Centrale Physique et Chimie 1 PSI 2017

Thème de l'épreuve Traitement des fumées industrielles par un électrofiltre
Principaux outils utilisés électrostatique, mécanique du point, conversion de puissance, équilibres acido-basiques
Mots clefs électrofiltre, migration de particules, transformateur, redressement

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                             

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
        

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


& Ph ' -- h' ' 1 "
î,g y5|que c |m|e _

(

--/ P5| ©
cnucuunsuumnu--suëuc 4heures Calculatrices autorisées N

Traitement des fumées industrielles par un électrofiltre

Les poussières, petites particules en suspension dans l'air, sont des polluants 
fréquemment présents dans les
fumées industrielles. Leur émission est soumise à une réglementation toujours 
plus stricte qui oblige les industriels
à équiper leurs installations de dispositifs de dépoussiérage. Les 
électrofiltres peuvent jouer ce rôle dans des
installations aussi variées que les centrales thermiques, les cimenteries, les 
incinérateurs, les aciéries ou encore
les verreries.

Un électrofiltre est essentiellement constitué de deux électrodes entre 
lesquelles on applique une forte tension
électrique. L'une d'elles, appelée collectrice, est mise a la terre alors que 
l'autre, nommée émettrice, est portée
à un potentiel négatif --U provoquant l'ionisation du gaz a son voisinage. Les 
anions ainsi produits se déplacent
vers la collectrice, correspondant au passage d'un courant au travers du gaz. 
En chemin, certains de ces anions
se fixent sur les grains de poussière qui acquièrent ainsi une charge négative. 
Ces particules polluantes sont alors
attirées par la collectrice et s'y fixent en formant un dépôt qu'on élimine en 
ébranlant l'électrode à coups de
marteau (électrofiltre sec) ou en la rinçant par un liquide (électrofiltre 
humide). Le résidu est récupéré dans des
trémies, puis évacué.

Dans les électrofiltres secs, les émettrices sont des fils verticaux et les 
collectrices des plaques verticales entre
lesquelles la fumée à dépoussiérer s'écoule horizontalement (partie gauche de 
la figure 1). Dans les électrofiltres
humides, l'émettrice est un fil vertical et la collectrice un cylindre coaxial, 
la fumée s'écoulant selon l'axe de ce
tube (partie droite de la figure 1).

diamètre : 2Te

;

CL
>-4.
%
(D)
ç--r
"S
(D
l\)
%
m
;

epoussiere

;

gaz d

(a) Électrofiltre sec (b) Électrofiltre humide

Figure 1 Deux types d'électrofiltres

Ce sujet est accompagné d'un document réponse à rendre avec la copie. Une liste 
de valeurs numériques et de
formules figure en fin d'énonce'.

2017--02--27 12:22:50 Page 1/8 [(CC «BY--NC-SA

I Champ électrique dans un électrofiltre

I.A * Champ électrique à vide et tension seuil

Selon des données expérimentales, l'ionisation du gaz au voisinage de 
l'émettrice se produit lorsque la norme
du champ électrique y dépasse une valeur seuil EO dépendant du rayon re de 
cette électrode, de la pression et
de la température. Dans tout le problème, re : 1,25 mm et E0 : 4,4 >< 106 V-mfl. I.A.1) Pour une configuration donnée des électrodes, le champ électrique É et le potentiel électrostatique V dans l'espace inter--électrode dépendent de la tension U imposée. Pour les déterminer, on se place a la limite d'apparition du courant ce qui conduit à supposer l'espace inter--électrode vide de charge. Dans ces conditions, comment s'écrit l'équation de Poisson '? I.A.2) Électrofiltre humide a ) On considère tout d'abord l'électrofiltre humide, tubulaire (figure 1b). Le rayon de la collectrice portée à la masse est noté rc. En choisissant un système de coordonnées bien adapté et en négligeant les effets de bord, de quelles variables le potentiel électrostatique Vdépend--il ? Donner son expression en fonction de U, re et TC. 0) Exprimer le champ électrique au contact de l'émettrice et en déduire la valeur U() à donner a U pour qu'il atteigne la valeur Eo- 0) Calculer numériquement U0 pour 7'c : 150 mm. I.A.3) Électrofiltre sec On raisonne toujours sous les hypothèses de la question I.A.1, mais on considère désormais un électrofiltre sec formé de plaques et de fils, caractérisé par les distances s et d définies sur la figure la. L'origine des coordonnées est placée sur l'un des fils, à égale distance des deux collectrices. Tout effet de bord étant négligé, le potentiel électrostatique est donné par cosh (M) --cos <Ë) V(oe,y,z)=% î: ln 25 25 m=ÿæ 7T(l' -- 2md) 7Ty cosh (2--5) +cos (2--5) a ) Vérifier que cette expression est compatible avec la présence des collectrices et trouver l'expression de A en fonction de d, 5 et re. 0) Les équipotentielles sont représentées sur la figure du document réponse. Compléter cette figure en y traçant en couleur des lignes de champ orientées. Quelles sont les zones de fort champ '? Existe--t--il des points où le champ électrique s'annule '? c) La figure 2 montre le comportement de |Ey(a' : 0,y, z : 0)| en fonction de y. Ce graphique, obtenu pour 01/53 : 4/3, utilise les variables adimensionnées |Ey|/(U/s) (en ordonnée) et y/s (en abscisse). Quelle valeur U0 faut--il donner a U pour provoquer l'ionisation près de l'électrode émettrice '? Exprimer la réponse en fonction de 5 et E0, puis estimer la valeur numérique de U0 pour s : 150 mm. Comparer l'ordre de grandeur obtenu avec celui concernant l'électrofiltre tubulaire. 24 22 20 18 16 14 12 10 |Eyl/(U/s) pour :c = 0 ONH>OEOO

