CCP Modélisation et Ingénierie numérique PSI 2017

Thème de l'épreuve Modélisation d'une machine frigorifique
Principaux outils utilisés thermodynamique, induction, puissance en régime sinusoïdal forcé
Mots clefs machine frigorifique, diagramme (P, h), évaporation, changement d'état, modélisation acausale, moteur asynchrone, pince ampère-métrique, facteur de puissance, FTBO, correcteur proportionnel intégral, marges de phase et de gain

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2017

PSIMI06

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EPREUVE SPECIFIQUE
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MODELISATION ET INGENIERIE
NUMERIQUE
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Jeudi 4 mai! : 8 h - 12 h!
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N.B. : le candidat attachera la plus grande importance
à la clarté, à la précision et à la concision de la
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signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition
en expliquant les raisons des ini&'$&'9./+3-7'4+
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a été amené à prendre.!
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Les calculatrices sont autorisées
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Le sujet est composé de 16 pages dénoncé et de 8 pages de document réponse.
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Il comporte 4 parties indépendantes.
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1/16
A

!

MODÉLISATION DUNE MACHINE FRIGORIFIQUE
Présentation générale
Un des enjeux majeurs de la grande distribution, de lindustrie et du tertiaire 
dans les années à venir
sera de diviser sa consommation dénergie de moitié. La production frigorifique 
dun magasin
représente entre 40 et 60 % de la consommation électrique (selon la 
superficie). La figure 1 montre
une implantation. La production de froid doit être efficace malgré toutes les 
perturbations
douverture et de fermeture des portes des congélateurs.

Figure 1  Photographies dun magasin de produits surgelés et dun compresseur
Aujourdhui, de nouveaux types de machines permettent dadapter la puissance du 
compresseur aux
besoins de linstallation frigorifique en effectuant un réglage en continu de la 
vitesse du
compresseur. Ce type dinstallation permet de gagner jusquà 25 % de consommation 
dénergie. Le
sujet porte sur la modélisation et la justification des modèles de ces 
nouvelles machines.
Le sujet comporte 4 parties indépendantes avec pour objectif de :
!! comprendre un modèle simple du cycle frigorifique et de pointer les 
paramètres affectant
lefficacité thermodynamique de la machine. Le contrôle en vitesse du 
compresseur permet
de commander la puissance thermique soutirée à la source froide (nommée « 
puissance
frigorifique ») ;
!! trouver les fréquences propres de vibration du compresseur afin déviter de 
se placer à une
vitesse critique lors de la variation de vitesse. En effet, une vibration trop 
grande
engendrerait du bruit désagréable pour les clients ;
!! mettre en évidence expérimentalement les inconvénients dune utilisation du 
compresseur
sans dispositif de commande de la vitesse de rotation (pic de courant au 
démarrage et ses
conséquences éventuelles, facteur de puissance dépendant de la charge) ;
!! modéliser et justifier la commande prédictive de lasservissement en 
température. La
commande prédictive est comparée à la commande Proportionnelle Intégrale qui 
savère
moins performante pour ce type dutilisation.

Remarque : dans lénoncé du sujet, une égalité notée ! représente une définition.

2/16

I - Modélisation du cycle frigorifique
L'objectif de cette partie est de sapproprier un modèle thermodynamique simple 
du
fonctionnement de la machine et de pointer les facteurs affectant son 
efficacité.
La machine frigorifique est constituée de quatre organes, représentés sur la 
figure 2.

