Centrale Physique PSI 2009

Thème de l'épreuve Quelques enjeux de la fusion thermonucléaire inertielle laser
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, mécanique du point, ondes, optique géométrique
Mots clefs instabilités hydrodynamiques, relation de dispersion, particules dans un champ électrique, système de plusieurs lentilles

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Concours Centrale - Supélec 2009 Épreuve : PHYSIQUE Filière PSI PHYSIQUE Filière PSI PHYSIQUE Calculatrices autorisées. Quelques enjeux de la fusion thermonucléaire inertielle laser Les différentes parties sont très largement indépendantes. Tout résultat donné par l'énoncé peut être utilisé dans les questions suivantes sans justification. On respectera scrupuleusement la syntaxe de numérotation des questions. Les réserves des principaux combustibles fossiles sont limitées. L'impact environnemental de l'utilisation de ces combustibles fossiles ne peut plus être ignoré. Il est désormais impératif de multiplier les efforts pour développer l'unique option actuelle de production d'énergie à long terme, qui puisse satisfaire les besoins énergétiques de nos sociétés à l'avenir : la fusion de noyaux légers. La production d'énergie par fusion thermonucléaire non-contrôlée (explosive) est une technologie maîtrisée depuis 1952. L'obtention de la fusion thermonucléaire contrôlée fait l'objet de recherches intenses depuis les années 60. Une des méthodes étudiées actuellement est le confinement inertiel laser, qui consiste simplement à effectuer une micro combustion d'un microballon rempli de mélange fusible, relativement peu destructrice. Le choix d'une faible quantité de mélange fusible, de l'ordre de la dizaine de milligrammes, permet de Figure 1 : Irradiation du microballon préserver relativement l'environnement immédiat de la cible. Ce type d'expérience permet dans un premier temps de supprimer totalement les essais nucléaires, la physique de la combustion d'un microballon étant extrapolable à celle d'un engin militaire. La récupération de l'énergie dégagée par fusion pourra intervenir par la suite. Des recherches actives dans ce sens, dont le projet HIPER (High Power Laser Energy Research), sont en cours. Le Laser MégaJoule (LMJ) du Commissariat à l'Énergie Atomique, en construction près de Bordeaux, et le National Ignition Facility en construction en Californie, sont prévus pour atteindre la fusion dès 2011. Le principe sur lequel reposent ces grands instruments (Cf. figure 1) est d'envoyer une Concours Centrale-Supélec 2009 1/14 PHYSIQUE Filière PSI Filière PSI grande quantité d'énergie sur un matériau fusible contenu dans un microballon (mélange Deutérium Tritium (DT)) pour le comprimer à haute température, de 2 3 sorte à permettre sa fusion, selon la réaction D + T A _ ( 3, 5 MeV ) + n ( 14 MeV ) . Partie I - Instabilités hydrodynamiques Lorsque l'on irradie le microballon avec des faisceaux laser, comme on le réalisera avec les 240 faisceaux lasers du LMJ, on provoque la vaporisation partielle de l'enveloppe externe du microballon. Cette enveloppe externe, ou coquille, mélange équimolaire de carbone et d'hydrogène ( CH ) , ne peut pas participer à la fusion ; elle se détend prioritairement vers les zones libres, i.e. radialement vers l'extérieur environnant du microballon. Le plasma de carbone et d'hydrogène ainsi créé se détend surtout vers le vide, mais en contrepartie comprime le restant de coquille solide non vaporisé par effet fusée, vers le centre du ballon. La coquille pousse à son tour le mélange DT qui fusionne lorsque sa température et sa pression sont devenues suffisantes. On se propose dans cette partie d'étuV h = V hex dier la croissance de défauts géométriques à l'interface entre la coquille V b = V bex transformée en Figure 2 : Équivalence avec la superposition lourd-léger plasma (léger) et la coquille solide (lourde), interface appelée front d'ablation. Le CH léger « pousse » le CH lourd ; Geoffrey Ingram Taylor a montré en 1950 que cette situation de fluide léger accéléré dans un fluide lourd est analogue, si l'on observe une petite portion de la coquille ablatée assimilable à son plan tangent, à la superposition d'un fluide lourd sur un fluide léger dans le champ de gravitation, représentée figure 2. On note + h la masse volumique du fluide situé au-dessus de l'interface, et + b celle du fluide du dessous, toutes deux constantes. On indicera de la même manière toutes les autres grandeurs. On suppose qu'à l'instant initial le fluide du bas se déplace