Centrale Physique et Chimie PSI 2009

Thème de l'épreuve Autour du sang : pH, teneur et consommation en dioxygène, hydrodynamique et pouls
Principaux outils utilisés solutions aqueuses, oxydoréduction, diffusion thermique, mécanique des fluides, lois d'échelle, ondes
Mots clefs solution tampon, sang, sonde de Clark, dosage du dioxygène, sang, Poiseuille, pertes de chaleur, onde de pression

Corrigé

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Concours Centrale - Supélec 2009 Épreuve : PHYSIQUE-CHIMIE Filière PSI PHYSIQUE-CHIMIE Filière PSI PHYSIQUE-CHIMIE Calculatrices autorisées. Autour du sang : pH , teneur et consommation en dioxygène, hydrodynamique et pouls À partir d'un liquide d'intérêt biologique, le sang, le problème aborde l'étude du pouvoir tampon (Partie - I), le principe de la mesure d'une teneur en dioxygène et sa consommation animale (Partie - II), l'hydrodynamique d'un fluide visqueux (Partie - III), et enfin propose une modélisation de la propagation d'une onde de pression sanguine (Partie - IV). Ces quatre parties sont indépendantes. Partie I - Le sang : un milieu tamponné Dans cette partie, tous les calculs seront effectués à 37° C , température du corps humain. Données : ­ 14 Produit ionique de l'eau K e = 2, 40 u 10 Constante d'acidité K a ( H 2 CO 3 / HCO 3 ) = 4, 30 u 10 ­ ­7 L'activité métabolique et l'ingestion d'aliments peuvent introduire des espèces acido-basiques dans le sang. Or, la survie des cellules nécessite que le pH varie très peu autour d'une valeur optimale. Ainsi le sang humain constitue un milieu tamponné : son pH varie très peu par addition d'un acide ou d'une base ou par dilution. Le pH reste compris dans l'intervalle 7, 36 ­ 7, 44 en temps normal. ­ I.A - Le sang est en partie tamponné par le couple H 2 CO 3 / HCO 3 de concentra­1 tion totale 0, 0280 mol u L . ­ I.A.1) Donner les schémas de Lewis de la molécule H 2 CO 3 et de l'ion HCO 3 . Préciser leur géométrie d'après le modèle VSEPR . I.A.2) Sachant que le pH du sang vaut 7, 40 , calculer les concentrations en ­ H 2 CO 3 et HCO 3 avec trois chiffres significatifs. I.B - Lors d'un effort physique important, il se forme de l'acide lactique CH 3 ­ CHOH ­ COOH , noté HB , qui est ensuite éliminé dans le sang sous la ­ forme d'ion lactate B selon la réaction prépondérante quantitative : ­ ­ HB + HCO 3 A H 2 CO 3 + B . Concours Centrale-Supélec 2009 1/11 PHYSIQUE-CHIMIE Filière PSI Filière PSI I.B.1) L'acide lactique produit dans les cellules est de configuration S . Donner sa représentation de Cram. ­3 ­1 I.B.2) Pour un apport de 2, 00 u 10 mol u L d'acide lactique, quelle est la nouvelle valeur du pH du sang ? Cette valeur est-elle compatible avec la vie ? I.B.3) En réalité, la respiration permet de maintenir constante la concentration en H 2 CO 3 en éliminant l'excès de H 2 CO 3 par l'expiration de dioxyde de carbone. Dans ces conditions, quelle est la nouvelle valeur du pH après un apport ­3 ­1 de 2, 00 u 10 mol u L d'acide lactique ? Partie II - Le dioxygène : mesure in vivo et consommation animale II.A - Sonde de Clark Dans cette partie, tous les calculs seront effectués à 25° C . Données : RT --------- ln ( 10 ) = 0, 06 V F + Potentiel standard E° ( A g / Ag ) = 0, 80 V Produit de solubilité K s ( AgCl ) = 2, 1 u 10 Masses molaires K : 39 g u mol ­1 ­ 11 ; Cl : 35, 5 g u mol ­1 La sonde de Clark est très utilisée en biologie afin de mesurer la teneur en dioxygène dans le sang. électrode circulaire en argent solution extérieure cellule KCl Pt Pt O 2 ( ext ) O 2 ( int ) Ag A I membrane joint vue de dessus Concours Centrale-Supélec 2009 0, 7 V vue en coupe 2/11 PHYSIQUE-CHIMIE Filière PSI Elle est constituée d'une cellule contenant une solution non saturée de chlorure ­1 de potassium KCl à 175 g u L , séparée