 , il vient
gM =

4 G M RM
 3,7 m.s-2
3

Ce champ est environ trois fois plus petit que sur Terre où il vaut g T  9,81 
m.s-2 .