Centrale Physique PSI 2012

Thème de l'épreuve Impact d'un bolide avec la Terre
Principaux outils utilisés mécanique du point, thermodynamique, mécanique des fluides, ondes mécaniques
Mots clefs mécanique céleste, hydrostatique, force de traînée, ondes acoustiques, onde de choc, bilans en mécanique des fluides, ondes de gravité

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PSI 4 heures Calculatrices autorisées 2012 Physique Impact d'un bolide avec la Terre L'objet de ce problème, constitué de quatre parties indépendantes, est d'étudier l'impact d'un bolide (astéroïde ou comète) avec la Terre et certaines conséquences qui en découlent. Dans tout l'énoncé, on supposera que le bolide ne possède aucun mouvement de rotation propre dans son référentiel barycentrique. Certaines données numériques sont rassemblées à la fin du sujet. I Collision entre un bolide et la Terre I.A ­ Vitesse orbitale de la Terre On se place dans le référentiel de Kepler, supposé galiléen, dont l'origine est confondue avec le centre du Soleil et dont les axes sont dirigés vers trois étoiles fixes très éloignées. La Terre et le Soleil présentent une symétrie sphérique. La masse de la Terre est négligeable devant celle du Soleil. La Terre décrit approximativement une orbite circulaire de rayon R0 = 1,5 × 1011 m autour du Soleil et on exclut toute influence des autres planètes ou objets célestes. I.A.1) Qu'est-ce qu'un référentiel galiléen ? I.A.2) Quel est l'intérêt de considérer l'hypothèse de symétrie sphérique pour la Terre et le Soleil ? Quelles simplifications découlent du fait que la masse de la Terre est négligeable devant celle du Soleil lors de l'étude du système isolé constitué par ces deux corps ? Des réponses succinctes sont attendues. I.A.3) Montrer que le mouvement circulaire de la Terre est uniforme. Exprimer la vitesse orbitale de la Terre, notée vT , en fonction de la constante gravitationnelle G, de la masse du soleil MS et de R0 . Faire l'application numérique. I.B ­ Vitesse d'impact du bolide Les astéroïdes qui peuvent approcher la Terre possèdent des vitesses, dans le référentiel de Kepler, de l'ordre de 30 km · s-1 . On qualifiera ces objets de bolides. La Terre est assimilée à une sphère homogène de rayon RT = 6,4 × 106 m. On rappelle que le référentiel géocentrique a pour origine le centre O de la Terre et que ses axes sont parallèles à ceux du référentiel de Kepler. I.B.1) On note vb la vitesse d'un bolide dans le référentiel de Kepler et vr sa vitesse dans le référentiel géocentrique (vitesse relative par rapport à la Terre). Donner un encadrement de la vitesse vr en fonction de vb et vT . Faire l'application numérique pour les astéroïdes. On travaille dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. Le bolide, assimilé à un point matériel pour le moment, possède une masse mb très négligeable devant celle de la Terre. Le bolide, depuis une région très éloignée de la Terre, arrive avec une vitesse þvr = vr þex et sa trajectoire est portée par une droite située à une distance b du centre de la Terre (figure 1). Le système {Terre + bolide} est considéré comme isolé. y þvr M0 A b O x Figure 1 Trajectoire du bolide dans le champ gravitationnel de la Terre I.B.2) Rappeler l'expression de l'énergie mécanique Em du bolide en un point quelconque de sa trajectoire en fonction de sa vitesse v, de sa distance r au centre de la Terre, de sa masse mb , de la masse de la Terre MT 3 avril 2012 11:07 Page 1/8 et de la constante gravitationnelle G. Préciser la nature de la trajectoire du bolide dans le champ gravitationnel de la Terre. I.B.3) On note A le point de la trajectoire le plus proche de la Terre. dmin = OA représente donc la distance minimale entre le centre de la Terre et le bolide. Rappelons qu'en ce point, la vitesse du bolide, notée þvA , est - perpendiculaire au vecteur OA. a) Montrer que le moment cinétique du bolide est conservé au cours de son mouvement. En déduire une relation simple entre vr , b, dmin et vA = ||þvA ||. b) Déterminer l'expression de dmin en fonction de G, MT , vr et b. c) Pour que le bolide entre en collision avec la Terre, montrer que le paramètre d'impact b doit être inférieur à une valeur maximale, notée bmax , que l'on exprimera en fonction de RT , G, MT et vr . I.B.4) a) En cas de collision, montrer que l'expression de la vitesse au moment de l'impact, notée vi , peut se mettre sous la forme ñ vi = vr2 + vl2 où l'on exprimera la vitesse vl en fonction de G, MT et RT . Calculer la valeur numérique de la vitesse vl et préciser sa signification physique. b) Quel est l'intervalle numérique des valeurs possibles de la vitesse d'impact vi