Centrale Physique et Chimie 1 PSI 2018

Thème de l'épreuve Trains à sustentation électromagnétique
Principaux outils utilisés conversion de puissance, électronique, mécanique
Mots clefs Transrapid, TGV, circuit magnétique, entrefer, lévitation, force électromagnétique, excitation magnétique, capteur de position, montage soustracteur, multiplieur

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ü» Physique--Chimie 1 00

"a , !--l
_/ PSI @
cnucuuns EENTHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N

\

Trains a sustentatz'on électromagnéüque

Un train à sustentation magnétique utilise les forces magnétiques pour léviter 
au dessus de la voie ; il n'est donc
pas en contact avec des rails, contrairement aux trains classiques. Ce procédé 
permet de supprimer la résistance
au roulement et d'atteindre des vitesses élevées.

Il existe actuellement deux types de trains à grande vitesse a sustentati0n 
magnétique :

-- un train à sustentati0n électromagnëtique dans lequel le train lévite par 
attraction grâce a des aimants
(Transrapid développé en Allemagne) ;

-- un train à sustentati0n électrodynamique dans lequel le train lévite par 
répulsion grâce aux courants de
Foucault induits par le déplacement du train (SCMaglev développé au Japon).

La seule réalisation commerciale du Transrapid est a l'heure actuelle la ligne 
de 30 kilomètres qui fonctionne
depuis 2004 entre Shanghai et son aéroport international de Pudong. Le trajet 
s'efiectue en moins de 8 minutes,
a la vitesse moyenne de 245 km/h. Sur ce parcours le train atteint la vitesse 
de 430 km/h, il a la capacité
d'accélérer de 0 a 350 km/h en 2 minutes.

La première version commerciale du SCMaglev doit relier en une heure Tokyo et 
Osaka, distantes de 400 km à
vol d'oiseau. L'ouverture du premier tronçon de la ligne (Tokyo--Nagoya) est 
prévu en 2027 avec une vitesse de
pointe sur le parcours de 505 km/h. En 2015 une rame de test de sept voitures a 
atteint la vitesse de 603 km/h,
établissant ainsi l'actuel record de vitesse pour un train.

Transrapid SCMaglev
Figure 1

Nous étudions ici quelques aspects du fonctionnement de ces trains, en 
accordant -- sauf en partie I -- une
attention particulière au Transrapid.

Certaines questions, repérées par une barre en marge, ne sont pas guidées et 
demandent de l'initiative de la
part du candidat. Les pistes de recherche doivent être consignées par le 
candidat sur sa copie; si elles sont
pertinentes, elles seront valorisées. Le barème tient compte du temps 
nécessaire pour explorer ces pistes et
élaborer un raisonnement, il valorise ces questions de façon très significative.

Des données utiles, un formulaire et deux annexes sont regroupés en fin 
d'énoncé.

2018-02--15 17:07:02 Page 1/6 lQ:C_ ». BY--NC-SA

I Réalisation d'un champ magnétique intense

Dans le système a sustentation électrodynamique (SCMaglev), un champ magnétique 
est créé par des bobines
supraconductrices placées dans le train en mouvement. Le constructeur indique 
que pour faire léviter le train
le champ magnétique produit doit dépasser la valeur de 4 teslas.

Q 1. Expliquer pourquoi il n'est pas possible de réaliser un tel champ 
magnétique avec un solénoïde constitué
d'un fil résistif. Pour répondre a cette question, vous pourrez vous appuyer 
sur les données fournies en annexe 1.
Vous préciserez clairement les différentes étapes de votre raisonnement.

On se propose d'évacuer la puissance produite par la bobine avec un 
refroidissement à eau.

Q 2. Proposer une valeur maximale acceptable de la différence de température 
entre la bobine et l'eau. En
déduire la valeur minimum de la surface de contact entre la bobine et l'eau.

Q 3. Quel débit d'eau faudrait--il assurer pour évacuer la puissance thermique 
produite par la bobine '?

Q 4. Commenter et conclure quant a la faisabilité d'un tel refroidissement.

