Centrale Physique PSI 2013

Thème de l'épreuve Les frottements de glissement
Principaux outils utilisés diffusion thermique, mécanique des fluides
Mots clefs ski, frottements, jonction entre deux solides, lubrification

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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(, '» P hysiq u e ... EUR, ( FI _/ PSI @ communs EENTHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N Les frottements de glissement Diverses valeurs numériques sont regroupées a la fin de l'énoncé. On y trouvera aussi un formulaire fournissant quelques intégrales utiles et deua: eoepressions d'analyse vectorielle. Cet énoncé aborde quelques phénomènes associés aux frottements de deux solides 21 et 22 en glissement relatif le long de leur interface. Dans ce contexte, il est fondamental de distinguer l'aire apparente S de cette interface, telle que l'on peut la percevoir à l'échelle macroscopique, de l'aire réelle de contact A. En effet, la surface d'un solide, rugueuse à l'échelle micrométrique, présente des aspérités de hauteurs diverses. Seules les plus proéminentes de chacun des solides se rencontrent et se déforment, faisant apparaitre de petites zones plates appelées jonctions où l'interaction entre les solides se concentre. I Effets thermiques aux jonctions Lorsque 21 et 22 glissent l'un contre l'autre, les jonctions s'échauffent a cause de la dissipation d'énergie associée aux frottements. Dans cette partie, on étudie quantitativement cet effet. I.A -- Diffusion thermique dans un milieu semi-infini On considère pour l'instant un solide indilatable, homogène et semi--infini, situé dans le domaine 27 E [O, +oo[, latéralement limité par un cylindre de 0 section 3 et de génératrices parallèles à EUR; (figure 1). Ce solide cylindrique ------------------------------------ est calorifugé latéralement. On note À la conductivité thermique du maté-- riau dont est constitué le cylindre, p sa masse volumique et c sa capacité calorifique massique, quantités indépendantes de la température. Oe mi-- lieu, présentant préalablement une température uniforme T 0, va recevoir de l'énergie thermique au travers de sa surface d'équation z = 0 seulement. Le rythme auquel ce transfert s'effectue sera précisé plus loin. On analyse l'évolution de sa température T supposée ne dépendre que de z et du temps t. On note 9(z, t) = T (27, t) -- T 0 l'élévation de température provoquée par l'apport thermique. Figure 1 I.A.1) Montrer que l'élévation de température 9(z, t) obéit à l'équation aux dérivées partielles Ô9(z,t) _ ÀÔ29(z,t) Ôt Ôz2 Que devient cette équation lorsque À dépend de la température T ? I.A.2) Milieu chauffé brièvement Dans cette question, le solide n'est chauffé que pendant une durée extrêmement brève entre les instants to -- ôt et to : 0. Pendant ce très court échange, le solide reçoit la quantité de chaleur 5Qg : josôt. Il en résulte une petite élévation de température notée 59(z, t). a) Que vaut 69(z,t) pour t < --ôt et z > 0 ? B z2 ?) Onnoter,t =--ex ---- ) ( ) @ p 4Dt l'équation aux dérivées partielles établie dans la question I.A.1. pc À avec D = --. Vérifier que la fonction 59(z, t) : G(z, t)ôt est solution de pc c) Exprimer la variation de l'énergie interne U du solide entre un instant t1 < --ôt et un instant t2 > 0, d'une part en fonction de jo, d'autre part en utilisant G(z, t). En déduire l'expression de B en fonction de jo, expression que l'on simplifiera en introduisant l'effusivité thermique e : \/Îpc. d) Plaçons--nous maintenant dans la situation où le très bref échange thermique 5Q0 a lieu a un