Centrale Physique PSI 2014

Thème de l'épreuve Quelques aspects de la physique du viseur de casque TopOwl
Principaux outils utilisés électromagnétisme, magnétostatique, mécanique du point, induction
Mots clefs cristal liquide, afficheur, bobines de Helmholtz, détection de posture

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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& Ph ' > ; les informations sont projetées sur sa visière et accompagnent donc les mouvements de la tête du pilote. Ce problème, constitué de trois parties indépendantes, aborde deux aspects majeurs du fonctionnement du viseur de casque TopOwl®. D'une part, l'affichage, dont on envisage ici deux réalisations pratiques : l'utilisation de tubes cathodiques (partie I) ou d'afficheurs à cristaux liquides (partie II). D'autre part, la << détection de posture >> permettant de repérer l'orientation de la tête du pilote par rapport au cockpit, afin de maintenir une ligne d'horizon << horizontale >> (partie III). I Affichage par tubes cathodiques La première technique encore employée aujourd'hui pour l'affichage des informations relatives au vol est à base de deux tubes cathodiques (cylindres de longueur 10 cm, de diamètre 2 cm environ) disposés sur les côtés gauche et droit du casque. Les tubes cathodiques délivrent une << image >> lumineuse, représentant l'affichage des informations. Cette image est ensuite transportée et projetée sur la visière du casque par un dispositif à prismes et miroirs non étudié ici. Un tube cathodique est, en première approximation, un dispositif constitué d'un canon à électrons produisant un faisceau d'électrons, d'un dispositif de déviation du faisceau électronique et d'un écran fluorescent émettant de la lumière à l'endroit où il est frappé par le faisceau d'électrons. En réalité, il faut aussi prévoir un dispositif de focalisation du faisceau, ce qu'on appelle une << lentille électrostatique >>. On n'étudiera pas ici ce dispositif. Nous allons étudier ici les principaux éléments d'un modèle simplifié de tube cathodique. I.A -- Canon à électrons Le canon à électrons est constitué d'une électrode métallique plane (appelée cathode) chauffée et émettant des électrons par effet thermoélectronîque. La cathode est au potentiel 0 V. Les électrons sont émis avec une vitesse négligeable et sont ensuite accélérés sous l'effet d'un champ électrique, créé par la différence de potentiel régnant entre la cathode émettrice et une seconde électrode métallique plane (l'anode), parallèle à la cathode, portée au potentiel V0 = 2 kV. On suppose, pour l'instant, que le faisceau électronique est parfaitement parallèle à l'axe de révolution 02: du tube cathodique, perpendiculaire aux deux électrodes et de diamètre négligeable. L'anode est percée en son centre pour permettre au faisceau de la traverser. I.A.1) Exprimer la vitesse 00 acquise par les électrons lorsqu'ils franchissent l'anode en fonction de V0, m et 6, où m désigne la masse de l'électron et e la charge élémentaire. I.A.2) Calculer 00 numériquement. I.B -- Dispositif de déviation du faisceau Le faisceau sortant du canon à électrons est supposé homocinétique (de vitesse 00) et est confondu avec l'axe de révolution Oz du tube cathodique. Nous étudions ici le dispositif permettant de dévier le faisceau dans le but de lui faire frapper un point quelconque de l'écran. Ce dispositif est constitué de deux paires de bobines plates identiques d'axes respectifs 0516 et Oy dites « de Helmholtz >> permettant de soumettre le faisceau a un champ magnétique constant et uniforme dans une zone de longueur [ = 5,0 mm. Le faisceau traverse ainsi une zone plongée dans un champ magnétique constant et uniforme BOEÜOE + Byüy. On admettra qu'en dehors de cette zone, le champ magnétique est nul. I.B.1) Écrire et projeter l'équation du mouvement d'un électron traversant cette zone. I.B.2) On suppose que