Centrale Physique PSI 2006

Thème de l'épreuve Autour de l'énergie éolienne
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, électronique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 _OEn_ e......___u_ ...DOOE>IQ 5255... manu oOEmQ:OE - ÆOEÈOEU 83850 Partie I - Étude d'un aérogénérateur Ce problème s'intéresse à différents aspects du fonctionnement d'une éolienne destinée à produire de l'énergie électrique. Les différentes parties sont largement indépendantes les unes des autres. Le document annexe à rendre avec la copie concerne les questions I .A.6 et I . CS. LA - Étude des vents dominants La Terre est considérée comme une sphère de rayon RT de centre OT . Le référentiel géocentri- que @@ est considéré gon1}megaliléeg1. On lui lie un repère direct (OT, ul, u2, u3) où u3 est paral- lèle à l'axe des pôles et est orienté du Sud vers le Nord. Le référentiel terrestre 9?T est en rotation àla vitesse angulaire constanteQ =Qu3 par rapport à Qïg. À tout point M de la surface de la Terre; de latitude k, on associe_äun repère local (M, ex ey, e i,) lié' a 9% , tel que eZ soit colinéaire à OTM et drienté vers l'extérieur, et que ex soit dirigé vers le Sud. La latitude )» peut varier de --n/ 2 (pôle Sud) à +n/ 2 (pôle Nord). On note 53 le champ de pesanteur à la surface de la Terre, on fera l'approximation de le con-- sidérer comme dirigé selon --ez .L'atmosphère est une fine couche d'air a la sur-- face de la Terre. L'airsera considéré comme un gaz parfait de masse molaire % . On note 3 le champ eulérien des vitesses dans l'atmosphère, par rapport au référentiel %T, P(x, y, 2) celui des pressions et p(x, y, z) la masse volumique de l'air. _, Figure 1 Coordonnées et repères utilisés Pour les applications numériques, on prendra RT : 6370km, Q : 2n/86164 rad-s'], g : 9,8m-s'2 , %: 29g--mol", R = 8, 31 J -- K"' -moÎ' (constante des gaz parfaits). On négligera la viscosité de l'air et en conséquence on considérera les écoule-- ments dans l'atmosphère comme parfaits. L'étude menée dans cette partie I ne concerne que les vents dominants, c'est-à-dire des écoulements de grande échelle, relativement réguliers dans le temps (on fera d'ailleurs à partir du I.A.4 une hypothèse de stationnarité). Ces vents représentent des vents « moyens », auxquels se rajoutent dans la réalité des vents plus locaux et des vents plus con- joncturels (passage d'un anticyclone, d'une dépression...) I.A.1) Montrer que la relation fondamentale de la dynamique, appliquée à une particule de fluide de l'atmosphère, s'écrit sous la forme : .) pÿ--£ : pê--gradP--2pë> A3 (1) Dt Pourquoi ne voit-on pas apparaître dans cette équation de terme de force d'iner-- tie d'entraînement ? LA. 2) En faisant l'hypothèse que l'atmosphère est isotherme à la tempéra- ture T, établir l'expression que prendrait la pression Pé q,(x y, 2) si l'air était à l'équilibre (c' est- -à- -dire immobile en tout point par rapport a 9? T ) En déduire un ordre de grandeur de l'épaisseur de l'atmosphère. I.A.3) On note alors p(x, y, z) : P(x, y, z) --Péq(x, y," z) . Établir l'équation (2) reliant p , 3, p et Î2. (2) On se limite maintenant à l'étude d'écoulements stationnaires dans @T. I.A.4) On note U un ordre de grandeur caractéristique des vitesses de l'écou-- lement, L une dimension horizontale caractéristique de celui--ci. On appelle nombre de Rossby (noté Ro ) d'un écoulement le rapport sans dimension entre le terme d'accélération et le terme lié à la force de Coriolis dans l'équation (2). Évaluer Ro pour un écoulement atmosphérique typique pour lequel U = 10 m -s_1 et L-- _ 1000 km. Commenter le résultat obtenu: en fonction de la valeur de R0 , quels sont les termes prédominants dans l'équation (2) ? I.A.5) On considère des écoulements atmoSphériques de bas nombre de Ros- sby (Ro « 1) , appelés écoulements géostrophiques et on ne gardera