CCP Modélisation et Ingénierie numérique PSI 2020

Thème de l'épreuve Modélisation d'un circuit de refroidissement à eau
Principaux outils utilisés électronique, thermodynamique, mécanique des fluides, mécanique des solides
Mots clefs transistor, porte logique, radiateur, pompe centrifuge, bilan thermodynamique, pâte thermique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2020 C PSI3MO

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MODÉLISATION ET INGÉNIERIE NUMÉRIQUE

Mardi S mai:8h-12h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de trois parties.

1/20
Modélisation d'un circuit de refroidissement à eau

Présentation générale

Les composants électroniques, comme les processeurs (CPU), les cartes 
graphiques (GPU) ou les chip-
sets chauffent de plus en plus en raison de la montée en fréquence conséquente 
qu'ils ont subie ces
dernières années. Les industriels vantent donc les bienfaits du WaterCooling 
(refroidissement par écou-
lement d'eau) par rapport au refroidissement traditionnel par écoulement d'air.

Ce sujet s'intéresse à l'origine et à l'évacuation de la puissance thermique 
produite dans un processeur
d'ordinateur par un système de refroidissement à eau.

La partie I explique, à l'aide d'un modèle simple de porte logique, l'impact de 
la finesse de gravure et
de la fréquence des processeurs sur la puissance thermique produite.

La partie IT s'intéresse au transfert thermique du processeur vers le liquide 
de refroidissement.

La partie IIT décrit la pompe permettant la circulation du fluide dans le 
circuit de WaterCooling.

Figure 1 - Système de refroidissement liquide pour processeur (Hydro series ©)

2/20
Partie I - Origine de la puissance thermique produite

Depuis leur invention en 1971 par la société Intel, les microprocesseurs sont 
sans cesse améliorés pour
accroître leur performance tout en diminuant la puissance thermique produite. 
Les microprocesseurs
sont, entre autres, constitués d'un très grand nombre de transistors 
permettant, par exemple, la réalisation
d'opérations logiques. L'augmentation de la puissance de calcul des processeurs 
fut permise, en partie,
par une augmentation régulière du nombre de transistors passé, pour une surface 
de l'ordre du centimètre
carré, de 2 300 en 1971 à environ 2 milliards aujourd'hui.

Les transistors de type MOSFET (Metal Oxyde Semiconductor Field Effect 
Transistor) sont les briques
de bases des microprocesseurs et sont à l'origine d'une grande partie de la 
puissance thermique générée
par le fonctionnement du processeur. Il existe deux types de transistors 
MOSFET, NMOS et PMOS
schématisés figure 2, que nous distinguerons uniquement par leur comportement 
électrique. Ces tran-
sistors possèdent a priori trois points permettant de les inclure dans un 
circuit électrique : la grille (G),
le drain (D) et la source ($). La zone entre le drain et la source est appelée 
le canal. Une couche d'oxyde
isolante est placée entre le substrat et la grille (G).

< Connexion électrique | < | Grille (métal) Isolant 1 | Source & | Canal | < Drain Substrat D D G | G | S S Symbole électrique Symbole électrique d'un transistor NMOS d'un transistor PMOS Figure 2 - Schématisation d'un MOSFET 3/20 Dans toute la suite, nous utiliserons un modèle simplifié du transistor dans lequel le comportement des transistors MOSFET est piloté par la tension Grille/Source V;s (le canal est plus ou moins conducteur selon la valeur de cette tension). Ces transistors présentent, dans les conditions envisagées, deux régimes de fonctionnement (table 1) : - le régime bloqué : le canal ne laisse pas passer le courant et l'intensité Drain/Source est nulle : - le régime actif : le canal laisse passer le courant et l'intensité Drain/Source est non nulle. La tension correspondant au passage d'un régime à l'autre est appelée tension seuil. On note V, > 0
(respectivement V;, < 0) la tension seuil du transistor NMOS (respectivement PMOS), VGs la tension entre la grille et la source, V,,, la tension entre le drain et la source et 7}, l'intensité du courant traversant le canal du drain vers la source. Un résumé schématique du fonctionnement simplifié du transistor NMOS est présenté figure 3 (le fonctionnement du PMOS est similaire, seul le signe des tensions change). En régime actif, l'intensité 7, dépend des tensions VGs et Vs. Les figures 4 et 5 présentent des réseaux de caractéristiques 235$ = f(Vps, Vos) pour différentes valeurs de Vs. Transistor NMOS Transistor PMOS Régime bloqué alors Zps = 0 alors Zps = 0 Régime actif S1 0 < V, < VGs Si Vis < V,, < 0 alors Zps > 0 alors Zps < 0 Table 1 - Lois de fonctionnement simplifiées des transistors NMOS et PMOS Îps = Ù À G Régime bloqué Vps Ves < Ve, S ls Y Ips = f (Vps, Ves) A D (D Vos Régime actif S -- 0 
..... --_ 3 0
Vs V3, >
sis Vas = 4V, > 0
n
Winnunn V --_ 5Y os 0
GS t,
À À 
sesseteteneneseemisiniesnrenenesernenisisnenetetesereisereiniereserereerenennisieieneres
À ner
si
sus!
ss!
ss
«2!
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s\
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.*
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.
.*
**
à*
KR à
.*
+ CELL LL LE
. m
. ..
Ce ÈS
E w <* ss. S + -.." ", -* -* S .* -e* ee -* sé -* S Se" ee Se" °-* L'et SS * Vos Figure 4 - Caractéristiques en régime actif Zps = f(Vps, Vos) pour différentes valeurs de V&s d'un NMOS Vos \ A " x * \ ,t * .* " w ee + * w s ,® , " . e .* " .° s' s ." .* \ \ a . et . ' 5 1, 1, ,. ,. ,. ss. st sis ss DATI UMU MUR MI RIM MI M RU MUR RIM MU MU MU MUR M MI MI MI M MUR MI MI MI MI MUR M RIM minime t Lps -- Vos = 2V,, <0 .... Vas = 3V;, <0 vais Vas = 4V,, <0 nus Vas = 5V:, <0 Figure 5 - Caractéristiques en régime actif Zps = f(Vps, Vos) pour différentes valeurs de VG&s d'un PMOS 5/20 Ces transistors permettent par exemple de réaliser des inverseurs logiques comme celui de la figure 6. Il s'agit d'un inverseur NMOS constitué d'un MOSFET et d'un résistor de résistance À. Il est alimenté par une source de tension supposée idéale de f.é.m. Vpp > V,,. On note V;, EUR [0, 
Vrp] la tension d'entrée et
V,, la tension de sortie de l'inverseur.

