CCP Modélisation et Ingénierie numérique PSI 2019

Thème de l'épreuve Optimisation de la masse d'un drone de prise de vue
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, mécanique, électrochimie, électrocinétique, induction
Mots clefs drone, inductance mutuelle, accumulateur, bobine, accumulateur lithium-polymère, LiPo, drone, éléments d'inertie, modes propres, liaisons équivalentes

Corrigé

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CCINP Modélisation et Ingénierie numérique
PSI 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Julien Dumont (professeur en CPGE) et Charlie
Leprince (ENS Paris-Saclay) ; il a été relu par Olivier Frantz (professeur 
agrégé en
école d'ingénieurs), Tom Morel (professeur en CPGE) et Stéphane Ravier 
(professeur
en CPGE).

Les drones, utilisés notamment pour réaliser des prises de vue, sont de plus en
plus évolués. Une des limitations à leur plus grande utilisation est 
l'autonomie en
vol dont ils disposent. Ce sujet aborde différentes façons de réduire la masse 
pour
améliorer ce critère.
· La première partie étudie le rapport entre la masse du drone et sa 
consommation énergétique. Après avoir discuté des hypothèses de travail, on 
développe
un modèle permettant de relier la force de sustentation du drone et la puissance
mécanique à lui fournir pour effectuer un vol stationnaire. Une étude 
expérimentale de cette loi est ensuite réalisée afin de valider le modèle. On 
se sert
alors des résultats obtenus pour relier le temps de vol en autonomie à la masse
du drone.
· La deuxième partie s'intéresse à une solution alternative à la nacelle 
motorisée : en utilisant des plots amortisseurs flexibles, on cherche à 
supprimer les
vibrations pouvant nuire à la qualité du traitement numérique des informations
provenant de la caméra. L'objectif de cette section est de déterminer s'il est
effectivement possible d'isoler le tube de caméra en écartant suffisamment ses
modes propres de ceux de la structure étoilée du drone.
· La troisième partie, la plus courte, comporte quelques questions 
d'électrochimie
et s'intéresse à la manière dont on pourrait réduire la masse de la batterie.
On calcule la capacité massique maximale d'un accumulateur lithium-polymère
et on la compare à la capacité réelle d'une batterie de drone. Les pistes 
d'amélioration de ce paramètre essentiel ne sont qu'évoquées.
· Dans la dernière partie, le sujet étudie un système permettant d'alimenter le
drone à distance à l'aide d'un couplage inductif. Dans un premier temps, on
étudie une modélisation de la bobine sur un vaste domaine de fréquences, puis
on s'intéresse au couplage à proprement parler en calculant la mutuelle 
inductance entre émetteur et récepteur. Enfin, on aborde la viabilité d'un tel 
système
d'alimentation.
Le sujet, plutôt long, est de difficulté hétérogène. La première partie 
notamment
demande de l'habileté pour obtenir les relations souhaitées. Originale, la 
deuxième
partie demande un recul suffisant pour être correctement traitée car elle fait 
appel à
des notions peu courantes. Comme dans la plupart des épreuves dites de « 
modélisation », on est souvent amené à discuter la pertinence du modèle 
utilisé, par exemple
en le confrontant à des résultats expérimentaux.

Indications
Partie I
3 Commencer par exprimer Pm en fonction de F2 , puis remarquer que Pm /F = v s 
/2.
4 Appliquer le théorème du moment cinétique à l'équilibre.
5 Pour l'application numérique, penser à convertir  en radians.
7 Écrire l'équilibre des forces, sans oublier que le drone possède 4 hélices, 
puis
utiliser l'expression de  obtenue dans la question précédente.
Partie II
8 Utiliser la figure 8 pour déterminer les mouvements impossibles, en gardant à
l'esprit que les plots sont alors considérés comme rigides.
9 La raideur du ressort est le rapport de la force maximale possible par la 
course
maximale.
15 Bien étudier les dessins fournis dans les figures 16 et 17.
18 Injecter les formes proposées dans les trois équations différentielles 
citées juste
avant la question.
20 Attention à la conversion d'unités pour passer des g.mm2 aux kg.m2 . Valider 
cette
conversion avec la fréquence de roulis.
Partie III
26 Le vocabulaire utilisé par l'énoncé peut prêter à confusion : en réalité q 
max est
bien une charge massique.
27 Remarquer que 11,1 V = 3 × 3,7 V.

