Centrale Physique PSI 2008

Thème de l'épreuve Principe de la tomographie par cohérence optique. Oscillateur à boucle de rétroaction.
Principaux outils utilisés optique interférentielle, optique géométrique, interféromètre de Michelson, fonction de transfert
Mots clefs interférences, asservissement, filtre de Wien, tomographie, cohérence optique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Concours Centrale - Supélec 2008 Épreuve : PHYSIQUE Filière PSI PHYSIQUE Filière PSI PHYSIQUE Les calculatrices sont autorisées. Le sujet est constitué de deux parties indépendantes Formulaire : On rappelle que : p­q p+q sin x sin c ( x ) = ----------- , sin p + sin q = 2 sin ------------- cos ------------- , 2 2 x 1 cos p cos q = --- ( cos ( p + q ) + cos ( p ­ q ) ) . 2 Partie I - Principe de la tomographie par cohérence optique (OCT) La tomographie par cohérence optique (OCT) est un procédé interférométrique non destructif permettant de réaliser des images en coupe de tissus biologiques avec une résolution de l'ordre du micromètre. On se propose d'en illustrer le principe. La base de l'appareil est un interféromètre de Michelson. On raisonnera pour simplifier sur l'interféromètre « théorique », uniz0 ( M2) quement constitué de deux miroirs ( M 1 ) et ( M 1 ) z ( M 2 ) et d'une lame séparatrice ( SP ) idéale, c'est-à-dire infiniment mince et ( SP ) ( M1) séparant un faisceau lumineux incident en deux faisceaux d'égale intensité. L'appareil est réglé en lame d'air, c'est-à-dire que S ( M 2 ) et l'image ( M 1 ) du miroir ( M 1 ) par la séparatrice sont parallèles. Les positions de ( M 1 ) et ( M 2 ) sont repérées sur l'axe Oz source Figure 1 (voir figure 1). ( M 1 ) est en z , ( M 2 ) en z 0 . La lumière se propage dans l'air dont l'indice sera pris égal à 1 . Concours Centrale-Supélec 2008 1/12 PHYSIQUE Filière PSI Filière PSI I.A - Préliminaire I.A.1) Quelle condition doivent satisfaire deux ondes lumineuses pour produire des interférences ? Comment réaliser expérimentalement cette condition ? I.A.2) Qu'est-ce qu'une onde monochromatique ? Donner deux exemples de dispositifs permettant, au laboratoire, de produire une onde quasi-monochromatique. I.A.3) L'interféromètre, réglé en configuration lame d'air, est éclairé par une source quasi-monochromatique ponctuelle située à distance finie. a) Comment réaliser concrètement une source (quasi) ponctuelle à distance finie à partir des dispositifs du I.A.2. ? b) On observe les franges d'interférences sur un écran parallèle à ( M 2 ) . Où peut-on placer l'écran ? Décrire en quelques mots la figure d'interférence. c) On remplace la source ponctuelle par une source monochromatique étendue autour du point S . Comment évolue la figure d'interférence ? Où peut-on voir des franges ? Comment les nomme-t-on ? I.A.4) La source étant toujours étendue, on place l'écran dans le plan focal image d'une lentille convergente ( L ) de distance focale f , dont l'axe optique est perpendiculaire à ( M 2 ) . a) Tracer la marche des rayons lumineux issus d'un point S 1 et interférant en un point M de l'écran. En considérant un second point S 2 de la source, justifier la position de la surface de localisation. b) Donner l'expression de la différence de marche au point M en fonction de r = FM ( F foyer image de ( L ) ), de f , et de l'épaisseur e de la lame d'air. Le calcul n'est pas exigé. On supposera que les rayons lumineux font des angles faibles avec l'axe optique. I.B - OCT - Domaine temporel L'interféromètre est utilisé dans la configuration de la question I.A.4, éclairé par une source étendue. I.B.1) Comment nomme-t-on la position particulière z = z 0 ? Que voit-on alors sur l'écran ? I.B.2) Lorsqu'on translate ( M 1 ) , on fait les observations suivantes : Concours Centrale-Supélec 2008 2/12 PHYSIQUE Filière PSI · avec une source de lumière blanche, l'éclairement sur l'écran cesse de varier et devient uniforme après un déplacement de quelques micromètres ; · avec une lampe à vapeur de mercure équipée d'un filtre interférentiel sélectionnant la raie verte, le même phénomène se produit pour un déplacement de quelques millimètres ; · avec un laser hélium-néon, le phénomène n'est pas observé. Interpréter qualitativement ces observations. On introduira les notions de contraste et de longueur