instant to > O. Exprimer 59(z, t) en distinguant deux intervalles de temps. I.A.3) Milieu chauffé continument a ) Le système est maintenant chauffé sans interruption a partir de l'instant initial avec une densité de flux thermique jo fonction du temps. Quelle quantité de chaleur 5Qg reçoit--il entre to -- ôt0 et to ? Quelle élévation de température 69(z,t) cela provoque--t--il a la cote 27 a un instant t > to ? En déduire sous la forme d'une intégrale l'élévation de température 9(z, t) produite par l'apport thermique ininterrompu depuis l'instant initial. 2013-03-25 11:52:46 Page 1/7 GC) BY--NC-SA b} Dans le cas particulier où jo ne dépend pas du temps, le calcul de l'intégrale précédente, non demandé, conduit a 9 0 et 27 < 0, s'échauffent a cause des frottements sur leur interface z = 0. On note 3 l'aire de cette interface, 1 : j15 et 2 : 325 les flux thermiques reçus par chacun d'eux. Pour simplifier on suppose que C1 glisse sur C2 immobile et que les deux solides n'échangent d'énergie que l'un (131 avec l'autre, leur ensemble étant isolé thermodynamiquement du reste de l'univers. Soit ps la puissance surfacique négative des forces de frottement exercées par C2 l ] C1 sur C1. I.B.1) On note & = U,; + Eci avec i E {1,2} l'énergie totale du cylindre C,, composée de ses énergies interne et cinétique. Appliquer le premier principe de la (132 thermodynamique a chacun des deux solides entres deux instants séparés de dt. C2 I.B.2) Appliquer le premier principe a l'ensemble des deux solides. I.B.3) En déduire une relation entre ps, j1 et 32. F' 3 1gure I.C -- Application ana: joncti0ns Le modèle développé dans les questions précédentes permet d'estimer l'échauffement des jonctions décrites dans l'introduction lorsque C1 glisse sur C2 a la vitesse @. Dans ce cas on note TC la force tangentielle par unité de surface exercée par C2 sur C1. La puissance surfacique correspondante s'exprime par ps : --ch. I.C.1) Quand C1 et C2 sont formés du même matériau avec le même état de surface, donner l'expression de j1 et de 32 en fonction de ps. I.C.2) Les jonctions ont un diamètre de l'ordre de 0,1 mm. Quelle est la durée 7' du contact si @ = 1 m - s_1 ? I.C.3) Pour estimer les effets thermiques au niveau des jonctions, on utilise les résultats de I.A.3.b a l'instant t = T. a} Comparer quantitativement les propriétés de l'acier, du granit et du Téflon en calculant l'élévation de tem-- pérature de l'interface et la profondeur 5 a la fin du contact. b} Analyser la pertinence de l'approximation qui consiste a supposer les deux milieux semi--infinis pour étudier la diffusion thermique dans chaque jonction (hypothèse introduite au début de LA). 2013-03-25 11:52:46 Page 2/7 GC) BY--NC-SA II Un système auto-lubrifié Les forces de frottement associées au glissement d'un solide sur la glace ou la neige sont fréquemment étudiées en raison de leur importance pour diverses pratiques récréatives ou pour les moyens de transport dans les régions froides. À des températures de l'ordre de --40°C, ce glissement s'effectue avec une résistance énorme, comparable a celle que l'on observe sur du sable. Pour des températures de l'ordre de --10°C, les forces de frottement chutent d'un ordre de grandeur et le glissement devient aisé. Ce comportement s'explique par la fusion superficielle de la glace sous l'objet glissant, la fine couche d'eau liquide apparue jouant le rôle de lubrifiant. L'écoulement de cette eau est supposé incompressible dans tout le problème. Nous appellerons << patin >> le solide 21 glissant sur la glace, désignée par Eg. Dans les parties II et III, il