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,0 0,7 0,8 0,9 1
'Ï'e'5 y/s

Figure 2 Variations du champ électrique dans un électrofiltre sec

I.B * Influence des charges d'espace

Dès lors que la tension U dépasse la valeur seuil UO, un courant d'intensité i 
s'instaure dans l'électrofiltre et
l'espace inter--électrode se peuple d'anions dont la présence, caractérisée par 
les densités volumiques de charge

2017--02--27 12:22:50 Page 2/8 @@ BY--NC-SA

p(M ) et de courant j(M ), modifie le champ électrique. Ces anions sont 
supposés tous identiques et se déplacent
dans le champ électrique Ë(M) avec une vitesse Ü(M) : --bË(M) avec b : 3,1 >< 10Ï4 m2-\7*1-s*1 dans les conditions envisagées. La connaissance des champs couplés É (M ) et p(M ) constitue un enjeu majeur car ces grandeurs déterminent la migration des grains de poussière. Dans un électrofiltre sec, leur détermination s'appuie sur de lourdes méthodes numériques. Nous l'abordons ici uniquement dans le cas des électrofiltres humides en négligeant tout effet de bord. L'influence des poussières mobiles sur le champ est négligée. I.B.1) La collectrice tubulaire et l'émettrice coaxiale ont pour hauteur h. On note j : j' e,. et E : Ê ' êr les projections sur le vecteur unitaire radial usuel des coordonnées cylindriques et 7" la distance d'un point à l'axe. Un courant d'intensité i > 0 circule radialement d'une électrode vers l'autre. 
Dans quel sens ? Exprimer j en
fonction des variables qui s'imposent.

I.B.2) Exprimer la densité volumique de charge en fonction de i, E, h, 1" et b.

I.B.3) Quelle équation de l'électromagnêtisme exprime localement la 
modification du champ électrique par
les ions '? Montrer qu'elle peut s'écrire sous la forme

d(rE) * i?"

Tfi7 dr _'2wh£0b

I.B.4) À une certaine distance 7'0 > re de l'axe, le champ électrique prend la 
valeur E0- En déduire l'expression
de E.

I.B.5) Pour r sufiisamment grand (quelques centimètres en pratique), on 
considère généralement que le champ
devient grossièrement uniforme. Quelle est alors son expression approchée '? 
Quelle est ici sa valeur numérique
si i/h : 0,70 mA-m*1 ?
I.B.6) Dans cette région de quasi--uniformitê, calculer la vitesse des ions, 
puis la densité volumique de charge
p et le nombre d'ions par centimètre cube au voisinage de la collectrice (r : 
rc), en supposant que chacun porte
une charge élémentaire.

