CCP Modélisation et Ingénierie numérique PSI 2018

Thème de l'épreuve Modélisation du captage du courant dans un train à grande vitesse
Principaux outils utilisés électricité, modélisation numérique, diffusion thermique, mécanique du solide, asservissement
Mots clefs caténaire, loi de Newton, statique, chaînette

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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SESSION 2018 PSIM106 u: CONCOURSCOMMUNS "' POLYTECHNIQUES ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI MODÉLISATION ET INGÉNIERIE NUMÉRIQUE Jeudi3mai:8h-12h N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce quipeut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené aprendre. Les calculatrices sont autorisées Le sujet est composé de 20 pages d'énoncé. Il comporte 3 parties indépendantes. Il est demandé au candidat de bien vouloir préciser le numéro de chaque question traitée. Les résultats attendus seront encadrés. 1/20 MODÉLISATION DU CAPTAGE DU COURANT DANS UN TRAIN A GRANDE VITESSE Présentation générale Le train est un moyen de transport en commun très fiable et il n'existe pas, de nos jours, de moyen plus efficace pour alimenter électriquement les trains que le captage de courant via le contact pantographe/caténaire. La caténaire forme la partie aller du circuit électrique depuis la sous--station d'alimentation, tandis que les rails sont le circuit retour (figure 1). L'usure mécanique par frottement de la caténaire est une contrainte majeure dans le captage du courant en ligne lorsque le train roule. caténaire _ fil de contact pantographe ----*"' Moteur électrique - --"' Circuit de retour Figure 1 -- Schéma de circulation du courant électrique L'usure par frottement du fil de contact peut être diminuée par une modification du matériau de la bande de contact et en réduisant la force de contact du pantographe sur la caténaire. En revanche, lorsque le train est à l'arrêt, un problème jusque là inexistant apparaît dans certains cas : la rupture du fil de contact due à un échauffement trop important causé par le passage du courant entre la caténaire et le pantographe. Les principaux cas de rupture de la caténaire sont finalement dus à : -- l'alimentation à l'arrêt : par échauffement et risque de rupture par striction ; -- l'alimentation en mouvement : par frottement excessif sur la caténaire ou accrochage du pantographe et arrachage. De nombreux retards sont imputables à ces deux causes de rupture de la caténaire et représentent une perte d'exploitation importante pour la SNCF. C'est dans ce contexte que la Direction de l'Ingénierie de la SNCF a lancé une série d'études expérimentales et théoriques pour modéliser ces phénomènes. Le sujet comporte 3 parties indépendantes : -- la Partie I étudie les pertes par effet J oule dans la caténaire et dans les rails ; -- la Partie II a pour objectif de modéliser l'évolution de la température au sein du fil de contact de la caténaire lorsque le train est à l'arrêt ; -- la Partie III a pour objectif de mettre en place un dispositif de mesure de la force de contact du pantographe sur la caténaire et de vérifier les performances de l'asservissement de cette force. 2/20 Partie I - Étude préliminaire de la ligne d'alimentation Objectif : proposer une modélisation du contact électrique pantographe--caténaire en vue d'évaluer les pertes par effet J oule. L'interface pantographe/caténaire était initialement un contact cuivre/cuivre, dommageable pour le fil en terme d'usure par frottement et nécessitant une lubrification supplémentaire externe au système. Le cuivre de la bande de captage (figure 2), élément du pantographe assurant le contact, est remplacé par du carbone graphite. QI. Justifier la nécessité de changer le matériau de la bande de captage du pantographe plutôt que celui du fil de contact de la caténaire. alimentation {électrique du train Q2. Donner 2 propriétés physiques qui justifient l'emploi du carbone graphite. Dans quel autre usage similaire et courant retrouve--t--on l'usage du carbone gr aphite ? Figure 2 -- Interface pantographe/caténaire Cette avancée du système s'avère concluante en ligne, l'usure par frottement du fil diminue et le contact cuivre/carbone est auto--lubrifiant. En revanche, lors d'arrêts prolongés du train, à cause d'incidents sur la voie par exemple, la rupture du fil de contact due à un échauffement trop important causé par le passage du courant entre la caténaire et le pantographe peut arriver. Le captage à l'arrêt peut être décrit comme un contact électrique (alimentation du train via le contact) avec des contraintes mécaniques (force de contact pouvant varier d'un cas à l'autre) provoquant des phénomènes thermiques (diffusion de la chaleur et échanges entre les solides et l'extérieur). Ce problème multiphysique, complexe, repose sur l'interface de