Centrale Physique et Chimie 1 PSI 2019

Thème de l'épreuve Physique dans la salle de bain
Principaux outils utilisés thermodynamique, transferts thermiques, électrocinétique, conversion de puissance
Mots clefs pression de vapeur saturante, onduleur, redresseur, buée, résistance thermique, air humide

Corrigé

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Centrale Physique et Chimie 1 PSI 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Robin Guichardaz (professeur agrégé) ; il a été relu 
par
Raphaël Galicher (enseignant-chercheur à l'université) et Stéphane Ravier 
(professeur
en CPGE).

Ce sujet porte sur différents phénomènes physiques pouvant avoir lieu dans une
salle de bain. Ses quatre parties sont indépendantes.
· Dans un premier temps, on s'intéresse au mélange d'eau froide et d'eau chaude
qui a lieu dans un robinet. Le but de cette partie, qui ne présente pas de
difficulté particulière, est d'obtenir l'expression de la température de l'eau 
en
sortie du robinet en fonction des débits et des températures de l'eau froide et
de l'eau chaude.
· La deuxième partie traite de l'eau vapeur présente dans l'air humide et du
phénomène de condensation. On étudie un thermomètre permettant de mesurer 
l'humidité relative de l'air : le psychromètre. Cette partie contient quelques
questions délicates et il convient à chaque fois de définir précisément les 
différents systèmes thermodynamiques étudiés.
· On s'intéresse dans la troisième partie à un dispositif chauffant servant à 
éviter
la formation de buée sur un miroir de salle de bain. On quantifie notamment les
échanges thermiques entre l'intérieur de la salle de bain et l'air extérieur 
afin de
déterminer les caractéristiques du dispositif chauffant. Cette partie se termine
par une résolution de problème qui mobilise les connaissances en conductivité
électrique.
· Enfin, la quatrième partie est consacrée à l'étude de la recharge d'une brosse
à dents électrique. Le support de la brosse est relié au secteur, et la tension
délivrée par ce dernier est traitée successivement par deux circuits 
électriques :
un redresseur pour convertir la tension alternative en tension continue, et un
onduleur pour obtenir une tension alternative haute fréquence à partir du signal
continu. Si les premières questions sont guidées, la dernière sous-partie 
traitant
du couplage inductif fait appel au sens physique.
Ce sujet aborde ainsi des thématiques dans différents domaines, en 
thermodynamique, électricité et conversion de puissance. Tout à fait dans 
l'esprit des programmes,
il propose cinq résolutions de problème.

Indications
Partie I
1 Un verre d'eau standard possède un volume de 20 cL.
3 Les échanges thermiques peuvent s'effectuer selon trois modes : par conduction
(sans transport de matière), par transfert conducto-convectif et par 
rayonnement.
4 Identifier l'eau contenue dans le mitigeur comme un système ouvert en régime
permanent, et appliquer le premier principe de la thermodynamique.
5 Exprimer les enthalpies massiques de la question 4 en fonction des 
températures
et utiliser le résultat de la question 2.
6 La température de sortie du robinet le soir permet de déterminer DF /DC .
Partie II
8 Écrire la loi des gaz parfaits pour l'air sec et l'eau vapeur.
10 L'eau vapeur produite au cours de la nuit contribue à la pression partielle 
de
vapeur d'eau. Utiliser la loi des gaz parfaits le soir, puis le matin.
11 La quantité de matière d'eau vapeur est conservée au cours du réchauffement 
de
la pièce, mais la pression de vapeur saturante est modifiée.
12 Analyser séparément l'air sec et l'eau vapeur.
13 La transformation subie par le système fermé est supposée adiabatique et à 
pression constante ; l'eau évaporée entre t et t + dt change d'état.
Partie III
18 La résistance thermique de conduction est définie en faisant une analogie 
entre T
et la tension électrique d'une part, et entre Pth et le courant d'autre part.
21 Appliquer la relation du « diviseur de tension ».
23 La résistance thermique du miroir est en série avec celle du mur.
24 La situation est semblable à celle de la question 10. L'eau produite par la 
douche
modifie l'humidité absolue de la pièce, ce qui augmente la température de rosée.
26 Écrire la condition sur P0 pour que Ts = Ti .
28 Déterminer le schéma électrique équivalent aux 38 bandes noires de 
résistance R
du film antibuée. La puissance électrique fournie au film est entièrement 
convertie
en puissance thermique par effet Joule.
Partie IV
34 Déterminer les caractéristiques du filtre afin d'atténuer la tension crête à 
crête de
la première harmonique jusqu'à 5 % de l'amplitude de la composante continue.
37 Résoudre les équations différentielles sur chaque demi-période, puis 
utiliser la
condition de continuité de l'intensité traversant la bobine et le fait que le 
signal i
est périodique de période T0 pour déterminer complètement i(t). Remarquer que
ce signal est croissant sur la première demi-période et décroissant sur la 
seconde.
39 Le paramètre L/r correspond au temps typique de charge de la bobine. Le 
comparer avec l'autre grandeur temporelle intervenant dans le problème.
41 La capacité d'une batterie en A.h correspond à l'intensité qu'elle est 
capable de
délivrer pendant une heure.

