CCP Modélisation et Ingénierie numérique PSI 2021

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                                                        

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
              

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2021 © PSI3MO

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MODÉLISATION ET INGÉNIERIE NUMÉRIQUE

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

e _ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
e Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de cinq parties.

Sujet : 15 pages

Annexe : | page

Document Réponse : DR 1 à DR 4

Le Document Réponse doit être rendu dans son intégralité avec la copie.

1/16
Régulation d'un système de climatisation à débit d'air variable

Partie I - Introduction

Le réchauffement climatique est devenu l'une des principales problématiques à 
laquelle l'humanité
doit faire face. Pour minimiser ce changement déjà en cours, celle-c1 doit 
absolument rechercher en
premier lieu une efficacité énergétique optimale dans ses activités.

Le conditionnement de l'air intérieur des habitations, notamment son maintien à 
une température
agréable, est l'une de ces activités particulièrement énergivore ! En France, 
le chauffage des habita-
tions représente, selon l' Agence de l'Environnement et de la Maîtrise de 
l'Energie (ADEME), environ
20 % de l'énergie totale consommée.

Suite à la montée des températures et à la répétition des périodes 
caniculaires, 1l devient de plus
en plus nécessaire d'avoir recours à des systèmes de climatisation en période 
estivale. Ces derniers
doivent également présenter le meilleur bilan énergétique possible.

Dans ce sujet, on s'intéresse plus particulièrement aux spécificités liées à la 
climatisation de l'en-
semble d'un bâtiment. Dans ce cadre, on montre que la climatisation dite à 
Débit d'Air Variable
(DAV) constitue le meilleur compromis entre le confort des personnes et la 
consommation énergé-
tique globale du bâtiment.

Le cas d'étude proposé est la régulation à 24 °C de la température d'une pièce 
d'un bâtiment en
contrôlant le débit d'air conditionné injecté. Les principaux échanges 
thermiques mis en jeu sont
évalués dans la partie IT, ce qui conduit à l'obtention de certains éléments du 
schéma électrique
équivalent de la pièce. Ce schéma équivalent est par la suite complété dans la 
partie LIT où une
résolution numérique permet d'aboutir à un modèle simple de l'évolution de la 
température de la pièce
en fonction du débit d'air conditionné. La partie IV s'intéresse au contrôle du 
débit d'air conditionné
par le registre à volets. Enfin, dans la partie V, le diagramme fonctionnel 
complet correspondant à la
régulation de la température de la pièce est établi par rapport au cahier des 
charges à respecter et la
robustesse de la régulation est évaluée.

Exigences Critères Valeurs

Rapidité tr 5% 2 500$ pour une variation de 4 °C
Amortissement | D, % 35 % maximum

Précision écart statique Il % maximum

Stabilité Marge de phase | 45° minimum

Stabilité Marge de gain | 12 dB minimum

Tableau 1 - Cahier des charges de l'asservissement

2/16
CRT

C

SOON:
SOS

Mur ou plancher

SPISRS ES RER
ON LOS < Se ST NS OL Se rem O0 TeLLI TTC OO) TOUTE TO) net AT re A C ORNE ETATS Conduite de renou- MOlOu tes RES L RS A Échangeur thermique Partie III - Étude des principaux échanges thermiques IIL.1 - Puissance thermique dégagée par les personnes présentes dans la pièce Une personne se trouvant dans la pièce dégage une certaine puissance thermique. Le transfert ther- mique entre la personne et la pièce se fait par conduction, par convection, par rayonnement et par évapo-transpiration (évacuation d'énergie par évaporation de la sueur). L'évolution des proportions relatives de ces quatre modes de transfert thermique est donnée, pour une personne, en fonction de la température de la pièce (figure 2). Par exemple, pour une température de la pièce de 10 °C, la puis- sance thermique fournie est au total de 160 W. Cette puissance totale comprend 73 W de rayonnement, 20 W de conduction, 45 W de convection et 22 W d'évapo-transpiration. ' n = 160 7 ' A 140 ® 60 120 | 2 100 E a 80f 6 J Evapo-transpiration un onvection = 60 L 4 duc U S 2 40} BE de Rayonnemen Æ 0 L ayonnement ( = - = - - L L L 1 1 1 L 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 Température de la pièce (°C) Figure 2 - Puissances thermiques dégagées par une personne Q5. Déterminer, pour une personne, la part en pourcentage de la puissance dégagée par chacun des quatre modes de transfert thermique à 24 °C. Q6. Calculer la puissance totale P,.,, dégagée par quatre personnes présentes dans la pièce. Dans la suite du sujet, P,, Sera supposée constante dans la plage de température considérée. III.2 - Puissance thermique extraite par le climatiseur Le climatiseur est une machine ditherme qui reçoit un travail sous forme électrique et dont la source chaude est l'air à l'extérieur du bâtiment de température 7, = 28 °C et la source froide, l'air à l'inté- rieur de la conduite d'air conditionné de température 7; = 20 °C. On rappelle que l'efficacité maximale d'une telle machine, obtenue pour un fonctionnement réversible, est donnée par : max -- . l 6 TT. (1) Lorsque toutes les pièces sont maintenues à la température T, la puissance thermique extraite du bâtiment par le climatiseur est : Petim, tot -- Dy, tot CP(T -- T°) (2) avec Dy 107 le débit massique total d'air conditionné et cp=1,0 -10° J-K" kg"! la capacité thermique massique à pression constante de l'air, supposée indépendante de la température. 4/16 Q7. On estime que le débit massique d'air conditionné nécessaire à la climatisation de l'ensemble du bâtiment est au maximum de 25-10° kg-h"'. Calculer la puissance thermique maximale ex- traite du bâtiment par le climatiseur lorsque toutes les pièces sont maintenues à la température T = 24°C. QS. Calculer la puissance électrique qui serait consommée au maximum par le climatiseur si son efficacité était égale à son efficacité maximale (la puissance mécanique fournie à l'appareil est supposée égale à la puissance électrique fournie pour le faire fonctionner ). Q9. En pratique la puissance électrique consommée peut dépasser la valeur calculée à la Q8. Expliquer pourquoi. IIL.3 - Puissance thermique apportée par le renouvellement de l'air L'échangeur étudié 1c1 est un échangeur à plaques schématisé sur la partie gauche de la figure 3 : il est constitué d'une succession de fines plaques d'un bon conducteur thermique entre lesquelles circulent alternativement et à contre-courant les flux d'air entrant et sortant. a ---- T. + + Lep D PS 5 ------ Extérieur mn 7 T . D ------ arr Te -------->
c D A
em
2 Te --+ , 1. --+ Le/p
EE