deux solides. En physique, l'étude d'interfaces est toujours compliquée. En effet, leurs caractéristiques sont particulièrement interdépendantes et difficilement mesurables. Dans le domaine électrique, l'interface est caractérisée par la résistance électrique de contact qui détermine la capacité du contact à ralentir le passage du courant. D'un point de vue mécanique, c'est la surface de contact qui caractérise l'interface. Enfin, en thermique, l'interface est caractérisée par la résistance thermique de contact qui représente l'aptitude du contact à laisser passer le flux de chaleur. La compréhension de ces phénomènes multiphysiques passe donc non seulement par des phases expérimentales mais aussi par une étude théorique du système. 3/20 1.1 -- Calcul des pertes dues àla caténaire Nous étudions ici l'alimentation de la motrice par caténaire depuis des sous--stations A et B distantes de L: 10 km l'une de l'autre (figure 3). La tension de ces sous--stations par rapport à la terre est de U : 1,5.103 V continu. La motrice se situe à une distance x de la station A. La résistance linéique des caténaires est de r = 0,020 Q.km'l. Pendant la phase d'accélération, le courant absorbé par la motrice est 1 : 25.103 A. On néglige les résistances des rails. Figure 3 -- Schéma simplifié de l'alimentation de la motrice Dans la figure 3, les deux résistances R1 et R2 dépendent de x. Compte tenu de la configuration du circuit, elles peuvent être remplacées par une seule résistance équivalente Re. Q3. Donner le schéma électrique équivalent. En déduire l'expression de Re en fonction de r, L et x. Q4. Déterminer la valeur de x pour laquelle la résistance Re est maximale. Pour les questions suivantes, on considérera que la motrice se situe en x : L/2. QS. Déterminer l'expression de Re. Faire l'application numérique. Q6. En déduire l'expression de la chute de tension aux bornes de cette résistance : U R. Faire l'application numérique. Q7. Donner l'expression du rendement lié à l'alimentation de la motrice via la caténaire. Faire l'application numérique. Que devient ce rendement lorsque la motrice est au niveau d'une sous-- station (en A ou B) ? 1.2 -- Passage au 25 kV alternatif Depuis les années 1950, les nouvelles lignes françaises de chemin de fer sont alimentées en 25 kV tension alternative monophasée 50 Hz. Q8. Quel est l'intérêt principal d'utiliser une tension de 25 kV par rapport à une tension de 1,5 kV ? Q9. Justifiez la fréquence de 50 Hz. Les sous--stations étant elles--mêmes alimentées par des lignes à haute tension 63 kV, quel élément permet le passage d'une tension de 63 kV à une tension de 25 kV ? Pour toute la suite du sujet, le courant circulant dans la caténaire et dans le pantographe sera un courant continu. La motrice comportera donc un moteur à courant continu. 4/20 Partie II - Modélisation thermique dela caténaire, train à l'arrêt Objectif : connaître l'évolution de la température au sein de la caténaire lorsque le train est à l'arrêt. On décompose pour cela la caténaire en plusieurs zones : P1, P2 et la zone de contact. Nous nous limiterons à une étude simplifiée de ces zones (figure 4). Figure 4 -- Caténaire et bande de captage du pantographe, au niveau de la zone de contact La caténaire est modélisée par un cylindre de rayon R, en cuivre de conductivité électrique 7/, de conductivité thermique À, de capacité thermique massique c et de masse volumique p. Le pantographe est modélisé dans la figure 4 par un parallélépipède de largeur LC. Pour l'étude de la caténaire, on utilisera les coordonnées polaires (r, 9, z). L'axe z est l'axe de la caténaire, orienté sur la figure 4 et üz est le vecteur unitaire. Les échanges conducto--convectifs à l'interface caténaire/ air sont régis par la relation de Newton 5<ÏD=h(T paroi --Ïl)d5 (l) avec 5 (D le flux thermique en Watt (W) fourni par la caténaire à l'air à travers une surface dS , T la paroi température de la caténaire en r = R, Te : 20 °C la température de l'air et h un coefficient constant. II.1 -- Régime transitoire dans la zone P1 : --L1  H ..\: I.. A: ! | | L1 Il ., L,_, Figure 5 -- Discrétisation spatiale de la caténaire autour de la zone de contact 5/20 À l'arrêt, la caténaire est parcourue par un courant continu d'intensité I = 60 A, réparti uniformément. On prend comme système au sein de la zone P1 un cylindre plein en cuivre, de rayon R, compris entre z et z + Az étudié entre tet t+ At (figure 5). La relation de Newton (l) définie précédemment s'applique. Q10. Pour le système défini précédemment, donner les expressions des flux thermiques entrant en z, sortant en z + Az et sur les parois latérales (pertes conducto--convectives). Q11. Donner l'expression de l'énergie dissipée par effet Joule dans le système entre t et t+ At en fonction de Az, At, I, 7/ et R le rayon de la caténaire. Q12. En appliquant