de cohérence que l'on définira. I.B.3) On place au foyer image F de ( L ) , un photodétecteur quasi ponctuel. La source primaire est une source monochromatique de longueur 0 . On appelle nombre d'onde la quantité = 1 / ( = / c est donc proportionnel à la fréquence de la radiation lumineuse). Donner l'expression de l'intensité lumineuse I ( z ) reçue par le photodétecteur, en fonction de z , z 0 , 0 et de l'intensité lumineuse I 0 , qu'il recevrait si l'on masquait le miroir ( M 2 ) . I.B.4) La source primaire n'est plus monochromatique. L'intensité que produirait l'interféromètre en F dans l'intervalle de nombres d'onde [ , + d ] si l'on masquait l'un des deux miroirs est G ( )d , où G ( ) est une fonction proportionnelle à l'intensité spectrale de la source. a) Chaque intervalle spectral élémentaire [ , + d ] pouvant être assimilé à une source monochromatique, que dire de deux intervalles spectraux différents ? En déduire en la justifiant, sous forme d'une intégrale sur , la nouvelle expression de l'intensité I ( z ) en fonction de z , z 0 et G ( ) . b) Calculer explicitement I ( z ) dans le cas d'une source à profil spectral rectangulaire de largeur : G ( ) = G 0 si [ 0 ­ / 2, 0 + / 2 ] . G ( ) = 0 sinon On exprimera le résultat sous la forme : I ( z ) = C [ 1 + V cos ( 4 0 ( z ­ z 0 ) ) ] où C est une constante et V le facteur de visibilité (fonction de z ­ z 0 ), grandeurs que l'on déterminera. I(z)/C 2 1 4.990 4.995 5.000 5.005 5.010 z(mm) Figure 2 Concours Centrale-Supélec 2008 3/12 PHYSIQUE Filière PSI N A0 2 A0 1 A0 c) La figure 2 donne le graphe de I ( z ) . Déterminer z 0 , 0 et en précisant la méthode utilisée. d) Cette modélisation permet-elle d'expliquer les observations expérimentales du I.B.2. ? Donner les ordres de grandeur des largeurs spectrales des différentes sources. Préciser la relation qui lie à la longueur de cohérence. I.B.5) Le miroir ( M 2 ) est remplacé par une surface plane semi-réfléchissante de coefficient de réflexion pour l'amplitude réel. On ne tiendra pas compte d'un éventuel déphasage lié à la réflexion de l'onde sur ( M 1 ) ou sur la surface plane. On suppose la source monochromatique de nombre d'onde 0 . Comment est modifiée l'expression de I du I.B.3 ? Comment est modifiée la figure d'interférence ? I.B.6) ( M 2 ) est maintenant remplacé par N surfaces semi-réfléchissantes de positions zN z 1 < z 2 < ... < z N et de coefficients de réflexion pour l'amplitude 1 , 2, ... N tous réels (figure 3). On pourra considérer que les coefz2 ficients i sont tous des infiniment petits de z1 même ordre ( i « 1 ) de sorte que les coefficients de transmission pour l'amplitude sont ( SP ) ( M1) tous égaux à 1 . On limitera les calculs au premier ordre. a) Dans le cas de la source monochromatique de nombre d'onde 0 , montrer que : A0 N I ( z ) = I 0 1 + 2 i cos i , i=1 Figure 3 en précisant l'expression des i en fonction de z , z i et 0 . b) L'appareil est maintenant éclairé avec la source de profil spectral rectangulaire du I.B.4. Calculer I ( z ) . On fera apparaître dans son expression le facteur de visibilité V du I.B.4-b). c) En partant du graphe de la figure 2, tracer I ( z ) dans le cas N = 2 avec ­2 ­2 1 = 4 10 , 2 = 2 10 , z 1 = z 0 , z 2 = z 0 + 5 / . d) Dans le cas général, montrer que la mesure de I ( z ) permet de déterminer tous les couples ( z i, i ) à condition que les quantités z i + 1 ­ z i soient supérieures à une certaine valeur que l'on exprimera à partir de la largeur spectrale de la source, puis de sa longueur de cohérence. Quelle source choisir pour avoir la meilleure résolution possible ? Concours Centrale-Supélec 2008 4/12 PHYSIQUE Filière PSI I.C - OCT - Domaine fréquentiel Dans la méthode précédente, l'enregistrement de la fonction I ( z ) est obtenu par translation du miroir ( M 1 ) . On va montrer qu'il est possible d'obtenir les mêmes informations en gardant ( M 1 ) fixe. On part de la même situation qu'au I.B : l'interféromètre est réglé en lame d'air, la position de ( M 2 ) est repéré par sa coordonnée z 0 > 0 , ( M 1 ) est fixe en z = 0 . L'intensité spectrale de la source est proportionnelle à la fonction G ( ) (cf. I.B.4). À l'aide d'un dispositif approprié, on fait l'analyse spectrale de la lumière émergente, c'est-à-dire que l'on détermine la fonction f ( ) = dI / d . I.C.1) Donner l'expression de f ( ) en fonction notamment de z 0 et G ( ) . I.C.2) A partir de f ( ) , on calcule la fonction : + R(u) = ­ f ( ) cos ( 4u )d . a) Calculer R ( u ) pour une source de profil spectral rectangulaire définie au I.B.4-b). Montrer que R ( u ) peut se mettre sous la forme : 1 1 R ( u ) = cos ( 4 0 u )r ( u ) + --- cos ( 4 0 ( u ­ z 0 ) )r ( u ­ z 0 ) + --- cos ( 4 0 ( u + z 0 ) )r ( u + z 0 ) 2 2 où r ( u ) est une fonction paire dont on donnera l'expression. 