X x+dx

Figure 3 - Schéma de l'échangeur à plaques étudié

La partie droite de la figure 3 est un zoom sur un flux d'air sortant du 
bâtiment et sur les deux flux
d'air entrants auxquels 1l cède une puissance thermique.
On note dans la suite :

- T la température de l'air à l'intérieur de la pièce ;

- T, la température de l'air à l'extérieur du bâtiment ;

- T.y, la température des flux d'air entrants dans la pièce juste en sortie de 
l'échangeur ;

- T,,,, la température des flux d'air sortants de la pièce juste en sortie de 
l'échangeur ;

Trs (x) la température à l'abscisse x d'un flux d'air sortant de la pièce ;

TrE(x) la température à l'abscisse x d'un flux d'air entrant dans la pièce.

Les questions Q10 à Q16 ont pour objectif d'établir le lien entre la puissance 
thermique apportée P,.,
et le débit massique d,, de renouvellement de l'air. L'étude est menée en 
régime stationnaire. On ne
tiendra pas compte du renouvellement de l'air des autres pièces du bâtiment.

Q10. Justifier que la puissance thermique apportée à la pièce par le 
renouvellement de l'air s'écrit :

Pen -- don CP Le/p = T). (3)

5/16
Les températures 7}, (x) et Tr;£(x) vérifñient le système d'équations 
difrérentielles suivant :

ATrs , | Tre(x) -- Trs(X)

x = 2 (4)
dTrE Le TFE(x) -- Trs (x)

dx = À °

où 1 est un paramètre dépendant des caractéristiques de l'échangeur.

On note K,, la conductance thermique linéique d'une plaque. Ainsi, K,, dx 
correspond, pour les
échanges thermiques entre les flux d'air entrant et sortant, à la conductance 
thermique de la portion
de plaque comprise entre les abscisses x et x + dx.

Q11.

Q12.
Q13.
Q14.

Q15.

Q16.

En appliquant le premier principe à l'écoulement entre les abscisses x et x + 
dx, établir l'équa-
ton difiérentielle (4) et expliciter le paramètre 1 en fonction de cp, dy, Ky 
et N le nombre de
paires flux entrant/flux sortant de l'échangeur. Comme N est grand, les effets 
de bords sont
négligés, chaque flux d'air est supposé échangé avec deux flux d'air voisins de 
sens opposés.

Expliquer, succinctement et sans faire de calcul, comment établir l'équation 
différentielle (5).
Déduire des équations différentielles (4) et (5) que Tr£(x) -- Tps (x) = Leyp 
--T.

Établir une équation différentielle vérifiée uniquement par 7rx(x). La résoudre 
en tenant
compte des conditions aux limites.

Montrer finalement que la puissance thermique apportée par le renouvellement de 
l'air s'écrit :
dy C P
Pren = ner (le -- T) (6)
+

avec L la longueur de l'échangeur. Justifier que l'échangeur est équivalent à 
une résistance
thermique. Donner son expression.

Pourquoi est-1l intéressant de disposer d'un échangeur pour lequel N est grand 
? Pour un vo-
lume occupé par l'échangeur donné, quelle caractéristique physique de l'air, 
non mentionnée
dans l'étude précédente, constitue un frein à l'augmentation excessive de N? 
Expliquer de
manière succincte.

