Centrale Physique PSI 2011

Thème de l'épreuve Activités physiques
Principaux outils utilisés bilans en mécanique des fluides, mécanique du point, induction, diffusion thermique
Mots clefs conducto-convection, effet Joule, loi de Bernoulli, galet, ricochet, skimboard, skeleton, oscillateur

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Ü» Physique (1) __c°/' PC, PSI EDNE[IHHS EENTHHLE'SHFËLEE 4 heures Calculatrices autorisées 2011 Activités physiques Ce problème est composé de trois parties indépendantes ayant pour thème commun la physique . . . d'une activité physique. I Physique du skimboard Le skimboard est un sport qui se pratique au bord de la plage. Cette partie s'intéresse à une pratique nommée « fiat >>. À marée basse, l'eau qui se retire lentement laisse des étendues où seule subsiste une mince couche d'eau. Le sportif lance une planche devant lui, court et monte dessus : il peut ainsi glisser sur plusieurs mètres. La planche est légèrement inclinée : l'avant pointant vers le haut. Messieurs Tuck et Dixon de l'Université d'Adélaïde (Australie) ont proposé le modèle suivant pour rendre compte du mouvement de la planche. Le référentiel lié a la plage est supposé galiléen. L'eau est assimilée à un fluide parfait incompressible de masse volumique p. Elle est surmontée par de l'air a la pression pg ou par la planche. L'écoulement de l'eau est supposé plan. L'influence de la gravité est négligée dans l'étude de l'écoulement. La planche, supposée rectangulaire de largeur L, se déplace à la vitesse --Y : --VOEÏOE constante par rapport au référentiel lié a la plage et fait un angle & avec l'horizontale (dit angle d'attaque) supposé petit dans tout le problème. Loin de la planche, l'eau est supposée au repos dans le référentiel lié a la plage. La figure 1 représente quelques paramètres du problème dans le référentiel R lié a la planche. Le mouvement de la planche provoque un jet d'eau d'épaisseur 6 qui se détache de l'avant de la planche. Figure 1 Modélisation de l'écoulement dans le référentiel lié a la planche Au--dessus de la ligne de courant en pointillé, l'eau constitue le jet. En--dessous, l'eau s'écoule vers l'arrière de la planche. Loin a l'avant de la planche, la hauteur d'eau est hT + 5 tandis qu'elle vaut hT derrière. La surface de la planche qui n'est pas en contact avec le jet est dite « surface mouillée >>. Elle est de longueur EUR.... La hauteur d'eau h A désigne la hauteur du point de stagnation (défini comme l'intersection de la planche et de la ligne de courant en pointillé). On notera Ï'(E)|R la quantité de mouvement d'un système 2 par rapport au référentiel R et on définit POE(E) : P(E)|R - üoe. Sauf indication contraire, l'étude sera menée dans le référentiel R lié a la planche où l'écoulement est stationnaire. I.A -- Calcul de la résultante des forces pressantes s'eoeerçant sur la planche Dans cette sous--partie on travaillera dans la région située sous la surface mouillée (x E [OEA; xT]). On suppose que la hauteur d'eau h, la pression dans l'eau p et le champ des vitesses dans l'eau 77 ne dépendent que de l'abscisse a: du point de l'écoulement considéré. Le champ des vitesses est a priori bidimensionnel mais en de nombreux points de l'écoulement la composante verticale de la vitesse est négligeable devant la composante horizontale ainsi 17 N v(æ)ü}. On note Ü(OEA) = vaû'æ où mA est l'abscisse du point de stagnation. I.A.1) Résultats préliminaires a ) En faisant un bilan de masse sur un système que vous expliciterez, montrer la relation hTV = h(oe)v(oe). b ) Rappeler l'équation locale de conservation de la masse. À quelle relation entre V et v(æ) mène-t-elle'? Cette relation est en contradiction avec la relation précédente : lever le paradoxe. c) Dans le cadre de ce modèle, l'écoulement est-il rotationnel? On justifiera. d) Rappeler l'énoncé du théorème de Bernoulli approprié à ce modèle et le démontrer. I.A.2) Calcul direct a) Soit æ désignant l'abscisse d'un point situé sur la surface mouillée de la planche, montrer que : 2 p(OE) --P0 = %pV2 [1 -- hÿ(Tm)] b ) Établir une expression de h(oe) en fonction de &, hT, m et oeT. 0) On suppose que la pression de l'eau au contact de la surface non mouillée de la planche est po. La résultante totale des forces de pression Ë que les fluides exercent sur la planche possède deux composantes : F = Fæü'OE--l--F z1îz. On cherche leurs expressions approchées dans le cadre des faibles valeurs de l'angle &. Montrer que _p_v2 F2 2 LÆ...