en bloc horizontalement en possédant la vitesse constante V b = V b e x et que le fluide du haut se déplace aussi en bloc horizontale- Concours Centrale-Supélec 2009 2/14 PHYSIQUE Filière PSI ment en possédant la vitesse constante V h = V h e x . On se propose dans la suite de cette partie d'étudier de manière générale cette superposition de deux fluides dans le champ de pesanteur en gardant à l'esprit que l'équivalence avec la coquille vaporisée poussant la coquille solide est vérifiée lorsque + h > + b . I.A - Hydrostatique On suppose dans cette partie que V h = V b , + h et + b quelconques. I.A.1) Comment ramener la situation de la figure 2 à une situation d'hydrostatique ? I.A.2) Cette situation de fluide lourd reposant sur un fluide léger avec une interface horizontale est-elle une situation stable ? I.A.3) Déterminer le champ de pression dans le fluide avant tout mouvement. On notera p 0 la pression à l'interface, et on choisit l'origine spatiale de sorte que z = 0 sur l'interface. I.B - Perturbation à l'interface On considère une perturbation de l'interface au loin V h = V hex entre la coquille vaporisée et la coquille solide, ce qui donne le profil représenté figure 3, que l'on suppose invariant par translation suivant au loin V b = V bex le vecteur e y . La vitesse de l'écoulement n'est Figure 3 : Interface perturbée plus uniforme dans chaque fluide, on la note v b en bas et v h en haut. On repère par l'altitude z = 0 l'interface au repos. L'écoulement n'est pas perturbé à grande distance de l'interface, ce que l'on a représenté en posant v b ( ­ ' ) = V b e x très loin de l'interface dans le fluide du bas, et v h ( +' ) = V h e x très loin de l'interface dans le fluide du haut. On suppose dans cette partie que les grandeurs V h , V b , + h et + b sont quelconques (mais toujours constantes). On suppose que le mouvement des fluides, supposés parfaits, est irrotationnel. On néglige tout phénomène de tension superficielle à l'interface, et les deux fluides sont d'extension infinie du côté opposé à cette interface commune. On note de manière générique v le champ eulérien des vitesses. I.B.1) Quels arguments permettent d'affirmer l'existence d'un potentiel des vitesses ? On posera v = grad . Concours Centrale-Supélec 2009 3/14 PHYSIQUE I.B.2) Filière PSI En notant p la pression et + la masse volumique, démontrer que 2 p , v ------ + ----- + ---- + gz = F ( t ) ,t 2 + dans chacun des deux fluides, où F ( t ) est une fonction propre à chaque fluide, ne dépendant que du temps. On fixe encore l'interface au repose à z = 0 . On note maintenant c 1 ( x, t ) l'amplitude de la perturbation de l'interface, comptée à partir de z = 0 : la position de l'interface vaut donc z = c 1 ( x, t ) . Par convention, on décide que l'indice 1 est relatif à des perturbations. En liaison avec la perturbation de l'interface, les vitesses eulériennes de chaque fluide, v b et v h , valant initialement V b e x et V h e x sont perturbées de sorte qu'on peut les écrire v b = V b e x + v b1 et v h = V h e x + v h1 . Enfin, ces vitesses dérivent des potentiels respectifs b et h , également sommes d'un terme d'ordre zéro et d'un terme perturbatif d'ordre 1 . L'objectif est de déterminer si la perturbation c 1 ( x, t ) s'atténue dans le temps ou non, et ce à quelles conditions. I.B.3) Exprimer b en fonction de V b , de x et de b1 . I.B.4) Que vaut la divergence du champ des vitesses dans chacun des fluides ? I.B.5) En déduire que les potentiels perturbatifs des vitesses b1 et h1 vérifient chacun l'équation de Laplace. I.B.6) On considère une particule de fluide du fluide situé « en bas » sous l'interface et au voisinage immédiat de celle-ci. Exprimer la vitesse verticale v vPF de cette particule de fluide en fonction du potentiel des vitesses perturbé b1 . I.B.7) Exprimer maintenant v vPF en fonction de la dérivée lagrangienne du déplacement de l'interface Dc 1 / Dt . I.B.8) En déduire en se limitant à l'ordre 1 temporel et spatial de perturbation, la relation en z = 0 entre , b1 / ,z , ,c 1 / ,t , V b et ,c 1 / ,x . I.B.9) En déduire de même la relation donnant, en z = 0 , , h1 / ,z en fonction de ,c 1 / ,t , V h et de ,c 1 / ,x . I.B.10) Quelle conséquence sur la validité de la solution trouvée pour c 1 ( x, t ) le fait de s'être limité à l'ordre 1 en perturbation impliquera-t-elle ? On suppose dorénavant que la perturbation à l'interface est sinusoïdale de représentation complexe c 1 ( x, t ) = Aexp ( i ( kx ­ tt ) ) . I.B.11) Pour quelles raisons peut-on se limiter à une telle