Partie IV - Influence du débit d'air conditionné sur la température

L'objectif de cette partie est d'établir un modèle simple de l'évolution de la 
température T d'une pièce
en fonction du débit d'air conditionné D,,. On suppose que la pièce dispose 
d'une fenêtre donnant sur
l'extérieur et qu'elle est, comme à la Q6, occupée par quatre personnes.

Les lois de la thermique, analogues aux lois de l'électrocinétique (loi des 
mailles, des noeuds, ponts
diviseurs de tension et de courant, associations série et parallèle), pourront 
être utilisées sans démons-
tration. L'analogie est rappelée dans le tableau 2.

6/16
IV.1 -

Thermique Électrocinétique
Température Potentiel électrique
Différence de température Tension
Flux ou puissance thermique Courant électrique
Résistance thermique Résistance électrique
Conductance thermique Conductance électrique
Capacité thermique Capacité
Source de chaleur ou thermostat Source de tension
Source de puissance thermique Source de courant

Tableau 2 - Analogie diffusion thermique-électrocinétique

Schéma électrique équivalent de la pièce

Le schéma électrique équivalent de la pièce étudiée est donné sur la figure 4. 
IT comporte :

une source de tension 7, correspondant à l'extérieur du bâtiment ;

une association R;-C;-R, modélisant le comportement thermique des murs séparant 
la pièce
considérée de l'extérieur du bâtiment :

une association R;-C, modélisant le comportement thermique du mobilier de la 
pièce ;

une source de tension 7°. associée à une résistance variable R3, l'ensemble 
modélisant le système
de climatisation ;

une capacité C; modélisant l'air à l'intérieur de la pièce ;
une résistance R, modélisant la fenêtre et l'échangeur ;

une source de courant 1].

Par souci de simplification, les échanges thermiques avec les autres pièces du 
bâtiment ne sont pas
pris en compte.

Figure 4 - Schéma électrique équivalent de la pièce

Les points 1 et 2 correspondent à des températures fictives notées 
respectivement 7 et T,. Le point 3
correspond pour sa part à 7, la température de la pièce.

7/16
Q17. Exprimer R, en fonction des résistances thermiques de l'échangeur et de la 
fenêtre. Justifer.

Q18. À quoi correspond la source de courant 7 ? Justifier. On rappelle que la 
pièce est supposée être
occupée par quatre personnes.

Q19. En écrivant la relation (2) pour une seule pièce du bâtiment, donner 
l'expression de la résis-
tance R3. On définira avec soin la (ou les) grandeur(s) introduite(s). Pourquoi 
s'agit-1l d'une
résistance variable pour le système de climatisation DAV étudié 1c1 ?

Q20. En appliquant la loi des noeuds aux points 1, 2 et 3, établir trois 
équations faisant intervenir T,
T;, T et leurs dérivées.

Q21. Montrer que la modélisation adoptée conduit à l'équation différentielle 
matricielle :
X=AX+BU (7)
avec X=(T,) T> TT} et U=(T, T. n) . (8)

On explicitera avec soin les matrices À et B. M? désigne la transposée de la 
matrice M.

IV.2 - Résolution numérique

L'objectif de cette sous-partie est de résoudre numériquement l'équation 
matricielle (7) à l'aide de la
méthode d'Euler, dans le but de déterminer l'évolution temporelle de la 
température de la pièce T. On
définit pour cela les instants #, = k Af avec Y k EUR [[O,K'T] où Ar est le pas 
de calcul, fixé à 6 secondes
par la suite, et K un entier naturel.

Le programme Python correspondant est donné dans le tableau 3. Les lignes 5 et 
6 définissent les
matrices À et B pour la pièce considérée et dans le cas où le débit d'air 
conditionné dans la pièce est
fixé à sa valeur maximale de 3,5-10° kg-h"!. Les lignes 7, 10, 21, 22 et 23 
sont manquantes.

La température à l'extérieur du bâtiment vaut T, = 28 °C, la température de 
l'air conditionné est
toujours 7, = 20 °C et la valeur de la source de courant est 7 = 0,50 KW.

Q22. Compléter la ligne 7 définissant le vecteur U.

Q23. On souhaite initialiser les températures T;, T; et T à 28 °C. Compléter la 
ligne 10 initialisant
le vecteur X.

Q24. Approcher X(#:1) à l'aide de X(#), X(#.) et Af en utilisant la méthode 
d'Euler. À quelle condi-
tion cette approximation est-elle justifiée ?

Q25. Compléter les lignes 21 à 23. Les éléments des listes " temps " (f) et " 
température " (T)
devront respectivement correspondre à des minutes et des degrés Celsius. On 
pourra utiliser
np.dot(X, Y) pour calculer le produit de la matrice X par la matrice Y.

