Centrale Physique et Chimie 1 PSI 2019

Thème de l'épreuve Physique dans la salle de bain
Principaux outils utilisés thermodynamique, transferts thermiques, électrocinétique, conversion de puissance
Mots clefs pression de vapeur saturante, onduleur, redresseur, buée, résistance thermique, air humide

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Physique-chimie 1
PSI

4 heures Calculatrices autorisées

2019

Physique dans la salle de bain

Certaines questions peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part du 
candidat. Leur énoncé est repéré
par une barre en marge. Il est alors demandé d'expliciter clairement la 
démarche, les choix et de les illustrer,
le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et 
tient compte du temps nécessaire à la
résolution de ces questions.

I Arrivée d'eau

Dans une salle de bain, l'eau est délivrée par deux types de robinets : le 
mitigeur mécanique pour les lavabos et
le mitigeur thermostatique pour la douche ou la baignoire (figure 1).

Figure 1 Exemples de mitigeurs

Dans le mitigeur mécanique, l'eau froide et l'eau chaude sont mélangées dans 
des proportions réglables par une
position angulaire de la poignée et le débit réglable indépendamment par 
l'inclinaison de la poignée. L'écoulement
est étudié en régime stationnaire et on note D, et D, les débits massiques 
respectifs de l'eau chaude (température
Tk) et de l'eau froide (température Tr) à l'entrée dans le mélangeur et D, le 
débit massique de l'eau en sortie
(température T).

On suppose que la capacité thermique massique de l'eau est indépendante de sa 
température.

Q 1. Parmi les quatre valeurs proposées ci-dessous, quel débit D, en sortie du 
mitigeur correspond à un
fonctionnement normal ? Argumenter.
a. 2,0gs7! c. 2,0 x 10? gs"!
b. 2,0 x 10!gs71 d. 2,0 x 10% gs"!
Q 2. Relier D, à D£ et D.
Q 3. Pourquoi peut-on faire l'hypothèse que l'eau dans le corps du mélangeur ne 
reçoit aucune puissance

thermique de la part de l'air environnant ?

Q 4. Détailler le raisonnement qui aboutit à Dh, = Déhc + Drhr où k, ke et hr 
sont les enthalpies
massiques respectives de l'eau en sortie, chaude et froide.

Q 5. En déduire l'expression de 7° en fonction des deux températures d'entrée 
et des débits massiques.

La légionellose est une maladie infectieuse due à une bactérie qui se développe 
dans les réseaux d'eau douce dont
la température est comprise entre 25 et 45 °C. À 50 °C, sa croissance est 
stoppée, mais la bactérie survit ; à 55 °C,
le temps de destruction est de plusieurs heures, à 60 °C il est de 32 minutes, 
à 70 °C de une minute (source :
DRASS/DASS). Dans les logements où la production d'eau chaude est individuelle, 
il est donc recommandé de
maintenir l'eau du ballon de stockage à une température de plus de 55 °C et une 
fois par semaine de produire
une eau à 70 °C. La température d'eau chaude à l'arrivée au robinet doit être 
au moins de 50 °C.

La gravité d'une brûlure est fonction de la température de l'eau et du temps de 
contact avec la peau. Une
brûlure au troisième degré survient lors d'une exposition de la peau d'une 
seconde à 70 °C, 7 secondes à 60 °C
pour l'adulte et 3 secondes pour l'enfant, 8 minutes à 50 °C, pour l'adulte, 60 
secondes pour l'enfant. (source :
http ://www.porcher.com/normes_et_ reglementation/risque_de_ brulure.html).

Un mitigeur mécanique est réglé pour que la température de sortie soit de 42 °C 
lorsque 7%, = 50°C et 75 = 18°C.
La manette est alors abaissée en position robinet fermé. Durant la nuit, l'eau 
chaude sanitaire est produite à
une température de 70 °C.

Q 6. Y a-t-il un risque de brûlure à l'ouverture du mitigeur le matin si on 
lève simplement la manette sans
la tourner ni à gauche ni à droite ?

2019-02-21 11:42:29 Page 1/8 CHELLES
Un mitigeur thermostatique contient un élément dilatable, par exemple une 
cartouche de cire. Si la température
de l'eau chaude augmente brusquement, la régulation de température de l'eau de 
sortie est alors effectuée sans
agir sur le réglage de la manette.