II Comportement des poussières dans l'électrofiltre

II.A * Charge d'une particule sphérique : modèle de Pauthenier

On aborde dans cette partie le processus de chargement des poussières, 
assimilées à des sphères de diamètre
d : 211. Ces grains sont initialement neutres mais les anions mobiles le long 
des lignes de champ les rencontrent et
s'y fixent, leur communiquant progressivement une charge Q(t) < 0. Le champ Ê étudié dans la partie précédente est désormais supposé uniforme et connu. Chaque grain de poussière chargé et polarisé sous l'influence de Ë déforme localement les lignes de champ. Pour éviter toute confusion, on note Êt le champ tenant compte simultanément de Ë et de la présence des grains. On raisonne sur un grain unique immobile et on adopte momentanément un nouveau système de coordonnées (r, (9, (p) de type sphérique, dont l'origine se situe au centre du grain et tel que Ê : E üz avec E < 0 (figure 3). Des considérations d'électrostatique montrent que, à l'extérieur du grain (r 2 a), le champ électrique total est donné par --> --> EUR

@=E+E

'"_1a3 (2 a" + " EUR" )+Ê
Er+2r_3 cos u, sm ue 1
Dans cette expression, Ël désigne le champ que créerait autour d'elle la 
particule sphérique portant @ si elle
était seule dans l'espace. La constante sans dimension 5, dépend de la nature 
physico--chimique de la poussière.
Les lignes de champ sont tracées sur la figure du document réponse pour Q = 0 
puis pour une valeur négative

de Q.

"9

"6

Figure 3 Coordonnées sphériques au--
tour d'une poussière sphérique

2017--02--27 12:22:50 Page 3/8 (66 BY--NC-SA

II.A.1) Calcul de la charge limite

a) Orienter par des flèches bleues les lignes de champ de la figure du document 
réponse et représenter le
mouvement des anions par des flèches rouges. On précise que les lignes de champ 
qui rencontrent la sphère en
la pénétrant ne portent pas d'anions : la sphère peut capturer des anions mais 
ne peut pas en émettre.

b ) Quelle est l'expression de Ë1 ? L'accroissement de |Q| a--t--il tendance à 
réduire ou à élargir la portion de
la sphère d'où partent, vers des valeurs croissantes de r, les lignes de champ 
? Favorise--t--il ou s'oppose--t--il à
l'arrivée de nouveaux anions sur la sphère ?

c) Le grain de poussière atteint sa charge limite Qlim lorsque les lignes de 
champ sont si distordues qu'aucun
anion ne peut plus lui parvenir. Montrer que

