Centrale Physique et Chimie 1 PSI 2016

Thme de l'preuve tude d'une pompe d'alimentation d'eau
Principaux outils utiliss mcanique des fluides, lectromagntisme
Mots clefs pompe, moteur aimants, pertes de charge

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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nonc complet

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Rapport du jury

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nonc obtenu par reconnaissance optique des caractres


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JQK2Mi H2+i`QK;MiB[m2 b2t2`Mi bm` H2 `QiQ` AAAX.XRV _TT2H2` H2tT`2bbBQM /m +QmTH2 /2b 7Q`+2b H2+i`QK;MiB[m2b 2t2`+2b bm` H2 `QiQ`-  T`iB` /2 HM2`;B2 K;MiB[m2X 1M //mB`2 H2tT`2bbBQM /2 +2 +QmTH2 2M miBHBbMi H2 `bmHii /2 H [m2biBQM AAAX*XkX AAAX.XkV Zm2HH2b +QM/BiBQMb bQMi M+2bbB`2b  HQ#i2MiBQM /mM +QmTH2 KQi2m` KQv2M TQbBiB7 \ AAAX.XjV .Bb+mi2` H2 `H2 /2 UM;H2 /2 +H;2 /2b +Qm`MibV 2i H bi#BHBi /2 /2mt TQBMib /2 7QM+iBQMM2K2Mi bbQ+Bb  /2mt pH2m`b /2 X kyRe@yk@kj Rd,kd,jk S;2 df3 VD for water at 20C (V in m/s, D in cm) 0.06 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 4 6 8 10 20 40 60 100 200 400 600 1000 2000 |______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | VD for atmospheric air at 20C -1 10 1 | 2 | Laminar flow 9 4 | 6 | 8 | Critical 10 | 20 | 40 | 60 | | 100 | 200 | Transition zone 400 | 600 | | 1000 | 2000 | 4000 | 6000 | | 10000 | 20000 | 40 Complete turbulence, rough pipes, R > 3500/r, 1/f = 1.14 - 2 log r zone 8 7 6 5.5 2hDg Darcy-Weisbach friction factor f ! """" LV 2 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.8 1.6 1.4 1.2 -2 10 Material """""""""""""" Riveted steel Concrete Wood stave Cast iron Galvanized iron Asphalted cast iron Commercial steel Drawn tubing (mm) """"""""" 0.9-9 0.3-3 0.18-0.9 0.25 0.15 0.12 0.046 0.0015 Fluid at 20C """""""""""""" Water Air (101.325 kPa) (m2/s) """"""""" 1.003e-006 1.511e-005 Smooth pipes, r = 0 1/f = 2 log(R f ) - 0.8 Hagen-Poisseuille equation R 2300, f = 64/R Colebrook equation, R 2300 1/f = -2 log(r /3.7 + 2.51/(R f )) r = 5e-006 Acceleration at sea level latitude 45, g = 9.80665 m/s2 9 r = 1e-006 8 6 7 8 3 10 2 3 Moody Diagram 4 5 6 7 8 4 10 2 3 4 5 6 7 8 5 10 2 3 4 5 6 7 8 6 10 2 VD Reynolds number R ! "" (V in m/s, D in m, in m 2/s) 3 4 5 6 7 8 7 10 2

Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres


 Centrale Physique et Chimie 1 PSI 2016 -- Corrig Ce corrig est propos par Sylvie Su (ENS Lyon) et Julien Dumont (Professeur en CPGE) ; il a t relu par Tom Morel (Professeur en CPGE). Ce sujet propose d'tudier un systme d'alimentation d'eau constitu d'une pompe relie  un moteur magntique ainsi que les critres permettant de choisir ce moteur et son fonctionnement.  Dans la premire partie, on s'intresse  l'coulement dans des tuyaux rels et plus particulirement aux pertes de charge dont ils sont le sige. Cette partie est longue et ncessite de bien connatre le cours de mcanique des fluides.  Dans un deuxime temps, on tudie les caractristiques d'une pompe centrifuge afin de la choisir pour rpondre au cahier des charges d'une installation relle. Cette partie est originale et intressante. Elle permet d'appliquer le cours dans un contexte pratique.  Enfin, on tudie plus prcisment le fonctionnement du moteur magntique synchrone utilis en association avec la pompe slectionne. Cette partie, beaucoup plus proche du cours, ncessite parfois de longs et fastidieux calculs mais balaie une large partie du cours de sp sur la conversion de puissance. Ce problme intressant aborde de faon indpendante des notions d'hydrodynamique et de conversion lectromagntomcanique. Il demande galement des lectures de courbes et comporte des questions proches du cours mais qui ncessitent quelque rflexion. Ce sujet est le premier  aborder les moteurs synchrones ; il offre donc une occasion rare de travailler et rviser ce chapitre. Indications Partie I I.A.1.e Attention  la dfinition de H, notamment  son signe. H I.A.2.b Penser aux caractristiques de l'coulement pour exprimer en fonction x de H et pouvoir utiliser I.A.1.e. I.B.1.d De quel rgime les valeurs proposes permettent-elles de se rapprocher ? I.B.2.b Dans la lecture du diagramme, il faut d'abord calculer le nombre de Reynolds pour se positionner en abscisse, puis le rapport /D pour trouver la courbe pertinente  partir de l'axe des ordonnes  droite. Partie II II.A.1 Une explication qualitative suffit. II.B.1 valuer  partir de la figure 2 le dbit maximal que l'on peut obtenir avec une pompe. II.B.2 L encore, il faut exploiter le diagramme de Moody. Partie III III.B.2 Le champ total est obtenu par superposition des champs individuels. III.C.2 La question consiste  intgrer la densit volumique d'nergie magntique dans tout l'entrefer. Elle est trs (voire extrmement) calculatoire. I. Pertes de charge dans les conduites I.A.1.a Dtaillons les dfinitions demandes :  un coulement parfait est un coulement pour lequel on peut ngliger la viscosit et la diffusion thermique ;  un coulement est homogne si ses proprits macroscopiques ne dpendent pas de la position, alors qu'il est incompressible si la masse volumique d'une particule de fluide est constante au cours de l'coulement ;  un coulement est stationnaire si ses proprits ne dpendent pas du temps. I.A.1.b Pour un systme ouvert, en rgime stationnaire et entre deux points d'un mme tube de courant, le premier principe de la thermodynamique s'crit (h + ec + ep ) = wu + q o h, ec et ep dsignent respectivement l'enthalpie massique, et les nergies massiques cintique et potentielle du systme. wu et q sont respectivement le travail utile massique (c'est--dire autre que celui des forces pressantes ou conservatives) et le transfert thermique massique. Dans le cas d'un fluide parfait, ces deux dernires grandeurs sont nulles. Sous les hypothses effectues, la variation u d'nergie interne massique est nulle. Or, celle-ci intervient dans l'expression de la variation d'enthalpie massique, puisque p h = u + o p est la pression et la masse volumique. L'nergie potentielle massique se limite  celle de pesanteur d'expression gz. L'nergie cintique massique est v 2 /2. Finalement, on peut rcrire le premier principe selon 1 2 p 1 v + gz + =0 et eT = v 2 + gz + p = Cte 2 2 Ce terme eT s'identifie  l'nergie totale volumique dont on vient de dmontrer la constance le long d'une ligne de courant. Par consquent, H= eT g appele hauteur manomtrique, ou charge totale, est galement une constante. I.A.1.c Dans un fluide rel, la viscosit n'est pas nulle et joue un rle non ngligeable prs des parois, o la vitesse du fluide est celle de la paroi. C'est l'exemple d'une conduite cylindrique, dans laquelle le profil des vitesses est parabolique si on prend en compte la viscosit, alors qu'il est uniforme sinon. C'est justement ce profil parabolique que l'on retrouve dans les questions suivantes. I.A.1.d Le seul mcanisme de dissipation de l'nergie prsent entre deux points A et B est celui d aux forces de viscosit et correspond  un travail massique supplmentaire  prendre en compte par rapport  la question I.A.1.b. Ce travail s'identifie  la circulation des forces de viscosit et le premier principe se rcrit Z B - - eT (B) - eT (A) = f visq  d A Remarquons qu'ici les forces de viscosit sont opposes au dplacement, ainsi le produit scalaire est ngatif et l'intgrale galement : cela correspond bien  une perte d'nergie sur le chemin allant de A  B. I.A.1.e D'aprs la question I.A.1.b, H = eT /g. En divisant la rponse  la question prcdente par g, la perte de charge s'crit - Z B- f visq  d H(B) - H(A) = g A - Z B - v  d = g A Z B - H(B) - H(A) = - v  d g A Comme la perte de charge H est l'oppose de cette quantit, Z B - H = H(A) - H(B) = - - v  d g A En l'absence de viscosit, la perte de charge est bien nulle. De plus, le caractre positif de cette quantit justifie le nom de  perte  de charge : l'nergie totale ne peut que diminuer. I.A.2.a Si v dpendait de x, la densit volumique de particules serait modifie par accumulation ou dsertion de matire dans certaines zones de l'espace. Cela entranerait une variation de la masse volumique des particules de fluide lors de l'coulement, ce qui est incompatible avec l'hypothse d'incompressibilit. On aurait aussi pu dire que le champ de vitesse est  flux conservatif puisque l'on suppose l'coulement stationnaire et incompressible. La section tant constante d'aprs l'nonc, la vitesse v(r,x) est la mme  r fix quelle que soit la valeur de x. I.A.2.b L'coulement est unidimensionnel selon - e , par consquent les lignes de x courant sont des droites dans cette direction. Le long d'une telle ligne, entre deux points infiniment proches A et B carts de dx, on a H H(B) - H(A) dx x Grce  la question I.A.1.e, on parvient  Z - H B - dx = v  d x g A En appliquant les simplifications obtenues  la question I.A.2.a et en utilisant l'ex pression de - v fournie, on obtient H -adx = dx x Z - x+dx 1 v(r) - r ex  d = g x r r r Z x+dx 1 v(r) = r dx g r r r x 1 v(r) -adx = r dx g r r r