que les ter-- mes prédominants dans l'équation (2). La faible épaisseur de l'atmosphère (voir la question I. A. 2) permet également de négliger la composante verticale "Z de l'écoulement% Ét_athr l'expression du champ de vitesse v de ces écoulements en fonction dee _z__grad p, p, 9 et >». Expliquer pourquoi seule la composante hori-- zontale de grad p intervient en fait dans l'expreSsion de' v. I.A.6) La figure 2 donne la valeur moyenne de la pression atmosphérique P au niveau du sol, le long d'un méridien quelconque, en fonction de la latitude, pour l'hémisphère nord. La figure 3 donne la circulation générale des vents moyens dans l'hémisphère nord. Faire le lien entre ces deux figures et discuter de la validité du modèle étudié, suivant la latitude )» . Compléter la figure 8, qui a été reproduite en annexe, en faisant figurer la circulation générale des vents moyens dans l'hémisphère sud (on admettra que la pression moyenne P est une fonction paire de À ). F1gure 2 Pôle Courants Figure 3 Nord polaires d'est @ N % Courants 5: tempérés d'ouest Cl 30° N 8 % Alizés de CD È. nord-est 80 _ 60 40 20 Latitude Nord (°) Pression atmosphérique moyenne, au niveau du sol, dans l'hémisphère Circulation générale des vents moyens nord, en fonction de la latitude. dans l'hémisphère nord. I.A.7) Estimer numériquement la norme de la vitesse des vents dominants à la latitude de 45° . LB - Étude du prélèvement d'énergie par le rotor de l'éolienne Dans cette partie, on étudie l'interaction mécanique entre l'air en mouvement (le vent) et le rotor de l'éolienne. C'est une étude locale, on se placera dans le référentiel terrestre %T, considéré comme galiléen. Il lui est lié un repère car-- tésien (Èx,Èy,Èz). En amont, loin de l'éolienne, le vent est uniforme et permanent de vitesse 30 : v0Èx , et la pression est elle aussi uniforme, de valeur notée Po ; on suppose en effet que les effets de la pesanteur sont négligeables. On note toujours p la masse volumique de l'air. L'éolienne est formée très schématiquement d'un mât portant un rotor d'axe horizontal. ° On suppose que la perturbation apportée par le mât à l'écoulement de l'air est négligeable. 0 On ne s'intéresse pas pour le moment aux détails de l'écoulement de l'air au voisinage du rotor, et donc pas non plus à la forme précise des pales qui for- ment le rotor ; il suffira donc de modéliser la surface balayée par ce dernier par un disque de centre O et de diamètre D , d'axe x'x (voir figure 4). L'écoulement de l'air est supposé parfait (sauf au voisinage immédiat du rotor) stationnaire et incompressible. Il présente une symétrie de révolution autour de l'axe Ox. On suppose que l'influence du sol est négligeable. La figure 4 repré- sente l'allure du tube de courant qui s'appuie sur le pourtour du rotor. La section de ce tube de courant est supposée varier lentement avec x : on la note S(x). F' 4 " 1gure % | Tube de courant IS ----> | s--« S (x)_ _ _ _) _____ S ----> Schéma du tube de courant s'appuyant sur le pourtour du rotor de l'eo- lpienne. La vitesse et la pression loin en amont sont uniformes ( vo et 0 P) La pression loin en aval est uniforme P0 , la vitesse n 'est uniforme lom en aval qu 'à l'interieur du tube de courant considéré et vaut vs. les normes relatives de vo et vs n'ont pas éte respectées sur ce schema. Elle varie d'une valeur SE loin en amont, à une valeur S S , loin en aval, en pas- sant parla valeur S R : nD2 / 4 au niveau du rotor. Du fait de la variation lente de S (x) , la vitesse peut être considérée comme uni- forme sur chaque section x : Cte de ce tube de courant, et dirigée selon Èx : 3 : v(x)Èx. En particulier, on considère qu'au niveau du rotor, la vitesse du fluide est de la forme 3R : vRêx . On notera P(x) la pression dans le tube de cou- rant à l'abscisse x . Dans le tube de courant, on fait l'approximation de considé- rer