Figure 6 - Inverseur NMOS

On s'intéresse à l'inverseur NMOS présenté figure 6.
Q1. Vérifier que V,,, = +Vpp Si Vi = 0.

Q2. Des caractéristiques V,, = f(V;) de l'inverseur NMOS sont tracées figure 7 
pour difrérentes
valeurs de À.

Pour quelle(s) valeur(s) de R ce circuit peut-il constituer un inverseur 
logique ? Une justification précise
mais succinte est attendue.

5

CG

Vour (en volt)

N

Vin (en volt)

Figure 7 - Caractéristiques d'un inverseur NMOS (V, = 1,0 V et Vpp = 5,0 V)

6/20
Dorénavant, l'inverseur sera considéré dans l'état haut s1 V,,, = +Vhn et dans 
l'état bas si V,,, = 0 V.
Le problème majeur de cet inverseur est qu'il consomme de l'énergie durant son 
maintien dans l'état
bas.

Q3. Exprimer puis calculer la puissance consommée pe = 1ps Vnn pour maintenir 
l'inverseur dans l'état
bas.
On prendra RÀ = 10 MO. Commenter.

Pour résoudre ce problème de consommation d'énergie, on associe un transistor 
NMOS et un transistor
PMOS. Cette technique, que l'on nomme CMOS (Complementary Metal Oxyde 
Semiconductor) permet
de réduire considérablement la puissance consommée lors du maintien de la 
sortie dans un état donné
qui est alors de l'ordre du nW. Le circuit CMOS le plus simple est l'inverseur 
CMOS présenté figure 8,
le transistor PMOS est appelé transistor de charge et le transistor NMOS 
transistor de signal.

S À
Transistor de charge
Ves, --à
ÿ DA ps,
V
À D À DD
GIF 15%
Transistor de signal Vin --
Vout
S

Figure 8 - Inverseur CMOS (V,, = ---V,, < Vpn) Q4. Justifier que le circuit de la figure 8 constitue bien un inverseur logique. Pour cela, on pourra se placer dans les cas où V;, = 0 V et V;, = +Vpp. Q5. Dans le cadre de la modélisation proposée pour les transistors, justifier que ce circuit ne consomme pas de puissance pour maintenir la sortie dans l'état haut ou dans l'état bas. Q6. Interpréter la puissance consommée par le composant réel pour maintenir l'état de sortie de l'in- verseur. Une porte CMOS idéale consomme donc de l'énergie uniquement lorsque la sortie bascule d'un état à un autre (commutation). Nous allons donc maintenant nous intéresser au comportement dynamique de l'inverseur. On suppose que la tension d'entrée de l'inverseur est un créneau représenté figure 9. Pour étudier la réponse de l'inverseur en fonction du temps, on introduit dans le modèle un condensateur idéal de capacité C7 = 0, 1 pF reliant la source et le drain du transistor de signal (figure 9). 7/20 Vin (&), Pd À D T + G | Ds% (EUR) Vout(t) KR <>
Vout (£) Von

T
S Cr |
77 >
t

Figure 9 - Modélisation dynamique de l'inverseur CMOS et tension d'entrée

à 4
pd
ré

Vin (t)

Q7. Donner une origine des effets capacitifs pris en compte dans le modèle. 
Pourquoi n'était-1l pas
nécessaire de les prendre en compte lors de l'étude du comportement statique de 
l'inverseur ?

out

QS. Déterminer l'équation reliant () et 11) = --1ps,(r) lors du basculement de 
la sortie de l'état
bas à l'état haut. En déduire l'énergie fournie à la porte lors de cette 
commutation. Que dire de celle

fournie par l'alimentation pour la commutation inverse ?

Q9. En déduire l'expression de la puissance moyenne consommée par l'inverseur 
sur une période de la
tension l'entrée.

Q10. On peut montrer que la durée 7, nécessaire pour que la tension de sortie 
passe de +0,9V,,5 à
0, 1V»n (et inversement), a pour expression :

CL 2(V;,, -- 0, 1Vpp) 19Vpp -- 20V,
T = + In(
K-(Vop -- V;,) Vpp -- V; Vpp
où est un paramètre caractéristique des transistors.

