Centrale Physique PSI 2003

Thème de l'épreuve Étude d'un gyrolaser
Principaux outils utilisés ondes dans les milieux diélectriques, optique, électronique
Mots clefs gyrolaser, interférométrie, asservissement, intégrateur électronique, vitesse angulaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


_OEn_ w.ä=E * _ ...DÛ_OE>In_ ...m>:mñw mËN omäQ:OE - OEOEÈOEQ mËcËgü À l'exception des comparaisons demandées entre valeurs numériques, les par-- ties I, II, III et IV du problème sont totalement indépendantes. Les gyrolasers sont des appareils utilisés en aéronautique pour mesurer les vitesses angulaires et les variations d'orientation d'avions ou de fusées par rap- port à un référentiel galiléen. Leur principe de fonctionnement repose sur l'émission par effet laser d'ondes se propageant en sens opposés dans une cavité optique fermée (partie LA). La présence d'un mouvement de rotation du gyrola- ser par rapport à un référentiel galiléen se manifeste par une différence de fré-- quence entre l'onde se propageant dans un sens et celle qui se propage dans le sens opposé (partie LB). La mesure de la vitesse angulaire est basée sur la mesure intérférométrique de cet écart de fréquence (partie II). Les parties III et IV abordent deux aspects importants pour le fonctionnement d'un gyrolaser : l'asservissement de longueur de la cavité (partie III) et la réalisation de miroirs de fort pouvoir réfléchissant (partie IV). On modélise la cavité du gyrolaser par le schéma de la figure 1. La cavité optique est constituée de trois capillaires dont les axes, représentés sur la figure 1, forment un triangle équilatéral de périmètre L et de trois miroirs. L'orientation des miroirs et un diaphragme garantissent que les rayons lumineux présents dans la cavité décrivent dans l'un ou l'autre sens le triangle formé par les axes des capillai- milieu res, en effectuant des tours successifs. La amplificateur cavité est remplie d'un mélange gazeux (hélium/néon) sous faible pression. Excité par ionisation, ce mélange se com-- porte comme un milieu amplificateur pour les ondes lumineuses dont la lon- gueur d'onde dans le vide est comprise dans une bande centrée sur 7'0 = 633 nm (bande d'émission). Il en résulte par effet laser l'apparition de deux ondes se pro- pageant en sens opposés dans la cavité. Pour des raisons de clarté, sur la figure 1, le milieu amplificateur est supposé restreint à une partie de l'axe situé entre (M1) et (M3). Un des trois miroirs (M 1) possède un coefficient de transmission non nul et per-- met de recueillir une fraction de l'amplitude associée à chacune des ondes se propageant dans la cavité. Un système optique permet de faire interférer les deux ondes émergentes, la figure d'interférence est observée grâce à un disposi- tif photo-- électrique. On note )tO-- _ 633 nm la longueur d'onde dans le vide correspondant à la fré-- quence centrale V0 de la bande d'émission du milieu amplificateur et (60 la pul- sation correspondante. La vitesse de la lumière dans le vide est c : 3,0><108 m - s"1. Les vitesses angulaires données dans l'énoncé sont expri-- mées en rad/s ou en °/s (1°/ 8 : (7t/ 180)rad/s ). En aéronautique l'ordre de gran-- deur des vitesses angulaires usuelles est compris entre O°/s et 100°/s. Les grandeurs complexes utilisent le nombre j , tel que j2 = --1 . Partie I - Propagation des ondes dans la cavité du gyrolaser Dans ce qui suit on fait les hypothèses suivantes : Les ondes considérées sont supposées planes et monochromatiques. On ne tient pas compte des phénomè- nes de polarisation et on utilise par conséquent l'approximation scalaire. Le miroir M1 a un coefficient de réflexion en amplitude r , les miroirs M 2 et M 3 un coefficient de réflexion r' (r , r' réels positifs inférieurs à 1 ). Les coefficients de réflexion en intensité sont alors R = r2 et R' : r'2. On suppose qu'aucune onde ne pénètre dans la cavité à travers ces miroirs. On admet qu'après la mise sous tension des électrodes permettant l'excitation du milieu amplificateur, on atteint rapidement un régime permanent dans lequel les amplitudes des ondes lumineuses présentes dans la cavité sont constantes. On se limite à l'étude de ce régime permanent. Pour la propagation, le milieu amplificateur