Figure 2  Les quatre organes de la machine frigorifique
Le fluide frigorigène circulant entre les différents organes est le 
1,1,1,2-Tétrafluoroéthane, noté
« R134a » par la suite.
La figure 3 (page suivante) représente en coordonnées (pression P, enthalpie 
massique h), les
transformations subies par ce fluide au cours dun cycle :
!! " # $ : compression isentropique du fluide par le compresseur ;
!! $ # % : échange thermique isobare à haute pression P&' dans le condenseur ;
!! % # ( : détente adiabatique dans le détendeur ;
!! ( # " : échange thermique isobare à basse pression P)' dans lévaporateur.
En plus du cycle, dautres courbes apparaissent sur le diagramme :
!! la courbe de saturation liquide-vapeur (courbe noire en forme de cloche) ;
!! un réseau disothermes (courbes en trait plein, tracées à*+ , -./ 0*1*
!! un réseau disentropiques (courbes en pointillés, tracées à entropie 
massique2*2*,*-te 0*1*
!! un réseau diso-titres en vapeur à lintérieur de la courbe de saturation 
(courbes en pointillés
tracées à lintérieur de la courbe de saturation, à titre en vapeur 3*,*-te 04*
À lintérieur de la courbe de saturation, le fluide est diphasé liquide-vapeur. 
À gauche de la courbe
de saturation, le fluide est liquide. À droite, le fluide est gazeux.
Remarque : seul le début des courbes isothermes est représenté dans les 
domaines situés à gauche et
à lintérieur de la courbe de saturation. Cela permet dalléger le diagramme, les 
isothermes étant
horizontales à lintérieur de la courbe de saturation et verticales à sa gauche.
Document - Quelques propriétés du fluide R134a
- Masse volumique aux différents points du cycle (en kg 4 m56 0 :
!1 "#"$%&"""""!2 "#"$'%'""""!3 = 1,3 103 !4 = 12,5
- Ordre de grandeur de capacités thermiques massiques du R134a : cv ~ cp ~ 1 
kJ. kg-1 . K-1
(ordres de grandeur valables pour la phase liquide et pour la phase vapeur)

3/16

...0...oo

UHOE... ÜêËË» &. m--Ë.OE mnmämmnäm

Ë 8 - .... E ËÈ...m...Ë. <=... ?>...ËE. .....5 fin...

Ë..--. mWOÊ%«OEFOENB:ÊÊ. G.. 3. G

Pressure [Bar]

;.

......... . .......................L , .....Î...... .... J.. ....A..........

--h--wâ-- Ë E.. .Ës ...... FÊË ÊeËfimä ë....... EUR. ...: ...Es.

Ëo EG 50 N8 umo NË

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.....IË .HIË HHOEo

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N|Pm0 Nl0.â » c..--° .... Pad » Pwo .... È .-- une file

woe© Nm: m8 ...mo w&o wmQ woec 58 ème Èo bac È...o moe wNo
mË.Ë--Ë =...SË

Figure 3 -- Cycle subi par le fluide Rl34a, en coordonnées Pression -- 
Enthalpie massique

(tracé avec le logiciel CoolPack)

4/16

On rappelle l'expression du premier principe de la thermodynamique en 
écoulement stationnaire
appliqué à un système ouvert
1
(1)
! "h #$ v 2 #$gz% &$w #$q
2
!! !'$($'sortie - hentrée est la variation d'enthalpie massique entre l'entrée 
et la sortie ;
1
!! ! )2 v 2 * est la variation d'énergie cinétique massique du fluide entre 
l'entrée et la sortie ;
!! !+gz, est la variation d'énergie potentielle massique de pesanteur entre 
l'entrée et la sortie ;
!! w est le travail massique utile, apporté au fluide par toute pièce mobile en 
contact avec lui ;
!! q est le transfert thermique massique reçu par le fluide.

On rappelle aussi l'expression du deuxième principe de la thermodynamique en 
écoulement
stationnaire
(2)
!-$&$se #$sc
!! !-$($-sortie - sentrée est la variation d'entropie massique entre l'entrée 
et la sortie ;
!! s. est l'entropie massique échangée et s/ est l'entropie massique créée.
On rappelle enfin la définition du titre en vapeur d'un corps diphasé 
liquide-vapeur 0$($ m

mvap

liq #1vap

.

