Centrale Physique PSI 2004

Thème de l'épreuve Plasma d'argon créé par une onde de choc
Principaux outils utilisés électrostatique, bilans thermodynamiques, interférences à deux ondes, ondes
Mots clefs plasma, onde de choc, interférométrie

Corrigé

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 _OEfl mä=...m . , ...DÛ_OE>In_ ...m>=mäw ËQN u&mQ=OE - OEËÈOEU OE=ouccü Plasma d'argan créé par une onde de choc Les plasmas sont des milieux macroscopiquement neutres, partiellement ou totalement ionisés. Naturels ou artificiels, on les rencontre sous de nombreuses formes : arcs et décharges électriques, foudre, vent solaire, ionosphère, étoiles, lasers à gaz... Dans ce problème on se propose de déterminer par interférométrie la densité électroni- que ne d'un plasma d'argon créé par une onde de choc. On étudiera en premier lieu certaines propriétés générales des plasmas, puis les caractéristiques d'une onde de choc, et pour finir, le dispositif expérimental permettant la mesure de la densité électronique. Les différentes parties sont en grande partie indépendan-- tes. On donne le laplacien en coordonnées sphériques d'une fonction f (r) : 2 Af(r) : %____ô (;f£r))_ " Les données numériques nécessaires à la résolution de ce problème sont données ci--dessous : Permittivitê dié-- --1 Constante de _ -23 . --1 Charge élémen- __ --19 Masse de _ --31 Constante de __ --34 _ Nombre _ 23 --1 Planck h-6,62x10 ] s NA--6,02x10 mol Énergie d'ionisa-- Masse . 1 tion de l'atome molaire de M = 39, 9 g - mol-- d'Argon l'argon Vitesse de la 8 lumièredans c : 3,00x10 m-- s levide Constante des --1 gaz parfaits R=8,311--K"-rnol " Partie I - Quelques généralités sur les plasmas On considère un plasma d'argon contenant, en moyenne et par unité de volume, n e électrons libres de masse me et de charge -e , ni : n e ions Ar+ de masse mi et no atomes Ar de masse m0. On définit le degré d'ionisation-de ce plasma par le rapport n et: e . ne+n0 On considère d'autre part que le plasma est en équilibre thermodynamique local, ce qui permet de définir la température thermodynamique T de ce plasma. I.A - Étude de l'écart local àla neutralité : longueur de Debye Considérons un ion argon Ar+ particulier, placé en 0 , et pris comme origine--. Du fait de l'attraction Coulombienrie, au voisinage de cet ion, on observe un surplus de charge négative, responsable d'un. écart local à la neutralité globale du plasma. Soit V(r) le potentiel qui règne en un point M situé à la distance r de l'ion Ar+ situé en 0 (l'origine des potentiels est prise à l'infini). Les densités volumiques d'ions et d'électrons en M s'écrivent respectivement : n + : neexp(f--îg?) et n_ : neexp(e£;(})) , avec k B constante de Boltzmann. I.A.1) Quelle(s) remarque(s) vous suggère(nt) les expressions de n+ et n_ ? - Quel nom donne--t-on usuellement à ces lois de répartition ? I.A.2) a) Donner l'expression de la densité volumique totale de charges au point M , pc(r) pour r a: 0 . b) Quelle est l'équation locale satisfaite 'en M par le potentiel V(r) ? 0) On se place dorénavant dans l'hypothèse eV(r) « k BT. Simplifier l'équation obtenue en I.A.2-b, et la résoudre en introduisant la fonction u(r) : rV(r). On introduira pour cela deux constantes d'intégration A1 et A2 . d) On admet que V(oe) : 0 et qu'au voisinage immédiat de l'ion Ar+ , l'influence de sa charge, supposée ponctuelle, l'emporte sur celle des charges électroniques distribuées en volume. Déterminer les Constantes A1 et A2 . Don-- ner ensuite l'expression du potentiel V(r) en fonction de e , 80 permittivité dié-- lectrique du vide, r , et d'une distance caractéristique XD (appelée longueur de Debye) que l'on explicitera en fonction de 80 , kB , T, ne et e. Commenter le résultat obtenu. I.A.8) En déduire la densité volumique totale de charge pc(r) en r =: 0 , puis la