perturbation ? I.B.12) Montrer que b1 = B b exp [ i ( kx ­ tt ) + kz ] et h1 = B h exp [ i ( kx ­ tt ) ­ k z ] . On justifiera en particulier le signe devant les termes kz . Concours Centrale-Supélec 2009 4/14 PHYSIQUE Filière PSI I.B.13) Établir les deux relations reliant respectivement t , k , V b , A et B b , d'une part, et t , k , V h , A et B h d'autre part. I.B.14) On a besoin d'une troisième équation pour résoudre ce problème à trois inconnues A , B b et B h . Que dire de la pression à la traversée de l'interface ? I.B.15) Montrer qu'il existe une constante K ( t ) , telle que pour z = 0 , 2 2 £, b v ¥ £, h v ¥ + b ² -----------1 + -----b + gc 1´ = + h ² -----------1 + -----h- + gc 1´ + K 2 2 ¤ ,t ¦ ¤ ,t ¦ où v b et v h sont les vitesses au sein de chaque fluide. On exprimera K en fonction de + b , + h , F b ( t ) et F h ( t ) . I.B.16) Pourquoi K ( t ) doit-elle en fait être indépendante du temps ? I.B.17) En déduire K en fonction de + b , + h , V b , V h . 2 I.B.18) Exprimer v en fonction de V et , 1 / ,x en ne conservant que les termes d'ordre 1 en les quantités perturbées. I.B.19) Déduire une troisième équation reliant + b , + h , V b , V h , A , B b , B h , t , k et g . I.B.20) Établir la relation reliant la pulsation t et le vecteur d'onde k en fonction de + b , + h , V b , V h et g . Comment appeler une telle relation ? I.B.21) En considérant la longueur d'onde comme donnée, montrer que la solution de cette équation peut s'écrire 2 1/2 +b V b + +h V h +b +h ( V b ­ V h ) g +b ­ +h t ---- = ----------------------------------- ± --- £¤ -------------------¥¦ ­ ----------------------------------------2 k +b + +h k +b + +h (+ + + ) b (1) h Les développements précédents permettent de décrire de nombreux phénomènes, à des échelles spatiales très différentes. Par exemple à grande échelle des phénomènes astrophysiques comme l'explosion d'une supernova, à échelle terrestre des phénomènes de couches de mélange en dynamique atmosphérique, et à l'échelle de la microfluidique, les gouttelettes d'eau de condensation pendant au plafond intérieur d'un réfrigérateur. Enfin, et c'est l'objet du problème, les mêmes instabilités, lors de la compression du microballon pour la fusion thermonucléaire inertielle, ont lieu à échelle micrométrique. I.C - Instabilité de Rayleigh (1883) et Taylor (1950) On pose ici V h = V b = V et on suppose que + h > + b . I.C.1) Que devient la relation (1) ? On exprimera t en fonction de k . I.C.2) Réécrire cette relation dans le référentiel en translation à la vitesse V ex . Concours Centrale-Supélec 2009 5/14 PHYSIQUE Filière PSI I.C.3) Comment évolue une perturbation sinusoïdale à l'interface coquille gazeuse-coquille solide, à partir d'une amplitude initiale très faible ? I.C.4) Quelle conséquence pour le confinement sphérique du mélange deutérium tritium l'instabilité implique-t-elle ? Pourquoi parle-t-on de pollution du mélange fusible ? À petite échelle comme celle du microballon, des phénomènes tels que la tension superficielle doivent être pris en compte en plus de la viscosité. Le taux de croissance de l'instabilité est en outre limité par le fait que le gradient de densité entre le plasma de coquille, léger et moteur, et la coquille solide accélérée est progressif (pas de discontinuité brutale de densité comme on l'a supposé), mais limité aussi par le fait que les perturbations sont évacuées par convection hors du front d'ablation instable, entraînées par le plasma se détendant vers la source de rayonnement. la phase non-linéaire n'est actuellement abordée que d'un point de vue numérique et expérimental. I.D - Instabilité de Kelvin (1871) et Helmholtz (1868) On suppose dans cette partie que V b & V h , et + b > + h . I.D.1) Que dire de la stabilité du système vis-à-vis de l'instabilité de Rayleigh et Taylor ? I.D.2) À quelle condition sur k l'interface peut-elle être tout de même instable ? I.D.3) Citer un phénomène courant mettant en jeu l'instabilité de Kelvin et Helmholtz. I.D.4) Les effets moléculaires à l'interface (i.e. de la « tension superficielle ») impliquent une suppression des perturbations de très petites longueurs d'onde h < h critique . En déduire une condition sur V b et V h pour observer tout de même l'instabilité de Kelvin et Helmholtz. I.D.5) L'instabilité de Kelvin et Helmholtz peut-elle exister en l'absence de pesanteur ? Figure 4 : Phénomène atmosphérique C B.Martner et B. Shanon I.D.6) Interpréter le phénomène observé sur les photos de la figure 4, qui en attendant suffisamment donnent des « yeux de