d'un astéroïde avec la Terre ? I.C ­ Énergie cinétique du bolide Le bolide est à présent modélisé par une sphère pleine de rayon rb = 80 m et de masse volumique b = 2,5 × 103 kg · m-3 (matériau rocheux). I.C.1) Calculer l'énergie cinétique du bolide pour une vitesse d'impact vi = 20 km · s-1 . I.C.2) Une tonne d'explosif de TNT (trinitrotoluène) libère une énergie de 4,18 × 109 J. Par ailleurs, une kilotonne de TNT représente 103 tonnes de TNT et une mégatonne représente 106 tonnes de TNT. Exprimer l'énergie cinétique précédente du bolide en terme d'équivalent en TNT. Comparer cette énergie à la bombe atomique d'Hiroshima (6 août 1945) qui a produit une énergie équivalente à l'explosion de 15 kilotonnes de TNT. Cette comparaison avec une bombe atomique a bien un sens car le bolide libère son énergie cinétique, au moment de l'impact avec le sol, sous la forme d'une explosion. II Traversée de l'atmosphère par le bolide ­ Cratère d'impact Dans cette partie, on s'intéresse à la traversée de l'atmosphère terrestre par le bolide précédent (sphère pleine de rayon rb = 80 m et de masse volumique b = 2,5 × 103 kg · m-3 ). La courbure locale de la Terre est négligée et on confond sa surface, dans la région de l'impact, avec son plan tangent. On utilise une base orthonormée directe (þex , þey , þez ) et un point de l'espace est repéré par ses coordonnées cartésiennes (x, y, z). On se place dans le référentiel terrestre, supposé galiléen. Le champ de pesanteur, dirigé suivant la verticale descendante est supposé uniforme : þg = -gþez avec g = 9,8 m · s-2 . II.A ­ Atmosphère isotherme L'atmosphère terrestre est supposée être à l'équilibre isotherme de température uniforme T0 . L'air est assimilé à un mélange de gaz parfaits. (z) et P (z) représentent respectivement la masse volumique et la pression de l'air à l'altitude z. Ces grandeurs sont notées 0 et P0 au niveau du sol (z = 0). II.A.1) Exprimer P (z) en fonction de (z), T0 , de la constante des gaz parfaits R et de la masse molaire de l'air Mair . II.A.2) Montrer, en utilisant l'équilibre hydrostatique, que la masse volumique (z) vérifie la loi 3 4 z (z) = 0 exp - Ha où l'on exprimera la hauteur caractéristique Ha en fonction de Mair , T0 , R et g. II.A.3) Applications numériques. Calculer la masse volumique de l'air 0 au niveau du sol et la hauteur Ha . Données : P0 = 1,0 × 105 Pa et T0 = 290 K. II.B ­ Freinage atmosphérique Le bolide entre dans l'atmosphère avec une vitesse vi = 20 km · s-1 . Durant la traversée de l'atmosphère, il est soumis à son poids et à la force de traînée de norme Ft = 12 Crb2 v 2 où C = 2 est le coefficient de traînée, la masse volumique de l'air et v la vitesse instantanée du bolide. On suppose que le bolide conserve sa masse au cours de sa chute. II.B.1) Pour les calculs d'ordre de grandeur de cette question, on utilisera 0 comme valeur caractéristique de la masse volumique de l'air. a) Justifier, en calculant le nombre de Reynolds associé à l'écoulement de l'air autour du bolide, le choix d'une loi quadratique en vitesse pour l'expression de la force de traînée. Donnée : viscosité dynamique de l'air a = 1,8 × 10-5 Pa · s. 3 avril 2012 11:07 Page 2/8 b) Montrer qu'en terme d'ordres de grandeur, le poids du bolide est négligeable devant la force de traînée. II.B.2) Dans ces conditions, il est possible de modéliser la trajectoire du bolide dans l'atmosphère par une droite inclinée d'un angle par rapport à la verticale þez . On choisit les axes du repère de telle manière que la trajectoire se situe dans le plan y = 0 (figure 2) : z trajectoire O x Figure 2 Trajectoire du bolide dans l'atmosphère terrestre a) Exprimer l'accélération du bolide, a = dv/dt, en fonction de C, b , rb , (z) (masse volumique de l'air à l'altitude z) et v(t) (vitesse instantanée du bolide). b) Exprimer dv/dz en fonction de l'accélération a = dv/dt et de la composante verticale de la vitesse du bolide vz = dz/dt. En remarquant que vz = -v cos , exprimer dv/dz en fonction de C, b , rb , (z), v et . c) En utilisant la condition limz+ v(z) = vi (vitesse d'entrée dans l'atmosphère), déterminer la loi de variation de la vitesse du bolide en fonction de l'altitude z : v = f (z). II.B.3) Applications numériques On pose = 45 . a) Calculer la vitesse du bolide lorsqu'il atteint le sol (z = 0). L'atmosphère freine-t-elle efficacement ce bolide ? b) Calculer l'énergie dissipée par le bolide dans l'atmosphère. La comparer avec l'énergie cinétique du bolide à l'entrée de l'atmosphère. II.C ­ Cratère d'impact transitoire Entre le moment où le bolide touche le sol et celui où il est stoppé, il ne s'écoule que quelques fractions de seconde