)

Simplifier l'expression de 7 pour V,, = 0, 1V52. Application numérique pour Vip 
= 5,0 V
et «k = 10 uA-V"?. À quoi correspond cette durée pour l'opération logique 
réalisée par la porte ?

Q11. En déduire une estimation numérique de la puissance consommée par 
l'inverseur sur une période.
On supposera que T = 27. Commenter.

Depuis les années 70, la finesse de gravure, c'est-à-dire la longueur L du 
canal, ne cesse de diminuer.
Elle est globalement divisée par deux tous les deux ans de même que les autres 
paramètres géométriques

du transistor. Cela a permis de diminuer la capacité parasite C7 ainsi que la 
tension d'alimentation.

Q12. À l'aide du modèle précédent, discuter qualitativement de l'impact de la 
finesse de gravure sur les
performances des processeurs.

8/20
Q13. Avec la diminution de la taille des transistors, la puissance consommée en 
fonctionnement sta-
tique de l'inverseur CMOS augmente. Expliquer qualitativement cette 
augmentation.

Bien sûr l'architecture interne, les courants de court-circuit, le fait que les 
portes ne fonctionnent pas
toutes en même temps et bien d'autres facteurs influent sur les performances 
des processeurs et en
particulier sur la puissance électrique dissipée lors de leur fonctionnement. 
Malgré tous les progrès
techniques réalisés, les processeurs (en particulier les plus puissants) 
chauffent pendant leur fonction-
nement. Les fabricants donnent comme indication à ce propos l'enveloppe 
thermique, ou T.D.P. (pour
Thermal Design Power), exprimée en watt, du processeur. Il s'agit du transfert 
thermique vers l'ex-
térieur dont doit pouvoir bénéficier le processeur pour fonctionner 
correctement. À l'heure actuelle,
l'enveloppe thermique typique est de l'ordre d'une dizaine à une centaine de 
watts pour les processeurs
commerciaux les plus performants.

Q14. En l'absence de système de refroidissement, exprimer la durée Af 
nécessaire à un microprocesseur
(substrat en silicium) possédant une enveloppe thermique de P,y, = 100 W pour 
s'échaufter de :

A6 = 0; 6.

Sachant que le microprocesseur ne doit pas dépasser 70 °C, estimer sa durée de 
fonctionnement pour
6 = 20 °C. Commenter.

Données :
- volume du processeur V = 0, 1 cm' ;

.L ue nl
- capacité thermique massique du silicium cs = 0,7J-e""K  :

- masse volumique du silicium ps = 2,3 g-cm *.

Partie II - Modélisation du système de refroidissement

IL.1 - Rôle de la pâte thermique

Intéressons-nous tout d'abord au transport de l'énergie thermique vers le 
système de refroidissement.
On appelle 1c1 processeur le composant photographié figure 10. C'est cette puce 
que l'on assimilera à un
carré de surface S = 4 cm" que l'on trouve dans les cartes mères des 
ordinateurs. La puissance thermique
est essentiellement produite à l'intérieur du carré hachuré dont la surface 
sera appelée surface utile notée
S ,. La température de cette partie du processeur est supposée uniforme.

4

DIFFUSED IN GERMANY
MADE IN MALAYSIA

% À

Figure 10 - Photographie d'une puce AMD A6-5400 et représentation de la surface 
utile S, (carré ha-
churé)

9/20
On néglige le transfert thermique à travers les parois latérales du processeur. 
On ne considère que le
transfert thermique s'effectuant à travers la face supérieure du processeur. 
Cette dernière est en contact
avec le support métallique du radiateur (refroidissement à air) ou de 
l'échangeur (refroidissement à eau)
du système de refroidissement. À cause de leur rugosité, le contact entre les 
deux surfaces présente
des imperfections. Cela se traduit par des poches d'air entre elles que l'on 
remplit lors du montage du
système de refroidissement avec une pâte thermique (figure 11).

rl

A (Oy)

Radiateur

V

Teoue

TN NT -- PR .... |
jh 1 . Modélisation 0
Pâte thermique Processeur

Processeur

Figure 11 - Schématisation et modélisation de la surface de contact entre le 
processeur et le radiateur
(ou de l'échangeur thermique)

On souhaite estimer l'impact de la rugosité sur l'efficacité du transfert 
thermique vers le système de
refroidissement en l'absence de la pâte thermique pour en comprendre 
l'importance.
On modélise le système par deux milieux distants de e et de section plane S, 
perpendiculaire à l'axe
(Oy). Les lacunes remplies d'air (en l'absence de pâte thermique) entre les 
plaques sont donc modéli-
sées par une couche d'air d'épaisseur e constante. On se place en régime 
stationnaire et on note 1, la
conductivité thermique de l'air. Le processeur et le radiateur ont des 
températures uniformes respective-
ment notées T°, et T,. Dans la couche d'air, la température T ne dépend que de 
y. On utilisera les valeurs
numériques suivantes :

- conductivité thermique de l'air À, = 0,03 WK-!m !:

- épaisseur de la couche d'air e = 1 1m (taille caractéristique des reliefs 
d'une surface métal-
lique sans traitements de surface) ;

- conductivité thermique de la pâte thermique À, = 10 WK-!m !.

Q15. Justifier que l'on puisse négliger les effets de bord et considérer que T 
ne dépend que de y dans la
couche d'air.

Q16. Rappeler la loi de Fourier. À l'aide d'un bilan d'énergie sur un système 
bien choisi, établir l'équa-
tion vérifiée, en régime stationnaire, par T dans la couche d'air de surface S 
,..