Q 7. L'eau chaude arrive-t-elle sur l'entrée 1 ou l'entrée 2 du schéma de la 
figure 2 ? Justifier.
1 2
Y Y

/ Cire dilatable

7 ne

JM Lt 7

L Sortie

Figure 2 Mitigeur thermostatique schématique

IT L'air humide

IT. A --- Grandeurs caractérisant un air humide
L'air renferme toujours une proportion d'eau sous forme vapeur. On le qualifie 
d'air humide et on le caractérise
par

-- son humidité absolue x = m,/m,. où m, et m,, Sont respectivement les masses 
de vapeur d'eau et d'air sec
dans un volume V quelconque d'air humide :
P,(T)

Psat (7)
partielle en vapeur d'eau et p,,. la pression de vapeur saturante dont la 
dépendance avec la température est

donnée par la figure 3.

-- son humidité relative HR (ou degré hygrométrique) à la température T': HR = 
où p, est la pression

Dans la suite, l'air humide sera étudié comme un mélange de deux gaz parfaits : 
l'air sec (indice as) et la vapeur
d'eau (indice v). La pression totale p de l'air humide sera considérée 
constante et égale à p = 1,013 bar.

On note respectivement M. et M, les masses molaires de l'air sec et de l'eau.

3000

2900

2000

Psat (Pa)

1500

1000

900

0 5 10 15 20 25
T' (°C)

Figure 3 Pression de vapeur saturante en fonction de la
température

Q 8. Montrer que x = d où d = MM.
D

ÿ

Q 9. Calculer la valeur maximale de l'humidité absolue x... de l'air humide à 
la température 7, = 20 °C.

sat

2019-02-21 11:42:29 Page 2/8 (Cc)EATE:
On considère une chambre hermétiquement fermée de volume V = 40m° occupée par 
une personne qui se couche
à 22 h. La température de la pièce est de 18 °C et l'humidité relative est de 
50%. La chambre n'est pas chauffée
et la température au lever à 8 h le lendemain matin est de 16 °C. On trouvera 
en fin d'énoncé quelques exemples
de sources d'eau vapeur, ainsi que leur débit de production.

Q 10. Au lever, l'occupant de la chambre constate-t-il une condensation de 
l'eau ? La réponse doit s'appuyer
sur un raisonnement quantitatif.

Le problème de la condensation peut être résolu en aérant les pièces du 
logement suffisamment et régulièrement.
Certaines personnes sont réticentes à aérer lors des journées humides où l'air 
extérieur est froid et saturé en
vapeur d'eau.

Considérons une pièce initialement à la température 7; = 20°C et saturée en 
vapeur d'eau. L'air extérieur est à
la température 7°, = 10°C et est aussi saturé en vapeur d'eau. On renouvelle 
entièrement l'air de la pièce avec
courant d'air.

Q 11. Calculer l'humidité relative de l'air de la pièce après aération une fois 
que l'air est revenu à la tempé-
rature 7; = 20 °C par contact avec les meubles, le plafond et les parois 
intérieures de la pièce. Conclure.

II.B - Étude d'un hygromètre : le psychromètre

Un psychromètre est un instrument comportant deux thermomètres qui permet 
d'accéder à l'humidité relative de
l'air ambiant. Ce dernier circule autour des réservoirs des deux thermomètres 
par aspiration ou par mouvement
des thermomètres pour un psychromètre à fronde (figure 4). Le thermomètre dit « 
sec » indique la température
1 de l'air ambiant étudié. Le thermomètre dit « humide » a son réservoir 
recouvert d'un tissu mouillé et indique
la « température humide » 7}.

L'humidité relative HR se déduit alors des mesures de T°; et 7}.

-- ventilateur

-- tissu mouillé

Air ambiant

Figure 4 Psychromètres

II.B.1) Étude du thermomètre humide

La figure 5 schématise le transport de l'air humide sur le thermomètre à bulbe 
humide. La température de sortie
T,, est déterminée à l'aide d'un bilan thermodynamique appliqué à la surface de 
contrôle (S) représentée sur
la figure 5. À l'entrée, la température de l'air vaut T, et l'humidité absolue 
est x. À la sortie, la température
est 1°, et l'humidité absolue est x, = 1,,,(7,). Le débit massique d'air sec 
dans l'écoulement est noté D,,... La
pression est uniforme et constante et vaut p = 1,013 bar. On néglige tout 
transfert thermique à travers la surface

de contrôle (S).

