Centrale Physique et Chimie 1 PSI 2017

Thème de l'épreuve Traitement des fumées industrielles par un électrofiltre
Principaux outils utilisés électrostatique, mécanique du point, conversion de puissance, équilibres acido-basiques
Mots clefs électrofiltre, migration de particules, transformateur, redressement

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


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Traitement des fumées industrielles par un électrofiltre

Les poussières, petites particules en suspension dans l'air, sont des polluants 
fréquemment présents dans les
fumées industrielles. Leur émission est soumise à une réglementation toujours 
plus stricte qui oblige les industriels
à équiper leurs installations de dispositifs de dépoussiérage. Les 
électrofiltres peuvent jouer ce rôle dans des
installations aussi variées que les centrales thermiques, les cimenteries, les 
incinérateurs, les aciéries ou encore
les verreries.

Un électrofiltre est essentiellement constitué de deux électrodes entre 
lesquelles on applique une forte tension
électrique. L'une d'elles, appelée collectrice, est mise a la terre alors que 
l'autre, nommée émettrice, est portée
à un potentiel négatif --U provoquant l'ionisation du gaz a son voisinage. Les 
anions ainsi produits se déplacent
vers la collectrice, correspondant au passage d'un courant au travers du gaz. 
En chemin, certains de ces anions
se fixent sur les grains de poussière qui acquièrent ainsi une charge négative. 
Ces particules polluantes sont alors
attirées par la collectrice et s'y fixent en formant un dépôt qu'on élimine en 
ébranlant l'électrode à coups de
marteau (électrofiltre sec) ou en la rinçant par un liquide (électrofiltre 
humide). Le résidu est récupéré dans des
trémies, puis évacué.

Dans les électrofiltres secs, les émettrices sont des fils verticaux et les 
collectrices des plaques verticales entre
lesquelles la fumée à dépoussiérer s'écoule horizontalement (partie gauche de 
la figure 1). Dans les électrofiltres
humides, l'émettrice est un fil vertical et la collectrice un cylindre coaxial, 
la fumée s'écoulant selon l'axe de ce
tube (partie droite de la figure 1).

diamètre : 2Te

;

CL
>-4.
%
(D)
ç--r
"S
(D
l\)
%
m
;

epoussiere

;

gaz d

(a) Électrofiltre sec (b) Électrofiltre humide

Figure 1 Deux types d'électrofiltres

Ce sujet est accompagné d'un document réponse à rendre avec la copie. Une liste 
de valeurs numériques et de
formules figure en fin d'énonce'.

2017--02--27 12:22:50 Page 1/8 [(CC «BY--NC-SA

I Champ électrique dans un électrofiltre

I.A * Champ électrique à vide et tension seuil

Selon des données expérimentales, l'ionisation du gaz au voisinage de 
l'émettrice se produit lorsque la norme
du champ électrique y dépasse une valeur seuil EO dépendant du rayon re de 
cette électrode, de la pression et
de la température. Dans tout le problème, re : 1,25 mm et E0 : 4,4 >< 106 V-mfl.

I.A.1) Pour une configuration donnée des électrodes, le champ électrique É et 
le potentiel électrostatique V
dans l'espace inter--électrode dépendent de la tension U imposée. Pour les 
déterminer, on se place a la limite
d'apparition du courant ce qui conduit à supposer l'espace inter--électrode 
vide de charge. Dans ces conditions,
comment s'écrit l'équation de Poisson '?

I.A.2) Électrofiltre humide

a ) On considère tout d'abord l'électrofiltre humide, tubulaire (figure 1b). Le 
rayon de la collectrice portée à la
masse est noté rc. En choisissant un système de coordonnées bien adapté et en 
négligeant les effets de bord, de
quelles variables le potentiel électrostatique Vdépend--il ? Donner son 
expression en fonction de U, re et TC.

0) Exprimer le champ électrique au contact de l'émettrice et en déduire la 
valeur U() à donner a U pour qu'il
atteigne la valeur Eo-

0) Calculer numériquement U0 pour 7'c : 150 mm.

I.A.3) Électrofiltre sec

On raisonne toujours sous les hypothèses de la question I.A.1, mais on 
considère désormais un électrofiltre sec
formé de plaques et de fils, caractérisé par les distances s et d définies sur 
la figure la. L'origine des coordonnées
est placée sur l'un des fils, à égale distance des deux collectrices. Tout 
effet de bord étant négligé, le potentiel
électrostatique est donné par

cosh (M) --cos <Ë)

V(oe,y,z)=% î: ln 25 25

m=ÿæ 7T(l' -- 2md) 7Ty
cosh (2--5) +cos (2--5)

a ) Vérifier que cette expression est compatible avec la présence des 
collectrices et trouver l'expression de A en
fonction de d, 5 et re.