charge totale Q(r) (y compris la charge ponctuelle centrale) contenue dans une sphère de centre O et de rayon r en fonction de e , XD et r . Discuter les cas r --> 0 et r --> oo. Conclure. LA 4) Application numérique: on donne pour ce plasma d'Argon =3, 0 x 10213.m_ Calculer la valeur numérique de XD à la température de 1000 K , puis de 10000 K. Discuter la validité de l'approximation faite en I.A.2- c--. I.B - Comportement collectif d'un plasma : pulsation plasma Tout gaz ionisé dont la dimension caractéristique est grande devant la longueur de Debye XD est dominé par les effets collectifs induits par la charge d'espace, effets qui viennent masquer les comportements individuels étudiés dans le LA. Pour illustrer le comportement col- lectif, qui se manifeste notamment lorsqu'on observe ses fluctuations autour de l'équilibre, "on s'intéresse à une boule de plasma de centre O et de rayon R , qu'on con-- sidérera comme la superposition de deux fluides incompressibles : un fluide d'électrons, susceptible de se F1gureg 1 mouvoir, et un fluide d'ions qu'on suppose au repos (les densités ioniques et électroniques des deux fluides précédents sont considérées comme uniformes). On admet qu'à l'instant t, le gaz d'électrons s'est déplacé radialement et qu'il occupe la région de l'espace comprise entre deux sphères, une sphère de rayon r0(t) , et une sphère de rayon R + r1(t) , avec r1(t) très petit devant R (voir figure 1). LE. 1) Sachant que le fluide d'électrons est supposé incompressible, quelle est la relation qui relie r0(t) à "1(t) et R ? I. B. 2) On considère un électron de ce fluide, situé au point M à la distance r de 0, avec rE[ro, R]. Déterminer, en fonction de e, ne ,r, 80 et r0(t) puis de e , R, r ,sO et rl(t), le champ électrique E(M, t) régnant en M àl'instantt. En déduire la force électrique s 'exerçant sur l'électron situé en M. I. B. 3) Un électron, évoluant a la distance moyenne R du point 0, possède a l'instant t le vecteur vitesse r1(t) u,... De même, le vecteur vitesse d'un électron oscillant autour du point M précédent est v(r, t)= v(r, t) u,... En utilisant l1ncompress1b1hte du gaz d'électrons, écrire la relation existant entre la vitesse v(r, t) de l'électron, f1(t), r et R. I.B.4) Déduire des deux questions précédentes l'équation différentielle satis- faite par rl(t). Mettre en évidence l'existence d'une pulsation (op caractéristi- que de ce comportement collectif, appelée pulsation plasma, dont on donnera l'expression en fonction de ne , e , m e et 80 . I.B.5) Quel phénomène vient en pratique amortir les oscillations collectives du plasma ? I.B.6) Calculer, pour un plasma d'argon de densité électronique ne : 3, 0 x 1021 m'3 à la température de 10000 K , la valeur de la pulsation plasma (op. En réalité, à un éventuel mouvement pulsatoire collectif, radial, se super-- pose le mouvement désordonné du plasma, dû à l'agitation thermique de ses constituants. L'ordre de grandeur de la section efficace moyenne se eÀÏ lors d'une collision élastique ion-électron est de 5 x 10 .On donne a'utre part l'expression de la valeur moyenne du module de la vitesse d'un électron : _ 8kBT v : nm e Compte tenu de ces valeurs, le mouvement collectif peut-il être mis en évidence ? Partie II - Étude d'une onde de choc droite dans le gaz argon La température d'un gaz peut être fortement élevée par compression adiabatique ; l'ionisation a alors lieu, et un plasma se forme. Une telle compres-- sion peut être obtenue par une onde de choc. Une onde de choc droite est une surface plane au travers de laquelle les variables caractérisant l'état fluide subissent une discontinuité, ou un « saut ». Cette onde de choc se propage à une vitesse U normale à la surface de discontinuité par rapport au référentiel de l'observateur. Le passage de cette onde de choc dans l'argon gazeux