2019-02-21 11:42:29 Page 3/8 (C2) BY-NC-SA

air étudié (à 7) air saturé en eau (à 7;

tissu mouillé (à 7)

Figure 5 Thermomètre à bulbe humide

Q 12. À l'aide d'un bilan de masse d'eau réalisé entre deux instants t et £ + 
dé sur le système fermé (8 f}:
délimité à l'instant t par la surface de contrôle, montrer que la masse d'eau 
évaporée par unité de temps, notée

May Vérifie My = Dyus(Tsat (Th) -- 21). Il est conseillé de faire un schéma du 
système ($;) aux instants £ et
t + dt.
Q 13. À l'aide d'un bilan d'enthalpie réalisé sur le système fermé (S f) entre 
deux instants t et t+ dt, montrer
que
XL, = Lant(Tn) Li (T3) + Cpaas (1 EE T')
L (T5) + (Ti -- Ti)
où

-- Cas -- 1004 J kg !.K ! est la capacité thermique massique à pression 
constante de l'air sec :
--1] 1] 7 . . \ . .
-- C,y -- 2010 J'kg -K est la capacité thermique massique à pression constante 
de la vapeur d'eau ;

-- L,(T) = 3155 -- 2,39T (en kJ-kg* avec 273 < T < 323 en K), est l'enthalpie massique de vaporisation de UV l'eau liquide à la température T° Q 14. Après comparaison des ordres de grandeur des termes de l'expression de x,, montrer que l'humidité absolue de l'air devient Li © Tnt (13) E AT EE T5) où on exprimera À en fonction des données. On montre alors que l'humidité relative de l'air étudié est Pat (T3) | 7 | HR= = |1---------(T --7,) Psat (T1) Psat (T3) ' OÙ y -- Cas _ Ma est la constante psychrométrique Q 15. Application numérique On mesure T, = 20 °C et 7, = 15 °C. En déduire l'humidité relative HR de l'air étudié. Q 16. Le diagramme psychrométrique donné figure À du document réponse confirme-t-il cette valeur ? Jus- tifier en annotant cette figure à rendre avec la copie. III Miroir antibuée Certaines pièces d'un logement sont plus exposées à une humidité relative importante voire maximale. C'est le cas des salles de bain où les sources de vapeur d'eau sont multiples. On s'intéresse dans cette partie à la formation de buée sur les parois froides et à un dispositif antibuée placé au dos d'un miroir. On considère une salle de bain séparée de l'air extérieur de température 7°, par un mur homogène d'épaisseur e, = 50 em et de conductivité thermique À, = 1,7 W-K !:m !. Ce mur a une largeur L = 2,4 m et une hauteur H = 2,5 m. Q 17. La différence de température entre la paroi intérieure et la paroi extérieure du mur est notée ÔT. Déterminer, en fonction des données, la puissance thermique F4 qui traverse le mur. 18. En déduire que la résistance thermique de conduction du mur À, peut s'écrire R., -- où 9, est c,1 C1 I 191 une surface qui l'on explicitera. 2019-02-21 11:42:29 Page 4/8 (cc) BY-NC-SA Les transferts thermiques de nature conducto-convective sont régis pas la loi de Newton : la puissance thermique surfacique cédée par une paroi de température 7, au fluide environnant dont la température, loin de la paroi, vaut Test p, = h(T, --T;) où h est le coefficient de transfert thermique conducto-convectif. À l'interface mur-air intérieur à la salle de bain : h; = 5,0 W:m ?K !. À l'interface mur-air extérieur à la salle de bain : h, = 20 W-m ?K !. Q 19. Expliquer qualitativement pourquoi le coefficient de transfert thermique conducto-convectif entre le mur et l'air est plus grand à l'extérieur qu'à l'intérieur. Q 20.  Exprimer les résistances thermiques de nature conducto-convectives à chaque interface en fonction de h.. R; et 51. Q 21. Montrer, qu'en régime stationnaire, la température de surface de la paroi intérieure du mur de salle de bain s'écrit 7°, = 7, + a(T; -- T7), où l'on exprimera a en fonction des paramètres du problème. Q 22. Application numérique En prenant 7; -- 20 °C, calculer T,,; pour T, = 5,0 °C. Le point de rosée ou température de rosée est la température la plus basse à laquelle une masse d'air peut être soumise, à pression et humidité données, sans qu'il se produise une formation d'eau liquide par saturation. La figure 6 donne le point de rosée en fonction de la température de l'air pour différents niveaux d'humidité relative. 40 35 © 30 EF 95 1 D à © 8 20 S = D DT 15 E À 10 5 NE 0 Û D 10 15 20 25 30 35 40 Température de l'air 7, (°C) Figure 6 Point de rosée pour une humidité relative de 10 à 100% par pas de 10% Un miroir carré de 50 em de côté, de surface $,,, de conductivité thermique À = 1,0 W:m !