est question des forces s'exerçant sur 21 dans les jonctions. On note A1 l'aire d'une jonction et Ë1 la résultante des forces que 21 y subit. On la on décompose sous la forme Ë1 : R1oe EUR}; + Rlz EUR}... Le vecteur unitaire e}} est perpendiculaire a l'interface apparente des deux solides ; ë'oe lui est parallèle dans la direction du glissement. La réunion de toutes les jonctions donne l'aire réelle de contact A sur laquelle 21 est soumis a des efforts de résultante R : R,, EUR}, + RZ @. II.A -- Mécanisme de fusion Deux hypothèses ont été émises pour expliquer la fusion superficielle de la glace : -- selon Reynolds, la fusion s'explique par la surpression exercée par le patin sur la glace ; -- selon Bowden, la fusion s'explique par l'élévation de température provoquée par les frottements. Les questions ci--dessous apportent des éléments pour trancher parmi ces deux propositions. II.A.1) Considérons une paire de skis d'aire apparente S = 0,3 m2 supportant un skieur de 75 kg (skis compris) glissant sur un plan horizontal. On suppose que l'aire réelle de contact A représente un millième de l'aire apparente. Calculer la surpression s'exerçant sur la neige. II.A.2) Rappeler l'allure du diagramme d'état de l'eau dans le plan (P,T ) On assimile la courbe relative a l'équilibre liquide--solide a une droite. Déterminer sa pente puis l'abaissement de la température de fusion provoqué par la surpression de la question précédente. II.A.3) Considérons maintenant l'échauffement associé aux frottements pour un patin glissant a la vitesse @ = 1 m-s_1 sur une glace sèche, la force surfacique de frottement valant TC : 1 >< 107 Pa. Calculer numériquement la puissance surfacique ps : --'UTC correspondante. II.A.4) Pour un patin isolant, toute la chaleur produite par les frottements diffuse vers la glace. En utilisant le résultat de la question I.A.3.b, exprimer l'échauffement de la surface de la glace pendant la durée 7' d'un contact. II.A.5) Calculer numériquement le temps nécessaire a un échauffement de 10°C. II.A.6) L'expérience montre que les forces de frottement augmentent énormément si @ tend vers 0 et que des patins en cuivre glissent beaucoup moins bien que des patins en bois de chêne. Parmi les hypothèses de Bowden et Reynolds, laquelle est correcte ? Vous expliquerez comment chacun des points précédents concourt a la conclusion ou au contraire s'y oppose. II.B -- Frottements visqnenoe et dissipation dans la couche lubrifiants Au niveau d'une jonction entre la glace immobile et le patin de vitesse vé}, existe un film d'eau liquide d'épaisseur h et d'aire A1. Soit 77 la viscosité dynamique de l'eau. On patm modélise la situation par un écoulement laminaire permanent dans lequel on recherche \ é}, un champ de vitesse du type ii : u(oe, z) ë'oe (figure 4). L'interface entre la glace et l'eau h ÿj ' ë*oe liquide a pour cote 27 = 0, EUR; désignant la verticale ascendante. II.B.1) Justifier que u(oe, z) ne dépend en réalité que de z. glace II.B.2) Dans la situation étudiée ici, la force surfacique s'exerçant vers les 27 croissants , F1gure 4 o o --) u --) / o au travers d'une surface de cote 27 du fluide s'exprime par Tv : --77d-- 633. En déduire z l'expression de la force volumique de viscosité f . II.B.3) On rappelle l'équation de Navier--Stokes régissant la dynamique des fluides visqueux newtoniens : ÔÜ' _, --» _, --» _, --» p(--+(u-V)U) = --Vp+pg+f Aucun gradient de pression n'est appliqué selon ë}, Déterminer le champ de vitesse u(z). II.B.4) Exprimer la composante tangentielle Roe1 de la force exercée sur le patin dans cette jonction. II.B.5) Exprimer la puissance P1 de la force exercée par le patin sur l'eau d'une jonction. II.B.6) Pour une épaisseur de film h = 0,1 nm et une vitesse @ = 1 m - s_1, calculer le nombre de Reynolds de l'écoulement. Quelle hypothèse de l'énoncé cette valeur permet--elle de confirmer ? 