les composantes de vitesse "UOE et % sont très petites devant "UZ. Quelle est alors la valeur de fUZ ? En déduire l'expression des composantes vOEf et vyf de la vitesse d'un électron a la sortie de la zone de champ magnétique non nul, ainsi que l'expression des déviations transversales Aæmag et Aymag subies par un électron du fait du champ magnétique. On donnera ces expressions en fonction de e, m, [, BOE et/ou By et éventuellement de 00. I.B.3) Entre la sortie de la zone de déviation et l'écran, l'électron traverse une zone de longueur d = 2,0 cm où le champ magnétique est nul. Le spot obtenu sur l'écran peut être dévié au maximum de :l:4,5 mm selon les deux axes. Calculer numériquement la valeur maximale des composantes B,, et By. I.B.4) On cherche dans cette question à évaluer la qualité de l'approximation faite en I.B.2. a ) En intégrant directement et sans approximation les équations différentielles régissant les composantes fuæ(t) et vy(t), que pouvez--vous dire des composantes fume et vyf de la vitesse d'un électron a la sortie de la zone de champ magnétique non nul ? b) Toujours sans faire d'approximation, montrer que fuz(t) est régie par une équation différentielle du second e ordre et donner l'expression de fuz(t). On pourra introduire la grandeur wc définie par : wc : --, /Bâ + 35. 777. c) En déduire que le temps de vol At de l'électron dans la zone de champ magnétique non nul est donné par lwc l'équation : sin(wcAt) : "0 d) Déduire de ce qui précède l'expression et la valeur numérique de la composante fuzf a la sortie de la zone de champ magnétique non nul. On utilisera les valeurs de BOE et By calculée en I.B.3. Conclure. II Affichage par LCD (liquid crystal display) Ces afficheurs tendent à remplacer les tubes cathodiques. Le temps de latence de l'afficheur à cristaux liquides du viseur de casque est de l'ordre de 5 ms, inférieur au temps de persistance rétinienne (lequel est de l'ordre de 120 ms). Nous allons en étudier le principe de fonctionnement. Les cristaux liquides sont des matériaux présentant des propriétés physiques intermédiaires entre les phases solides et liquides. Ils sont en général constitués de longues macromolécules organiques (que l'on peut assimiler a des bâtonnets). ||||| / \ \ \/ '|'|'|'|'| '\W\'\'\ f//Yô/ ||||| \/\\/ /\\Y\ ||||| /\\/\ \ ||||| \|\/\ >t\\\> ||||| \/\// | \\4/ '|'|'|'|'| '\/\//'l'\ : l/\\ ||||| \\/1/ //T Figure2 Une conséquence immédiate est l'anisotropie des propriétés physiques des cristaux liquides, et notamment de leurs propriétés optiques. Cette anisotropie est généralement plus élevée que dans les cristaux. L'existence d'un ordre liquide garantit par ailleurs le caractère fluide des cristaux liquides et dans une certaine mesure le basculement facile des axes des molécules en bâtonnets. Cette propriété est essentielle pour l'application aux affichages. 2014-03-04 08:21:27 Page 2/8 OE=c BY--NC-SA Il existe plusieurs phases cristal liquide, présentant différents degrés et types d'ordre. Nous ne considérerons que les cristaux liquides dits « nématiques », qui présentent un ordre d'orientation mais non de position : les bâtonnets ont tendance a s'aligner parallèlement les uns aux autres, mais sont libres de glisser les uns sur les autres. La direction moyenne locale des axes moléculaires est alors repérée par un vecteur unitaire ñ, appelé directeur de la phase nématique. Seule importe sa direction ; son sens n'a pas de sens physique. 