Centrale Physique PSI 2000

Thème de l'épreuve Utilisation des portraits de phase dans les problèmes de commande d'un moteur à courant continu
Principaux outils utilisés électrocinétique, mécanique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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PHYSIQUE Filière PSI PHYSIQUE Utilisation des portraits de phase dans les problèmes de commande L'examen du portrait de phase des systèmes, très pra- Moteur tique dans l'étude des oscillateurs par exemple, est mobile fréquemment utilisé pour mettre en évidence le com- x portement de systèmes bouclés. On se propose ici de dégager quelques propriétés fondamentales, à partir de l'étude du positionnement de mobile à l'aide d'un convertisseur électroméca- nique inséré dans une boucle d'asservissement. Partie I - Modélisation Le dispositif considéré ici est composé d'un mobile se déplaçant sur un axe Ox , entraîné par un moteur à courant continu. On effectuera de nombreuses hypo-- thèses simplificatrices ; aussi ne seront à prendre en compte que les paramètres des modèles définis ci--dessous, à l'exclusion de tout autre défaut. Le moteur à courant continu et aimants permanents est décrit par un modèle électrique com- prenant une source de tension de force électromotrice e proportionnelle à la vitesse angulaire (» du rotor (@ ='CI>O - oe ) et une résistance R (résistance d'induit). L'inductance de l'enroulement d'induit est négligée. Le moment par rapport à l'axe de rotation des forces électromagnétiques est proportionnel à l'intensité du courant parcourant l'induit : C : (DO - i . Il est à noter que les gran- deurs mécaniques C et m sont algébriques et qu'elles ont respectivement le même signe que les grandeurs électriques i et e . I.A - Le tension appliquée au moteur est notée u . Les orientations de u , e et i sont celles d'une convention récepteur. Lorsque la machine à courant continu fonctionne en moteur (récepteur électrique), avec e > 0 , le mobile se déplace dans le sens des x croissants. Préciser ces orientations sur le schéma équivalent de la machine. Le mouvement de rotation de l'axe du moteur est converti en mou- vement de translation du mobile selon la relation x = D - 6 où 6 est l'angle de rotation. L'inertie totale de l'ensemble des pièces mobiles est modélisée par un moment d'inertie fictif, exprimé par rapport à l'axe de rotation de la machine et noté J . D'éventuels frottements ne seront pris en compte que dans les questions Concours Centrale-Supélec 2000 1/9 PHYSIQUE Filière PSI Fil'ère PSI où il en sera explicitement fait mention. Dans toutes les autres questions, les seules forces prises en considération seront les forces électromagnétiques. On précise ci-dessous les valeurs numériques à utiliser dans tout le problème : R = 1,59 ;<1>0 = 0,17V-rad'l-s ;J = 1,0><10--3kg-m2 ;D = 0,050m. I.B - La tension aux bornes du moteur ayant la valeur E = 15 V , on attend l'éta- blissement du régime permanent. On note v' la vitesse du mobile observée alors que les frottements fluides, dont les effets sont équivalents à un couple de moment --ocoe appliqué au rotor (0) étant la vitesse angulaire de ce dernier), sont présents. Toutes choses étant égales par ailleurs, si les frottements fluides pou-- vaient être annulés, la vitesse du mobile, notée v , serait différente de v' . Expri- mer et calculer v'/v . On donne : oc : 1,0X10_3N-m-rad_l -s. I.C - On néglige les frottements internes propres au moteur (le couple de moment --ocoe est donc dû aux autres parties du système). Exprimer et calculer le rendement énergétique du moteur lorsque la vitesse du mobile, en régime per-- manent, est v' . Commenter la valeur numérique de ce rendement. Dans les questions qui suivent, aucun frottement n'est pris en compte (jusqu'à HD). I.D - Si l'on suppose qu'une tension u est appliquée aux bornes de l'induit par une source de tension et si l'on note u la vitesse de déplacement du mobile, exprimer les fonctions de transfert suivantes : TX_ U = %(p), TV_ U = %.