0) Les équipotentielles sont représentées sur la figure du document réponse. 
Compléter cette figure en y traçant
en couleur des lignes de champ orientées. Quelles sont les zones de fort champ 
'? Existe--t--il des points où le champ
électrique s'annule '?

c) La figure 2 montre le comportement de |Ey(a' : 0,y, z : 0)| en fonction de 
y. Ce graphique, obtenu pour
01/53 : 4/3, utilise les variables adimensionnées |Ey|/(U/s) (en ordonnée) et 
y/s (en abscisse).

Quelle valeur U0 faut--il donner a U pour provoquer l'ionisation près de 
l'électrode émettrice '? Exprimer la
réponse en fonction de 5 et E0, puis estimer la valeur numérique de U0 pour s : 
150 mm. Comparer l'ordre de
grandeur obtenu avec celui concernant l'électrofiltre tubulaire.

24
22
20
18
16
14
12
10

|Eyl/(U/s) pour :c = 0

ONH>OEOO

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,0 0,7 0,8 0,9 1
'Ï'e'5 y/s

Figure 2 Variations du champ électrique dans un électrofiltre sec

I.B * Influence des charges d'espace

Dès lors que la tension U dépasse la valeur seuil UO, un courant d'intensité i 
s'instaure dans l'électrofiltre et
l'espace inter--électrode se peuple d'anions dont la présence, caractérisée par 
les densités volumiques de charge

2017--02--27 12:22:50 Page 2/8 @@ BY--NC-SA

p(M ) et de courant j(M ), modifie le champ électrique. Ces anions sont 
supposés tous identiques et se déplacent
dans le champ électrique Ë(M) avec une vitesse Ü(M) : --bË(M) avec b : 3,1 >< 
10Ï4 m2-\7*1-s*1 dans les
conditions envisagées.

La connaissance des champs couplés É (M ) et p(M ) constitue un enjeu majeur 
car ces grandeurs déterminent la
migration des grains de poussière. Dans un électrofiltre sec, leur 
détermination s'appuie sur de lourdes méthodes
numériques. Nous l'abordons ici uniquement dans le cas des électrofiltres 
humides en négligeant tout effet de
bord. L'influence des poussières mobiles sur le champ est négligée.

I.B.1) La collectrice tubulaire et l'émettrice coaxiale ont pour hauteur h. On 
note j : j' e,. et E : Ê ' êr les
projections sur le vecteur unitaire radial usuel des coordonnées cylindriques 
et 7" la distance d'un point à l'axe.

Un courant d'intensité i > 0 circule radialement d'une électrode vers l'autre. 
Dans quel sens ? Exprimer j en
fonction des variables qui s'imposent.

I.B.2) Exprimer la densité volumique de charge en fonction de i, E, h, 1" et b.

I.B.3) Quelle équation de l'électromagnêtisme exprime localement la 
modification du champ électrique par
les ions '? Montrer qu'elle peut s'écrire sous la forme

d(rE) * i?"

Tfi7 dr _'2wh£0b

I.B.4) À une certaine distance 7'0 > re de l'axe, le champ électrique prend la 
valeur E0- En déduire l'expression
de E.

I.B.5) Pour r sufiisamment grand (quelques centimètres en pratique), on 
considère généralement que le champ
devient grossièrement uniforme. Quelle est alors son expression approchée '? 
Quelle est ici sa valeur numérique
si i/h : 0,70 mA-m*1 ?
I.B.6) Dans cette région de quasi--uniformitê, calculer la vitesse des ions, 
puis la densité volumique de charge
p et le nombre d'ions par centimètre cube au voisinage de la collectrice (r : 
rc), en supposant que chacun porte
une charge élémentaire.

II Comportement des poussières dans l'électrofiltre

II.A * Charge d'une particule sphérique : modèle de Pauthenier

On aborde dans cette partie le processus de chargement des poussières, 
assimilées à des sphères de diamètre
d : 211. Ces grains sont initialement neutres mais les anions mobiles le long 
des lignes de champ les rencontrent et
s'y fixent, leur communiquant progressivement une charge Q(t) < 0. Le champ Ê 
étudié dans la partie précédente
est désormais supposé uniforme et connu. Chaque grain de poussière chargé et 
polarisé sous l'influence de Ë
déforme localement les lignes de champ. Pour éviter toute confusion, on note Êt 
le champ tenant compte
simultanément de Ë et de la présence des grains.