Q17. En déduire l'expression de T (y) puis l'expression de la résistance 
thermique R, de la couche d'air.

10/20
Q18. Il est conseillé d'appliquer une goutte, supposée sphérique, de pâte 
thermique d'environ 3 mm de
diamètre qui est étalée par pression lors de l'installation du radiateur. À 
l'aide des photographies de la
figure 12, exprimer en fonction des paramètres pertinents l'épaisseur e, de la 
couche de pâte thermique.
Application numérique.

Q19. Calculer la résistance thermique R, de la couche d'air et celle À, de la 
couche de pâte thermique
de surface S ,.

LE à À

ei
C9 PT d'INN Et 1

ARS5SOKOKAZ3HI

9 4762121073

AMV

E
AMD &

re
ce
Fr

® ww cUrr

: ERA Y

7

Figure 12 - Application de la pâte thermique

Q20. Pour un flux thermique de 100 W, estimer la différence de température AT = 
T, -- T, entre le
processeur et le radiateur avec et sans pâte thermique. Commenter à l'aide des 
valeurs numériques indi-
quées à la question Q14.

Q21. Proposer une autre méthode permettant de diminuer la résistance thermique 
du contact entre les
deux plaques.

IL.2 - Description d'un module de watercooling

Le watercooling ou refroidissent à eau est une technique d'évacuation de la 
chaleur produite par les pro-
cesseurs appelée ainsi par opposition à l'aircooling ou refroidissement à air. 
Un système de watercooling
est constitué (figure 13) d'un échangeur thermique situé sur le processeur et 
d'un radiateur (dissipateur
généralement externe) situé à l'arrière de la tour reliés par des tuyaux dans 
lesquels circule de l'eau. Le
débit d'eau est contrôlé par une pompe. L'eau reçoit l'énergie thermique 
produite dans le processeur au
niveau de l'échangeur avant de la céder à l'air de la pièce dans le radiateur.

11/20

Réinjecteur
ou pompe

Tube avec eau refroidie

Dissipateur
généralement
externe

LÉ TS LORS LE LOL Echangeur

L |
| Processeur

Figure 13 - Schématisation d'un système de watercooling

On s'intéresse 1c1 à un échangeur thermique (figure 14) constitué d'un ensemble 
de micro-canaux percés
dans le corps de l'échangeur et d'arlettes de refroidissement. Ces dispositifs 
sont fabriqués dans des mé-
taux conduisant la chaleur. Les plus rencontrés sont le cuivre de conductivité 
thermique 401 W-K=!:m° !
et l'aluminium de conductivité thermique 237 W-K"!-:m°'). L'eau circule dans 
les canaux et emporte

l'énergie thermique produite par le processeur.

Figure 14 - Photographie d'un échangeur thermique à micro-canaux (sans son 
"courvercle")

Q22. Lequel des deux métaux (aluminium ou cuivre) est le plus adapté pour 
réaliser l'échangeur ther-
mique. Quel est son inconvénient ?

Q23. Le débit massique D,, de l'écoulement à travers l'échangeur est de l'ordre 
de 107? kg-s"!. À l'aide
d'un bilan d'énergie sur un système bien choisi, estimer la température du 
fluide en sortie de l'échan-
geur pour une puissance thermique dissipée de 100 W. On rappelle la valeur de 
la capacité thermique
massique de l'eau liquide c, = 4,18kJ-K°!'-kg !.

IL3 - Détermination du champ de température dans l'échangeur

On souhaite maintenant déterminer le nombre nécessaire d'ailettes de 
refroidissement ainsi que la tem-
pérature dans ces ailettes en régime permanent.

12/20
Nous allons pour cela déterminer le champ de température dans l'échangeur et en 
particulier dans la
base métallique en contact avec le processeur (figure 15).

y À

ilette

Base métallique

T
' : -->-

Processeur

Figure 15 - Schématisation de l'échangeur et d'une aïlette de refroidissement

Dans cette partie du système, l'équation vérifiée par le champ de température 
en régime permanent est :

PT), TA) |

0.
Ôy? ox?

Le problème est toujours supposé invariant selon l'axe (Oz). Pour illustrer le 
principe de la méthode,
l'ailette est modélisé par un rectangle. Considérons le rectangle figure 16 
dont trois côtés sont à la
température 7, et le dernier à la température T;. Ce rectangle est découpé en 8 
petits carrés de côté
h (appelé pas de discrétisation) dont les sommets forment un réseau de points 
de coordonnées (5h, jh)
auxquels correspondent les températures T(ih, jh) que l'on mémorise dans un 
tableau T'; ;.

L'objectif est de déterminer les températures T(11,, T2, et T3, aux points de 
coordonnées (h, h), (h, 2h)
et (h,3h).

in ÿ

Ti ñ T (0,4) T(1,4) T(2,4)
nm T(1,3) vi TL (0,3) 1 (1,3) T(2,3)
mn 1 (1,2) ® T(o,2] (12) 1(2,2)
n T1) " Ton] (1,1) T(2,1)
DO T; / Too 11,0) 720)

Figure 16 - Discrétisation de l'ailette

13/20
La méthode des différences finies centrées avec le pas de h est utilisée pour 
déterminer le champ de
température dans l'échangeur et en particulier dans la base métallique en 
contact avec le processeur.