(1 _ A) où l'on donnera l'expression de À en fonction de hr; et h A. Établir l'expression de Fm. d) Soit T un point situé a l'arrière de la planche. Justifier précisément que le moment des forces de pression M par rapport à l'axe (T; %) est / l1--ÆJ , où l'on exprimera K en fonction de données de l'énoncé. On ne demande pas de calculer cette intégrale. e ) Un calcul, que l'on ne demande pas de mener, permet d'établir que M = %pV2LË... f (À) où f est une fonction de À. Exprimer, en fonction de &... f et À, la distance @, de l'axe (T; %) a laquelle doit se placer le sportif pour qu'il puisse être à l'équilibre dans R (on supposera que la planche possède une masse négligeable devant celle du sportif). On admettra que @, < EUR.... I.A.3) Calcul par un bilan de quantité de mouvement On se propose, par un bilan de quantité de mouvement, de retrouver la résultante des forces de pression s'exerçant sur la planche. a) En choisissant comme système fermé 2, l'eau contenue dans le volume situé sous la planche entre les abscisses 56,4 et oeT (zone hachurée sur la figure 2) et celle qui va pénétrer dans ce volume entre les dates t et t + dt, trouver une relation liant dPOE(E)/dt|R, p, L, hT, À et V. Figure 2 b ) On note p A la pression en x : æA : p A = p(a:A). Montrer que la composante selon l'axe a: de la résultante des forces s'exerçant sur 2 peut s'écrire (p A -- pg)h,4L -- Fm. c) Retrouver les expressions de Fx et FZ établies à la question I.A.2c. I.B -- Mouvement de la planche dans le référentiel terrestre I.B.1) L'expression de la résultante des forces de pression sur la planche établie dans les questions précédentes en régime stationnaire persiste (approximativement) en régime non stationnaire. On note m la masse du sportif et de la planche. En se plaçant dans le référentiel lié a la plage, montrer que V est solution de l'équation : dV/ dt : --goz. I.B.2) On suppose hT connu. a) Établir l'expression de la fonction EUR...(V, a). On fera intervenir les paramètres suivants : m, 9, p, L et hp. b) Si l'angle & est constant, expliquer en une phrase pourquoi il est nécessaire que la vitesse V dépasse une valeur minimale. c) Un professeur de physique a filmé son fils en train de faire du skimboard au bord de la plage. La largeur de la planche est L = 70 cm, sa longueur L' = 1,40 m. Il mesure que le skimboard a été lancé avec une vitesse initiale V(t = 0) = 2,7 m -- s'1 et faisait un angle constant pratiquement égal à oz = 2,0°. On a tracé figure 3 la courbe Æ...(V,a = 2,0°) avec les paramètres du problème (m = 35 kg, g = 10 m -- s_2, hT = 2,0 cm, p = 1,0 >< 103 kg - m'3). EUR... est exprimé en mètre et V en mètre par seconde. Estimer la distance parcourue par l'enfant. EUR... (m) > | | | | | | | 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 V (m -- s"') Figure 3 É...(V) (oz = 2,0°) I.B.3) Le modèle néglige une ou plusieurs forces. Laquelle ou lesquelles ? I.C -- Nécessité du jet d'eau On se propose dans cette partie de montrer la nécessité de l'existence du jet d'eau pour assurer la consistance du modèle. I.C.1) En choisissant, comme système fermé Ë, l'eau contenue dans le volume hachuré figure 4 et celle qui va pénétrer dans ce volume entre les dates t et t + dt, trouver une relation liant dPOE(E)/dt|R, p, L, 5 et V. Z _. 