peut être assi- milé au vide ; les ondes s'y propagent à la vitesse de la lumière dans le vide c , et il n'induit aucun déphasagesur les ondes autre que celui dû àla propagation. Par contre, à chaque traversée du milieu amplificateur, la norme de l'amplitude du champ électrique de l'onde est multipliée par le facteur g > 1 . I.A - Condition de fonctionnement de la cavité fixe par rapport à un référentiel galiléen. Dans cette partie, le gyrolaser est fixe par rapport à un référentiel galiléen dans lequel on se place pour effectuer l'étude. La propagation des ondes dans les deux sens est totalement symétrique. On considère une onde de pulsation (» se pro-- pageant dans le sens direct. I.A.l) Établir deux relations entre les amplitudes complexes En" et El, de l'onde incidente et de l'onde réfléchie à la surface de M1 , faisant intervenir r, r' , g , oe , L (longueur de la cavité) et c . I.A.2) En déduire deux relations traduisant le fonctionnement de la cavité en régime permanent, l'une reliant r , r' et g, l'autre &) , L et c . Montrer que les fréquences des ondes présentes dans la cavité prennent des valeurs discrètes (modes de résonance) telles que le déphasage dû àla propagation sur un tour de la cavité soit un multiple de 215 . Déterminer l'écart en fréquence Av'm entre deux modes successifs. Les valeurs caractéristiques des gyrolasers actuels sont: L = 33 cm , g2 -- = 4 >< 10"3 (en régime permanent). Le coefficient de réflexion en intensité ' du miroir M1 est R = 0,998. LAB) a) Calculer la valeur minimale du coefficient de réflexion en intensité des miroirs M 2 et M3 pour que l'émission laser soit possible dans la cavité. b) Une étude plus détaillée des processus d'émission laser montre qu'a priori tous les modes dont la fréquence est comprise dans la bande d'émission du milieu amplificateur et eux seuls sont susceptibles d'être présents dans la cavité. La largeur de la bande d'émission centrée sur la fréquence Vo a pour ordre de grandeur Av1 /2 = 1500 MHz . Calculer l'écart entre deux modes succes- sifs. Quel est le nombre maximal de modes observables simultanément dans la cavité ? À quelle condition peut--on observer un mode unique dans la cavité (fonctionnement monomode) ? c) Quelle est la variation de fréquence Av d'un mode de fréquence v se propa-- geant dans la cavité, si la longueur de la cavité varie de AL ? En l'absence de système de stabilisation de la longueur de la cavité, la longueur de celle-ci peut fluctuer de :1 um essentiellement à cause des fluctuations de température. Cal- culer numériquement, pour les modes susceptibles de se propager dans la cavité, l'ordre de grandeur de la variation de fréquence Av' qui en résulte. Com- parer cette variation à la largeur de la bande d'émission Av1 & du milieu ampli- ficateur. Commenter. \ I.B - Fonctionnement du gyrolaser en rotation par rapport a un référentiel galiléen Le gyrolaser est en rotation à la vitesse angulaire Q constante par rapport à l'axe Oz d'un référentiel galiléen R g , perpendiculaire au plan de la cavité et passant par son centre. Dans R g les deux sens de propagation ne sont plus symétriques. Il en résulte un écart de fréquence entre les modes de la cavité pour les deux sens de propagation. Dans le référentiel R g les rayons lumineux se propagent à la vitesse c (le milieu rem- plissant la cavité est assimilé au vide), selon des trajectoires rectilignes en dehors des réflexions sur les miroirs. Cependant, à cause de la rotation de la cavité les rayons lumineux ne décrivent pas une trajectoire fermée dans le référentiel Rg .On utiliseA les notations de la figure 2: A (t) désigne leA sommet du miroir M à l'instant t dans le référentiel R g. Le triangle équilatéral A1(t) A2(t) A3(t) tourne autour de l'axe Oz à la vitesse angulaire Q. Sur la figure le trait épais représente le rayon lumineux, les traits fins représentent la cavité aux instants 0 et t0 , et le cercle sur lequel se déplacent les points A,(t) . Les calculs seront effectués en se limitant aux termes du premier ordre en aQ/c « 1 où a désigne le côté de cavité (a: L/ 3) I.B.1) On considère le rayon se propageant dans le sens direct Ml--> M2--> M3. Il quitte le miroir M1 à l'instant t = 0 au point A1(0). Il atteint le miroir M 2 à