8/16

Z

Programme Python

DO IA LA R © D

S © D ND D D D DD nm mm em ee mm 0
mm OO OLD Ian R à D = © Oo Inn BR À D = ©

import numpy as np
import matplothib.pyplot as plt

# Définition des matrices À, B et du vecteur U
A=np.array([[-8.4e-6,0,4.2e-6],[0,-2.95e-5,2.95e-5],[2.6e-3,4.7e-4,-1.08e-2]])
B=np.array([[4.2e-6,0,01,[0,0,0],[3.2e-5,7.74e-3,7.9e-6]1)

# Initialisation du vecteur X

# Pas de calcul fixé à 6 secondes
dt=6

# Définition des listes "temps" et "température"

t=[]
T=0

# Itération de la méthode d'Euler
Tor 1 in range( 100) :

# Afhichage

plt.plot(t,T)
plt.yhim(min(T)-1,max(T)+1)
plt.ylabel("Température en °C")
plt.xlabel("Temps en min")
plt.grid(True)

plt.show()

Tableau 3 - Résolution numérique via la méthode d'Euler

IV.3 - Résultat de simulation et identification à un premier ordre

Le programme élaboré précédemment est modifié de manière à pouvoir tenir compte 
des variations
dans le temps de la source de courant 7 et du débit massique d'air conditionné 
injecté dans la pièce
D,,. On considère une situation où :

- à {= 0, la pièce est depuis longtemps inoccupée et non-climatisée ;
- à {= 10 min, quatre personnes entrent dans la pièce ;

- à { = 40 min, le registre à volets qui contrôle l'arrivée d'air conditionné 
est ouvert en grand, le

débit d'air conditionné est alors à son maximum, soit 3,5-10° kg-h"! :

- à { = 80 min, la climatisation est coupée et les quatre personnes sortent de 
la pièce.

La température à l'extérieur du bâtiment et la température de l'air conditionné 
valent toujours respec-
tivement 7, = 28 °C et 7. = 20 °C.

9/16

L'évolution simulée de la température de la pièce en fonction du temps, pour la 
situation considérée,
est donnée figure 5.

Température en °C

0 20 40 60 80 100 120
Temps en min

Figure 5 - Simulation de l'évolution temporelle de la température de la pièce

Q26. Représenter graphiquement les évolutions temporelles de la source de 
courant 7 et du débit
massique d'air conditionné D,, sur les DRI et DR2 du Document Réponse.

L'ouverture en grand du registre à volets à t = 40 min permet de simuler la 
réponse indicielle du
système S dont l'entrée est le débit massique d'air conditionné et la sortie, 
la variation de température
correspondante. On se propose de déterminer un modèle de comportement de S. 
Celui-ci, supposé
linéaire et invariant, sera par conséquent caractérisé par sa fonction de 
transfert :

_ AT()
D;(p)

avec D,,(p) et AT (p) les transformées de Laplace respectivement du débit 
massique d'air conditionné
et de la variation de température.

H(p) (9)

Le DR3 présente l'évolution temporelle de la température de la pièce déjà 
donnée par la figure 5,
mais sur l'intervalle de temps plus réduit allant de f = 39 min à f = 50 min.

Q27. Justifñier qu'un modèle de comportement de type passe-bas du premier ordre 
semble approprié
pour S.

On posera donc dans la suite :
Ho

l+Tp

H(p) = (10)

Q28. À partir du DR3, identifier, en explicitant clairement la démarche suivie 
et en adoptant les
unités du Système International, le gain statique FA, et la constante de temps 
7 du modèle de
comportement de S.

10/16
Partie V - Contrôle du débit d'air conditionné

L'objectif de cette partie est de modéliser la relation entre l'action du 
moteur sur les volets du registre
et le débit qui va en résulter. Le registre est présenté figure 6 et sur 
l'annexe.

Le registre sert au réglage du débit d'air, par créa-
tion d'une perte de charge variable, qui n'est pas
directement proportionnelle à l'angle de pivote-
ment des volets. Dans le modèle proposé, un seul
moteur va piloter l'ensemble des volets grâce à un
ensemble de biellettes qui les relie.

Figure 6 - Registre à volets

Les étapes de la modélisation sont listées ci-dessous :
- modéliser la relation débit-angle à partir de la caractéristique du 
ventilateur et des conduites ;
- modéliser la relation entre l'angle de rotation du moteur et celui des volets 
;
- résoudre numériquement et linéariser le modèle obtenu ;
- modéliser l'action mécanique de l'air sur un volet à partir des résultats 
d'une expérimentation ;

- modéliser la relation entre le couple moteur et l'angle d'inclinaison des 
volets.

V.1 - Étude du débit en fonction de l'inclinaison des volets du registre

La figure 7 montre la caractéristique aérolique pour des angles d'inclinaison 6 
de (0°, 15°, 30°, 45°,
60°). L'angle 9 correspond à l'inclinaison du volet central. Lorsque celui-c1 
est à l'horizontale, l'angle
est de 0°. Pour le registre fermé, le volet est à la verticale (0 = 90°). Le 
schéma cinématique du registre
à volets est donné dans l'annexe.

Le point de fonctionnement est l'intersection entre la caractéristique du 
ventilateur et celle de la
conduite. Par exemple, pour une vitesse de rotation de 3 000 tr/min et une 
inclinaison de 30° des
volets, le débit sera de 1 000 m°/h.