5 --V 6... Po | \ __') .............. V _, h X //////// / / ' / ///////////// ///' £Zî'A OET Figure 4 I.C.2) En déduire une relation liant FZ, p, L, 5, oz et V. Conclure. I.C.3) Donner un ordre de grandeur de 5 en utilisant les données numériques de la question I.B pour une vitesse V = 2 m -- s"'. II Physique des ricochets Lorsqu'on lance judicieusement une pierre au--dessus d'un lac, elle peut rebondir à plusieurs reprises avant de finir sa course au fond du lac. Chaque rebond se nomme << ricochet ». On se propose d'étudier dans cette partie un modèle simple d'interaction entre un galet et l'eau pour expliquer les ricochets. 71 2 Figure 5 On définit un référentiel R (Oæyz) lié à l'eau, supposé galiléen, l'origine des 2 étant prise au niveau de la surface libre lorsqu'elle est non déformée par le galet. L'axe 02 est dirigé selon la verticale ascendante. Le galet est un carré de côté a, d'épaisseur négligeable, de masse m. Lorsqu'il frappe l'eau, on considère qu'il est basculé d'un angle 9 (supposé constant) autour d'un axe horizontal et que son centre d'inertie possède une vitesse 17 faisant l'angle & avec l'horizontale (voir figure 5). On considère que le galet déforme la surface libre de l'eau comme indiqué sur la figure; il reste ainsi au-dessus de la surface déformée pendant toute la phase du ricochet. Si le bord supérieur du galet devait descendre sous la surface libre alors l'eau entourerait celui-ci et le galet coulerait. L'enfoncement du galet sera repéré par la cote z (2 < 0) de son extrémité inférieure. On définit par ailleurs une base locale de projection composée du vecteur ñ' normal au galet et du vecteur t tangent comme indiqué sur la figure 5. Au cours de son mouvement en contact avec l'eau, on admettra que le galet subit la force _. 1 1 _. F = 5 npv25imñ+ äCtpv2Simt où Sim est la surface immergée du galet (c'est-à--dire la surface du galet en contact avec le liquide), 1) la vitesse de son centre d'inertie, p la masse volumique du liquide, C,, et Ct des coefficients supposés constants et positifs. II.A -- Étude de la phase de rebond En aucune façon on ne considère de rotation du galet qui subit donc un simple mouvement de translation. II.A.1) Donner l'expression de Sim en fonction de la variable 2 et des paramètres du problème. II.A.2) Écrire les équations du mouvement du galet, en projection sur les axes x et 2, sous l'effet de la force Ë' et de son poids. Pour simplifier la résolution de ces équations on considère que, dans l'expression de la force Ë , la norme v de la vitesse reste constante pendant cette phase et égale à sa vitesse initiale vo. On discutera de cette hypothèse à la question II.A.5. II.A.3) a ) Montrer que z vérifie une équation différentielle du type % +wâz = --9 où wo est un paramètre que l'on exprimera en fonction de p, v, a, m, 9 et C' = C,, 0059 -- Ct sinÛ supposé positif. b) Résoudre cette équation avec z(t = 0) = 0, à(t = 0) = sz (vz0 < 0). 0) Déterminer la profondeur maximale atteinte en fonction de g, wo et vzo. d ) Montrer que le galet ne coule pas si (on note @@ : a(t = O)) 2ag pC'a,3 _ sin2 ao 2... sin 9 UQ> Application numérique : déterminer la valeur minimale de vo pour que le galet ne coule pas si m = 20 g, a = 7,0 cm, g = 10 m - s_2, p = 1,0 >< 103 kg-m"3, 9 = 5,0°, cm = 2,0°, C, = C,, = 1. II.A.4) Le temps de rebond est le temps 7' qu'il faut pour que le galet repasse en z = 0. Écrire l'équation donnant T. Justifier rapidement que, vu les ordres de grandeur (on prendra vo = 50 m - 5--1), T = 7r/w0. Dans ces conditions que vaut la composante selon l'axe 2 de la vitesse vz au moment où le galet ressort de l'eau? II.A.5) On note C' = On sin9 + Ct cos @, Um la composante de 17 selon l'axe IE, U,... = væ(t = 0) et Avoe la variation de um entre les instants d'entrée et de sortie du galet de l'eau. a) Montrer que Avoe vm0 g7r UJO'Uo COS 050 CI = Ü [2 tan cm + et faire l'application numérique avec les données des questions II.A.3 et II.A.4. b) Quelles hypothèses doivent être vérifiées afin qu'il soit légitime de considérer que 11 = vo dans l'expression de la force ? II.B -- Aspect énergétique Fm et FZ désignent les composantes de la force 13 selon les axes 3: et z. II.B.1) a ) On note AEC la