(p). On parle alors de commande en tension. Définir et calculer une constante de temps électroécanique rem à partir des fonc- tions de transfert ci--dessus. I.E - Si l'on suppose maintenant qu'une intensité i du courant d'induit est impo- sée par une source de courant, calculer la fonction de transfert TV_ 1 : 'Î]( p). On parle alors de commande en courant. Concours Centrale-Supélec 2000 2/9 PHYSIQUE Filière PSI Partie II - Commande en boucle ouverte On désire comparer les deux modes de commande définis précédemment en sachant que des contraintes technologiques imposent une valeur maximale de l'intensité du courant d'induit : I Max : 10 A. II.A - On applique un échelon de tension aux bornes du moteur, le mobile étant initialement au repos, et on observe l'évolution de la vitesse v(t) . Sachant que l'amplitude de l'échelon de tension est choisie de telle sorte que l'intensité maxi- male du courant d'induit soit égale à I Max , déterminer littéralement, puis numériquement, le temps au bout duquel la vitesse aura atteint 90% de sa valeur finale. II.B - Si l'on impose au moteur, à partir des mêmes conditions initiales, une intensité constante égale à [Max, quel sera le temps mis pour atteindre la même valeur de vitesse ? Interpréter. II.C - On définit le portrait de phase du dispositif en évolution comme le lieu décrit par le point d'abscisse x(t) et d'ordonnée v(t) dans le plan de phase (x, v) , lorsque t varie. Représenter ce lieu pour les deux essais précédents. II.D - On envisage un second type d'essai en présence de frottements fluides, dont les caractéristiques sont celles de la question LB. A l'instant initial, le mobile est animé d'une vitesse V0 = 4, 4 m - s_1 et on cherche à le freiner. II.D.1) On ouvre tout d'abord le circuit d'alimentation du moteur ( i = 0 ). Mon- trer que le mouvement du mobile est caractérisé par une constante de temps mécanique rm que l'on calculera. Exprimer la distance d'arrêt théorique du mobile en fonction de V0 et de "Em . Quelle remarque peut-on faire sur le temps d'arrêt ? Déterminer, dans le plan de phase défini ci-dessus, la trajectoire par- courue. II.D.2) On met la machine à courant continu en court-circuit (u = 0 ). Calculer i(0). Montrer que le mouvement du mobile est caractérisé par une nouvelle constante de temps électromécanique 'E'em. Exprimer t'em en fonction de 1... (définie au ID) et rm (définie ci--dessus). Déterminer la nouvelle trajectoire de phase et la nouvelle distance d'arrêt que l'on exprimera en fonction de V0 et de r' et que l'on calculera. Caractériser le fonctionnement de la machine à cou- em rant continu pendant cette phase. II.D.3) On impose une intensité de valeur absolue I Max dans le moteur dans un sens tel que la vitesse du mobile décroisse ; cette valeur étant maintenue jusqu'à l'arrêt. On néglige les frottements fluides si le terme locoel est en perma- nence inférieur à [CV 10. Dans ces conditions, déterminer l'instant t1 où la Concours Centrale-Supélec 2000 3/9 PHYSIQUE Filière PSI vitesse s'annule, la nouvelle distance d'arrêt X0 et la nouvelle trajectoire de phase. II.D.4) Commenter brièvement l'efficacité de ces trois méthodes de ralentisse-- ment. Indiquer, en précisant les valeurs de u(0) et de u(t1) , comment évolue la tension u aux bornes de la machine à courant continu (et de la source de cou- rant) lors de la phase précédente. Partie III - Étude en chaîne bouclêe Le position-- nement du mobile est assuré par un système asservi dont le moteur vu précédemment est l'actionneur. On envisage dans cette partie le cas de l'asservissement linéaire, le moteur étant commandé en tension