-K ! et d'épaisseur es = 3,0 mm est collé au mur séparant la salle de bain de l'extérieur. En plus des données fournies en fin d'énoncé, on précise que le volume intérieur de la salle de bain est V = 15 m° et que l'humidité relative initiale est de 50%. Q 23. Y a-t-il de la buée sur le miroir avant que l'occupant ne prenne une douche ? On prendra les mêmes valeurs de T° et 7° qu'à la question précédente et on admettra que les coefficients conducto-convectifs mur-air et miroir-air sont identiques. Q 24. À partir de quelle durée de douche de la buée apparaît-elle inévitablement sur le miroir ? Pour éviter la formation de buée sur le miroir même lorsque l'humidité relative est de 100%, on peut placer au dos du miroir, un film antibuée adhésif. Ce film est alimenté par la tension du secteur (alternatif, 230 V cfficacc) et apporte une puissance thermique P, sur la face arrière du miroir. Q 25. La figure 7 propose quatre schémas électriques équivalents au schéma thermique de la situation étudiée où 1, est la température de la face visible du miroir. Recopier le bon schéma en justifiant le choix. Donner également les expressions des trois résistances thermiques présentes dans le schéma en fonction de $,,, h,, h,, e1; EUR, À Et À. Les coefficients de transfert conducto-convectifs miroir-air et mur-air sont supposés identiques. Q 26. Quelle puissance minimale le film antibuée doit-il apporter pour éviter la formation de buée quelle que soit l'humidité relative ? Le film antibuée utilisé (environ 50 em x 50 cm) est composé de 38 bandes noires d'encre conductrices à base de poudre de carbone (figure 8). Il est alimenté par la tension du réseau électrique local, sinusoïdale de valeur efficace 230 V. Trois bandes de cuivre assurent la fermeture du circuit électrique (une bande de longueur 50 cm environ et deux bandes de 25 cm). Un zoom des connexions des fils d'alimentation du film est fourni par la figure 8. Les bandes noire d'encre conductrice sont chacune de longueur L = 48 cm, de largeur EUR = 9,5 mm et d'épaisseur e = 0,10 mm. Le constructeur annonce une puissance de 50 W. Q 27. Les caractéristiques du film permettent-elle d'éviter la formation de buée sur le miroir ? 2019-02-21 11:42:29 Page 5/8 (cc) BY-NC-SA TL (a) (b) T \ alimentation encre cuivre Figure 8 Film antibuée | Q 28.  Estimer la conductivité électrique de l'encre conductrice et comparer à celle du cuivre. Q 29. Quel serait l'inconvénient d'utiliser des matériaux meilleurs conducteurs électriques que l'encre, comme du cuivre ? IV Station de charge d'une brosse à dents électrique La figure 9 présente une station de charge par induction d'une brosse à dents électrique. Le modèle testé bénéficie d'un indice de protection IP67 le protégeant des effets de l'immersion jusqu'à un mètre. Il n'est pas démontable, le circuit électrique alimentant la bobine primaire (1) est totalement inclus dans une résine blanche empêchant d'accéder à ses caractéristiques. Les seules mesures possibles sont réalisées aux bornes du bobinage secondaire (2) situé à la base de la brosse à dents. (1) bobinage principal (2) bobinage secondaire (2) brosse à dents station de charge (1) À La station de charge est raccordée au réseau électrique local (le « secteur ») basse tension qui délivre une tension alternative sinusoïdale de valeur efficace 230 V à la fréquence 50 Hz. On applique cette tension e(t) = E sin(wt) l r je + Figure 9 Station de charge on Il IV.A - Conversion alternatif BF-continu 2019-02-21 11:42:29 Page 6/8 (C2) BY-NC-SA à l'entrée d'un pont redresseur à quatre diodes qu'on supposera idéales (figure B du document réponse). Cette sous-partie IV.A propose l'étude d'un circuit électrique pouvant alimenter le bobinage primaire. Q 30. Calculer E. Q 31.  