Afin de minimiser les pertes d'énergie et équilibrer les différentes sorties, 
1l faut travailler à pression
constante. La pression de fonctionnement choisie est de 70 Pa. Cette pression 
est relative par rapport
à la pression atmosphérique. IT est aussi possible de l'appeler surpression.

Q29. En utilisant les difiérents points de fonctionnement de la figure 7, 
tracer sur le DR Ia ca-
ractéristique de débit en fonction de l'angle d'inclinaison des volets. Sachant 
qu'il y a deux
ventilateurs qui doublent le débit, proposer une modélisation affine sous la 
forme :

Dy = KRO+D (11)

et donner les valeurs numériques de D et KR.

11/16

150 I I

Caractéristique conduite pour 60"; LE"
" F " ë à ------

différentes inclinaisons du

registre

130

/

X®

\ 3 000 tr/min

Caractéristique
ventilateur pen

15"

pression en Pa
=

ë
"

PRIS

© 2500 tr/min
(Q°
2 000 tr/min

1 er
M NN 1 00 tr/min
-10

Û 200 400 600 00 1000 1200
Débit en m°/h

Figure 7 - Caractéristique aérolique

V.2 - Modélisation de la relation entre l'angle des volets et l'angle moteur

Le schéma cinématique du registre à volets est donné sur l'annexe. Le moteur 
entraîne le volet 1.

Q30. Écrire la fermeture géométrique de la boucle 0-1-4-3-0 en projection sur % 
et Yo: Éliminer le
£ q pro]
paramètre 0,. Mettre le résultat sous la forme f(6:,63) = 0.

Q31. La résolution de cette équation non-linéaire est effectuée 
informatiquement. Ainsi, pour la
plage de valeur de 0, EUR [0, 90°], il faut résoudre l'équation f(0:) = 0. La 
résolution de cette
équation est obtenue en utilisant la technique de la dichotomie. Recopier et 
complèter les
lignes 15 à 18 de la fonction dichotomie du tableau 4.

Le résultat de la simulation numérique est donné dans la figure 8.

;

6 en deg
8

60 80 100

O1 en deg

0 20
Figure 8 - Résultat simulation

Q32. Proposer un modèle linéaire reliant 0 à l'angle 4, sous la forme 0 = 90 + 
K: 61.

12/16

N° | Programme Python

Î | import numpy as np

2 | import matplotlhib.pyplot as pit

3 | from math import *

4

5 | # Définition de la fonction f(theta3)
6 | def f(theta3) :

7 
Ss=(2.5-1.3*sin(thetal)-1.8*sin(theta3))**2+(1.8*cos(theta3)+1.3*cos(thetal))**2-2.8**2
8 return S

9 | #liste de valeurs pour thetal

10 | abscisse = np.linspace(O, 1.7, 100)
11 | abscissedeg=(180/p1)*abscisse

12 | #résolution par dichotomie avec a=0 :return None
15 while...

16

17

18 ....

19 return a

20 | ordonnee_scipy=|{|]

21 | for 1 in range(len(abscisse)) :

22 thetal =abscissel1]

23 theta3=dichotomie(f,-5,5,0.1)
24 thetadeg=(180/p1)*theta3+45
25 ordonnee_scipy.append(thetadeg)
26 | #Tracé du résultat

27 | plt.legend()

28 | plt.grid(True)

29 | plt.xlabel( O1 en deg")

30 | plt.ylabel( © en deg")

31 | plt.ütle('loi entree sortie')

32 | plt.show()

Tableau 4 - Programmation de la technique de la dichotomie

V.3 - Modélisation du couple moteur en fonction de l'inclinaison

L'air exerce une action mécanique sur les volets modélisable par des torseurs 
couples au centre des
liaisons pivots en À, E et D (annexe). Un essai a été effectué avec un 
ventilateur et un dynamomètre
pour obtenir la modélisation des actions mécaniques.

Les torseurs d'actions mécaniques sont :

0 Ô 0
{T'air-svoler1 }A -- -- s {T'air-svoler2}E -- --  {T'air-volet3} D -- -- (12)
--M4(0,)20) , ME(,)20) ; M2 | »

avec MA.) -- ME, -- 0, 4 Ü, et M -- 0, 4 0.

13/16
Les torseurs cinématiques des volets sont :

bnzo bnzo Oz0
{Voter Jo}a = à  {Vioten/0}r = à  {Vioter/0}p = " (13)
A E D

Q33. Isoler l'ensemble des pièces mobiles et effectuer un bilan des puissances 
extérieures et inté-
rieures. Seules seront considérées les puissances des liaisons parfaites, 
l'action de l'air ainsi
que la puissance motrice P,reur-110 = Cmôm-

Q34. La faible vitesse permet de négliger l'énergie cinétique. Écrire le 
théorème de l'énergie ciné-
tique et en déduire la relation entre C,,, M£(,,, MAew,,, Mo:

mn) ? mm)»

En prenant 6,, = 6, en déduire la relation C,, = f(0) et H,,,,. Conclure sur la 
partie.

Partie VI - Régulation de la température

L'objectif de cette partie est de régler la commande des registres afin de 
réguler la température de la
pièce de 28 °C à 24 °C. Le cahier des charges de cet asservissement est donné 
tableau 1.