est respon- sable de l'apparition d'un plasma partiellement ionisé. Dans le cadre de notre étude, l'argon est contenu dans un tube rectangulaire, de section S suivant les axes OX et OY , de grande longueur suivant l'axe OZ (voir figure 2 ci-après). O est choisi à l'extrémité gauche du tube, et le référentiel R(O, ê... Èy, @) lié àla cuve est supposé galiléen. On note R'(O', êx, êy, ëz) le réfé- rentiel lié à l'onde de choc. Les coordonnées d'un point quelconque M dans R (resp. R' ) sont (X, Y, Z) (resp. X': X, Y'= Y, Z'). Àl'instant initial t = 0 ,l'onde de choc est créée dans le plan Z = 0 ,elle se propage ensuite suivant l'axe OZ avec une vitesse U: U ez (U > O) uniforme et supérieure à celle du son dans le même milieu. Pour Z ' > 0 , l'argon, qui n'a pas encore été atteint par l'onde de choc et qui est encore immobile dans R , est sous forme gazeuse (région 1 ). Pour Z ' < 0 (région 2 ) l'argon est sous forme d'un plasma partiellement ionisé (Ar, Ar ,e ) en mou- vement par rapport à R àla vitesse uniforme V= Vez avec V > 0. Pour simplifier l'étude, on adopte les hypothèses Y' suivantes : Figure 2 0 les différentes gran- deurs intensives carac- térisant l'état du système de part et d'autre de l'onde de choc sont uniformes dans les régions considérées ; ' l'écoulement est sta- tionnaire dans le réfé-- rentiel R' ; . plasma et gaz d'argon sont en équilibre thermodynamique, ° l'onde de choc se produit de façon adiabatique non réversible. On notera U1 : ---U 1ez (resp. U 2 : --U2ez )la vitesse dans R' de l'écoulement de la région 1 (resp. 2), T (resp- T2 ) la température, p1 (resp. p2 ) la pression, p1 (resp. p2 ) la masse volumique, h1 (resp. h2 ) l'enthalpie massique de la région 1 (resp. 2). U 1 et U 2 sont desgrandeurs positives. L'argon gazeux sera considéré comme un gaz parfait monoatomique constitué de n1 molécules par unité de volume (densité particulaire), le plasma, comme un mélange idéal de trois gaz parfaits « monoatomiques » : un gaz d'électrons (de masse me ) de densité particulaire ne2 , un gaz d'ions Ar+ (de masse m,-- ) de den- sité partiCulaire n,--2 : ne2 , et un gaz d'argon (de masse mo) de densité particu- laire n02 . On poSe d'autre part n2 : ne2 + n02 et 012 : nez/(nez + nez) (degré d'ionisation du plasma). On suppose d'autre part me « mo , m e « m,- et mo - m,-- . II.A - Équation fondamentales de l'onde de choc droite II.A.1) Afin de simplifier l'étude de l'onde de choc, on se place dans le référen- tiel mobile R' . On rappelle que le gaz d'argon est initialement immobile dans le référentiel R lié àla cuve. Quelle relationsimple relie U à U 1 ? Exprimer U 2 en fonction de U et de la vitesse V définie plus haut (on rappelle que V est la vitesse du plasma par rapport à R ). II.A.2) Par application dans R' de principes fondamentaux à un système que l'on précisera soigneusement, établir les trois équations bilans suivantes : 91U1 : PzU2 (1) P1+PlUÎËP2+PZUÊ_ , ' (2) 2h] +-- UÏ = _2h2 + uâ . (3) II.B - Éqùations thermodynamiques II.B.1) Donner les relations reliant p1 et n1 d'une part, p2 et n2 d'autre-part. II.B.2) Donner, dans le milieu 1 , la relation liant p1 , T1 et n1 . En déduire l'équation (4) : ' 101 = w T1-- ' ' (4) en donnant l'expression littérale puis la valeur numérique du coefficient r ainsi que son unité. ' II.B.3) Donner, dans le milieu 2, la relation liant p2, T2, ne2 et n°2, En déduire l'équation (5) : P2,= Pz" T2(1+a2) (5) II.B.4) Sachant que le milieu 1 est un gaz parfait monoatomique, donner l'expression del'enthalpie massique h1 en fonction de T1 , de r , et d'un coeffi- cient numérique [3 dont on donnera la valeur. II.B.5) Quelle serait l'expression de l'enthalpie massique h2 obtenue en considérant le plasma comme mélange idéal de gaz parfaits monoatomîques, en fonction de T2 , r , {$ et a2 ? En pratique, on est