OT oe» = Lt Lt 5)
Ox 7" h
OT (x, y = L'xy+t) _ Lx)
dy h
2 2

Q24. Selon une logique analogue, expliquer comment approcher 5e Cr y) et an y), 
d'abord à partir
X y

des dérivées premières de T'(x, y), puis sans aucune dérivée. Les expressions 
finales pourront faire inter-
venir T(x+h,y), T(x--h,7y), T(x,y + h), T(x, y -- h) et T(x, y).

Q25. En déduire les coefficients a, b, c, d et e de l'équation différentielle 
sous forme discrétisée suivante :
a : T'i-1,j + b: T'i+1,p + C: Ti,j-1) + d: T'i,j+1) +e: Tip = ().
Q26. Écrire les équations pour i=1, j=1, pour i=1, j=2 et pour i=1, j=3.

Q27.En déduire le système d'équations à résoudre, le mettre sous forme de deux 
matrices À et B tel
que :

A-T=B

Tan
T -- T2

T3

avec À une matrice 3 X 3 et B un vecteur de 3 composantes.

La discrétisation de la base métallique n'est pas suffisamment fine et ne prend 
pas en compte les effets
à l'interface ailette/embase.

IrvE

Figure 17 - Calcul sur différentes géométries

Pour permettre d'obtenir une bonne approximation du champ de température T sur 
l'ensemble de la
structure (Q) et de connaître le pas de discrétisation optimal, 1l est 
nécessaire de calculer l'énergie
interne pour différentes discrétisations. L'énergie interne s'exprime par :

1
6=; [favr-vraa
2 JJo

Il est possible de montrer qu'en prenant une discrétisation très fine (non 
demandé), l'énergie interne
va tendre vers une valeur exacte (ÆE;) correspondant à une valeur calculée 
numériquement pour une
discrétisation suffisamment fine.

14/20
On note E" l'énergie interne approchée calculée numériquement en fonction du 
nombre d'inconnues de

discrétisation n. On peut ensuite tracer l'erreur sur l'énergie interne (E° -- 
E;)/E° en fonction de n en

échelle log (figure 18). Pour ne pas effectuer ensuite des calculs trop 
importants, on choisit une valeur

de discrétisation n correspondant à une erreur de 5 %&.

1 Erreur %

40 LL I EE I I LI ET 2 2 LU LIL LL EIT
L PDO LOL OI II TI LIT
| | LU rIITII | | [I rIIII | I LP rIIII | I D rIIII
To DR M RE TT TTIT
TT TI TITI I IT TTTPIT
30 Ï Ï TT TII Ï Ï TT TITI Ï Ï PTIT TII Ï Ï TITI TITTII
+ - - lu --i- ++ = RÉ AIA+HHÉ 4-4 RÉ A = = ie he + + + HI4
I LL LI LINE IN I LI ET 2 = I I LOU LLIX
L = = -- F2 I LL LIDIL LL LIT LIRE EL EI LE I LI LIDIL IT 2 2 ZI LIL LI L'LIL
JL PDT LUE LOL ON OU I IT TI IT
90 | | LU rII | | D rIIII | I D rIIII | I D rIIII
| | LI rIITII | | D rIIII | I D rIIII | I D rIIII
TT IT TTIIT SCT TITI IT TITIT
TT -- I TT -- -- AIT IFR TT FIT
+- -- I += = ENATII+HHÉ HA HA = = Ie Ie + + + H1+
À _-- -- I I LL LE LE HALEINE I I LH LH EI
10 | | LL LI! | | L__1 | | l LL LILI | l LL LILI
| | 1 I | L 1 I OU CO OU OL LIL
I | I D rIIII
TT TT
I TT TT TT

| T Nombres de noeuds

T T LL

10 OO0

100

Figure 18 - Erreur sur l'énergie interne (E° -- E;)/E° en fonction du nombre de 
noeuds n

Q28. Déterminer la valeur de n correspondant à l'énergie interne permettant 
d'assurer que la discrétisa-
ton du domaine Q soit suffisamment fine pour avoir une bonne approximation du 
champ de température
T(x, y) sur l'ensemble de la structure.

Après discrétisation sur un modèle plus complexe (figure 17), le système à 
résoudre est toujours du type
À - T = B mais la dimension de la matrice À devient très élevée. La matrice 
obtenue est une matrice
tridiagonale, pentadiagonale par morceau. Plusieurs résolutions sont effectuées 
autour de quelques tem-
pératures critiques tel que la résolution devienne :

A:(T +0T) = (B +6B).

L'objectif de cette résolution est de regarder l'influence de cette incertitude 
6B sur la température finale
obtenue.

Il est possible de montrer que la variation du premier membre sur le résultat 
est majorée par la variation
du second membre sur les données multipliées par |A|| : A7 1], c'est-à-dire :

TI
ri

6 B|]

(IA + 11A7 1) TL

Le nombre ||A|| -|1A7{||, appelé cond(A), définit un bon conditionnement de la 
matrice À, c'est-à-dire une
faible influence des variations de B sur le résultat de T.

Q29. Parmi les valeurs {-- 10 000, --1 000, --1, 1, 1 000, 10 000} pour 
cond(A), donner la valeur de cond(A)
qui entraînera un bon conditionnement de notre matrice.

La norme de À est définie par :

n
Alle = maxisiem D VAijl.