pendant lesquelles son énergie cinétique est convertie en énergie interne. Cette énergie interne vaporise le bolide et des matériaux de la croûte terrestre, amenant l'ensemble à une température de l'ordre de 10 × 104 K sous une pression de plusieurs mégabars. Cette pression est très supérieure à ce que peuvent supporter les matériaux de la croûte terrestre. Puisque rien ne peut contenir la vapeur produite, il se produit une énorme explosion. Cette explosion provoque une intense onde de choc qui se propage à partir de la zone d'impact en pulvérisant les strates rocheuses et en éjectant les matériaux en partie sous la forme d'un magma ultra-chaud. L'intensité de l'onde de choc s'atténuant au cours de sa propagation, elle finit par se transformer en une « simple onde sismique ». La phase d'excavation s'achève par la formation d'un cratère transitoire qui évolue par la suite vers le cratère définitif. L'objectif de cette partie est d'estimer le diamètre D du cratère provisoire modélisé par une hémisphère (demi-sphère de la figure 3(b)). Pour cela, on considère que l'énergie cinétique du bolide sert, en première approximation, à fracturer les matériaux et à les éjecter en dehors du cratère. D D G0 G0 croûte terrestre croûte terrestre (a) demi-sphère pleine de diamètre D (b) cratère provisoire Figure 3 II.C.1) Calculer numériquement l'énergie cinétique massique du bolide. La comparer avec l'enthalpie massique de vaporisation des matériaux rocheux hv 8 MJ · kg-1 . II.C.2) a) L'énergie servant à fracturer les matériaux de la croûte, notée Ecoh (énergie de cohésion), peut être estimée en multipliant le volume de la demi-sphère pleine de diamètre D de la figure 3(a) par une grandeur Y caractéristique de la résistance des matériaux constitutifs. Quelle est l'unité de Y ? 3 avril 2012 11:07 Page 3/8 b) Le barycentre G0 de la demi-sphère pleine (figure 3(a)) se trouve à la profondeur = 3D 16 . On estime que l'énergie Eg nécessaire pour éjecter les matériaux est égale au travail du poids pour amener ce barycentre au niveau du sol. Exprimer Eg en fonction de la masse volumique de la croûte terrestre c , du diamètre D et du champ de pesanteur g. c) Établir l'équation permettant de déterminer le diamètre D. d) Données pour la croûte terrestre : Y = 3,0 × 107 SI et c = 2,7 × 103 kg · m-3 . Résoudre de manière numérique ou graphique l'équation précédente. On pourra limiter la recherche de D à l'intervalle [2 km, 8 km]. Comparer le diamètre du cratère provisoire avec celui du bolide. III Thermodynamique de la traversée de l'atmosphère Cette partie aborde les aspects thermodynamiques de la traversée de l'atmosphère par le bolide modélisé par une sphère pleine de rayon rb = 80 m et de masse volumique b = 2,5 × 103 kg · m-3 . Les conséquences de la dissipation énergétique dans l'atmosphère sont importantes : - une onde de choc se développe à l'avant du bolide avec échauffement adiabatique intense de l'air qui traverse cette onde de choc ; - la surface du bolide est chauffée par radiation du gaz chaud qui l'entoure, produisant une fusion et une vaporisation du matériau à sa surface ; - la matière perdue par le bolide finit par transférer son énergie à l'atmosphère sous forme d'énergie interne. III.A ­ Puissance dissipée Calculer la puissance dissipée par la force de traînée Ft = 12 Crb2 v 2 au voisinage du sol. Comparer cette puissance à celle produite par une centrale nucléaire électrique moyenne qui est de l'ordre de 1 GW. Données : coefficient de traînée C = 2, masse volumique de l'air = 1,2 kg · m-3 et vitesse du bolide v = 20 km · s-1 . III.B ­ Vitesse du son dans l'air L'air est considéré comme un gaz parfait, non visqueux, dont le rapport des capacités thermiques = Cp /Cv est constant. À l'équilibre, sa masse volumique, sa pression et sa température sont notées respectivement e , Pe et Te (grandeurs uniformes). La propagation d'une onde acoustique représente une perturbation de cet équilibre. On note þu(M, t) le champ des vitesses associé à l'onde acoustique et on pose pour les champs de pression et de masse volumique ; p(M, t) = Pe + pa (M, t) avec |pa (M, t)| Pe (M, t) = e + a (M, t) avec |a (M, t)| e La propagation de l'onde sonore s'accompagne 1 2 d'une évolution isentropique de l'air, caractérisée par le coefficient 1 de compressibilité isentropique S = p . On se place dans le cadre de l'approximation acoustique et on S néglige l'effet de la pesanteur sur la propagation de l'onde. III.B.1) Que signifie l'approximation acoustique ? Établir, à partir de l'équation locale de la conservation de la masse et de l'équation d'Euler, deux équations différentielles reliant les grandeurs