obligé, pour tenir compte des propriétés thermodynamiques complètes des plasmas, de rajouter à l'expression de h2 obtenue ci-dessus un terme supplémentaire a2hi0n , représentant la contribution du phénomène d'ionisation à l'enthalpie massique de l'écoulement plasmatique. hion s'obtient à partir de l'énergie d'ionisation par hion : E,- on/ m() . Donner alors l'expression complète de h2 en fonction de T2 , r , B , hio et ca,. n Calculer numériquement hion en J - kg"1 . II.B.6) Réécrire alors l'équation (3) en fonction uniquement de (12 , r , T2 , U 2 , hion , T1 , U1 et B . On obtient ainsi l'équation 3 bis. II.B.7) L'état du gaz d'argon avant le passage de l'onde de choc est parfaite- ment connu de l'expérimentateur, et la vitesse de l'onde de ch0c est parfaitement maîtrisée. Les grandeurs p1 , T1 (et donc pl ), ainsi que U1 sont donc des gran- deurs imposées dans cette expérience. Les inconnues du problème sont donc p2 , p2 , T2 , U 2 , % et h2 . Combien a-t-il établi d'équations indépendantes permet-- tant de relier ces inconnues ? Que pensez--vous alors de la résolution du problème ? H. B. 8) L'équilibre d'ionisation--recombinaison dans le plasma d'argon en équi- libre thermique se traduit par une équation d'équilibre appelée équation de Saha, dont l'expression est la suivante: n2 Ë£2= 2Ë(2nmek3Tz)3/Zexp(_Eion) h2 kBT2 "02 g 0 avec h constante de Planck. go et g1 ' sont deux constantes sans dimension phy--' sique représentant les poids statistiques de l'état électronique fondamental et du premier état excité. On donne g0 : 1, 005 et g1 : 5, 726. Commenter cette relation en vous aidant d'une analogie empruntée au cours de thermochimie. Montrer que cette relation est homogène et qu'elle peut se mettre sous la forme suivante : 2 "1 "% 5/2 B p = A T exp ------ (6) 2 z 2 ( T2) 0'2 avec A et B des constantes dont on donnera l'expression et l'unité. Le problème présenté est-il à présent soluble ? II.B.9) Les équations obtenues ici, notamment l'équation de Saha, sont des équations non linéaires, et leur résolution passe par une approche numérique qu'on n'abordera pas ici. On introduit alors le nombre de Mach U1 /er1 , avec y = 5/3 dans le gaz argon. Pour T1= 300K, p1= 93,3Pa et M1= 20,0 on trouve: 012 = 0,335, T2 : l, 30 x 104 K et p2 : 0,0159 kg.m'3 . Que représente physiquement la quantité /er1 ? Déterminer la vitesse U 2 et la pression p2 correspondant aux données précé- dentes. Déduire de ce qui précède la vitesse V avec laquelle le plasma se déplace dans le repère R (se reporter au résultat de la question II.A.1). Ml: Partie III - Détermination interférométrique de la densité électronique du plasma d'argan On se propose d'étudier la méthode expérimentale de détermination interféro- métrique dela densité électronique ne du plasma d'argon créé par l'onde de choc précédente. On utilise pour cela le montage de Mach--Zehn- - R') der représenté figure 3. Un faisceau laser de pul- sation oe et de longueur d'onde dans le vide )» = O, 6328 pm est divisé en deux faisceaux de même intensité par une lame séparatrice (S). Il transite ensuite selon miroir plan parfaitement deux trajets de même lon- Figure 3 réfléChwsant gueur jusqu'à un récepteur optique (R) supposé ponctuel." L'un des chemins traverse la largeur L du tube mentionné dans la partie II, parallèlement à OX et au voisinage de ' Z = L/ 2 . L'autre s'effectue dans l'air, d'indice pris égal à celui du vide. On pren-- dra pour les applications numériques L = 10,0 cm. miroir plan parfaitement À réfléchissant * Tube de largeurL Y 0 On considérera que le faisceau laser initial peut être représenté par une onde électromagnétique plane monochromatique, d'intensité I 0 et que l'indice du gaz argon de faible densité est celui du vide. III.A - Détermination de l'indice optique du plasma d'argon On" se place dans le