Centrale Physique et Chimie 1 PSI 2018

Thème de l'épreuve Trains à sustentation électromagnétique
Principaux outils utilisés conversion de puissance, électronique, mécanique
Mots clefs Transrapid, TGV, circuit magnétique, entrefer, lévitation, force électromagnétique, excitation magnétique, capteur de position, montage soustracteur, multiplieur

Corrigé

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 ü» Physique--Chimie 1 00 "a , !--l _/ PSI @ cnucuuns EENTHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N \ Trains a sustentatz'on électromagnéüque Un train à sustentation magnétique utilise les forces magnétiques pour léviter au dessus de la voie ; il n'est donc pas en contact avec des rails, contrairement aux trains classiques. Ce procédé permet de supprimer la résistance au roulement et d'atteindre des vitesses élevées. Il existe actuellement deux types de trains à grande vitesse a sustentati0n magnétique : -- un train à sustentati0n électromagnëtique dans lequel le train lévite par attraction grâce a des aimants (Transrapid développé en Allemagne) ; -- un train à sustentati0n électrodynamique dans lequel le train lévite par répulsion grâce aux courants de Foucault induits par le déplacement du train (SCMaglev développé au Japon). La seule réalisation commerciale du Transrapid est a l'heure actuelle la ligne de 30 kilomètres qui fonctionne depuis 2004 entre Shanghai et son aéroport international de Pudong. Le trajet s'efiectue en moins de 8 minutes, a la vitesse moyenne de 245 km/h. Sur ce parcours le train atteint la vitesse de 430 km/h, il a la capacité d'accélérer de 0 a 350 km/h en 2 minutes. La première version commerciale du SCMaglev doit relier en une heure Tokyo et Osaka, distantes de 400 km à vol d'oiseau. L'ouverture du premier tronçon de la ligne (Tokyo--Nagoya) est prévu en 2027 avec une vitesse de pointe sur le parcours de 505 km/h. En 2015 une rame de test de sept voitures a atteint la vitesse de 603 km/h, établissant ainsi l'actuel record de vitesse pour un train. Transrapid SCMaglev Figure 1 Nous étudions ici quelques aspects du fonctionnement de ces trains, en accordant -- sauf en partie I -- une attention particulière au Transrapid. Certaines questions, repérées par une barre en marge, ne sont pas guidées et demandent de l'initiative de la part du candidat. Les pistes de recherche doivent être consignées par le candidat sur sa copie; si elles sont pertinentes, elles seront valorisées. Le barème tient compte du temps nécessaire pour explorer ces pistes et élaborer un raisonnement, il valorise ces questions de façon très significative. Des données utiles, un formulaire et deux annexes sont regroupés en fin d'énoncé. 2018-02--15 17:07:02 Page 1/6 lQ:C_ ». BY--NC-SA I Réalisation d'un champ magnétique intense Dans le système a sustentation électrodynamique (SCMaglev), un champ magnétique est créé par des bobines supraconductrices placées dans le train en mouvement. Le constructeur indique que pour faire léviter le train le champ magnétique produit doit dépasser la valeur de 4 teslas. Q 1. Expliquer pourquoi il n'est pas possible de réaliser un tel champ magnétique avec un solénoïde constitué d'un fil résistif. Pour répondre a cette question, vous pourrez vous appuyer sur les données fournies en annexe 1. Vous préciserez clairement les différentes étapes de votre raisonnement. On se propose d'évacuer la puissance produite par la bobine avec un refroidissement à eau. Q 2. Proposer une valeur maximale acceptable de la différence de température entre la bobine et l'eau. En déduire la valeur minimum de la surface de contact entre la bobine et l'eau. Q 3. Quel débit d'eau faudrait--il assurer pour évacuer la puissance thermique produite par la bobine '? Q 4. Commenter et conclure quant a la faisabilité d'un tel refroidissement. Q 5. En quoi l'utilisation de bobines supraconductrices permet--elle la création de champs magnétiques très intenses ? II La sustentation électromagnétique du Transrapid II.A -- Modélisation du champ magnétique dans l'entrefer La figure 2 présente la rame du Transrapid sur son rail et, dans un plan de coupe, le détail du système de sustentation. Ce système est constitué d'un électroaimant dont le