e , a (M, t), pa (M, t) et þu(M, t). III.B.2) Pour quelles raisons peut-on considérer que l'évolution de l'air est isentropique ? Exprimer S en fonction de e , a et pa . Par ailleurs, montrer que l'on a également S P1 e . III.B.3) a) Établir et nommer l'équation de propagation vérifiée par la pression acoustique pa (M, t). Montrer que la vitesse du son, notée ca , peut se mettre sous la forme ó Pe ca = e b) Exprimer également la vitesse du son en fonction de , R (constante des gaz parfaits), Mair (masse molaire de l'air) et Te . Faire l'application numérique. Données : Te = 290 K et = 7/5. III.C ­ Lois de conservation de l'écoulement à travers l'onde de choc On suppose à présent que le bolide traverse l'atmosphère à la vitesse constante v = 20 km · s-1 et on se place dans un référentiel qui lui est lié. Dans ce référentiel, suffisamment loin du bolide, dans une région notée (1), l'écoulement de l'air est non perturbé et il est caractérisé par une vitesse très élevée v1 = v, une pression P1 , une masse volumique 1 , une température T1 , une énergie interne massique u1 et une enthalpie massique h1 . Toutes ces grandeurs sont uniformes. III.C.1) Calculer numériquement le nombre de Mach dans la région (1) : M1 = v1 /c1 où c1 est la vitesse du son dans cette région. Données : T1 = 290 K et = 7/5. Comme M1 > 5 , l'écoulement est qualifié d'hypersonique. 3 avril 2012 11:07 Page 4/8 À l'avant du bolide, mais proche de sa surface, la pression, la masse volumique et la température augmentent énormément à cause de l'accumulation de matière. Du fait de la conservation du débit massique, la vitesse de l'écoulement diminue en s'approchant de la surface du bolide et l'écoulement finit par devenir subsonique. Il existe donc une zone de transition étroite, appelée onde de choc, où le gaz subit, de manière adiabatique, d'importantes modifications de sa pression, de sa masse volumique et de sa vitesse. La région en amont de cette zone de transition correspond à l'écoulement hypersonique (1) et la région en aval, appelée région du gaz choqué, correspond à un écoulement subsonique. Afin de simplifier l'étude de cette onde de choc, on modélise la zone de transition par un plan perpendiculaire aux écoulements, séparant l'espace en deux régions bien distinctes (figure 4) : - la région non perturbée (1) décrite précédemment (écoulement hypersonique) ; - la région du gaz choqué (2) caractérisée par une vitesse subsonique v2 , une pression P2 , une masse volumique 2 , une température T2 , une énergie interne massique u2 et une enthalpie massique h2 . Toutes ces grandeurs sont uniformes dans la région du gaz choqué. Insistons sur le fait que l'onde de choc est fixe dans le référentiel d'étude et que les écoulements sont stationnaires. L'objectif des questions qui suivent est d'établir des lois de conservation pour l'air qui traverse de manière adiabatique l'onde de choc. On pose 1 = 2 = = 7/5 pour le rapport des capacités thermiques des gaz, supposés parfaits, dans les régions (1) et (2). On néglige les effets de la pesanteur sur l'écoulement. région (1) région (2) v1 v2 P1 T1 1 u1 h1 P2 T2 2 u2 h2 S cylindre imaginaire onde de choc Figure 4 Modélisation de l'onde de choc III.C.2) On considère la surface de contrôle constituée d'un cylindre de révolution imaginaire, de section droite d'aire S, centré en un point du plan de l'onde de choc et dont les génératrices sont perpendiculaires à ce plan (figure 4). On envisage le système ouvert et fixe constitué à chaque instant du gaz à l'intérieur du cylindre précédent. En effectuant un bilan de masse sur un système fermé que l'on définira précisément, établir une relation, notée (R1 ), entre 1 , 2 , v1 et v2 . III.C.3) En effectuant un bilan de quantité de mouvement, établir une relation, notée (R2 ), entre P1 , P2 , 1 , 2 , v1 et v2 . III.C.4) a) En effectuant un bilan d'énergie, établir une relation, notée (R3 ), entre v1 , v2 , h1 et h2 . b) L'air se comportant comme un gaz parfait, exprimer la différence des enthalpies massiques h2 - h1 en fonction de la masse molaire Mair , R, de la différence des températures T2 - T1 et de = 1 = 2 . Exprimer enfin h2 - h1 en fonction de P1 , P2 , 1 , 2 et (relation (R4 )). c) À partir des relations (R3 ) et (R4 ), établir une nouvelle relation, notée (R5 ), entre les variables P1 , P2 , 1 , 2 , v1 , v2 et . III.D ­ Caractérisation thermodynamique du gaz choqué Comme M21 1, les lois de conservation (R1 ), (R2 ) et (R5 ) permettent d'obtenir les relations simplifiées suivantes (résultats admis) : -1 v2 = v1 +1 ; 2 +1 = 1 -1 et P2 = 21 v12 +1 Nous allons à présent exploiter ces relations pour déterminer les