Notations : les grandeurs associées à l'état 1 du cycle sont indicées "1". Les 
quantités échangées
entre le fluide et l'extérieur au cours de la transformation 2 3 4 sont 
indicées par "12".
Exemples : enthalpie massique h1 et travail massique utile w12 .
On peut en déduire les autres notations.
I.1 - Questions préalables sur le principe de fonctionnement d'une machine 
frigorifique
Le principe d'une machine frigorifique ditherme est le suivant : « Un fluide 
frigorigène circule
entre les différents organes de la machine. Mis en mouvement par le 
compresseur, ce fluide
refroidit la source froide et réchauffe la source chaude. »
Q1. !Donner et justifier les signes des quantités algébriques suivantes : w12 , 
q 23 et q 41 .
Q2. !Lors de la traversée du condenseur, le fluide frigorigène a-t-il une 
température supérieure ou
inférieure à celle de la source chaude ? Lors de la traversée de l'évaporateur, 
le fluide a-t-il une
température supérieure ou inférieure à celle de la source froide ?
Q3. !Si l'on considère le réfrigérateur que l'on possède à la maison, où se 
situe la source froide ? Et
la source chaude ?
I.2 - Questions préalables sur l'expression utile du premier principe
Q4. !On considère une section de l'écoulement. En supposant les champs 
uniformes sur cette
section, exprimer le débit de masse en fonction notamment de la vitesse 
d'écoulement.
Q5. !D'après les données, on remarque que la masse volumique du fluide est 
minimale juste avant
compression (état 1). En admettant que la section des canalisations est 
approximativement
uniforme au cours du cycle, en déduire qu'en régime permanent la vitesse du 
fluide est
maximale juste avant compression (état 1).
5/16

Q6. !La vitesse maximale au cours du cycle est de l'ordre de 1 m. s!" . En 
prenant comme référence
la variation d'enthalpie massique au cours de la compression, en déduire que 
les variations
d'énergie cinétique peuvent être négligées dans l'expression du premier 
principe de la
thermodynamique.
Q7. !De la même façon, justifier que le terme #$%& peut aussi être retiré de 
l'expression du premier
principe de la thermodynamique.
On utilisera par la suite l'expression simplifiée suivante du 1er principe en 
écoulement stationnaire :
(3)
'()*)w +)q .

I.3 - Lecture du diagramme et intérêt de la vaporisation
Pour ne pas dégrader le compresseur, il est crucial que le fluide caloporteur 
soit purement gazeux à
l'entrée de cet organe, toute goutte de liquide entraînant son usure 
prématurée. C'est pourquoi le
fluide à la sortie de l'évaporateur est « surchauffé » : sa température T" dans 
l'état 1 est supérieure à
celle de la vapeur saturante Tsat #,bp &. La surchauffe est une marge de 
sécurité qui permet de
garantir que le fluide sera bien gazeux à l'entrée du compresseur, même si le 
fonctionnement de la
machine est perturbé.
Q8. !Déterminer graphiquement la valeur numérique de la surchauffe : T1 - Tsat 
#,bp &.
Q9. !Le fluide à la sortie du condenseur (état 3) est dit « sous-refroidi » : 
sa température de sortie T3
est plus basse que la température de vapeur saturante Tsat #,(- &. Déterminer 
graphiquement la
valeur numérique du sous-refroidissement : T3 - Tsat #,(- &.
Q10. ! La transformation . / 0 est une détente de Joule-Thomson. Le détendeur 
peut être assimilé
à un simple étranglement local de la conduite. Il n'y a pas de pièce mobile et 
les parois sont
calorifugées. Justifier que cette étape est isenthalpique.

L'enthalpie massique d'un corps pur est définie par :
,
4
où)2#3& est l'énergie interne massique, supposée indépendante de la pression.
()1)2#3&)+)

Q11. ! Dans la zone située à gauche de la courbe de saturation, les isothermes 
sont verticales, donc
confondues avec les isenthalpiques. Le R134a étant liquide dans cette zone, 
cela correspond à
l'approximation usuelle stipulant que)'( 5 67 '3 pour une phase condensée. On 
souhaite ici
vérifier la validité de cette approximation sur la première phase de la détente 
du R134a, avant
vaporisation (du point 3 jusqu'à la courbe de saturation).
Déterminer numériquement la variation de température sur cette première phase 
et vérifier
qu'une isenthalpique est effectivement assimilable à une isotherme.