l'instant t0 en décrivant le segment A1(O) -- A2(t0) de lon-- gueur d à la vitesse 0 . Montrer que l'angle entre A1(O)O et Ai(O)A2(tO) vaut n/ 6 --- Qt0/ 2 . Endéduire la relation approchée pour Qt0 « 1 : d/a : 1 + (JË/6)Qt... I.B.2) Déterminer les expressions de t0 et d en fonction de a , Q et c . L'hypo-- thèse Qt0 « 1 est-elle vérifiée ? I.B.3) Montrer qu'après réflexion sur M 2 le rayon lumineux considéré atteint . le miroir M3 à l'instant 2t0 au point A3(2t0) que l'onplacera approximative-- ment sur un schéma. Dans le référentiel lié à la cavité, quel est, à l'instant t : 3t0 , le point atteint par le rayon lumineux parti de M1 à l'instant t = 0 ? I.B.4) Exprimer la distance L+ parcourue dans R 8, par le rayon lumineux lorsqu'il atteint le miroir M1 après avoir effectué le trajet Ml--> M2--> M3--> M1 en fonction de L, Q, et c. I.B.5) Lorsque l'onde revient en M1 après avoir effectué un tour, elle inter-- fëre avec elle-même. La condition d'interférence constructive s'applique : le déphasage de l'onde dû à la propagation sur le trajet M1--> M2--> M3 -> M1 doit être multiple de 2n. En déduire que les fréquences des modes de la cavité en rotation par rapport à Oz pour le sens de parcours direct peuvent s'écrire sous la forme : v+n(Q) : v0n(1 + KQ) où V..., est la fréquence du mode n lorsque la cavité est fixe par rapport à R g et K est un facteur dont on donnera le signe et l'expression en fonction de L et c . I.B.6) Montrer que pour le sens de parcours indirect M1 --' > M 3 -- > M 2 -- > M1 les fréquences des modes de la cavité sont : v+n(Q) : v...,(l--KQ) . Pour un sens de rotation et un mode donnés, quelle est l'onde dont la fréquence est la plus élevée ? I.B.7) Calculer le facteur K pour une cavité de périmètre L = 33 cm. On con- sidère, pour un mode déterminé de fréquence Vo lorsque le gyrolaser est fixe, les deux ondes se propageant en sens opposé dans la cavité. Calculer les écarts absolu et relatif de fréquence entre ces deux ondes, si la vitesse angulaire du gyroscope vaut 10°/s (ordre de grandeur rencontré par exemple en aéronautique). Proposer un ordre de grandeur des valeurs maximales de Q mesurables a priori ; commenter ce résultat. Partie II - Mesure de la vitesse angulaire Q par interférométrie ' Dans la cavité d'un gyrolaser ayant un mouvement de rotation àla vitesse angu- laire £2 autour d'un axe perpendiculaire au plan de la cavité, fixe dans un réfé-- rentiel galiléen R g se propagent en sens opposés deux ondes de pulsations : 0 @+ : oe0(1 + KS!) pour l'onde circulant dans le sens direct, ° oe_ : oe0(1-- KS!) pour l'onde circulant dans le sens indirect, Grâce au miroir M1 , une partie de l'énergie de ces deux uy ondes est extraite de la cavité et après passage dans un sys- k tème optique, on obtient deux faisceaux correspondant à + deux ondes quasi planes de pulsations oe+ et oe_ , de vecteurs "'/2 ux d'ondes k + et k__ faisant entre eux un angle oz petit, se pro- _ °'/ Figure 3 k-- pageant dans un milieu assimilé au vide. Les amplitudes de ces deux ondes sont supposées égales. On écrit l'amplitude complexe des deux ondes sous la forme : E + : E0exp [ jw+(r,t)]exp( joe0t) ; E : E0exp[jw_(r,t)]exp(joeot). On utilisera le système d'axes indiqué sur la ...--__ figure 3. EA - Donner les expressions des phases w+(r,t) et w_(r,t) , supposées nulles au point 0 (r = 0) à l'instant t = 0 . Déterminer l'intensité lumineuse résultante en tout point de la zone où les faisceaux se recouvrent en fonction de k+ , k_ , r, (00 , K , Q , t, dans l'hypothèse où le temps de réponse du détecteur est court devant le temps caractéristique de variation de w,(r,t) et w_(r,t). Quelle est alors la caractéristique remarquable de l'intensité mesurée en un point fixé ? Que devient l'intensité détectée si le temps de réponse du détecteur est long devant 1/(v0 - |KQl) ? Commenter ces résultats par rapport au choix d'un détecteur en vue de la mesurede Q . On suppose dans les questions suivantes que le détec- teur est convenablement choisi. II.B - Quelle est la fréquence du signal que détecte une cellule photoélectrique « p0nctuelle », fixe, placée dans la zone de recouvrement des faisceaux ? La fré- quence mesurée est 300 Hz , on donne K : --1,0X10_'Os (si Q est exprimé en rad/s ). Calculer la vitesse de rotation du gyrolaser. Est-il possible de déterminer son sens de rotation par cette mesure ? ' II.C - On détecte le signal dans un plan perpendiculaire à la bissectrice des directions de propagation des deux faisceaux. Montrer que dans un tel plan on observe des franges rectilignes parallèles se déplaçant à une vitesse proportion- nelle à Q , et dont le sens de déplacement est lié au signe de Q. Exprimer dans le plan d'observation l'interfrange i et la vitesse de déplacement u du système de franges en fonction de ÀO, ou , K , Q et c . On donne oc : 3,0 >< 10--4 rad , K conservant sa valeur précédente, on mesure une vitesse v = 1,5 m -- s"1 , les franges se déplaçant dans le sens des y croissants. Calculer i et la valeur algé-- brique de Q . Dans la pratique, on utilise les signaux recueillis par deux cellules photoélectriques décalées d'un quart d'interfrange pour déterminer la valeur algébrique de Q . Pour quelles raisons ? Partie III - Asservissement de la longueur de la cavité La figure 4 représente le Détecteur Vd .V1= ka ' VGBF V2 système d'asservisse-- ment permet- tant de stabiliser la soustracteur Î longueur L de miroir M2 sur_ _ V : V2 la cavité et transducteur p1ezo-electr1que (sauf questions HLA, III.B) d'obtenir un Figure 4 fonctionne-- ment monomode à une fréquence très proche de V0 pour l'un des sens de propa-- gation. À la sortie du miroir M1 un détecteur reçoit une fraction de l'intensité lumineuse I de l'onde se propageant dans le sens direct ; dans cette partie, on ne s'intéresse qu'à cette onde. Le signal de sortie du détecteur est une tension Vd proportionnelle à I . On admet que Vd est liée à la longueur L de la cavité " L L ' ' V " î ( " 0) ou constantes positives. LO représente la longueur de la cavité pour laquelle la fré-- par une loi de la forme : Vd(L) : V L0 et ce sont des max max ' quence du mode est vo ; l'intensité est alors maximale. La loi précédente est valable si L s'écarte peu de Lo , ce qui est le but de Passer-- vissement étudié. Le miroir Mi est fixé sur un transdùcteur piézo--électrique dont l'épaisseur est liée à une tension de commande VC . La longueur de la cavité s'écrit alors : L : Lo + Al (t) + ch(t) où Al (t) représente les perturbations de la longueur de la cavité dues essentiellement aux variations de température, et b est une constante positive. Le GBF délivre la tension sinusoïdale VGBF : VO cos oemodt . La tension de commande du transducteur est VC : V+ -- V_ où V+ et V__ sont les tensions appliquées sur les entrées du soustracteur. On étu- die d'abord le cas où l'entrée -- du soustracteur n'est pas reliée à la sortiede l'intégrateur mais à la masse (V__ = 0). La perturbation Al est supposée cons- tante. La longueur de la cavité oscille alors autour de la valeur moyenne L() + Al . III.A - Exprimer la tension V1(t). Linéariser cette expression pour obtenir le développement en série de Fourier de V1(t). On rappelle que cos3x : (3 - cosx + cos3x)/4. III.B - III.B.1) Dans le cas où l'intégrateur est parfait, quelle est l'expression appro-- chée de V2(t) Si t est suffisamment grand ? Préciser la condition t « grand ». III.B.2) La figure 5 représente une réalisation possible de l'intégrateur, cons- truite autour d'un amplificateur opération-- nel supposé parfait. Exprimer sa fonction-- de transfert sous la forme Ii(joe) : ---G/(1 +joe/oec) . De quel type de filtre s'agit-il ? Calculer son gain statique G et sa pulsation de coupure oec . Dans quel domaine fonctionne-t-il en intégrateur ? Quel est en pratique le rôle de la résistance r ? On suppose dans la suite du pro- blème que la fonction de transfert de l'intégrateur est effectivement Ii ( j 03) . III.B.3) Comment choisir wc pour rendre négligeables les composantes oscillantes de V2(t) en régime établi ? Montrer que la tension V2 est dans ce cas proportionnelle à Al ; pour la suite du problème, on supposera cette condition réalisée. On rétablit la liaison entre la sortie de l'intégrateur et l'entrée ---- du soustracteur: V_ : V2(t). La pulsation oemod du signal de modulation délivré par le GBF est très grande devant les pulsations caractérisant les variations temporelles de Al (t) et de V2(t) . On peut donc considérer que la longueur de la cavité