CCP Modélisation et Ingénierie numérique PSI 2018

Thème de l'épreuve Modélisation du captage du courant dans un train à grande vitesse
Principaux outils utilisés électricité, modélisation numérique, diffusion thermique, mécanique du solide, asservissement
Mots clefs caténaire, loi de Newton, statique, chaînette

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2018 PSIM106

u: CONCOURSCOMMUNS
"' POLYTECHNIQUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MODÉLISATION ET INGÉNIERIE NUMÉRIQUE

Jeudi3mai:8h-12h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce quipeut lui sembler être 
une erreur d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené aprendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de 20 pages d'énoncé. Il comporte 3 parties indépendantes.

Il est demandé au candidat de bien vouloir préciser le numéro de chaque 
question traitée. Les résultats
attendus seront encadrés.

1/20

MODÉLISATION DU CAPTAGE DU COURANT
DANS UN TRAIN A GRANDE VITESSE

Présentation générale

Le train est un moyen de transport en commun très fiable et il n'existe pas, de 
nos jours, de moyen plus
efficace pour alimenter électriquement les trains que le captage de courant via 
le contact
pantographe/caténaire. La caténaire forme la partie aller du circuit électrique 
depuis la sous--station
d'alimentation, tandis que les rails sont le circuit retour (figure 1).

L'usure mécanique par frottement de la caténaire est une contrainte majeure 
dans le captage du courant
en ligne lorsque le train roule.

caténaire _
fil de contact

pantographe ----*"'

Moteur électrique -

--"'

Circuit de retour

Figure 1 -- Schéma de circulation du courant électrique

L'usure par frottement du fil de contact peut être diminuée par une 
modification du matériau de la bande
de contact et en réduisant la force de contact du pantographe sur la caténaire. 
En revanche, lorsque le
train est à l'arrêt, un problème jusque là inexistant apparaît dans certains 
cas : la rupture du fil de contact
due à un échauffement trop important causé par le passage du courant entre la 
caténaire et le
pantographe.

Les principaux cas de rupture de la caténaire sont finalement dus à :
-- l'alimentation à l'arrêt : par échauffement et risque de rupture par 
striction ;
-- l'alimentation en mouvement : par frottement excessif sur la caténaire ou 
accrochage du
pantographe et arrachage.

De nombreux retards sont imputables à ces deux causes de rupture de la 
caténaire et représentent une
perte d'exploitation importante pour la SNCF. C'est dans ce contexte que la 
Direction de l'Ingénierie de
la SNCF a lancé une série d'études expérimentales et théoriques pour modéliser 
ces phénomènes.

Le sujet comporte 3 parties indépendantes :
-- la Partie I étudie les pertes par effet J oule dans la caténaire et dans les 
rails ;
-- la Partie II a pour objectif de modéliser l'évolution de la température au 
sein du fil de contact de
la caténaire lorsque le train est à l'arrêt ;
-- la Partie III a pour objectif de mettre en place un dispositif de mesure de 
la force de contact du
pantographe sur la caténaire et de vérifier les performances de 
l'asservissement de cette force.

2/20

Partie I - Étude préliminaire de la ligne d'alimentation

Objectif : proposer une modélisation du contact électrique 
pantographe--caténaire en vue d'évaluer les
pertes par effet J oule.

L'interface pantographe/caténaire était initialement un contact cuivre/cuivre, 
dommageable pour le fil en
terme d'usure par frottement et nécessitant une lubrification supplémentaire 
externe au système.

Le cuivre de la bande de captage
(figure 2), élément du pantographe
assurant le contact, est remplacé par
du carbone graphite.

QI. Justifier la nécessité de changer
le matériau de la bande de
captage du pantographe plutôt
que celui du fil de contact de la
caténaire.

alimentation

{électrique du train

Q2. Donner 2 propriétés physiques
qui justifient l'emploi du
carbone graphite. Dans quel
autre usage similaire et courant
retrouve--t--on l'usage du

carbone gr aphite ? Figure 2 -- Interface pantographe/caténaire

Cette avancée du système s'avère concluante en ligne, l'usure par frottement du 
fil diminue et le contact
cuivre/carbone est auto--lubrifiant. En revanche, lors d'arrêts prolongés du 
train, à cause d'incidents sur
la voie par exemple, la rupture du fil de contact due à un échauffement trop 
important causé par le
passage du courant entre la caténaire et le pantographe peut arriver.

Le captage à l'arrêt peut être décrit comme un contact électrique (alimentation 
du train via le contact)
avec des contraintes mécaniques (force de contact pouvant varier d'un cas à 
l'autre) provoquant des
phénomènes thermiques (diffusion de la chaleur et échanges entre les solides et 
l'extérieur).

Ce problème multiphysique, complexe, repose sur l'interface de deux solides. En 
physique, l'étude
d'interfaces est toujours compliquée. En effet, leurs caractéristiques sont 
particulièrement
interdépendantes et difficilement mesurables.

Dans le domaine électrique, l'interface est caractérisée par la résistance 
électrique de contact qui
détermine la capacité du contact à ralentir le passage du courant.

D'un point de vue mécanique, c'est la surface de contact qui caractérise 
l'interface.

Enfin, en thermique, l'interface est caractérisée par la résistance thermique 
de contact qui représente
l'aptitude du contact à laisser passer le flux de chaleur.