chat de Kelvin ». Concours Centrale-Supélec 2009 6/14 PHYSIQUE Filière PSI I.D.7) Expliquer pourquoi les pilotes d'avion, en particulier en l'absence de nuages permettant de visualiser l'instabilité, doivent-ils être particulièrement prudents dans les zones où l'instabilité de Kelvin et Helmholtz est susceptible de se produire ? Quels phénomènes l'avion subit-il à la traversée des motifs de Kelvin et Helmholtz ? I.E - Effets induits sur le microballon contenant le matériau fusible I.E.1) Interpréter la forme du célèbre champignon s'élevant dans les airs suite à un essai nucléaire et notamment les deux phases : montée d'une langue de plasma puis incurvation des bords pour donner la corolle du champignon. I.E.2) Quel effet les instabilités hydrodynamiques ont-elles à terme sur un écoulement initialement laminaire ? I.E.3) Brisant la symétrie de compression, des champignons apparaissent au niveau de la coquille au cours de son implosion sous l'influence du rayonnement. La déformation de la coquille qui en résulte, et l'évolution ultérieure, nuisent grandement à l'efficacité de la fusion du mélange DT . Pour quelles raisons ? I.F - Ondes de gravité en surface On pose ici V h = V b = 0 et on suppose que + h < + b . I.F.1) Que devient la relation (1) au I.B.21 ? On exprimera t en fonction de k. I.F.2) Décrire le phénomène observé à l'interface et en donner un exemple marin courant. I.F.3) Dans le cas de la mer, simplifier l'expression obtenue en tenant compte des ordres de grandeurs. Partie II - Origine des germes des instabilités hydrodynamiques : l'empreinte laser1 On sait construire des microballons présentant des défauts de sphéricité acceptables dans les limites des développements précédents. On se propose dans cette partie d'étudier dans quelle mesure cette construction rigoureuse est suffisante pour garantir la compression sphérique du mélange fusible. Que l'on envisage un schéma dit d'attaque directe ( 240 faisceaux laser directement envoyés sur la coquille) ou le schéma d'attaque indirecte (envoi des faisceaux laser sur les parois d'une cavité d'or réémettant des rayons X et faisant office de four à rayons X pour le microballon placé au centre, voir figure 5), on désire étudier les conséquences d'une non-uniformité d'éclairement sur la coquille. 1. Du terme anglais consacré imprint Concours Centrale-Supélec 2009 7/14 PHYSIQUE Filière PSI Figure 5 : Schéma d'attaque directe et indirecte II.A - Modèle unidimensionnel, champ électrique uniforme On considère une particule chargée de masse m et de charge q , libre de se déplacer, et soumise à un champ électromagnétique. II.A.1) Dans quelle mesure peut-on négliger la force magnétique devant la force électrique ? On supposera cette condition vérifiée dans toute la suite. On adopte un modèle unidimensionnel dans lequel la particule ne peut se déplacer que suivant l'axe ( Ox ) . Le champ électrique est un champ polarisé rectilignement, découplé en temps et en espace de la forme E ( x, t ) = E ( x ) cos ( 1t )e x dans le référentiel galiléen d'étude. La plupart du temps, la moyenne temporelle sur une période du champ électrique de la force instantanée exercée par le champ sur la particule chargée n'est pas nulle. Cette moyenne temporelle est appelée force pondéromotrice ou séculaire. On se limite ici toujours au cas où la pulsation 1 est très élevée devant les fréquences du mouvement lent induit par la force pondératrice, qu'on appellera l'hypothèse de limite adiabatique. Le mouvement de la particule chargée dans le champ électrique est vu comme la superposition d'un mouvement lent, appelé mouvement séculaire du centre de vibration, et d'un mouvement très rapide à la pulsation 1 autour du centre de vibration. II.A.2) En quoi la forme mathématique du champ électrique permet-elle de parler de découplage espace-temps ? Le champ électrique est-il alors stationnaire ? On néglige dorénavant les inhomogénéités de champ électrique, de sorte que l'on peut poser E ( x ) = E 0 uniforme. II.A.3) Écrire le principe fondamental de la dynamique appliqué à la particule chargée. On repérera celle-ci par son abscisse x ( t ) . Doit-on tenir compte du poids ? II.A.4) Résoudre cette équation en supposant une vitesse initiale nulle pour la particule, et en notant x sa position moyenne, appelée aussi centre de vibra- Concours Centrale-Supélec 2009 8/14 PHYSIQUE Filière PSI tion. On écrira x ( t ) = x + j ( t ) , où l'on exprimera j ( t ) en fonction de q , E 0 , m et 1 . II.A.5) Quel est le déphasage de la force instantanée de mesure