circuit magnétique est composé : ---- d'une portion de rail (l) en matériau ferromagnétique doux de perméabilité relative [LT ; ---- d'une portion (2) solidaire de la rame, constituée du même matériau ferromagnétique, sur lequel sont bobinées N spires alimentées par un courant d'intensité i(t). Les deux portions sont séparées par un entrefer de largeur 2 variable. La section S du matériau ferromagnétique dans les portions (l) et (2) du circuit magnétique est supposée commune aux portions (l) et (2), constante le long du circuit magnétique et carrée de côté a : S : a2. (C) est une ligne de champ magnétique du circuit (figure 2). Ligne de champ (C) \ Portion ( l) -- Portion (2) " Alimentation Rail électroaimant Vue de face Système de sustentation (demi--coupe) Figure 2 Transrapid et son système de sustentation Les hypothèses d'étude sont les suivantes : ---- les milieux ferromagnétiques sont supposés doux ; * on néglige les pertes par courants de Foucault ; ---- toutes les lignes de champ sont canalisées par le circuit magnétique. 2018-02--15 17:07:02 Page 2/6 GC) BY--NC-SA On note : -- Ë1 le champ magnétique dans la portion (1) ; -- Ë2 le champ magnétique dans la portion (2) ; -- Ëa le champ magnétique dans les entrefers ; -- z la largeur, variable, des entrefers entre les deux portions ferromagnétiques du circuit magnétique (l'origine 0 sur l'axe descendant (O, üOE) est choisie sur le rail fixe) ; -- EUR la longueur moyenne de la partie de la ligne de champ (C) située à l'intérieur des portions ferromagnétiques (1) et (2) du circuit. II.A.1) Q 6. Définir l'excitation magnétique Ë et donner l'expression reliant le vecteur Ü au champ magnétique Ë dans la matière et a l'aimantation A7 de la matière. Q 7. Rappeler les équations de Maxwell valables dans un milieu ferromagnétique dans le cadre de l'approxi-- mation des régimes quasi--stationnaires (ARQS). II.A.2) Q 8. Quelle propriété vérifie le flux du champ magnétique dans le circuit magnétique ? Q 9. En déduire les relations liant Ë1, Ë2 et Ëa. Q 10. À quelle condition, supposée vérifiée ici, les lignes de champ restent--elles parallèles dans l'entrefer '? Q 11. Rappeler les caractéristiques d'un milieu ferromagnétique doux. Q 12. Quelle relation lie alors le champ magnétique Ë et l'excitation magnétique [? dans un tel milieu '? Q 13. Définir la perméabilité relative et en donner un ordre de grandeur pour un milieu ferromagnétique Q 14. Écrire le théorème d'Ampère sur le contour (C). Q 15. En déduire B2 en fonction de EUR, 2, N, i, po et ,ar. Q 16. Simplifier cette écriture en utilisant la question 12. II.B * Lévitation par attraction On rappelle que la force électromagnétique s'exerçant sur une partie mobile d'un circuit magnétique, parcouru % 8E par un courant d'intensité i, en translation suivant la direction üz s'écrit ch : < 8 ...) üz où Em est l'énergie Z . Z magnétique. N 25 Q 17. Montrer que l'inductance propre L(z) du bobinage peut s'écrire sous la forme L(z) : #02 . 2 Q 18. Rappeler l'expression de l'énergie magnétique emmagasinée dans la bobine d'inductance L(z) parcou-- rue par le courant d'intensité i(t). Q 19. En déduire la force électromagnétique F " v @... s exerçant sur la rame. Q 20. Calculer la masse m qui peut ainsi être mise en sustentation a une distance 6 = 10 mm du rail pour un électr0aimant alimenté avec un courant d'intensité ie : 10 A. Q 21. Une rame a une masse d'environ 180 tonnes. En déduire le nombre d'électroaimants nécessaires pour la sustentation de la rame. On donne : N = 1000, S = 0,50 m2. Q 22. Montrer que le système de sustentation électromagnêtique est instable. III Capteur de position L'instabilité de l'équilibre de la rame en sustentation nécessite l'asservissement en position de l'entrefer. Cet asservissement est réalisé en utilisant un capteur de position. On se propose dans cette partie d'étudier le principe d'un capteur de position à inductance variable. III.A * Capteur à entrefer variable « push-pull » La figure 3 décrit le schéma de principe d'un capteur inductif a entrefer variable dans un montage « push--pull ». Le capteur comprend un circuit magnétique composé d'un noyau solidaire du rail fixe et de deux bobines B1 et B2 sur deux noyaux ferromagnétiques en vis--à--vis, solidaires de la rame. Les bobines B1 et B2 du capteur sont identiques et placées de façon symétrique par rapport au rail lorsque la rame est à l'équilibre (figure 3 a gauche). Ces bobines B1 et B2 sont indépendantes des bobines assurant la lévitation. Elles sont constituées de NC spires de surface S'. 