6 ­1 b) La figure 4 donne les représentations de R ( u > 0 ) pour 0 = 2 10 m , 5 ­1 = 4 10 m et pour trois valeurs différentes de z 0 . Interpréter les graphes à partir de l'expression de R ( u ) . Justifier que pour z 0 > d , où d est une longueur caractéristique à déterminer à partir de , on peut écrire : 1 R ( u > d ) --- cos ( 4 0 ( u ­ z 0 ) )r ( u ­ z 0 ) . 2 I.C.3) On remplace ( M 2 ) par les N surfaces semi-réfléchissantes décrites au I.B.6. a) Que vaut dans ce cas f ( ) (en limitant toujours les calculs au premier ordre) ? On pourra s'aider de la question I.B.6. b) Dans le cas de la source à profil spectral rectangulaire, donner la nouvelle expression de R ( u ) en fonction de z i et des i . c) On suppose que z 1 > d . Simplifier l'expression de R ( u > d ) . Tracer l'allure de ­2 ­2 R ( u > d ) dans le cas N = 2 avec 1 = 4 10 , 2 = 2 10 , z 1 = z 0 , z 2 = z 0 + 5 / . d) Donner l'ordre de grandeur du pouvoir de résolution de l'instrument défini comme la distance de deux surfaces adjacentes en dessous de laquelle la méthode utilisée ne permet plus de les discerner. Quelle type de source a-t-on intérêt à choisir ? Comparer au résultat du I.B.6. Concours Centrale-Supélec 2008 5/12 PHYSIQUE Filière PSI e) Quels sont les avantages et inconvénients de cette méthode par rapport à la précédente ? z0=15,3µm R(u) 5 R(u) 20 25 u(µm) 15 20 25 u(µm) 15 20 25 u(µm) 10 z0=2,4µm 5 10 z0=1,0µm R(u) 5 10 Figure 4 I.D - Mesure du spectre avec un réseau Pour l'analyse spectrale on utilise un réseau par transmission de largeur utile L , comportant n traits par unité de longueur, éclairé en incidence normale. I.D.1) À quelle condition sur les nL ondes lumière incidente diffractées par le réseau observe-t-on un maximum d'intensité lumineuse ? En déduire la formule des réseaux donnant les directions d'émergence correspondant aux pics d'intenréseau sité. Définir l'ordre d'un pic. I.D.2) Le détecteur est une barrette CCD constituée d'un alignement de cellules photosensibles identiques, de largeur a , délivrant une tension proportionnelle à l'intensité lumif neuse qu'elle reçoit. Il est placé dans le plan a focal image d'une lentille convergente de distance focale f , traversée par le faisceau émerF gent du réseau (figure 5). On prend : Figure 5 Concours Centrale-Supélec 2008 6/12 PHYSIQUE Filière PSI ­1 f = 10 cm ; a = 100µm ; n = 500 traits mm ; L = 2 cm . Pour la radiation de longueur d'onde , la largeur angulaire d'un pic du réseau est donnée par : ( sin ) = 2 / L . Calculer la largeur sur le détecteur de la tache associée à la radiation rouge = 750 nm . Conclure. En pratique, la taille de la tache est plus grande que la valeur trouvée. Pourquoi ? I.D.3) Déterminer la largeur de l'intervalle [ , + ] des radiations reçues par une des cellules du capteur en fonction de a , n , f et . En déduire la largeur correspondante en nombre d'onde . Évaluer numériquement pour les radiations bleue ( = 400 nm ) et rouge ( = 750 nm ) . I.D.4) Il peut être intéressant, pour certaines mesures spectrales, d'avoir une largeur identique pour toutes les cellules du capteur. Comment pourrait-on utiliser le dispositif, sans le modifier, pour obtenir cette propriété ? I.E - Mise en oeuvre. Réglage de l'interféromètre Une des implémentations de objectifs de l' OCT fait appel à un interféromèmicroscopes tre de Linnik. Il s'agit d'un interfé( M2) romètre de Michelson sur les deux bras duquel on a placé des objectifs de microscope identiques (figure ( LE) ( L ) ( M1) 2 6), que l'on assimilera dans toute la suite à deux lentilles minces source convergentes ( L 1 ) et ( L 2 ) de distance focale f . ( L1 ) L'interféromètre est éclairé par une source de lumière blanche spaf E tialement étendue placée dans le plan focal objet d'une lentille ( LP) d'éclairage ( L