référentiel lié au plasma, supposé galiléen. Dans ce réfé- rentiel, on considère le mouvement de l'un de ses électrons libres, en présence d'une onde électromagnétique plane de pulsation oe. On note ï°(t) le vecteur position de cet électron à l'instant t dans le référentiel considéré. On utilisera pour ce plasma les notations de la partiel. On adopte les hypothèses simplifica- trices suivantes : ° ° le rôle du champ magnétique de l'onde est négligeable ; l'onde agit donc selon _ son seul champ électrique ; ° l'expression complexe du champ électrique de l'ondäe aæ'ssant sur l'électron peut être écrite sous la forme simplifiée suivante : E : E0e"°t ; ° l'électron est soumis de la part du plasma à une force de rappel d'expression 2 nee " > Fp=-- "; EURo 0 les ions sont supposés immobiles ; ° la force de frottement induite par les collisions est négligeable. II"I.A.1) Discuter et justifier chacune des hypothèses adoptées. On pourra se servir des résultats de la partie I. III.A.2) Écrire et résoudre, en régime d'oscillations forcées, l'équation du mou-- vement de cet électron. On adoptera avec profit la notation complexe, et on intro- duira la pulsation plasma (op. III. A. 3) Chaque électron, écarté de sa _pomtmn d'équilibre due aux ions Ar , entraîne l'existence d'un dipôle p= --e r. Déterminer, en notation complexe, le vecteur polarisation P du plasma. En déduire la susceptibilité diélectrique Xe(oe) de ce milieu, puis sa permittivité diélectrique relative eR. Tracer le gra- phe de SR en fonction de w. III. A. 4) Établir l'équation de dispersion du plasma (relation entre le module k du vecteur d'onde et la pulsation m). En déduire l'indice optique de ce milieu, n(oe) (grandeur éventuellement complexe). Étudier alors le comportement du pfasma en fonction de la pulsation excitatrice oe. Que se passe--t--il lorsque ... _. oo ? III.A.5) Montrer que, si on sion simplifiée suivante : 1 w 2 - .. .. ..£ QP(oe)_l 2(oe) ' , Traduire la condition 1 en une condition numérique sur la densité électronique ne (on rappelle que la pulsation m est celle du faisceau laser de longueur d'onde dans le vide >» = O, 6328 um ). Expérimentalement, on n'a jamais ne > 1024 m'3. La condition 1 est-elle alors toujours satisfaite ? III.B - Interférométrie laser On suppose désormais que la condition 1 du III.A.5 est satisfaite. III.B.1) On admet que chacune des deux lames séparatrices S de l'interféro- mètre représenté sur la figure 3 possède un coefficient de réflexion en amplitude g et un coefficient de transmission en amplitude 1: tels que ei(n/2) ' t 1 [2 fz " ' & Grâce à ces séparatrices, l'interféromètre de Mach--Zehnder peut être équipé d'un deuxième récepteur (R'), représenté en pointillés sur la figure 3, suscepti-- ble de recevoir lui aussi deux faisceaux lumineux issus du faisceau initial d'intensité I o- Pour un certain état du tube contenant l'argon, les deux rayons qui interférent sur le récepteur (R) ont une différence de marche 6. Quel est le déphasage cp correspondant. ? Exprimer cp', déphasage entre les deux rayons pouvant inter-- férer sur (R'), en fonction de cp. p « (» (condition 1) l'indice du plasma prend l'expres- E: III.B.2) Démontrer que l'intensité lumineuse recueillie par (R) peut se mettre sous la forme : I(t) : Iocosz("ô£t)) . Quelle est l'intensité lumineuSe I ' (t) qui peut être recueillie sur (R ') ? Quelle est la relation entre IO , I(t) et I'(t) ? Exprimer ô(t) en fonction de n(t) et L , avec n(t) indice du milieu contenu dans le tube au voisinage de L/ 2 à l'instant t , sachant que 6 = 0 lorsque n = 1 . III.B.3) ' Montrer que le rapport ô(t)/k peut se mettre sous la forme : ô(t)/k : K (t)nekL . Préciser l'unité et l'évolution temporelle de la valeur numé-- rique de K (t) (on rappelle que le front de l'onde de choc, qui se trouve en Z = 0 à t = 0 , se