variation d'énergie cinétique du galet entre son entrée et sa sortie dans l'eau. Démontrer que : , AEc : / Fævoe dt 0 T T b) En supposant que fo FOEUOE dt : %... fo Fm dt, montrer que AEC : --,uvæo/ FZ dt 0 où l'on exprimera [.L en fonction des données du problème. c) Justifier alors qu'on puisse écrire, en faisant une approximation que l'on explicitera, AEC : --uvmomgwlo et montrer que AEC est en fait indépendant de vo. II.B.2) Calculer le nombre de ricochets que l'on peut obtenir dans le cadre de ce modèle avec les données numériques précédentes. À titre indicatif le record du monde 2007 détenu par Russell Byars est de 51 ricochets. III Physique du skeleton Le Skeleton est un sport d'hiver qui se pratique dans un couloir de glace en pente : le coureur s'allonge sur une planche qui glisse sur la glace en prenant appui sur des patins. descente arrivée ralentissement Figure 6 III.A -- Question préliminaire L'ensemble coureur + Skeleton est assimilé à un solide de masse m = 100 kg pouvant glisser sans frottement. Il franchit la ligne d'arrivée avec une vitesse vo et se ralentit simplement en montant une pente faisant un angle & avec l'horizontale. Déterminer la longueur a de piste nécessaire au ralentissement. Application numérique : on prendra U = 30 m - s_1 et g = 10 m - s_2 et on considérera une pente de 5%. L'infrastructure ne se prêtant pas a la réalisation d'une piste inclinée de décélération on envisage un autre type de freinage; c'est ce freinage et ses conséquences que l'on va étudier dans la suite du problème. III.B -- Freinage du skeleton On fixe sous la planche un cadre métallique conducteur ayant la forme d'un rectangle de côtés EUR >< L. patins E L cadre Figure 7 Skeleton vu de dessous La piste de décélération est horizontale; on considérera un référentiel (Oxyz) galiléen lié au sol : l'origine O est prise au point d'arrivée, l'axe 093 le long de la piste de décélération (qui correspond donc a a: > 0), l'axe Oy selon la verticale ascendante. Un dispositif adéquat crée un champ magnétique B = B0ê'y stationnaire et uniforme sur toute ou partie de la longueur de piste de décélération (et sur toute la largeur de la piste). III.B.1) Le champ magnétique est étendu à toute la zone x > 0. a ) La position du cadre est repérée par l'abscisse &: de son extrémité avant et on suppose sc = 0 a t = 0. Établir l'équation différentielle a laquelle obéit la vitesse 1) = dcr/dt; on distinguera deux phases dans le mouvement. Mettre en évidence un temps caractéristique 7' que l'on exprimera en fonction de BD, m, EUR et R (résistance du cadre). Figure 8 b) Déterminer m(t) pendant la phase de décélération et montrer que l'engin ne stoppe qu'à condition que L soit supérieure a une certaine valeur que l'on précisera. Montrer par une application numérique que ceci n'est pas réalisé et déterminer la vitesse finale du skeleton. En tout état de cause serait--il réaliste de n'envisager que ce freinage pour arrêter l'appareil ? On donne : EUR = 30 cm. L = 50 cm, B = 1,0 T et R = 1.0 >< 10"2 Q. III.B.2) On suppose à présent que le champ magnétique (stationnaire et uniforme) n'est non nul que dans la zone comprise entre a: = 0 et a: = d. 3/ É : Boëy ; ï Figure 9 a) Si L 2 d, montrer qualitativement qu'il existe deux phases de freinage séparées par une phase où la vitesse reste constante et déterminer la vitesse à l'issue des deux phases de freinage. 11) Même question si L EUR d. 0) Quelle valeur doit-on donner a d, en fonction de L, pour optimiser le freinage? III.B.3) On place N zones de freinage identiques à la précédente séparées les unes des autres d'une distance D. Quelle doit être la distance D pour encore une fois optimiser le freinage '? Quelle valeur donner a N pour stopper le skeleton'? En déduire la distance d'arrêt et comparer sa valeur numérique aux valeurs trouvées à la question III.B.1 et a la question préliminaire. III.B.4) Applications numériques a) Quelle est la durée de chaque phase de freinage '? Quelle devrait être la