La compréhension de ces phénomènes multiphysiques passe donc non seulement par 
des phases
expérimentales mais aussi par une étude théorique du système.

3/20

1.1 -- Calcul des pertes dues àla caténaire

Nous étudions ici l'alimentation de la motrice par caténaire depuis des 
sous--stations A et B distantes de
L: 10 km l'une de l'autre (figure 3). La tension de ces sous--stations par 
rapport à la terre est de
U : 1,5.103 V continu. La motrice se situe à une distance x de la station A. La 
résistance linéique des
caténaires est de r = 0,020 Q.km'l. Pendant la phase d'accélération, le courant 
absorbé par la motrice est
1 : 25.103 A.

On néglige les résistances des rails.

Figure 3 -- Schéma simplifié de l'alimentation de la motrice

Dans la figure 3, les deux résistances R1 et R2 dépendent de x. Compte tenu de 
la configuration du
circuit, elles peuvent être remplacées par une seule résistance équivalente Re.

Q3. Donner le schéma électrique équivalent. En déduire l'expression de Re en 
fonction de r, L et x.

Q4. Déterminer la valeur de x pour laquelle la résistance Re est maximale.

Pour les questions suivantes, on considérera que la motrice se situe en x : L/2.
QS. Déterminer l'expression de Re. Faire l'application numérique.

Q6. En déduire l'expression de la chute de tension aux bornes de cette 
résistance : U R.
Faire l'application numérique.

Q7. Donner l'expression du rendement lié à l'alimentation de la motrice via la 
caténaire. Faire
l'application numérique. Que devient ce rendement lorsque la motrice est au 
niveau d'une sous--
station (en A ou B) ?

1.2 -- Passage au 25 kV alternatif

Depuis les années 1950, les nouvelles lignes françaises de chemin de fer sont 
alimentées en 25 kV
tension alternative monophasée 50 Hz.

Q8. Quel est l'intérêt principal d'utiliser une tension de 25 kV par rapport à 
une tension de 1,5 kV ?

Q9. Justifiez la fréquence de 50 Hz. Les sous--stations étant elles--mêmes 
alimentées par des lignes à

haute tension 63 kV, quel élément permet le passage d'une tension de 63 kV à 
une tension de
25 kV ?

Pour toute la suite du sujet, le courant circulant dans la caténaire et dans le 
pantographe sera un courant
continu. La motrice comportera donc un moteur à courant continu.

4/20

Partie II - Modélisation thermique dela caténaire, train à l'arrêt

Objectif : connaître l'évolution de la température au sein de la caténaire 
lorsque le train est à l'arrêt.

On décompose pour cela la caténaire en plusieurs zones : P1, P2 et la zone de 
contact. Nous nous
limiterons à une étude simplifiée de ces zones (figure 4).

Figure 4 -- Caténaire et bande de captage du pantographe, au niveau de la zone 
de contact

La caténaire est modélisée par un cylindre de rayon R, en cuivre de 
conductivité électrique 7/, de

conductivité thermique À, de capacité thermique massique c et de masse 
volumique p. Le pantographe
est modélisé dans la figure 4 par un parallélépipède de largeur LC.

Pour l'étude de la caténaire, on utilisera les coordonnées polaires (r, 9, z). 
L'axe z est l'axe de la
caténaire, orienté sur la figure 4 et üz est le vecteur unitaire.

Les échanges conducto--convectifs à l'interface caténaire/ air sont régis par 
la relation de Newton

5<ÏD=h(T

paroi

--Ïl)d5 (l)

avec 5 (D le flux thermique en Watt (W) fourni par la caténaire à l'air à 
travers une surface dS , T la

paroi

température de la caténaire en r = R, Te : 20 °C la température de l'air et h 
un coefficient constant.

II.1 -- Régime transitoire dans la zone P1 : --L1  H
..\: I..

A:

! | |
L1 Il ., L,_,

Figure 5 -- Discrétisation spatiale de la caténaire autour de la zone de contact

5/20

À l'arrêt, la caténaire est parcourue par un courant continu d'intensité I = 60 
A, réparti uniformément.
On prend comme système au sein de la zone P1 un cylindre plein en cuivre, de 
rayon R, compris entre z
et z + Az étudié entre tet t+ At (figure 5). La relation de Newton (l) définie 
précédemment s'applique.

Q10. Pour le système défini précédemment, donner les expressions des flux 
thermiques entrant en z,
sortant en z + Az et sur les parois latérales (pertes conducto--convectives).

Q11. Donner l'expression de l'énergie dissipée par effet Joule dans le système 
entre t et t+ At en
fonction de Az, At, I, 7/ et R le rayon de la caténaire.

Q12. En appliquant le premier principe de la thermodynamique au système et en 
considérant A2 et At
comme des infiniments petits du premier ordre, montrer que T est solution d'une 
équation aux
dérivées partielles de la forme

en 82T
_: ----b T--T d,
Bt a ôz2 ( e)+

avec a,b et d des constantes à exprimer en fonction de R ,À, p,c, 7,1 et h.

11.2 -- Résolution numérique dans la zone P1

L'objectif est de résoudre numériquement l'équation aux dérivées partielles

T 2T
È-- : a Î)--z--bT + e avec 61,19 et e des constantes. (2)
t Z

Soient f une fonction de classe C2 sur un intervalle I et xe I .