par un amplificateur de puissance dont la tension de sortie est propor-- tionnelle à la grandeur d'erreur 8 : xc -- x fournie par un soustracteur. La gran- deur xc est appelée consigne : elle indique l'abscisse à laquelle on désire positionner le mobile. En pratique, l'opérateur indique la valeur de xe à l'aide d'une tension électrique qui lui est proportionnelle selon la loi de correspondance : 20 volts par mètre. Le schéma fonctionnel du système bouclé obtenu est mis sous la forme ci-dessus. III.A - Quel élément physique doit-on utiliser, en plus du moteur, du soustrac- teur et de l'amplificateur de puissance évoqués ci-dessus, pour réaliser cette structure ? On désire une précision sur le positionnement de x à mieux que 1%. Préciser quantitativement la qualité correspondante de cet élément. Dans la suite, on notera K le coefficient u/e . III.B - On se propose de raisonner sur le régime défini par acC : 0 et des condi- tions initiales fixées : position initiale x(0) : X 0 , vitesse initiale v(0) : 0 . Dans ce qui suit, un tel régime sera noté régime libre. On désire adopter un système de coordonnées réduites : îc : x(t)/XO et Z : t/T0 afin d'obtenir une équation différentielle du régime libre s'écrivant : .. 2... & + 258115 + d--x = 0 dt dZ2 III.B.1) Exprimer T0 en fonction de K , D, J et des paramètres caractéristi-- ques du moteur. III.B.2) En déduire une expression de o . Concours Centrale-Supélec 2000 4/9 PHYSIQUE Filière PSI III.B.3) Quel intérêt présente, en règle générale, l'utilisation de coordonnées réduites ? III.C - Pour différentes valeurs de K , on a obtenu les portraits de phase sui-- vants, tracés dans le plan ... dîc (x=x,y=-Û-£â . XÜÈ f...-"| ; \ \ \ '-- '* ; 0.2 0.4 .5 0.8 1 / _=>ËZ "' :_ . v (| . | : g ._ .. ""-J' E 'ÛÜ5 \Î--q' ilî=\'Ël È'£frf ; : ! -0.1 <<_< äï® -- hr...f4ä &: ; g , {\ \"ï--;---: \ \ù ä:------------£ÇÇÿÿ ÿ'ff :" £ Y(Ù-Û.15 {' N*\'-ä£fr .» YÈ3)ÈÜË" àQ\wfç{,/ÿÿ «; ; ;,g, a; { ""' % èæüf' ' \ ; "'.--. \:"*---------«*/ÿf / / ! fill} ! -Ü_2 { \ % }\;""""f / 5 \ $\ -- &Em \\w--«v'f / / !..-51 / .! ' \ \ ä"x'--'-=££H ; î= \ '\'ä"'ä\'--wff//.æf"l ! z |] 25 l'. \ \ \ \ < 0 (respectivement x(t) < 0 ), on impose une intensité du courant dans le moteur i = --IMax (respectivement i : +1Max ). IV.A.1) Représenter le portrait de phase obtenu (plan x(t) , v(t) ). Montrer que c'est celui d'un oscillateur et préciser les coordonnées des points remarquables et la nature des portions de trajectoires (droites, ellipses, paraboles, hyperbo- les...). IV.A.2) Montrer que, selon le critère défini à la question II.D.3 (frottements fluides négligés si |°""Maxl < ((DOIMax)/ 10) on peut négliger les frottements flui- des. IV.A.3) On note t1 le premier instant où x = 0 et t2 le premier instant (après t = 0) où v = 0. Préciser les valeurs de u(0+) , u(ti) ; u(tÎ) et u(t'2). Préciser le rôle énergétique de la source de courant dans l'intervalle (tÎ ,at'2 ). IV.A.4) La prise en compte des frottements fluides modifierait-elle le portrait de phase du système asservi et aurait-elle une influence sur sa stabilité ? IV.B - On désire améliorer la loi de commande en fixant i à partir de la connais- sance de la position et de la vitesse du mobile : a étant un coefficient positif constant,i : --IMax si x(t)+a -- v(t)>0 eti : +IMax si x(t)+a - v(t)<0. IV.B.1) Montrer que le plan x(t) , v(t) peut être divisé en deux zones corres- pondant chacune à une valeur de i et que l'on retrouve, dans chaque zone, des portions de trajectoires identiques à celles vues ci-dessus IV.A.1. IV.B.2) Représenter l'allure du portrait de phase. Commenter. IV.B.3) Que se passerait-il pour a < 0 ? IV.C - On cherche une trajectoire optimale définie par une valeur de a telle que le régime libre du système asservi amène le mobile, en deux phases seule- ment, de x(0) = XO, v(0) : 