On raisonne sur un grain unique immobile et on adopte momentanément un nouveau 
système de coordonnées
(r, (9, (p) de type sphérique, dont l'origine se situe au centre du grain et 
tel que Ê : E üz avec E < 0 (figure 3).
Des considérations d'électrostatique montrent que, à l'extérieur du grain (r 2 
a), le champ électrique total est
donné par

--> --> EUR

@=E+E

'"_1a3 (2 a" + " EUR" )+Ê
Er+2r_3 cos u, sm ue 1
Dans cette expression, Ël désigne le champ que créerait autour d'elle la 
particule sphérique portant @ si elle
était seule dans l'espace. La constante sans dimension 5, dépend de la nature 
physico--chimique de la poussière.
Les lignes de champ sont tracées sur la figure du document réponse pour Q = 0 
puis pour une valeur négative

de Q.

"9

"6

Figure 3 Coordonnées sphériques au--
tour d'une poussière sphérique

2017--02--27 12:22:50 Page 3/8 (66 BY--NC-SA

II.A.1) Calcul de la charge limite

a) Orienter par des flèches bleues les lignes de champ de la figure du document 
réponse et représenter le
mouvement des anions par des flèches rouges. On précise que les lignes de champ 
qui rencontrent la sphère en
la pénétrant ne portent pas d'anions : la sphère peut capturer des anions mais 
ne peut pas en émettre.

b ) Quelle est l'expression de Ë1 ? L'accroissement de |Q| a--t--il tendance à 
réduire ou à élargir la portion de
la sphère d'où partent, vers des valeurs croissantes de r, les lignes de champ 
? Favorise--t--il ou s'oppose--t--il à
l'arrivée de nouveaux anions sur la sphère ?

c) Le grain de poussière atteint sa charge limite Qlim lorsque les lignes de 
champ sont si distordues qu'aucun
anion ne peut plus lui parvenir. Montrer que

__ 2 EURr_1
Qlim -- 47Ï50OE E (1 + 287" + 2)

d) Calculer numériquement Q1im pour er : 10, d : 2a : 2,0 um, |E| : 5,0 >< 105 
V'mfl. Combien de charges
élémentaires cela représente--t--il ?

II.A.2) Loi horaire et durée de chargement

Le mécanisme décrit dans la question précédente est régi par la loi horaire

Q(Ü : Qlim t +tTQ

a ) Sachant que TQ ne dépend que de EUR... b et | pl (où p est la densité 
volumique de charge des anions), en donner
une expression par analyse dimensionnelle. Le résultat exact s'obtient en 
plaçant un facteur 4 au numérateur.

b ) Calculer numériquement la durée t90 au bout de laquelle un grain de 
poussière atteint 90% de sa charge
limite pour b = 3,1 >< 10Î4 m2'V*1s*1 et |p| : 5,0 >< 10f5 C-mf3.
c) La fumée poussièreuse s'écoule a la vitesse % = 1 m's*1 en traversant 
l'électrofiltre sur toute sa longueur

L = 10 m. Quelle conclusion peut--on tirer de la valeur numérique de Q... ?

II.B * Migration des particules

Cette sous--partie constitue un problème non guidé. Il est nécessaire de lui 
consacrer un temps suffisant. Le

barème aceordera des importanees comparables à cette sous--partie ll.B et à 
l'ensemble des questions ll.A.1 et
II.A.2.

Dans cette question on suppose que la particule a atteint sa charge limite th 
qui reste dès lors constante et
qu'on pourra simplement noter Q. Elle est transportée par la fumée de 
température T : 150 °C qui s'écoule,
dans le cas de l'électrofiltre sec, à la vitesse % : % EUR,, et soumise au 
champ électrique Ê : E êy supposé
constant et uniforme.

On note 1? la vitesse de la particule dans le référentiel lié au fluide en 
mouvement. Dans le référentiel lié aux
électrodes, sa vitesse est % + Ü.
Déterminer la vitesse limite 'LÎÏHm de la particule et un ordre de grandeur du 
temps qu'il faut pour s'en approcher.

Préciser les valeurs numériques pour des cendres volantes de masse volumique ,a 
: 2,6 >< 103 kg-mÎ3 avec les
valeurs de la question II.A.1d. D'autres informations utiles se trouvent en 
annexe.