d'une solution extérieure (qui peut être du sang) par une membrane de polytétrafluoroéthylène ( PTFE ) . Cette membrane est imperméable au solvant et aux ions, mais elle est perméable au dioxygène. La sonde est également constituée d'une électrode d'argent et d'une électrode de platine entre lesquelles on applique une différence de potentiel de 0, 7 V . La mesure de l'intensité I du courant d'électrolyse permet de déterminer la teneur en dioxygène dans la solution extérieure. II.A.1) Le PTFE est obtenu par polyaddition du tétrafluoroéthylène. Donner la formule chimique du PTFE . II.A.2) Calculer la concentration en ion chlorure dans la cellule. En déduire la + concentration en ion A g permettant d'obtenir le précipité de chlorure d'argent AgCl . II.A.3) Au niveau de l'électrode d'argent, on assiste à l'oxydation du couple AgCl / Ag . Au niveau de l'électrode de platine, on assiste à la réduction du couple O 2 / H 2 O . a) Écrire les demi-équations électroniques correspondantes. Préciser l'anode et la cathode. b) Le graphe ci-contre donne I ( +A ) les courbes intensité-potentiel 120 des deux électrodes de la (2) sonde de Clark. Identifier les 80 électrodes correspondant aux courbes (1) et (2). 40 E ( Volt ) c) Calculer le potentiel standard du couple AgCl / Ag . En ­ 0, 5 ­ 0, 4 ­ 0, 3 ­ 0, 2 ­ 0, 1 0 0, 1 0, 2 0, 3 déduire le potentiel d'équilibre ­ 40 de l'électrode d'argent. Cette (1) valeur est-elle conforme à la ­ 80 courbe intensité-potentiel ? d) Pour une différence de potentiel de 0, 7 V , calculer l'intensité I de la sonde. e) D'après les courbes intensité-potentiel, expliquer pourquoi la diffusion du dioxygène à travers la membrane limite la cinétique de l'électrolyse. II.A.4) On s'intéresse plus particulièrement à la diffusion du dioxygène à travers la membrane. On note D le coefficient de diffusion moléculaire du dioxygène à travers la membrane, et K la constante de solubilité de O 2 dans la membrane. Au niveau d'une interface membrane/solution, on a ainsi [ O 2 ] membrane = K [ O 2 ] solution . Concours Centrale-Supélec 2009 3/11 PHYSIQUE-CHIMIE Filière PSI a) On note b l'épaisseur de la membrane et S sa surface. Rappeler la loi de Fick dans le cas d'une diffusion unidirectionnelle. En déduire l'expression I n du courant particulaire dans le membrane. b) En supposant que la diffusion de O 2 à travers la membrane limite la cinétique de l'électrolyse, exprimer l'intensité électrique d'électrolyse I en fonction notamment des concentrations molaires en O 2 dans la solution extérieure et dans la cellule, notées respectivement [ O 2 ] ext et [ O 2 ] int . c) L'intensité d'électrolyse est maximale pour [ O 2 ] int = 0 . En déduire comment la mesure de I max permet de connaître la teneur en O 2 dans la solution extérieure. II.A.5) On note U la différence de potentiel appliquée aux bornes de la sonde. a) Tracer l'allure du graphe I ( U ) pour U compris entre 0 et 0, 7 V . b) Pourquoi ne faut-il pas appliquer une différence de potentiel trop faible pour pouvoir déterminer la teneur en O 2 ? c) Pourquoi ne faut-il pas appliquer une différence de potentiel très supérieure à 0, 7 V ? 2 QO ( L / h ) II.B - De la souris à l'éléphant... On dira qu'une fonction y ( x ) 1000 éléphant vérifie une loi d'échelle d'exposant _ si y est proportionnel à cheval 100 _ x . De nombreux paramètres vache physiologiques concernant les truie homme 10 espèces animales d'un même chèvre groupe zoologique obéissent à chien lapin de telles lois. Ainsi, les mam1 cochon d'inde marmotte mifères terrestres ayant une rat température corporelle proche 0, 1 de 37° C vérifient assez bien la souris 3/4 relation : Q O2 = 0, 68M c où 0, 01 M c désigne la masse corpo0, 01 0, 1 1 10 100 1000 10 000 relle en kilogramme et Q O2 la masse ( kg ) consommation