2018--02--15 17:07:02 Page 3/6 (GQ BY--NC-SA Rail --> Rame lêîÊ.Ê.Ëfêêfi (<<<<<<<<< 2, l \ Montage à l'équilibre Montage hors équilibre Figure 3 Q 23. Écrire l'inductance LEUR des bobines B1 et B2 lorsque la rame est à l'équilibre. On envisage une variation Az de la position du train par rapport a la position d'équilibre zEUR : 6 (figure 3 a droite)7 en considérant Az << 6. Q 24. Écrire les inductance L1 et L2 de chacun des bobines B1 et B2 en se limitant au terme du premier ordre en Az/ô. III.B -- Mesure des variations d'inductance Les bobines B1 et B2 sont alimentées par un générateur délivrant une tension électrique e(t) : E cos(wt), de pulsation tu, en série avec une résistance R (figure 4). On néglige ici les résistances des deux bobines. R L1 L2 ... e(t) Î() U1(Ë) U2(Ü &&Y &®Y Figure 4 Alimentation du capteur 25. Déterminer les expressions des tensions électriques complexes @ et g en fonction de R, L , L . w 1 2 1 2 et @. Ces tensions sont placées à l'entrée du montage présenté figure 5. L'ALI est supposé idéal en fonctionnement linéaire. R2 1 U R --s àW &" Ï\\® sW Figure 5 Montage soustracteur Q 26. Montrer que la tension électrique de sortie du montage peut s'écrire sous la forme gs : K (u -- u ) où K est une constante que l'on déterminera en fonction des composants du montage. u . Q 27. Exprimer la fonction de transfert complexe I(jw) sous la forme I(jw) : ls : TOM--WO) EUR 1 + j(w/w0) où T0 et wo sont des fonctions de Le, R, Az et 6, que l'on déterminera. Q 28. Tracer le diagramme de Bodo asymptotique de I(jw). Q 29. De quel type de filtre s'agit-il ? 2018-02--15 17:07:02 Page 4/6 (66 BY--NC-SA Q 30. Quelle est la signification de la pulsation Wo '? Q 31. Dans quelle gamme de fréquences doit--on travailler pour que I(jw) soit indépendant de w et propor-- tionnel au déplacement de la rame ? On a R : 750 Q, Le : 60 mH et une fréquence d'utilisation f : 4 kHz. A Q 32. Montrer que le signal de sortie peut se mettre sous la forme us (1%) : E--Z cos(wt +  \W ÂW \\W Figure 6 Multiplieur analogique Q 34. Exprimer la tension électrique sm(t) a la sortie du multiplieur et donner sa décomposition spectrale. Préciser le terme représentatif de la position 2 de la rame. Q 35. Quel montage doit--on placer à la sortie du multiplieur pour récupérer une tension continue S... pro-- portionnelle au déplacement Az ? Préciser la nature et les caractéristiques de ce montage. AS... Az ' Q 37. Application numérique Le capteur permet de mesurer la tension de sortie a 10 mV près. En déduire le plus petit écart relatif mesurable par rapport a la position d'équilibre. On prendra E = 6,00 V, Km : 1,00 V*1. Q 36. Exprimer la sensibilité du capteur définie par IV Energétique du Transrapid Q 38. En vous appuyant sur les documents fournis (annexes 1 et 2), évaluer les puissances consommées par le Transrapid et par un train conventionnel sur rail lorsqu'ils circulent à 300 km-h'1. Discuter de la pertinence du dispositif Transrapid. Le constructeur indique que la distance de freinage du Transrapid est de 3,6 km a 300 km'h'l. Q 39. En déduire la puissance de freinage, supposée constante au cours du freinage, en négligeant la trainée aérodynamique du train devant la force de freinage. On pourra établir la loi de variation de la vitesse du train en fonction de la distance æ parcourue à partir du début du freinage. Q 40. Toujours dans la même approximation, calculer la valeur moyenne de la puissance de la trainée aé-- rodynamique du train pendant la durée du freinage et la comparer a la puissance de freinage déterminée à la question précédente. Q 41. Commenter la qualité de l'approximation utilisée. Données et formulaire Perméabilité magnétique du vide po : 47r >< 104 HmÏ1 Permittivité diélectrique du vide 80 = 8,854 >< 10f12 Emil Charge élémentaire @ = 1,602 >< 1049 O Intensité du champ de pesanteur terrestre g = 9,8 m-sf2 Capacité thermique massique