II.C * Rendement de l'électrofiltre

Dans la suite on suppose que toutes les particules possèdent la vitesse fin... 
que l'on notera simplement Ü. On
définit le rendement d'un électrofiltre par

01 et 02 désignant respectivement les densités volumiques des poussières (en 
particules par mètre cube) a l'entrée
et a la sortie de la machine. Le caractère turbulent de l'écoulement du gaz 
rend sa détermination délicate:
contrairement a la description donnée en HB, % n'est pas uniforme mais présente 
des fluctuations à petite
échelle, sauf dans la couche limite près des collectrices où la vitesse du gaz 
devient plus faible. La trajectoire
des poussières est donc aléatoire.

II.C.1) Justifier le caractère turbulent de l'écoulement de la fumée en 
utilisant l'ordre de grandeur de valeurs
déjà fournies.
II.C.2) Modèle de Deutsch

Pour déterminer théoriquement 77, on considère la géométrie plane de 
l'électrofiltre sec (figure 4) et on adopte
le modèle de Deutsch fondé sur les hypothèses suivantes :

i. grâce au brassage turbulent du gaz, la densité volumique c des poussières ne 
dépend que de r. Elle est aussi
invariable dans le temps ;

ii. malgré les turbulences, on peut définir une vitesse moyenne d'écoulement du 
gaz % orientée selon êOE ;

iii. dans la couche limite près des collectrices, les particules possèdent une 
vitesse dont la composante orthogonale
a la collectrice est w. Elles seules peuvent atteindre les collectrices.

2017--02--27 12:22:50 Page 4/8 (°°) BY--NC-SA

Pour déterminer c(æ), on procède à un bilan de matière pour une tranche de 
fluide E située à l'instant t entre
les abscisses a: et a: + Aa: (figure 4). Pendant une durée infinitésimale dt, 
ses deux faces avancent de no dt. On
note Pla longueur totale des collectrices, perpendiculairement au plan de la 
figure, le long de laquelle s'effectue
la capture des particules, et A l'aire de la section au travers de laquelle 
s'écoule le gaz. Pour un électrofiltre sec,
A : 25h et P : 2h car la précipitation s'effectue sur les deux plaques.

u0dt

_. L

33 OE+Aoe

Figure 4

a ) Soit N (t) le nombre de particules que contient la tranche. Pendant le 
déplacement envisagé, il varie de dN .
Exprimer dN en fonction de c(æ), c(:c + An:), A, % et dt.

b ) Dans quel volume se trouvent les particules de E qui atteignent la surface 
collectrice pendant dt '? Quel est

leur nombre '?

P
c) En déduire que % : --A--1Ï)c(oe).
1

d) Exprimer enfin l'efficacité en fonction de L, u0, w et s. La calculer 
numériquement pour % = 1,0 m-sf ,
L = 10 m, w = 0,15 m-sf1 et 5 = 150 mm.

En pratique, l'efficacité n'est pas aussi élevée pour diverses raisons. La 
partie suivante donne un aperçu de l'une
d'elles.

II.C.3) De la théorie à la pratique

a ) Pour les très petites particules (d S 1pm), le calcul de w doit être 
corrigé. Sachant que le libre parcours moyen
des molécules d'air est, dans les conditions envisagées, de l'ordre de 104 m, 
indiquer quel concept fondamental
de la mécanique des fluides est mis en défaut dans l'étude de la sous--partie 
ll.B.

b ) En prenant en compte divers autres facteurs correctifs, on obtient 
finalement les variations de tu en fonction
de d représentées sur la figure 5.

Expliquer pourquoi le modèle de Deutsch, qui se prête bien a des études en 
laboratoire sur des poussières
calibrées, ne peut pas s'appliquer simplement pour calculer l'efficacité d'un 
électrofiltre traitant la fumée issue
d'une installation industrielle.

101
|@ 100
É
S
104
10*2 10*1 100 101 102

d (pm)

Figure 5 Variation de la vitesse de migration w en fonction du dia--
mètre d des poussières

c) En pratique, l'efficacité d'un électrofiltre est calculée par la relation 
empirique de Matts et Ohnfeld
w'A k
= 1 -- ex -- ( C)
77 p ( D. )

2017--02--27 12:22:50 Page 5/8 [(ce BY--NC-SA

où D,, représente le débit volumique de gaz traversant l'électrofiltre et AC 
l'aire des électrodes collectrices. Le
paramètre sans dimension le et la grandeur w', nommée vitesse effective de 
migration, doivent être déterminés

expérimentalement. Justifier que l'on retrouve le résultat de Deutsch en 
prenant le : 1. Que vaudrait alors w' '?

d) Pour des cendres volantes, un industriel a tabulé w' : 0,12 m's*1

l'électr0filtre en reprenant les valeurs de la fin de la question ll.C.2.

et k : 0,5. Calculer le rendement de

III Alimentation électrique d'un électrofiltre

L'alimentation électrique d'un électrofiltre détermine en partie son 
efficacité. Il convient de maintenir la tension
entre les électrodes aussi haute que possible tout en contrôlant l'apparition 
d'arcs électriques néfastes. On utilise
dans ce but une installation alimentée par le réseau (EDF par exemple), formée 
d'une armoire de régulation,
d'un transformateur et d'un redresseur haute tension (figure 6).