2013-03-25 11:52:46 Page 3/7 GC) BY--NC-SA II.B.7 ) On considère le système fermé constitué par l'eau contenue a l'instant t dans une jonction d'aire A1. L'écoulement est toujours supposé permanent et on négligle les effets de bord. a ) Justifier que le travail des forces de pression sur ce système est nul. 2 U A Z)) Montrer que la puissance thermique sortant du système vaut Pth : 77 1. h III Détermination de l'épaisseur de la couche lubrifiante La détermination de l'épaisseur h de la couche lubrifiante, conjointement a la force de frottement s'exerçant sur l'ensemble du patin, constitue un défi théorique qui n'a été que très partiellement relevé a ce jour. De nombreuses questions restent ouvertes concernant l'aire réelle de contact, le caractère intermittent des jonctions, l'état de surface de la glace et du patin, etc. Cette partie du problème explore quelques aspects de ces questions dans le cadre de modèles simples. Bien que l'épaisseur h dépende du temps, on admet que les résultats établis dans II.B s'appliquent a chaque instant. III.A -- Croissance du film d'eau contrôlée par les frottements seuls Toute l'énergie thermique produite par la dissipation visqueuse avec la puissance calculée en II.B.7.b est supposée disponible pour la fusion de la glace. L'eau liquide formée, de masse volumique p, s'accumule dans la jonction. On note L f l'enthalpie massique de fusion de la glace. Soit dh l'augmentation d'épaisseur du film d'eau dans une jonction d'aire A1, consécutive de la fusion de la dh glace pendant dt. Exprimer Æ en fonction de 77, u, p, L f et h(t). III.B -- Eoepulsz'on du film d'eau En réalité, l'eau liquide présente dans les jonctions en est expulsée sous l'effet des forces verticales, ce qui limite la croissance du film lubrifiant. Dans toute la partie III.B, 62: on se concentre sur ce phénomène d'expulsion pour évaluer la décroissance de h qu'il provoquerait s'il intervenait seul. On omet donc momentanément la translation du patin et la fusion de la glace. On adopte un modèle a symétrie cylindrique (figure 5), le patin et la glace étant h assimilés près d'une jonction a des disques de diamètre D = 0,1 mm séparés par le film d'eau d'épaisseur h(t) de l'ordre de 0,1 um . On utilise des coordonnées cylindriques 0 (r, 9, z) centrées sur l'axe de révolution de la jonction. La base locale associée est EUR}, ë'9, @. On recherche le champ de vitesse de la forme û(M) : u,.(r, z)ë} + uZ(r, z)ëz. En r = D / 2 l'eau liquide quitte la jonction et retrouve la pression atmosphérique PO. eau glace Figure 5 III.B.1) On procède a une analyse d'ordres de grandeurs pour résoudre l'équation de Navier--Stokes dont la projection sur ë} s'écrit : %+ %+ % __@+ 52... 3% n 52... p Ôt u,. Ôr % Ôz _ Ôr 77 Ôr2 rÔr r2 Ôz2 (1111) On note U un ordre de grandeur de u,. et W = h / 7' un ordre de grandeur de uZ avec 7' = 10_4 s. a) En exploitant l'incompressibilité de l'écoulement, relier U a W. Z)) Analyser l'ordre de grandeur des quatre termes diffusifs. Montrer numériquement que l'un est dominant. On néglige dans la suite les trois autres. c) Montrer de la même manière qu'on peut négliger les termes convectifs devant celui associé aux forces vis-- queuses. d) Faire de même pour le terme instationnaire proportionnel a e ) En déduire l'écriture simplifiée de l'équation III.1. Des analyses similaires, non demandées, permettent de montrer que les gradients axiaux de pression sont négli-- Ô geables ce qui revient a considérer que Ô_p : 0. 