l'écoulement comme uniforme, loin en aval du rotor : L'), : v8Ëx . La pression y est aussi uniforme, à la même pression Po qu'en amont. On a donc, dans le tube de courant : v(x)--' X_, _oe v0 v(x)_" X_,+oe vs U(x=0) : UR S(x)----> x_,_,, S,, R S(x) ""--'X_,+oe sî On définit (voir figure 4) quatre sections E , A , B , S du tube de courant. A et B sont situées de part et d'autre du rotor, et à sa proximité immédiate. On considérera ainsi que S A = S B = S R et que ÈA : 33 : 3R : vRêx , conformé- ment au modèle d'une hélice plate. Enfin, la pression à l'extérieur du tube de courant est supposée non modifiée par la présence de l'éolienne, et a donc la valeur uniforme Po- On note F : FÈx la force totale exercée par l'hélice sur le fluide. I.B.1) Établir'une relation entre les grandeurs "o , v s , S E et S S et une autre entre v0 , UR , S E et S R . Justifier la forme du tube de courant de la figure 4. I.B.2) À l'aide d'un bilan de quantité de mouvement sur un système que l'on définira précisément, établir une relation entre "0 ,' US , S E , p et F. I.B.8) À l'aide d'un bilan de quantité de mouvement sur un système que l'on définira précisément, établir une relation entre P A , P B , D et F . En déduire une relation entre "0: vS , p , F et SE. I.B.4) Déduire des questions qui précèdent l'expression de la vitesse "R de l'air au niveau du rotor, en fonction de U0 et U S . I.B.5) Pourquoi l'écoulement ne peut-il être considéré comme parfait au voi-- sinage immédiat du rotor '? I.B.6) Déterminer l'expression de la puissance @ prélevée au vent par le rotor en fonction de p, S R, v() et du rapport oc : vs/v0. I.B.7) Montrer que cette puissance @ atteint une valeur maximale fin..., pour une valeur de a que l'on précisera. Exprimer ÿ...x en fonction de p , S R et vo. I.B.8) On examine les fiches techniques de deux éoliennes de types très différents : une de faible puissance, destinée à être montée sur un petit voilier pour l'alimenter en énergie électrique, l'autre de forte puissance destinée à pro- duire de l'énergie électrique pour un réseau de distribution régional. Pour cha- cune, la fiche technique indique (entre autres données), le diamètre D du rotor, la « vitesse nominale » "0 du vent pour laquelle elle a été conçue préférentielle- ment, et pour laquelle elle fournit sa « puissance nominale » @. Les fiches tech- niques sont établies en prenant une densité de l'air p égale a 1, 225 kg 111 3 . ° Éolienne de faible puissance : D = 1140 mm ; vo : 24 noeuds (on indique qu'un noeud représente une vitesse de 1852 m - h--l ) ; ÿ : 400 W. 0 Éolienne de forte puissance : D = 47 m ; v() = 15 m - s_l ; ÿ : 660 kW. Commenter ces données à l'aide des résultats obtenus précédemment (on attend ici des commentaires faisant appel à des arguments quantitatifs). I.C - Les pales de l'éolienne Dans cette partie, on va modéliser (de manière volontairement rudimentaire) le rotor de l'éolienne. On indique qu 'un objet placé dans un fluide de masse volu- mique p en écoulement uniforme et stationnaire la vitesse uniforme vo subit de la part de ce fluide une force F: T + R, où T, la traînée, est la composante de \ \ à "> - - " parallele a vo et R , la portance, en est la composante perpendiculaire. T et vérifient : :o4fiu % T: 2pv0ACx |... C\l/ HRN= ,pv âAC 0" (3) Dans ces expressions, A est l'aire de la projection de l'objet sur un plan perpen- diculaire à 30 , Cx et C, sont deux fonctions du nombre de Reynolds Re . Cepen- dant, dans la gamme de nombres de Reynolds dans laquelle va fonctionner l'éolienne, on peut considérer ces deux fonctions comme indépendantes de Re . Le rotor de l'éolienne est un solide formé de deux pales diamétralement oppo- sées par rapport à l'axe de rotation (A). Ce dernier axe est aligné avec la vitesse v0-- _ vOex uniforme de l'air (loin en amont du rotor). On noteQ _Qex la vitesse