de l'eau liquide cEUR : 4,2 kJ-kgfl'Kf1 Loi de Newton du transfert conducto--convectif entre un solide et un fluide P : hSAT où Pest la puissance thermique échangée, S la surface de contact solide--fluide et ATla différence de température entre la surface du solide et celle du fluide très loin du solide. Pour le coefficient de transfert thermique conducto-- convectif h, on prendra ici h % 100 W'mfg'Kfl. 2018-02--15 17:07:02 Page 5/6 GC) BY--NC-SA Caractéristiques du solénoi'de Annexe 1 Diamètre D Longueur L Nombre de spires N Diamètre du fil de cuivre d 0,2m 0,5m 10000 2,0 mm Données sur le cuivre Masse volumique ,a = 8,96 >< 103 kgmÎ3 Capacité thermique massique c = 385 J-kgf'-1Y1 Résistivité électrique p : 1,68 >< 10Î8 Q'm Température de fusion Tf : 1356 K Annexe 2 Données comparatives Transrapid * TGV Transrapid TGV duplex Masse (tonnes) 190 390 Nombre de places 310 510 Longueur (m) 79,7 200 Puissance d'une motrice (kW) 8800 Composition du train 3 voitures motrices motrice * 8 voitures -* motrice Type de moteur Moteur synchrone linéaire Moteur rotatif asynchrone embarqué dans la motrice OE Alimentation Sous--stations réparties sur la voie Caténaire Section aérodynamique (m2) 11 12 C 0,24 0,35 D'après « Techniques de l'ingénieur * Ingénierie des transports | Systèmes ferroviaires » Le Transrapid fonctionne avec des moteurs linéaires synchrones dont les bobinages « inducteurs » sont disposés le long de la voie. Les bogies d'articulation des rames comportent l'ensemble des « induits » de motorisation. Les constructeurs ont également combiné, sous les voies, les électroaimants de support vertical et le guidage. La résistance à l'avancement du train due au contact sur les rails horizontaux et alignés est définie par une action tangentielle, opposée au mouvement, dont la norme HÎH peut s'écrire sous la forme l|ÎH : u(V)H1VH où Vest la vitesse du train, ]V la composante de la réaction normale du rail sur le train et u(V) le coefficient d'adhérence dont la forme est donnée figure 7. 0,25 0,2 /L 0,05 -- Rails secs -- -- -- Rails humides ------- Feuilles mortes Figure 7 Adhérence maximale sollicitable pour un train à grande vitesse en fonction de la vitesse et de l'état du rail oooFlNoco 2018-02--15 17:07:02 Page 6/6 (cc)--

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 Centrale Physique et Chimie 1 PSI 2018 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (professeur en CPGE) ; il a été relu par Tom Morel (professeur en CPGE) et Cyril Ravat (professeur en CPGE). Concurrent du train à grande vitesse français, un type de train à sustentation magnétique, le Transrapid, est le thème de cette épreuve. Un tel train utilise les forces magnétiques pour léviter au-dessus de la voie, ce qui élimine tout contact solide, réduisant l'usure et la consommation d'énergie. Le Transrapid, dont les principes théoriques ont été établis dès 1914, n'a pour l'instant qu'une seule réalisation commerciale, sur une ligne de 30 km en Chine. Le sujet est partagé en quatre parties de longueurs très inégales. · La première partie, qui ne comporte que cinq questions, est centrée sur des problèmes de dimensionnement d'un dispositif. Le but est de montrer qu'une simple bobine, sans matériau ferromagnétique, ne permet pas d'atteindre l'objectif fixé, à savoir permettre la lévitation d'une rame de train. Orientée dans l'esprit « résolution de problème », il ne faut pas hésiter à formuler des hypothèses afin de parvenir à un résultat pertinent. Sur le fond, il s'agit simplement du champ magnétique créé par un solénoïde et de la puissance Joule qu'un conducteur filiforme dégage lors du passage d'un courant électrique. · La deuxième partie permet d'établir l'expression de la force électromagnétique qui assure la sustentation de la rame, lorsque l'on considère un dispositif où les matériaux ferromagnétiques sont présents. Bien que l'approche suivie soit très classique, l'énoncé est extrêmement détaillé, ce qui le rend parfois laborieux. Toute la modélisation étant donnée, cette partie ne présente pas de difficulté. Elle se termine par la démonstration de l'instabilité du dispositif. · Pour corriger le problème d'instabilité, il convient d'envisager un asservissement en position