3i Figure 3 Molécules de cristal liquide orientées II.A -- Eoepérience préliminaire On considère un cristal liquide contenu dans un prisme creux d'angle au sommet A : 20,0°. Les faces de ce prisme ont été préalablement traitées par frottement pour permettre aux molécules de nématique de s'ancrer sur elles, parallèlement à l'arête du prisme. A v Figure 4 Molécules ancrées sur les faces du prisme On envoie sur le prisme un faisceau laser non polarisé, perpendiculairement a l'arête du prisme et arrivant sur la face d'entrée du prisme sous incidence normale. On récupère en sortie du prisme deux faisceaux polarisés rectilignement : l'un, polarisé selon le directeur fñ des molécules (décrit par son champ électrique EH ), dévié d'un angle Dll : 13,2° ; l'autre de champ électrique Ël, polarisé perpendiculairement au directeur, dévié d'un angle D i = 9,00. Ên prisme Figure 5 II.A.1) Expliquer comment et avec quel matériel vous procéderiez pour déterminer les états de polarisation des deux ondes émergentes. II.A.2) L'expérience décrite ci--dessus suggère que les deux composantes du champ électrique Êll et Ël « ne voient pas » le même indice de réfraction dans le nématique : on dit que le milieu est « biréfringent >>. Donner les valeurs numéri ues des deux indices n et n . On su osera ue les ro riétés 0 ti ues de l'air ambiant sont q |\ J_ pp 01 p p p q celles du vide. II.B -- Cellule d'afiîchage & nématique torsadé La figure 6 représente une cellule d'affichage à nématique torsadé, correspondant a un pixel. Le schéma (a) montre que les directions d'ancrage des molécules en bâtonnets sur la face d'entrée de la cellule (en haut) et sur la face de sortie (en bas), forment un angle de 90° : de ce fait, le directeur ñ tourne de 90° entre l'entrée de la cellule et la sortie, formant un quart d'héli0e. Toujours sur ce schéma (a), on a figuré le faisceau lumineux incident qui est polarisé rectilignement selon la direction d'ancrage de la face d'entrée. Ce schéma montre que la direction de polarisation de l'onde suit l'évolution du directeur, de sorte qu'en sortie, la direction de polarisation de l'onde est celle de l'azimut du polariseur de sortie (ou analyseur) : la lumière passe, le pixel est allumé. 2014-03-04 08:21:27 Page 3/8 OE:C BY--NC-SA Figure 6 Cellule d'affichage à nématique torsadé Le schéma (b) correspond au cas où la cellule est soumise à une tension V % 200 V. Sous l'effet du champ électrique stationnaire dû a la tension appliquée, les molécules s'orientent perpendiculairement aux faces de la cellule. Dès lors, la direction de polarisation de l'onde n'est plus affectée par le milieu. Par conséquent, l'onde est polarisée perpendiculairement a la direction de l'azimut du polariseur de sortie : la lumière ne passe pas, le pixel est éteint. L'objet de cette partie est de comprendre le fonctionnement de cette cellule et, notamment, l'interaction entre les molécules du nématique et la polarisation de l'onde lumineuse. II.B.1) On s'intéresse dans un premier temps au cas où la cellule est sous tension (cas de la figure 6b). L'onde incidente est plane, progressive, monochromatique (de pulsation w) et polarisée rectilignement selon 7% : Ê(z < O,t) : E0 exp(j(wt -- k0z))ño où ko : w/c. &) On suppose qu'on peut assimiler les molécules de nématique a des dipôles électrostatiques dont le moment dipolaire Î9 est parallèle à leur axe. Expliquer pourquoi l'application de la tension V oriente les molécules perpendiculairement aux faces d'entrée et de sortie. b) Dans cette configuration, lequel des deux indices de réfraction n" ou nl est perçu par l'onde lors de sa propagation dans la cellule ? Donner l'expression du champ de l'onde dans le plan z = d de la face de sortie. Interpréter les observations correspondant au schéma (b) de la figure 6. II.B.2) Propagation d'une onde électromagnétique polarisée rectilignement dans un nématique torsadé On s'intéresse maintenant au cas où la cellule n'est soumise à aucune tension (cas de la figure 6a). On modélise le milieu torsadé par un empilement de couches ]z, z + dz] de faible épaisseur : au sein de chaque couche, le directeur ñ est supposé constant, formant l'angle çb(z) avec la direction d'ancrage ñ(0) : ñ0 des molécules dans le plan d'entrée. « L'enroulement >>, supposé régulier (ce qui signifie que çb(z) varie linéairement avec z), se