algébrique F ( t ) vis-à-vis du mouvement de vibration ? Ce résultat dépend-il du signe de la charge ? II.A.6) Calculer la force pondéromotrice · F ( t )oe dans ce contexte, c'est-à-dire : · F ( t )oe = · force instantanéeoe période du champ électrique . II.B - Modèle unidimensionnel, champ électrique non-uniforme On ne suppose plus que le champ électrique est uniforme, il vaut : E ( x, t ) = E ( x ) cos ( 1t )e x . E ( x ) est tout de même supposé évoluer spatialement de façon suffisamment régulière (au moins continûment dérivable). L'hypothèse de limite adiabatique permet dans ce cas de calculer la vibration j ( t ) en approchant E ( x, t ) par E ( x, t ) . Autrement dit on a en première approximation lorsque la particule se situe au voisinage de x : qE ( x ) x ( t ) = x + j = x ­ --------------- cos ( 1t ) . 2 m1 II.B.1) Calculer la force instantanée F ( t ) = q E ( x + j, t ) en utilisant un développement limité au premier ordre en espace de E au voisinage de x , en tenant compte que j reste infinitésimal. dE On exprimera ce résultat en fonction de j , q , 1 , E ( x ) et -------- ( x ) . dx II.B.2) Exprimer la force instantanée F ( t ) en fonction de q , m , 1 , E ( x ) et ( dE / dx ) ( x ) . II.B.3) En déduire la force pondéromotrice · F ( t )oe en fonction de q , m , 1 et 2 ( d ( E ) / dx ) ( x ) . II.B.4) Qu'appelle-t-on énergie potentielle pondéromotrice ? II.B.5) Que dire du mouvement lent séculaire (i.e. engendré par la force pondéromotrice) d'une particule chargée positivement placée dans un champ E ( x ) croissant avec x ? Comment ce résultat est-il modifié si la particule est chargée négativement ? Faire l'analyse pour E ( x ) décroissant avec x . II.C - Modèle tridimensionnel, cas général On adopte un modèle à trois dimensions, en notant x i la i-ème coordonnée cartésienne ( i = 1, 2 ou 3 ) de la position instantanée de la particule chargée de Concours Centrale-Supélec 2009 9/14 PHYSIQUE Filière PSI charge q et de masse m , x i la i-ème coordonnée du centre d'oscillation et j i la i-ème coordonnée de l'oscillation de la particule à la pulsation 1 dans le champ E ( x1, x2, x3, t ) = E ( x 1, x 2, x 3 ) cos ( 1t ) , que l'on notera aussi de manière plus compacte E ( x i ) cos ( 1t ) . II.C.1) Calculer j i en résolvant le principe fondamental de la dynamique dans la limite adiabatique E ( x i ) 5 E ( x i ) pour en déduire que qE i ( x j ) j i = ­ -------------------cos ( 1t ) . 2 m1 II.C.2) Calculer la force instantanée exercée par le champ sur la particule, en effectuant un développement limité de E au voisinage du centre d'oscillation. II.C.3) Écrire l'équation de Maxwell et Faraday dans le cas où on peut négliger les effets du champ magnétique. II.C.4) En déduire que TM( i, j ) ,E j ,E i --------- = ---------- . ,x i ,x j II.C.5) Conclure que dans le cas général, la force pondéromotrice dérive d'une énergie potentielle, que l'on exprimera. II.D - Conséquence de l'empreinte sur les germes des instabilités hydrodynamiques II.D.1) Les particules sont-elles attirées ou repoussées par les zones de champ fort ? II.D.2) Quelle conséquence les non-uniformités d'éclairement laser ou X sur la coquille du microballon vont-elles avoir ? II.D.3) Que dire de l'instabilité de Rayleigh et Taylor par la suite ? On peut montrer que la prise en compe des effets magnétiques, ainsi que des effets relativistes, ne modifie pas le phénomène d'empreinte laser pondéromotrice. Concours Centrale-Supélec 2009 10/14 PHYSIQUE Filière PSI Partie III - Observation des phénomènes au sein du microballon Le rayonnement X très Objectif Camera important par l'explosion de microscope de la microcible exerce des pressions de plusieurs cen- Lentille de focalisation f0=500mm taines de milliers de bars, et les neutrons de fusion induisent à plusieurs mètres des flux d'énergie Lentille de neutronique de plusieurs refocalisation f23=1m mégajoules par mètre carré. L'explosion des Lentille de collection microballons de fusion par f1=250mm confinement inertiel est effectuée dans une chambre à vide au centre de Enceinte vide laquelle on focalise des Figure 6 : Dispositif expérimental faisceaux laser très intenses, sur le microballon. On étudie ici le problème de l'observation des phénomènes qui se produisent à l'intérieur du plasma. Cette observation ne peut donc se faire qu'à distance, parce que les instruments de mesure trop proches seraient détruits du fait des conditions d'irradiation extrêmes. Ainsi un des diagnostics utilisés consiste à imager un plan du plasma résultant de