VL.1 - Modélisation de la régulation sous la forme d'un schéma-bloc

T'eons (p )

--_ _* K 0 -- Hp) > Km»

À

Y

HD kr RQ) HE) ET

D | 28 cl

KT < Figure 9 - Schéma-bloc de la commande du système Le système est composé : U - d'un adaptateur = K,; U - d'un capteur de température ne = K7 avec Kr = 0,05 V/°C; - d'un comparateur e(p) = U.(p) - Ur): U(p _K 1 + T';p | Ep) Tip -- K,, avec K,, = 0,01 N-:m/V: O(p) CP) - d'un ensemble de conduite et registre D,,(p) = Kr6(p) + D(p); AT) _ Ho Dh)  1+7Tp - d'un correcteur de fonction de transfert H,(p) = - d'un moteur - d'un registre à volet H,(p) = -- K, avec K, = 0,8 °/N-m; - d'un bâtiment H(p) = Q35. Donner la valeur de K, afin d'avoir un asservissement correct. Justifier l'intérêt d'un correcteur proportionnel intégral. 14/16 VI.2 - Asservissement de la température Q36. Régler 7; afin de compenser le pôle dominant de la fonction de transfert en boucle ouverte. Donner, dans cette configuration, l'expression de la fonction de transfert en boucle ouverte sans prendre en compte les perturbations. Le gain en boucle ouverte sera noté K%30. L'expression sera mise SOUS forme canonique. Q37. Justifier la stabilité du système avec la fonction obtenue. Q38. Donner l'expression de la fonction de transfert en boucle fermée (sans les perturbations) du système corrigé par compensation du pôle dominant. L'expression sera mise sous forme cano- nique. Q39. Sachant que K30 = 2-.1077K;, calculer K; afin de respecter le critère du cahier des charges en rapidité. Ce modèle suppose que l'angle 4 peut prendre n'importe quelle valeur alors que 0 EUR [0 , 90°]. Q40. Que faut-il modifier dans le schéma afin de prendre en compte cette limitation ? Quelle consé- quence aura cette modification sur les critères du cahier des charges ? La simulation, avec cette modification, est donnée figure 10. 28 u - - - - u - - j I I I I I I I I I I I I I I I I | 27 nn nn un me on alien mn on noue me en an Le nn en me dl nn nn nn lun on me nulle ne nn en de ne nn nn eue nn ne me I I I I I I I I | j I I I I I I I I O I I I I I I I I i 7 26 TT v I I I I I I I I i = I I I I & 25: RTS eee ee ver One DS ver DSi e De ver DS ve eS Ver DS Velos ver os veus Rues De ver ver De ver éltee Da ve Dre de ver 08h G i I Ï I I I l i I à I I I I I I I I | 5 24 T D qe + I I I I I | j I I I I I I 23+ + Ji de de me De de de Ge 6 de de de cie dé Ge cube de Ge di Se de de di dc de de de de I I I I I I I I I I I I I I i 22 | 1 | 1! | | 3 0 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 4 000 4 500 5 000 temps en s Figure 10 - Résultat simulation finale Q41. Conclure vis-à-vis des critères du cahier des charges. 15/16 ANNEXE Schéma cinématique Paramétrage AB = 1,31& ; BC = 2, 81% ; CD = 1,818 ; AD = 2,5lÿ: (60, X1) = 61; (60, X4) = 604; (60, X3) = 63; l'angle des volets I et 2 est noté 6,, avec 6,, = 90 -- 6; ; l'angle du volet 3 est noté 9, avec 0 = 45 + 63. FIN 16/16 IMPRIMERIE NATIONALE - 211168 - D'après documents fournis | N Numéro d'inscription N C Nom : | N D Numéro de table CONCOURS >
COMMUN Prénom :
Née) le

Filière: PSI Session: 2021

Épreuve de: MODÉLISATION ET INGÉNIERIE NUMÉRIQUE

Emplacement
GR Code

+ Remplir soigneusement l'en-tête de chaque feuille avant de commencer à 
composer
+ Rédiger avec un stylo non effaçable bleu ou noir
Consignes ° Ne rien écrire dans les marges (gauche et droite)
+ Numéroter chaque page (cadre en bas à droite)
* Placer les feuilles A3 ouvertes, dans le même sens et dans l'ordre

PSIMO

DOCUMENT RÉPONSE

Ce Document Réponse doit être rendu dans son intégralité avec la copie.

113

NE RIEN ÉCRIRE DANS CE CADRE

DRI1 - Q26 - Évolution temporelle de la source de courant 7

Source de courant en kW

L À

0 20 40 60 80 100 120
Temps en min

DR2 - Q26 - Évolution temporelle du débit massique d'air conditionné D,

4,5 | | | | |
4,0.

7

3,0

T

3 5...

1,5+
101... :.