6/16

Q12. ! La suite de la détente provoque une vaporisation du R134a.
Etablir qu'au cours de cette vaporisation, la variation d'enthalpie massique 
peut s'écrire :
!"#$#L%&' (T) *!xvap #+#c' (T) , T- *
(4)
L%&' (.) * / "%&' (.) * , "012 (T) * étant la chaleur latente de vaporisation à 
la température T) et
!3vap étant la variation du titre en vapeur au cours de la vaporisation. On 
justifiera clairement la
démarche utilisée.
Q13. ! Mesurer graphiquement L%&' (.) *. En déduire par le calcul une valeur 
numérique de la
variation de température (.4 #4#.3 * attendue lors de la transformation 5 6 7. 
Cette valeur est-elle
du même ordre de grandeur que celle lue sur le diagramme ?
Conclusion : la vaporisation, provoquée mécaniquement, génère une chute de 
température du fluide
frigorigène permettant d'orienter le transfert thermique dans le sens souhaité 
lors de son passage
dans l'évaporateur : de la source froide vers le fluide.
I.4 - Hypothèses simplificatrices et efficacité de la machine
Q14. ! Quel phénomène faut-il négliger pour modéliser les échanges thermiques 
considérés comme
étant isobares ?
Q15. ! Quelles hypothèses faut-il faire pour modéliser la compression comme 
étant isentropique ?
On rappelle la définition qualitative de l'efficacité d'une machine thermique :
:;8<=>8#?@AA>BC8#CD>E8
8#/ 9:;8<=>8#?@AA>BC8#FGHD8CA89 .
Q16. ! À quoi correspondent ces deux termes énergétiques dans le cas de la 
machine frigorifique et
identifier dans le cycle la transformation associée à chacun. Déterminer leur 
valeur numérique
par lecture graphique sur le diagramme (IJ "*. En déduire la valeur de 
l'efficacité.
Q17. ! En appliquant à K#L= de fluide frigorigène les deux principes de la 
thermodynamique sur un
cycle réversible, établir l'expression de l'efficacité de Carnot en fonction 
des températures de la
source froide et de la source chaude (TF"@CM #$#NO#PQ#et TRM #$
Faire l'application
numérique et comparer cette valeur à l'efficacité calculée dans le cadre du 
modèle étudié. Le
résultat de cette comparaison était-il prévisible ? Quelles sont les sources 
d'irréversibilité du
cycle avec lequel a été modélisée la machine frigorifique ?
Q18. ! Aucune transformation réelle n'est réversible. La compression réelle qui 
amène le fluide de
Pbp à P"T est nécessairement irréversible, contrairement à l'hypothèse 
simplificatrice de notre
modèle. Proposer une modification simple de l'allure de la courbe K6N du 
diagramme (IJ "*
pour tenir compte de l'irréversibilité. En déduire graphiquement une 
conséquence sur
l'efficacité. (L'explication sera faite sur la copie.)
Q19. ! Expliquer en quoi le sous-refroidissement permet d'augmenter 
l'efficacité de la machine,
tous les autres paramètres étant gardés identiques.

7/16

II - Modélisation des vibrations générées lors du fonctionnement
L'objectif de cette partie est de trouver les conditions de résonance du 
compresseur.
Le compresseur repose sur 4 appuis élastiques. Le piston a un mouvement de 
translation alternatif
suivant !" généré par un mécanisme bielle  manivelle.
Ainsi, lorsque le piston va se translater, il va créer un effort alternatif qui 
va générer des vibrations.
Bielle

Piston
Accéléromètre Haut
$"

#"
!"
Accéléromètre Bas
Appui élastique
Figure 4 - Compresseur sur 4 appuis élastiques