Représenter les quatre diodes D, à D, sur la figure B du document réponse afin que le signal s,(t) soit un redressement double alternance du signal e(t). La figure C du document réponse représente le spectre du signal s,(t) auquel il manque sa valeur moyenne. Q 32. Ajouter cette composante moyenne sur le spectre de la figure C en justifiant votre réponse. Q 33. Quelle est la valeur de la fréquence f, de la composante fondamentale du signal s,(t) ? Afin d'obtenir une tension quasiment constante, on peut placer une cellule LC en sortie du pont de diodes AÀs (figure B). Le taux d'ondulation du signal de sortie est défini par 7, = ---- où (s,) est la valeur moyenne (82) temporelle de s,(t) et As, la tension crête à crête. Q 34. En prenant L = 100mH, comment doit-on choisir C' afin que le taux d'ondulation de s,(t) soit inférieur à 5% ? IV.B - Conversion continu-alternatif HF La tension continue générée précédemment peut être convertie en un signal alternatif de haute fréquence à l'aide d'un onduleur. La structure la plus simple est celle d'un onduleur de tension monophasé « pleine onde » (figure D du document réponse). Les commutateurs commandés X, à K, sont considérés idéaux et fonctionnent de manière périodique à la fréquence f, = 1/7,. Q 35. Remplir le tableau de la figure E avec l'état de fonctionnement de chaque commutateur et écrire la valeur de u,(t) sur chaque demi-période. Q 36. Écrire l'équation différentielle vérifiée par i(t) sur chaque demi-période. TT Q 37. Déterminer la valeur maximale 4, de i(t) en fonction de E, r et du paramètre à = exp (52). Q 38. Sur un même graphe, tracer les chronogrammes de la tension u,(t) et du courant i(t) traversant la charge inductive dans le cas où L/r = T,/4. Q 39. Comment, en ordre de grandeur, doit-on choisir le rapport r/L afin d'avoir un courant i(t) le plus proche possible d'un courant sinusoïdal sans trop perdre en amplitude ? IV.C --- Couplage par induction L'accumulateur de la brosse à dents est de type nickelk-hydrure métallique Ni -- MH. Ses caractéristiques sont «1,2 V ; 2000 mA-h ». Pour une meilleure longévité de l'accumulateur, le fabricant préconise un courant de charge de 200 mA. Q 40. Sachant que le rendement de charge est d'environ 70%, combien de temps dure une charge complète d'un accumulateur initialement totalement déchargé ? Une bobine test est placée sur la station de charge. Elle est constituée d'un enroulement de 50 spires de fil de cuivre de 0,22 mm de diamètre sur un cylindre de 20 mm de diamètre. On visualise à l'oscilloscope la tension aux bornes de cette bobine (figure 10). tension L Figure 10 Enregistrement (25 ns/div et 50 mV/div) Q 41. Déterminer numériquement la fréquence f, du signal alternatif généré lors de la conversion continu- alternatif HF ? Pourquoi est-il important que cette fréquence soit plus élevée que celle délivrée par le secteur ? 2019-02-21 11:42:29 Page 7/8 (cc) BY-NC-SA Q 42. Expliquer pourquoi il n'est pas intéressant de travailler à très haute fréquence (au voisinage du MHz par exemple). La conductivité du métal dont est faite la bobine est de l'ordre de 6 x 10° S:m". Données et formulaire Perméabilité magnétique du vide Lo = 47 x 1077 H:m ! Permittivité diélectrique du vide En = 8,854 x 10 Fm ! Charge élémentaire e = 1,602 x 10 l C Constante des gaz parfaits R = 8,31 J-K !:mol ! Capacité thermique massique de l'eau liquide c, = A4,2kJkg LK | Masse molaire de l'air sec M, = 29,0 g-mol ! Masse molaire de l'eau M, = 18,0 g-mol ! Sources de l'humidité de l'air dans une pièce habitée (débit massique d'eau vapeur en gh7*) Cuisson 400 à 800 Lave-vaisselle 200 à 400 Douche 1500 à 3000 Bain 600 à 1200 Plantes 7 à 20 Être humain (selon son activité) 30 à 200 Epaisseur de peau dans un métal L'épaisseur de peau Ô, définie par la relation ci-dessous, détermine, en première approximation, l'épaisseur de la couche où se concentre le courant dans un conducteur : 1 V Ho0T f où © désigne la conductivité du métal considéré et f la fréquence du courant. Ô -- ee oeFrFINeee 2019-02-21 11:42:29 Page 8/8 (cc) BY-NC-SA OO Numéro de place | | [el Numéro d'inscription | | 9iQnature t (, Nom | | . Prénom | | CONCOURS CENTRALE-SUPÉLEC Épreuve : Physique-chimie 1 PS] = Nerten porter sur Cefe feuille avant d'avoir complétement rempli lentête Feu L_ 1 / CLI 30 30 39 N © x (g d'eau vapeur / kg d'air sec) A en a, @ 4 eg, e cr r oe EE < TT 0 --10 --5 0 D 10 15 20 29 s10 39 210 45 JÙ 99 Température du bulbe sec (°C) Figure À Diagramme psychrométrique 2019-02-19 16 :22 :28 dans la partie barrée Ne rien CTIrE P006-DR/20180913 MKIV L 7 NN D1 D2 2010, s1(D C--  |st) D3 DA Figure B  Redresseur PD2 avec filtrage par cellule LC 250 200 Z 150 D TD TE =] S 100 < DÙ | 0 L 0 1 2 3 4 D ff Figure C Spectre d'amplitude du signal s,(t) de fréquence f!, Figure D Onduleur pleine onde u(t) 0O 