0 à x(t2) : O, v(t2) : 0 : pour te [O,tl], i : --IMax, puis pour te [t1,t2] : i : +IMax. IV.C.1) Déterminer la valeur de a permettant d'obtenir cette trajectoire opti- male. Application numérique. IV.C.2) En déduire la valeur de 152 , application numérique. IV.C.3) Dans le dispositif précédent, avec la modélisation adoptée jusqu'ici, le courant ne peut prendre que les valeurs --IMax et I Max . Il en résulte que le sys- tème n'a pas de position d'équilibre stable. De plus les commutations de --IMax à +IMax et vice versa ne sont pas instantanées. Quelles conséquences cela entraîne--t-il au voisinage du point x = 0 , v = 0 du plan de phase ? Concours Centrale--Supélec 2000 6/9 PHYSIQUE Filière PSI IV.D - Pour pallier ce problème, on envisage d'utiliser la loi suivante utilisant un seuil X 8 : si x(t)>Xs ,i = --1Max,si x(t)<--X i = +IMax,si lx(t)lXs , i= "IMax7 si x(t)+a-v(t)<--Xs , i : +1Max' si |x(t)+a-v(t)l > dont le comportement dépend de la tension U à ses bornes : Concours Centrale-Supélec 2000 8/9 PHYSIQUE Filière PSI ° Si lvl > S avec S = 5,0 V , DNL est équivalent à une résistance RO positive, ° Si |v|SS, DNL est équivalent à la résistance négative --RO. U L ' . 'INL Les conditions initiales sont v(O) : 1,0 V et dv/dt(0) : 0. On adoptera L = 0,10 mH, C = 1,0 nF. V.B.l) Montrer qu'une petite variation de la tension v autour de S ou de --S provoque une discontinuité de valeur absolue Ai dans << DNL ». Quel est l'élé- ment du circuit R , L , C qui peut compenser cette discontinuité ? V.B.2) Proposer une relation entre R et R0 permettant d'obtenir un portrait de phase de forme elliptique. Quelle est alors la nature du signal v(t) ? Donner son amplitude et sa fréquence. V.B.3) Quelle inégalité entre R et R0 conduit à un signal v(t) nul en régime permanent ? Justifier. V.B.4) Déterminer enfin une inégalité entre R et R0 assurant l'existence d'auto-oscillations du système. Déterminer une partition du plan de phase en 8 zones où le fonctionnement diffère. V.B.5) Tracer les portraits de phase du système pour les valeurs R = 500 Q et R0 = 2400 9, puis pour R = 10 kg et R0 = 250 Q. V.B.6) En comparant les portraits de phase des systèmes auto--oscillants obte- nus aux V.A) et VB) proposer un critère qualitatif de classification entre les oscillateurs à relaxation et les oscillateurs quasi-sinusoïdaux. 00. FIN 000 Concours Centrale-Supélec 2000 9/9

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 Centrale Physique PSI 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jany Keochkerian (École Supérieure de Physique et de Chimie de Paris) et Julien Derr (École Supérieure de Physique et de Chimie de Paris) ; il a été relu par Franck Stauffer (ENS Lyon). L'épreuve se compose de cinq parties reliées par un même thème : l'utilisation des portraits de phase dans les problèmes de commande d'un moteur à courant continu. Les parties abordent successivement les problématiques suivantes : modélisation, commande en boucle ouverte, étude en chaîne bouclée, commande en courant, et enfin classification des systèmes auto-oscillants. Cette épreuve, assez longue mais globalement abordable, fait le point sur de nombreuses questions classiques du domaine. Indications I.B Utiliser la loi d' Ohm et le théorème du moment cinétique. I.C La puissance utile d'un moteur est ei. I.D Pour trouver em , considérer la fonction de transfert comme un filtre fréquentiel (car p = j). II.A p représente une dérivée temporelle ; on peut donc exprimer l'équation différentielle correspondant à la fonction de transfert. II.B Réécrire le théorème du moment cinétique (sans frottements fluides). II.C Faire des études asymptotiques (pour t proche de 0, de +) II.D.1 Réécrire le théorème du moment cinétique (avec frottements fluides mais sans courant d'induit). II.D.2 La loi d'Ohm devrait