__ 2 EURr_1
Qlim -- 47Ï50OE E (1 + 287" + 2)

d) Calculer numériquement Q1im pour er : 10, d : 2a : 2,0 um, |E| : 5,0 >< 105 V'mfl. Combien de charges élémentaires cela représente--t--il ? II.A.2) Loi horaire et durée de chargement Le mécanisme décrit dans la question précédente est régi par la loi horaire Q(Ü : Qlim t +tTQ a ) Sachant que TQ ne dépend que de EUR... b et | pl (où p est la densité volumique de charge des anions), en donner une expression par analyse dimensionnelle. Le résultat exact s'obtient en plaçant un facteur 4 au numérateur. b ) Calculer numériquement la durée t90 au bout de laquelle un grain de poussière atteint 90% de sa charge limite pour b = 3,1 >< 10Î4 m2'V*1s*1 et |p| : 5,0 >< 10f5 C-mf3. c) La fumée poussièreuse s'écoule a la vitesse % = 1 m's*1 en traversant l'électrofiltre sur toute sa longueur L = 10 m. Quelle conclusion peut--on tirer de la valeur numérique de Q... ? II.B * Migration des particules Cette sous--partie constitue un problème non guidé. Il est nécessaire de lui consacrer un temps suffisant. Le barème aceordera des importanees comparables à cette sous--partie ll.B et à l'ensemble des questions ll.A.1 et II.A.2. Dans cette question on suppose que la particule a atteint sa charge limite th qui reste dès lors constante et qu'on pourra simplement noter Q. Elle est transportée par la fumée de température T : 150 °C qui s'écoule, dans le cas de l'électrofiltre sec, à la vitesse % : % EUR,, et soumise au champ électrique Ê : E êy supposé constant et uniforme. On note 1? la vitesse de la particule dans le référentiel lié au fluide en mouvement. Dans le référentiel lié aux électrodes, sa vitesse est % + Ü. Déterminer la vitesse limite 'LÎÏHm de la particule et un ordre de grandeur du temps qu'il faut pour s'en approcher. Préciser les valeurs numériques pour des cendres volantes de masse volumique ,a : 2,6 >< 103 kg-mÎ3 avec les valeurs de la question II.A.1d. D'autres informations utiles se trouvent en annexe. II.C * Rendement de l'électrofiltre Dans la suite on suppose que toutes les particules possèdent la vitesse fin... que l'on notera simplement Ü. On définit le rendement d'un électrofiltre par 01 et 02 désignant respectivement les densités volumiques des poussières (en particules par mètre cube) a l'entrée et a la sortie de la machine. Le caractère turbulent de l'écoulement du gaz rend sa détermination délicate: contrairement a la description donnée en HB, % n'est pas uniforme mais présente des fluctuations à petite échelle, sauf dans la couche limite près des collectrices où la vitesse du gaz devient plus faible. La trajectoire des poussières est donc aléatoire. II.C.1) Justifier le caractère turbulent de l'écoulement de la fumée en utilisant l'ordre de grandeur de valeurs déjà fournies. II.C.2) Modèle de Deutsch Pour déterminer théoriquement 77, on considère la géométrie plane de l'électrofiltre sec (figure 4) et on adopte le modèle de Deutsch fondé sur les hypothèses suivantes : i. grâce au brassage turbulent du gaz, la densité volumique c des poussières ne dépend que de r. Elle est aussi invariable dans le temps ; ii. malgré les turbulences, on peut définir une vitesse moyenne d'écoulement du gaz % orientée selon êOE ; iii. dans la couche limite près des collectrices, les particules possèdent une vitesse dont la composante orthogonale a la collectrice est w. Elles seules peuvent atteindre les collectrices. 2017--02--27 12:22:50 Page 4/8 (°°) BY--NC-SA Pour déterminer c(æ), on procède à un bilan de matière pour une tranche de fluide E située à l'instant t entre les abscisses a: et a: + Aa: (figure 4). Pendant une durée infinitésimale dt, ses deux faces avancent de no dt. On note Pla longueur totale des collectrices, perpendiculairement au plan de la figure, le long de laquelle s'effectue la capture des particules, et A l'aire de la section au travers de laquelle s'écoule le gaz. Pour un électrofiltre sec, A : 25h et P : 2h car la précipitation s'effectue sur les deux plaques. u0dt _. L 33 OE+Aoe Figure 4 a ) Soit N (t) le nombre de particules que contient la tranche. Pendant le déplacement envisagé, il varie de dN . Exprimer dN en fonction de c(æ), c(:c + An:), A, % et dt. b ) Dans quel volume se trouvent les particules de E qui atteignent la surface collectrice pendant dt '? Quel est leur nombre '? P c) En déduire que % : --A--1Ï)c(oe). 1 d) Exprimer enfin l'efficacité en fonction de L, u0, w et s. La calculer numériquement pour % = 1,0 m-sf , L = 10 m, w = 0,15 m-sf1 et 5 = 150 mm. En pratique, l'efficacité n'est pas aussi élevée pour diverses raisons. La partie suivante donne un aperçu de l'une d'elles. II.C.3) De la théorie à la pratique a ) Pour les très petites particules (d S 1pm), le calcul de w doit être corrigé. Sachant que le libre parcours moyen des molécules d'air est, dans les conditions envisagées, de l'ordre de 104 m, indiquer quel concept fondamental de la mécanique des fluides est mis en défaut dans l'étude de la sous--partie ll.B. b ) En prenant en compte divers autres facteurs correctifs, on obtient finalement les variations de tu en fonction de d représentées sur la figure 5. Expliquer pourquoi le modèle de Deutsch, qui se prête bien a des études en laboratoire sur des poussières calibrées, ne peut pas s'appliquer simplement pour calculer l'efficacité d'un électrofiltre traitant la fumée issue d'une installation industrielle. 101 |@ 100 É S 104 10*2 10*1 100 101 102 d (pm) Figure 5 Variation de la vitesse de migration w en fonction du dia-- mètre d des poussières c) En pratique, l'efficacité d'un électrofiltre est calculée par la relation empirique de Matts et Ohnfeld w'A k = 1 -- ex -- ( C) 77 p ( D. ) 2017--02--27 12:22:50 Page 5/8 [(ce BY--NC-SA où D,, représente le débit volumique de gaz traversant l'électrofiltre et AC l'aire des électrodes collectrices. Le paramètre sans dimension le et la grandeur w', nommée vitesse effective de migration, doivent être déterminés expérimentalement. Justifier que l'on retrouve le résultat de Deutsch en prenant le : 1. Que vaudrait alors w' '? d) Pour des cendres volantes, un industriel a tabulé w' : 0,12 m's*1 l'électr0filtre en reprenant les valeurs de la fin de la question ll.C.2. et k : 0,5. Calculer le rendement de III Alimentation électrique d'un électrofiltre L'alimentation électrique d'un électrofiltre détermine en partie son efficacité. Il convient de maintenir la tension entre les électrodes aussi haute que possible tout en contrôlant l'apparition d'arcs électriques néfastes. On utilise dans ce but une installation alimentée par le réseau (EDF par exemple), formée d'une armoire de régulation, d'un transformateur et d'un redresseur haute tension (figure 6). UL (200 V/div) -- -- ip (200 A /div) armoire de régulation bloc transformateur-redresseur '. . ' s c' ' . , \ 1 g redres5eur , , \ m ' electrofiltre , \ , 0 .......... c ' .......... ' : ! US --l>j-- ! l '
E : '
: ' \
. ' \ 4
: s \ ,'
CDUÈYOÏG " '
de (!