l'ablation de la coquille sur un capteur CCD (charge-coupled device), au moyen d'un système de lentilles collectant et canalisant la lumière ré-émise par le plasma irradié par un faisceau laser. On ne tiendra pas compte des effets de diffraction sauf indication contraire. Le schéma global du dispositif expérimental est donné sur la figure 6. Son équivalent dans un plan contenant l'axe optique est donnée figure 7. Le plasma étudié s'étend selon l'axe optique z sur une longueur de l'ordre du millimètre. Un faisceau laser parallèle de même direction que l'axe Concours Centrale-Supélec 2009 Figure 7 : Modèle du diagnostic optique 11/14 PHYSIQUE Filière PSI optique, de diamètre \ 0 = 30, 00 mm , entre dans la chambre à vide, puis est focalisé sur le plasma à l'aide d'une lentille (dite de focalisation) de distance focale f 0 = 500, 000 mm (précision micrométrique sur les distances focales). Le nombre d'ouverture du faisceau est par définition le rapport de la distance focale au diamètre de la lentille focalisante N 0 = f 0 / \ 0 5 16, 67 . Le centre du plasma, qui est en première approximation un ellipsoïde de révolution, est schématisé figure 7 par une ellipse, dont on a très précisément placé le centre sur l'axe optique au micron près, à une distance f 0 de la lentille de focalisation, à l'aide d'actionneurs pas à pas de grande précision. La lentille L 1 de collection, de distance focale f 1 = 250, 000 mm et de diamètre \ 1max = 30, 00 mm est placée au micron près à f 1 du centre du plasma. La lumière sort ensuite de l'enceinte à vide (faisceau quasi parallèle) et se propage sur une distance D 1 = 2050, 000 mm vers une zone de faible encombrement à l'extérieur de l'enceinte, où on a pu placer le système de capture d'image. On refocalise le faisceau quasi-parallèle au moyen d'une lentille L 2 placée à la distance D 1 de L 1 , et de distance focale f 2 = 1000, 000 mm . L 2 donne ainsi une image du plasma au voisinage du système de capture d'image. À D 2 5 1022 mm de cette dernière lentille, on place un objectif de microscope, modélisé par une lentille mince L 3 de distance focale f 3 = 16, 900 mm . Enfin, on place un capteur CCD à la distance D 3 après L 3 . III.A - Collection de l'information III.A.1) Faire un schéma analogue à celui de la figure 7 repérant L 0 , f 0 le plasma, f 1 , L 1 , D 1 , L 2 , D 2 , L 3 , D 3 et le capteur CCD . III.A.2) Si on fait fonctionner le dispositif sans plasma, quel est le diamètre du faisceau entre L 1 et L 2 ? Justifier. III.A.3) Quels sont les nombres d'ouverture N 1 de la lentille de collection de lumière avec et sans plasma ? Les comparer au nombre d'ouverture du faisceau incident N 0 . Le plasma est un milieu qui aux fortes intensités lumineuses n'est plus transparent, la lumière ne s'y propage pas en ligne droite. Quel peut être l'intérêt de la différence éventuelle entre N 0 et N 1 ? III.B - Objectif de microscope On règle l'ensemble L 3 ­ CCD de sorte à avoir D 3 = 11 f 3 . On observe ainsi nettement un objet situé dans un plan en avant de L 3 . Quelle est la distance entre ce plan d'observation et L 3 ? Quel est le grandissement transverse a 3 correspondant ? III.B.1) Grandissement transverse global Calculer le grandissement transverse a 12 du dispositif entre le plan focal objet de L 1 et le plan focal image de L 2 . Concours Centrale-Supélec 2009 12/14 PHYSIQUE Filière PSI III.B.2) En déduire le grandissement transverse global entre le plan focal objet L 1 et le plan du capteur CCD . III.B.3) Application numérique. On mesure qu'un déplacement 6x 0 = 10+m de l'objet induit un déplacement de 10 pixels sur l'image donnée par le CCD . En déduire la taille des pixels (carrés) du capteur CCD . III.C - Grandissement longitudinal On place un objet A 1 sur l'axe au voisinage du foyer objet de L 1 . Soient F i et Fvi les foyers principaux objets et images des lentilles. On note 6z 0 = F 1 A 1 et 6z i = Fv2 , A 2 , A 2 étant l'image de A 1 par L 1 et L 2 . Établir la relation donnant 6z i fonction de 6z 0 . III.C.1) Application numérique : sachant que l'objet observé A 1 appartient au plasma, en déduire une relation approchée du grandissement longitudinal a // = 6z i / 6z 0 , uniquement fonction de f 1 et f 2 . III.C.2) On appelle « avant » du plasma la zone en amont de Fv0 = F 1 caractérisée par 6z 0 < 0 et « arrière » la zone 6z 0 > 0 . La zone 6z i > 0 correspond-t-elle à l'avant ou l'arrière de l'image du plasma ? On fait en sorte que la lentille L 2 soit réglable en position le long de l'axe optique, au moyen d'une vis