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique et Chimie 1 PSI 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Robin Guichardaz (professeur agrégé) ; il a été relu 
par
Raphaël Galicher (enseignant-chercheur à l'université) et Stéphane Ravier 
(professeur
en CPGE).

Ce sujet porte sur différents phénomènes physiques pouvant avoir lieu dans une
salle de bain. Ses quatre parties sont indépendantes.
· Dans un premier temps, on s'intéresse au mélange d'eau froide et d'eau chaude
qui a lieu dans un robinet. Le but de cette partie, qui ne présente pas de
difficulté particulière, est d'obtenir l'expression de la température de l'eau 
en
sortie du robinet en fonction des débits et des températures de l'eau froide et
de l'eau chaude.
· La deuxième partie traite de l'eau vapeur présente dans l'air humide et du
phénomène de condensation. On étudie un thermomètre permettant de mesurer 
l'humidité relative de l'air : le psychromètre. Cette partie contient quelques
questions délicates et il convient à chaque fois de définir précisément les 
différents systèmes thermodynamiques étudiés.
· On s'intéresse dans la troisième partie à un dispositif chauffant servant à 
éviter
la formation de buée sur un miroir de salle de bain. On quantifie notamment les
échanges thermiques entre l'intérieur de la salle de bain et l'air extérieur 
afin de
déterminer les caractéristiques du dispositif chauffant. Cette partie se termine
par une résolution de problème qui mobilise les connaissances en conductivité
électrique.
· Enfin, la quatrième partie est consacrée à l'étude de la recharge d'une brosse
à dents électrique. Le support de la brosse est relié au secteur, et la tension
délivrée par ce dernier est traitée successivement par deux circuits 
électriques :
un redresseur pour convertir la tension alternative en tension continue, et un
onduleur pour obtenir une tension alternative haute fréquence à partir du signal
continu. Si les premières questions sont guidées, la dernière sous-partie 
traitant
du couplage inductif fait appel au sens physique.
Ce sujet aborde ainsi des thématiques dans différents domaines, en 
thermodynamique, électricité et conversion de puissance. Tout à fait dans 
l'esprit des programmes,
il propose cinq résolutions de problème.