0 2 4 6 8101214161820
1% (ms)
Schéma électrique général Oscillogrammes montrant le fonctionnement
de la régulation

Figure 6

III.A * Armoire de régulation

L'armoire de régulation comporte des commutateurs K1 et K2 assimilables a des 
interrupteurs idéaux et qui

permettent de piloter la puissance transférée du réseau EDF vers 
l'électrofiltre. La partie droite de la figure 6

montre l'évolution de la tension de réseau 'UL et de l'intensité ip sur une 
période (T = 20 ms). Le fonctionnement

met en jeu un rapport cyclique 04, toujours inférieur à 1/2 et ici fixé à 0,3.

-- L'interrupteur K1, qui se trouve ouvert a t : O, est fermé à t : QT durant 
une phase où UL > vp. Il reste
fermé quelques instants, puis s'ouvre spontanément dès que i s'annule et 
demeure ouvert jusqu'à la période
suivante.

P

-- L'interrupteur K 2, qui se trouve ouvert a t : T / 2, est fermé à t : T/ 2 + 
ozT, durant une phase où 'UL < vp. Il reste fermé quelques instants, puis s'ouvre spontanément dès que i s'annule et demeure ouvert jusqu'à la période suivante. P III.A.1) Dans quel interrupteur le courant circule--t--il pour t EUR {6 ms, 11 ms] et pour 75 EUR {16 ms, 21 ms] ? III.A.2) Les interrupteurs K1 et K 2 fonctionnent de manière symétrique et on se concentre sur K 1. Représenter schématiquement sur une caractéristique, sans s'attarder sur les valeurs numériques, les points de fonctionnement mis en jeu pour cet interrupteur en convention récepteur. Préciser par un schéma l'orientation de l'intensité iK1 et la tension u K1' III.A.3) Rappeler les caractéristiques courant--tension idéales d'une diode et d'un transistor utilisés en régime de commutation, en précisant a nouveau les orientations par des schémas. L'un de ces deux composants peut--il être utilisé pour K1 et K2 ? Justifier. III.B * Le transformateur Le transformateur, de rapport de transformation m, est supposé idéal. On néglige en particulier le courant de magnétisati0n. Il est précédé d'une bobine de protection d'auto--inductance L0 immergée dans la même cuve d'huile. La plaque signalétique de l'installation comporte les informations suivantes, issues d'essais en régime sinusoi'dal forcé de fréquence 50 Hz : -- tension efficace nominale d'alimentation du circuit rimaire V : 400 V p pne 7 : 1400 mA, -- amplitude nominale de la tension au secondaire V... : 90 kV, valeur obtenue en circuit secondaire ouvert et sous la tension primaire nominale. * intensité efficace nominale du circuit secondaire ISM 2017--02--27 12:22:50 Page 6/8 @Ô BY--NC-SA On précise que, dans ces essais, le transformateur est déconnecté du reste de l'installation et que la tension 1) est appliquée à l'ensemble formé de Le et du circuit primaire, comme sur la figure 6. P III.B.1) Que vaut le rapport de transformation m ? En déduire l'intensité nominale efficace au primaire Ipne' III.B.2) L'inductance de protection est caractérisée par un nombre sans dimension TCC exprimé en pourcent et défini comme suit. Lorsque le secondaire est en court--circuit, il faut appliquer au primaire une tension Up de valeur efficace V pour y faire passer un courant d'intensité efficace égale à sa valeur nominale Ipn6. On pose pcc TCC : pac/%ne' ?" V Justifier que L() : CC pm. wlpne III.B.3) L'inductance de protection L0 trouve son utilité en cas d'apparition d'arcs électriques dans l'électrOE filtre, qui provoquent des surintensités dommageables. On représente cette situation par un court--circuit du secondaire alors que vp est maintenu à la tension d'alimentation nominale. Quelle valeur convient--il de donner a 7'CC pour que l'intensité dans le primaire ne dépasse pas 3 fois sa valeur nominale '? Calculer numériquement L0- III.C * Le redresseur III.C.1) Le redressement double alternance est réalisé au moyen d'un pont de diodes au silicium. Représenter par un schéma la structure de ce dispositif. Faire apparaître clairement les points où s'applique la tension vs fournie par le transformateur, de même que les bornes où il convient de brancher l'électrode émettrice et l'électrode réceptrice, dont la polarité a été indiquée au début du problème. III.C.2) Durant les phases où l'intensité ip