Q13. À l'aide de la formule de Taylor--Young, écrire le développement limité à 
l'ordre 2 de f (x + 8)
lorsque 8--> 0. Déterminer aussi le développement limité à l'ordre 2 de f (x -- 
6) lorsque 8--> O.

Q14. En déduire la valeur de :

s-->O 82

liH{f(x+s)--2f 0 due au transfert de chaleur provenant 
de la zone de contact. Cette
condition est définie aux lignes 29 et 30.

Q21. En faisant un bilan d'énergie sur le dernier élément de largeur Az situé 
juste avant z = -- LC /2,
déterminer l'expression du terme g de la ligne 30, qui traduit le transfert de 
chaleur, en fonction de

j, pet c.

Q22. En exploitant la figure 6, indiquer si le régime stationnaire est atteint 
ou non au bout de 1200 s.
Justifier sans aucun calcul.

Température en °C

zenm

Figure 6 -- Résultats de la résolution de l'équation : température en fonction 
de z pour différents temps

11.3 -- Modélisation de la zone de contact de longueur Le, au sein de la 
caténaire

Pour établir l'expression des pertes joules, il est nécessaire de connaître le 
champ de potentiel V(r,9,z)

partout dans la zone de contact de longueur LC, au sein de la caténaire. D'un 
point de vue électrique, on
se place en régime stationnaire. On considère la densité volumique de charge 
nulle dans la caténaire.

Q23. Quelle relation relie le champ électrique Ë et le potentiel V ?

Q24. En utilisant une équation de Maxwell, déduire une équation simple pour le 
champ de potentiel V.

8/20

La résolution de cette équation a permis d'établir la carte des potentiels a un 
instant donné (figure 7).

0.006

; _ ,--0.000027

0.000024
0004 - / ,

0000021

0002 , 0.000018

V]

©
©
©
©
©
._
KJ'4

0000

Potentiel

" __0000012

41002 - _ ,0 000009

__ 0.000006

...0.000003 |î|

! _______ --.0000000

f(I.0ll/l -

;

*ll 000

i î ; i '
41006 f0.00/1 41002 0000 0002 0.001 0006

Figure 7 -- Carte avec quelques équipotentielles de la section de la caténaire 
en z = 0 ;
les distances sont en mètre en abscisse et les potentiels en volt en ordonnée

Q25. À partir des grandeurs relevées sur la figure 7, donner les ordres de 
grandeur de la composante du
champ électrique contenue dans le plan z = 0, respectivement aux points C et D. 
En déduire une
conséquence pour la température en ces points. Une justification succincte est 
attendue.

Dans la zone de contact, la modélisation à une dimension n'est pas acceptable, 
les grandeurs dépendent
des variables r, 0 et z. En outre, on étudie dans cette zone le régime 
transitoire. La température dépend
donc des 4 variables r, 9, z et t.

Q26. Pourquoi l'étude du régime transitoire en thermique n'est--elle pas 
incompatible avec le régime
stationnaire électrique ? Une réponse succincte est attendue.

Pour un profil de courant donné par la figure 8, la figure 9 donne la 
comparaison des profils
d'échauffement entre les résultats de simulations numériques et les valeurs 
expérimentales (z = 0
correspond au point de contact caténaire/pantographe).

lun

un

Expérimentale 1200 S A
Expérimentale 600 S o
Expérimentale 120 s El

0'l> ---

.--... ...

Numérique 1200 s
Numérique 600 s
Numérique 120 s

... ...

Courant électrique (A)

il... *... ... lu....

Distance (rn)

Figure 9 -- Comparaison des profils
d'échauffement entre les courbes de
simulations numériques et les valeurs
expérimentales autour de la zone de contact

-.'v 120 210 J... ;... nl... 7211 \... 000 NM: 3200

Temps (3)
Figure 8 -- Profil du courant électrique lors
des essais

Q27. D'après la figure 9, le modèle est--il adapté au régime transitoire ? 
Justifier votre réponse.

9/20

Partie III - Risque de rupture de la caténaire par frottement excessif

Objectif : dans cette partie, on souhaite étudier la possibilité de maintenir 
la force de contact sur la

caténaire dans des limites acceptables.

Les incidents de rupture de la caténaire sont aussi d'origine mécanique. Le 
principal problème est la
dégradation du fil de contact et des bandes de captage due à une usure 
mécanique lorsque l'effort
appliqué est trop important ou due à une usure électrique lorsque l'effort 
appliqué est insuffisant. En

effet, il se forme dans ce dernier cas des arcs électriques qui endommagent 
rapidement le système.

III.] -- Mesure de l'effort sur la caténaire

L'architecture générale de la caténaire
souple est construite autour des
éléments suivants (figure 10) :

le fil de contact, le câble porteur, les
pendules, les bras de rappel, les
consoles et les poteaux.

Console
' Antnbalançant

' Bras de rappel

Pour corriger la flèche du fil de
contact, un câble porteur soutient le
poids du fil de contact par
l'intermédiaire de pendules tous les
2,5 m qui sont des câbles tressés de
faible section reliant le fil de contact et

le câble porteur.