fait dans le sens indiqué sur la figure 6. d &) Exprimer d--Çb en fonction du pas 19 de l'hélice, puis en fonction de la distance d entre les faces d'entrée et z de sortie. On introduit un vecteur unitaire ñl(z) défini par le fait que la base (ñ(z), ñl(z), @) est orthonormée directe. On cherche le champ électrique de l'onde se propageant dans le milieu sous la forme : --> E(Z7 75) = (a(Z)ñ(2) + b(Z)ñi(2)) eXp(jwt) b) Soit Êe(z, t), le champ pénétrant dans la couche [z, z + dz]. Par définition, Êe(z, t) : (a(z)ñ(z) + b(z)ñfiz)) exp(jwt). Montrer que le champ sortant de la couche en z + dz s'écrit : Ês(z, t) : (exp(--jkonl] dz)a(z)ñ(z) + exp(--jkonl dz)b(z)ñflz)) exp(jwt) c) Exprimer le champ électrique Êe(z+ dz, t) pénétrant dans la couche ]z+ dz, z+ 2 dz] en fonction notamment dcb des fonctions a(z), b(z), de leurs dérivées et de d--' z d) En supposant ko dz << 1, déduire des questions b et c que les fonctions a(z) et b(z) vérifient le système différentiel linéaire suivant : da _ 7T @ + Jkon|]a(Z) = --ÿb(2) db _ 7T @ +ykonib -- ÿa 2014--03-04 08:21:27 Page 4/8 ]Ë° 6} On en cherche des solutions sous la forme: a(z) : 00 exp(az) et b(z) : bO exp(az). Quelle est l'équation vérifiée par 04 ? f} On définit l'approximation de Mauguin par la condition : clAn >> ÀO / 2, où An : "Il -- nl et ÀO désigne la longueur d'onde dans le vide de l'onde. Calculer les deux valeurs 051 et 042 de oz obtenues dans le cadre de cette approximation. 9) En s'aidant des résultats de la question II.A.2, justifier que, dans l'approximation de Maugin, le champ électrique est de la forme ----> E(z,t) : (Aexp(--jkonuz)fñ(z) + Bexp(--jkonlz)ñl(z)) exp(jwt) h} Compte tenu de la condition aux limites en 2: = 0 (on rappelle que l'onde incidente est donnée par ÊnC(z < 0,75) = E() exp(j(wt -- ka))ñ0), donner l'expression finale du champ électrique. Interpréter enfin les observations correspondant au schéma (a) de la figure 6. l} Quelle épaisseur minimale doit--on donner a la cellule sachant que ÀO : 0,555 pm et que An : 0,184 ? II.B.3) Afficheur extra--plat Les considérations développées ci--dessus montrent que la cellule d'affichage ne remplit correctement son office que si la condition de Mauguin dAn >> ÀO/ 2 est vérifiée, ce qui suppose de conférer a la cellule une épaisseur importante. Dans la pratique, on cherche à réduire cette épaisseur. Dorénavant, on ne suppose plus la condition de Mauguin vérifiée : cl est quelconque. Dans ces conditions, on obtient deux valeurs possibles oz+ et of pour la constante 04 (ces deux valeurs dépendant a la fois de "Il et n 1): de sorte que les deux fonctions a(z) et b(z) s'écrivent a priori sous la forme : a(z) : al exp(ofiz) + 02 exp(a_z) et b(z) = 191 exp(ofiz) + 02 exp(o:_z). &) Compte tenu de la condition aux limites en 2: = O, montrer que la fonction b(z) s'écrit : lEUR lEUR ClA b(Z) : 2jb1 EURXP <_Jîo 2d On dispose ici le polariseur de sortie parallèlement au polariseur d'entrée. Montrer que le rapport T de l'intensité du faisceau émergeant de ce polariseur à l'intensité du faisceau émergeant du polariseur d'entrée est donné par la formule de Gooch--Tarry : sin2 (%V1 + u2) _ 1+u2 012 \ 0:10 \ \\ / \ Z:Zî \ / \ - \/ \ /\ - V V JË/2Æ/4 u 6 8 10 {LI/2: Transmission ul : Figure 7 c) La figure 7 donne la courbe représentative de la fonction T (u) Quelle valeur de u vous paraît optimale ? À quelle épaisseur d cela correspond--il ? (On prendra ÀO : 0,555 pm et An : 0,184.) Identifier sur la courbe le domaine de validité de l'approximation de Mauguin. Conclure. 