en dioxygène en litre par heure au repos, dans des conditions expérimentales précises que nous ne détaillerons pas. Nous verrons que cette loi, découverte dès 1932 par M. Kleiber, peut être mise en rapport avec la puissance thermique dégagée par le métabolisme de l'animal. II.B.1) Les morphologies des animaux d'un même groupe étant voisines, le volume de dioxygène transporté par le sang à chaque battement de coeur est à peu près proportionnel à la masse corporelle M c . Sachant que pour un homme Concours Centrale-Supélec 2009 4/11 PHYSIQUE-CHIMIE Filière PSI de 70 kg , la fréquence cardiaque est d'environ 70 battements par minute, déterminer la loi d'échelle exprimant la fréquence cardiaque f c d'un animal en battements par minute en fonction de sa masse corporelle M c en kilogramme. II.B.2) Étudier la validité de la loi précédente pour la souris, le lapin et l'éléphant à l'aide du tableau ci-dessous : souris lapin renard éléphant M c ( kg ) 0, 015 2, 0 3, 0 3000 f c ( batt / min ) 620 210 o vie ( années ) 3, 5 37 14 80 II.B.3) Le tableau précédent donne également la durée de vie moyenne o vie de quelques mammifères terrestres. a) À l'aide de ces valeurs numériques, déterminer l'exposant de la loi d'échelle o vie ( M c ) . b) Proposer une interprétation de cette loi. c) Le cas de l'homme vérifie-t-il cette loi ? Commenter. II.B.4) Sachant qu'en moyenne, on estime qu'un litre de dioxygène consommé par un animal correspond à un dégagement de chaleur d'environ 20 kJ , donner la relation numérique qui exprime la puissance thermique P en watt dégagée par l'animal en fonction de sa masse M c en kilogramme. Donner la valeur numérique de P pour un homme de 70 kg . Commenter. II.B.5) Le plus petit mammifère terrestre vivant en milieu tempéré est la musaraigne pachyure étrusque et ne pèse que deux grammes. À l'aide de la loi P ( M c ) , on se propose de retrouver l'ordre de grandeur de cette masse. Pour cela, on modélise le corps de l'animal par une corps sphère homogène de rayon R a et de masse volumique e ­3 + 5 1 g u cm , de température T i = 37° C . Autour de Ra cette sphère, on considère que l'animal possède une Te h fourrure d'épaisseur e , de masse négligeable, Ti de conductivité thermique proche de celle de l'air ­2 ­1 ­1 h 5 10 W u K u m . On prendra pour la température extérieure T e = 20° C . fourrure a) En régime stationnaire, exprimer la puissance thermique P dégagée par l'animal en fonction de h , T e , T i , R a , e (on ne fera pas l'approximation e « R a ). b) Montrer que le rapport e / R a est une fonction décroissante de R a . Concours Centrale-Supélec 2009 5/11 PHYSIQUE-CHIMIE Filière PSI c) Pour des raisons de mobilité, on considère que la plus grande valeur du rapport e / R a est de l'ordre de 1 . En déduire l'ordre de grandeur de la masse du plus petit animal. Ce résultat est-il convenable ? II.B.6) On se propose de donner quelques indications sur l'origine physique de 3/4 la loi d'échelle Q O2 _ M c , le symbole _ désignant une relation de proportionnalité. De nombreux modèles ont été développés afin d'interpréter cette loi, les plus récents utilisant des géométries fractales. Ici, nous allons plutôt examiner de façon très générale les conséquences des lois physiques de l'écoulement du sang. Nous décrirons le système vasculaire de l'animal par un ensemble de N vaisseaux de rayon R et de longueur L . Nous verrons dans la Partie III que le débit sanguin total Q s (et par suite la consommation en dioxygène Q O2 et la puissance thermique P ) vérifie la loi d'échelle : 4 R Q s _ N ------- _ Q O _ P . 