Câble porteur

Figure 10 -- Éléments de la ligne d'alimentation "<\A'°het

Bras supérieur 2
Le pantographe est un assemblage de tubes articulés

représenté figure 11 qui adapte son déploiement en fonction __

de la caténaire pour conserver un contact permanent avec le fil . , _ /7
, _ Blelle superleure

de contact. La bande de captage en contact avec la caténaire

est la pièce d'usure du système. Elle est fixée sur un archet qui

est lui--même fixé sur le grand cadre par l'intermédiaire de

boites à ressort servant à absorber les vibrations hautes
fréquences, Coussin pneumatique

Bras inférieur 1

La mise en mouvement du pantographe est assurée par
un coussin pneumatique qui exerce un couple sur le bras
inférieur par le biais d'un mécanisme élingue/came non
étudié dans ce sujet. C'est ce couple moteur qui va
permettre de lever le pantographe. Le pantographe descend

sous l'effet de son propre poids. Figure 11 -- Pantographe de type CX

La bielle inférieure transmet le mouvement au bras supérieur.
La bielle supérieure permet quant à elle de maintenir l'archet dans le plan 
horizontal.

10/20

La distance entre le toit du train et la caténaire n'est toutefois pas 
constante, car tous les trains ne sont
pas identiques, mais également car il existe différents modèles de pantographe. 
La caténaire elle--même
n'est pas toujours parallèle à la voie à cause des ouvrages d'art, mais 
également en raison de la flèche
inévitable de la caténaire entre deux poteaux.

Pour pallier ces variations, nous décidons d'étudier l'asservissement de cet 
effort. Dans un premier
temps, nous rechercherons une façon de mesurer cet effort puis dans un second 
temps, nous nous
intéresserons aux performances de l'asservissement.

Choix de l'emplacement du capteur d'effort

Hypothèses simplificatrices : en toute rigueur, le pantographe subit des 
efl0rts statiques, dynamiques
dûs à la masse de l'archet ainsi que des efi'orts aérodynamiques avec la 
vitesse du train. Nous nous
limiter0ns dans ce sujet à l'eflort statique.

Pour la mesure de la force de contact, on choisit d'utiliser une jauge 
d'extensométrie qui permet une
mesure indirecte de la force de contact. Cette jauge est un film plastique sur 
lequel se trouve un circuit
résistif ; elle est solidement collée sur une pièce pour suivre ses 
déformations.

Q28. Expliquer comment ce capteur peut mesurer un effort ? En particulier, quel 
est le corps d'épreuve
et la grandeur de sortie de ce capteur ?

On se propose dans cette sous--partie d'établir le lien entre l'effort FC sur 
la caténaire et le couple Cm
transmis par le coussin pneumatique, puis de choisir le meilleur emplacement 
pour la jauge
d'extensométrie.

La modélisation du pantographe est donnée figure 12.

Données:
ÎC=axî
C_G£=bï
OE= --cxî+dïj
OE=exî
OE=î--
1 2 1
ÈT5=fxî
a=(X_oï>î)
B= XÎÆ)
y=(XËË)
m1 = 100kg
m2 =70kg

Figure 12 -- Schéma cinématique du pantographe

11/20

Le torseur en un point M de l'action mécanique du solide i sur le solide j sera 
noté :

{T...-} = Yij Mii
ZiÏ NÜ M,RO

Hypothèses
- On néglige le frottement de la caténaire sur l'archet.
- On néglige la masse de toutes les pièces sauf le bras inférieur ] et le bras 
supérieur 2. Les centres
de masse des solides 1 (masse m1) et 2 (masse m2) sont les points G1 et G2.
-- Le champ de pesanteur est tel que ÿ = --g% avec g = 9,81 m.s'2.
- On considère ici le pantographe en équilibre statique.

On donne ci--dessous les torseurs des actions mécaniques extérieures :

0 0 0 0
{T4-->2} : {_FC 0} {Tmoteur-->1} : {O 0 } -
0 0 ...) 0 c... AR

Q29. Reproduire et compléter le graphe de structure du système de la figure 13. 
On ra elle ue le
PP q
graphe de structure permet de représenter les solides, les liaisons et les 
actions mécaniques.

O--O

Figure 13 -- Graphe de structure du pantographe

Le problème sera, pour la suite, considéré comme plan.

Q30. En isolant la pièce 3, déterminer l'expression simplifiée au point D dans 
la base (Î , fi, zÎ)du
torseur {T2_,3}.

Q31. En isolant la pièce 2, montrer que la composante sur x_3) de la résultante 
du torseur {T3_,2}
s'exprime par l'équation (3) :

cos B (bm2g + eFC)

X32 : _ csin(y -- B) + d cos(y -- B)

(?>)

Q32. Sans résoudre les équations, donner l'isolement, le bilan des actions 
mécaniques extérieures et le
théorème à appliquer pour aboutir à la relation liant le couple C..., à la 
force de contact FC , qui est
de la forme

Cm=X.FC+Y.mZg+Z.m1g (4)

où X, Y et Z sont des paramètres dépendants des données de l'énoncé.

12/20

On donne, figure 14, les tracés du couple C... en fonction de FC dans 3 
conditions différentes.

1-Couple du coussin pneumatiqu en fonction de la force de contact
----- -- 2-En négligeant la pesanteur
_ _ * 3-Toute la masse dans le bras 1

NN
roro->

_\_\_\
4>07oe

Couple Cm exercé par le coussin en kNm
.0 .0 .0 .0 --*
M -l> O') 00 _\ l\)

O

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
Force de contact Fc en N

Figure 14 -- Couple en fonction de la force de contact

Q33. Expliquer l'allure des tracés. Dans la perspective d'une modélisation par 
un gain de la fonction de
transfert entre FC et Cm, est--il possible de simplifier le problème en 
négligeant les masses ou en
concentrant la masse dans le bras 1 ?