micrométrique. la distance séparant L 1 de L 3 reste constante, égale à D 1 + D 2 . III.C.3) Si l'on avance la lentille L 2 d'une distance d (algébrique) (on l'éloigne donc du plasma si d > 0 ), que se passe-t-il pour l'image du plasma au voisinage de Fv 2 ? III.C.4) Comme L 3 ne bouge pas, un tel mouvement de L 2 permet-il d'observer sur le CCD un plan situé en avant ou en arrière du plasma ? III.C.5) Donner la plage de variation nécessaire pour la vis micrométrique positionnant L 2 de sorte à pourvoir observer le plasma sur 1 mm de part et d'autre de Fv0 = F 1 . III.D - Profondeur de champ III.D.1) Expliquer qualitativement, en se limitant à un système simple à une seul lentille, pourquoi le fait de choisir une lentille de grand diamètre permet de restreindre l'observation à une tranche de plasma de faible épaisseur. III.D.2) Quel peut être l'avantage de refroidir le capteur CCD, à l'azote liquide par exemple ? On donne sur la figure 8 des images obtenues avec un tel dispositif. Concours Centrale-Supélec 2009 13/14 PHYSIQUE Filière PSI 14 Vide 40 + m I = 5 u 10 W / cm 2 Évolution expérimentale de la distribution d'intensité fonction du temps : t = 50 ps t = 290 ps t = 640 ps t = 1500 ps Figure 8 : image du rayonnement transmis par le plasma ··· FIN ··· Concours Centrale-Supélec 2009 14/14

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Centrale Physique PSI 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Alban Sauret (ENS Lyon) ; il a été relu par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Rémy Hervé (Professeur agrégé en école d'ingénieur). Ce sujet aborde le thème de la fusion thermonucléaire laser contrôlée, qui est d'actualité avec la recherche de nouvelles techniques de production d'énergie. Les trois parties abordent des thèmes distincts du programme et, exceptées certaines questions qualitatives, elles peuvent être traitées de façon indépendante. · La partie I est une étude d'instabilités hydrodynamiques à l'interface entre deux fluides. On commence par établir la relation de dispersion générale des perturbations à l'interface avant de l'appliquer à des cas particuliers pour se ramener à des instabilités célèbres : Rayleigh-Taylor, Kelvin-Helmholtz, ondes de gravité. Cette partie est calculatoire et assez technique ; elle nécessite de bien maîtriser l'utilisation des conditions aux limites et les raisonnements perturbatifs. · La partie II utilise la mécanique du point pour l'étude d'une particule chargée soumise à un champ électrique oscillant. Cette étude est d'abord faite avec un champ constant dans l'espace ; on considère ensuite une dépendance spatiale de ce champ et on met ainsi en évidence un effet de migration sur la particule. On peut relier la présence de cet effet aux instabilités étudiées dans la partie I. · La partie III aborde le système optique utilisé pour l'observation des phénomènes dans le plasma nécessaire à la fusion thermonucléaire. On y étudie un dispositif à plusieurs lentilles, ce qui fait appel aux connaissances d'optique géométrique de première année. Ces questions permettent d'introduire deux notions peu connues mais importantes, le grandissement longitudinal et la profondeur de champ. Les questions s'enchaînent bien dans la première partie, ce qui permet une bonne révision de la mécanique des fluides et de la notion de relation de dispersion. En revanche, les questions d'optique sont plutôt mal posées : il faut prendre le temps de lire très attentivement l'énoncé pour bien le comprendre. Enfin, les questions qualitatives qui parsèment l'énoncé permettent de bien entraîner son sens physique. Le rapport du jury souligne que « dans le cas d'une épreuve longue comme celleci, il n'est pas nécessaire de traiter l'intégralité du sujet pour obtenir une note fort correcte mais il convient de répondre de façon constructive avec rigueur et précision à la majorité des questions ». Indications Partie I I.A.3 Faire l'étude dans le référentiel où le fluide est immobile. I.B.2 Appliquer l'équation d'Euler en utilisant les hypothèses de l'énoncé. I.B.4 Que devient l'équation de conservation de la masse dans cette situation ? -- I.B.5 Utiliser la relation div (grad f ) = f . I.B.7 À l'interface, on a dz(t) avec z(t) = 1 x(t), t dt I.B.8 Toutes les grandeurs indicées par 1 sont d'ordre 1. vz = I.B.12 Les relations établies précédemment permettent de déterminer la dépendance en x et t. La dépendance en z est déterminée à partir de l'équation de Laplace. I.B.16 Utiliser les conditions aux limites loin de l'interface. I.B.20 