2014-03-04 08:21:27 Page 5/8 OE:C BY--NC-SA [--l d) Dans le cas où le polariseur de sortie est perpendiculaire au polariseur d'entrée, pouvez--vous sans calcul exprimer le facteur de transmission T ' en fonction de T ? Quelle serait alors l'épaisseur optimale? À quelle configuration correspond le schéma (a) de la figure 6 ? III Détection électromagnétique de posture Nous abordons dans cette partie l'étude du dispositif permettant de détecter la position et l'orientation de la tête du pilote par rapport au cockpit de l'hélicoptère. Il est constitué d'un « cube émetteur >> d'environ 2 cm de côté, solidaire du cockpit et fixé au--dessus de la tête du pilote, et d'un « cube récepteur >> identique au précédent, situé dans le casque du pilote. Les cubes sont constitués chacun de trois paires de bobines plates circulaires identiques, une paire par axe du cube. Chaque bobine plate est constituée de N spires jointives et on néglige l'épaisseur de l'enroulement correspondant. Figure 8 III.A -- Paire de bobines parallèles Chaque paire de bobines est disposée selon un arrangement particulier que l'on va déterminer et dont on va voir l'intérêt dans le contexte du problème posé. III.A.1) Soit une bobine plate circulaire de centre O, de rayon a, constituée de N spires jointives parcourues par une intensité i. Calculer le champ magnétique créé par la bobine en tout point de son axe de symétrie Oz. III.A.2) On considère maintenant deux bobines identiques à la précédente, de même axe de symétrie 0.2: et parcourues par le même courant i, dans le même sens. Les bobines sont disposées symétriquement par rapport a l'origine O et sont distantes de 2d. a ) Calculer le champ magnétique total en tout point M de l'axe Oz en fonction notamment de la cote z de M , du rayon a des bobines et de la distance d. I)) Montrer que le champ magnétique total en un point M de l'axe, très éloigné des bobines, s'écrit : H N' 3 d 2 2 Boe'uO '(Î) (2+12(--) --3(Î) )ü, 2a 2: z z III.A.3) À quelle condition sur cl, le champ Ë créé par les bobines a grande distance est--il dipolaire ? Que vaut alors le moment magnétique % équivalent aux deux bobines ? (Le champ magnétique créé par un dipôle magnétique est rappelé en fin d'énoncé.) La disposition des bobines d'une paire qui vient d'être déterminée, parallèles et orientées dans le même sens, est donc celle qui réalise le mieux l'approximation dipolaire. III.B -- Détection de posture : principe de fonctionnement Chaque paire de bobines parallèles émettrices est alimentée séquentiellement par un courant sinusoïdal de pulsation wo pendant une durée T où wOT >> 1. En d'autres termes, la paire de bobines d'axe Ox est alimentée pendant l'intervalle de temps [O, T], la paire de bobines d'axe Oy est alimentée pendant l'intervalle de temps [T, 2T] et la paire de bobines d'axe Oz est alimentée pendant l'intervalle de temps [2T,3T]. On recommence ensuite le cycle. Au cours de l'intervalle [O, T], on mesure la tension aux bornes des trois paires de bobines parallèles réceptrices (deux bobines étant montées en série au sein d'une paire associée à un axe). On procède de même au cours des intervalles [T, 2T] et [2T, 3T]. Les informations ainsi collectées vont nous renseigner sur l'orientation de la tête du pilote, dont le « cube récepteur >> est solidaire. III.B.1) La fréquence du signal alimentant les bobines émettrices vaut fo : 5OkHZ. Y a--t--il lieu de tenir compte de la propagation entre les bobines émettrices et les bobines réceptrices ? Peut--on utiliser la formule du champ dipolaire employée a la question III.A.3 pour évaluer le champ magnétique créé par les bobines émettrices ? La structure dipolaire du champ nous permet de connaître précisément la position du centre du cube récepteur par rapport au centre du cube émetteur1. Dans la suite, on supposera, pour simplifier, que le centre O' du cube récepteur est a la verticale du centre O du cube émetteur. On note D, la distance séparant O et O'. En réalité, le champ n'est pas parfaitement dipolaire du fait, notamment, des perturbations électromagnétiques de l'environnement. On doit alors réaliser une cartographie du champ magnétique dans la zone entourant le casque du pilote. 