oscille rapidement àla pulsation oemod autour d'une valeur moyenne len- tement variable Lm(t) : LO + ALm(t) où l'écart moyen à la longueur Le est ALm(t) : Al(t)--bV2(t). III.C - III.C.1) Montrer que la nouvelle expression de V1(t) s'obtient en remplaçant Al par ALm(t) dans le développement de la question HLA). III.C.2) a) Écrire l'équation différentielle reliant V2(t) et ses dérivées à V,... . b) On admet que si la pulsation oec est choisie comme àla question III.B.3, une solution approchée de l'équation différentielle précédente peut être obtenue en ne conservant dans l'expression de V1 (t) que les termes lentement Variables. En déduire l'équation différentielle reliant dans ces conditions la tension V2(t) à , 2. 2 Al(t), (oc, b et G : Gkocb V0/2- III.C.3) On considère une perturbation échelon : Al (t < 0) = 0 ; Al(t > O) : AlO . Vérifier qu'une solution possible de l'équation différentielle pour t < 0 corres- pond à V2(t<0) : 0. Déterminer V2(t>0). Calculer ALm(t) pour t<0 et t>0. Exprimer le temps caractéristique de stabilisation de la longueur de la cavité. Calculer la valeur de G' correspondant à une réduction de l'effet de la perturba-- tion sur la longueur de la cavité par un facteur 10. III.C.4) On considère des perturbations sinusoïdales d'amplitude complexe Al : Aloexpjoet. Déterminer les rapports des amplitudes complexes V2/ê_l et Alm/êi . En déduire le domaine de pulsation dans lequel la stabilisatiîn de la 1OEgueur de la cavité est effective. On suppose oe « wc ; quelle doit être la valeur de G' pour que l'amplitude de ALm soit inférieure à 10/ 100 si AlO vaut 1 um ? Avec 7*0 = 633 nm , calculer la variation de fréquence du gyrolaser associée à cette valeur de ALm : 7t0/100 . Commenter le résultat obtenu. Partie IV - Réalisation des miroirs de la cavité Les miroirs du gyrolaser sont réalisés par déposition, sur un substrat en vitro-- céramique transparente, d'une série de couches diélectriques transparentes d'indices alternativement élevés (dioxyde de titane ou oxyde de tantale) et fai- bles (oxyde de silicium). Cette partie a pour objet le calcul des coefficients de réflexion d'un miroir de ce type, dans les conditions suivantes (figure 6). Le demi-espace 2 < 0 est assimilé au vide pour la propagation d'ondes électroma- gnétiques. Il modélise en particulier la cavité du gyrolaser. La région 2 > h (subs- trat) est un milieu diélectrique d'indice ns . Il peut-être au contact direct avec le vide (question NB), figure 7, h = 0 dans ce cas), ou recevoir une (question IV.C), figure 8) ou plusieurs (question IV.D, figure 6) couches minces diélectriques. Tous les milieux considérés sont diélectriques, non magnétiques, parfaitement transparents, linéaires, homogènes et isotropes pour les fréquences considérées. Les interfaces entre les différents milieux sont des plans perpendiculaires à u z . On considère une onde pro-- _ vide,no gress1ve, plane, monochroma- E. B- E B tique, de pulsation (no, se 0 t' L r, r propageant selon "z dans le vide, dont le champ électrique 2 1 Î' nH Ei est polarisé rectilignement 22 ' nL selon "x- On note (Ei,Bi) le 23 H, "H champ électromagnétique cor- 24 L, n L respondant. Cette onde arrive 2 H n sous incidence normale sur 5 L 'nH l'interface z = 0. Elle est à 26 ' L l'origine d'une onde réfléchie h = 27 H» "H dans le vide (E,,,B,_), d'une E B onde transmise dans le subs- z ' t' t , substrat, n8 trat (Et, Bt), et d'un champ Figure 6 : structure substrat/multicouche/vide électromagnétique au sein des de type substrat / (HL)PH / vide avec 19 = 3 couches diélectriques dû aux . réflexions et aux transmissions au niveau des interfaces séparant les différents milieux (vide, couches diélectriques, substrat). On considère que l'onde trans- mise est la seule onde présente dans le substrat. On rappelle que la réflexion et la transmission d'une onde plane progressive monochromatique à l'interface entre deux couches diélectriques donne deux ondes planes progressives de même pulsation que l'onde incidente, dont les directions de propagation sont données par les lois de Snell--Descartes. Tous les champs ayant même pulsation (no ,la notation n désignera l'indice correspondant à cette pulsation. On écrira les champs en notation complexe: E(r,t) : E(r)exp(joeot) ; Q(r,t) = B_(r)exp(joeot). IV.A - IV.A.1) Montrer sans calcul que : a) le champ total dans chaque couche diélectrique peut être considéré comme la superposition de deux ondes progressives planes se propageant respectivement selon "z et ""z ; b) les champs électriques des différentes ondes sont tous colinéaires u x , alors que les champs magnétiques sont colinéaires à u . On notera alors E... = E.