UL (200 V/div)
-- -- ip (200 A /div)

armoire de régulation bloc transformateur-redresseur '. . '
s
c' '
. , \
1 g redres5eur , , \
m ' electrofiltre , \
, 0 .......... c ' .......... '
: !
US --l>j-- ! l '
E : '
: ' \
. ' \ 4
: s \ ,'
CDUÈYOÏG " '
de (!

0 2 4 6 8101214161820
1% (ms)
Schéma électrique général Oscillogrammes montrant le fonctionnement
de la régulation

Figure 6

III.A * Armoire de régulation

L'armoire de régulation comporte des commutateurs K1 et K2 assimilables a des 
interrupteurs idéaux et qui

permettent de piloter la puissance transférée du réseau EDF vers 
l'électrofiltre. La partie droite de la figure 6

montre l'évolution de la tension de réseau 'UL et de l'intensité ip sur une 
période (T = 20 ms). Le fonctionnement

met en jeu un rapport cyclique 04, toujours inférieur à 1/2 et ici fixé à 0,3.

-- L'interrupteur K1, qui se trouve ouvert a t : O, est fermé à t : QT durant 
une phase où UL > vp. Il reste
fermé quelques instants, puis s'ouvre spontanément dès que i s'annule et 
demeure ouvert jusqu'à la période
suivante.

P

-- L'interrupteur K 2, qui se trouve ouvert a t : T / 2, est fermé à t : T/ 2 + 
ozT, durant une phase où 'UL < vp.
Il reste fermé quelques instants, puis s'ouvre spontanément dès que i s'annule 
et demeure ouvert jusqu'à la
période suivante.

P

III.A.1) Dans quel interrupteur le courant circule--t--il pour t EUR {6 ms, 11 
ms] et pour 75 EUR {16 ms, 21 ms] ?

III.A.2) Les interrupteurs K1 et K 2 fonctionnent de manière symétrique et on 
se concentre sur K 1. Représenter
schématiquement sur une caractéristique, sans s'attarder sur les valeurs 
numériques, les points de fonctionnement
mis en jeu pour cet interrupteur en convention récepteur. Préciser par un 
schéma l'orientation de l'intensité iK1
et la tension u K1'

III.A.3) Rappeler les caractéristiques courant--tension idéales d'une diode et 
d'un transistor utilisés en régime
de commutation, en précisant a nouveau les orientations par des schémas. L'un 
de ces deux composants peut--il
être utilisé pour K1 et K2 ? Justifier.

III.B * Le transformateur

Le transformateur, de rapport de transformation m, est supposé idéal. On 
néglige en particulier le courant de
magnétisati0n. Il est précédé d'une bobine de protection d'auto--inductance L0 
immergée dans la même cuve
d'huile. La plaque signalétique de l'installation comporte les informations 
suivantes, issues d'essais en régime
sinusoi'dal forcé de fréquence 50 Hz :

-- tension efficace nominale d'alimentation du circuit rimaire V : 400 V
p pne 7

: 1400 mA,

-- amplitude nominale de la tension au secondaire V... : 90 kV, valeur obtenue 
en circuit secondaire ouvert et
sous la tension primaire nominale.

* intensité efficace nominale du circuit secondaire ISM

2017--02--27 12:22:50 Page 6/8 @Ô BY--NC-SA

On précise que, dans ces essais, le transformateur est déconnecté du reste de 
l'installation et que la tension 1)
est appliquée à l'ensemble formé de Le et du circuit primaire, comme sur la 
figure 6.