durée totale du freinage ? Conclu- sion ? b ) On peut alors choisir un freinage « hybride » : freinage électromagnétique d'abord jusqu'à ce que la vitesse soit "ul = 10 m - s"1, puis freinage mécanique ensuite. Déterminer la durée du freinage électromagnétique ainsi que le nombre de zones de champ nécessaire. III.C -- Refroidissement du cadre III.C.1) Dans un milieu homogène et isotrope caractérisé par sa masse volumique ,a, sa capacité thermique massique c et sa conductivité thermique /\ établir l'équation aux dérivées partielles a laquelle obéit le champ de température T. On se préoccupe de l'élévation de température dans le cadre consécutive au passage du courant. III.C.2) On modélise les côtés du cadre comme des cylindres de rayon a (et de section 3 = 7ra2) dans lequel la température T ne dépend que de r, distance à l'axe, et du temps 15. Le cadre est en cuivre : -- de masse volumique ;; = 8,9 >< 103 kg - m"3. -- de résistivité électrique p-- -- 1,7 >< 10_8 9 m, -- de conductivité thermique À-- -- 390 W K 1n_1 -- et de capacité thermique massique c-- -- 390 J 1"K 1 kg_1 , -- sa section est s-- -- 1,0 cm2. Donner et calculer le temps caractéristique des transferts thermiques dans le cylindre et comparer ce temps au temps d'arrêt de l'engin calculé à la question III.B.4b. Commenter. Dans toute la suite du problème la température du cadre sera considérée comme uniforme : T ne dépendant que du temps éventuellement. III.C.3) Considérant qu'on puisse négliger les transferts thermiques vers l'extérieur pendant la phase d'échauffement, déterminer ainsi la variation de température AT du cadre en fonction de m' (masse du cadre), m, vo et c (on considérera, pour simplifier, que la vitesse est nulle à l'issue de la phase de freinage électromagnétique). On fera l'application numérique. III.C.4) Après arrêt du skeleton le cadre se refroidit. Au cours de cette phase de refroidissement, la température TC du cadre est supposée uniforme mais dépendant du temps : Tc(t) passe ainsi de T1 à TO température de l'air, supposée uniforme et constante. Les transferts thermiques entre le cadre et l'air ont lieu selon un mode dit conducto--convectif; il y a une discontinuité de température entre le cadre et l'air : la température T0 est différente de Tc. La puissance thermique transférée vers l'air par unité de surface latérale du cylindre est Pth = h(Tc -- Tg) où h est un coefficient supposé positif et constant. a) Déterminer l'équation différentielle satisfaite par TC(t) et donner le temps caractéristique du refroidisse-- ment en fonction des paramètres déjà introduits. b) Application numérique Déterminer ce temps avec h = 10 W- m"2 -- K"1. III.C.5) On a l'idée d'entourer le cadre cylindrique d'un manchon isolant thermique. Le manchon isolant est de conductivité thermique Àis et de rayon b. cadre manchon Figure 10 Manchon isolant a) On commence par raisonner en régime supposé permanent : la température du cadre est TC indépendante de 15. Le champ de température dans l'isolant ne dépend que de 7" : on note Tis(r) la température dans l'isolant. Entre l'isolant et l'air (de température toujours supposée égale à To) existe encore un transfert thermique de type conducto--convectif possédant les mêmes caractéristiques que précédemment à ceci près que la température TC doit être remplacée par Tis(b) : Pth = h(Tis(b) -- TO). Ce mode de transfert n'existe pas entre le cadre et l'isolant, on a donc Tis(a) = TC. Établir l'équation différentielle vérifiée par Tis(r) puis montrer que la puissance thermique P cédée par l'unité de longueur du cadre peut s'écrire x P: Kh-- 1+ Àîælnx où sc = b/a, K étant une constante que l'on exprimera en fonction de h, a, T0 et T0. À quoi correspond cette constante K ? b) Tracer la courbe montrant la dépendance de P avec x; on fera apparaître deux types de comportement possibles que l'on interprétera physiquement. On donne Àis = 0,10 W - m'1 -K_1 déterminer l'épaisseur d'isolant a placer pour que le refroidissement s'effectue le plus rapidement possible. 0) On suppose le régime quasi--permanent : les résultats précédents sont supposés pouvoir être appliqués à chaque instant. Déterminer le nouveau temps caractéristique du refroidissement du cadre lorsque l'isolant a l'épaisseur calculée ci--dessus. oooFINooo