Analyse expérimentale à laide daccéléromètres
Afin de pouvoir proposer un modèle le plus simple possible, une étude 
expérimentale est réalisée à
laide daccéléromètres qui sont placés en haut et en bas du compresseur (figure 
4). Les résultats
doivent permettre deffectuer des hypothèses simplificatrices. Les courbes sont 
données dans le
document réponse DR1.
Q20. ! Tracer sur le document réponse la période des signaux X_haut et X_bas. 
En déduire la
fréquence associée à cette période du signal observé sur les courbes.
Q21. ! Le signal est assez bruité. Proposez une technique analogique et une 
technique numérique
permettant davoir une courbe lissée. Expliquez le principe de vos solutions 
(sans calcul).
Q22. ! En analysant les mesures daccélération du mouvement du compresseur, 
indiquer sur la
copie en quoi leffet de la translation suivant !" est prépondérant devant celui 
de la translation
suivant #" et celui de la rotation autour de #". Quel élément en mouvement peut 
expliquer cela ?
Q23. ! Justifier lutilisation dune modélisation plane.
Q24. ! La raideur dun des 4 appuis élastiques (modélisé comme des ressorts) 
suivant !" est de
20 N/mm. Calculer la raideur suivant !" du ressort équivalent aux 4 appuis en 
parallèle (le
mouvement considéré est uniquement suivant !").
Ces hypothèses permettent de réaliser la modélisation acausale en mécanique 
dans le plan.

8/16

Glissièæ_Pismn--Stælor

.; " ,
a ' 9. F o., Bu

Piston Pivot_Biella_Piston
b [ ' F |." B : u .
a | ., !
Pivot_Rotor--Bæfle .
Rotor--Wiebrequin Buelle

a) modélisation acausale

-----modèle

--mesure

accélération en ; dans l'axe du piston

0 cm 0,02 0,03 0,04 0,05 0,05 0,07 0,08

tempsen 5

Mesure effectuée à 2500 tours/min

b) vue 3d du système bielle manivelle c) comparaison modèle _ mesure

Figure 5 - Compresseur sur les ressorts

Q25. Donner deux différences entre une modélisation causale et acausale.

Q26. Le schéma (figure 5.a) n'est pas multiphysique puisqu'il ne comporte que 
des composants
mécaniques (solides et liaisons). Faire l'inventaire des blocs « solides » et 
des blocs « liaisons »
du modèle.

Q27. À partir de la vue 3D (figure 5.b) et de la modélisation acausale (figure 
5.a), proposer un
schéma cinématique (en couleur) du système dans le plan (55, ÿ).

Q28. Quelles sont les grandeurs de flux et les grandeurs d'effort qui vont 
transiter entre les blocs ?

Q29. Le graphique (figure 5.c) montre la comparaison modèle--mesure au début du 
mouvement.
Commentez l'adéquation modèle-mesures.

Q30. La vitesse du moteur peut varier entre 0 et 3000 tours/min. Proposer un 
protocole de
simulation afin de visualiser l'existence de résonances sur cette plage.

9/16

III - Consommation électrique du moteur asynchrone monophasé : une étude
expérimentale
Dans cette partie, une étude expérimentale du moteur asynchrone va mettre en 
évidence deux
inconvénients du fonctionnement du compresseur sans dispositif de commande :
!! lexistence dun pic de courant au démarrage ;
!! un facteur de puissance dépendant de la charge.