de la rame. Un exemple de capteur de position, qui met également en oeuvre un circuit magnétique, est étudié, ainsi que son électronique de conditionnement. On rencontre à cette occasion un circuit à ALI et un multiplieur, deux composants étudiés dans le cours. · Ce sujet se termine par une courte partie dédiée à la consommation énergétique du Transrapid. À partir des données fournies, il convient de proposer une modélisation permettant d'estimer la puissance nécessaire pour faire rouler un Transrapid ou un TGV à 300 km.h-1 . Regrettons que les valeurs numériques proposées conduisent à une interprétation largement exagérée de la différence de puissance requise par ces deux dispositifs ferroviaires à grande vitesse. Les questions sont très classiques et très proches du cours, hormis quelques questions plus ouvertes ou qui reposent sur l'étude des annexes. Contrairement aux années précédentes, de nombreuses questions intermédiaires sont proposées, ce qui n'est pas habituel pour un concours de ce niveau. Cela en fait cependant un sujet de révision intéressant, appuyé sur un système réel. Indications Partie I 1 Modéliser le solénoïde par un solénoïde infini et calculer le courant requis pour atteindre 4 T à l'intérieur. Calculer ensuite la puissance Joule dissipée par le fil résistif que l'on peut modéliser par un conducteur filiforme. Conclure en déterminant le temps requis, dans l'hypothèse où le solénoïde serait isolé thermiquement, pour atteindre la température de fusion du cuivre. 2 L'eau doit rester liquide durant tout le processus. On en déduit une valeur maximale de différence de température. Appliquer la loi de Newton rappelée dans le formulaire pour en déduire la surface de contact. 3 Lors du contact avec le solénoïde, l'eau subit une variation de température égale à celle calculée précédemment. Appliquer le premier principe de la thermodynamique en écoulement permanent pour déterminer le débit massique d'eau requis. Partie II 9 La relation à obtenir relie les normes des champs magnétiques, pas les vecteurs. 14 Les deux matériaux ferromagnétiques étant identiques, on peut noter Hf leur excitation magnétique commune (et non H1 , H2 ). Attention, l'entrefer est double. 15 Utiliser la conservation du flux et le caractère linéaire des matériaux (ferromagnétique et air) pour exprimer les excitations magnétiques en fonction de B2 . 16 Ce n'est pas la question 12 qu'il faut utiliser, mais la 13 (ordre de grandeur de la perméabilité relative) pour simplifier l'expression. 20 Utiliser également les données numériques de la question suivante pour pouvoir faire l'application numérique pour m. 22 Analyser l'évolution du système si, par le jeu des fluctuations, la distance entre le rail et la rame venait à varier à partir de la position à l'équilibre. Partie III 23 Vérifier que la situation, pour chaque bobine, est identique à celle étudiée dans la partie II. 32 Vérifier que les données numériques placent l'étude dans le domaine déterminé à la question précédente. 34 La sortie du multiplieur est sm (t) = Km e(t) us (t). Tous les termes de la décomposition spectrale sont proportionnels à z mais on cherche un terme continu. 35 Choisir un filtre simple, par exemple avec une résistance et un condensateur. 36 La sensibilité d'un capteur est le coefficient de proportionnalité entre la réponse de ce dernier et la grandeur mesurée, ici Sm /z. Partie IV 38 Le TGV est en contact avec les rails, contrairement au Transrapid. 39 Appliquer le théorème de la puissance cinétique et transformer la dérivée temporelle en dérivée spatiale. 40 Calculer la moyenne de v 3 à l'aide des résultats de la question précédente. Trains à sustentation électromagnétique I. Réalisation d´un champ magnétique intense 1 On se place dans l'approximation des régimes quasi-stationnaires magnétique, ce qui fait que l'on peut négliger le courant de déplacement dans l'équation de Maxwell-Ampère. Cela implique que les équations qui régissent le champ magnétique sont les mêmes qu'en magnétostatique. La fréquence est celle du réseau électrique, soit 50 Hz, ce qui fait que l'ARQS est très bien vérifiée puisqu'il suffit que la longueur des circuits en jeu soit faible devant la distance