le premier principe de la thermodynamique au système et en considérant A2 et At comme des infiniments petits du premier ordre, montrer que T est solution d'une équation aux dérivées partielles de la forme en 82T _: ----b T--T d, Bt a ôz2 ( e)+ avec a,b et d des constantes à exprimer en fonction de R ,À, p,c, 7,1 et h. 11.2 -- Résolution numérique dans la zone P1 L'objectif est de résoudre numériquement l'équation aux dérivées partielles T 2T È-- : a Î)--z--bT + e avec 61,19 et e des constantes. (2) t Z Soient f une fonction de classe C2 sur un intervalle I et xe I . Q13. À l'aide de la formule de Taylor--Young, écrire le développement limité à l'ordre 2 de f (x + 8) lorsque 8--> 0. Déterminer aussi le développement limité à l'ordre 2 de f (x -- 6) lorsque 8--> O. Q14. En déduire la valeur de : s-->O 82 liH{f(x+s)--2f 0 due au transfert de chaleur provenant de la zone de contact. Cette condition est définie aux lignes 29 et 30. Q21. En faisant un bilan d'énergie sur le dernier élément de largeur Az situé juste avant z = -- LC /2, déterminer l'expression du terme g de la ligne 30, qui traduit le transfert de chaleur, en fonction de j, pet c. Q22. En exploitant la figure 6, indiquer si le régime stationnaire est atteint ou non au bout de 1200 s. Justifier sans aucun calcul. Température en °C zenm Figure 6 -- Résultats de la résolution de l'équation : température en fonction de z pour différents temps 11.3 -- Modélisation de la zone de contact de longueur Le, au sein de la caténaire Pour établir l'expression des pertes joules, il est nécessaire de connaître le champ de potentiel V(r,9,z) partout dans la zone de contact de longueur LC, au sein de la caténaire. D'un point de vue électrique, on se place en régime stationnaire. On considère la densité volumique de charge nulle dans la caténaire. Q23. Quelle relation relie le champ électrique Ë et le potentiel V ? Q24. En utilisant une équation de Maxwell, déduire une équation simple pour le champ de potentiel V. 8/20 La résolution de cette équation a permis d'établir la carte des potentiels a un instant donné (figure 7). 0.006 ; _ ,--0.000027 0.000024 0004 - / , 0000021 0002 , 0.000018 V] © © © © © ._ KJ'4 0000 Potentiel " __0000012 41002 - _ ,0 000009 __ 0.000006 ...0.000003 |î| ! _______ --.0000000 f(I.0ll/l - ; *ll 000 i î ; i ' 41006 f0.00/1 41002 0000 0002 0.001 0006 Figure 7 -- Carte avec quelques équipotentielles de la section de la caténaire en z = 0 ; les distances sont en mètre en abscisse et les potentiels en volt en ordonnée Q25. À partir des grandeurs relevées sur la figure 7, donner les ordres de grandeur de la composante du champ électrique contenue dans le plan z = 0, respectivement aux points C et D. En déduire une conséquence pour la température en ces points. Une justification succincte est attendue. Dans la zone de contact, la modélisation à une dimension n'est pas acceptable, les grandeurs dépendent des variables r, 0 et z. En outre, on étudie dans cette zone le régime transitoire. La température dépend donc des 4 variables r, 9, z et t. Q26. Pourquoi l'étude du régime transitoire en thermique n'est--elle pas incompatible avec le régime stationnaire électrique ? Une réponse succincte est attendue. Pour un profil de courant donné par la figure 8, la figure 9 donne la comparaison des profils d'échauffement entre les résultats de simulations numériques et les valeurs expérimentales (z = 0 correspond au point de contact caténaire/pantographe). lun un Expérimentale 1200 S A Expérimentale 600 S o Expérimentale 120 s El 0'l> --- .--... ... Numérique 1200 s Numérique 600 s Numérique 120 s ... ... Courant électrique (A) il... *... ... lu.... Distance (rn) Figure 9 -- Comparaison des profils d'échauffement entre les courbes de simulations numériques et les valeurs expérimentales autour de la zone de contact -.'v 120 210 J... ;... nl... 7211 \... 000 NM: 3200 Temps (3) Figure 8 -- Profil du courant électrique lors des essais Q27. D'après la figure 9, le modèle est--il adapté au régime transitoire ? Justifier votre réponse. 9/20 Partie III - Risque de rupture de la caténaire par frottement excessif Objectif : dans cette partie, on souhaite étudier la possibilité de maintenir la force de contact sur la caténaire dans des limites acceptables. Les incidents de rupture de la caténaire sont aussi d'origine mécanique. Le principal problème est la dégradation du fil de contact et des bandes de captage due à une usure mécanique lorsque l'effort appliqué est trop important ou due à une usure électrique lorsque l'effort appliqué est insuffisant. En effet, il se forme dans ce dernier cas des arcs électriques qui endommagent rapidement le système. III.] -- Mesure de l'effort sur la caténaire L'architecture générale de la caténaire souple est construite autour des éléments suivants (figure 10) : le fil de contact, le