de rotation, supposée constante, du rotor. Figure 5 e 9 > 0 Figure 6 // Eolienne vue de face Eolienne vue de côté On utilisera le repère de coordonnées cylindriques (0, Z,, e:,, 9--1) . La figure 7 mon- tre l'aspect du profil de la pale . elle a une longueur L et est inclinée d'un angle 01 par rapport au plan de rotation du rotor, 01 E [O, a/ 2] . I.C.1) Exprimer la vitesse ?),... du vent en amont de la pale, dans le référentiel de la pale, en fonction de 50 , r, 9 et (39 (r étant la distance à l'axe (A) ). On notera i l'angle entre le plan de la pale et & : iE [O, n/ 2] ; i est appelé angle d'incidence du vent sur la pale. Donner la relation qui existe entre i , 01 , vo , r et Q . Compléter la figure 7 (reproduite en annexe) en y ajoutant le vecteur 3r et l'angle i. Comme la vitesse incidente Ë,. dépend de la position r le long de la pale, on s'intéresse uniquement à une portion d'une des deux pales, portion située entre les distances radiales r et r + dr (voir figures 5 et 6). I.C.2) Montrer que, si l'on néglige l'épaisseur de la pale, ce que l'on supposera valable, l'aire dA de la projection de la portion étudiée sur un plan perpendicu- laire à Êr a pour expression dA : Ldrsini. I.C.3) En faisant l'approximation que les expressions (3) sont applicables àla portion de pale étudiée, bien que È,. ne soit pas> uniforme dans le référentiel de la pale, exprimer les normes des forces d T et dR exercées par le vent sur la por-- tion de pale, en fonction de p, "... r , Q , L , dr, Cx(i), C,.(i) et i . Compléter la figure 7 reproduite lx _ en annexe en ajoutant ces deux F1gure 7 forces. \ (Ml I.C.4) Déduire de ce qui pré- a \ ô cède l'expression du moment dI' (par rapport à l'axe (A) ) de la force exercée par le vent sur la portion de pale. eo . ' ' 1.0.5) Le tableau su1vant ,' \dâïàaËâÏâent donne les valeurs de C,, et C, en ,' ' . , ,. . . , Plan de la fonction de langle d1nc1dence z , / pale pour une pale de profil donné. "0 ,, L'angle i dépendant lui-même de î î î + î î r et de a ' on peut alors tracer Eolienne vue dans l'axe des pales (seule la pale dF/dr en fonct10n de Ot , lorsque proche a été représentée} ; on voit en fait une toutes les autres grandeurs sont coupe de la Pale- fixées. ___|--_- ___-__| ___--__| ___|--_- ___|--_- 1 ___|--_-- , _ _| La figure 8 donne ce trace pour "0 = 10 m - s , Q = 1 tr - s , pour deux valeurs de la distance radiale r , à savoir 2 m et 3 m . Les unités verticales sont arbitrai- res. Commenter les tracés obtenus. Quelle forme convient-il de donner aux pales en vue d'augmenter le rendement de l'éolienne ? dI' 140 dr 120 1 00 80 60 40 20 Tracé de Ë--î pour deux valeurs de la distance radiale r : 2 m et 3 m. Partie II - Utilisation de l'énergie éolienne L'aéromoteur de la partie précédente entraîne i maintenant une génératrice électrique destinée à alimenter une installation électrique. D'autre EUR Figure 9 I ' / ° , . . part, il est necessa1re de prevoer un stockage de ,, . . - ,- {'.--: . lenerg1e afin de pourvmr aux besoms de l1nstal- ::.--__;3 lation en cas de vent insuffisant. Pour les aéromo-- Ê:Êî U teurs de faible puissance dont la vitesse de Ë'â rotation présente certaines fluctuations, on ' adopte le choix d'une génératrice à courant con- tinu. II.A - Étude de la génératrice La génératrice est constituée d'un stator inducteur dont l'excitationest indépen- dante, d'un rotor (induit) alimentant une installation (figure 9). On désigne par : ie , le courant d'excitation circulant dans le bobinage inducteur du stator ; U , la tension aux bornes de l'induit ; I , le courant circulant dans l'induit ; Q , vitesse angulaire de rotation du rotor ; E0 , la tension à vide (1 = 0) aux bornes de l'induit. Les caractéristiques de la machine en fonctionnement générateur sont regrou- pées sur la figure 10 : Courbes 1 Courbes 2 Courbes 3 Q fixé _ U 1 U EO Q /93 0 Figure 10 0 ie max ° Caractéristiques 1 : U (I ) à 9 et ie fixés (Courbes 1) ° Caractéristiques 2 : E0(ie) à 9 fixé (Courbes 2) 0 Caractéristiques 3 : ie(I ) à Q et U fixés (Courbes 3) En outre, on rappelle que la force électromotrice à vide délivrée par l'induit s'écrit EO : (PQ, et si R désigne la résistance totale du bobinage induit, alors U = EO--Rl. II.A.1) Quelle est l'unité de (D ? II.A.2) Tracer l'allure des variations de (I) en fonction de ie . II.A.3) Quel phénomène observe-t-on loquue iEUR >i ? EUR max Dans toute la suite, on se placera - Figure 11 dans le cas où ie |:] . . . . __} r1st1que de fonctionnement ua : ea--raza ua Figure 15 (figure 15), on remarquera qu'en phase de charge, ia < 0 et qu'en phase de décharge, ia > 0 . II.D - Circuit de contrôle de fin de décharge Lorsque l'interrupteur K d est fermé (et donc K c ouvert), la batterie se décharge et sa tension ua diminue. De plus, ua étant toujours astreinte à rester supé- rieure à une tension limite ud (1, 8 V par élément), le circuit de contrôle com- pare les deux grandeurs % et ad, puis commande l'ouverture de K d et la fermeture de KC dès que ua : ud. II.D.1) Montrer que si la batterie Figure 16 débite un courant de charge positif ia , l'utilisation d'un comparateur simple V engendrerait immédiatement après M° l'ouverture de K d un changement de régime provoquant sa fermeture. Afin d'éviter cette oscillation de régime au voisinage du point de basculement, on utilise le comparateur à deux niveaux de la figure 16. « AO » désigne un ampli- ficateur opérationnel dont les impédances d'entrée et de sortie sont respective- ment infinie et nulle, et on désigne par Vsat sa tension de saturation. On prendra pour valeur numérique Vsat : 12 V. On admettra que l'amplificateur opérationnel ,. est instanément saturé dès lors que 8 :O et que si a >0 alors Us = +Vsat,s1 £<0 alors vS ----V sat ' II.D.2) Déterminer et tracer le cycle associé à la caractéristique de transfert, vs en fonction de ve , du montage de la figure 16 en faisant apparaître le sens de parcours. II.D.8) On utilise ce montage pour commander l'interrupteur K d. Le compa- rateur bascule de + VS.... à --V8at lorsque ve atteint u() = 2, 3V par valeur supé-- rieure. Quelle valeur faut-il donner au rapport Rl/R2 pour qu'après une ouverture, l'interrupteur K d ne se referme que lorsque ua atteint 1, 12 u0 par valeur inférieure ? H.D.4) En déduire la valeur de V,,ef . II.D.5) La commande du circuit de charge pose-t-elle un problème analogue ? Justifier. II.D.6) Proposer une caractéristique de transfert pour le circuit de commande de l'interrupteur KC . ILE - Alimentation d'une installation électrique La génératrice ou bien la batterie four-- nit une tension U 0 continue. L'installa- --[>}--Diode --D'âFonction transistor tion électrique fonctionne avec une tension sinusoïdale de fréquence f = 50 Hz et de valeur efficace de 220 volts. La conversion se fait à l'aide d'un onduleur dont le schéma de prin- cipe est décrit en figure 17. Le circuit récepteur, représentant l'ins- tallation, est de type inductif et sera modélisé dans ce qui suit par un dipôle Figure 17 de charge (RC, LC) en série. II.E.1) Déterminer en régime sinu-- so'1'dal à la pulsation oe , la fonction de transfert ie,/uc en fonction de RC , Le et w. Quelle--est la nature du filtre obtenu '? La commande des interrupteurs est périodique, de période T : 2n/oe. La tension uc , obtenue aux bornes du récepteur, est représentée sur la Figure 18 figure 18. L'angle 6 est lié à la com-- mande des interrupteurs. II.E.2) Définir la fonction transistor. II.E.8) On pose 6) : (ot. En adoptant une origine des temps adéquate, calcu- ler les coefficients an du développement en série de Fourier de la tension uc(0) tels que : u (0) : Za cosnf). C, n " On donne 2 an : f0nuc(0)cosne de. Les coefficients seront exprimés