J=1

15/20
Une partie représentative de la matrice obtenue est représentée ci-dessous :

[1 2 6 8
À = 2 5 15 23
| 6 15 46 73
[8 23 73 130.
et la matrice inverse :
| 41 28 -24 6.
A 28 35 --23 5
--24 -93 17 4
6 5 --4 1.

Q30. Calculer |A|L, et 1A7!IL.

Q31. Calculer cond(A). Est ce bien conditionné ?

Partie III - Modélisation de la pompe centrifuge

Les parties précédentes ont permis de modéliser la dissipation thermique au 
niveau du processeur et
des ailettes. Nous allons maintenant modéliser la dissipation de chaleur au 
niveau du fluide. La pompe
centrifuge (figure 19) est le type de pompe le plus utilisé pour le 
refroidissement liquide en raison de sa
large gamme d'utilisation, sa robustesse et son faible coût de production. La 
pompe utilisée 1c1 est une
pompe Dangerden CSP-MAG.

L.
n -- +" Roue
hs, | Collecteur
. x k
! \ bd
AT Corps
es » L
-"s | no. | de
\
À AJ ponpe
FT ee Ah
7 1 À best f "ru
W # nASpiration ver gent
" ... ie et
vol ute

Figure 20 - Écoulement dans une pompe centrifuge

16/20
Caractéristiques de la pompe (figures 21 et 22) :
- tension de fonctionnement : U = 12 V,
- à l'entrée 5, = 25",
- à la sortie B; = 62",
- couple maximum qui s'exerce sur la roue en entrée de la pompe : C = 3-107*N-m,
- vitesse maximum de la roue : N = 2 500tr-min !,
- rayon en entrée des aubages : R; = 4,5 mm,
- rayon en sortie des aubages : R; = 17,5 mm,
- épaisseur des aubes en entrée et en sortie e; = 9 mm, e> = 5 mm,

- masse volumique de l'eau utilisée dans le circuit de refroidissement : Don © 
1 g-Cm ".

--

Va
é, \ &
--
e 1
0 R;
Ô x
O >-

Figure 21 - Paramétrage des aubages de la pompe centrifuge

Figure 22 - Triangle des vitesses d'une roue de pompe centrifuge

Cette machine hydraulique communique de l'énergie mécanique au fluide par la 
mise en rotation. Tout
d'abord, une canalisation d'aspiration amène le fluide selon l'axe de la roue à 
l'entrée. Le liquide ac-
quiert ensuite une énergie cinétique en embrassant les aubages de la roue qui 
tournent à grande vitesse.
Finalement, par la force centrifuge, le liquide est propulsé radialement vers 
l'extérieur de la roue. Cette
énergie cinétique est transformée en énergie de pression au niveau du 
collecteur, la forme en spirale de
celui-c1 à pour rôle de transformer le mouvement de rotation en un mouvement de 
translation

(figure 20).

17/20
L'objectif de cette partie est de caractériser les performances de la pompe.

Hypothèses :

le fluide est incompressible et parfait,
le rotor tourne à une vitesse constante & par rapport au corps de pompe,

le corps de pompe {0} est supposé fixe dans un référentiel galiléen,

l'écoulement entre deux aubages est supposé permanent et plan,

la répartition des pressions est supposée uniforme dans les sections d'entrées 
et de sortie,

au vu des vitesses engagées, la pesanteur devant les paramètres d'inertie est 
négligée.

On désigne par e; l'épaisseur de la veine fluide en entrée et e> l'épaisseur de 
la veine fluide en sortie.
e varie linéairement entre e, et e:. On définit S ; la section en entrée des 
aubages, S'; la section en sortie.
A l'entrée du rotor, un point M, est repéré par ses coordonnées et sa vitesse :
ar oi ci
- OM =R; -é6é,+7:7%,
> > -- _ _
= Vu (fiuideyo) = V1 tel que Vi = Vi: 6, + Vigo: eo

À la sortie du rotor, un point M, est repéré par ses coordonnées et sa vitesse :
ar oi ci
- OM, = R, : Er +TZ'Z,
D D -- _ _
= Vu (fluideyo) = V2 tel que V2 = Vi, : 6, + Vo: 60.

Entre deux aubages, entre l'entrée et la sortie, un point M est repéré par ses 
coordonnées et sa vitesse :
72? oi ci
- OM =r-é,+z:7,
D -- -- _ _
- V M (fluide/0) -- V tel que V = Æ er + Va * Cp

Bilan des actions mécaniques

Dans cette partie, on considère que :
- l'épaisseur des aubes est négligeable,
- le fluide pénètre sur toute la périphérie et est également éjecté sur toute 
la périphérie,
- l'inertie de la pompe est négligée.

On définit le torseur dynamique du système fluide compris entre l'entrée S , et 
la sortie S >.

Rp fuideo en 4 I], Lo-v
D rude 10)) -- _; (1)
| PRE OM A p: V : dv
O
d " [ [ Le V.dr
-- 4 (2)
= [[T ono.v V: a+ [ (OM np V).: (V . n)ds
CA ôt ôD

avec OD = S ,(entrée) U S,(sortie) US yrrate, D le Volume de fluide et ni le 
vecteur normal à la surface

considérée. L'action du moteur sur Z ={rotor+fluide} est modélisée par :

_

 Fonoreur»s)) -- o eo ° (3)

18/20
Q32. Montrer que le moment dynamique du fluide au point O dans son mouvement 
par rapport au repère
galiléen RQ S'écrit :

2 2 2
Oo(fluidesoy = 27 * P * (RS + Vi, + V9 * e2 -- KT: Vi, - Vig-e:)

Q33. Calculer le débit massique du fluide au niveau de l'entrée.
Q34. Calculer le débit massique du fluide au niveau de la sortie.