câble porteur, les pendules, les bras de rappel, les consoles et les poteaux. Console ' Antnbalançant ' Bras de rappel Pour corriger la flèche du fil de contact, un câble porteur soutient le poids du fil de contact par l'intermédiaire de pendules tous les 2,5 m qui sont des câbles tressés de faible section reliant le fil de contact et le câble porteur. Câble porteur Figure 10 -- Éléments de la ligne d'alimentation "<\A'°het Bras supérieur 2 Le pantographe est un assemblage de tubes articulés représenté figure 11 qui adapte son déploiement en fonction __ de la caténaire pour conserver un contact permanent avec le fil . , _ /7 , _ Blelle superleure de contact. La bande de captage en contact avec la caténaire est la pièce d'usure du système. Elle est fixée sur un archet qui est lui--même fixé sur le grand cadre par l'intermédiaire de boites à ressort servant à absorber les vibrations hautes fréquences, Coussin pneumatique Bras inférieur 1 La mise en mouvement du pantographe est assurée par un coussin pneumatique qui exerce un couple sur le bras inférieur par le biais d'un mécanisme élingue/came non étudié dans ce sujet. C'est ce couple moteur qui va permettre de lever le pantographe. Le pantographe descend sous l'effet de son propre poids. Figure 11 -- Pantographe de type CX La bielle inférieure transmet le mouvement au bras supérieur. La bielle supérieure permet quant à elle de maintenir l'archet dans le plan horizontal. 10/20 La distance entre le toit du train et la caténaire n'est toutefois pas constante, car tous les trains ne sont pas identiques, mais également car il existe différents modèles de pantographe. La caténaire elle--même n'est pas toujours parallèle à la voie à cause des ouvrages d'art, mais également en raison de la flèche inévitable de la caténaire entre deux poteaux. Pour pallier ces variations, nous décidons d'étudier l'asservissement de cet effort. Dans un premier temps, nous rechercherons une façon de mesurer cet effort puis dans un second temps, nous nous intéresserons aux performances de l'asservissement. Choix de l'emplacement du capteur d'effort Hypothèses simplificatrices : en toute rigueur, le pantographe subit des efl0rts statiques, dynamiques dûs à la masse de l'archet ainsi que des efi'orts aérodynamiques avec la vitesse du train. Nous nous limiter0ns dans ce sujet à l'eflort statique. Pour la mesure de la force de contact, on choisit d'utiliser une jauge d'extensométrie qui permet une mesure indirecte de la force de contact. Cette jauge est un film plastique sur lequel se trouve un circuit résistif ; elle est solidement collée sur une pièce pour suivre ses déformations. Q28. Expliquer comment ce capteur peut mesurer un effort ? En particulier, quel est le corps d'épreuve et la grandeur de sortie de ce capteur ? On se propose dans cette sous--partie d'établir le lien entre l'effort FC sur la caténaire et le couple Cm transmis par le coussin pneumatique, puis de choisir le meilleur emplacement pour la jauge d'extensométrie. La modélisation du pantographe est donnée figure 12. Données: ÎC=axî C_G£=bï OE= --cxî+dïj OE=exî OE=î-- 1 2 1 ÈT5=fxî a=(X_oï>î) B= XÎÆ) y=(XËË) m1 = 100kg m2 =70kg Figure 12 -- Schéma cinématique du pantographe 11/20 Le torseur en un point M de l'action mécanique du solide i sur le solide j sera noté : {T...-} = Yij Mii ZiÏ NÜ M,RO Hypothèses - On néglige le frottement de la caténaire sur l'archet. - On néglige la masse de toutes les pièces sauf le bras inférieur ] et le bras supérieur 2. Les centres de masse des solides 1 (masse m1) et 2 (masse m2) sont les points G1 et G2. -- Le champ de pesanteur est tel que ÿ = --g% avec g = 9,81 m.s'2. - On considère ici le pantographe en équilibre statique. On donne ci--dessous les torseurs des actions mécaniques extérieures : 0 0 0 0 {T4-->2} : {_FC 0} {Tmoteur-->1} : {O 0 } - 0 0 ...) 0 c... AR Q29. Reproduire et compléter le graphe de structure du système de la figure 13. On ra elle ue le PP q graphe de structure permet de représenter les solides, les liaisons et les actions mécaniques. O--O Figure 13 -- Graphe de structure du pantographe Le problème sera, pour la suite, considéré comme plan. Q30. En isolant la pièce 3, déterminer l'expression simplifiée au point D dans la base (Î , fi, zÎ)du torseur {T2_,3}. Q31. En isolant la pièce 2, montrer que la composante sur x_3) de la résultante du torseur {T3_,2} s'exprime par l'équation (3) : cos B (bm2g + eFC) X32 : _ csin(y -- B) + d cos(y -- B) (?>) Q32. Sans résoudre les équations, donner l'isolement, le bilan des actions mécaniques extérieures et le théorème à appliquer pour aboutir à la relation liant le couple C..., à la force de contact FC , qui est de la forme Cm=X.FC+Y.mZg+Z.m1g (4) où X, Y et Z sont des paramètres dépendants des données de l'énoncé. 12/20 On donne, figure 14, les tracés du couple C... en fonction de FC dans 3 conditions différentes. 