Afin de permettre le bon choix de l'emplacement de la jauge de déformation, 
l'évolution de l'effort
normal dans le bras inférieur et le bras supérieur a été tracée figure 15.

-- Bras inférieur -- Bras supérieur
7500"""Ï """ 1 """ ."""Î """ 1 """ 1'""". """ 1 """ Ï"""1 1 1 1 1 1

7 000-
6 500*
6 000--

5 500-

Efi'ort normal en N
Effort normal en N

5 000-

4 500-

4 000

0 20 40 60 80 100120140160180200 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Force de contact en N Force de contact en N

Figure 15 -- Effort normal en fonction de la force de contact pour les 2 bras

13/20

Q34. À l'aide des courbes des figures 14 et 15, donner les avantages et 
inconvénients du placement de
la jauge sur les 2 bras. Pour cela, calculer la sensibilité du capteur dans 
chaque cas.

111.2 -- Cahier des charges de l'asservissement de l'effort sur la caténaire

Nous sommes maintenant en mesure de connaître la force de contact sur la 
caténaire. On souhaite
maintenir cette force autour d'une valeur moyenne. Le document 1 est un extrait 
des recommandations
SAM E 903 de l'Etablissement Public de la Sécurité Ferroviaire (EPSF) 
concernant les limites
acceptables de la force de contact de l'archet sur la caténaire.

La force moyenne de contact doit rester dans la plage [ F cm..., F c,,...].
La force moyenne minimale de contact doit respecter la formule suivante :

FC...... 2 0,00047*V2 +60 N.

La force moyenne maximale de contact doit respecter les formules suivantes :
V 5 200 km/h : F cn... S 0,00047*V2 + 90 N ;
V > 200 km/h : F c,... S 0,00097*V2 + 70 N .

Document 1 -- Recommandations de l'EPSF en matière de force de contact

\

A partir des équations des recommandations de l'EPSF du document 1, on définit 
la valeur
moyenne F cmoy de la force de contact telle que représentée sur la figure 16.

jbrcc de contact

F c

' "! [IX

Plage de 5( %

F c

' may

F (?

min

Figure 16 -- Plage de maintien de la force

Q35. Déterminer l'équation de la valeur moyenne F en...), de la force de 
contact en fonction de la vitesse
V du train pour les deux plages de vitesse définies dans le document 1.

On souhaite que l'asservissement de la force de contact maintienne cette 
dernière le plus proche possible
de F cmoy. Les variations de FC doivent être limitées à une plage de 50 % 
autour de F Cm0y pour garder

une marge d'erreur suffisante par rapport aux valeurs extrêmes F cmax et F 
C...... comme illustré dans la
figure 16.

- Plage 0
On pose l'erreur relative : e% : _5°/°_
choy

Q36. À partir des équations de la Q35, exprimer l'erreur relative pour les deux 
plages de vitesse en
fonction de V.

Q37. Pour quelle valeur de la vitesse du train l'erreur relative 63% est--elle 
la plus faible ?
En déduire la valeur maximale de l'erreur statique relative admissible dans 
l'asservissement de la
force de contact.

14/20

Pour la suite, on prendra une erreur statique relative maximale de 8 %.

Sous l'effet de la gravité illustré figure 17, le fil de contact
FC décrit une courbe appelée chaînette dont la flèche varie en
fonction de la masse linéique et de la longueur séparant les
deux poteaux supports.

"'._'}_.( .

Pour réduire cette flèche, une tension mécanique est
appliquée à chacune des extrémités du fil. Néanmoins, les
propriétés du matériau ne permettent pas de compenser la
flèche par la seule application d'une tension mécanique aux
extrémités du fil.

Figure 17 -- Chaînette du fil de
contact sur un tronçon

Lorsque la vitesse du train dépasse 100 km/h, pour assurer une
bonne qualité de captage, le fil de contact doit être presque
horizontal afin de minimiser les déplacements du pantographe.

Q38. Quel problème va poser cette flèche du fil de contact pour 
l'asservissement de la force de
contact ?

On se propose dans cette sous--partie de déterminer cette flèche selon le 
modèle de la figure 18.

-- Î'(x + dx)

"%(x)

chaînette exagérée

r!

x x+dx

Figure 18 -- Courbe en chaînette

Si on isole un tronçon de longueur d£ de la chaînette, compris entre les 
abscisses x et x + dx, il est en
équilibre sous l'action de 3 glisseurs :

-- le poids ËÎ' : force proportionnelle à la masse du tronçon. Si pt est la 
masse linéique (masse d'un
mètre de chaînette exprimée en kg/m), la masse du tronçon est ydEUR ;

-- la tension à gauche f(x) : force exercée par le brin de gauche sur le 
tronçon isolé qui s'applique
au point dont l'abscisse est x. Par ailleurs, les forces de tension du tronçon 
à l'équilibre sont des
forces tangentes àla chaînette ;

-- la tension à droite -- ï(x + dx) : la tension à droite qui s'applique au 
point d'abscisse x + dx.
Comme le tronçon est en équilibre, elle s'oppose à la tension à gauche du 
tronçon suivant
compris entre x + dx et x + 2dx. La tension à droite de notre tronçon est donc 
l'opposée de la

tension à gauche du tronçon suivant, cette force est donc -- ï(x + dx).