28 Réécrire les demi-équations d'oxydation à l'anode, d'abord avec une anode 
faite
d'un alliage d'insertion LiSi0,22 puis avec une anode en lithium pur.
Partie IV
30 Écrire puis résoudre l'équation différentielle régissant le courant dans le 
circuit,
en utilisant le fait que le courant qui circule dans une bobine est une fonction
continue du temps.
33 Comparer R à |jL| puis déterminer le maximum de la fonction |Z()|.

35 Pour calculer la mutuelle inductance, commencer par calculer le flux 12 du
champ magnétique créé par la bobine 1 au niveau de la bobine 2.
37 Écrire la loi des mailles dans les deux circuits. Attention aux bornes 
homologues.

Optimisation de la masse
d'un drone de prise de vue
I. Quel rapport entre masse et autonomie ?
1 En considérant que l'air loin de l'hélice est immobile (au repos à la pression
atmosphérique) et qu'il est mis en mouvement par l'hélice, on peut affirmer qu'à
l'entrée du tube de courant la vitesse de l'air est nulle.
Dans la mesure où l'hélice génère une importante convection de l'air, on peut
négliger les forces de viscosité au sein du fluide et supposer l'écoulement 
parfait,
ce qui permet de négliger la puissance des actions internes.
On cherche à savoir si la variation d'énergie potentielle est négligeable devant
la variation d'énergie cinétique. En supposant que la vitesse de l'air et que 
le dénivelé varient peu entre l'hélice et la sortie du tube de courant, on 
s'intéresse à
la variation d'énergie entre le haut du tube de courant et l'hélice. Déterminons
dans un premier temps un ordre de grandeur de l'énergie cinétique. On considère
que l'hélice a une vitesse de rotation de l'ordre de  h = 5 000 tours/min (soit
 h = 5 000 × 2/60  500 rad.s-1 ). En supposant que la vitesse de l'air en 
sortie de l'hélice est égale à celle de l'hélice (soit v h = h où   0,1 m est 
la longueur
d'une pale de l'hélice), alors la variation d'énergie cinétique massique entre 
l'entrée
du tube de courant et l'hélice s'écrit : ec = v h 2 /2 - 0  1 000 J.kg-1 . 
D'autre part,
on estime le dénivelé entre le haut du tube de courant et l'hélice à z  1 m 
environ
(estimation probablement un peu surestimée). On en déduit la variation 
d'énergie potentielle massique : ep = gz  10 J.kg-1 . On voit que même en la 
surévaluant, la
variation d'énergie potentielle est négligeable devant la variation d'énergie 
cinétique.
2 Sous les hypothèses précédentes, l'équation (1) se réécrit, entre l'entrée et 
la sortie
du tube de courant, sous la forme

p
Dm ec +
= Pm

Comme la pression est la même à l'entrée et à la sortie et que la vitesse à 
l'entrée est
nulle, cette équation devient
Pm =

Dm v s 2
2

La relation (2) donne quant à elle
F = Dm v s
Avec Pm = Fv h ,

F=

Pm
Dm v s 2
=
vh
2v h

Identifions cette expression avec F = Dm v s :
vh =

vs
2

3 Commençons par calculer le débit massique :
ZZ

-

Dm =
-
v · d S =  vh S
S

D'après la question 1,

Avec

Pm =

Pm
vs
= ,
F
2

Dm v s 2
2

=

F2
2Dm

=

F2
2 v h S

=

F2
 vs S

Pm 2 =

F3
2S

1
Pm = 
F3/2
2S

On obtient donc bien

-

-

-

La force F exercée par l'hélice sur l'air est F = F-
z , donc la force  exercée par
l'air sur l'hélice s'écrit
p
-

-

 = - F = - 3 2  S Pm 2 -
z
4 Les actions mécaniques extérieures qui s'exercent sur le drone et le cordon 
sont :

-
-

· la force exercée par le capteur sur le cordon : F cap = -Fc = -Fc -
y0 ;

-

· la force de sustentation  =  -
y1 ;

-
· le poids du drone P ;

-
· la force exercée par le banc sur le drone N .
-

1
G

·

·

-

P
0

-

y0

M

-

F cap

-

x0

2

· B