27 d III.B.2) Exprimer le champ de vitesse a, en fonction de z, h, 77 et _p_ dr III.B.3) Exprimer le débit volumique Dv sortant d'un cylindre de rayon r < D / 2 et de hauteur h. dh III.B.4) Relier d'autre part ce débit a Æ' 2013-03-25 11:52:46 Page 4/7 GC) BY--NC-SA III.B.5) En déduire l'expression suivante du champ de pression : 3 D2 dh p=po+_n(.2__) h3 4 dt III.B.6) Calculer la résultante des forces de pression Rp exercée sur le disque de rayon D / 2 par lequel le patin prend appui sur le fluide. III.B.7 ) Les termes indépendants de P0 de Rp s'identifient a Rzl, force normale s'exerçant sur la jonction. En supposant Rzl constante, trouver la loi horaire de diminution de h(t). On notera ho la valeur de h a t = 0 et _ 37771D4 _ 64hâRzl' III.B.8) Calculer numériquement M7") et 71 pour ho : 100 nm et R21 : 2 >< 10_2 N. 7'1 III.C -- Croissance isotherme du film d'eau limitée par eoepulsion 8Rzlh3 377D2 ' On reprend ici l'analyse des variations de h(t) en supposant que cet effet d'expulsion et celui de fusion de la glace considéré dans III.A s'additionnent. Pour les jonctions cylindriques envisagées ici, A1 : 7TD2/4. En poursuivant les calculs de III.B, on obtient une expression du débit expulsé de la jonction : DU : III.C.1) Montrer que dans ce modèle, h(t) obéit a une équation différentielle du type dh -- fi -- 02h3 (1112) où Cl et 02 sont deux constantes a exprimer en fonction de 77, @, p, L f, R21 et D. III.C.2) Exprimer la hauteur limite hlim qu'atteindra le film. III.C.3) Des résultats expérimentaux suggèrent qu'à des températures pas trop basses, la résultante des forces de frottement tangentielles exercées sur le patin est proportionnelle a @. Montrer que le modèle permet d'interpréter ce comportement. IV Frottement entre solides non lubrifiés Lorsque deux solides glissent l'un contre l'autre sans couche liquide intermédiaire, les forces de frottement qu'ils exercent l'un sur l'autre présentent un comportement très différent de celui étudié dans les parties II et III. Pour les décrire, on conserve cependant les notations A1, Ë1 : R1oe EUR}, + R12 52 et Ë : R,, EUR}, + RZ ë'Z définies au début de la partie II, ces efforts étant exercés directement par 22 sur 21 et non plus par l'intermédiaire d'une couche liquide. Dès le XVIIème siècle ont été découvertes deux propriétés essentielles -- lRoel est proportionnelle a RZ, le facteur de proportionnalité dépendant de la nature des matériaux en contact ; -- R,, est indépendante de la surface apparente de contact S. L'interprétation de ces observations date de 1950 environ et repose sur l'analyse des phénomènes ayant lieu au niveau des jonctions. En effet, ces jonctions se déforment sous l'effet des efforts perpendiculaires a l'interface et un contact intime s'y crée entre les deux solides. Pour déplacer les uns contre les autres les atomes de 21 et 22 << en contact >> dans une jonction d'aire A1, il faut exercer une force tangentielle minimale R... : TCA1. La force surfacique Tc, aussi appelée contrainte de cisaillement, est liée a la nature des matériaux. Deux types de déformation des jonctions sont envisagés tour a tour dans la suite : les déformations plastiques d'une part et les déformations élastiques d'autre part. I V.A -- Cas des déformations plastiques Dans ce premier cas, on admet que R21 : aCA1 dès lors qu'il y a contact entre deux jonctions, quelle que soit l'amplitude de la déformation. La grandeur ac caractérise