P

III.B.1) Que vaut le rapport de transformation m ? En déduire l'intensité 
nominale efficace au primaire Ipne'

III.B.2) L'inductance de protection est caractérisée par un nombre sans 
dimension TCC exprimé en pourcent et
défini comme suit. Lorsque le secondaire est en court--circuit, il faut 
appliquer au primaire une tension Up de
valeur efficace V pour y faire passer un courant d'intensité efficace égale à 
sa valeur nominale Ipn6. On pose

pcc
TCC : pac/%ne'
?" V
Justifier que L() : CC pm.
wlpne

III.B.3) L'inductance de protection L0 trouve son utilité en cas d'apparition 
d'arcs électriques dans l'électrOE
filtre, qui provoquent des surintensités dommageables. On représente cette 
situation par un court--circuit du
secondaire alors que vp est maintenu à la tension d'alimentation nominale. 
Quelle valeur convient--il de donner
a 7'CC pour que l'intensité dans le primaire ne dépasse pas 3 fois sa valeur 
nominale '? Calculer numériquement
L0-

III.C * Le redresseur

III.C.1) Le redressement double alternance est réalisé au moyen d'un pont de 
diodes au silicium. Représenter
par un schéma la structure de ce dispositif. Faire apparaître clairement les 
points où s'applique la tension
vs fournie par le transformateur, de même que les bornes où il convient de 
brancher l'électrode émettrice et
l'électrode réceptrice, dont la polarité a été indiquée au début du problème.

III.C.2) Durant les phases où l'intensité ip est non nulle, les électrodes se 
chargent comme les plaques d'un
condensateur, puis se déchargent partiellement lorsque cette intensité 
disparait. Qualitativement, si @ augmente
tout en restant inférieur à 1/2, dans quel sens la tension moyenne U aux bornes 
de l'électrofiltre évolue--t--elle '?
Si les arcs électriques sont trop nombreux, convient--il d'augmenter ou 
d'abaisser la valeur de oz '?

IV Conditionnement des gaz par adjonction d'oxyde de soufre

La séparation des poussières au sein d'un électrofiltre est optimale lorsque 
leur résistivité est comprise entre 108
et 1011 Q'cm. En particulier, des poussières trop peu conductrices déposées sur 
l'électrode collectrice forment
une couche isolante qui réduit le champ électrique inter--électrode, nuit au 
rendement et occasionne une surcon--
sommation électrique.

La résistivité des poussières dépend de la composition chimique des fumées. Par 
exemple, le trioxyde de soufre
gazeux SOgoe) peut s'associer à l'eau présente dans l'atmosphère régnant dans 
l'électrofiltre pour donner de
l'acide sulfurique H2SO4(aq), molécule facilement ionisable, qui se dépose à la 
surface des particules et accroît
utilement leur conductivité.

Certains déchets traités par électrofiltre contiennent naturellement des oxydes 
de soufre mais, dans la plupart
des cas, une adjonction artificielle est nécessaire. Nous allons comparer S02 
et SO3 en vue d'une application
dans un électrofiltre.

IV.A *

IV.A.1) Déterminer la configuration électronique du soufre et en déduire son 
nombre d'électrons de valence.
Sous quel élément se situe--t--il dans la classification périodique des 
éléments '?

IV.A.2) Proposer des structures de Lewis pour les espèces 802 et 803. Sachant 
que l'une est coudée et l'autre
triangulaire plane, déterminer si ces molécules sont polaires et représenter le 
vecteur moment dipolaire sur la
structure de Lewis.

I V.B * L'acide sulfureux H2SOg (aq) et l'acide sulfurique H2804 (aq) sont 
respectivement les formes hydratées
de S02(g) et SOgoe).

IV.B.1) Expliquer pourquoi, dans un électro--filtre, on utilise 803 (g) et non 
S02 @) pour diminuer la résistivité
des particules solides en milieu humide. On pourra écrire les réactions de ces 
deux molécules avec l'eau adsorbée
sur les particules solides.

IV.B.2) Si une trop forte résistivité des particules est a éviter pour les 
raisons évoquées plus haut, le rendement
de dépoussiérage chute aussi si la résistivité est trop faible. On constate que 
les particules ont tendance a se
ré--envoler lorsqu'elles atteignent la collectrice. Quelle(s) explication(s) 
pouvez--vous proposer '?

2017--02--27 12:22:50 Page 7/8 GC) BY--NC-SA

Analyse vectorielle
En coordonnées cylindriques

_ 4 7 1 MA,) 1 ôA0 aA,
d1VA(T,9, Z) -- ? 87" + ÎË + 82
_ 1 8 Ô ) 1 321/) 821!)
Aî/J(T,9,Z> 7" 87" (T ôr + r2 8192 + 822
m4 _ lôAz_ôA0)e (aA, 8Az>u 1<ô(rAg) ôA,)o
""..." 9' Z) ' (T 89 82 er + 82 87" 69 ?" ôr aa 62
Données numériques
Perméabilité magnétique du vide ,a0 : 47r >< 104 HmÎ1
Permittivité diélectrique du vide 50 : 8,85 >< 1042 F-mÎ1
Charge élémentaire @ : 1,60 >< 1049 C
Constante des gaz parfaits R : 8,31 J -1{*1-mol*1
Constante d'Avogadro NA : 6,02 >< 1023 molf1
Constante de Boltzmann kB : 1,38 >< 10*23 J -K*1
Viscosité dynamique de l'air a 150 °C 77,, = 2,4 >< 10*5 Pas
Masse volumique de l'air a 150 °C pa : 0,84 kg'm*3