en fonction de U 0 , n et 6 . H.E.4) On souhaite que le courant dans la charge soit sinusoïdal de fréquence f = 1/ T = 50 Hz . Montrer en vous appuyant sur l'étude faite à la question ll.E.1 qu'il suffit d'annuler l'harmonique de rang trois pour y parvenir avec une très bonne approximation. II.E.5) Déterminer la valeur de 6 pour lequel a3 est nul. II.E.6) On définit la valeur efficace de uc suivant l'expression 1 2" 2 Uceff : 2_flj f0 uc(6) dB. Calculer cette valeur. Quelle erreur commet-on sur la valeur efficace si on utilise pour expression de uc celle obtenue à partir de son fondamental '? Conclure. II.E.7) Déterminer la valeur de U 0 afin d'obtenir une valeur efficace de 220 V . En déduire le nombre d'accumulateurs nécessaires. On assimile pour cette ques-- tion la tension à son fondamental. II.E.8) Calculer la puissance active consommée par l'installation lorsque celle--ci est composée de dix lampes de 100 W et d'un moteur dont le facteur de puissance est égal à cosch : 0,8 et consommant une puissance nominale de P = 3 kW, le tout branché en parallèle. Déterminer les valeurs RC et Le de l'impédance équivalente de la charge. 000 FIN ooo Pôle Courants Nord polaires d'est Courants ' tempérés d'ouest \ / 30°N . JJJ JCL/J Alizés de E . uateur nord-est Circulation générale des vents moyens _ dans l'hémisphère nord. Figure 3 \ --> Plan de rotation ! éplacement ' \ \de la pale \ Plan de la pale îÉolienLe vue 1dans l'Lxe desÎ pales 3 seule la pale proche a été représentée) ; on voit en fait une coupe de la pale. Figure 7

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 Centrale Physique PSI 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Fourmond (ENS Ulm) ; il a été relu par Olivier Frantz (Professeur agrégé), Michel Fourmond (Enseignant en IUT) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Ce sujet aborde le thème de l'énergie éolienne, qui est loin d'être neuf mais que les techniques et l'actualité remettent sur le devant de la scène. Il est composé d'une multitude de petites sous-parties, quasiment indépendantes les unes des autres et organisées autour de deux axes : · La partie I traite des phénomènes en amont de l'éolienne. On commence par s'intéresser aux vents dominants et à ce qui les crée, puis on étudie la puissance qu'une hélice peut récupérer du vent, et on finit par une étude plus détaillée des pales des hélices. · La partie II s'intéresse à la conversion de l'énergie mécanique en énergie électrique et à son utilisation. On y étudie successivement la génératrice, son circuit de commande, la régulation de la tension fournie, le stockage et l'utilisation proprement dite. Le sujet dresse un panorama relativement complet du thème. La première partie constitue une bonne révision de la mécanique des fluides, tandis que la seconde mobilise une grande part du programme d'électronique. On peut cependant déplorer un certain nombre de coquilles, d'imprécisions ou d'oublis qui peuvent dérouter le candidat. Indications Partie I I.A.2 Prendre T = 293 K comme température pour l'application numérique. I.A.3 Supposer de plus que la masse volumique du gaz s'écarte très peu de sa valeur d'équilibre. I.A.5 Chercher à obtenir une équation vectorielle, soit directement, soit en passant par les coordonnées cartésiennes. I.A.7 Assimiler la portion de courbe entre 30 et 60 à une droite pour estimer le gradient. Calculer la masse volumique en prenant une température au sol de 293 K et une pression de 1 bar. I.B.1 Écrire la conservation du débit sur le tube de courant. I.B.2 Choisir un système fermé pour effectuer un bilan de quantité de mouvement. I.B.3 Exprimer en fonction de SR et non de SE . I.B.5 Prendre en compte les effets de la viscosité. I.C.3 On supposera de plus que les forces sont dans le plan de la figure 7. Partie II II.A.6 Remarquer que sur chacun des intervalles