la dureté des matériaux. IV.A.1) Quelle relation existe--t--il entre A (aire de contact réelle), RZ et ac ? IV.A.2) Calculer numériquement la valeur de A pour un bloc d'acier parallélépidédique de 300 g reposant sur une table d'acier horizontale. Pour S = 24 cm2, quelle fraction de l'aire apparente S représente l'aire de contact réelle A ? IV.A.3) En supposant qu'il y a glissement d'un solide sur l'autre et que toutes les jonctions glissent en même temps, établir le lien entre lRoel, RZ, ac et Tc. IV.A.4) Cette modélisation permet--elle d'expliquer les deux propriétés introduites dans le préambule de la partie IV ? Pourquoi ? 2013-03-25 11:52:46 Page 5/7 GC) BY--NC-SA I V.B -- Cas des déformations élastiques Dans ce second cas nous supposons pour simplifier que la surface de 21 est parfaitement lisse et indéformable alors que celle de 22 présente N aspérités identiques modélisées par des sphères de rayon R (partie gauche de la figure 6). Par rapport a un plan de référence, les sommets de ces sphères se trouvent initialement à la hauteur zo. Elles se déforment lorsque la surface plane de 21 se trouve a la hauteur d < zo (partie droite de la figure 6). Chacune forme alors une jonction circulaire de rayon ro et voit sa hauteur réduite de h. Un calcul dû à H. Hertz montre que pour des déformations élastiques 7°0 =R1/3(HR21)1/3 h=R_1/3(HR21)2/3 où H: est une constante caractéristique du matériau constituant 22. E1 E1 27"() <--) d \_/ \_/ \_/ \_/ Z0 d 22 E2 Figure 6 Contact sur une surface modélisée par une série de bosses sphériques IV.B.1) Relier l'aire de contact A a RZ, R, H: et N. IV.B.2) Cette modélisation permet--elle d'expliquer les deux propriétés introduites dans le préambule de la partie IV ? Pourquoi ? IV.B.3) En réalité, les sommets des aspérités de surface, ici représentées par les protubérances sphériques, ne se trouvent pas tous a la même hauteur avant le contact avec 21. La diminution de d associée à l'augmentation de RZ ne provoque pas seulement l'élargissement de chacun des contacts circulaires mais permet aussi la formation de nouvelles jonctions. Dans le modèle de Creenwood, on note dN : OE(z) dz le nombre de bosses sphériques dont le sommet se trouve initialement à une cote comprise entre z et z + dz. 00 a) Avec un nombre d'aspérités N identique a celui du modèle précédent, que vaut / OE(z) dz ? 0 b) Lorsque 21 se trouve a la cote d , donner une expression intégrale du nombre de jonctions fermées N J. c) Donner dans les mêmes conditions une expression intégrale de l'aire de contact A. d) Faire de même pour RZ. e) Fréquemment, la fonction OE(z) peut être approximée par OE(z) : \IJOe_O'Z. Calculer explicitement A et RZ en fonction de \IJO, oz, d, R et /<:. f) Le modèle de Creenwood permet--il d'expliquer les deux propriétés introduites dans le préambule de la partie IV ? Pourquoi ? Données numériques Matériau p (kg - m_3) e (J - K_1 -kg_1) À (W- K_1 --m_1) Tc (Pa) acier 7,9 >< 103 4,5 >< 102 75 2 >< 108 granit 2,7 >< 103 8,0 >< 102 2,2 2 >< 108 Téflon 2,2 >< 103 1,1 >< 103 2,3 2 >< 106 cuivre 9,0 >< 103 3,9 >< 102 3,9 >< 102 chêne 8 >< 102 2 >< 103 0,2 glace 9,2 >< 102 2,1 >< 103 2,3 Échelles de température : 0°C : 273,15 K Pression atmosphérique : P : 101,3 kPa Coordonnées du point triple de l'eau : Tt : 273,16 K, P,; = 0,611 kPa Viscosité dynamique de l'eau à 0°C : 77 = 1,8 >< 10_3 Pa - s Masse volumique de l'eau liquide : p = 1,0 >< 103 kg - m--3 Enthalpie massique de fusion de la glace 0°C : Lf : 3,3 >< 105 J -- kg--1 Dureté de l'acier : oc : 1 >< 109 Pa Accélération de la pesanteur g = 9,8 m -- s_2. Gc_ 2013-03-25 11:52:46 Page 6/7 Formulaire / EUR--u2 du: äfi / ue--au du: _2 / u3/26_0... du= Æ 0 06 0 0 4a5/2 _, _, _, _) divaA : adivA + A - grada En coordonnées cylindriques, . q lôrAr 16Ae ÔAZ d"A<"9'Z)=; (ar) ËÊ az oooFINooo ce 2013--03-25 11:52:46 Page 7/7 ( ) BY NC SA