2014-03-04 08:21:27 Page 6/8 [EC BY--NC-SA III.B.2) On se place dans l'intervalle de temps [O, T] : seules les bobines émettrices d'axe 0513 sont donc alimen-- tées et parcourues par le courant i(t) : [ cos(w0t). On considère l'état de référence pour lequel le cube récepteur centré en O' a ses axes (O'oe, O'y, O'z) parallèles a ceux du cube émetteur. {\ @ Emetteur : , oe U 0 U \1 y Récepteur D>>a Figure 9 &) Que vaut le champ magnétique Ë(O', t) ? Selon quel axe est--il dirigé ? b) Que vaut la force électromotrice eoe(t) induite dans la paire de bobines réceptrices d'axe O'a: ? On supposera ces bobines orientées dans le sens direct relativement a l'axe O'oe. Que peut--on dire des forces électromotrices induites dans les paires de bobines d'axes respectifs O'y et O'z ? c) On suppose maintenant que le cube récepteur subit une rotation d'angle % autour de son axe O'oe par rapport a l'état de référence. Répondre aux mêmes questions qu'en b. Que constatez--vous ? d) On revient à l'état de référence et on fait subir au cube récepteur une rotation d'angle % autour de son axe O'y. Calculer les nouvelles valeurs prises par les forces électromotrices eoe,(t) et ez,(t) induites dans les paires de bobines d'axes respectifs O'a: et O'z en fonction de eæ(t) et de l'angle %. On adoptera la même convention d'orientation pour les paires de bobines d'axes O'y et O'z relativement a leurs axes respectifs que pour la paire de bobines d'axe O'oe. @) On revient à l'état de référence et on fait subir au cube récepteur une rotation d'angle @ autour de son axe O'z. Calculer les nouvelles valeurs prises par les forces électromotrices ca,/(t) et (ay/(t) induites dans les paires de bobines d'axes respectifs O'a: et O'y en fonction de e,,(t) et de l'angle @. f ) Les résultats obtenus aux questions précédentes montrent que la force électromotrice est,, (t) dépend a la fois des rotations d'axes O'y et O'z. La composition des rotations étant une opération non triviale, on décide de s'en affranchir en s'abstenant de mesurer eoe/ (t) pendant l'intervalle de temps [O, T]. On posera donc : est,, (t) = 0 dans cet intervalle. Montrer qu'on peut formellement écrire les résultats obtenus dans l'intervalle de temps [O, T] sous forme d'une matrice liant les vecteurs (eoe,(t), (ay/(t), ez,(t)) et (eæ(t), O, O). III.B.3) On se place dans l'intervalle de temps [T, ZT], seules les bobines émettrices d'axe Oy sont donc ali-- mentées et parcourues par le courant i(t) : ] cos(w0t). De manière analogue à la démarche adoptée en III.B.2, on ne mesure que les forces électromotrices eOE/(t) et (az/(t). En procédant comme ci--dessus, établir la relation matricielle liant les vecteurs (eoe/ (t), ey/(t), ez; (t)) et (O, e,,(t), 0), où ey(t) désigne la force électromotrice induite dans la paire de bobines d'axe O'y dans la configuration de référence III.B.4) Enfin, on se place dans l'intervalle de temps [27', BT], seules les bobines émettrices d'axe 0.2: sont donc alimentées et parcourues par le courant i(t) : ] cos(wot). De manière analogue a la démarche adoptée en lll.B.2, on ne mesure que les forces électromotrices (aw/(t) et cay/(t). En procédant comme ci--dessus, établir la relation matricielle liant les vecteurs (ca,; (t), cay/(t), ez; (t)) et (O, O, ez(t)), où ez(t) désigne la force électromotrice induite dans la paire de bobines d'axe O'z dans la configuration de référence. III.B.5) Synthétiser les mesures effectuées au cours des trois intervalles de temps [0,7'], [T,27'] et [27',37'] a l'aide d'une unique relation matricielle. Justifier que l'on a bien réalisé une détection de posture. Sachant que T % 5 ms et que le temps de réponse maximal admissible est de l'ordre de 20 ms, le cahier des charges vous paraît--il rempli ? 2014-03-04 08:21:27 Page 7/8 OE=c BY--NC-SA Données numériques Célérité de la lumière dans le vide (: = 3,00 >< 108 ms--1 Masse de l'électron m = 9,11 >< 10_31 kg Charge élémentaire e = 1,60 >< 10_19 C Perméabilité magnétique du vide 00 = 471" >< 10_7 H-m_1 Permittivité diélectrique du vide 50 = 8,85 >< 10-12 F-m--1 Constante des gaz parfaits R = 8,32 J-K_1-mol_1 Nombre d'Avogadro NA : 6,02 >< 1023 mol--1 Constante de Boltzmann kB : 1,38 >< 10_23 J-K_1 Constante de Planck h = 6,626 >< 10_34 J-s Formulaire Développement limité au voisinage de 0 : (CL--1) (1+oe)"=1+aoe+a 2 oe2+0(oe2) Expression du champ magnetique cree par un d1pole magnet1que m : muz en coordonnees spher1ques : --> _ Mom B... _ 47T7"3 (2 eos @@ + sin 9%) oooFlNooo 2014-03-04 08:21:27 Page 8/8 OE:C BY--NC-SA