E ) . La figure d'interférence est enregistrée par un capfP i teur CCD plan situé en sortie de M x l'instrument dans le plan focal capteurs CCD image d'une lentille achromatique Figure 6 ( L P ) de distance focale f P . L'un des bras de l'interféromètre comporte le miroir ( M 1 ) , l'autre la lame semi-réfléchissante ( L ) dont on veut mesurer la position et le coefficient de réflexion. Elle sera assimilée ici au miroir ( M 2 ) . Un des intérêts de ce dispositif est d'améliorer la résolution sur la mesure de la position. On s'intéressera uniquement ici au réglage de l'instrument. Dans un premier temps, on retire les objectifs et on règle l'interféromètre au contact optique. Concours Centrale-Supélec 2008 7/12 PHYSIQUE Filière PSI I.E.1) On place ensuite un objectif devant ( M 1 ) , puis, après avoir occulté ( M 2 ) , on règle la position de l'objectif de façon à obtenir l'image de ( M 1 ) sur le capteur CCD . On procède de la même manière pour le second objectif (occultation de ( M 1 ) et image de ( M 2 ) sur le capteur). Quelles sont alors les positions des deux objectifs par rapport aux miroirs ? I.E.2) Que devrait-on observer sur le détecteur lorsque les deux miroirs sont démasqués ? (les deux objectifs sont supposés rigoureusement identiques). I.E.3) En pratique, on observe des franges recti( M 1 ) ( M2) lignes dont le contraste diminue rapidement lorsqu'on s'éloigne du centre de la figure d'interférence. On veut montrer que ce phénomène peut ( L2 ) s'expliquer par un défaut d'alignement latéral des ( L 1 ) axes optiques des objectifs. On considère pour cela O 1 O2 le schéma équivalent du dispositif dans lequel ( L 1 ) et ( M 1 ) ont été remplacés par leurs symétriques i i ( L 1 ) et ( M 1 ) par rapport à la séparatrice ( SP ) (figure 7). On note d la distance des deux axes optiques supposés parallèles. Pour des raisons de clarté d de la figure, la distance d a été exagérée. Figure 7 a) Reproduire le schéma et tracer le cheminement, dans chacune des I(x) voies, de deux rayons lumineux interférant au point M d'abscisse x = f P i (voir figure 6) sur le détecteur et passant par les centres O 1 et O 2 de ( L 1 ) et ( L 2 ) . On suppose que l'angle i reste faible et on se place dans l'approximation de Gauss. b) En utilisant le théorème de Malus que l'on énoncera, calculer la différence de marche ( x ) en M . Montrer x que l'interfrange vaut : Figure 8 x = f P / 2d . Comment doit-on procéder pour réaliser l'alignement des axes ? I.E.4) La figure 8 montre un enregistrement de l'intensité I ( x ) obtenue sur le capteur CCD à partir d'une source de lumière blanche. L'échelle des abscisses a été volontairement omise. a) Évaluer la longueur de cohérence de la source. Concours Centrale-Supélec 2008 8/12 PHYSIQUE Filière PSI b) La largeur de l'interférogramme, c'est-à-dire l'intervalle des valeurs de x pour lesquelles on peut voir des franges est de 0, 6 mm . Évaluer d . On prendra : f P = 20 cm . c) Dans le cas où il subsiste un défaut de parallélisme (faible) entre les miroirs ( M 1 ) et ( M 2 ) , l'expression de la différence de marche devient = + 2f i où est la différence de marche précédente. Expliquer à l'aide d'un schéma l'origine du terme supplémentaire. Pourquoi la première étape du réglage (obtention du contact optique) doit-elle être réalisée très soigneusement ? Partie II - Oscillateur à boucle de rétroaction Une méthode pour obtenir des oscillations quasi-sinusoïdales consiste à utiliser un système bouclé à deux opérateurs : le premier, de fonction de transfert H ( j ) = u s / u e constituant la chaîne directe ; le second, de fonction de transfert F ( j ) = u e / u s , la chaîne de retour. II.A - Donner la condition sur les fonctions H ( j ) et F ( j ) pour que le système soit le siège d'oscillations sinusoïdales spontanées de pulsation 0 . Lorsqu'une telle condition est réalisée, quel phénomène est à l'origine de l'apparition des oscillations ? II.B - On se place dans le cas particulier ou H est une constante réelle H 0 indépendante de et où ue chaîne directe H ( j ) us chaîne de retour F ( j ) Figure 9 j ----------ue Q 0 F ( j ) = ------ = F 0 --------------------------------------------2- . us 1 + j ----------- ­ ------ Q 0 0 II.B.1) Quelle est la nature de la chaîne de retour ? Tracer, en faisant