Physique dans la salle de bain
I. Arrivée d'eau
1 Convertissons les débits massiques en débits volumiques afin de mieux 
appréhender les valeurs proposées. En notant Dv le débit massique et eau le 
débit volumique
de l'eau, on a
Dv =

Ds
eau

Sachant que eau = 1 g.mL-1 , on peut convertir les quatre débits massiques en 
débits
volumiques. On obtient
a. 2,0 mL.s-1

b. 2,0 × 101 mL.s-1

c. 2,0 × 102 mL.s-1

d. 2,0 × 103 mL.s-1

Un verre d'eau standard possède un volume d'environ 200 mL. En considérant qu'un
fonctionnement normal revient un remplir un tel verre en une seconde, on en 
déduit
que le débit en sortie du mitigeur correspond à la proposition c.
Ds = 2,0 × 102 g.s-1
2 Notons dmC la masse d'eau chaude arrivant dans le mitigeur pendant un 
intervalle
de temps dt. D'après la définition du débit massique, cette masse vérifie dmC = 
DC dt.
De manière similaire, la masse d'eau froide arrivant dans le mitigeur durant le 
même
intervalle de temps dt est dmF = DF dt, et la masse d'eau tiède sortant du 
robinet
s'écrit dms = Ds dt. La masse d'eau est conservée, ce qui donne
dms = dmF + dmC
En exprimant les masses en fonction des débits, puis en simplifiant par dt, il 
vient
Ds = DC + DF
3 L'eau présente dans le corps du mélangeur peut a priori recevoir de la 
puissance
thermique de la part de l'air environnant par trois mécanismes : conduction, 
échanges
conducto-convectifs et rayonnement. Les échanges thermiques par conduction sont
lents par rapport au temps que l'eau passe dans le mélangeur. Par ailleurs, 
l'eau
n'est en contact direct avec l'air extérieur qu'à la sortie du mélangeur, ce 
qui signifie
que les échanges conducto-convectifs n'entrent pas en jeu. Enfin, l'isolation 
métallique
limite aussi les transferts par rayonnement.
4 L'eau contenue dans le mélangeur constitue un système ouvert en régime 
permanent : pendant un intervalle de temps dt, les masses élémentaires dmC 
d'eau chaude
et dmF d'eau froide entrent dans le mélangeur et la masse dms en sort.
Étant donné que le mitigeur est horizontal, l'énergie potentielle de pesanteur 
des
masses d'eau entrante et sortante est conservée. Par ailleurs, aux débits 
considérés les variations d'énergie cinétique associées à ces masses sont 
négligeables devant
les autres grandeurs énergétiques du problème. Enfin, le mitigeur n'échange 
aucun
travail avec l'extérieur, et ne reçoit aucune puissance thermique de la part de 
l'air
environnant. Le premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert
appliqué à l'eau contenue dans le mélangeur s'écrit alors
dms hs - (dmC hC + dmF hF ) = 0
En exprimant comme pour la question 2 les masses en fonction des débits et en
simplifiant par dt, on obtient

Ds hs = DC hC + DF hF
Notons que ce sont bien les enthalpies (massiques) qui interviennent dans
l'expression du premier principe de la thermodynamique pour des systèmes
ouverts. L'utilisation de l'enthalpie à la place de l'énergie interne est liée à
la prise en compte du travail des forces de pression lors de l'entrée et de la
sortie des masses de fluide.
5 On note h(T) l'enthalpie massique de l'eau liquide à la température T, qui 
s'écrit
h(T) = ce (T - T0 ) + h0
où ce est la capacité thermique massique de l'eau liquide, supposée 
indépendante de
la température, T0 est une température de référence et h0 correspond à 
l'enthalpie
massique à T0 . On peut ainsi écrire le résultat de la question 4 sous la forme 
:
Ds (ce (Ts - T0 ) - h0 ) = DC (ce (TC - T0 ) - h0 ) + DF (ce (TF - T0 ) - h0 )
En utilisant le résultat de la question 2, on obtient
Ts =

DC TC + DF TF
DC + DF

6 Afin de calculer la température de sortie de l'eau le matin, il faut 
déterminer
les valeurs des débits d'eau chaude et d'eau froide fixés par la position du 
mitigeur.
Écrivons le résultat obtenu à la question précédente sous la forme
Ts =

TC +  TF
1+

avec

=

DF
DC

Notons Tsoir = 42  C la température en sortie du mitigeur le soir, et Tmatin la
température en sortie du mitigeur le matin. En utilisant l'équation précédente 
on
obtient
Tsoir (1 + ) = TC +  TF
d'où

=

TC - Tsoir
1
=
Tsoir - TF
3

Le paramètre , qui caractérise la position du mitigeur, est inchangé entre le 
soir
et le matin. En revanche, la température de l'eau chaude le matin est plus 
élevée :
TC,matin = 70  C. La température en sortie du robinet le matin est donc donnée 
par
Tmatin =

TC,matin +  TF
= 57  C
1+

Le risque de brûlure est présent mais relativement limité ; en effet, un enfant 
ouvrant
le mitigeur le matin aura environ trois secondes pour réagir et retirer sa main 
du jet
pour éviter une brûlure au troisième degré.
7 Lorsque la température augmente, la cire se dilate, ce qui signifie que la 
cartouche
de cire occupe un volume plus important. L'élément qui régule les arrivées d'eau
chaude et d'eau froide est alors poussé vers la gauche sur le schéma de la 
figure 2,
diminuant ainsi le débit d'arrivée d'eau de l'entrée 1 (et augmentant dans le 
même
temps le débit d'arrivée d'eau de l'entrée 2). Ainsi,
L'eau chaude arrive sur l'entrée 1.