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Centrale Physique PSI 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Michel Fruchart (Professeur agrégé) ; il a été relu par Stanislas Antczak (Professeur agrégé) et Vincent Freulon (Professeur en CPGE). En prenant comme prétexte l'étude d'un viseur de casque militaire, ce sujet traite principalement de mécanique, d'électromagnétisme, de magnétostatique et d'induction. Les trois parties sont véritablement indépendantes. · Une première partie traite de l'affichage par tubes cathodiques : il s'agit d'un exercice de mécanique du point qui demande de l'attention pour bien appréhender le dispositif modélisé et suivre le déroulement prévu par l'énoncé, mais qui est simple d'un point de vue technique. · Une deuxième partie traite des afficheurs à cristaux liquides nématiques et donc de la propagation des rayons lumineux dans les nématiques, qui sont des milieux anisotropes, en particulier du point de vue de la polarisation (on parle de biréfringence). L'étude de la biréfringence n'étant pas au programme en PSI, l'énoncé tente d'introduire les notions nécessaires. On peut s'en sortir en suivant le sujet sans se poser trop de questions, mais le sujet échoue à dispenser une compréhension satisfaisante du phénomène sans connaissance préalable. À condition de passer outre l'étape de la biréfringence, le problème est assez bien guidé dans les grandes lignes mais nécessite de soigner les calculs, dont la difficulté technique est progressive. Un obstacle supplémentaire consiste à comprendre le dispositif de la figure 6 et à passer d'une disposition à l'autre entre celles qu'étudie l'énoncé. · Une dernière partie est dédiée à la détection électromagnétique de posture : il s'agit de savoir de quel angle le pilote d'un hélicoptère tourne la tête par rapport au cockpit. Le début de cette partie est le problème des bobines de Helmholtz : il s'agit d'un exercice d'application classique. On entre ensuite dans le domaine de l'ingénierie : une succession de mesures permet de remonter à trois angles décrivant la posture du pilote. Cette partie n'est pas particulièrement difficile conceptuellement, mais la difficulté technique associée à la description d'un système relativement élaboré se fait sentir. En faisant appel à des compétences issues de plusieurs parties du programme, ce sujet tourné vers l'ingénierie traite de problèmes concrets. Sans être particulièrement difficile d'un point de vue technique ou physique, il demande un certain recul pour aller au but. Certaines questions s'éloignent du cours, d'autres sont des applications classiques, qui doivent être bien maîtrisées. Indications Partie I I.A.1 Utiliser une méthode énergétique. I.B.2 On peut utiliser le fait que la force de Lorentz magnétique ne travaille pas. I.B.4 On obtient une équation différentielle du second ordre en dérivant une équation différentielle du premier ordre. Partie II II.A.2 Traiter indépendamment les deux faisceaux en utilisant la loi de SnellDescartes de la réfraction. II.B.1 Quelle est l'énergie d'interaction entre un dipôle électrostatique et un champ électrostatique ? ). II.B.2.c Il est utile d'expliciter les vecteurs de la base (- n (z), - n(z), - u z II.B.2.d Utiliser le développement limité de l'exponentielle. II.B.2.f Il est plus simple de