Q 5. En quoi l'utilisation de bobines supraconductrices permet--elle la 
création de champs magnétiques très
intenses ?

II La sustentation électromagnétique du Transrapid

II.A -- Modélisation du champ magnétique dans l'entrefer

La figure 2 présente la rame du Transrapid sur son rail et, dans un plan de 
coupe, le détail du système de

sustentation. Ce système est constitué d'un électroaimant dont le circuit 
magnétique est composé :

---- d'une portion de rail (l) en matériau ferromagnétique doux de perméabilité 
relative [LT ;

---- d'une portion (2) solidaire de la rame, constituée du même matériau 
ferromagnétique, sur lequel sont bobinées
N spires alimentées par un courant d'intensité i(t).

Les deux portions sont séparées par un entrefer de largeur 2 variable. La 
section S du matériau ferromagnétique

dans les portions (l) et (2) du circuit magnétique est supposée commune aux 
portions (l) et (2), constante

le long du circuit magnétique et carrée de côté a : S : a2. (C) est une ligne 
de champ magnétique du circuit

(figure 2).

Ligne de champ (C)
\

Portion ( l) --

Portion (2) "

Alimentation
Rail électroaimant

Vue de face Système de sustentation (demi--coupe)

Figure 2 Transrapid et son système de sustentation
Les hypothèses d'étude sont les suivantes :
---- les milieux ferromagnétiques sont supposés doux ;

* on néglige les pertes par courants de Foucault ;
---- toutes les lignes de champ sont canalisées par le circuit magnétique.

2018-02--15 17:07:02 Page 2/6 GC) BY--NC-SA

On note :

-- Ë1 le champ magnétique dans la portion (1) ;

-- Ë2 le champ magnétique dans la portion (2) ;

-- Ëa le champ magnétique dans les entrefers ;

-- z la largeur, variable, des entrefers entre les deux portions 
ferromagnétiques du circuit magnétique (l'origine
0 sur l'axe descendant (O, üOE) est choisie sur le rail fixe) ;

-- EUR la longueur moyenne de la partie de la ligne de champ (C) située à 
l'intérieur des portions ferromagnétiques
(1) et (2) du circuit.

II.A.1)

Q 6. Définir l'excitation magnétique Ë et donner l'expression reliant le 
vecteur Ü au champ magnétique Ë
dans la matière et a l'aimantation A7 de la matière.

Q 7. Rappeler les équations de Maxwell valables dans un milieu ferromagnétique 
dans le cadre de l'approxi--
mation des régimes quasi--stationnaires (ARQS).

II.A.2)

Q 8. Quelle propriété vérifie le flux du champ magnétique dans le circuit 
magnétique ?

Q 9. En déduire les relations liant Ë1, Ë2 et Ëa.

Q 10. À quelle condition, supposée vérifiée ici, les lignes de champ 
restent--elles parallèles dans l'entrefer '?

Q 11. Rappeler les caractéristiques d'un milieu ferromagnétique doux.
Q 12. Quelle relation lie alors le champ magnétique Ë et l'excitation 
magnétique [? dans un tel milieu '?

Q 13. Définir la perméabilité relative et en donner un ordre de grandeur pour 
un milieu ferromagnétique

Q 14. Écrire le théorème d'Ampère sur le contour (C).
Q 15. En déduire B2 en fonction de EUR, 2, N, i, po et ,ar.
Q 16. Simplifier cette écriture en utilisant la question 12.

II.B * Lévitation par attraction

On rappelle que la force électromagnétique s'exerçant sur une partie mobile 
d'un circuit magnétique, parcouru

% 8E
par un courant d'intensité i, en translation suivant la direction üz s'écrit ch 
: < 8 ...) üz où Em est l'énergie
Z .
Z
magnétique.
N 25
Q 17. Montrer que l'inductance propre L(z) du bobinage peut s'écrire sous la 
forme L(z) : #02 .
2

Q 18. Rappeler l'expression de l'énergie magnétique emmagasinée dans la bobine 
d'inductance L(z) parcou--
rue par le courant d'intensité i(t).