ucourant !t#
i!t#

Pince ampère-métrique

Moteur

u!t#

Sonde différentielle

Alternostat

utension !t#

Figure 6  Dispositif expérimental détude du moteur asynchrone
(système dacquisition non représenté)
La figure 6 représente le montage expérimental. Le moteur asynchrone est 
alimenté par un
alternostat. Ce dernier délivre une tension sinusoïdale de fréquence 50 Hz, de 
valeur efficace
réglable entre 0 et 220 V. La sonde différentielle délivre une tension utension 
!"#, représentant la
tension $!"# après atténuation dun facteur 100. Cela permet denregistrer la 
tension délivrée au
moteur sans saturer le logiciel dacquisition (LatisPro). Une pince 
ampère-métrique est placée en un
point du circuit dalimentation et délivre une tension u%&'()*+ !"# 
proportionnelle au courant i!t# du
tronçon de circuit autour duquel elle est placée. Le coefficient de 
proportionnalité vaut ,-./0 1 234 .
Remarques : pour des raisons liées à lenvironnement expérimental, les tests ont 
été effectués à des
tensions efficaces inférieures à 220 V. Par ailleurs, aucune connaissance sur 
le moteur asynchrone
nest nécessaire pour répondre aux questions suivantes.
III.1 - Pic de courant au démarrage du moteur
La figure 7 (page suivante) présente un enregistrement de u%&'()*+ !"# et 
u+5*67&* !"# au démarrage
du moteur, celui-ci nétant pas chargé. Au cours de ce régime transitoire, on 
observe clairement un
pic en courant, qui décroît lorsque lon tend vers le régime permanent.
Q31. ! Mesurer le facteur de surintensité du courant dalimentation lors du 
démarrage :
amplitude au démarrage
.
amplitude en régime permanent
10/16

0,75

0,65

Enregistrement au démarrage du moteur

Uoourant

------- Utension

.! AVOE. ||
\\ \
..."! !' A
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fll| !' A
Il|| [V O' A
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A......_o> =3 Ëo...Ëoe.--. ....Ëo> :...; mco_mcw ... ...Ëo> Go.... 28589.

0.35 0,45 0,55
Temps (en 5)

0,25

0.15

Figure 7 -- Enregistrement de uoension(t) et ucouram(t) lors du démarrage du 
moteur non-chargé.
Les deux figures du dessous sont des zooms séparés de uoension(t) et ucouram(t)

11/16

On modélise lalternostat par un générateur de Thévenin sinusoïdal. On note E 
lamplitude de sa
tension à vide et r!" sa résistance interne.
À laide de la figure 7, on peut montrer que limpédance électrique du moteur 
sécrit Z = - jY, où
j2 #$
régime permanent, on
suppose que Y,-!" (il nest pas demandé de démontrer ces affirmations). On 
notera que
lévolution temporelle de limpédance électrique du moteur est suffisamment lente 
pour considérer
que le régime sinusoïdal forcé est réalisé à chaque instant.
Q32. ! À partir des mesures expérimentales, déterminer les valeurs numériques 
de E et de r!" .
Q33. ! En général, lenceinte dans laquelle est placée la machine frigorifique 
contient plusieurs
prises de courant, alimentant différents appareils. En supposant ces prises en 
parallèle,
expliquer pourquoi il est préférable déviter le pic de courant au démarrage du 
moteur.
Conclusion : une commande de la machine frigorifique du type « marche  arrêt » 
génère des pics
en courant qui peuvent perturber le réseau dalimentation électrique. Une 
commande progressive de
la vitesse de rotation du compresseur permet déviter ce désagrément. Cela est 
étudié dans la
dernière partie du sujet.
III.2 - Dépendance du facteur de puissance avec la charge du moteur (régime 
permanent)
Les trois figures nécessaires au traitement de cette partie se trouvent dans le 
document réponse DR2
à rendre avec la copie. La figure 13 présente un enregistrement de ucourant ./0 
et utension ./0 en
régime permanent, le moteur étant chargé par une génératrice à courant continu 
connectée à un
rhéostat (résistance variable). La figure 14 est un zoom de la figure 13. La 
figure 15 représente le
facteur de puissance cos.120 en fonction de la puissance moyenne électrique 
consommée par le
moteur. On rappelle que 13#4#3u #%#3i est le déphasage tension-courant aux 
bornes du moteur.
La pince ampère-métrique délivre une tension proportionnelle au
courant traversant le fil dalimentation autour duquel elle a été placée.
La pince peut être assimilée à une bobine torique en circuit ouvert,
similaire à celle représentée sur la figure 8. Sur ce schéma, le fil
dalimentation serait placé selon laxe z.
Q34. ! Expliquer en quelques mots et sans calcul le principe de
fonctionnement de la pince, en donnant :
!! le nom et lexpression mathématique de la loi physique à
lorigine du fonctionnement de la pince ;
!! les différents paramètres physiques influençant le facteur de
proportionnalité entre le courant mesuré et la tension délivrée.