Q35. En déduire une relation entre le débit massique Q,, et le couple moteur.

Triangle des vitesses sur une pompe centrifuge

Pour l'étude des turbomachines (figure 22), 1l est intéressant de faire 
apparaître pour chaque particule
de fluide la vitesse V = W + Ü où V est la vitesse absolue de cette particule 
par rapport au repère
galiléen, W la vitesse relative par rapport au rotor et Ü la vitesse 
d'entraînement.

On pose :

Q36. Montrer que W,, W, et U, s'écrivent :

Wa = --W : cos,
W,=V,=W:sinb,
U; = U.
V,
Q37. Montrer que V, = U --
tan 6

Q38. Définir la relation entre le débit volumique Q, et la vitesse V, puis la 
vitesse U en fonction de w.
Q39. Déterminer V4, et V, en fonction de Q,, R; , R;, &, BP, et B, en déduire 
la relation entre C et Q,..
1

Après résolution, nous obtenons un débit de Q, = 0,000 5 m°s .

Q40. Est-ce compatible avec le débit maximum de 500 L/h donné par le 
constructeur de la pompe ?
Justifier cette modélisation.

19/20
Différence de pression entre l'entrée et la sortie
À partir de l'équation d'Euler, il est possible de montrer que pour un fluide 
parfait incompressible, le

théorème de Bernoulli permet d'écrire :

WU? P
------ + -- = CSfe.
2 P

Q41. En déduire la différence de pression entre l'entrée et la sortie de la 
pompe AP.

La pression obtenue vaut 4, 1:10° Pa, le constructeur annonce pour sa pompe 
2-10° Pa.

Q42. Comment justifier cet écart ?

0.8

. TT K
| 7 \
À \

puissance hydrauique (W)

0.1

95 100 200 300 400 500

debit (L/h)

Figure 23 - Puissance hydraulique en sortie de pompe

Q43. D'après la figure 23, quelle est la puissance maximale développée par la 
pompe ?

Q44. Calculer la puissance mécanique transmise à la pompe puis en déduire le 
rendement maximal de
la pompe.

FIN

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IMPRIMERIE NATIONALE - 201164 - D'après documents fournis

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCINP Modélisation et Ingénierie numérique
PSI 2020 -- Corrigé

Ce corrigé est proposé par Jacques Ding (École Polytechnique) ; il a été relu 
par
Julien Dumont (professeur en CPGE) et Vincent Freulon (professeur en CPGE).

Ce sujet propose de modéliser les différentes parties d'un circuit de 
refroidissement
à eau utilisé pour les microprocesseurs d'ordinateurs portables. Les trois 
parties qui
le composent sont indépendantes, ne comportent aucune question de programmation
et ne mobilisent presqu'aucune connaissance en sciences de l'ingénieur.
· Dans la première partie, on s'intéresse à l'étude électronique d'une porte 
logique constituée de transistors. L'objectif est d'estimer la puissance 
thermique
dissipée par la porte. Cela motive l'intérêt d'un circuit de refroidissement. 
Les
questions de cette partie évaluent les compétences en conversion de puissance,
ainsi que des connaissances générales sur les circuits électriques.
· La deuxième partie est consacrée aux transferts thermiques entre le processeur
et un radiateur. Dans un premier temps, on analyse l'impact de l'ajout d'une
pâte thermique introduite entre le processeur et le radiateur. Dans un second
temps, c'est un circuit de refroidissement à eau qui est introduit entre le 
processeur et le radiateur. Quelques caractéristiques du circuit de 
refroidissement sont
analysées. Dans un troisième temps, des méthodes numériques sont mises en
oeuvre pour résoudre de manière approchée l'équation de la diffusion thermique
dans le radiateur. La thermodynamique des deux années est sollicitée.
· Dans la troisième partie, on modélise la pompe qui entraîne l'eau du circuit 
de
refroidissement. C'est l'occasion de vérifier les connaissances en mécanique des
fluides et en cinématique.
Ce sujet de longueur raisonnable est proche du cours de physique de PSI. Il 
traite
de manière assez ciblée certains chapitres (bilans en thermodynamique, 
électronique
de puissance) et permet de consolider la compréhension du cours.

Indications
Partie I
2 Le fonctionnement d'une porte inverseuse est le suivant : pour une entrée 
nulle,
la sortie est VDD et pour une entrée valant VDD , la sortie est 0.
4 Sous l'hypothèse qu'il n'y a pas de fuite de courant vers la sortie de la 
porte,
établir une relation simple entre IDSn et IDSp . Pour déterminer la tension VDS
d'un transistor connaissant IDS , on peut se référer à la figure 5.
8 L'alimentation fournit au circuit l'intensité i(t) et la tension VDD . 
Intégrer la
formule de la puissance sur la durée de commutation.
12 Utiliser la formule établie à la question précédente pour en déduire la 
dépendance
de la puissance moyenne avec la tension VDD .
14 Appliquer le premier principe de la thermodynamique au microprocesseur.
Partie II
15 Calculer le côté du carré utile à l'aide de la figure 10 et comparer à 
l'épaisseur de
la couche d'air.
16 S'inspirer de la démonstration de l'équation de la diffusion thermique du 
cours.
18 Remarquer que le volume de la pâte thermique est conservé lors de son 
étalement.
Modéliser la forme que prend la pâte étalée par un cylindre dont on cherche
l'épaisseur.
23 Faire une démonstration analogue au premier principe industriel.
Partie III
32 Justifier que la dérivée partielle par rapport au temps dans l'expression du 
moment dynamique est nulle. Montrer ensuite que le terme intégral sur la surface
latérale est nul aussi. Calculer enfin les deux intégrales sur S1 et S2 avec les
notations de l'énoncé.
35 Appliquer le théorème du moment dynamique au système composé du rotor et
du fluide contenu dedans.
36 Raisonner géométriquement sur le schéma de droite de la figure 22.