Q 19. En déduire la force électromagnétique F

" v
@... s exerçant sur la rame.

Q 20. Calculer la masse m qui peut ainsi être mise en sustentation a une 
distance 6 = 10 mm du rail pour
un électr0aimant alimenté avec un courant d'intensité ie : 10 A.

Q 21. Une rame a une masse d'environ 180 tonnes. En déduire le nombre 
d'électroaimants nécessaires pour
la sustentation de la rame. On donne : N = 1000, S = 0,50 m2.

Q 22. Montrer que le système de sustentation électromagnêtique est instable.

III Capteur de position

L'instabilité de l'équilibre de la rame en sustentation nécessite 
l'asservissement en position de l'entrefer. Cet
asservissement est réalisé en utilisant un capteur de position. On se propose 
dans cette partie d'étudier le
principe d'un capteur de position à inductance variable.

III.A * Capteur à entrefer variable « push-pull »

La figure 3 décrit le schéma de principe d'un capteur inductif a entrefer 
variable dans un montage « push--pull ».

Le capteur comprend un circuit magnétique composé d'un noyau solidaire du rail 
fixe et de deux bobines B1
et B2 sur deux noyaux ferromagnétiques en vis--à--vis, solidaires de la rame. 
Les bobines B1 et B2 du capteur
sont identiques et placées de façon symétrique par rapport au rail lorsque la 
rame est à l'équilibre (figure 3 a
gauche). Ces bobines B1 et B2 sont indépendantes des bobines assurant la 
lévitation. Elles sont constituées de
NC spires de surface S'.

2018--02--15 17:07:02 Page 3/6 (GQ BY--NC-SA

Rail --> Rame

lêîÊ.Ê.Ëfêêfi (<<<<<<<<<

2, l \
Montage à l'équilibre Montage hors équilibre

Figure 3

Q 23. Écrire l'inductance LEUR des bobines B1 et B2 lorsque la rame est à 
l'équilibre.
On envisage une variation Az de la position du train par rapport a la position 
d'équilibre zEUR : 6 (figure 3 a
droite)7 en considérant Az << 6.

Q 24. Écrire les inductance L1 et L2 de chacun des bobines B1 et B2 en se 
limitant au terme du premier
ordre en Az/ô.

III.B -- Mesure des variations d'inductance
Les bobines B1 et B2 sont alimentées par un générateur délivrant une tension 
électrique e(t) : E cos(wt), de
pulsation tu, en série avec une résistance R (figure 4). On néglige ici les 
résistances des deux bobines.

R L1 L2
...
e(t) Î() U1(Ë) U2(Ü
&&Y &®Y
Figure 4 Alimentation du capteur
25. Déterminer les expressions des tensions électriques complexes @ et g en 
fonction de R, L , L . w
1 2 1 2
et @.

Ces tensions sont placées à l'entrée du montage présenté figure 5. L'ALI est 
supposé idéal en fonctionnement
linéaire.

R2

1

U R --s
àW &" Ï\\® sW

Figure 5 Montage soustracteur

Q 26. Montrer que la tension électrique de sortie du montage peut s'écrire sous 
la forme gs : K (u -- u )
où K est une constante que l'on déterminera en fonction des composants du 
montage.

u .
Q 27. Exprimer la fonction de transfert complexe I(jw) sous la forme I(jw) : ls 
: TOM--WO)
EUR 1 + j(w/w0)

où T0
et wo sont des fonctions de Le, R, Az et 6, que l'on déterminera.

Q 28. Tracer le diagramme de Bodo asymptotique de I(jw).
Q 29. De quel type de filtre s'agit-il ?

2018-02--15 17:07:02 Page 4/6 (66 BY--NC-SA

Q 30. Quelle est la signification de la pulsation Wo '?
Q 31. Dans quelle gamme de fréquences doit--on travailler pour que I(jw) soit 
indépendant de w et propor--
tionnel au déplacement de la rame ?