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 Centrale Physique PSI 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (ENS Ulm) ; il a été relu par Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Ce sujet aborde trois activités de loisir distinctes : · La première partie est consacrée à l'étude de la force exercée par l'eau sur une planche de surf, un skimboard, ce qui permet de discuter la possibilité pour la planche de « glisser » à la surface du liquide. Cette partie propose des applications des bilans en mécanique des fluides qui conduisent, notamment, à des calculs de composantes de forces et de moments. On y utilise également la loi de Bernoulli. · Dans la deuxième partie, les ricochets d'un galet sont étudiés. On commence par montrer que le mouvement du galet, selon la verticale, suit une équation qui rappelle l'oscillateur harmonique. Pour que le galet ne coule pas, une condition sur la vitesse est alors établie. S'ensuivent des calculs sur la variation de vitesse du galet après un ricochet, puis une étude énergétique permet de déterminer le nombre de ricochets que l'on peut obtenir. On y utilise les outils de la mécanique du point : théorème de la résultante cinétique, théorème de l'énergie cinétique, résolution d'une équation différentielle d'un oscillateur harmonique. · La troisième partie étudie le freinage d'une sorte de luge, un skeleton, par induction, et l'échauffement qui en résulte. Le freinage magnétique, utilisé pour freiner le skeleton, n'est efficace que si le champ magnétique n'est pas uniforme. Ce constat amène une discussion sur la manière d'optimiser la piste de freinage. Vient alors une sous-partie portant sur la diffusion thermique avec sources ou bien en présence de conducto-convection. La construction de cette épreuve diffère nettement de celle des années précédentes : l'énoncé est plus court, moins guidé, parfois ambigu ; certaines petites questions nécessitent d'importants calculs. De plus, le sujet n'est pas de difficulté croissante : des questions calculatoires se mêlent à des questions proches du cours ou à des questions qualitatives qui font appel à un commentaire physique (ou mathématique). Cependant, le texte fournit quelques résultats intermédiaires, ce qui permet de vérifier ses calculs. Dans un tel sujet, on peut être facilement bloqué et, dans ce cas, il importe d'avancer en « cherchant » les points. C'est en ce sens qu'il constitue un bon entraînement, surtout si cette nouvelle construction venait à s'imposer dans les prochaines sessions du concours Centrale. Il pourrait également inspirer de nombreux sujets d'oraux. Indications I. Physique du skimboard I.A.2.c Sommer les forces de pression sur tous les éléments de surface de la planche. . Effectuer le calcul à l'ordre 1 en . Pour le calcul de F , Projeter sur - u z x remarquer que Fx = Fz . - = - - I.A.2.d M est la composante selon - u u u y z x de M . Sommer les moments élémentaires des forces de pression sur tous les éléments de surface de la planche. Effectuer le calcul à l'ordre 1 en . I.A.2.e Écrire que le moment de la force exercée par le sportif sur la planche compense celui des forces de pression. I.A.3.c Se rappeler que Fz = Fx /. I.B.1 Faire le bilan des forces s'appliquant à la planche. Prendre garde que la - vitesse de la planche dans le référentiel de la plage est - V . I.B.2.a Écrire Fz de deux manières (l'une utilisant le résultat de la question I.A.2.c). I.B.2.c Se servir de la question I.B.1. La planche s'arrête lorsque V atteint la vitesse seuil correspondant à L = m . I.C.2 Remplacer Fx par Fz . I.C.3 Utiliser l'expression de Fz obtenue à la question I.A.2.c. II. Physique des ricochets II.A.3.c Transformer