Débit d'air en 103 kg/h

u

ge 20 40 60 80 100 120
Temps en min

213

DR3 - Q28 - Évolution de la température de la pièce entre 39 min et 50 min

Température en °C

40 42 44 46 48 50
Temps en min

DRA - Q29 - Débit - Inclinaison

1 400

1 200

Angle en °

70

313

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


© Éditions H&K

CCINP Modélisation et Ingénierie numérique
PSI 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Nicolas Courrier (professeur en CPGE) et Virgile
Andreani (ENS Ulm) ; il a été relu par Jérôme Didier (professeur en CPGE), Steve
Arnefaux (professeur en CPGE) et Julien Dumont (professeur en CPGE).

Ce sujet de modélisation s'intéresse à la climatisation d'un bâtiment. Ce n'est
pas la production de l'air climatisé qui est abordée, mais l'effet de celui-ci 
sur la
température des pièces du bâtiment.
· La partie I jouant le rôle d'introduction, une courte partie II, sans calculs,
vérifie que l'on comprend l'utilité d'un système de climatisation ainsi que les
contraintes qui jouent dans sa conception.
· La partie III, dans sa première moitié, fait estimer les performances 
maximales
du système considéré au moyen de calculs simplifiés d'ordres de grandeur. Dans
sa seconde moitié, elle décrit le fonctionnement de l'échangeur thermique, qui
permet d'éviter des pertes trop importantes dues à la circulation de l'air entre
l'intérieur et l'extérieur du bâtiment. On est amené à décrire l'échangeur comme
une résistance thermique.
· Dans la partie IV, l'analogie électrique introduite en fin de partie III est 
détaillée et exploitée afin de modéliser mathématiquement le système et de le
simuler numériquement. Elle se termine par l'implémentation d'un intégrateur
numérique pour un système linéaire d'équations différentielles ordinaires.
· Dans la partie V, on s'intéresse au contrôle du débit d'air conditionné de la
climatisation. On cherche les différentes relations entre la commande 
d'ouverture des volets via un moteur et le débit qui en résulte. Pour cela, on 
modélise
la relation entre le débit d'air et l'angle d'ouverture des volets ainsi que 
celle
entre l'angle de rotation du moteur de commande et celui des volets. On 
s'intéresse ensuite au modèle reliant l'angle d'ouverture des volets au couple 
moteur
nécessaire pour obtenir cette ouverture, l'action de l'air étant négligeable.
· Dans la dernière partie, une fois que les modèles mécaniques précédents ont 
été
établis, on s'intéresse à la mise en place de l'asservissement de température 
par
la climatisation. Cette étude est tout à fait classique dans sa construction et
s'intéresse aux trois performances d'un asservissement que sont la stabilité, la
précision et la rapidité.
Le sujet est très accessible dans l'ensemble. Il ne nécessite que peu de bagage
théorique en physique : le chapitre d'électronique et une partie de celui de 
thermodynamique. Il est donc globalement abordable dès la première année, à 
l'exception de
la question 11 qui requiert des bilans de variations infinitésimales.

© Éditions H&K

Indications
Partie III
8 L'efficacité du climatiseur, supérieure à 1, est le rapport entre la 
puissance thermique extraite et la puissance consommée pour ce faire. Utiliser 
cette relation
pour exprimer cette dernière.
11 Considérer un volume d'air sortant, de masse dm, délimité par deux plaques
consécutives et les abscisses x et x + dx. Commencer par écrire la quantité de
chaleur échangée par ce volume d'air avec ceux de part et d'autre pendant le
temps dt qu'il lui faut pour franchir l'abscisse x. Relier à l'aide du premier 
principe
de la thermodynamique cette quantité de chaleur à l'évolution de la température
du volume d'air initial. Conclure.
14 La solution de l'équation ne doit s'exprimer qu'en fonction de Te , T, L,  
et x :
il faut donc éliminer Te/p et Tp/e .
15 Identifier la puissance thermique à un courant électrique.
Partie IV
17 Réfléchir à la disposition de l'échangeur et de la fenêtre entre la pièce et 
l'extérieur : sont-ils disposés en parallèle ou en série ?
28 Il faut bien penser à déterminer la différence entre les températures 
initiale et
finale de la réponse indicielle pour pouvoir calculer le gain statique de la 
fonction
de transfert H(p).
Partie V
31 Le code de la fonction dichotomie proposée retourne une des bornes de 
l'intervalle
dichotomique considéré et non le milieu de celui-ci.
33 Les effets des actions de la pesanteur sont négligeables.
Partie VI
35 Un asservissement est correctement réalisé lorsque la valeur en sortie du 
comparateur, appelé aussi écart, est nul pour des grandeurs d'entrée et de 
sortie
identiques.
37 Déterminer les marges de gain et de phase du système en boucle ouverte.