caractéristique de propagation c/f 6 000 km. Supposons que le solénoïde puisse être assimilé à un solénoïde infiniment long, c'està-dire que l'on puisse négliger tout effet de bord. Le champ magnétique est uniforme à l'intérieur de ce solénoïde et vaut, en reprenant les données de l'annexe 1, N B(t) = µ0 I(t) L Si ce résultat doit être connu, il peut aussi être démontré, à l'aide du théorème d'Ampère, en admettant que le champ magnétique à l'extérieur est nul. On en déduit l'intensité nécessaire pour obtenir B = 4 T : I= LB = 1,6.102 A µ0 N Le conducteur qui compose cette bobine peut être modélisé par un conducteur filiforme de section s = d2 /4 et de longueur = N D. Sa résistance est donnée par 4ND R= = 2 s d On en déduit la puissance dissipée par effet Joule dans ce conducteur P j = R I2 = 4ND 2 I = 8,5.102 kW d2 Imaginons que le solénoïde, de masse m = µ s , soit isolé thermiquement. Le premier principe de la thermodynamique pendant la durée dt s'écrit alors m c dT = P j dt Déterminons la durée nécessaire pour élever la température de T = 1 058 K (différence entre la température de fusion du cuivre et la température ambiante de 298 K) : =µ N 2 d2 D c T = 85 s 4 Pj Cela signifie que le cuivre atteint sa température de fusion en moins d'une minute trente ! Ce dispositif n'est donc pas viable en l'état. Il faut a minima prévoir un dispositif efficace de refroidissement. L'hypothèse d'adiabaticité est forte et on pourrait proposer un modèle plus complet en prenant en compte les pertes par convection par exemple (en assurant une bonne ventilation). Le modèle serait certes un peu plus réaliste, mais il serait aussi plus délicat à manier. En outre, il faudrait proposer une valeur pour le coefficient conducto-convectif avec l'air. Les ordres de grandeur en jeu ici font que cette correction au modèle initial est bien insuffisante pour permettre d'envisager un fonctionnement permanent du solénoïde. 2 L'eau du dispositif ne doit pas se vaporiser : la température maximale de la bobine doit donc rester inférieure à 100 C. Choisissons 80 C. Par ailleurs, l'eau peut être choisie relativement froide au départ (10 C), ce qui donne une différence de température acceptable entre la bobine et l'eau de 70 C au maximum. La loi de Newton pour le transfert conducto-convectif en régime permanent permet d'évacuer la puissance produite par effet Joule selon P j = h S T donc S= Pj = 1,2.102 m2 h T Cette surface, rapportée aux dimensions de la bobine, est extrêmement importante. 3 Pendant son contact avec le solénoïde, l'eau passe progressivement de sa température d'entrée (10 C) à sa température maximale acceptable (80 C), c'est-à-dire qu'elle subit une variation de température de T. Le premier principe de la thermodynamique en écoulement permanent s'écrit, en notant Dm le débit massique d'eau et h la variation d'enthalpie massique de l'eau, Dm h = P j Puisque l'eau est une phase condensée, h = ce T. Par conséquent, Dm = Pj = 2,9 kg.s-1 ce T 4 Si le débit trouvé est réalisable, ce ne serait pas simple à mettre en pratique dans un dispositif mobile. Il faut en effet prévoir une pompe et une grande quantité d'eau. En outre, cette eau doit soit être renouvelée en permanence (ce qui impliquerait de ne construire les lignes de transport que le long de fleuve), soit il faut également la refroidir pour permettre un fonctionnement en circuit fermé. Un tel système de refroidissement semble peu réaliste. 5 Les supraconducteurs ne présentent aucune résistance électrique, donc aucun effet Joule. Par conséquent, le principal obstacle relevé dans les questions précédentes, à savoir l'évacuation de la puissance dissipée par effet Joule, disparaît. II. La sustentation électromagnétique du Transrapid - 6 En présence d'une aimantation M non nulle, l'équation de Maxwell-Ampère doit être modifiée car on constate que le champ magnétique est lié non seulement au courant de conduction - mais également à un terme dû à l'aimantation. Dans ce - cas, on introduit l'excitation magnétique H définie par - - 1- H= B -M µ0 L'énoncé n'est pas forcément très clair, car il semble attendre deux réponses distinctes entre la définition de l'excitation magnétique et son expression en fonction du champ magnétique.