On a R : 750 Q, Le : 60 mH et une fréquence d'utilisation f : 4 kHz.

A
Q 32. Montrer que le signal de sortie peut se mettre sous la forme us (1%) : 
E--Z cos(wt + 
\W ÂW \\W

Figure 6 Multiplieur analogique

Q 34. Exprimer la tension électrique sm(t) a la sortie du multiplieur et donner 
sa décomposition spectrale.
Préciser le terme représentatif de la position 2 de la rame.
Q 35. Quel montage doit--on placer à la sortie du multiplieur pour récupérer 
une tension continue S... pro--
portionnelle au déplacement Az ? Préciser la nature et les caractéristiques de 
ce montage.
AS...

Az '
Q 37. Application numérique Le capteur permet de mesurer la tension de sortie a 
10 mV près. En déduire le
plus petit écart relatif mesurable par rapport a la position d'équilibre. On 
prendra E = 6,00 V, Km : 1,00 V*1.

Q 36. Exprimer la sensibilité du capteur définie par

IV Energétique du Transrapid

Q 38. En vous appuyant sur les documents fournis (annexes 1 et 2), évaluer les 
puissances consommées par
le Transrapid et par un train conventionnel sur rail lorsqu'ils circulent à 300 
km-h'1. Discuter de la pertinence
du dispositif Transrapid.

Le constructeur indique que la distance de freinage du Transrapid est de 3,6 km 
a 300 km'h'l.

Q 39. En déduire la puissance de freinage, supposée constante au cours du 
freinage, en négligeant la trainée
aérodynamique du train devant la force de freinage.

On pourra établir la loi de variation de la vitesse du train en fonction de la 
distance æ parcourue à partir
du début du freinage.

Q 40. Toujours dans la même approximation, calculer la valeur moyenne de la 
puissance de la trainée aé--
rodynamique du train pendant la durée du freinage et la comparer a la puissance 
de freinage déterminée à la
question précédente.

Q 41. Commenter la qualité de l'approximation utilisée.

Données et formulaire

Perméabilité magnétique du vide po : 47r >< 104 HmÏ1
Permittivité diélectrique du vide 80 = 8,854 >< 10f12 Emil
Charge élémentaire @ = 1,602 >< 1049 O
Intensité du champ de pesanteur terrestre g = 9,8 m-sf2

Capacité thermique massique de l'eau liquide cEUR : 4,2 kJ-kgfl'Kf1

Loi de Newton du transfert conducto--convectif entre un solide et un fluide
P : hSAT

où Pest la puissance thermique échangée, S la surface de contact solide--fluide 
et ATla différence de température
entre la surface du solide et celle du fluide très loin du solide. Pour le 
coefficient de transfert thermique conducto--
convectif h, on prendra ici h % 100 W'mfg'Kfl.

2018-02--15 17:07:02 Page 5/6 GC) BY--NC-SA

Caractéristiques du solénoi'de

Annexe 1

Diamètre D

Longueur L

Nombre de spires N

Diamètre du fil de cuivre d

0,2m 0,5m 10000 2,0 mm
Données sur le cuivre
Masse volumique ,a = 8,96 >< 103 kgmÎ3
Capacité thermique massique c = 385 J-kgf'-1Y1
Résistivité électrique p : 1,68 >< 10Î8 Q'm
Température de fusion Tf : 1356 K
Annexe 2

Données comparatives Transrapid * TGV

Transrapid TGV duplex
Masse (tonnes) 190 390
Nombre de places 310 510
Longueur (m) 79,7 200
Puissance d'une motrice (kW) 8800

Composition du train

3 voitures motrices

motrice * 8 voitures -* motrice

Type de moteur

Moteur synchrone linéaire

Moteur rotatif asynchrone embarqué dans la motrice

OE

Alimentation Sous--stations réparties sur la voie Caténaire
Section aérodynamique (m2) 11 12
C 0,24 0,35

D'après « Techniques de l'ingénieur * Ingénierie des transports | Systèmes 
ferroviaires »

Le Transrapid fonctionne avec des moteurs linéaires synchrones dont les 
bobinages « inducteurs » sont disposés
le long de la voie. Les bogies d'articulation des rames comportent l'ensemble 
des « induits » de motorisation.
Les constructeurs ont également combiné, sous les voies, les électroaimants de 
support vertical et le guidage.