2 L Lorsqu'on passe d'un animal à un autre en multipliant la taille par un coefficient h , nous supposerons que les paramètres L , R , N sont respectivement a b n multipliés par h , h , h , les exposants a , b , n étant indéterminés à ce stade. n + 4b ­ a 3 Ainsi, Q s ( h ) = Q s ( 1 )h et M c ( h ) = M c ( 1 )h . a) Sachant qu'en pratique la vitesse des écoulements sanguins est à peu près indépendante de la taille des animaux, exprimer d'une manière différente comment varie Q s avec h lors d'un changement d'échelle. En déduire une relation entre les exposants a et b . b) En supposant que la masse corporelle est proportionnelle au volume total des vaisseaux sanguins, trouver une relation entre n et a . a c) En déduire en fonction de a l'exposant a de la loi d'échelle Q s _ M c . d) Si on suppose que L est proportionnel à la taille de l'animal, alors a = 1 . En déduire la valeur de a . Montrer que l'on retrouve cette même valeur de a à l'aide d'un raisonnement complètement différent, en considérant que la puissance thermique P dégagée par l'animal est proportionnelle à la surface de la peau. e) En réalité, l'interprétation précédente est fausse car le transfert thermique dépend de la manière dont est vascularisée la peau. La valeur observée de a étant de 3 / 4 , calculer les exposants a , b , n . Commenter. Concours Centrale-Supélec 2009 6/11 PHYSIQUE-CHIMIE Filière PSI Partie III - Écoulement stationnaire dans un tube cylindrique Dans cette partie on considère un fluide newtonien incompressible de masse volumique + et de viscosité dynamique d . III.A - Écoulement de Poiseuille cylindrique L'écoulement stationnaire du fluide se fait dans un tube cylindrique, d'axe xvx et de rayon R . Il est induit par un gradient de pression ,P ------- = ­ k ( k > 0 ) constant. ,x On utilise la base des coordonnées cylindriques ( e r, e e, e x ) et on suppose que le champ des vitesses est de la forme v = v ( r, x )e x . On donne le formulaire : grad f = 1 ,f ,f ,f e + e e + --,r r r ,e e , x x 1 , 1 ,A e ,A x div A = --- (r A r) + --+ r ,r r ,e ,x ,A r ,A x ,A r 1 , 1 ,A x , rot A = --­ ( r Ae ) er + ­ e e + --( r Ae ) ­ ex ,x r ,r r ,e ,x ,r ,e Ae , , , ( A u grad )B = A r B + ------- B + A x B ,x ,r r ,e III.A.1) Montrer que v ne dépend que de r . III.A.2) Définir et calculer l'accélération convective. III.A.3) Donner la signification physique du caractère rotationnel de l'écoulement d'un fluide. L'écoulement étudié est-il rotationnel ? III.A.4) Soit E l'élément de volume de fluide constir + dr r tué de l'anneau d'axe xvx , r x + dx x limité par les cylindres de rayons r et r + dr , et par les plans d'abscisses x et x + dx . On néglige les forr + dr ces de pesanteur. a) Déterminer la résultante des forces de pression s'exerçant sur E . b) Déterminer la résultante des forces de viscosité s'exerçant sur les surfaces latérales de E . Concours Centrale-Supélec 2009 7/11 PHYSIQUE-CHIMIE Filière PSI c) En appliquant la relation fondamentale de la dynamique à E , établir l'équation décrivant le mouvement du fluide selon xvx et montrer que le gradient de pression est nécessairement uniforme. k 2 2 III.A.5) En déduire l'expression de la vitesse : v = ------ ( R ­ r ) . 4d Représenter le profil des vitesses et déterminer la vitesse maximale V 0 de l'écoulement. III.A.6) Déterminer le débit volumique D v à travers la section du tube ainsi que la vitesse moyenne V m de l'écoulement en fonction de k , R et d . III.A.7) Comparer D v au débit à travers N tubes de rayons R / N parcourus par le même fluide dans les mêmes conditions. Conclure par une application pratique. III.A.8) On revient au cas d'un seul tube de rayon R . En notant 6P la chute de pression sur une distance L , définir une résistance hydraulique R hyd et l'exprimer en fonction de d , L et R . III.A.9) On considère un matériau cylindrique de section circulaire de rayon R , de conductivité électrique m , parcouru par un courant d'intensité I , de densité volumique de courant uniforme