apparaître précisément les asymptotes, le diagramme de Bode de F ( j ) / F 0 pour les 4 ­1 2 valeurs de Q = 0, 1 et Q = 10 . On prendra 0 = 10 rad s , varie de 10 à 6 ­1 10 rad s . II.B.2) F 0 , 0 et Q étant fixés, pour quelle valeur particulière H m de H 0 a-ton des oscillations sinusoïdales ? Que vaut la pulsation de ces oscillations ? II.C - La condition sur H 0 étant une égalité, elle est, en pratique, impossible à réaliser strictement. u s ( t ) et u e ( t ) ne sont donc pas sinusoïdales. On cherche à préciser l'expression des fonctions u s ( t ) et u e ( t ) . Concours Centrale-Supélec 2008 9/12 PHYSIQUE Filière PSI Établir l'équation différentielle satisfaite par u e ( t ) et u s ( t ) et discuter la nature des solutions en fonction de H 0 (on se limitera aux cas des solutions oscillatoires). Un des opérateurs comportant un amplificateur opérationnel, montrer que, pour certaines valeurs de H 0 , il sortira de son domaine de linéarité. On constate dans ce cas que le système peut être le siège d'oscillations permanentes plus ou moins sinusoïdales. II.D - La chaîne directe est un amplificateur non inverseur réalisé à l'aide d'un amplificateur opérationnel idéal de tension de saturation en sortie ± V sat (figure 10). H0Vm + uS ue Vsat ­ us R1 - - - t R2 - Figure 10 Figure 11 II.D.1) Établir la relation entre u s et u e . Tracer le graphe u s ( u e ) pour ­ V sat < u e < +V sat et donner la valeur de H 0 . II.D.2) On présente à l'entrée de l'amplificateur non inverseur une tension sinusoïdale : u e ( t ) = V m cos ( t ) , d'amplitude V m > V sat / H 0 . La tension de sortie u s ( t ) est alors le signal sinusoïdal d'amplitude H 0 V m écrêté symétriquement à ± V sat représenté figure 11. est appelé angle d'écrêtage ( [ 0, / 2 ] ) . u s ( t ) admet un développement en série de Fourier qui, compte tenu de la parité de la fonction est de la forme : us ( t ) = a0 / 2 + an cos ( nt ) . On donne : an n=1 2 t0 + T = ---- u s ( t ) cos ( nt ) dt . T t0 Que représente a 0 / 2 ? Donner sa valeur. On appelle gain au premier harmonique le rapport a 1 / V m . Le calcul montre qu'il peut se mettre sous la forme : a 1 / V m = H 0 f ( ) avec f ( ) = [ ­ 2 + sin ( 2 ) ] / . Le graphe de f ( ) pour [ 0, / 2 ] est représenté figure 12. II.D.3) On considère maintenant le système bouclé siège d'oscillations périodiques stables. En ne considérant que la contribution du terme fondamental ( n = 1 ) Concours Centrale-Supélec 2008 f () Figure 12 1 /2 10/12 PHYSIQUE Filière PSI du développement en série de Fourier dans la boucle, déterminer la pulsation des oscillations. Montrer que le gain H 0 de la chaîne directe doit satisfaire une condition par rapport à F 0 et détermine ainsi l'angle d'écrêtage. II.D.4) H 0 étant fixé, où prélever la tension dans le montage pour avoir un signal s'approchant au mieux d'une sinusoïde ? Quelle qualité principale doit posséder la chaîne de retour ? Comment la réaliser simplement par association d'une bobine, d'une résistance et d'un condensateur ? Aucun calcul n'est demandé. On fera le schéma du montage et on justifiera qualitativement le comportement passe-bande recherché. II.E - Exemple de réalisation : l'oscillateur à pont de Wien La chaîne de retour est constituée par le C ie R quadripôle de la figure 13, la chaîne directe étant toujours constituée par l'amplificateur de la figure 10. R C uc II.E.1) Pourquoi le courant i e est-il nul ? u s Calculer F ( j ) et donner les valeurs de Figure 13 F 0 , 0 et Q . La qualité du montage évoquée au II.D.4 est-elle satisfaite ? Quelle(s) conséquence(s) est (sont) prévisible(s) sur la nature du signal obtenu ? Quel intérêt présente cette chaîne de retour ? II.E.2) La chaîne directe est constituée par l'amplificateur non inverseur du II.D. Évaluer l'angle d'écrêtage (en degrés) pour R 1 / R 2 = 3, 4 , et 5 . Conclure. II.F - La limitation de l'amplitude du signal par saturation de la chaîne directe donne des signaux assez éloignés de la sinusoïde dès que H 0 s'écarte de H m . Une solution consiste à introduire un asservissement du gain de la chaîne directe à l'amplitude des oscillations. On se propose d'étudier un exemple de réalisation de cet asservissement. u1 A i F ( j ) u2 i B R + ­ R1 u Figure 14 Figure 15 Concours Centrale-Supélec 2008 u s us Rd Cd R 11/12 