La résistance à l'avancement du train due au contact sur les rails horizontaux 
et alignés est définie par une
action tangentielle, opposée au mouvement, dont la norme HÎH peut s'écrire sous 
la forme l|ÎH : u(V)H1VH où
Vest la vitesse du train, ]V la composante de la réaction normale du rail sur 
le train et u(V) le coefficient
d'adhérence dont la forme est donnée figure 7.

0,25

0,2

/L

0,05

-- Rails secs
-- -- -- Rails humides
------- Feuilles mortes

Figure 7 Adhérence maximale sollicitable pour un train à grande vitesse en 
fonction de la
vitesse et de l'état du rail

oooFlNoco

2018-02--15 17:07:02

Page 6/6

(cc)--

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique et Chimie 1 PSI 2018 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (professeur en CPGE) ; il a été relu
par Tom Morel (professeur en CPGE) et Cyril Ravat (professeur en CPGE).

Concurrent du train à grande vitesse français, un type de train à sustentation 
magnétique, le Transrapid, est le thème de cette épreuve. Un tel train utilise 
les forces
magnétiques pour léviter au-dessus de la voie, ce qui élimine tout contact 
solide,
réduisant l'usure et la consommation d'énergie. Le Transrapid, dont les 
principes
théoriques ont été établis dès 1914, n'a pour l'instant qu'une seule 
réalisation commerciale, sur une ligne de 30 km en Chine. Le sujet est partagé 
en quatre parties de
longueurs très inégales.
· La première partie, qui ne comporte que cinq questions, est centrée sur des
problèmes de dimensionnement d'un dispositif. Le but est de montrer qu'une
simple bobine, sans matériau ferromagnétique, ne permet pas d'atteindre 
l'objectif fixé, à savoir permettre la lévitation d'une rame de train. Orientée 
dans
l'esprit « résolution de problème », il ne faut pas hésiter à formuler des 
hypothèses afin de parvenir à un résultat pertinent. Sur le fond, il s'agit 
simplement
du champ magnétique créé par un solénoïde et de la puissance Joule qu'un
conducteur filiforme dégage lors du passage d'un courant électrique.
· La deuxième partie permet d'établir l'expression de la force électromagnétique
qui assure la sustentation de la rame, lorsque l'on considère un dispositif où 
les
matériaux ferromagnétiques sont présents. Bien que l'approche suivie soit très
classique, l'énoncé est extrêmement détaillé, ce qui le rend parfois laborieux.
Toute la modélisation étant donnée, cette partie ne présente pas de difficulté.
Elle se termine par la démonstration de l'instabilité du dispositif.
· Pour corriger le problème d'instabilité, il convient d'envisager un 
asservissement
en position de la rame. Un exemple de capteur de position, qui met également
en oeuvre un circuit magnétique, est étudié, ainsi que son électronique de 
conditionnement. On rencontre à cette occasion un circuit à ALI et un 
multiplieur,
deux composants étudiés dans le cours.
· Ce sujet se termine par une courte partie dédiée à la consommation 
énergétique du Transrapid. À partir des données fournies, il convient de 
proposer une
modélisation permettant d'estimer la puissance nécessaire pour faire rouler un
Transrapid ou un TGV à 300 km.h-1 . Regrettons que les valeurs numériques
proposées conduisent à une interprétation largement exagérée de la différence
de puissance requise par ces deux dispositifs ferroviaires à grande vitesse.
Les questions sont très classiques et très proches du cours, hormis quelques 
questions plus ouvertes ou qui reposent sur l'étude des annexes. Contrairement 
aux années
précédentes, de nombreuses questions intermédiaires sont proposées, ce qui 
n'est pas
habituel pour un concours de ce niveau. Cela en fait cependant un sujet de 
révision
intéressant, appuyé sur un système réel.