Coefficient de trainée d'une sphère en fonction du nombre de Reynolds

104

103

102

104
104 104 100 101 102 103 104 105

Re

Eætrait du tableau périodique (masses molaires en g-molfl)

Numéro atomique 1 7 8 16
Symbole H N O 8
Masse molaire 1,01 14,0 16,0 32,1

Grandeurs thermodynamiques (à 298 K)
HZSOB/HSOËÎ HSOg/SOÊ: HQSO4/HSOZ HSOZ/SOÏÎ
1,8 7,2 2 --3 1,9

oooFlNooo

2017--02--27 12:22:50 Page 8/8 @<9 BY--NC-SA

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Ne rien porter sur cette feuille avantd'avuir comulëtementremuli l'entête 
Feuille OE/OE

Figure A Lignes de champ autour d'un grain de poussière pour
Q : 0 (en haut) et pour Q < 0 (en bas)

Figure B Carte des équipotentielles
dans un électr0filtre sec

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique et Chimie 1 PSI 2017 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jimmy Roussel (professeur agrégé en école 
d'ingénieur) ;
il a été relu par Stéphane Ravier (professeur en CPGE) et Louis Salkin 
(professeur
en CPGE).

Le sujet aborde le traitement des fumées industrielles à l'aide de dispositifs 
électrostatiques appelés électrofiltres. Le principe consiste à envoyer la 
fumée à traiter
dans une zone où règne un champ électrique suffisamment important pour ioniser
l'air. Le courant ionique qui en découle bombarde les poussières, qui 
s'agglutinent
alors sur l'électrode collectrice. Cette étude s'articule en quatre parties 
largement
indépendantes :
· La première partie étudie deux types de dispositifs, qui diffèrent par leur 
géométrie : l'électrofiltre sec et l'électrofiltre humide. On cherche à 
déterminer quelle
tension permet de déclencher l'ionisation de l'air. Ensuite, on analyse 
l'influence
de l'ionisation sur la distribution du champ électrique.
· La deuxième partie s'intéresse à l'interaction entre ce courant anionique et 
les
grains de poussière. On montre que les poussières acquièrent rapidement une
charge et une vitesse limites, ce qui permet d'estimer le rendement du 
dispositif.
· La commande électrique de l'électrofiltre fait l'objet d'une troisième partie.
Les étages de régulation, de transformation en haute tension et de redressement
sont analysés.
· Enfin, la dernière partie aborde quelques aspects chimiques. On explique 
notamment pourquoi l'ajout de trioxyde de soufre aux fumées diminue la 
résistivité des particules solides en milieu humide et améliore les 
performances du
dispositif.
En physique, cette épreuve a le mérite de couvrir différents aspects du 
programme
de seconde année ; l'électromagnétisme, la mécanique des fluides, la conversion 
de
puissance ainsi que les bilans sont abordés. Quant à la chimie, il s'agit d'une 
petite
partie portant sur le programme de première année. Même si de nombreuses 
questions sont guidées, on peut noter une volonté de la part des concepteurs de 
valoriser
l'autonomie. La question II.B en est une illustration.

Indications
Partie I
I.A.3.a Vérifier que V = 0 au voisinage des collectrices, puis imposer la 
condition
aux limites V = -U au voisinage de l'émettrice.

I.B.1 Le sens du courant électrique est donné par le sens de -
.
- à travers un cylindre compris entre les électrodes et
I.B.2 Calculer le flux de 
de même axe.
I.B.4 Poser y = rE puis intégrer.
Partie II
-
 
II.A.1.b Les lignes de champ sortent si Et · -
ur > 0.
-
 -
 > 0 n'a plus de solution.
II.A.1.c Q = Qlim quand Et · u
r
II.A.2.c Comparer la durée de transit avec t90 .
II.B Utiliser la relation fondamentale de la dynamique en introduisant une force
de traînée de norme
f=

1
a SCx w2
2

avec

Cx = 24/Re

II.C.2.d Déterminer la fonction c(x) puis calculer le rendement , appelé aussi 
efficacité.
Partie III
III.A.2 L'énoncé n'est pas forcément très clair. Il faut lire que K1 est ouvert 
lorsque
v L > v P , soit de t = 0 à T. À partir de t = T, il est fermé brièvement.
III.B.2 Lorsque le transformateur est court-circuité, la tension v p se confond 
avec
la tension aux bornes de la bobine de protection.
III.B.3 Tant que le secondaire est court-circuité, on a la relation Vp /Ip = 
Cte .
Partie IV
IV.B.1 Considérer qu'un acide est fort si son pKa est inférieur à 2.