servir pour passer de la condition initiale sur i à l'évolution de . II.D.3 La valeur maximale de est atteinte à l'instant initial. III.B.1 Écrire l'équation différentielle du premier ordre en v, puis celle du second en x, transformer x et t en leurs homologues tildées. Le coefficient du terme du second ordre est homogène à T-2 . I. Modélisation Le moteur à courant continu est modélisé par la force électromotrice e de sa source de tension, la résistance d'induit R et le moment C des forces électromagnétiques par rapport à l'axe de rotation. L'inductance est négligée. On a : et e = 0 C = 0 i I.A La machine est équivalente au schéma suivant : i Si la machine fonctionne avec e > 0, le déplacement se fait vers les x croissants. La conversion du mouvement de rotation du moteur en mouvement de translation du mobile se fait par : x = D (v = D). L'inertie totale est modélisée par J. R u e En convention récepteur, le courant d'intensité i est orienté dans le sens contraire à celui de la flèche de tension aux bornes du moteur. Le sens dans lequel i est positif d'après cette convention est totalement décorrelé du sens dans lequel se fait réellement le mouvement des électrons dans le circuit. Le pendant de la convention récepteur est la convention générateur, dans laquelle courant et tension ont même orientation. I.B On impose la tension E aux bornes du moteur, donc u = E. La vitesse du mobile en présence de frottements fluides est notée v ; le couple dû à ces frottements fluides est égal à -. ­ Équation électrique : E = Ri + 0 d = 0 i - dt d Le régime permanent impose de plus =0. dt si = 0 0 R E= donc = + 0 0 R 0 + 0 sinon 0 ­ Équation mécanique : J v = v Or v = v donc finalement : Application numérique : v = v 1+ 1 R 1+ 2 0 1 = 0, 95 1, 5.10-3 2 (0, 17) (1) I.C Sans frottements internes, le rendement énergétique r est égal à : ei e 0 r= = = = Ei E E donc r= Application numérique : 1 R 1+ 2 0 r = 0, 95 I.D On néglige dorénavant les frottements, donc : d u = Ri + 0 et J = 0 i dt On introduit par la suite la variable p = j, utile lorsque l'on effectue la transformation de Laplace. Quelques rappels à ce sujet : ­ la transformation de Laplace est linéaire ; ­ l'opérateur dérivation par rapport au temps est transformé en une multiplication par p dans l'espace des transformées de Laplace ; ­ la transformée d'une variable dépendant du temps est notée par la majuscule correspondante. En prenant les transformées de Laplace des équations précédentes, on a : et Jp = 0 I d'où U= RJp + 0 = 0 = U puis Par conséquent : TV.U = V = pX, donc U = RI + 0 TX.U = RJ 1 + p 2 0 0 RJ 1+p 2 0 V = U X = U D/0 RJ 1+p 2 0 D/0 RJ p 1+p 2 0 Cette commande en tension peut être caractérisée par une constante de temps électromécanique em telle que em = Application numérique : em = 1, 5.10-3 2 (0, 17) RJ 20 = 5, 2.10-2 s (2) La constante de temps se définit de la même façon que pour un filtre 1 1 1 fréquentiel : devient 1 + p puisque = . 0 1+j 0 I.E L'absence de frottements conduit à = commande en courant : TV.I = R 0 V D0 I et TV.I = = . Soit la pJ I pJ D/0 J pR 2 0 II. Commande en boucle ouverte II.A On applique un échelon de tension d'amplitude v lim = DE/0 . L'équation différentielle qui régit l'évolution de la vitesse v(t) est : v(t) + em sa solution est : v(t) = v lim dv (t) = v lim dt 1 - e-t/ em v = 0, 9 v lim quand e-t/ em = 0, 1 , soit et/ em = 10 : t = em ln 10 Application numérique : (3) t = 0, 12 s On pourrait calculer la valeur de E : E - 0 lim 1 - e-t/ em E - 0 E i= = = e-t/ em R R R imax = i(0) = E = Imax R donc E = RImax = 15V II.B On impose que i = Imax soit constante. Le théorème du moment cinétique donne alors : d 0 E J = 0 Imax = dt R Par intégration, w = v = 0, 9 v lim pour 0 E 0 DE 2 t donc v = t = 0 v lim t, c'est-à-dire RJ RJ RJ t v = v lim em t = 0, 9 em = 4, 67.10-2 s