Indications
Partie I
1 Modéliser le solénoïde par un solénoïde infini et calculer le courant requis 
pour
atteindre 4 T à l'intérieur. Calculer ensuite la puissance Joule dissipée par 
le fil
résistif que l'on peut modéliser par un conducteur filiforme. Conclure en 
déterminant le temps requis, dans l'hypothèse où le solénoïde serait isolé 
thermiquement,
pour atteindre la température de fusion du cuivre.
2 L'eau doit rester liquide durant tout le processus. On en déduit une valeur 
maximale de différence de température. Appliquer la loi de Newton rappelée dans 
le
formulaire pour en déduire la surface de contact.
3 Lors du contact avec le solénoïde, l'eau subit une variation de température 
égale
à celle calculée précédemment. Appliquer le premier principe de la 
thermodynamique en écoulement permanent pour déterminer le débit massique d'eau 
requis.
Partie II
9 La relation à obtenir relie les normes des champs magnétiques, pas les 
vecteurs.
14 Les deux matériaux ferromagnétiques étant identiques, on peut noter Hf leur
excitation magnétique commune (et non H1 , H2 ). Attention, l'entrefer est 
double.
15 Utiliser la conservation du flux et le caractère linéaire des matériaux 
(ferromagnétique et air) pour exprimer les excitations magnétiques en fonction 
de B2 .
16 Ce n'est pas la question 12 qu'il faut utiliser, mais la 13 (ordre de 
grandeur de la
perméabilité relative) pour simplifier l'expression.
20 Utiliser également les données numériques de la question suivante pour 
pouvoir
faire l'application numérique pour m.
22 Analyser l'évolution du système si, par le jeu des fluctuations, la distance 
entre
le rail et la rame venait à varier à partir de la position à l'équilibre.
Partie III
23 Vérifier que la situation, pour chaque bobine, est identique à celle étudiée 
dans
la partie II.
32 Vérifier que les données numériques placent l'étude dans le domaine 
déterminé à
la question précédente.
34 La sortie du multiplieur est sm (t) = Km e(t) us (t). Tous les termes de la 
décomposition spectrale sont proportionnels à z mais on cherche un terme 
continu.
35 Choisir un filtre simple, par exemple avec une résistance et un condensateur.
36 La sensibilité d'un capteur est le coefficient de proportionnalité entre la 
réponse
de ce dernier et la grandeur mesurée, ici Sm /z.
Partie IV
38 Le TGV est en contact avec les rails, contrairement au Transrapid.
39 Appliquer le théorème de la puissance cinétique et transformer la dérivée 
temporelle en dérivée spatiale.
40 Calculer la moyenne de v 3 à l'aide des résultats de la question précédente.

Trains à sustentation électromagnétique
I. Réalisation d´un champ magnétique intense
1 On se place dans l'approximation des régimes quasi-stationnaires magnétique,
ce qui fait que l'on peut négliger le courant de déplacement dans l'équation de
Maxwell-Ampère. Cela implique que les équations qui régissent le champ 
magnétique
sont les mêmes qu'en magnétostatique.
La fréquence est celle du réseau électrique, soit 50 Hz, ce qui fait que l'ARQS
est très bien vérifiée puisqu'il suffit que la longueur des circuits en jeu soit
faible devant la distance caractéristique de propagation c/f  6 000 km.
Supposons que le solénoïde puisse être assimilé à un solénoïde infiniment long, 
c'està-dire que l'on puisse négliger tout effet de bord. Le champ magnétique 
est uniforme
à l'intérieur de ce solénoïde et vaut, en reprenant les données de l'annexe 1,
N
B(t) = µ0 I(t)
L
Si ce résultat doit être connu, il peut aussi être démontré, à l'aide du 
théorème
d'Ampère, en admettant que le champ magnétique à l'extérieur est nul.
On en déduit l'intensité nécessaire pour obtenir B = 4 T :
I=