est non nulle, les électrodes se chargent comme les plaques d'un condensateur, puis se déchargent partiellement lorsque cette intensité disparait. Qualitativement, si @ augmente tout en restant inférieur à 1/2, dans quel sens la tension moyenne U aux bornes de l'électrofiltre évolue--t--elle '? Si les arcs électriques sont trop nombreux, convient--il d'augmenter ou d'abaisser la valeur de oz '? IV Conditionnement des gaz par adjonction d'oxyde de soufre La séparation des poussières au sein d'un électrofiltre est optimale lorsque leur résistivité est comprise entre 108 et 1011 Q'cm. En particulier, des poussières trop peu conductrices déposées sur l'électrode collectrice forment une couche isolante qui réduit le champ électrique inter--électrode, nuit au rendement et occasionne une surcon-- sommation électrique. La résistivité des poussières dépend de la composition chimique des fumées. Par exemple, le trioxyde de soufre gazeux SOgoe) peut s'associer à l'eau présente dans l'atmosphère régnant dans l'électrofiltre pour donner de l'acide sulfurique H2SO4(aq), molécule facilement ionisable, qui se dépose à la surface des particules et accroît utilement leur conductivité. Certains déchets traités par électrofiltre contiennent naturellement des oxydes de soufre mais, dans la plupart des cas, une adjonction artificielle est nécessaire. Nous allons comparer S02 et SO3 en vue d'une application dans un électrofiltre. IV.A * IV.A.1) Déterminer la configuration électronique du soufre et en déduire son nombre d'électrons de valence. Sous quel élément se situe--t--il dans la classification périodique des éléments '? IV.A.2) Proposer des structures de Lewis pour les espèces 802 et 803. Sachant que l'une est coudée et l'autre triangulaire plane, déterminer si ces molécules sont polaires et représenter le vecteur moment dipolaire sur la structure de Lewis. I V.B * L'acide sulfureux H2SOg (aq) et l'acide sulfurique H2804 (aq) sont respectivement les formes hydratées de S02(g) et SOgoe). IV.B.1) Expliquer pourquoi, dans un électro--filtre, on utilise 803 (g) et non S02 @) pour diminuer la résistivité des particules solides en milieu humide. On pourra écrire les réactions de ces deux molécules avec l'eau adsorbée sur les particules solides. IV.B.2) Si une trop forte résistivité des particules est a éviter pour les raisons évoquées plus haut, le rendement de dépoussiérage chute aussi si la résistivité est trop faible. On constate que les particules ont tendance a se ré--envoler lorsqu'elles atteignent la collectrice. Quelle(s) explication(s) pouvez--vous proposer '? 2017--02--27 12:22:50 Page 7/8 GC) BY--NC-SA Analyse vectorielle En coordonnées cylindriques _ 4 7 1 MA,) 1 ôA0 aA, d1VA(T,9, Z) -- ? 87" + ÎË + 82 _ 1 8 Ô ) 1 321/) 821!) Aî/J(T,9,Z> 7" 87" (T ôr + r2 8192 + 822
m4 _ lôAz_ôA0)e (aA, 8Az>u 1<ô(rAg) ôA,)o ""..." 9' Z) ' (T 89 82 er + 82 87" 69 ?" ôr aa 62 Données numériques Perméabilité magnétique du vide ,a0 : 47r >< 104 HmÎ1 Permittivité diélectrique du vide 50 : 8,85 >< 1042 F-mÎ1 Charge élémentaire @ : 1,60 >< 1049 C Constante des gaz parfaits R : 8,31 J -1{*1-mol*1 Constante d'Avogadro NA : 6,02 >< 1023 molf1 Constante de Boltzmann kB : 1,38 >< 10*23 J -K*1 Viscosité dynamique de l'air a 150 °C 77,, = 2,4 >< 10*5 Pas Masse volumique de l'air a 150 °C pa : 0,84 kg'm*3 Coefficient de trainée d'une sphère en fonction du nombre de Reynolds 104 103 102 104 104 104 100 101 102 103 104 105 Re Eætrait du tableau périodique (masses molaires en g-molfl) Numéro atomique 1 7 8 16 Symbole H N O 8 Masse molaire 1,01 14,0 16,0 32,1 Grandeurs thermodynamiques (à 298 K) HZSOB/HSOËÎ HSOg/SOÊ: HQSO4/HSOZ HSOZ/SOÏÎ 1,8 7,2 2 --3 1,9 oooFlNooo 2017--02--27 12:22:50 Page 8/8 @<9 BY--NC-SA ËEI 1-- El fil L! | Z |-!-' 1 -I Numëmdeulace ÛEË _ Numëmd'inscriufiun |:l:l:l:l:l ç, ç, mm _°°/' Prénom mm cum:uuns EENTRHLE-SUPÊLEE ËDOEUVE ZFHUSÏEIUE'CNÏNÏE ] F5| Ne rien porter sur cette feuille avantd'avuir comulëtementremuli l'entête Feuille OE/OE Figure A Lignes de champ autour d'un grain de poussière pour Q : 0 (en haut) et pour Q < 0 (en bas) Figure B Carte des équipotentielles dans un électr0filtre sec