caractéristiques thermodynamiques du gaz choqué dans la région (2). III.D.1) Exprimer le nombre de Mach M2 dans la région du gaz choqué en fonction de . Faire l'application numérique et commenter votre résultat. III.D.2) Exprimer la température T2 du gaz choqué en fonction de Mair , R, et v1 . Faire l'application numérique. III.D.3) À une telle température, les molécules du gaz choqué sont en fait dissociées en atomes ionisés qui forment un plasma. Le modèle précédent est donc incomplet et un traitement rigoureux sort du cadre de ce problème. Peut-on réellement poser 1 = 2 = 7/5 ? La température réelle du gaz choqué doit-elle être inférieure ou supérieure à celle calculée à la question précédente ? 3 avril 2012 11:07 Page 5/8 III.E ­ Masse perdue et échauffement du bolide Le gaz choqué est la source principale de l'émission de lumière lors de la traversée de l'atmosphère par le bolide. Ce gaz très chaud, d'une température de l'ordre de T2 20 × 103 K (résultat obtenu avec un modèle plus réaliste et complet que celui étudié précédemment) « enveloppe uniformément » le bolide et émet un rayonnement thermique. Une partie de ce rayonnement est ainsi reçue par le bolide. La puissance thermique totale reçue par le bolide s'écrit alors (résultat admis) Pr = 4rb2 ca T2 4 où ca est appelé coefficient d'absorption (0 < ca 6 1) et = 5,67 × 10-8 W · m-2 · K-4 est une constante universelle. L'énergie reçue échauffe la surface du bolide, une partie du matériau constitutif entre en fusion puis se vaporise. L'enthalpie massique de vaporisation du matériau rocheux est prise égale à hv = 8,0 MJ · kg-1 . III.E.1) La température de surface du bolide peut-elle dépasser sa température de vaporisation ? Déterminer l'expression de la quantité de masse du bolide vaporisée par unité de temps. III.E.2) Le bolide décrit une trajectoire rectiligne inclinée d'un angle par rapport à la verticale (figure 2) à la vitesse constante v. Exprimer le temps nécessaire ta pour qu'il traverse l'atmosphère de hauteur effective Ha . En déduire une estimation de la masse maximale du bolide, notée mmax , perdue par vaporisation. Le résultat sera exprimé en fonction de , T2 , ta , rb et hv . III.E.3) Applications numériques Calculer ta et mmax . Était-il légitime de considérer que le bolide conserve sa masse lors de la traversée de l'atmosphère comme cela a été supposé dans la Partie II ? Données : Ha = 8,5 km, = 45 et v = 20 km · s-1 . III.E.4) Estimer, par analyse dimensionnelle, jusqu'à quelle profondeur b diffuse l'énergie thermique reçue par le bolide. Faire l'application numérique et commenter. Données concernant le bolide : capacité thermique massique cb = 800 J · K-1 · kg-1 , conductivité thermique b = 5,0 W · m-1 · K-1 . IV Tsunami causé par l'impact du bolide dans un océan La chute d'un bolide de taille supérieure à 200 m dans un océan peut générer un tsunami dévastateur. Au moment de l'impact avec le fond marin, il se produit une gigantesque explosion. Le bolide et l'eau se vaporisent, laissant un énorme cratère d'un diamètre 20 fois plus grand que la taille du bolide (ordre de grandeur). La mer s'engouffre à l'intérieur de ce cratère, créant au milieu une « montagne d'eau ». Le centre du « cratère d'eau » oscille de haut en bas plusieurs fois, produisant ainsi une série d'ondes divergentes à la surface de la mer (tsunami). On s'intéresse dans cette partie à la propagation de ces ondes également appelées ondes de gravité. La courbure locale de la Terre est négligée. On note (O, þex , þey , þez ) le référentiel d'étude supposé galiléen. Le champ de pesanteur, dirigé suivant la verticale descendante, est uniforme : þg = -gþez avec g = 9,8 m · s-2 . On modélise l'océan étudié par un bassin illimité. Le plan z = 0 définit le fond océanique et la surface libre au repos est confondue avec le plan z = H = 3,8 km. La pression atmosphérique au-dessus de la surface est uniforme, elle est notée P0 . L'eau de mer est modélisée par un fluide non visqueux, incompressible de masse volumique µ. La propagation des ondes de gravité s'accompagne d'une modification de la surface libre dont la cote devient (figure 5) h(x, y, t) = H + (x, y, t) avec |(x, y, t)| H On note P (M, t) le champ de pression instantané en un point M (x, y, z) de l'océan. On néglige les forces de tension superficielle à la surface libre, la pression est donc une fonction continue des variables d'espace. On se place dans le cadre de l'hypothèse de « bassin peu profond » : la longueur caractéristique de variation du champ eulérien (x, y, t) est grande devant la profondeur moyenne H de l'océan. L'écoulement est supposé irrotationnel. Dans ces