LB
= 1,6.102 A
µ0 N

Le conducteur qui compose cette bobine peut être modélisé par un conducteur 
filiforme de section s =  d2 /4 et de longueur  = N  D. Sa résistance est 
donnée par
4ND

R= = 2
s
d
On en déduit la puissance dissipée par effet Joule dans ce conducteur
P j = R I2 = 

4ND 2
I = 8,5.102 kW
d2

Imaginons que le solénoïde, de masse m = µ s , soit isolé thermiquement. Le 
premier
principe de la thermodynamique pendant la durée dt s'écrit alors
m c dT = P j dt
Déterminons la durée  nécessaire pour élever la température de T = 1 058 K 
(différence entre la température de fusion du cuivre et la température ambiante 
de 298 K) :
 =µ

N  2 d2 D
c T = 85 s
4 Pj

Cela signifie que le cuivre atteint sa température de fusion en moins d'une 
minute
trente ! Ce dispositif n'est donc pas viable en l'état. Il faut a minima prévoir
un dispositif efficace de refroidissement.
L'hypothèse d'adiabaticité est forte et on pourrait proposer un modèle plus
complet en prenant en compte les pertes par convection par exemple (en
assurant une bonne ventilation). Le modèle serait certes un peu plus réaliste,
mais il serait aussi plus délicat à manier. En outre, il faudrait proposer une
valeur pour le coefficient conducto-convectif avec l'air. Les ordres de grandeur
en jeu ici font que cette correction au modèle initial est bien insuffisante 
pour
permettre d'envisager un fonctionnement permanent du solénoïde.

2 L'eau du dispositif ne doit pas se vaporiser : la température maximale de la
bobine doit donc rester inférieure à 100 C. Choisissons 80 C. Par ailleurs, 
l'eau peut
être choisie relativement froide au départ (10 C), ce qui donne une différence 
de
température acceptable entre la bobine et l'eau de 70 C au maximum.
La loi de Newton pour le transfert conducto-convectif en régime permanent 
permet d'évacuer la puissance produite par effet Joule selon
P j = h S T
donc

S=

Pj
= 1,2.102 m2
h T

Cette surface, rapportée aux dimensions de la bobine, est extrêmement 
importante.
3 Pendant son contact avec le solénoïde, l'eau passe progressivement de sa 
température d'entrée (10 C) à sa température maximale acceptable (80 C), 
c'est-à-dire
qu'elle subit une variation de température de T. Le premier principe de la 
thermodynamique en écoulement permanent s'écrit, en notant Dm le débit massique 
d'eau
et h la variation d'enthalpie massique de l'eau,
Dm h = P j
Puisque l'eau est une phase condensée, h = ce T. Par conséquent,
Dm =

Pj
= 2,9 kg.s-1
ce T

4 Si le débit trouvé est réalisable, ce ne serait pas simple à mettre en 
pratique dans
un dispositif mobile. Il faut en effet prévoir une pompe et une grande quantité 
d'eau.
En outre, cette eau doit soit être renouvelée en permanence (ce qui 
impliquerait de
ne construire les lignes de transport que le long de fleuve), soit il faut 
également la
refroidir pour permettre un fonctionnement en circuit fermé. Un tel système de
refroidissement semble peu réaliste.
5 Les supraconducteurs ne présentent aucune résistance électrique, donc aucun
effet Joule. Par conséquent, le principal obstacle relevé dans les questions 
précédentes,
à savoir l'évacuation de la puissance dissipée par effet Joule, disparaît.

II. La sustentation électromagnétique du Transrapid

-
6 En présence d'une aimantation M non nulle, l'équation de Maxwell-Ampère doit
être modifiée car on constate que le champ magnétique est lié non seulement au

courant de conduction -
 mais également à un terme dû à l'aimantation. Dans ce

-
cas, on introduit l'excitation magnétique H définie par
-

 -

1-
H=
B -M
µ0
L'énoncé n'est pas forcément très clair, car il semble attendre deux réponses
distinctes entre la définition de l'excitation magnétique et son expression en
fonction du champ magnétique.