Traitement des fumées industrielles par un
électrofiltre
I. Champ électrique dans un électrofiltre
I.A.1 En régime statique, le potentiel électrique obéit à l'équation de Poisson
V +

=0
0

où  désigne la densité volumique de charge. Dans l'espace inter-électrodes vide 
de
charge, on a  = 0, ce qui conduit à l'équation de Laplace
V = 0

(1)

I.A.2.a Vu la symétrie de révolution que présente l'électrofiltre tubulaire, il 
est
judicieux d'adopter un système de coordonnées cylindriques (r, , z), dont
l'axe coïncide avec celui de l'émettrice.
 (absence d'effet de bord)
L'invariance par rotation et par translation suivant -
u
z
implique que le potentiel ne dépend ni de , ni de z. L'équation (1) devient

1 d
dV
V(r) =
r
=0
r dr
dr
Après une double intégration, on trouve

V(r) = C1 ln r + C2
où C1 et C2 sont deux constantes d'intégration que l'on détermine à l'aide des 
conditions aux limites suivantes : V(rc ) = 0 et V(re ) = -U. On a donc

(
U
C =
C1 ln rc + C2 = 0
1
ln(rc /re )
d'où

C1 ln re + C2 = -U
C2 = -C1 ln rc
Finalement,

V(r) = U

ln(r/rc )
ln(rc /re )

I.A.2.b Le champ électrostatique dérive du potentiel via la relation
--
-

E = - grad V(r) =

-

-U
u
r
ln(rc /re ) r

Le champ électrique est radial centripète, dirigé vers les valeurs 
décroissantes du
potentiel comme l'impose sa définition.
Son intensité atteint un maximum au contact de l'émettrice, ce qui explique que
l'ionisation ait lieu à son voisinage. La valeur maximale du champ électrique 
vaut donc
|E|max =

U
re ln(rc /re )

L'ionisation se produit dès que ce champ dépasse le champ disruptif E0 , ce qui 
correspond à une tension seuil
 
rc
U0 = E0 re ln
re
I.A.2.c Numériquement,

6

U0 = 4,4 · 10 × 1,25 · 10

-3

× ln

150
1,25

= 26 kV

I.A.3.a Calculons le potentiel des collectrices définies par les plans y = +
-s:

(x - 2m d)
+
ch
-
cos
-

U
2s
2 

ln
V(x, +
s,
z)
=
-

(x - 2m d)
 
 m=-
+
ch
+ cos -
2s
2

X
U
ln 1
=
 m=-

X

V(x, +
- s, z) = 0

Cette valeur est compatible avec la contrainte V = 0 imposée par les 
collectrices reliées à la terre.
Rappelons qu'un conducteur à l'équilibre électrostatique présente un potentiel 
uniforme. Par ailleurs, le potentiel V(x, y, z) est une fonction continue.
Les émettrices, quant à elles, imposent la condition V(+
- re , 0, z) = -U, soit

(+
- re - 2m d)
ch
-
1

U
2s
 = -U

V(+
ln 
- re , 0, z) =

(+
 m=-
- re - 2m d)
ch
+1
2s

X

d'où l'on tire

(+
- re - 2m d)
- 1

X
 ch
2s

=-
ln 

+
(
- re - 2m d)
m=-
ch
+1
2s

I.A.3.b Les lignes de champ coupent les équipotentielles à angle droit et sont
orientées vers les potentiels décroissants. Par ailleurs, le système présente 
deux lignes
de symétrie : la ligne qui joint les deux émettrices ainsi que la ligne 
perpendiculaire
à cette dernière et équidistante des deux émettrices. Compte tenu des 
propriétés du
champ électrique, il s'agit de deux lignes de champ. À l'intersection, le champ 
est
nécessairement nul. Enfin, on constate que c'est au voisinage des émettrices
que le champ électrique est le plus intense du fait du resserrement des lignes
de champ.
Rappelons que, si une distribution de charges est invariante par une symétrie
de plan P, alors le champ électrique créé est contenu dans ce plan pour tout
point M de ce plan. En conséquence, si une distribution présente une ligne de
symétrie (intersection de deux plans de symétrie), celle-ci est nécessairement
une ligne de champ.