PHYSIQUE Filière PSI II.F.1) Le circuit de la figure 14 utilise un multiplieur dont la tension de sortie est proportionnelle au produit des tensions d'entrée : u = ku 1 u 2 . Les courants d'entrée du multiplieur sont tous les deux nuls. Donner l'équation de la caractéristique du dipôle AB en fonction de R , k , u 1 . À quoi est-il équivalent ? II.F.2) On remplace le système bouclé précédent par le montage de la figure 15. On s'intéresse tout d'abord au détecteur de crête constitué par la diode, R d et C d . On suppose la diode idéale. u s ( t ) étant une tension périodique de période T et d'amplitude V m , comment choisir R d et C d pour avoir u s ( t ) = V m ? Comment est modifié ce résultat si la diode n'est plus idéale ? II.F.3) La figure 16 donne l'évolution temporelle de u s ( t ) et u s ( t ) . 4 ­1 On a pris 0 = 10 rad s , R d = 70 k , C d = 1µF . La condition du II.F.2 est-elle satisfaite ? Décrire alors qualitativement le principe de fonctionnement de ce montage. A-ton réalisé l'asservissement décrit en II.F ? II.F.4) On constate que la tension de sortie u s tend rapidement vers une fonction quasi-sinusoïdale permanente d'amplitude V m . Quel est alors le gain de la chaîne directe ? On suppose la diode idéale. En reprenant l'équation différentielle établie en II.C dans le cas du régime périodique permanent, calculer V m en fonction de F 0 , k , R et R 1 . Comment pourrait-on modifier le circuit pour avoir une amplitude V m réglable ? II.F.5) Dans le cas de la figure 16, on a choisi pour chaîne de retour celle de l'oscillateur à pont de Wien. Les composants ont les valeurs suivantes : ­1 ­1 R 1 = 2k , R = 900 , k = 10 V . Calculer l'amplitude théorique V m . Comment expliquer la différence avec la valeur expérimentale ? 2.0V us(t) u's(t) 0V -2.0V 0s 10ms 20ms Fig. 7 30ms 35ms Figure 16 ··· FIN ··· Concours Centrale-Supélec 2008 12/12

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Centrale Physique PSI 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Rémy Hervé (Professeur agrégé) ; il a été relu par Raphaël Galicher (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet se compose de deux problèmes indépendants. Le premier traite d'optique interférentielle. Le second est un problème d'électronique sur un système bouclé. Dans le premier problème, on s'intéresse à l'utilisation de l'interféromètre de Michelson dans le cadre de la tomographie par cohérence optique. Ce procédé vise à explorer des couches de matériaux peu réfléchissants pour déterminer leur épaisseur et leur coefficient de réflexion. Ce problème se décompose en cinq parties permettant une approche très progressive des phénomènes mis en jeu. Il débute par des rappels sur l'interféromètre de Michelson avec source ponctuelle ou étendue. On y introduit la notion de cohérence qui est l'enjeu principal du problème. La deuxième partie, assez longue, rentre dans le vif du sujet, à savoir les phénomènes de cohérence temporelle et leur rôle vis-à-vis du contraste des franges d'interférences. Dans la troisième partie, on réalise l'étude spectrale du signal. Cette alternative présente la propriété, rarement envisagée dans des sujets de concours, de permettre de travailler avec l'interféromètre de Michelson sans déplacer les miroirs. La quatrième partie est consacrée à l'étude d'un dispositif permettant de réaliser concrètement ce passage dans le domaine fréquentiel. Enfin, la cinquième partie, relativement indépendante, propose de travailler sur le réglage d'un autre dispositif. Ce premier problème est très intéressant. Toutefois, il peut devenir calculatoire si l'on ne réutilise pas au mieux les calculs déjà faits. De plus, une bonne maîtrise des systèmes optiques est indispensable, les questions ne pouvant être résolues sans une idée claire du parcours des rayons. Le second problème est consacré aux systèmes électroniques bouclés qui oscillent spontanément. Toutefois, l'objet principal du sujet est de caractériser les problèmes de déformation du signal qui apparaissent sur de tels dispositifs et de proposer une méthode permettant de les résoudre par le biais d'un asservissement simple et efficace. Ce second problème est nettement plus court que le premier. Les trois premières petites parties sont consacrées à l'étude théorique des propriétés