Indications
Partie I
1 Un verre d'eau standard possède un volume de 20 cL.
3 Les échanges thermiques peuvent s'effectuer selon trois modes : par conduction
(sans transport de matière), par transfert conducto-convectif et par 
rayonnement.
4 Identifier l'eau contenue dans le mitigeur comme un système ouvert en régime
permanent, et appliquer le premier principe de la thermodynamique.
5 Exprimer les enthalpies massiques de la question 4 en fonction des 
températures
et utiliser le résultat de la question 2.
6 La température de sortie du robinet le soir permet de déterminer DF /DC .
Partie II
8 Écrire la loi des gaz parfaits pour l'air sec et l'eau vapeur.
10 L'eau vapeur produite au cours de la nuit contribue à la pression partielle 
de
vapeur d'eau. Utiliser la loi des gaz parfaits le soir, puis le matin.
11 La quantité de matière d'eau vapeur est conservée au cours du réchauffement 
de
la pièce, mais la pression de vapeur saturante est modifiée.
12 Analyser séparément l'air sec et l'eau vapeur.
13 La transformation subie par le système fermé est supposée adiabatique et à 
pression constante ; l'eau évaporée entre t et t + dt change d'état.
Partie III
18 La résistance thermique de conduction est définie en faisant une analogie 
entre T
et la tension électrique d'une part, et entre Pth et le courant d'autre part.
21 Appliquer la relation du « diviseur de tension ».
23 La résistance thermique du miroir est en série avec celle du mur.
24 La situation est semblable à celle de la question 10. L'eau produite par la 
douche
modifie l'humidité absolue de la pièce, ce qui augmente la température de rosée.
26 Écrire la condition sur P0 pour que Ts = Ti .
28 Déterminer le schéma électrique équivalent aux 38 bandes noires de 
résistance R
du film antibuée. La puissance électrique fournie au film est entièrement 
convertie
en puissance thermique par effet Joule.
Partie IV
34 Déterminer les caractéristiques du filtre afin d'atténuer la tension crête à 
crête de
la première harmonique jusqu'à 5 % de l'amplitude de la composante continue.
37 Résoudre les équations différentielles sur chaque demi-période, puis 
utiliser la
condition de continuité de l'intensité traversant la bobine et le fait que le 
signal i
est périodique de période T0 pour déterminer complètement i(t). Remarquer que
ce signal est croissant sur la première demi-période et décroissant sur la 
seconde.
39 Le paramètre L/r correspond au temps typique de charge de la bobine. Le 
comparer avec l'autre grandeur temporelle intervenant dans le problème.
41 La capacité d'une batterie en A.h correspond à l'intensité qu'elle est 
capable de
délivrer pendant une heure.

Physique dans la salle de bain
I. Arrivée d'eau
1 Convertissons les débits massiques en débits volumiques afin de mieux 
appréhender les valeurs proposées. En notant Dv le débit massique et eau le 
débit volumique
de l'eau, on a
Dv =

Ds
eau

Sachant que eau = 1 g.mL-1 , on peut convertir les quatre débits massiques en 
débits
volumiques. On obtient
a. 2,0 mL.s-1