conditions, le champ des vitesses de l'onde de gravité est de la forme þv (M, t) = vx (x, y, t)þex + vy (x, y, t)þey La composante verticale du champ des vitesses est donc nulle et les composantes horizontales ne dépendent pas de la cote z du point M . IV.A ­ Équations de couplage IV.A.1) Les ondes de gravité sont-elles des ondes acoustiques ? IV.A.2) a) Écrire, sans approximation, l'équation d'Euler. En déduire l'expression du champ de pression P (M, t) en fonction de P0 , µ, H, g, (x, y, t) et z. b) On note Pe (M ) le champ de pression dans le fluide en l'absence d'onde de gravité (fluide à l'équilibre) et p(x, t) le champ de « surpression » associé à l'existence de l'onde de gravité. Ces deux champs sont donc reliés au champ de pression par la relation p(M, t) = P (M, t) - Pe (M ). Exprimer la surpression p(M, t) en fonction de la surélévation algébrique (x, y, t) de la surface libre. 3 avril 2012 11:07 Page 6/8 z H H + (x, y, t) y g y x x O Figure 5 Onde de gravité IV.A.3) En effectuant le bilan d'une grandeur sur un parallélépipède de section droite rectangulaire élémentaire d'aire dx dy, s'étendant du fond océanique jusqu'à la surface libre, on obtient l'équation de couplage suivante (résultat admis) + div ((H + )þv ) = 0 t De quelle grandeur s'agit-il ? IV.B ­ Équations de propagation Les champs eulériens þv (M, t) et (M, t) sont à présent considérés comme des infiniment petits du même ordre. Formulaire : - 1- 2 -- rot rot(þv ) = grad (div(þv )) - þv IV.B.1) Linéariser les équations de couplage liant les champs þv (M, t) et (M, t). IV.B.2) En déduire les équations de propagation vérifiées par ces champs. Donner l'expression de leur vitesse de propagation c. Pour quelle raison appelle-t-on ces ondes, des ondes de gravité ? Calculer la valeur numérique de c. IV.C ­ Solution onde cylindrique þ = rþer () + zþez . On cherche une solution des On utilise à présent les coordonnées cylindriques d'axe Oz : OM équations de propagation présentant la symétrie cylindrique (onde cylindrique) : (M, t) = (r, t) et þv (M, t) = v(r, t)þer On rappelle les expressions du laplacien et du gradient, en coordonnées cylindriques, pour une fonction f (r, t) : 3 4 -- 1 f f þer f = r ; gradf = r r r r IV.C.1) On pose (r, t) = u(r,t) . r Déterminer l'équation aux dérivées partielles vérifiée par la fonction u(r, t). IV.C.2) On note L la longueur caractéristique de variation de (r, t). Montrer que l'on peut négliger l'un des termes de l'équation différentielle précédente à condition de se placer à une distance suffisamment grande de l'axe Oz. On précisera ce que signifie « distance suffisamment grande ». Cette condition sera réalisée dans toute la suite. IV.C.3) En déduire que la solution du type onde cylindrique peut se mettre sous la forme générale : (M, t) = u+ (r - ct) u- (r + ct) + r r Commenter les deux termes de cette expression. IV.C.4) On considère à présent une onde cylindrique monochromatique de pulsation : (M, t) = 0 (r) cos(t - kr) avec 3 avril 2012 11:07 Page 7/8 U0 0 (r) = r a) Quelle relation lie la pulsation au nombre d'onde k ? Donner son nom. Déterminer les vitesses de phase et de groupe. Commenter. b) Donner les expressions des champs de surpression p(M, t) et des vitesses þv (M, t) pour l'onde cylindrique monochromatique. Indication : lors de la détermination du champ des vitesses þv (M, t), on obtiendra deux termes dont on montrera que l'un est négligeable devant l'autre dans le cadre de la condition obtenue à la question IV.C.2. On ne conservera que le terme prépondérant dans toute la suite. IV.C.5) Analyse énergétique de l'onde cylindrique monochromatique a) Exprimer la force de pression élémentaire due à la surpression p(M, t) s'exerçant sur un élément de surface orienté dSþer avec dS = rddz. En déduire la puissance mécanique instantanée traversant cet élément de surface. þ On écrira le résultat sous la forme du flux élémentaire d'un champ (M, t) dont on précisera l'expression et l'unité. b) Exprimer la puissance moyenne totale, notée éPê, sortant d'un cylindre de rayon r, d'axe Oz, s'étendant du fond océanique jusqu'à la surface libre. La puissance moyenne éPê dépend-elle de la distance r à l'axe Oz ? Commenter. c) Exprimer l'amplitude du tsunami 0 (r) en fonction de r, éPê, g, µ et H (loi de Green). d) On suppose que l'expression précédente de l'amplitude 0 (r) demeure valable dans le cas où la profondeur H varie lentement. Que se passe-t-il à l'approche des côtes continentales ? Données Masse de la Terre MT = 6,0 × 1024 kg Masse du Soleil MS = 2,0 × 1030 kg Constante gravitationnelle G = 6,67 × 10-11 N · m2 · kg-2 Constante des gaz parfaits R = 8,31 J · K-1 · mol-1 Masse molaire moyenne de l'air Mair = 29 g · mol-1 · · · FIN · · · 3 avril 2012 11:07 Page 8/8