(Z)ux; EU") = B(2)uy- y IV.A.2) Donner la forme de Ek(z) dans la kème couche diélectrique en fonction de k k , module du vecteur d'onde dans la couche et de deux constantes caracté- risant les amplitudes associées au champ. Exprimer k k en fonction de mo , c , et de l'indice n k IV.A.3) Rappeler sans démonstration la relation entre le champ électrique et le champ magnétique d'une onde progressive plane monochromatique se propa- geant selon la direction caractérisée par le vecteur unitaire u z dans un diélec- trique d'indice n . Exprimer le champ l_3k(z) en fonction de k k , c , n k et des deux constantes utilisées à la question précédente. On définit les coefficients de réflexion r, et de transmission en amplitude 17 , par: r; : Er(O)/Ei(0) ; "C : Et(h)/E_ (0). On rappelle que dans2 le vide, la relation entre 7; et R , coefficient de réflexion en intensité est R= |r|2 .Le coefficient de transmission en intensité est noté T. IV.B - Réflexion vide / substrat (figure 7) Le milieu d'entrée assimilé au vide ("0 = 1) et le milieu de sortie d'indice n.8 sont ' adjacents. ' Ei(z) k . vide Ei(z) kt Figure 7 : interface Figure 8 : structure v1de/ substrat substrat/couche mince/vide NR 1) Donner les relations de passage pour les composantes tangentielles du champ électromagnétique à l'interface. IV.B. 2) En déduire le système de deux équations vérifié par les coefficients r et "C. Exprimer r, R et T en fonction de no et ns IV.B.3) Calculer R dans le cas où le milieu de sortie est du verre (ns : 1,5) . Ce phénomène de réflexion est-il facilement observable dans la vie quotidienne ? Dans quelles conditions ? IV.C - Réflexion vide / couche mince / substrat (figure 8) Le milieu d'entrée et le milieu de sortie (indices "o et ns) sont séparés par une couche mince d'épaisseur h , d'indice n1 . IV.C.1) Exprimer le champ électromagnétique dans la couche mince à l'inter-- face 2 = h en fonction de sa valeur à l'interface z = 0. Mettre le résultat sous forme matricielle: [E1(h),Bl(h)l : M1 [E1(0),1_31(0)l où M1 est la matrice de passage (à coefficients complexes) pour la couche mince. IV.C.2) Déterminer les relations qui lient Ei(0) , E_r(0) , E,(h) . Montrer que r_' peut être mis sous la forme Nlcosklh +jN2sinklh ... [:= où N 1, N 2, N 3 et N 4 s'expriment uniquement en fonction des indices no , n1 , et n s. IV.C.3) Montrer que lorsque n8 # no , il existe une valeur de n1 , fonction de "0 et de ns ainsi que des valeurs de h s'exprimant simplement en fonction de la longueur d'onde dans la couche mince, qui permettent d'annuler r_' : on obtient alors une couche anti-reflet pour la fréquence considérée. Pour quelles raisons n'est--il pas possible de réaliser une couche anti-reflet sur l'étendue du spectre visible ? IV.C.4) Dans la pratique, on utilise souvent des couches minces « quart d'onde » : h = k/ 4 , où À est la longueur d'0nde dans la couche mince (pour la fré- quence considérée). Quelles formes simples prennent alors la matrice de pas- sage M1 et les coefficients r; et R pour cette fréquence ? IV.C.5) Tracer la courbe représentative R = f (n1) pour une couche mince quart d'onde. On prendra no : 1 , ns : 1,5 (verre), on effectuera le tracé pour des valeurs de n1 comprises entre 1 et 3 , en indiquant sur le graphe l'intervalle correspondant àla gamme d'indices physiquement réalisables pour des couches minces (1,3 à 2,5). D'après ce graphique, comment choisir l'indice de la couche mince pour favoriser la transmission de l'onde incidente ? Comment favoriser la réflexion '? Calculer numériquement les valeurs extrêmes de R qui peuvent être obtenues et les comparer àla valeur obtenue pour l'interface vide/verre. ' IV.D - Réflexion vide / structure multicouche / substrat (figure 6) Le milieu d'entrée et le milieu de sortie sont maintenant séparés par une suc- cession de couches