b. 2,0 × 101 mL.s-1

c. 2,0 × 102 mL.s-1

d. 2,0 × 103 mL.s-1

Un verre d'eau standard possède un volume d'environ 200 mL. En considérant qu'un
fonctionnement normal revient un remplir un tel verre en une seconde, on en 
déduit
que le débit en sortie du mitigeur correspond à la proposition c.
Ds = 2,0 × 102 g.s-1
2 Notons dmC la masse d'eau chaude arrivant dans le mitigeur pendant un 
intervalle
de temps dt. D'après la définition du débit massique, cette masse vérifie dmC = 
DC dt.
De manière similaire, la masse d'eau froide arrivant dans le mitigeur durant le 
même
intervalle de temps dt est dmF = DF dt, et la masse d'eau tiède sortant du 
robinet
s'écrit dms = Ds dt. La masse d'eau est conservée, ce qui donne
dms = dmF + dmC
En exprimant les masses en fonction des débits, puis en simplifiant par dt, il 
vient
Ds = DC + DF
3 L'eau présente dans le corps du mélangeur peut a priori recevoir de la 
puissance
thermique de la part de l'air environnant par trois mécanismes : conduction, 
échanges
conducto-convectifs et rayonnement. Les échanges thermiques par conduction sont
lents par rapport au temps que l'eau passe dans le mélangeur. Par ailleurs, 
l'eau
n'est en contact direct avec l'air extérieur qu'à la sortie du mélangeur, ce 
qui signifie
que les échanges conducto-convectifs n'entrent pas en jeu. Enfin, l'isolation 
métallique
limite aussi les transferts par rayonnement.
4 L'eau contenue dans le mélangeur constitue un système ouvert en régime 
permanent : pendant un intervalle de temps dt, les masses élémentaires dmC 
d'eau chaude
et dmF d'eau froide entrent dans le mélangeur et la masse dms en sort.
Étant donné que le mitigeur est horizontal, l'énergie potentielle de pesanteur 
des
masses d'eau entrante et sortante est conservée. Par ailleurs, aux débits 
considérés les variations d'énergie cinétique associées à ces masses sont 
négligeables devant
les autres grandeurs énergétiques du problème. Enfin, le mitigeur n'échange 
aucun
travail avec l'extérieur, et ne reçoit aucune puissance thermique de la part de 
l'air
environnant. Le premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert
appliqué à l'eau contenue dans le mélangeur s'écrit alors
dms hs - (dmC hC + dmF hF ) = 0
En exprimant comme pour la question 2 les masses en fonction des débits et en
simplifiant par dt, on obtient

Ds hs = DC hC + DF hF
Notons que ce sont bien les enthalpies (massiques) qui interviennent dans
l'expression du premier principe de la thermodynamique pour des systèmes
ouverts. L'utilisation de l'enthalpie à la place de l'énergie interne est liée à
la prise en compte du travail des forces de pression lors de l'entrée et de la
sortie des masses de fluide.
5 On note h(T) l'enthalpie massique de l'eau liquide à la température T, qui 
s'écrit
h(T) = ce (T - T0 ) + h0
où ce est la capacité thermique massique de l'eau liquide, supposée 
indépendante de
la température, T0 est une température de référence et h0 correspond à 
l'enthalpie
massique à T0 . On peut ainsi écrire le résultat de la question 4 sous la forme 
:
Ds (ce (Ts - T0 ) - h0 ) = DC (ce (TC - T0 ) - h0 ) + DF (ce (TF - T0 ) - h0 )
En utilisant le résultat de la question 2, on obtient
Ts =

DC TC + DF TF
DC + DF

6 Afin de calculer la température de sortie de l'eau le matin, il faut 
déterminer
les valeurs des débits d'eau chaude et d'eau froide fixés par la position du 
mitigeur.
Écrivons le résultat obtenu à la question précédente sous la forme
Ts =

TC +  TF
1+

avec

=

DF
DC

Notons Tsoir = 42  C la température en sortie du mitigeur le soir, et Tmatin la
température en sortie du mitigeur le matin. En utilisant l'équation précédente 
on
obtient
Tsoir (1 + ) = TC +  TF
d'où

=

TC - Tsoir
1
=
Tsoir - TF
3

Le paramètre , qui caractérise la position du mitigeur, est inchangé entre le 
soir
et le matin. En revanche, la température de l'eau chaude le matin est plus 
élevée :
TC,matin = 70  C. La température en sortie du robinet le matin est donc donnée 
par
Tmatin =

TC,matin +  TF
= 57  C
1+

Le risque de brûlure est présent mais relativement limité ; en effet, un enfant 
ouvrant
le mitigeur le matin aura environ trois secondes pour réagir et retirer sa main 
du jet
pour éviter une brûlure au troisième degré.
7 Lorsque la température augmente, la cire se dilate, ce qui signifie que la 
cartouche
de cire occupe un volume plus important. L'élément qui régule les arrivées d'eau
chaude et d'eau froide est alors poussé vers la gauche sur le schéma de la 
figure 2,
diminuant ainsi le débit d'arrivée d'eau de l'entrée 1 (et augmentant dans le 
même
temps le débit d'arrivée d'eau de l'entrée 2). Ainsi,
L'eau chaude arrive sur l'entrée 1.