j , soumis à une tension U sur une longueur L . Donner les grandeurs hydrauliques analogues respectivement à j , I , U , m . Définir la résistance électrique R el du tronçon de conducteur de longueur L et expliquer l'origine de la différence avec l'expression de R hyd . III.B - Application à la circulation sanguine On donne les valeurs numériques suivantes relatives au sang : débit D v = 5 L / min , viscosité dynamique d = 0, 003 Pa u s , masse volumique 3 + = 1, 05 g / cm . Vaisseau Nombre Longueur ( cm ) Rayon ( cm ) aorte 1 34 1, 3 grosses artères 40 12 0, 4 branches artérielles 7000 12 0, 03 III.B.1) Les résultats du III.A peuvent s'appliquer en première approximation à la circulation sanguine. Proposer cependant quelques hypothèses qu'il faudrait modifier pour obtenir un modèle plus réaliste. III.B.2) Définir le nombre de Reynolds d'un écoulement et le calculer pour chacun des vaisseaux proposés dans le tableau. Comparer à la valeur critique de l'ordre de 1000 et conclure quant au caractère laminaire de l'écoulement et à l'affirmation du III.B.1). Concours Centrale-Supélec 2009 8/11 PHYSIQUE-CHIMIE Filière PSI III.B.3) Prendre la tension (artérielle) c'est mesurer les surpressions maximale p max (appelée pression systolique) et minimale p min (appelée pression diastolique) au voisinage du coeur. L'opération consiste à comprimer l'artère brachiale avec un brassard gonflable à la surpression p et à écouter au stéthoscope, au creux du bras, la modification des bruits en provenance de l'artère lorsqu'on dégonfle le brassard de la surpression p max à la surpression p min . a) Quelles sont les raisons qui conduisent à faire la mesure au bras ? Pourraiton la faire au mollet ? b) Pourquoi ne détecte-t-on rien pour p > p max ? Quelle est la nature de l'écoulement pour p min < p < p max , quel type de bruit détecte-t-on ? Comment est modifié ce bruit pour p < p min ? c) Pour une personne en bonne santé on prend les valeurs suivantes : p max = 13 cm Hg et p min = 8 cm Hg . 5 On rappelle que 76cm Hg correspond à 10 Pa . Déterminer la chute de pression dans une grosse artère et dans une branche artérielle Y3 et la comparer à la différence p max ­ p min . Dans quel type de vaisseau la résistance Y2 hydraulique est-elle la plus grande ? Y1 III.B.4) On suppose établi l'écoulement dans un vaisseau et on s'intéresse à une bifurcation. L'allure du profil des vitesses dans les sections Y 1 (dans le vaisseau) et Y 3 (en aval de la bifurcation) est supposée donnée par III.A.5. Lorsque l'écoulement bifurque, dans quelles directions et dans quels sens se font la convection et la diffusion de quantité de mouvement au voisinage de Y 2 ? Tracer l'allure du profil des vitesses dans la section Y 2 (juste audelà de la bifurcation). Partie IV - Onde de pression sanguine Dans cette partie on introduit le caractère non stationnaire de l'écoulement du sang et on étudie la propagation du pouls. On utilise les mêmes notations qu'à la Partie III. On assimile une artère à un tube cylindrique d'axe xvx , de rayon intérieur R ( x, t ) , de rayon extérieur R ( x, t ) + H , avec H « R , de longueur L , constitué d'un matériau élastique, homogène et isotrope de module d'Young E défini plus bas et de masse volumique l 0 . Le sang est assimilé à un fluide parfait incompressible de masse volumique + soumis aux seules forces de pression. La pression à l'intérieur de l'artère vaut P ( x, t ) et elle vaut P 0 à l'extérieur. On modélise le champ des vitesses du sang par l'expression v 5 v ( x, t ) e x .On considère la paroi artérielle comme un assemblage d'anneaux indépendants, ce qui Concours Centrale-Supélec 2009 9/11 PHYSIQUE-CHIMIE Filière PSI revient à supposer qu'elle ne se déforme que suivant la direction radiale e r . On note R 0 le rayon de l'artère