Figure 8  Schéma dune
moitié de bobine torique

Q35. ! Expliquer pourquoi la position de la pince ampère-métrique le long du 
fil dalimentation na
pas dincidence sur la mesure du déphasage tension-courant.
Q36. ! Donner (sans démonstration) lexpression de la puissance électrique 
moyenne 5P6
consommée par le moteur en fonction de lamplitude I du courant qui le traverse, 
de lamplitude
U!"#!$%!&#'()*'!+!(#(!,*-'#(!#&!".!"/01%(%2#!34!&#'()*'56*.-%'&7!
12/16

Q37. ! À partir des figures 13 et 14, déterminer le facteur de puissance et la 
puissance électrique
moyenne consommée par le moteur lors de cet enregistrement. On fera apparaître 
explicitement
sur ces figures les grandeurs relevées. On précisera sur la copie les 
difficultés rencontrées pour
extraire les données nécessaires à la détermination des deux grandeurs 
recherchées.
La figure 15 a été tracée d'après huit autres enregistrements similaires à 
celui présenté sur les
figures 13 et 14. Chaque point correspond à une charge différente du moteur. 
Plus le moteur est
chargé, plus la puissance moyenne consommée est élevée.
Q38. ! Ajouter sur la figure 15 le point correspondant aux mesures effectuées à 
la question
précédente. On souhaite à présent estimer un ordre de grandeur des incertitudes 
de mesure sur le
facteur de puissance et la puissance moyenne consommée par le moteur :
!! repérer la source d'incertitude dominante sur la mesure du déphasage, puis 
estimer sa
valeur. Donner alors l'intervalle dans lequel se trouve la valeur expérimentale 
de !" ;
!! pour estimer l'incertitude sur cos#!"$, calculer les cosinus aux bornes de 
l'intervalle
précédent et en déduire l'incertitude sur le facteur de puissance ;
!! estimer les incertitudes relatives sur U, puis sur I ;
!! en déduire la source d'incertitude principale sur la puissance moyenne ;
!! en déduire l'incertitude sur la puissance moyenne ;
!! finalement, dessiner les barres d'incertitudes au niveau du point ajouté sur 
la figure 15.
Q39. ! Rappeler la raison pour laquelle le fournisseur d'énergie électrique 
(EDF par exemple)
oblige les utilisateurs à avoir un facteur de puissance élevé.
Conclusion : le facteur de puissance n'est optimal que pour une charge élevée, 
donc lorsque la
machine frigorifique fonctionne à pleine puissance. Une commande du moteur en 
vitesse peut
permettre d'optimiser le facteur de puissance quelle que soit la charge du 
moteur.

IV - Commande de la variation en température
L'objectif est de mettre en place une commande de variation en température de 
la source froide.
L'objectif principal de la commande est de maintenir les sorties proches d'une 
valeur de consigne
en température C(p) et de se stabiliser après une perturbation. L'objectif de 
précision est d'avoir
un écart statique de 0 % après 3s pour une consigne en échelon.
L'ensemble {variateur de vitesse ­ moteur ­ système frigorifique} sera appelé 
processus et se
modélise par un premier ordre avec retard de constante de temps Tpro (120 s) de 
gain statique !"pro
(1,7) et de retard T (50 s). Sa fonction de transfert est H%&'#%$ ()(

S%&'#%$
MV#%$

.

Le premier correcteur envisagé est un correcteur proportionnel intégral (PI) de 
constante de temps
Ti et de gain statique K (figure 9).