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique et Chimie 1 PSI 2017 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jimmy Roussel (professeur agrégé en école 
d'ingénieur) ;
il a été relu par Stéphane Ravier (professeur en CPGE) et Louis Salkin 
(professeur
en CPGE).

Le sujet aborde le traitement des fumées industrielles à l'aide de dispositifs 
électrostatiques appelés électrofiltres. Le principe consiste à envoyer la 
fumée à traiter
dans une zone où règne un champ électrique suffisamment important pour ioniser
l'air. Le courant ionique qui en découle bombarde les poussières, qui 
s'agglutinent
alors sur l'électrode collectrice. Cette étude s'articule en quatre parties 
largement
indépendantes :
· La première partie étudie deux types de dispositifs, qui diffèrent par leur 
géométrie : l'électrofiltre sec et l'électrofiltre humide. On cherche à 
déterminer quelle
tension permet de déclencher l'ionisation de l'air. Ensuite, on analyse 
l'influence
de l'ionisation sur la distribution du champ électrique.
· La deuxième partie s'intéresse à l'interaction entre ce courant anionique et 
les
grains de poussière. On montre que les poussières acquièrent rapidement une
charge et une vitesse limites, ce qui permet d'estimer le rendement du 
dispositif.
· La commande électrique de l'électrofiltre fait l'objet d'une troisième partie.
Les étages de régulation, de transformation en haute tension et de redressement
sont analysés.
· Enfin, la dernière partie aborde quelques aspects chimiques. On explique 
notamment pourquoi l'ajout de trioxyde de soufre aux fumées diminue la 
résistivité des particules solides en milieu humide et améliore les 
performances du
dispositif.
En physique, cette épreuve a le mérite de couvrir différents aspects du 
programme
de seconde année ; l'électromagnétisme, la mécanique des fluides, la conversion 
de
puissance ainsi que les bilans sont abordés. Quant à la chimie, il s'agit d'une 
petite
partie portant sur le programme de première année. Même si de nombreuses 
questions sont guidées, on peut noter une volonté de la part des concepteurs de 
valoriser
l'autonomie. La question II.B en est une illustration.

Indications
Partie I
I.A.3.a Vérifier que V = 0 au voisinage des collectrices, puis imposer la 
condition
aux limites V = -U au voisinage de l'émettrice.

I.B.1 Le sens du courant électrique est donné par le sens de -
.
- à travers un cylindre compris entre les électrodes et
I.B.2 Calculer le flux de 
de même axe.
I.B.4 Poser y = rE puis intégrer.
Partie II
-
 
II.A.1.b Les lignes de champ sortent si Et · -
ur > 0.
-
 -
 > 0 n'a plus de solution.
II.A.1.c Q = Qlim quand Et · u
r
II.A.2.c Comparer la durée de transit avec t90 .
II.B Utiliser la relation fondamentale de la dynamique en introduisant une force
de traînée de norme
f=

1
a SCx w2
2

avec

Cx = 24/Re

II.C.2.d Déterminer la fonction c(x) puis calculer le rendement , appelé aussi 
efficacité.
Partie III
III.A.2 L'énoncé n'est pas forcément très clair. Il faut lire que K1 est ouvert 
lorsque
v L > v P , soit de t = 0 à T. À partir de t = T, il est fermé brièvement.
III.B.2 Lorsque le transformateur est court-circuité, la tension v p se confond 
avec
la tension aux bornes de la bobine de protection.
III.B.3 Tant que le secondaire est court-circuité, on a la relation Vp /Ip = 
Cte .
Partie IV
IV.B.1 Considérer qu'un acide est fort si son pKa est inférieur à 2.