Modélisation d'un circuit
de refroidissement à eau
I. Origine de la puissance thermique produite
1 Puisque VGS = Vin = 0 < Vtn , le fonctionnement du transistor NMOS, donné dans la table 1, indique que l'intensité IDS est nulle. D'après la loi d'Ohm appliquée à la résistance de la figure 6, 0 = R IDS = VDD - Vout d'où Vout = VDD 2 Rappelons la fonction d'une porte logique : · pour une entrée dans l'état bas (ici Vin = 0), la sortie est dans l'état haut, soit Vout = VDD en cohérence avec la définition de l'énoncé ; · pour une entrée dans l'état haut (Vin = VDD ), la sortie est dans l'état bas (Vout = 0). Lorsque l'entrée Vin est nulle, toutes les valeurs de R permettent d'avoir la sortie Vout à 5 V (c'est-à-dire à VDD ). Lorsque Vin = VDD = 5 V, pour 1 et 10 M, la sortie Vout est quasi-nulle tandis qu'elle dépasse 1 V pour R = 0,1 M. De plus, il faut que la pente du basculement soit la plus verticale possible, ce qui exclut aussi la valeur R = 1 M. Le circuit constitue un inverseur logique pour R = 10 M. 3 Dans l'état bas, Vout est nulle donc R IDS = VDD La puissance dissipée est pc = IDS VDD = 5,02 VDD 2 = = 2,5 µW R 10 · 106 Pour mieux comprendre les implications de cette puissance, estimons la durée de fonctionnement d'un smartphone si tous ses transistors sont des inverseurs NMOS dans l'état bas. À la page 3, l'énoncé indique qu'il y a N = 2 · 109 transistors dans les processeurs aujourd'hui. La puissance P perdue en régime statique est P = N × pc = 5 kW ce qui rend le smartphone complètement inutilisable. La puissance consommée par l'inverseur NMOS en statique explique son faible intérêt industriel. On peut même évaluer l'autonomie du smartphone en supposant ses pertes statiques égales à 5 kW. L'énergie E stockée dans la batterie s'écrit en fonction de la capacité de la batterie Q et la tension nominale U : E=Q×U Pour les smartphones récents, Q est de l'ordre de 3 A · h et U de l'ordre de 5 volts. Le téléphone aurait ainsi une autonomie t de l'ordre de t = E 3 × 5 × 3,6 · 103 ' ' 10 s P 2 · 109 × 2,5 · 10-6 Ceci justifie que les portes NMOS seules sont peu utilisées. 4 On fait l'hypothèse qu'il n'y a pas de fuite de courant à la sortie, c'est-à-dire que IF = 0 sur le schéma. Ainsi, la loi des noeuds appliquée au point A donne VGSp VDSp IDSp IDSn = -IDSp Cela revient à supposer que l'impédance d'entrée du circuit connecté à la sortie de la porte CMOS est suffisamment grande pour négliger l'intensité IF devant IDSn et IDSp . A IDSn Vin VDD IF Vout De plus, les tensions satisfont VDD + VGSp = Vin et Vout = VDD + VDSp Montrons à l'aide de ces trois relations que le montage est bien inverseur. · Si Vin = 0, -VDD = VGSp < Vtp 0 = VGSn < Vtn et donc le transistor PMOS est passant tandis que le transistor NMOS est bloqué, ce qui implique IDSp = -IDSn = 0 La tension VDSp est déterminée par les caractéristiques tracées figure 5, où on voit qu'on a VDSp = 0 lorsque IDSp est nulle. Ainsi Vout = VDD + VDSp = VDD ce qui signifie que la sortie est dans l'état haut. · Si Vin = VDD , VGSp = 0 > Vtp

et

VDD = VGSn > Vtn

donc le transistor PMOS est bloqué tandis que le transistor NMOS est passant,
ce qui implique
IDSn = -IDSp = 0
La tension VDSn (égale à Vout ) est déterminée par les caractéristiques tracées
figure 4, où on voit qu'on a toujours VDSn = 0 quand IDSn est nulle. Ainsi
Vout = 0
ce qui signifie que la sortie est dans l'état bas.
Finalement, l'état de sortie du circuit CMOS est l'opposé de l'état d'entrée, 
si bien
que ce circuit est un inverseur logique.
5 À la question précédente, on a vu que les intensités IDSn et IDSp sont nulles 
pour
les deux états. La porte ne consomme donc pas de puissance électrique en
régime statique.
6 Pour la porte réelle, il existe toujours un courant de fuite IF donc la 
puissance
dissipée en régime statique est non nulle.
Dans les MOSFET, le courant de fuite est dû à l'agitation thermique.
Lorsque le transistor chauffe, des électrons liés peuvent être arrachés au