lorsque la pression sanguine P est égale à P 0 . IV.A - Étude de bilans IV.A.1) Pour une tige cylindrique de section S , de longueur L selon la direction définie par le vecteur unitaire u , sur laquelle s'applique une force T = Tu provoquant l'allongement 6L , le module d'Young E est donné par T L E = ---- -------- . S 6L Que vaut E pour un solide parfait ? Que caractérise ce coefficient ? xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx IV.A.2) À l'abscisse x un élément de paroi artérielle P d'épaisseur H , de longueur dx , compris er entre les angles e et e + de est soumis aux forces dx d'élasticité associées au module d'Young dont la H de 2 e somme est notée d F y et aux forces de pression entre l'intérieur et l'extérieur de l'artère dont la 2 somme est notée d F p . 2 R a) Exprimer d F p en fonction de R , P , P 0 , de , dx ee et e r . b) Déterminer l'allongement relatif de l'élément Élément de paroi artérielle P de paroi P quand son rayon passe de R 0 à R ; en déduire l'expression de la somme des forces d'élasticité R ­ R0 2 d F y = ­ EH ------------------ dx de e r . R0 IV.A.3) 2 2 a) En notant m = / R ­ / R 0 la variation locale de la section de l'artère montrer que pour de petites déformations on peut écrire : m = 2/ R 0 ( R ­ R 0 ) . b) En appliquant la relation fondamentale de la dynamique à P et en notant p = P ­ P 0 la surpression correspondante, montrer que : 2 2/R E , m --------2- = ----------- p ­ ------------2- m H l 0 l0 R0 ,t (1) c) En faisant un bilan de masse entre les instants t et t + dt sur la tranche de fluide comprise entre les abscisses x et x + dx montrer que : ,m 2 ,v ,m ------ + v ------ + ( m + / R 0 ) ------ = 0 ,x ,x ,t (2) d) Appliquer l'équation d'Euler pour obtenir l'équation différentielle ( 3 ) liant v et p . On utilisera le formulaire donné en III.A. En évaluant les ordres de grandeur du terme d'accélération convective et du terme de viscosité d6v / + que l'on Concours Centrale-Supélec 2009 10/11 PHYSIQUE-CHIMIE Filière PSI a négligé, justifier la modélisation proposée pour la nature de l'écoulement. On 3 fera l'application numérique avec d = 0, 003 Pa u s , + = 1, 05 g / cm , une vitesse de ­1 l'ordre de 1 m u s , une artère de 0, 5 m de longueur et de 5 mm de rayon. IV.B - Approximation linéaire, relation de dispersion IV.B.1) En ne gardant que les termes d'ordre 1 en m , v et p , linéariser les trois équations précédentes. IV.B.2) Comment se transforment les équations (1), (2) et (3) en notation comi ( tt ­ kx ) plexe pour des signaux de la forme s = s 0 e où t et k représentent les pulsations respectivement temporelle et spatiale ? On notera m , v et p les grandeurs complexes associées à m , v et p . IV.B.3) Établir la relation de dispersion. Tracer la courbe représentant les variations de t en fonction de k . Faire apparaître une pulsation spatiale caractéristique k c pour laquelle t ( k c ) = t max / 2 , et déterminer l'expression littérale de la longueur d'onde h c correspondante ainsi que sa valeur numérique. Dans quel domaine de longueur d'onde la propagation est-elle peu dispersive ? 5 3 3 On prendra : E = 4 u 10 Pa , R 0 = 5 mm , l 0 = 1, 06 g / cm , + = 1, 05 g / cm , H = 0, 6 mm . IV.B.4) Déterminer la vitesse de phase des ondes de pression sanguine et montrer que pour les grandes longueurs d'onde elle vaut c0 = EH -------------- . 2+ R 0 ··· FIN ··· Concours Centrale-Supélec 2009 11/11