l'expression de z(t) en un cosinus avec une phase à l'origine. II.A.4 Montrer que g/0 |vz0 | conduit à sin 0 = 0. II.A.5.a Dans l'équation donnant x obtenue à la question II.A.2, remplacer z par son expression et intégrer entre 0 et . II.B.1.a Utiliser les puissances des forces, puis mz = Fz -mg. Montrer que l'intégrale contenant z est nulle (car z( ) = -z(0)). II.B.1.b Se servir des expressions de Fx obtenues aux questions II.A.5.a et II.A.3.a. II.B.1.c Utiliser mz = Fz - mg, intégrer. L'approximation est mg/0 |vz0 |. Remplacer 0 (voir question II.A.3.b) et vx0 par leur expression. III. Physique du skeleton - III.B.1.a Soit le cadre est entièrement plongé dans B , soit il l'est partiellement. III.B.3 Montrer par récurrence qu'après p freinages, v = v0 - p L/ . III.B.4.a Exprimer la durée du freinage p ; ne pas chercher à calculer numériquement la durée d'un freinage. Sommer sur p. III.C.1 Prendre en compte la présence d'éventuelles sources. III.C.2 Utiliser l'analyse dimensionnelle pour évaluer le temps caractéristique. III.C.3 Déduire de v(t) (obtenue question III.B.1.b), l'expression de i(t). Intégrer. Calculer m à l'aide de µ, L, et s. III.C.5.a Traduire la continuité du flux en r = b pour exprimer Tis (b). Activités physiques I. Physique du skimboard I.A.1.a Considérons le système fermé , de masse m , constitué de l'eau contenue dans le volume hachuré, entre les abscisses x1 et x, de masse m, plus l'eau qui entre dans ce volume en x1 entre t et t + dt et de masse dm1 . En x, une masse dmx sort durant dt. h(x) hT mor eau qui entre x1 durant dt système x de masse m Le bilan de masse à l'instant t s'écrit m (t) = m(t) + dm1 et en t + dt, m (t + dt) = m(t + dt) + dmx Puisque est un système fermé, m (t + dt) = m (t). De plus, en régime permanent, m(t + dt) = m(t). Les deux égalités précédentes imposent alors dm1 = dmx Comme dmi = Dm,i dt (où Dm,i est le débit massique en i), il vient Dm,1 = Dm,x LhT V = Lh(x) v(x) d'où hT V = h(x) v(x) Rappelons que le débit massique Dm à travers une surface S est défini par ZZ - Dm = (- r , t) - v (- r , t) · d S S Puisque l'écoulement est uniforme et permanent, ne dépend ni de - r , ni - de t et peut être factorisé devant le symbole d'intégration. Comme v est selon - ux et ne dépend que de x, ZZ Dm = v(x) dSx = v(x) L h(x) S I.A.1.b L'équation de conservation de la masse est + div(- v)=0 t L'écoulement est uniforme, donc div (- v ) = div - v . L'écoulement est permanent ainsi /t = 0 , si bien que div - v =0 - Comme v ne dépend que de x et est selon - ux , la divergence se réécrit dv =0 dx soit Pour tout x, v(x) = V. Comme h(x) v(x) est une constante de l'écoulement, la hauteur d'eau h est également constante ce qui est absurde ! Si une fonction est négligeable devant une autre, il n'en est, a priori, pas de même pour leurs dérivées. Ici, on suppose que |vz | |vx |, mais il n'y a aucune raison pour que |vz /z| |vx /x| et div - v = 0 doit être écrit vx vz + =0 x z vx vz + =0 x z vz vx impose = x z ce qui prouve que les deux dérivées partielles sont du même ordre de grandeur et donc que |vz /z| |vx /x| est complètement faux, en général. Physiquement, la variation de vz avec z traduit simplement que sur une section droite, la composante verticale de la vitesse des particules varie d'un point à l'autre de cette section. Une telle variation se produit, par exemple, lorsque les lignes de courant se resserrent (c'est le cas entre xA et xT ). Notons que I.A.1.c L'écoulement est irrotationnel puisque vx (x) x - 0 = 0 y 0 z - - rot - v = 0 Ainsi, Si on tient compte de la composante vz (x) de la vitesse, vz - - - rot v =- u y x Utilisons l'équation d'Euler projetée sur la verticale, vz p vz vz + vx =- - g = 0 z x z (chaque membre est nul, car on néglige le mouvement selon la verticale), d'où vz vz vz = vx z x Or, vx vz = , donc x z vz vz vx = x vx x Comme |vz | |vx |, la dérivée partielle de vz par rapport à x est d'ordre 1. Ainsi, la nullité du rotationnel de la vitesse est vraie à l'ordre 0.