des systèmes bouclés instables. Ces parties sont également l'occasion de travailler sur des fonctions de transfert. La partie suivante est consacrée à l'étude d'un amplificateur non inverseur et des déformations qu'il peut induire sur le système du fait de la saturation de l'A.O. La cinquième partie, plus anecdotique, est une étude rapide d'un filtre du second ordre. Enfin, la dernière partie est consacrée à l'asservissement du système. Elle est l'occasion d'étudier un dispositif très simple permettant d'obtenir une résistance commandée en tension et de voir l'usage que l'on peut en faire en vue d'un asservissement. Ce problème d'électronique ne présente pas de réelles difficultés si l'on est à l'aise avec les fonctions de transfert et les équations différentielles de l'électrocinétique linéaire. En résumé, ce sujet s'avère original et intéressant sur le fond. Il mobilise peu de connaissances et se concentre sur l'utilisation de dispositifs usuels pour des applications techniques concrètes. Indications Partie I I.A.4.a Vérifier que les figures d'interférences se superposent correctement. I.B.2 Raisonner en terme de largeur spectrale des sources. I.B.4.b La formule donnée en début d'énoncé est fausse ; il faut lire p-q p+q cos sin p - sin q = 2 sin 2 2 I.B.4.d La largeur de la raie verte du mercure est de l'ordre de la centaine de gigahertz et la largeur spectrale du laser hélium-néon est de l'ordre du gigahertz. I.B.6.b Le calcul est le même qu'à la question I.B.3. Le facteur V dépend de i. I.B.6.d S'inspirer du critère de Rayleigh. I.C.1 Utiliser la relation I(z) = Z dI (z, ) d d I.C.3.b La démarche est la même qu'à la question I.C.2.a. Le résultat peut s'en déduire directement. I.C.3.e Penser au problème de la précision sur la position du miroir (M1 ). I.D.2 Travailler sur le pic du premier ordre. Lier la position r de la tache à l'angle et en déduire une relation liant la largeur de la tache r à (sin ). I.D.3 D'une variation de , déduire une variation (sin ) de sin puis une variation r de la position de la tache r. I.D.4 La dépendance sur la cellule vient de la dépendance sur la position r qui vient elle-même de la dépendance en et en . I.E.2 Déterminer l'image de la source par chaque bras du dispositif. I.E.4.a Voir la question I.B.4.d. I.E.4.b Lier la largeur de l'interférogramme à la longueur de cohérence. I.E.4.c Penser que l'interféromètre est supposé réglé au contact optique. Partie II II.A Il peut y avoir des oscillations s'il existe des solutions us non nulles. II.D.3 Injecter us et ue dans l'équation différentielle de la chaîne de retour. II.E.2 Faire une résolution numérique à la calculatrice. II.F.1 À quoi est équivalent le dipôle AB à u1 fixé ? II.F.4 Penser à exprimer H0 en fonction de Vm . II.F.5 Penser à la diode. I. Principe de la tomographie par cohérence optique (OCT) I.A.1 Pour pouvoir produire des interférences, deux ondes lumineuses doivent être cohérentes. Pour réaliser expérimentalement cette condition, on fait interférer des ondes issues d'une même source. On qualifie de « cohérentes » deux ondes se superposant, dont la fréquence est la même et dont la différence de phase est constante. Deux ondes issues d'une même source et ayant suivi des chemins distincts sont cohérentes. Pour deux ondes issues de deux sources différentes, le caractère cohérent dépend du temps d'intégration du détecteur (c'est-à-dire du temps pendant lequel le signal reçu est moyenné) et du temps de cohérence des sources (c'est-à-dire du temps séparant l'émission de deux ondes successives). Si le temps de cohérence est grand devant le temps d'intégration du détecteur, alors il suffit que les deux ondes aient des fréquences voisines pour être cohérentes et interférer : c'est le cas des sons émis par deux diapasons légèrement désaccordés du point de vue de notre oreille (on peut entendre des battements). S'il est faible devant le temps d'intégration du détecteur, alors deux ondes successives issues d'une même source sont émises avec des phases différentes « choisies » aléatoirement. Il en résulte que les interférences produites au niveau de l'appareil de mesure changent avec chaque nouveau couple d'ondes issues des deux sources. L'appareil faisant une moyenne de ces interférences, le signal finalement obtenu n'est