15/20

Q39. En appliquant le Principe Fondamental de la Statique au tronçon isolé, 
puis en projetant sur 55 et ÿ,
établir les deux équations suivantes

{Th(x + dx) -- Th(x) = 0

Tv(X+dx) --Tv(x) --5P : 0 (5)

avec Th et Tu les valeurs absolues des composantes horizontales et verticales 
de la tension.
Q40. En déduire que la tension horizontale Th est constante.
Nous noterons y(x) l'équation de la chaînette.

Q41. En considérant que chaque tronçon infinitésimal de la chaînette est 
rectiligne (figure 19),
démontrer la relation suivante :

d£_ dy 2 _
a* "(a) @
Y(X) '
/' /
dQ" dy
* / dx

Figure 19 -- Approximation d'ordre 1

Q42. En exploitant les résultats des questions Q39 et Q41, montrer que
T'v(X) = My 1 + (Y'(X))2 (7)
avec T'v(x) et y'(x) les dérivées par rapport à xde Tv (x) et y(x).
On admet que T,, (x) = Th (x). y'(x).

Rappel

On admet que smh admet une bijection rec1proque notee arcsmh dont la der1vee 
est @ .

43. En ex loitant le ra el ci--dessus et les résultats démontrés Q42, 
déterminer l'ex ression de
P PP P
y"(x). Montrer alors que l'équation de la chaînette s'écrit

3/05) = a cosh (â + a) + B (8)

avec a et B , les constantes d'intégration et a un paramètre à expliciter.

Ainsi, pour une distance entre 2 poteaux de 60 m, avec une tension de 20 kN, on 
trouve par application
numérique une flèche de l'ordre de 5,4 cm. La flèche reste relativement faible, 
de l'ordre d' l/ 1000 d'un
tronçon, mais va générer une perturbation du point de vue de l'asservissement.

16/20

Des simulations de la force de contact, filtrée à 20 Hz, pour un train 
circulant à 90 km/h et 320 km/h
sont données dans une configuration le long de 5 tronçons (figure 20). Les 
passages sur les poteaux sont
représentés avec les lignes verticales pointillées.

200

230

| | | |
,; b il | |
... | '|\ ||,||,||
'J 5 . , ' |
' - l | :
% Ë , l | ' | | 1 || |
5 u un ; H ' 5
mo ! E

H .'>U |...) L')" L'...) 250 0 50 H... |.'|ll L'...) 254!

Position lml Position [ml

Figure 20 -- Forces de contact pour un train circulant à 90 km/h (à gauche) et 
320 km/h (à droite)

Afin d'estimer la bande passante de l'asservissement, il a été calculé figure 
21, le spectre non filtré,
pour une vitesse de 320 km/h, obtenu par une transformée de Fourier discrète 
(FFT).

180-

160--

140--

120--

amplitude (N)
@ â

05
O
|

.>
o
|

Î|l
0

| | 1 | | | | | | f | 1 | | Y | | 1 l | | Y | l \ | \ |
12 3 4 5 s 7 a 910111213141516171819 20 2122 23 24 252627 28 29 sa
fréquence (Hz)

Figure 21 -- Transformée de Fourier discrète de la force de contact

Q44. Justifier les valeurs des deux raies principales du spectre.

Q45. En prenant un coefficient de 1,5 pour les simplifications et les 
incertitudes sur le modèle, quelle
doit être la bande passante minimale de l'asservissement '?

Q46. En conclusion, proposer un résumé des éléments du cahier des charges 
(performances) pour
l'asservissement. On explicitera également le temps de réponse et les 
dépassements envisageables.

17/20

III.3 -- Asservissement de l'effort sur la caténaire

Objectif : vérifier les performances attendues de l'asservissement.

On souhaite maintenant mettre en place l'asservissement afin de maintenir la 
force de contact de l'archet
sur la caténaire la plus proche possible de la valeur moyenne. La force de 
contact souhaitée FC,
proportionnelle à la vitesse, est déterminée par le calculateur. De plus comme 
nous venons de le voir, la
variation de hauteur du fil de contact de la caténaire entraîne une 
perturbation sur l'asservissement de la
force de contact.

Le pantographe est une structure élastique possédant sa propre dynamique et, 
pour mettre en évidence
les phénomènes de manière simplifiée, nous allons le représenter (figure 22) 
par un système linéarisé,
de type masse/ressort à un étage, associé à la dynamique de l'archet (un modèle 
plus fin, non étudié ici,
est possible avec trois étages).

Les caractéristiques proviennent d'une linéarisation du modèle multicorps. Le 
système comportera une

masse (m), un amortisseur (de coefficient de frottement visqueux f en N.m/s) et 
un ressort (de raideur k
en N/m).

Le déplacement vertical de la caténaire par rapport à la motrice est noté yL 
(t) et le déplacement de
l'extrémité basse de l'archet par rapport à la motrice est noté yM (t).

Ainsi, pour assurer un effort de contact entre l'archet et la caténaire le plus 
constant possible, on a choisi

d'asservir en position le pantographe, c'est--à--dire yM (t). Le coussin 
pneumatique exerce un effort F...
sur la masse m (figure 22).