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 Centrale Physique PSI 2013 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Rémi Lehe (ENS Ulm) ; il a été relu par Alizée Dubois (ENS Cachan) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet, composé de quatre parties, porte sur différents phénomènes se produisant à l'interface entre deux solides qui glissent l'un sur l'autre. · Dans la première partie, on s'intéresse à la manière dont l'énergie thermique qui est produite par les frottements au niveau de l'interface diffuse au sein des solides en contact. On aboutit ainsi à une expression de la température du solide à l'endroit du contact, ainsi que de la profondeur de pénétration de cette énergie. · La deuxième partie porte sur le contact entre un ski et de la glace, au niveau duquel une partie de la glace fond et réduit ainsi les frottements sur le ski. Après avoir établi la raison de la fusion de la glace, on calcule la force de frottement visqueux qu'exerce le film d'eau sur le ski. · La troisième partie se concentre sur le calcul de l'épaisseur du film liquide qui s'établit entre le ski et la glace. Cette épaisseur résulte de deux effets antagonistes : la fusion de la glace, qui tend à l'augmenter, et l'expulsion latérale de l'eau sous l'effet du poids du skieur, qui tend à la réduire. · Enfin, la quatrième partie s'intéresse à l'analyse de deux modèles mésoscopiques de contact entre solides (en l'absence de film liquide intermédiaire). On cherche à savoir si ces modèles reproduisent certains faits expérimentaux. Les trois premières parties couvrent un large spectre de connaissances (thermodynamique, diffusion thermique, mécanique des fluides). Restant assez proches du cours, elles sont de difficulté moyenne et constituent ainsi un bon exercice de révision. Par ailleurs, la deuxième partie est particulièrement intéressante pour la culture générale, car elle permet de départager deux hypothèses (souvent évoquées à parts égales dans certains écrits de vulgarisation) concernant l'origine de la fusion de la glace sous un ski. La quatrième partie peut paraître plus difficile, car elle s'éloigne du cours et fait plus appel à l'intuition physique. Elle se rapproche en cela de l'esprit des concours du type X/ENS. Indications Partie I I.A.1 Effectuer un bilan thermodynamique sur une tranche de solide située entre z et z + dz. I.A.2.c Effectuer d'une part un bilan thermodynamique sur l'ensemble du cylindre semi-infini, et calculer d'autre part sa variation d'énergie interne (en utilisant le fait que l'énergie interne d'un petit volume de solide dV s'exprime comme dU = c T dV). I.B.1 Remarquer que le travail des forces de frottement exercées par C1 sur C2 est nul. I.C.1 On peut supposer, dans ce cas là, que 1 = 2 . Partie II II.A.2 Utiliser la relation de Clapeyron pour déterminer la pente de la droite d'équilibre solide-liquide. II.A.4 Le patin étant isolant, j0 = -ps . II.A.6 Dans l'hypothèse de Reynolds, la vitesse du patin et le matériau dont il est fait ont-ils une influence sur le mécanisme de fusion ? II.B.1 Utiliser l'incompressibilité de l'eau. du ex . II.B.4 Utiliser la formule - v = - - dz II.B.7.b Effectuer un bilan thermodynamique sur le film d'eau, et remarquer que le travail de la force de frottement qu'exerce la glace sur le film est nul. Partie