Traitement des fumées industrielles par un
électrofiltre
I. Champ électrique dans un électrofiltre
I.A.1 En régime statique, le potentiel électrique obéit à l'équation de Poisson
V +

=0
0

où  désigne la densité volumique de charge. Dans l'espace inter-électrodes vide 
de
charge, on a  = 0, ce qui conduit à l'équation de Laplace
V = 0

(1)

I.A.2.a Vu la symétrie de révolution que présente l'électrofiltre tubulaire, il 
est
judicieux d'adopter un système de coordonnées cylindriques (r, , z), dont
l'axe coïncide avec celui de l'émettrice.
 (absence d'effet de bord)
L'invariance par rotation et par translation suivant -
u
z
implique que le potentiel ne dépend ni de , ni de z. L'équation (1) devient

1 d
dV
V(r) =
r
=0
r dr
dr
Après une double intégration, on trouve

V(r) = C1 ln r + C2
où C1 et C2 sont deux constantes d'intégration que l'on détermine à l'aide des 
conditions aux limites suivantes : V(rc ) = 0 et V(re ) = -U. On a donc

(
U
C =
C1 ln rc + C2 = 0
1
ln(rc /re )
d'où

C1 ln re + C2 = -U
C2 = -C1 ln rc
Finalement,

V(r) = U

ln(r/rc )
ln(rc /re )

I.A.2.b Le champ électrostatique dérive du potentiel via la relation
--
-

E = - grad V(r) =

-

-U
u
r
ln(rc /re ) r

Le champ électrique est radial centripète, dirigé vers les valeurs 
décroissantes du
potentiel comme l'impose sa définition.
Son intensité atteint un maximum au contact de l'émettrice, ce qui explique que
l'ionisation ait lieu à son voisinage. La valeur maximale du champ électrique 
vaut donc
|E|max =

U
re ln(rc /re )

L'ionisation se produit dès que ce champ dépasse le champ disruptif E0 , ce qui 
correspond à une tension seuil
 
rc
U0 = E0 re ln
re
I.A.2.c Numériquement,

6

U0 = 4,4 · 10 × 1,25 · 10

-3

× ln

150
1,25

= 26 kV

I.A.3.a Calculons le potentiel des collectrices définies par les plans y = +
-s:

(x - 2m d)
+
ch
-
cos
-

U
2s
2 

ln
V(x, +
s,
z)
=
-

(x - 2m d)
 
 m=-
+
ch
+ cos -
2s
2

X
U
ln 1
=
 m=-

X

V(x, +
- s, z) = 0

Cette valeur est compatible avec la contrainte V = 0 imposée par les 
collectrices reliées à la terre.
Rappelons qu'un conducteur à l'équilibre électrostatique présente un potentiel 
uniforme. Par ailleurs, le potentiel V(x, y, z) est une fonction continue.
Les émettrices, quant à elles, imposent la condition V(+
- re , 0, z) = -U, soit

(+
- re - 2m d)
ch
-
1

U
2s
 = -U

V(+
ln 
- re , 0, z) =

(+
 m=-
- re - 2m d)
ch
+1
2s

X

d'où l'on tire

(+
- re - 2m d)
- 1

X
 ch
2s

=-
ln 

+
(
- re - 2m d)
m=-
ch
+1
2s

I.A.3.b Les lignes de champ coupent les équipotentielles à angle droit et sont
orientées vers les potentiels décroissants. Par ailleurs, le système présente 
deux lignes
de symétrie : la ligne qui joint les deux émettrices ainsi que la ligne 
perpendiculaire
à cette dernière et équidistante des deux émettrices. Compte tenu des 
propriétés du
champ électrique, il s'agit de deux lignes de champ. À l'intersection, le champ 
est
nécessairement nul. Enfin, on constate que c'est au voisinage des émettrices
que le champ électrique est le plus intense du fait du resserrement des lignes
de champ.
Rappelons que, si une distribution de charges est invariante par une symétrie
de plan P, alors le champ électrique créé est contenu dans ce plan pour tout
point M de ce plan. En conséquence, si une distribution présente une ligne de
symétrie (intersection de deux plans de symétrie), celle-ci est nécessairement
une ligne de champ.