1-Couple du coussin pneumatiqu en fonction de la force de contact ----- -- 2-En négligeant la pesanteur _ _ * 3-Toute la masse dans le bras 1 NN roro-> _\_\_\ 4>07oe Couple Cm exercé par le coussin en kNm .0 .0 .0 .0 --* M -l> O') 00 _\ l\) O 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 Force de contact Fc en N Figure 14 -- Couple en fonction de la force de contact Q33. Expliquer l'allure des tracés. Dans la perspective d'une modélisation par un gain de la fonction de transfert entre FC et Cm, est--il possible de simplifier le problème en négligeant les masses ou en concentrant la masse dans le bras 1 ? Afin de permettre le bon choix de l'emplacement de la jauge de déformation, l'évolution de l'effort normal dans le bras inférieur et le bras supérieur a été tracée figure 15. -- Bras inférieur -- Bras supérieur 7500"""Ï """ 1 """ ."""Î """ 1 """ 1'""". """ 1 """ Ï"""1 1 1 1 1 1 7 000- 6 500* 6 000-- 5 500- Efi'ort normal en N Effort normal en N 5 000- 4 500- 4 000 0 20 40 60 80 100120140160180200 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Force de contact en N Force de contact en N Figure 15 -- Effort normal en fonction de la force de contact pour les 2 bras 13/20 Q34. À l'aide des courbes des figures 14 et 15, donner les avantages et inconvénients du placement de la jauge sur les 2 bras. Pour cela, calculer la sensibilité du capteur dans chaque cas. 111.2 -- Cahier des charges de l'asservissement de l'effort sur la caténaire Nous sommes maintenant en mesure de connaître la force de contact sur la caténaire. On souhaite maintenir cette force autour d'une valeur moyenne. Le document 1 est un extrait des recommandations SAM E 903 de l'Etablissement Public de la Sécurité Ferroviaire (EPSF) concernant les limites acceptables de la force de contact de l'archet sur la caténaire. La force moyenne de contact doit rester dans la plage [ F cm..., F c,,...]. La force moyenne minimale de contact doit respecter la formule suivante : FC...... 2 0,00047*V2 +60 N. La force moyenne maximale de contact doit respecter les formules suivantes : V 5 200 km/h : F cn... S 0,00047*V2 + 90 N ; V > 200 km/h : F c,... S 0,00097*V2 + 70 N . Document 1 -- Recommandations de l'EPSF en matière de force de contact \ A partir des équations des recommandations de l'EPSF du document 1, on définit la valeur moyenne F cmoy de la force de contact telle que représentée sur la figure 16. jbrcc de contact F c ' "! [IX Plage de 5( % F c ' may F (? min Figure 16 -- Plage de maintien de la force Q35. Déterminer l'équation de la valeur moyenne F en...), de la force de contact en fonction de la vitesse V du train pour les deux plages de vitesse définies dans le document 1. On souhaite que l'asservissement de la force de contact maintienne cette dernière le plus proche possible de F cmoy. Les variations de FC doivent être limitées à une plage de 50 % autour de F Cm0y pour garder une marge d'erreur suffisante par rapport aux valeurs extrêmes F cmax et F C...... comme illustré dans la figure 16. - Plage 0 On pose l'erreur relative : e% : _5°/°_ choy Q36. À partir des équations de la Q35, exprimer l'erreur relative pour les deux plages de vitesse en fonction de V. Q37. Pour quelle valeur de la vitesse du train l'erreur relative 63% est--elle la plus faible ? En déduire la valeur maximale de l'erreur statique relative admissible dans l'asservissement de la force de contact. 14/20 Pour la suite, on prendra une erreur statique relative maximale de 8 %. Sous l'effet de la gravité illustré figure 17, le fil de contact FC décrit une courbe appelée chaînette dont la flèche varie en fonction de la masse linéique et de la longueur séparant les deux poteaux supports. "'._'}_.( . Pour réduire cette flèche, une tension mécanique est appliquée à chacune des extrémités du fil. Néanmoins, les propriétés du matériau ne permettent pas de compenser la flèche par la seule application d'une tension mécanique aux extrémités du fil. Figure 17 -- Chaînette du fil de contact sur un tronçon Lorsque la vitesse du train dépasse 100 km/h, pour assurer une bonne qualité de captage, le fil de contact doit être presque horizontal afin de minimiser les déplacements du pantographe. Q38. Quel problème va poser cette flèche du fil de contact pour l'asservissement de la force de contact ? On se propose dans cette sous--partie de déterminer cette flèche selon le modèle de la figure 18. -- Î'(x + dx) "%(x) chaînette exagérée r! x x+dx Figure 18 -- Courbe en chaînette Si on isole un tronçon de longueur d£ de la chaînette, compris entre les abscisses x et x + dx, il est en équilibre sous l'action de 3 glisseurs : -- le poids ËÎ' : force proportionnelle à la masse du tronçon. Si pt est la masse linéique (masse d'un mètre de chaînette exprimée en kg/m), la masse du tronçon est ydEUR ; -- la tension à gauche f(x) : force exercée par le brin de gauche sur le tronçon isolé qui s'applique au point dont l'abscisse est x. Par ailleurs, les forces de tension du tronçon à l'équilibre sont des forces tangentes àla chaînette ; -- la tension à droite -- ï(x + dx) : la tension à droite qui s'applique au point d'abscisse x + dx. Comme le tronçon est en équilibre, elle s'oppose à la tension à gauche du tronçon suivant compris entre x + dx et x + 2dx. La tension à droite de notre tronçon est donc l'opposée de la tension à gauche du tronçon suivant, cette force est donc -- ï(x + dx). 