considérés, le courant est une fonction monotone du temps. II.B.1.a Ne garder que le terme d'ordre le plus bas pour ie . II.B.1.b Supposer de plus que 0 . II.B.2.a RI est considéré comme une perturbation. II.B.2.b Utiliser la formule de la question II.B.2.a, même si elle n'est plus applicable. II.D.2 Partir d'une tension d'entrée très négative, en déduire V+ , puis observer ce qu'il se passe lorsque la tension d'entrée augmente puis redescend. II.E.1 Ne pas oublier d'indiquer l'ordre du filtre. II.E.3 Attention, la forme proposée par l'énoncé ne comporte que les termes en cosinus : choisir l'origine des temps pour que cela soit possible. II.E.8 Déduire des valeurs données la résistance des lampes et l'impédance du moteur. En déduire l'impédance du circuit. On pourra modéliser l'impédance du moteur par un circuit RL parallèle. I. Étude d'un aérogénérateur A. Étude des vents dominants I.A.1 On étudie une particule de masse dm = d de fluide dans le référentiel terrestre, non Galiléen. Elle est soumise à : - · son poids P = m - g = - g d , qui inclut, par définition, les forces d'inertie d'entraînement ; - -- · la résultante des forces de pression f pression = - grad P d ; - - · la force d'inertie de Coriolis f = -2 m - v. i.C. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à la particule, on obtient -- - D- v - = g - grad P - 2 - v Dt (1) - I.A.2 Dans l'hypothèse d'une atmosphère au repos (- v = 0 ), l'équation précédente se réduit à la relation de l'hydrostatique : -- g = grad Péq éq - soit Péq Péq Péq et = =0 z x y ne dépend que de z. Relions maintenant éq à Péq à l'aide de éq g = On en déduit que Péq la loi des gaz parfaits : PV = n RT RT M RT RT =n = éq V V M M En reportant ceci dans l'équation précédente, on aboutit à Mg dPéq = Péq dz RT ce qui s'intègre immédiatement en Mgz Péq (z) = Péq (0) exp - RT soit Péq = n On peut en déduire que l'atmosphère à une épaisseur de l'ordre de RT = 8,6 km Mg où l'on a pris T = 293 K. Ne pas oublier de convertir M en kg.mol-1 pour les applications numériques. La taille de l'atmosphère donnée ici est celle pour laquelle la pression a diminué de 63 %. I.A.3 L'équation (1) se réécrit -- -- - D- v = - g - grad p - grad Péq - 2 - v Dt En utilisant la valeur de Péq trouvée à la question précédente, cette équation devient -- - D- v = ( - éq ) - g - grad p - 2 - v Dt Pour supprimer la dépendance en - g comme demandé, il faut de plus supposer que - ( - ) g est négligeable devant les autres termes. Ceci revient à supposer que la éq masse volumique de l'air s'éloigne peu de sa valeur d'équilibre. On obtient alors -- - D- v = - grad p - 2 - v Dt " # -- - -- - - v - (2) ou encore + ( v · grad ) v = - grad p - 2 - v t Les écoulements de ce type sont dits « stratifiés », car on peut alors considérer l'atmosphère comme un ensemble de couches de masses volumiques décroissantes qui ne se mélangent pas. Cette supposition est confirmée à la question I.A.5, où il est demandé de négliger les mouvements verticaux. I.A.4 Pour un écoulement stationnaire, le terme d'accélération de l'équation (2) est de l'ordre de -- U2 (- v · grad )- v L La force de Coriolis vaut quant à elle - 2 - v U On a donc Ro = U U2 /L = = 7.10-2 2U 2L Si Ro 1, ce sont les termes de pression et d'accélération qui prédominent dans l'équation (2). En revanche, si Ro 1, le terme d'accélération devient négligeable devant la force de Coriolis. Pour les écoulements considérés, le terme d'accélération est clairement négligeable. I.A.5 Dans le cas d'écoulements géostrophiques, l'équation (2) devient -- - - grad p + 2 - v = 0 - Comme = - cos - ex + sin - ez - - on a v = - cos v - e + sin (v - e -v - e ) y z x y y x - en négligeant vz . En projetant l'équation (2) sur ex et - ey , on obtient p 2 sin vy = x p 2 sin vx = - y Ces deux équations peuvent se combiner simplement en -- 1 - - v = ez grad p 2 sin