Un système de trois équations admet une solution non triviale si et seulement si son déterminant est nul. I.D.2 L'interface est instable si on a une exponentielle divergente avec le temps. I.D.6 Décomposer l'évolution de l'interface en deux étapes : croissance de l'instabilité puis entraînement par les fluides. Partie II II.A.1 Déduire de la comparaison des forces électriques et magnétiques une condition - - sur k E k et k B k. II.B.4 Calculer le travail élémentaire de la force pour un déplacement dx. II.D.2 Les particules de plasma migrent sous l'effet des inhomogénéités du champ. Qu'en résulte-t-il ? Partie III III.A.2 Faire un raisonnement géométrique. III.B Déterminer le plan conjugué avec l'écran CCD. III.B.2 Avec les données de l'énoncé, le plan focal objet de L1 et l'écran CCD ne sont pas correctement conjugués. Raisonner comme si c'était le cas. III.C Utiliser la formule de conjugaison de Newton. III.C.1 z0 est très petit devant les autres grandeurs du problème. III.D.1 La profondeur de champ est l'intervalle de x pour lequel les rayons issus d'un objet ponctuel éclairent un seul pixel de l'écran. Montrer graphiquement que cet intervalle diminue si le rayon de la lentille augmente. Quelques enjeux de la fusion thermonucléaire inertielle laser I. Instabilités hydrodynamiques A. Hydrostatique Dans cette partie, les deux fluides se déplacent à la même vitesse Vh = Vb que l'on note V. I.A.1 On se ramène à une situation d'hydrostatique en se plaçant dans le référen tiel R en translation à la vitesse V - ex par rapport au référentiel R (dans lequel les deux fluides ont pour vitesse V). I.A.2 La stratification naturelle impose que le fluide léger soit au dessus du fluide lourd pour avoir une configuration statique stable, ce qui n'est pas le cas ici. La situation est donc instable. En effet, si l'on considère des particules de fluides de densité h au voisinage de l'interface, celles-ci ont tendance à « plonger » dans le fluide léger situé au-dessous à la moindre perturbation. La suite de cette partie vise notamment à quantifier la croissance d'une perturbation, ce qui prouve que la situation est bien instable. Il n'est pas évident de savoir ce qu'on attend du candidat sur cette question puisqu'il n'est évidemment pas question de répondre en détail. Le rapport du jury précise qu'« il était attendu du candidat de justifier le caractère instable de l'équilibre ». I.A.3 Écrivons la relation fondamentale de l'hydrostatique pour un fluide incom pressible en projection suivant - ex et - ey dans le référentiel R . On montre que p =0 x et p =0 y Ainsi, la pression ne dépend que de z. La relation fondamentale de l'hydrostatique en projection suivant - ez conduit à dp = -µi g dz où µi représente la masse volumique du fluide lourd (µh ) ou du fluide léger (µb ) et est constante. On intègre cette équation différentielle avec la condition aux limites p = p0 en z=0 où z = 0 correspond à l'interface entre les deux fluides. On a ( p0 - µb g z si z 6 0 p(z) = p0 - µh g z si z > 0 B. Perturbation à l'interface I.B.1 Il existe un potentiel des vitesses vérifiant -- - v = grad car selon l'énoncé, le mouvement du fluide est irrotationnel, c'est-à-dire - - rot - v = 0 Le potentiel des vitesses vérifie alors - - - - -- rot v = rot (grad ) = 0 Le rapport du jury indique qu'« il fallait souligner exclusivement le caractère irrotationnel de l'écoulement et qu'ajouter des conditions supplémentaires non nécessaires (fluide parfait, extension infinie) a été pénalisé ». I.B.2 Chacun des deux écoulements est homogène et incompressible (avec µ = Cte ), parfait (de viscosité négligeable) et irrotationnel. L'équation d'Euler s'écrit - -- - -- v - µ + ( v · grad ) v = - grad p + µ - g t Or, d'après la question précédente, on a -- - v = grad De plus, on a l'identité vectorielle -- - -- v 2 - - - ( v · grad ) v = grad + rot - v v 2 car l'écoulement est irrotationnel. La force volumique de pesanteur pouvant, quant à elle, s'écrire sous forme d'un gradient -- µ- g = grad (-µ g z) L'équation d'Euler se réduit à -- - v2 grad µ +µ + p + µgz = 0 t 2 Cette relation étant vraie dans tout le fluide, pour tout instant t, on en déduit que v 2 p + + + g z = F(t) t 2 µ où F(t) est une fonction propre à chaque fluide qui ne dépend que du temps. Cette relation est l'équation de Bernoulli instationnaire. I.B.3 La vitesse eulérienne du fluide du bas est - v = V - e +- v b b x b1 Or, - vb dérive d'un potentiel b et - v b1 dérive d'un potentiel b1 . On a - - -- - vb = Vb - ex + grad b1 = grad (Vb x + b1 )