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 Centrale Physique et Chimie PSI 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Stanislas Antczak (Professeur agrégé) et Damien Cornu (ENS Ulm) ; il a été relu par Sébastien Dusuel (Professeur en CPGE), Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE), Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) et Tiphaine Weber (Enseignant-chercheur à l'université). Ce sujet comporte quatre parties indépendantes. · La première s'intéresse au milieu sanguin vu comme solution tampon. On étudie l'influence de l'acide carbonique sur le pH du sang ainsi que les mécanismes permettant de rester dans des valeurs compatibles avec la vie. · La deuxième partie est consacrée au dioxygène dans les êtres vivants. Elle s'intéresse d'abord à une sonde de Clark permettant de mesurer la teneur en dioxygène dans un milieu. Son fonctionnement est analysé par des raisonnements utilisant l'oxydoréduction et les courbes intensité-potentiel. Un deuxième volet traite des lois d'échelle chez les mammifères en suivant des raisonnements relativement classiques concernant les rapports entre pertes thermiques d'une part, tailles et nombres des vaisseaux sanguins d'autre part. Il n'est pas toujours facile de comprendre où l'énoncé veut en venir. · La troisième étudie un écoulement stationnaire dans un tube cylindrique. Elle débute par un calcul, très guidé, de l'écoulement de Poiseuille cylindrique, avec une analogie électrique. Ceci débouche sur des raisonnements qualitatifs et quantitatifs concernant les différents types d'artères ; on comprend notamment la prise de « tension artérielle » par les médecins. · La quatrième partie modélise une onde de pression sanguine en introduisant les déformations d'un vaisseau sanguin à l'aide du module d'Young. On obtient une relation de dispersion en linéarisant un système d'équations différentielles. Les raisonnements sont assez bien guidés dans ce sujet, en dépit de passages qui semblent tortueux au premier abord. Dans de nombreuses questions, les expressions à trouver sont données par l'énoncé : il est donc possible de traiter une grosse partie du problème, quitte à sauter certaines questions. Ce sujet très riche est tout à fait dans l'air du temps : les passerelles se multiplient entre la biologie et les autres disciplines. Dans ce contexte, il ne faut surtout pas négliger les applications numériques, qui permettent de confronter la théorie à l'expérience et de valider les approches choisies. Elles peuvent également susciter des commentaires susceptibles d'enrichir la compréhension tant de la biologie que de la physique. Indications Partie I I.A.1 L'atome de carbone est lié avec les atomes d'oxygène et ces derniers sont liés aux atomes d'hydrogène. I.B.3 Reprendre la question précédente, mais en maintenant constante la concentration en acide carbonique. Partie II II.A.1 Faire une analogie avec d'autres polymères connus. II.A.3.b Seule une des deux électrodes peut voir l'intensité qui la traverse limitée par la diffusion. II.A.3.c Écrire le potentiel à l'électrode de deux manières différentes. II.A.5.c Penser à d'autres réactions qui peuvent intervenir si la différence de potentiel aux bornes des électrodes est trop importante. II.B.2 Exprimer ln f c en fonction de ln Mc et faire une régression linéaire. II.B.3.b Que représente f c vie ? II.B.4 Les apports journaliers recommandés sont d'environ 2 000 kcal en France. II.B.5.a Exprimer la puissance thermique traversant une sphère de rayon r et écrire qu'elle ne dépend pas de r. II.B.5.b Égaler les deux expressions de P en les écrivant en fonction de Ra . II.B.5.c Exprimer à présent P de deux manières en fonction de Mc . II.B.6.d La masse est proportionnelle au volume de l'animal ; à quoi est proportionnelle la puissance thermique dissipée ? Partie III III.A.4.b Écrire l'expression de la force visqueuse exercée par une veine de fluide sur sa voisine, puis faire un bilan sur E . III.A.5 Le gradient de v ne peut être infini en r = 0. III.A.8 La résistance hydraulique est le rapport entre la chute de pression et le débit volumique. III.B.2 Pour déterminer les nombres