déplace dans le tube, selon OZ àla vitesse U ). III.B.4) Après le passage de l'onde de choc, n Figure 4 le plasma ne présente pas, comme nous l'avi-- e ons supposé dans la partie Il, une distribu-- tion électronique uniforme. La figure 4 ne M représente, à un instant donné, dans le réfé- rentiel R' lié à l'onde de choc, l'allure réelle du profil de densité électronique n e(Z '). Sa valeur maximale, mesurée juste derrière le choc, est notée neM. C'est cette valeur neM qui correspond en fait àla valeur de ne2 de la partie II. Donner l'allure temporelle du 0 Z ' signal observé pour : - neM = 3 x1021m--3 III.B.5) Montrer que, si neM est supérieure à une valeur critique ne c,, qu'on déterminera, le passage de l'onde de choc produira au moins une oscillation du signal délivré par (R) autour de la valeur 10/2 . C'est ce critère qui garantit une détermination suffisamment précise de ne(Z ') . Conclure sur la qualité des observations dans le cadre du III.B.4. ooo FIN ooo

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 Centrale Physique PSI 2004 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Kevin Lewis (ENS Cachan) ; il a été relu par Vincent Fourmond (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Le sujet porte sur l'étude et la caractérisation d'un plasma d'argon créé par une onde de choc. · On aborde dans la première partie quelques aspects fondamentaux du comportement d'un plasma. Sous l'hypothèse d'un couplage faible, on établit l'existence d'un mode propre d'oscillations du plasma. On discute également la validité de cette hypothèse. · La deuxième partie étudie une onde de choc se propageant dans le milieu, ce qui provoque son ionisation partielle. Le modèle d'ionisation adopté suit la loi de Saha. · Enfin, la troisième partie présente une méthode interférométrique de mesure de la densité électronique du plasma créé par l'onde de choc précédente. Ce problème intéressant, original et peu calculatoire est d'une difficulté moyenne. Il passe en revue de très nombreuses parties du programme de la filière PSI. Les cours d'électromagnétisme, de thermodynamique (notions de physique statistique), de mécanique des fluides (bilans), de thermochimie et d'optique ondulatoire sont en effet nécessaires. Ce type d'énoncé qui nécessite de rédiger proprement de nombreuses questions parfois proches du cours, tout en étant rapide, est très fréquent au concours Centrale-Supélec. Il n'est pas indispensable ici de lire la totalité de l'énoncé en détail dès le début de l'épreuve, car la structure du problème est simple ; les parties sont relativement indépendantes les unes des autres et sont clairement séparées. Indications Première partie I.A.2.b On suppose que le système est stationnaire. Écrire l'équation reliant le potentiel électrostatique et la densité volumique de charge pour r 6= 0. I.A.2.c Utiliser le développement limité du sinus hyperbolique en 0. I.B.1 L'incompressibilité se traduit par la conservation du volume du fluide. I.B.2 Analyser les symétries et les invariances. Appliquer le théorème de Gauss à un volume adapté. I.B.4 Appliquer le principe fondamental de la dynamique à un électron en M. I.B.6 Calculer le libre parcours moyen électron­ion 1/(eff ne ), puis la fréquence caractéristique des collisions électron­ion afin d'effectuer une comparaison. Deuxième partie II.A.1 Écrire la composition des mouvements. II.A.2 Considérer un système fermé. Écrire successivement la conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie totale. II.B.5 L'énergie interne totale est la somme des énergies internes des constituants. II.B.8 Écrire la constante d'équilibre de la réaction : Ar Ar+ + e- Utiliser la relation dr S Cte = dT2 T2 Utiliser les questions II.B.1, 2 et 3 et l'égalité n02 1 - 2 = ne2 2 A ne peut pas être exprimé en fonction de puissances