15/20 Q39. En appliquant le Principe Fondamental de la Statique au tronçon isolé, puis en projetant sur 55 et ÿ, établir les deux équations suivantes {Th(x + dx) -- Th(x) = 0 Tv(X+dx) --Tv(x) --5P : 0 (5) avec Th et Tu les valeurs absolues des composantes horizontales et verticales de la tension. Q40. En déduire que la tension horizontale Th est constante. Nous noterons y(x) l'équation de la chaînette. Q41. En considérant que chaque tronçon infinitésimal de la chaînette est rectiligne (figure 19), démontrer la relation suivante : d£_ dy 2 _ a* "(a) @ Y(X) ' /' / dQ" dy * / dx Figure 19 -- Approximation d'ordre 1 Q42. En exploitant les résultats des questions Q39 et Q41, montrer que T'v(X) = My 1 + (Y'(X))2 (7) avec T'v(x) et y'(x) les dérivées par rapport à xde Tv (x) et y(x). On admet que T,, (x) = Th (x). y'(x). Rappel On admet que smh admet une bijection rec1proque notee arcsmh dont la der1vee est @ . 43. En ex loitant le ra el ci--dessus et les résultats démontrés Q42, déterminer l'ex ression de P PP P y"(x). Montrer alors que l'équation de la chaînette s'écrit 3/05) = a cosh (â + a) + B (8) avec a et B , les constantes d'intégration et a un paramètre à expliciter. Ainsi, pour une distance entre 2 poteaux de 60 m, avec une tension de 20 kN, on trouve par application numérique une flèche de l'ordre de 5,4 cm. La flèche reste relativement faible, de l'ordre d' l/ 1000 d'un tronçon, mais va générer une perturbation du point de vue de l'asservissement. 16/20 Des simulations de la force de contact, filtrée à 20 Hz, pour un train circulant à 90 km/h et 320 km/h sont données dans une configuration le long de 5 tronçons (figure 20). Les passages sur les poteaux sont représentés avec les lignes verticales pointillées. 200 230 | | | | ,; b il | | ... | '|\ ||,||,|| 'J 5 . , ' | ' - l | : % Ë , l | ' | | 1 || | 5 u un ; H ' 5 mo ! E H .'>U |...) L')" L'...) 250 0 50 H... |.'|ll L'...) 254! Position lml Position [ml Figure 20 -- Forces de contact pour un train circulant à 90 km/h (à gauche) et 320 km/h (à droite) Afin d'estimer la bande passante de l'asservissement, il a été calculé figure 21, le spectre non filtré, pour une vitesse de 320 km/h, obtenu par une transformée de Fourier discrète (FFT). 180- 160-- 140-- 120-- amplitude (N) @ â 05 O | .> o | Î|l 0 | | 1 | | | | | | f | 1 | | Y | | 1 l | | Y | l \ | \ | 12 3 4 5 s 7 a 910111213141516171819 20 2122 23 24 252627 28 29 sa fréquence (Hz) Figure 21 -- Transformée de Fourier discrète de la force de contact Q44. Justifier les valeurs des deux raies principales du spectre. Q45. En prenant un coefficient de 1,5 pour les simplifications et les incertitudes sur le modèle, quelle doit être la bande passante minimale de l'asservissement '? Q46. En conclusion, proposer un résumé des éléments du cahier des charges (performances) pour l'asservissement. On explicitera également le temps de réponse et les dépassements envisageables. 17/20 III.3 -- Asservissement de l'effort sur la caténaire Objectif : vérifier les performances attendues de l'asservissement. On souhaite maintenant mettre en place l'asservissement afin de maintenir la force de contact de l'archet sur la caténaire la plus proche possible de la valeur moyenne. La force de contact souhaitée FC, proportionnelle à la vitesse, est déterminée par le calculateur. De plus comme nous venons de le voir, la variation de hauteur du fil de contact de la caténaire entraîne une perturbation sur l'asservissement de la force de contact. Le pantographe est une structure élastique possédant sa propre dynamique et, pour mettre en évidence les phénomènes de manière simplifiée, nous allons le représenter (figure 22) par un système linéarisé, de type masse/ressort à un étage, associé à la dynamique de l'archet (un modèle plus fin, non étudié ici, est possible avec trois étages). Les caractéristiques proviennent d'une linéarisation du modèle multicorps. Le système comportera une masse (m), un amortisseur (de coefficient de frottement visqueux f en N.m/s) et un ressort (de raideur k en N/m). Le déplacement vertical de la caténaire par rapport à la motrice est noté yL (t) et le déplacement de l'extrémité basse de l'archet par rapport à la motrice est noté yM (t). Ainsi, pour assurer un effort de contact entre l'archet et la caténaire le plus constant possible, on a choisi d'asservir en position le pantographe, c'est--à--dire yM (t). Le coussin pneumatique exerce un effort F... sur la masse m (figure 22). % ................................ : / Caténaire Archet .,Ë f mo L X YM @) Position de référence de la masse m Figure 22 -- Modèle dynamique de l'archet 18/20 On notera F la force qu'exerce l'archet sur la caténaire et qui sera comptée positive vers le haut. On notera FC l'effort de contact de consigne. L'archet est instrumenté et dispose d'un capteur d'effort mesurant l'effort de contact F . L'action de l'actionneur Fm sur la masse est telle que F... (p) = HC (p)C(p). (FC (10) -- F (p)). Q47. Expliquer pourquoi la variation de hauteur de la caténaire fait varier l'effort de contact F . L'équation différentielle qui régit le mouvement du pantographe autour de sa position d'équilibre est la suivante : m-ÿM(t) = --k(yM(t) -- n(t)) -- f (y'M(t) -- y'L(t)) + F...(t) . (9) On pose YM (p), YL (p), Fm (p) les transformées de Laplace de yM (t), yL (t) et Fm (t). Q48. Passer cette équation dans le domaine de Laplace en supposant les conditions initiales nulles. Q49. Exprimer YM (p)sous la forme YM (p) = B(p). (A(p) YL (p) + Fm (p)). Expliciter les termes A(p) et B(p)- On modélise le système par le schéma--bloc figure 23. YL(P) A(p) FC F... | Y \ F & ®--E[ ®E [W Coussin pneumatique + régulateur Figure 23 -- Schéma--bloc de l'asservissement de la force de contact Q50. Déterminer la relation F (p) = H1(p)Fc(p) + Hz (p)YL (p)en explicitant les fonctions de transfert H1(p) et H2 (10) en fonction de Hc(p), A(p), B(p) et de C(p). On s'intéresse à la régulation de la force de contact en présence de perturbation due à la variation de hauteur du fil de contact. On suppose le train circulant à vitesse constante, soit Fc(p) : 0. On retient l'exigence suivante pour la fonction de transfert en régulation H 2 : El qui est l'erreur relative maximale de 8 % par rapport à choy. 19/20 La tracé du diagramme de Bode de la fonction de transfert en régulation, corrigée, Hz (p) a permis de relever les valeurs de gain données dans le tableau 2. Fréquence (Hz) 1 10 2010g(|H2|)(dB) 42 49 Tableau 2 -- Relevé de valeurs de gain QS]. À 320 km/h, on peut modéliser yL (t) par une sinusoïde d'amplitude 6 cm à la fréquence de le. En déduire l'influence maximale de la perturbation due à la variation de niveau de la caténaire sur la force de contact. Q52. Conclure quant àla capacité de l'asservissement à respecter l'exigence El. FIN 20/20 [M P R1MER1E NA T] () NA L E -- 181063 -- D'après documents fournis

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 CCP Modélisation et Ingénierie numérique PSI 2018 Corrigé Ce corrigé est proposé par Nicolas Courrier (professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE) ; il a été relu par Julien Dumont (professeur en CPGE), Jérôme Lambert (enseignant-chercheur à l'université) et Tom Morel (professeur en CPGE). Ce problème aborde la modélisation du captage du courant électrique par un train à grande vitesse. Ses trois parties sont indépendantes. · Dans la première partie, très courte, on modélise le problème d'un point de vue électrique. Une fois que le circuit électrique est bien compris, il n'y a aucune difficulté dans cette partie. Les connaissances de première année suffisent pour répondre aux différentes questions. · La deuxième partie traite de la modélisation thermique de la caténaire quand le train est à l'arrêt. Dans un premier temps, on adopte une approche à une seule dimension. On met en oeuvre un bilan d'énergie pour aboutir à l'équation aux dérivées partielles dont la température est solution. Il s'ensuit la résolution numérique du problème, pour laquelle il convient de déterminer correctement les conditions aux limites du problème. Cette partie se termine par une analyse de certains résultats d'une modélisation tridimensionnelle de la zone de contact entre la caténaire et le pantographe. · La troisième partie traite de l'asservissement en effort du pantographe sur le fil de contact, ce qui permet de limiter l'usure du fil. Elle se compose de trois points. Le premier est la mesure d'effort dans la caténaire grâce à un capteur positionné sur un bras du pantographe. Le deuxième est la mise en place des critères de performance de l'asservissement des données via un cahier des charges et la prise en compte de la déformation du fil de contact. Le dernier point est l'étude de l'asservissement et la vérification des critères établis. Ce sujet ne comporte pas de difficulté majeure et il est d'une longueur tout à fait raisonnable. Cela en fait un bon sujet d'entraînement pour les épreuves de modélisation. Indications Partie I 3 Justifier que R1 et R2 sont en parallèle. Partie II 11 Attention, à la question précédente, on demande des puissances, ici, c'est une énergie. 