de Reynolds, utiliser le débit dans une artère, calculé comme le débit total divisé par le nombre d'artères de ce type. Partie IV IV.A.2.b On étudie ici l'allongement de l'élément de paroi suite à l'élargissement de la section du tube. Faire un dessin en coupe où l'on fait apparaître les forces de tension orthoradiales s'appliquant sur le système. Leur norme ne dépend pas de . IV.A.3.c Exprimer de deux manières la variation du volume de la tranche pendant la durée dt. Attention : le tuyau n'est pas cylindrique. On prendra garde aux ordres de grandeur. Autour du sang : pH, teneur et consommation en dioxygène, hydrodynamique et pouls I. Le sang : un milieu tamponné I.A.1 L'atome de carbone est l'atome central, lié aux atomes d'oxygène, eux-mêmes liés aux atomes d'hydrogène. Il possède quatre électrons de valence mis en jeu dans deux liaisons simples et une liaison double. Le carbone ne possède donc pas de doublet non-liant. Les deux molécules sont toutes les deux du type AX3 E0 selon la théorie VSEPR, donc de géométrie trigonale plane. O O C C H O O H O O H I.A.2 Le couple mis en jeu dans ce problème est : H2 CO3 + H2 O HCO3 - + H3 O+ La concentration totale en élément carbone, notée C0 , s'écrit C0 = [H2 CO3 ] + [HCO3 - ] La connaissance du pH et donc de la concentration en ions hydronium H3 O+ permet de déterminer le rapport [HCO3 - ]/[H2 CO3 ] : Ka = soit [HCO3 - ][H3 O+ ] [H2 CO3 ] [HCO3 - ] Ka Ka = = -pH [H2 CO3 ] [H3 O+ ] 10 Remplaçons la valeur de la concentration en HCO3 - dans l'équation de conservation de la matière : C0 = [H2 CO3 ] + Ka 10pH [H2 CO3 ] Ici, pour pH = 7,40 et C0 = 0,028 mol.L-1 : [H2 CO3 ] = C0 = 2,37.10-3 mol.L-1 1 + Ka 10pH En remplaçant cette valeur dans l'équation de conservation, on obtient [HCO3 - ] = C0 - [H2 CO3 ] = 25,6.10-3 mol.L-1 On vérifie bien ici que [HCO3 - ] > [H2 CO3 ], ce qui est cohérent avec une valeur de pH supérieur au pKa du couple (ici, pKa = - log(4,3.10-7 ) = 6,37). I.B.1 L'acide lactique possède un unique centre stéréogène, le carbone portant la fonction alcool. Selon les règles de Cahn, Ingold et Prelog : OH > COOH > CH3 > H Ainsi, la forme (S) de l'acide lactique est donnée ci-contre. CH3 H HO C COOH I.B.2 On réalise un tableau d'avancement, sachant que la réaction est quantitative. On remarque que l'acide lactique est le réactif limitant. HB + HCO3 - H2 CO3 + B- état initial (10-3 mol.L-1 ) 2,00 25,6 2,37 0 0 23,6 4,37 2,00 état final (10-3 mol.L-1 ) Le nouveau pH peut être calculé grâce à la formule pH = pKa + log [HCO3 - ] = 7,10 [H2 CO3 ] Cette valeur n'est pas comprise dans les valeurs usuelles du pH dans le sang données dans l'énoncé, elle n'est donc pas compatible avec la vie. I.B.3 La concentration d'acide carbonique est maintenue constante par l'expiration du CO2 et est égale à 2,37.10-3 mol.L-1 . L'ajout de 2,00 mol.L-1 d'acide lactique fait uniquement baisser la concentration en ion hydrogénocarbonate : [HCO3 - ] = 23,6.10-3 mol.L-1 Cela correspond à pH = pKa + log [HCO3 - ] = 7,36 [H2 CO3 ] ce qui est bien dans la fourchette fournie par l'énoncé comme valeurs acceptables. L'acide carbonique peut très aisément être transformé en dioxyde de carbone et en eau par la réaction H2 CO3(aq) CO2(g) + H2 O() Le dioxyde de carbone est éliminé du sang dans les poumons. Lors d'un effort physique important réalisé violemment, le dégagement du dioxyde de carbone par la respiration n'est pas suffisant. La baisse du pH cellulaire qui intervient est à l'origine du phénomène assez douloureux des crampes musculaires. II. Le dioxygène : mesure in vivo et consommation animale II.A Sonde de Clark II.A.1 Le polymère PTFE, de nom commercial « Téflon », a une structure identique au polyéthylène en remplaçant les atomes d'hydrogène par des atomes de fluor. F F F F F F n n F F