entières d'unités : donner la dimension de AT2 -5/2 à la place. Troisième partie III.A.1 Montrer que le quotient des normes des forces magnétique et électrique vaut Fm /Fe = v/c, où v est la vitesse de la particule chargée plongée dans le champ électromagnétique. III.A.4 Établir l'équation d'onde puis passer en notation complexe pour déterminer la relation de dispersion. I. A. Quelques généralités sur les plasmas Étude de l'écart local à la neutralité : longueur de Debye I.A.1 On suppose avec ces expressions que les populations électronique et ionique obéissent à une statistique de Boltzmann. Les états d'énergie électrostatique élevée sont moins probables que les états de plus faible énergie ; on suppose le plasma en équilibre thermique. Ep n(q) = ne exp - kBT où Ep = qV est l'énergie potentielle de la particule de charge q dans le potentiel V. Il est très important de bien voir que la nature du potentiel V(r) n'est pas liée à l'ion argon, que l'on a simplement pris comme origine du référentiel d'étude. Au contraire, V(r) est caractéristique du milieu. Il est également important de remarquer le lien fait entre l'échelle microscopique étudiée ici et l'échelle mésoscopique caractérisée par la densité volumique ne . Autrement dit, comme on s'intéresse dans la première partie à des phénomènes microscopiques, on supposera que ne est indépendante de r, ce qui n'interdira pas par la suite une variation macroscopique de ne . I.A.2.a En se plaçant toujours à un rayon r non nul, on écrit que la charge totale est la somme des contributions ionique et électronique : eV(r) eV(r) c (r) = en+ + (-e)n- = e(n+ - n- ) = e ne exp - - exp kB T kBT soit encore c (r) = -2e ne sh eV(r) kBT I.A.2.b On est dans une situation électrostatique. Ceci implique que l'équation pour le potentiel se résume à l'équation de Poisson c (r) V(r) + =0 0 2e ne eV Ainsi, V(r) - sh =0 0 kB T I.A.2.c Dans cette approximation on a, puisque sh x x, x0 2 c (r) = - 2ne e V(r) kB T 2ne e2 V=0 0 k B T soit, en explicitant le laplacien et en remarquant que V ne dépend que de r, L'équation de Poisson devient V - 1 d2 (rV(r)) 2ne e2 - V(r) = 0 r dr2 0 k B T Avec le changement de variable suggéré u(r) = rV(r), il vient d2 u 2ne e2 (r) - u(r) = 0 dr2 0 k B T On vérifie que (ne e2 )/(0 k B T) est homogène a l'inverse du carré d'une longueur, ce qui permet de conclure quant à l'homogénéité de l'équation. En effet, ne e/0 ayant la dimension d'un champ électrique divisé par une longueur d'après l'équation de Maxwell et Gauss, ne e2 /(0 k B T) est de dimension [eE]/([k B T]), où est une longueur et [X] désigne la dimension de la grandeur X. On déduit du principe fondamental de la dynamique que [eE] est une énergie par unité de longueur ; [k B T] étant une énergie, on conclut. r 0 k B T On pose donc D = 2ne e2 L'équation précédente se réécrit alors d2 u 1 u(r) = 0 (r) - dr2 D 2 r r et s'intègre selon u(r) = A1 exp + A2 exp - D D r A1 r A2 r 0 k B T d'où V(r) = exp + exp - avec D = r D r D 2ne e2 I.A.2.d La condition V() = 0 impose A1 = 0 Par ailleurs, le potentiel au voisinage de l'origine est imposé par l'ion argon : e V(r) r0 40 r e Ceci implique A2 = 40 En conclusion, pour r 6= 0, V(r) = e e-r/D 40 r Le potentiel est donc celui d'un ion argon écranté par les charges environnantes, l'écrantage se traduisant par la multiplication du potentiel coulombien par le facteur e-r/D . Ceci permet de comprendre qu'au-delà de quelques longueurs de Debye, le potentiel de l'ion n'est plus sensible : on dit qu'il est totalement écranté. On ne perdra pas de vue que cette expression du potentiel n'est valide que dans l'hypothèse de la question I.A.2.c. I.A.3 La densité volumique totale s'écrit 2nee2 0 V(r) = - 2 V(r) kBT D En utilisant l'expression du potentiel trouvé à la question précédente, c (r) = - c (r) = -e e-r/D r 4D 2