III III.A Quelle est la masse d'eau correspondant à une élévation du film de dh ? III.B.1.b Les termes dits « diffusifs » sont les termes 2 ur 1 ur ur 2 ur + - 2 + r2 r r r z 2 III.B.2 Intégrer en z l'équation obtenue à la question III.B.1.e. III.C.2 hlim correspond à la valeur de h pour laquelle les deux termes du membre de droite de l'équation (III.2) se compensent. III.C.3 Utiliser le résultat de la question II.B.4. Partie IV IV.B.1 Les jonctions étant identiques, l'aire de contact est A = Nr0 2 . IV.B.3.c Chercher dans un premier temps l'expression de l'aire de la jonction que forme une aspérité dont le sommet est initialement en z. IV.B.3.f Utiliser le fait que Rx = c A et exprimer A en fonction de Rz . I. Effets thermiques aux jonctions I.A Diffusion thermique dans un milieu semi-infini I.A.1 Considérons une tranche de solide infinitésimale située entre z et z + dz, et appliquons-lui le 1er principe de la thermodynamique entre les instants t et t + dt. z z + dz Le solide étant indéformable, le travail des forces de pression est nul et le 1er principe s'écrit dU = Q Il peut sembler surprenant d'utiliser la relation dU = Q, étant donné que les transformations thermodynamique se font ici à pression constante, ce qui implique dH = Q. Cependant, il faut garder à l'esprit que ces transformations se font également à volume constant (solide indéformable), si bien que le terme PV de la relation H = U + PV est une constante. Dans ce cas précis, on a donc bien dH = dU. La variation infinitésimale d'énergie interne s'exprime comme T t Le transfert thermique infinitésimal Q est reçu par conduction à travers les sections -- circulaires en z et z + dz, et est égal au flux du vecteur - = - grad T à travers ces dU = s dz c × (T(t + dt) - T(t)) = s dt dz c Q sections pendant dt, d'où T T Q = -s dt (z) (z) + s dt (z + dz) (z + dz) z z = s dt dz z T z L'écriture du 1er principe mène donc à l'équation T T c = t z z Par ailleurs, T0 étant une constante, soustraire cette quantité à T au sein de dérivées ne modifie pas l'équation. On obtient alors, dans le cas général où dépend de T (et donc de z), c = t z z et, dans le cas où ne dépend pas de T, c 2 = 2 t z I.A.2.a Pour t < -t, le solide n'a pas encore été chauffé. Il reste donc dans son état d'équilibre initial où T(z, t) vaut T0 pour tout z, soit (z, t) = 0 I.A.2.b Vérifions que la fonction proposée satisfait effectivement l'équation établie à la question I.A.1. Le calcul des dérivées partielles de (z, t) conduit à B t z2 B z 2 t z2 exp - = - exp - + t 4Dt 4Dt 2t t 4 D t2 t B z t z2 exp - =- z 4Dt 2Dt t 2 B t z2 B z 2 t z2 exp - exp - et =- + z 2 4Dt 4Dt 2Dt t 4 D 2 t2 t Étant donné que D = /(c), vérifie bien l'équation c 2 = t z 2 I.A.2.c Entre t1 et t2 , le solide reçoit la densité de flux thermique j0 pendant t. Le transfert thermique qu'il reçoit est donc Q = j0 st, et l'application du 1er principe conduit à U = Q = j0 st Il est par ailleurs possible de calculer directement la variation d'énergie interne à partir du profil de température T(z, t) : U = U(t2 ) - U(t1 ) Z (T(z, t2 ) - T(z, t1 )) dz = sc 0 = sc Z (z, t2 ) dz 0 z2 dz exp - 4Dt2 0 Z B t z = s c 2 Dt2 exp -u2 du avec u = t2 2 Dt2 0 U = s c B t D d'après le formulaire de l'énoncé B t = sc t2 Z Bien que l'expression de (z, t2 ) dépende de t2 , l'expression finale de U n'en dépend pas. On pouvait s'attendre à cela puisque le système ne reçoit plus d'énergie après t = 0, ce qui implique que son énergie interne reste constante pour tout t2 > 0. En imposant que les deux expressions obtenues pour U soient égales, on obtient B= j0 c D