© Éditions H&K

II. Contexte et système étudié
1 La consommation énergétique d'un bâtiment est principalement dédiée à sa 
régulation de température. Pour diminuer cette consommation, on peut :
· renforcer l'isolation thermique du bâtiment, afin de limiter les pertes de
chaleur vers l'extérieur ;
· adopter des solutions technologiques plus efficaces comme des pompes
à chaleur ou des systèmes de climatisation plus économes ;
· exploiter les ressources du bâtiment lui-même, par exemple utiliser
l'énergie thermique dégagée par une salle de serveurs pour le chauffage ;
· diminuer la valeur de consigne (au détriment du confort des usagers) :
moins chauffer en hiver et moins rafraîchir en été.
Une telle réponse n'était pas demandée, le sujet ne demandant que deux
raisons. On aurait pu choisir n'importe lesquelles parmi celles-ci.
2 Les humains respirent, consomment le dioxygène de l'air et rejettent du 
dioxyde
de carbone, de l'humidité et des agents pathogènes comme des virus 
respiratoires.
Un renouvellement constant de l'air est donc nécessaire pour le maintenir
respirable.
Un récent épisode de pandémie d'une maladie pulmonaire a également démontré 
l'utilité de renouveler autant que possible l'air des espaces fermés afin
de limiter les risques de contamination entre occupants de ceux-ci.
3 Prenons une situation estivale typique où l'air extérieur est plus chaud que 
l'air
intérieur, et où l'on veut maintenir la température intérieure basse. L'entrée 
directe
d'air extérieur s'accompagnerait d'un apport de chaleur à l'intérieur du 
bâtiment,
alors que l'on rejetterait dehors de l'air climatisé. L'échangeur de chaleur, 
en permettant le transfert de chaleur entre l'air entrant chaud et l'air 
sortant plus froid,
permet de faire rentrer de l'air moins chaud et donc d'améliorer les 
performances du système de climatisation. L'argument, inversé, est le même en
hiver lorsqu'il fait plus froid dehors que dedans. Autrement dit, c'est une 
manière
de limiter la fuite thermique inhérente au renouvellement de l'air en 
effectuant un
pré-refroidissement gratuit.
4 Autoriser des débits différents dans chaque pièce permet d'accommoder les
préférences individuelles de différentes personnes travaillant dans différents
bureaux. Elle permet également de couper la régulation de température de
certaines pièces temporairement vides pour faire des économies.

© Éditions H&K

III. Étude des principaux échanges thermiques
5 À 24 C, pour une puissance totale de 125 W, le rayonnement prend 28%
avec 35 W, la conduction est à 8% avec 10 W, 30 W représentent 24% pour la
convection, et enfin l'évapo-transpiration, avec 40% pour 50 W, est le mode
de transfert thermique dominant.
6 Avec 125 W par personne, on a une puissance totale pour quatre personnes de
Ppers = 4 × 125 = 500 W
7 Utilisons la formule (2) avec les données du sujet :
Pclim,tot = Dm,tot cP (T - Tc ) =

25 · 103
× 1,0 · 103 × (24 - 20)  3 · 104 W
3 600

8 La puissance consommée par le climatiseur dans ces conditions est la puissance
extraite divisée par l'efficacité du climatiseur.
Pconsommée =

Pclim,tot
3 · 104 × (28 - 20)
=
 800 W
emax
20 + 273,15

On observe ici qu'avec cette efficacité théorique de 36,6, chaque joule de 
travail utilisée par le climatiseur permettrait d'extraire 36,6 joules 
thermiques
du bâtiment. En pratique, c'est probablement un peu moins, comme on le
verra à la question suivante, mais c'est quand même remarquable : la puissance 
nécessaire à la climatisation du bâtiment entier dans ce cas est équivalente à 
celle consommée par un micro-ondes. Ce n'est toutefois pas une
violation du premier principe de la thermodynamique puisqu'on ne crée pas
ces 36,6 joules, on se contente de les déplacer.
9 Plusieurs raisons peuvent expliquer cette efficacité inférieure à 
l'efficacité théorique. D'une part, la nécessité de renouveler l'air du 
bâtiment s'accompagne
d'un échange de chaleur entre l'extérieur et l'intérieur, dans le sens inverse 
à ce qui
est désiré, qu'il faut donc compenser. D'autre part et surtout, l'hypothèse de 
réversibilité est difficile à atteindre en pratique, les rendements réels sont 
donc
inférieurs aux rendements théoriques.
10 La puissance thermique apportée à la pièce peut s'exprimer comme la 
différence
entre la puissance thermique apportée par l'air entrant, et celle emportée
par l'air sortant, ce qui justifie l'expression donnée pour Pren . C'est la 
conséquence
du premier principe industriel de la thermodynamique appliqué à la pièce.
11 Considérons le volume d'air sortant de masse dm délimité par deux plaques
consécutives et par les abscisses x et x + dx. Ce volume est initialement à la 
température TFS (x). Pendant le temps dt qu'il lui faut pour franchir 
entièrement l'abscisse x,
ce volume échange de la chaleur avec les flux entrants qu'il croise, en haut et 
en bas.
La quantité de chaleur algébrique étant entrée dans le volume d'air peut 
s'écrire
Q = 2 Kth dx [TFE (x) - TFS (x)] dt
Le premier principe de la thermodynamique pour l'écoulement permet de relier 
également cette quantité de chaleur à la différence de température du volume 
d'air entre
les abscisses x et x + dx selon