diélectriques d'indices alternativement élevé n H et faible n L, chaque couche mince étant quart d'onde. On considère la structure vide / (HL)p H / substrat formée par l'empilement de p + 1 couches H et de p couches L alternées. IV.D.1) En utilisant les résultats de la question IV.C.4, déterminer les composantes du champ électromagnétique [E2(22), 52(22)] puis du champ [E2p+ 1(h), sz+ 1(h)] en fonction de [E,(O), B_1(O)] ; on pourra utiliser les matri- ces de passages dans les couches diélectriques. IV.D.2) En déduire l'expression de 7_' en fonction de no , ns , n H, n L et p . Jus- tifier a posteriori le choix de ce type de structure pour la réalisation de miroirs. IV.D.8) Les miroirs d'un gyrolaser sont" de type vide / (HL)ZOH/ verre, avec pour la longueur d'onde dans le vide 7*0 = 633 nm , n H = 2, 1 , n L = 1, 45 et tou- jours n0 : 1 , ns : 1, 5 . Les couches ont pour épaisseurs respectives O, 075um et O, llum . a) Vérifier que ces épaisseurs constituent sensiblement des couches « quart d'onde ». b) En supposant qu'il s'agit exactement de couches « quart d'onde », calculer pour ces miroirs les coefficients :; et R . Comparer le résultat avec les impératifs liés au fonctionnement du gyrolaser. IV.D.4) En pratique le coefficient de réflexion en intensité mesuré expérimen- talement sous incidence normale est plus faible que celui déterminé dans le modèle précédent. Quels sont le ou les phénomènes négligés dans l'étude précé-- dente responsables de cet écart ? Pourquoi ces phénomènes conduisent-ils en pratique à limiter le nombre de couches minces déposées sur le substrat ? 00. FIN ooo

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 Centrale Physique PSI 2003 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Emmanuel Bourgeois (ENS Lyon) ; il a été relu par Éric Armengaud (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (ENS Lyon). Ce sujet porte sur l'étude du gyrolaser, appareil utilisé pour mesurer des vitesses angulaires, en particulier en aéronautique. Cet appareil est une application parmi tant d'autres du laser, dont le principe de fonctionnement est expliqué en préambule. Le problème s'articule en quatre parties indépendantes. · Dans la première partie, on étudie la propagation des ondes dans la cavité du gyrolaser, afin de préciser ses conditions de fonctionnement. · La deuxième développe une méthode de mesure de la vitesse angulaire algébrique. · La troisième étudie l'asservissement de la longueur de la cavité. · Enfin, la dernière partie s'intéresse à l'optimisation des propriétés réflectives des miroirs. Ce problème, relativement long, comporte quelques questions délicates, ainsi que quelques questions importantes pour bien appréhender la suite. La deuxième partie peut déstabiliser les candidats qui voudraient appliquer trop vite le cours d'optique ondulatoire. Les troisième et quatrième parties sont plus faciles mais assez calculatoires. Le problème s'appuie sur le cours de physique des ondes (optique ondulatoire, propagation des ondes dans le vide et dans les mileux diélectriques isotropes, réflexion, réfraction), ainsi que sur le cours d'électronique. Indications Première partie I.A.1 Relier le champ incident au champ réfléchi en considérant soit les réflexions sur M2 et M3 soit uniquement celle sur M1 . I.B.1 Tous les triangles OAi (ti )Aj (tj ) sont isocèles. En outre, pendant une durée t, la cavité tourne de = t. I.B.3 La trajectoire du rayon est fermée dans le référentiel tournant. I.B.5 Si la phase doit être un multiple de 2, alors on peut appliquer les résultats de la partie A. Deuxième partie II.A Quelle est l'écriture générale d'une onde plane monochromatique dont on connaît la pulsation et le vecteur d'onde ? II.C Projeter l'expression de la phase dans le repère Oxyz. L'expression obtenue a la forme caractéristique d'une onde plane. Troisième partie III.B.3 La fonction de transfert dépend de la pulsation. Il faut donc traiter séparement chaque pulsation. III.C.1 Que vaut (t) ? Quatrième partie IV.A.1.b Montrer que chaque composante du champ électromagnétique considéré est continue. - - 1- IV.A.3 Projeter, en prenant garde aux signes, la relation B = k E . IV.B.2 Utiliser les questions IV.A.3 et IV.B.1. IV.C.1 Qu'a-t-on mis en évidence