% ................................ : / Caténaire

Archet

.,Ë f mo

L

X

YM @)

Position de référence

de la masse m

Figure 22 -- Modèle dynamique de l'archet

18/20

On notera F la force qu'exerce l'archet sur la caténaire et qui sera comptée 
positive vers le haut.

On notera FC l'effort de contact de consigne. L'archet est instrumenté et 
dispose d'un capteur d'effort
mesurant l'effort de contact F .

L'action de l'actionneur Fm sur la masse est telle que F... (p) = HC (p)C(p). 
(FC (10) -- F (p)).

Q47. Expliquer pourquoi la variation de hauteur de la caténaire fait varier 
l'effort de contact F .

L'équation différentielle qui régit le mouvement du pantographe autour de sa 
position d'équilibre est la
suivante :

m-ÿM(t) = --k(yM(t) -- n(t)) -- f (y'M(t) -- y'L(t)) + F...(t) . (9)

On pose YM (p), YL (p), Fm (p) les transformées de Laplace de yM (t), yL (t) et 
Fm (t).

Q48. Passer cette équation dans le domaine de Laplace en supposant les 
conditions initiales nulles.

Q49. Exprimer YM (p)sous la forme YM (p) = B(p). (A(p) YL (p) + Fm (p)). 
Expliciter les termes A(p) et
B(p)-

On modélise le système par le schéma--bloc figure 23.

YL(P) A(p)
FC F... | Y \ F
& ®--E[ ®E [W

Coussin pneumatique + régulateur

Figure 23 -- Schéma--bloc de l'asservissement de la force de contact

Q50. Déterminer la relation F (p) = H1(p)Fc(p) + Hz (p)YL (p)en explicitant les 
fonctions de transfert
H1(p) et H2 (10) en fonction de Hc(p), A(p), B(p) et de C(p).

On s'intéresse à la régulation de la force de contact en présence de 
perturbation due à la variation de
hauteur du fil de contact. On suppose le train circulant à vitesse constante, 
soit Fc(p) : 0.

On retient l'exigence suivante pour la fonction de transfert en régulation H 2 :
El qui est l'erreur relative maximale de 8 % par rapport à choy.

19/20

La tracé du diagramme de Bode de la fonction de transfert en régulation, 
corrigée, Hz (p) a permis de
relever les valeurs de gain données dans le tableau 2.

Fréquence (Hz) 1 10
2010g(|H2|)(dB) 42 49

Tableau 2 -- Relevé de valeurs de gain

QS]. À 320 km/h, on peut modéliser yL (t) par une sinusoïde d'amplitude 6 cm à 
la fréquence de le.
En déduire l'influence maximale de la perturbation due à la variation de niveau 
de la caténaire sur
la force de contact.

Q52. Conclure quant àla capacité de l'asservissement à respecter l'exigence El.

FIN

20/20

[M P R1MER1E NA T] () NA L E -- 181063 -- D'après documents fournis

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Modélisation et Ingénierie numérique PSI 2018
Corrigé
Ce corrigé est proposé par Nicolas Courrier (professeur en CPGE) et Stéphane
Ravier (professeur en CPGE) ; il a été relu par Julien Dumont (professeur en 
CPGE),
Jérôme Lambert (enseignant-chercheur à l'université) et Tom Morel (professeur en
CPGE).

Ce problème aborde la modélisation du captage du courant électrique par un train
à grande vitesse. Ses trois parties sont indépendantes.
· Dans la première partie, très courte, on modélise le problème d'un point de 
vue
électrique. Une fois que le circuit électrique est bien compris, il n'y a aucune
difficulté dans cette partie. Les connaissances de première année suffisent pour
répondre aux différentes questions.
· La deuxième partie traite de la modélisation thermique de la caténaire quand
le train est à l'arrêt. Dans un premier temps, on adopte une approche à une
seule dimension. On met en oeuvre un bilan d'énergie pour aboutir à l'équation
aux dérivées partielles dont la température est solution. Il s'ensuit la 
résolution
numérique du problème, pour laquelle il convient de déterminer correctement
les conditions aux limites du problème. Cette partie se termine par une analyse
de certains résultats d'une modélisation tridimensionnelle de la zone de contact
entre la caténaire et le pantographe.
· La troisième partie traite de l'asservissement en effort du pantographe sur le
fil de contact, ce qui permet de limiter l'usure du fil. Elle se compose de 
trois
points. Le premier est la mesure d'effort dans la caténaire grâce à un capteur
positionné sur un bras du pantographe. Le deuxième est la mise en place des 
critères de performance de l'asservissement des données via un cahier des 
charges
et la prise en compte de la déformation du fil de contact. Le dernier point est
l'étude de l'asservissement et la vérification des critères établis.
Ce sujet ne comporte pas de difficulté majeure et il est d'une longueur tout
à fait raisonnable. Cela en fait un bon sujet d'entraînement pour les épreuves 
de
modélisation.