pas un signal d'interférences. C'est ce qui se passe en optique où les temps de cohérence sont très faibles. I.A.2 Une onde monochromatique est une onde qui ne contient qu'une longueur d'onde : elle est purement sinusoïdale. En laboratoire, on peut obtenir une onde monochromatique en utilisant un laser ou une source spectrale, par exemple une lampe au sodium basse pression, dont on isole une raie par un filtre. Les ondes monochromatiques ont également pour propriété d'avoir une longueur de cohérence infinie. I.A.3.a Pour réaliser une source quasi ponctuelle, on éclaire un diaphragme de faible diamètre avec l'une des sources précédentes. Afin d'avoir un maximum de luminosité et d'angles d'émergence différents, on fait converger la lumière issue de la source sur le diaphragme à l'aide d'un condenseur. I.A.3.b La source étant ponctuelle et monochromatique, les interférences ne sont pas localisées. On peut donc placer l'écran n'importe où sur l'axe de sortie de l'interféromètre. En accord avec la symétrie cylindrique du problème, la figure d'interférences est constituée d'anneaux concentriques dont le centre se trouve sur l'axe optique. De plus, l'espacement entre ces anneaux diminue lorsque l'on s'éloigne du centre. Le jury signale une confusion fréquente entre « nature des franges » et « localisation des franges ». La nature des franges correspond à leur forme (anneaux concentriques, lignes parallèles, arcs d'hyperboles). Elle est une conséquence de la configuration du dispositif, ici un interféromètre de Michelson. La localisation des franges pose la question des zones de l'espace où on peut visualiser ces interférences. La localisation pose la question de savoir où les interférences peuvent être observées. Il y a normalement deux aspects à prendre en compte, un lié au dispositif (« où les faisceaux se recouvrentils ? ») et un lié à la source (« la source est-elle étendue ou ponctuelle ? »). Avec un interféromètre de Michelson, seul le second aspect présente un intérêt. Il faut alors retenir que pour une source quasi-ponctuelle, les interférences ne sont pas localisées, elles peuvent être observées partout ; tandis que pour une source étendue, elles ne peuvent être observées qu'à l'infini : c'est la localisation à l'infini. Enfin, le jury signale également une confusion de vocabulaire entre « non localisée » et « délocalisée ». Attention, ce second terme emprunté à la mécanique quantique a un sens sensiblement différent et ne s'applique pas à un phénomène (ici les interférences) mais à des particules. I.A.3.c Lorsqu'on utilise une source monochromatique étendue, la figure d'interférences se brouille ; les interférences sont alors localisées à l'infini. Les franges d'interférences correspondantes sont appelées anneaux d'égale inclinaison. On parle aussi de « franges d'Haidinger ». C'est ici la cohérence spatiale qui pose problème car deux points de la source sont incohérents en phase. I.A.4.a L'écran étant dans le plan focal image d'une lentille, pour que des rayons issus d'un point S2 de la source parviennent en un point M de l'écran, il faut qu'ils arrivent sur la lentille avec la même inclinaison que les rayons issus de S1 . Cela implique qu'au niveau de la lame d'air, la configuration est exactement la même pour les rayons issus de S2 et les rayons issus de S1 . Il en résulte que le déphasage entre les rayons issus de S2 est le même que celui entre les rayons issus de S1 et donc que S1 et S2 produisent exactement la même figure d'interférences sur l'écran. On en déduit qu'il en va de même pour tous les points de la source, ce qui confirme que la surface de localisation des interférences est bien située à l'infini. (M2 ) (M1 ) (SP) S S1 (L) (M1 ) F M I.A.4.b Pour des rayons arrivant sur une lame d'air avec un angle d'incidence i par rapport à l'axe optique, la différence de marche est donnée par = 2 n e cos i où n = 1 est l'indice de l'air et e = z - z0 est la distance séparant les deux interfaces. Les rayons étant supposés faiblement inclinés, l'angle i est très petit devant 1, soit r i= f En développant la fonction cosinus, on en déduit finalement " 2 # 1 r = 2 (z - z0 ) 1 - 2 f Le jury précise que le barème de cette question a tenu compte de l'erreur sur la formule de trigonométrie proposée dans l'énoncé.