à la question IV.A.1.a ? IV.D.1 La matrice MH ML est diagonale. On peut donc calculer immédiatement les champs après les p premières couches. Puis on rajoute la dernière couche H. IV.D.3.b Comparer la valeur obtenue à celle de la question I.A.3.a. I. Propagation des ondes dans la cavité du gyrolaser I.A. Condition de fonctionnement de la cavité par rapport à un référentiel galiléen I.A.1 La cavité fonctionne en régime permanent. À la réflexion sur le miroir M1 , on peut appliquer la relation E1r = rE1i On peut également appliquer cette relation aux deux autres miroirs, ayant un coefficient de réflexion r : E2r = r E2i et E3r = r E3i Il en résulte que E1r s'exprime directement en fonction de E1i . On peut également exprimer E1i en fonction de E1r en étudiant l'évolution de l'amplitude de E1r au cours de la propagation : · Par réflexion sur M2 et M3 , l'amplitude est modifiée d'un facteur r . · Lors de la propagation d'un miroir au suivant, l'amplitude est amplifiée d'un facteur g, et l'onde est déphasée de kL/3 où k = /c est la norme du vecteur d'onde et L le périmètre du trajet. M2 On en déduit les relations suivantes : E1i = g e-jkL/3 E3r E2i = g e-jkL/3 E1r E3i = g e-jkL/3 E2r On peut maintenant exprimer E1i en fonction de E1r en tenant compte de la propagation : E1i = g e-jkL/3 E3r = gr e-jkL/3 E3i = · · · Finalement, E2r r E2i L/3 E3i r E1r M1 M3 E3r E1i r E1i = r2 g 3 e-jL/c E1r Le fait de pouvoir appliquer la relation Er = rEi après réflexion sur le miroir n'est pas si évident. Par exemple, dans le cas de réflexions multiples à la surface d'une lame (voir la partie IV), cette relation n'est pas valable. Ici, la géométrie du système fait que les rayons lumineux ont des trajectoires fermées. De plus, le système est en régime permanent et les ondes ont donc fait beaucoup de tours. La relation E1r = rE1i est valable à chaque fois que l'onde est réfléchie, donc également pour l'onde résultante. Rappelons que dans le milieu amplificateur, l'onde se propage comme dans le vide, ce qui se traduit, d'une part, par le déphasage proposé et, d'autre part, par la relation de dispersion k = /c . L'énoncé précise que le milieu amplificateur est présent partout dans la cavité ; il ne faut pas tenir compte de la figure qui suggère qu'il n'est présent qu'entre M1 et M3 . I.A.2 En régime permanent, la cavité fonctionne si les champs sont non nuls. 2 Or, d'après la question I.A.1, E1i = rr g 3 e-jL/c E1i . On en déduit, en séparant les parties réelles et imaginaires, L 2 3 =1 rr g cos c L sin =0 c La relation sur le sinus entraîne L = m mZ c L Or, comme r, r et g sont positifs, cos > 0, d'où c L = 2m (m Z) c La deuxième équation prouve que les ondes présentes dans la cavité sont telles que le déphasage sur un tour soit un multiple de 2, ce qui correspond à une suite discrète de valeurs accessibles pour la fréquence : mc m = 2 mN L L'écart en fréquence entre deux modes successifs est ainsi, avec = 2 = 2c/ , c m = m+1 - m = L 2 rr g 3 = 1 et I.A.3.a Pour que le rayon subsiste dans la cavité, on doit vérifier g 3 r 2 r > 1. En effet, si ce coefficient est plus petit que 1, l'onde s'atténue de tour en tour et finit par disparaître. De plus, si g 3 r 2 r = 1, la moindre dissipation atténue l'onde, ce qui entraîne là encore sa disparition. De cette inégalité on déduit la valeur minimale du coefficient de réflexion des miroirs M2 et M3 : 1 R min = = 0, 995 g3 R Dire que l'on augmente l'amplitude pourrait laisser penser que l'on autorise le champ à diverger, ce qui est absurde. Cette modélisation ne tient pas compte des phénomènes non linéaires de saturation ni des pertes (faibles) qui limitent l'amplitude, ce qui assure que le champ ne diverge pas. I.A.3.b La bande d'émission a pour largeur 1/2 = 1 500 MHz et est centrée autour de 0 . Calculons l'écart en fréquence entre deux modes successifs : c m = = 910 MHz L Si l'on suppose que le premier mode a une fréquence à la limite inférieure de la gamme de fonctionnement du gyrolaser, le suivant est toujours dans la gamme de fonctionnement, mais le troisième est au-delà. On en déduit que l'on peut observer au maximum deux ondes. La cavité a un fonctionnement monomode si le mode a une fréquence proche de 0 , plus exactement si m = 0 + - 160 MHz