Indications
Partie I
3 Justifier que R1 et R2 sont en parallèle.
Partie II
11 Attention, à la question précédente, on demande des puissances, ici, c'est 
une
énergie.
18 Faire attention au fait que le premier indice dans le tableau (indice de 
ligne)
représente les temps (soit la 2e variable dans la notation T(z, t)).
21 Reprendre le bilan effectué à la question 12 : seul le terme de conduction à 
droite
est modifié.
24 Utiliser l'équation de Maxwell-Gauss.
25 L'énoncé n'est pas très clair concernant les légendes. Les potentiels sont 
bien à
droite du graphique mais ne sont pas « en ordonnée », il s'agit d'une légende
individuelle pour chaque surface équipotentielle. Les graduations sur les 
lignes du
quadrillage sont toutes des distances, exprimées en mètres. Estimer le champ en
calculant le gradient du potentiel.
26 Les échelles de temps sont-elles analogues ?
27 Les légendes des points expérimentaux à 600 s et 1 200 s ont 
vraisemblablement
été échangées au niveau du centre de la zone de contact. Utiliser les erreurs 
relatives indiquées.
Partie III
28 Exprimer la résistance d'un fil électrique en fonction de sa longueur.
, -
) = (-

31 Calculer l'angle (-
x
x
y ,-
y ) afin de faciliter le calcul.
3

2

3

2

41 Exprimer d en fonction de dx et dy avec le théorème de Pythagore.

43 Intégrer deux fois l'équation en y (x). Ne pas oublier que sinh (arcsinh(x)) 
= x.
44 Repérer la périodicité globale du signal et dans chacune d'entre elles 
compter le
nombre de pics.
46 Il y a trois critères de performance à caractériser pour un asservissement.

Modélisation du captage du courant dans un
train à grande vitesse
I. Étude préliminaire de la ligne d'alimentation
1 Intervenir sur les pantographes est beaucoup plus simple et moins coûteux que
d'intervenir sur le réseau de caténaire. D'abord cela peut se faire sur un 
train qui
n'est pas en service, ce qui n'interrompt donc pas le trafic ; ensuite la 
quantité de
carbone à prévoir est plus restreinte.
2 Le carbone graphite est conducteur et lubrifiant (notamment en raison de son
caractère friable, c'est-à-dire peu dur). Ainsi, il joue le rôle de lubrifiant 
conducteur au
niveau des balais ­ collecteurs de moteurs à courant continu. On retrouve 
également
le carbone dans les mines de « crayon de papier », qui sont en graphite.
Les propriétés du carbone graphite sont principalement dues à sa structure
cristalline en « feuillets ».
3 Les résistances R1 et R2 sont soumises à la
même différence de potentiel puisque VA = VB .
Par conséquent, on peut les considérer comme
étant associées en parallèle. On en déduit le
schéma ci-contre où M désigne la motrice. La résistance linéique étant donnée, 
on obtient les expressions de R1 et R2 :
et

R1 = r x
On calcule
Finalement,

U
UR

M

R1
Re

R2

R2 = r (L - x)

R1 R2
Re =
R1 + R2
Re =

x (L - x)
r
L

4 Re s'annule pour x = 0 et x = L et il est positif dans cet intervalle, donc 
Re (x)
présente au moins un maximum dans [ 0 ; L ]. Calculons
dRe
r
= (L - 2x)
dx
L
On en déduit que Re est maximale pour x = L/2.
5 On remplace x par L/2 dans l'expression donnant Re :
Re =

rL
= 0,05 
4

6 Le courant qui traverse Re est le même que celui qui traverse la motrice, donc
UR = Re I = 125 V
7 La puissance dissipée par effet Joule dans la résistance Re est donnée par
PJ = UR I = Re I2
tandis que la puissance fournie par les sous-stations est
Pg = U I

On en déduit, par différence, la puissance absorbée par la motrice
P m = P g - PJ
On peut alors définir le rendement  par
=

Pm
UR
=1-
= 92 %
Pg
U

Au niveau d'une sous-station, Re = 0, donc le rendement vaut 100 %.
8 À puissance constante, augmenter la tension revient à diminuer l'intensité du
courant qui circule, donc à réduire les pertes par effet Joule.
On ne peut pas simplement déterminer le rendement en régime sinusoïdal
forcé car on n'a pas suffisamment d'éléments pour caractériser la motrice et
donc connaître le facteur de puissance.
9 La fréquence de 50 Hz est celle du réseau électrique d'Europe continentale.
L'appareil électrique qui permet d'élever ou d'abaisser la tension sans 
modifier la
fréquence est un transformateur.
Toute l'Europe continentale a un réseau électrique interconnecté et donc à la
même fréquence de 50 Hz. Le Royaume-Uni a un réseau à 60 Hz. Quand le
Royaume-Uni importe de l'électricité depuis le continent, c'est à travers une
liaison continue.

II. Modélisation thermique de la
caténaire, train à l'arrêt
10 Orientons les différents flux thermiques
à déterminer sur un schéma. Si on note
S =  R2 la section du système et j la valeur algébrique du vecteur densité de 
courant
thermique, les flux entrants (en z) et sortant
(en z + z) sont donnés par

e (z, t) = j(z, t) S
s (z + z, t) = j(z + z, t) S
D'après la loi de Fourier,

Ainsi,

j(z, t) = -

lat (z, t)
e (z, t)

z
z

z + z

T
z

T
(z, t)
z

 (z + z, t) = -  R2 T (z + z, t)
s
z

s (z + z, t)

e (z, t) = -  R2

Le flux latéral est donné par la loi de Newton, appliquée pour une surface 
élémentaire Slat = 2 R z, soit
lat (z, t) = 2 h R (T(z, t) - Te ) z