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 Centrale Physique PSI 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Sandrine Ngo (ENS Cachan) ; il a été relu par Pierre Jeannin (École Polytechnique) et Julien Dumont (Professeur en CPGE). Ce sujet traite de la chute d'une météorite sur notre planète. Il est divisé en quatre parties indépendantes qui abordent divers aspects de ce phénomène ainsi que les conséquences dévastatrices du choc. · La première partie s'intéresse au moment où le bolide et la Terre se croisent dans l'espace. Elle fait appel à des notions de mécanique pour établir les conditions de la collision puis pour calculer la vitesse et l'énergie cinétique de la météorite lors du choc. · La deuxième partie est consacrée à la traversée de l'atmosphère et à l'impact au sol. En considérant la force de traînée subie par le bolide, on se demande si le freinage par l'atmosphère est efficace. Ensuite, par des considérations énergétiques, on évalue la taille du cratère. · La météorite se déplace à une vitesse supersonique. La troisième partie se concentre sur l'onde de choc qui est produite lors de sa traversée de l'atmosphère. L'établissement de lois de conservation permet de caractériser l'air au voisinage du bolide. La surface de l'objet subit également un échauffement intense et l'on quantifie la perte de matière par vaporisation. · Si la météorite tombe dans l'océan, elle peut créer un tsunami, qui est une onde de gravité se propageant à la surface de l'eau. La quatrième partie se propose d'établir l'équation d'onde vérifiée par cette perturbation, puis de la résoudre. Elle est un peu plus calculatoire que le reste du sujet. Ce long problème constitue une bonne base pour les révisions car il couvre une large partie du programme : mécanique, thermodynamique, lois de conservation, ondes. De plus, la majorité des questions sont très classiques et proches du cours. Il faut prendre le réflexe de parcourir l'intégralité du sujet pour les repérer car ce sont des points facilement acquis. Une place importante est également accordée aux applications numériques, aux calculs d'ordre de grandeur et à leur discussion physique, qui est souvent négligé par les candidats alors que ces questions rapportent souvent de nombreux points. Indications Partie I I.B.2 La trajectoire du bolide dépend du signe de son énergie mécanique. I.B.3.a Pour montrer la conservation du moment cinétique, utiliser le fait que le bolide est soumis à une force centrale. Afin d'établir la relation entre v r , b, dmin et v A , exprimer le moment cinétique du bolide au point O lorsqu'il est en M0 , puis lorsqu'il est en A. Invoquer ensuite sa conservation. I.B.3.a Utiliser la conservation de l'énergie mécanique en écrivant son expression lorsque le bolide est très éloigné de la Terre (r ) puis lorsqu'il est en A. La distance dmin vérifie alors une équation du second degré. I.B.3.c L'impact survient si la distance minimale est inférieure au rayon de la Terre. I.B.4.c Utiliser à nouveau la conservation de l'énergie mécanique entre l'instant initial et celui de l'impact. Partie II II.A.2 Utiliser la relation fondamentale de l'hydrostatique. II.B.2.c La vitesse v vérifie une équation différentielle du premier ordre sans second membre à coefficients non constants de la forme v/z + (z) v = 0. La solution est du type v(z) = k exp(-A(z)), où A est une primitive de la fonction et k une constante. II.B.3.b L'énergie dissipée par le bolide est l'opposée de la variation d'énergie mécanique entre les instants où il pénètre l'atmosphère et où il atteint le sol. II.C.2.c Faire l'hypothèse que l'énergie cinétique du bolide au moment de l'impact est entièrement utilisée pour fracturer les matériaux de la croûte avec un coût énergétique Ecoh , et pour les éjecter, avec un coup énergétique Eg . Partie III III.B.2 Une transformation adiabatique réversible est isentropique. III.C.2 Il faut définir un système fermé qui se déplace entre t et t + dt. III.C.4.a Appliquer le premier principe de la thermodynamique au système fermé entre les instants t et t + dt : dU + dEc = W, avec U l'énergie interne, Ec l'énergie cinétique et W le travail des forces de pression. Pour calculer W, considérer séparément les régions de part et d'autre de l'onde de choc. Faire ensuite apparaître l'enthalpie définie par H = U + P V. III.E.4 Déterminer l'unité de b /cb , en déduire d'autres grandeurs caractéristiques du problème qu'on pourrait introduire pour faire apparaître une longueur. Partie IV IV.A.2 Projeter l'équation d'Euler suivant - ez pour obtenir une équation simple sur la pression P. La résoudre en utilisant comme condition aux limites la valeur de P à la surface z = h. IV.C.2 La longueur L est également une longueur caractéristique de variation de u. IV.C.5.b La puissance totale s'obtient en intégrant la puissance élémentaire sur la surface de révolution du cylindre de rayon r et de hauteur H. La moyenne peut se calculer sur une période d'oscillation de l'onde de gravité. I. Collision entre un bolide et la Terre I.A Vitesse orbitale de la Terre I.A.1 Un référentiel est galiléen si le mouvement de tout point matériel isolé y est rectiligne et uniforme (d'après le principe d'inertie, ou première loi de Newton). Il s'agit d'une définition difficile à vérifier concrètement. En effet, tous les référentiels auxquels nous sommes confrontés au quotidien ne sont pas rigoureusement galiléens. Ainsi la Terre tourne sur elle-même et autour du Soleil, et le système solaire lui-même tourne autour du centre de notre galaxie, donc les référentiels terrestre, géocentrique ou de Kepler ne sont pas galiléens dans l'absolu. Cependant, on peut tout de même les qualifier de galiléens avec une bonne approximation en fonction de la durée du phénomène observé : si le principe d'inertie est vérifié dans un référentiel donné durant l'observation, alors il peut être assimilé à un référentiel galiléen. I.A.2 L'hypothèse de symétrie sphérique permet d'assimiler la Terre et le Soleil à des masses ponctuelles. Leurs champs gravitationnels ont donc les mêmes expressions que ceux créés par des points portant chacun la masse totale de l'astre, situés en leur centre. Si la masse de la Terre est négligeable devant celle du Soleil, on peut le supposer immobile dans le référentiel de Kepler, confondu avec le référentiel barycentrique. Démontrons qu'un objet à symétrie sphérique est assimilable à une masse - ponctuelle. Calculons le champ gravitationnel G (M) généré par un tel objet en un point M situé au-delà de son rayon. On note O le centre de l'objet, m - sa masse et r la distance OM. Appliquons le théorème de Gauss au champ G . - - Par analogie avec l'électromagnétisme, on substitue G à E , -G à 1/4 0 et la masse volumique à la densité volumique de charge, ce qui donne ZZ ZZZ - - G · d S = -4 G d Le membre de gauche est le flux du champ gravitationnel à travers une surface fermée S et celui de droite est proportionnel à la masse contenue à l'intérieur du volume délimité par S. Par commodité, on choisit comme surface S la sphère centrée en O et de rayon r. En invoquant la symétrie sphérique du - système, on peut montrer que le champ G est radial et qu'il ne dépend que de la distance r. L'intégrale surfacique se calcule alors selon ZZ - - G · d S = G(r) × S = G(r) × 4 r2 Par ailleurs, comme le rayon de S est supérieur au rayon de l'objet, la masse délimitée par cette surface est en fait la masse totale de l'objet, donc ZZZ -4 G d = -4 G m On a alors soit et finalement G(r) × 4 r2 = -4 G m Gm G(r) = - 2 r - Gm - G (r) = - 2 er r Il s'agit également de l'expression du champ gravitationnel créé par une masse ponctuelle m qui serait située en O. Il faut noter que sans l'argument de symétrie sphérique, l'intégrale surfacique serait beaucoup plus difficile à calculer. I.A.3 On se place en coordonnées polaires dans la base associée au référentiel de Kepler (0, - er , - e ). - - On note SO = R0 er , la position de la Terre dans ce référentiel. La vitesse se déduit en dérivant ce vecteur par rapport au temps - dSO d - d- er - v = = R e = R T 0 r 0 dt dt dt - v = R - e T 0 y - vT R0 - e O - er S x En dérivant à nouveau, on obtient l'accélération d- e d - - a = R0 + R0 e dt dt = -R 2 - e + R - e 0 r 0 Or la Terre est soumise uniquement à l'attraction gravitationnelle du Soleil, donc en se plaçant dans le référentiel de Kepler considéré comme galiléen et en appliquant le principe fondamental de la dynamique à la planète de masse constante MT , on a G MT MS - er MT - a =- R0 2 G MS - -R0 2 - er + R0 - e = - er R0 2 soit Il vient après projection 2 = G MS R0 3 et = 0 (A) q On en déduit que = Cte = G MS /R0 3 , c'est-à-dire que le mouvement circulaire de la Terre est uniforme et r G MS vT = = 30 km.s-1 R0 Des bolides approchant de la Terre doivent avoir une vitesse voisine de celle-ci. L'indication numérique fournie dans la partie I.B sur la vitesse des astéroïdes (de l'ordre de 30 km.s-1 ) permet de confirmer au moins l'ordre de grandeur du résultat précédent. On peut déduire que la vitesse est uniforme en utilisant indépendamment l'une ou l'autre des équations du système (A), mais seule la première permet de calculer son expression.