18 Faire attention au fait que le premier indice dans le tableau (indice de ligne) représente les temps (soit la 2e variable dans la notation T(z, t)). 21 Reprendre le bilan effectué à la question 12 : seul le terme de conduction à droite est modifié. 24 Utiliser l'équation de Maxwell-Gauss. 25 L'énoncé n'est pas très clair concernant les légendes. Les potentiels sont bien à droite du graphique mais ne sont pas « en ordonnée », il s'agit d'une légende individuelle pour chaque surface équipotentielle. Les graduations sur les lignes du quadrillage sont toutes des distances, exprimées en mètres. Estimer le champ en calculant le gradient du potentiel. 26 Les échelles de temps sont-elles analogues ? 27 Les légendes des points expérimentaux à 600 s et 1 200 s ont vraisemblablement été échangées au niveau du centre de la zone de contact. Utiliser les erreurs relatives indiquées. Partie III 28 Exprimer la résistance d'un fil électrique en fonction de sa longueur. , - ) = (- 31 Calculer l'angle (- x x y ,- y ) afin de faciliter le calcul. 3 2 3 2 41 Exprimer d en fonction de dx et dy avec le théorème de Pythagore. 43 Intégrer deux fois l'équation en y (x). Ne pas oublier que sinh (arcsinh(x)) = x. 44 Repérer la périodicité globale du signal et dans chacune d'entre elles compter le nombre de pics. 46 Il y a trois critères de performance à caractériser pour un asservissement. Modélisation du captage du courant dans un train à grande vitesse I. Étude préliminaire de la ligne d'alimentation 1 Intervenir sur les pantographes est beaucoup plus simple et moins coûteux que d'intervenir sur le réseau de caténaire. D'abord cela peut se faire sur un train qui n'est pas en service, ce qui n'interrompt donc pas le trafic ; ensuite la quantité de carbone à prévoir est plus restreinte. 2 Le carbone graphite est conducteur et lubrifiant (notamment en raison de son caractère friable, c'est-à-dire peu dur). Ainsi, il joue le rôle de lubrifiant conducteur au niveau des balais ­ collecteurs de moteurs à courant continu. On retrouve également le carbone dans les mines de « crayon de papier », qui sont en graphite. Les propriétés du carbone graphite sont principalement dues à sa structure cristalline en « feuillets ». 3 Les résistances R1 et R2 sont soumises à la même différence de potentiel puisque VA = VB . Par conséquent, on peut les considérer comme étant associées en parallèle. On en déduit le schéma ci-contre où M désigne la motrice. La résistance linéique étant donnée, on obtient les expressions de R1 et R2 : et R1 = r x On calcule Finalement, U UR M R1 Re R2 R2 = r (L - x) R1 R2 Re = R1 + R2 Re = x (L - x) r L 4 Re s'annule pour x = 0 et x = L et il est positif dans cet intervalle, donc Re (x) présente au moins un maximum dans [ 0 ; L ]. Calculons dRe r = (L - 2x) dx L On en déduit que Re est maximale pour x = L/2. 5 On remplace x par L/2 dans l'expression donnant Re : Re = rL = 0,05 4 6 Le courant qui traverse Re est le même que celui qui traverse la motrice, donc UR = Re I = 125 V 7 La puissance dissipée par effet Joule dans la résistance Re est donnée par PJ = UR I = Re I2 tandis que la puissance fournie par les sous-stations est Pg = U I On en déduit, par différence, la puissance absorbée par la motrice P m = P g - PJ On peut alors définir le rendement par = Pm UR =1- = 92 % Pg U Au niveau d'une sous-station, Re = 0, donc le rendement vaut 100 %. 8 À puissance constante, augmenter la tension revient à diminuer l'intensité du courant qui circule, donc à réduire les pertes par effet Joule. On ne peut pas simplement déterminer le rendement en régime sinusoïdal forcé car on n'a pas suffisamment d'éléments pour caractériser la motrice et donc connaître le facteur de puissance. 9 La fréquence de 50 Hz est celle du réseau électrique d'Europe continentale. L'appareil électrique qui permet d'élever ou d'abaisser la tension sans modifier la fréquence est un transformateur. Toute l'Europe continentale a un réseau électrique interconnecté et donc à la même fréquence de 50 Hz. Le Royaume-Uni a un réseau à 60 Hz. Quand le Royaume-Uni importe de l'électricité depuis le continent, c'est à travers une liaison continue. II. Modélisation thermique de la caténaire, train à l'arrêt 10 Orientons les différents flux thermiques à déterminer sur un schéma. Si on note S = R2 la section du système et j la valeur algébrique du vecteur densité de courant thermique, les flux entrants (en z) et sortant (en z + z) sont donnés par e (z, t) = j(z, t) S s (z + z, t) = j(z + z, t) S D'après la loi de Fourier, Ainsi, j(z, t) = - lat (z, t) e (z, t) z z z + z T z T (z, t) z (z + z, t) = - R2 T (z + z, t) s z s (z + z, t) e (z, t) = - R2 Le flux latéral est donné par la loi de Newton, appliquée pour une surface élémentaire Slat = 2 R z, soit lat (z, t) = 2 h R (T(z, t) - Te ) z