résoudre l'équation avant d'utiliser l'approximation de Mauguin. Il est plus pratique d'écrire cette approximation en fonction de k0 , mais l'énoncé semble préférer jongler entre k0 et 0 sans raison apparente. II.B.2.g Il s'agit d'attribuer une solution à une direction de polarisation. II.B.2.i Quelle supposition a été faite dans le calcul ? Il faut décider d'un critère arbitraire pour décider si cette supposition est justifiée. + II.B.3.a Il faut déterminer les solutions - si cela n'est pas déjà fait. II.B.3.d Utiliser la conservation de l'énergie dans un polariseur parfait. Partie III III.A.1 Utiliser la loi de Biot et Savart. III.A.2 Il faut utiliser un développement limité à un ordre suffisant. Le développement limité pertinent est donné en annexe. III.B.2.a Il faut utiliser la forme dipolaire du champ à partir de cette question. III.B.2.f Commencer par écrire l'ensemble des résultats comme une égalité entre vecteurs. III.B.5 Utiliser le principe de superposition. Quelques aspects de la physique du viseur de casque TopOwl I. Affichage par tubes cathodiques I.A.1 Notons L la distance séparant l'anode et la cathode. Le champ électrique dû - . Chaque électron à la différence de potentiel entre les électrodes est E = - (V0 /L) - u z - - - - est soumis à la force de Lorentz F = -e E et à son poids P = m g . Dans un canon à électrons, on s'attend à ce que le poids joue un rôle négligeable. Vérifions-le en calculant le rapport des deux forces - kPk mLg -15 = eV0 = 10 - kFk en prenant comme ordre de grandeur de L la longueur totale du tube cathodique, soit 10 cm. On peut donc négliger l'effet de la pesanteur, ce qu'on fera dans la suite. D'après le théorème de l'énergie mécanique, la vitesse finale d'un électron : 1 mv0 2 = eV0 2 r 2eV0 ce qui conduit à v0 = m I.A.2 Numériquement v0 = 2,65.107 m/s Cette vitesse est de l'ordre du dixième de la vitesse de la lumière. C'est habituellement la limite de validité de la mécanique newtonienne : à cette vitesse, elle ne s'écarte que d'un centième de la mécanique relativiste. I.B.1 Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'électron soumis uniquement à la force de Lorentz donne l'équation du mouvement - d- v m = -e- v B dt dvx m = evz By dt dvy m = -evz Bx Après projection, dt dvz m = e (vy Bx - vx By ) dt I.B.2 Comme la force de Lorentz magnétique ne travaille pas, le théorème de l'énergie cinétique assure la conservation de la norme de la vitesse lors du mouvement : d m 2 dv v =0 donc =0 dt 2 dt Ainsi, vx 2 + vy 2 + vz 2 = v0 2 Dans la limite où les composantes vx et vy sont très petites devant la composante vz , on en déduit vz = v0 c'est-à-dire que la vitesse dans la direction de l'axe ne change pratiquement pas. Dans cette approximation les équations différentielles régissant les composantes vx et vy sont à coefficients constants, et s'intègrent en vx (t) = eBy v0 t m et vy (t) = - eBx v0 t m Déterminons l'instant tf où l'électron sort de la zone de champ magnétique non nul : il vérifie tf = v0 /. À cet instant, les composantes transversales de la vitesse sont vxf = eBy m et vyf = - eBx m Pour obtenir les déviations transversales, intégrons les vitesses transversales entre l'entrée de la zone où règne un champ magnétique non nul en t = 0 et un instant t, Z t Z t eBy 2 eBx 2 x(t) = vx (t )dt = v0 t et y(t) = vy (t )dt = - v0 t 2m 2m 0 0 et prenons pour t l'instant de sortie tf = v0 / pour obtenir les déviations xmag = eBy 2 m 2v0 et ymag = - eBx 2 m 2v0 I.B.3 L'électron libre parcourt la zone de longueur d en un temps d/v0 . Les déviations transversales dans cette zone sont donc xlib = vxf d v0 et ylib = vyf d v0 Les déviations totales sont alors x xtot = xmag + xlib ytot = ymag + ylib By e xtot = +d 2 mv0 Bx e ytot = - +d 2 mv0 xlib xmag O z d Imposons |xtot | = |ytot | = xmax : cela correspond à une valeur maximale de champ magnétique Bmax = xmax = 6,0 mT (/2 + d) e /mv0