13/16

C#$%&

'$()#$%&

K ! $1 " Ti ! p %
K pro ! e
!"#$%& 1 "
Ti ! p
Tpro ! p
#T ! p

+
-

Figure 9  Structure de la commande avec correcteur PI
Q40. ! Justifier lutilisation du correcteur proportionnel intégral vis-à-vis du 
critère de précision.
Q41. ! Donner la valeur de Ti afin de compenser le pôle dominant du processus.
La courbe du document réponse DR3 montre le diagramme de Bode de la FTBO sans 
retard avec
K = 1 et la valeur de Ti réglée à la question Q41.
Q42. ! Tracer sur le document réponse DR3 la courbe de phase modifiée par le 
retard.
Rappel : le retard est modélisé par la fonction e-T.p 
!"#$!%!#&!'%$&!#&$(%$)*!*(!#&*!+,%-*!.*!/012!
Q43. ! Mesurer les marges de phases et de gain.
Q44. ! Régler K afin davoir une marge de gain de 12 dB minimum et de phase de 
45° minimum.
La figure 10 montre la simulation de lévolution de la température du système 
pour le correcteur PI
réglé dans les questions précédentes, mais aussi pour un correcteur à commande 
prédictive que
nous étudierons par la suite car adapté à ce type dapplication. Les conditions 
de simulation sont un
retard de 60 s, une consigne échelon de - 18 °C et une perturbation de + 5 °C à 
linstant t = 700 s.

Figure 10  Comparaison réponse temporelle pour un correcteur PI et un 
correcteur prédictif
Q45. ! Commenter la capacité du correcteur prédictif à atténuer la perturbation.
14/16

Les questions suivantes ont pour objectif d'analyser la programmation de la 
commande prédictive
permettant d'obtenir le résultat de la figure 10.
Le principe de la commande prédictive est de disposer d'un modèle interne qui 
va permettre de
prédire la sortie théorique Sm(p). Cette prédiction est comparée à la sortie 
réelle Spre(p) et l'écart
entre les deux va générer, à l'aide d'un algorithme (correcteur PFC), une 
nouvelle consigne MV(p).

1 "

K
T

m

! p

m

Sm(p)&
SP#$%&

K

*+,&
!"#$%&

pro

1 "

!

T

#T ! p

e
pro

! p

'$()#$%&

Figure 11 ­ Structure de la commande avec correcteur prédictif (PFC)

Pour pouvoir implanter une commande prédictive, il faut en étudier son 
algorithmique car le
correcteur est numérique. La première étape est la simulation du modèle qui 
servira à la
comparaison.
Comme le processus se modélise selon un ordre 1, le modèle interne retenu est 
lui aussi d'ordre 1,
%'!"#$

de fonction de transfert H!"#$% &% MV

"#$

avec une constante de temps $m (120 s) et un gain statique %m

(1,7 °C par point).
Q46. ! Tracer sur le document réponse DR4 l'évolution de la réponse du système 
modélisé par un
ordre 1 de gain statique 1°C par point et de constante de temps 10 s à un 
échelon d'amplitude de
100 points (point est l'unité numérique de commande).
Le programme permettant de simuler le comportement d'un ordre 1 échantillonné 
est donné dans le
document réponse DR4.
Q47. ! Tracer le graphique obtenu à partir de cet algorithme sur la même figure 
que le tracé
théorique de la question Q46.
Le programme complet utilisant la commande PFC est donné dans le document 
réponse DR5 pour
les questions Q48 et Q49. Comme le montre le schéma bloc figure 12, il prend en 
compte une
saturation et une perturbation. La consigne SP(p) est un échelon de température 
de - 18 °C et la
sortie est la température effective CV(p).

15/16

1 !

K
T

m
m

# p

Sm(p)%
SP'#$%

,-(%

&"'#$%
("#$%

O(p)%

K
!"#$%

pro

1 !

#

T

"T # p

e

pro

"%
!%

# p )#*+'#$%

Figure 12  Schéma bloc complet
Q48. ! Indiquer dans le programme les lignes qui correspondent à la saturation 
et à la perturbation.
Quelle est lamplitude de la perturbation ? À quel instant arrive-t-elle ?
On donne le résultat de lalgorithme dans le tableau 1 pour ii = 800 :
SP[800]
- 18

Sm[800]
- 19,798

Sm[800-60]
- 18,48

CV[800]
- 15,64

MV[800]
- 13,165

MV[800-60]
- 12,27

Tableau 1  Résultats de lalgorithme pour ii=800

Q49. ! Donner les valeurs de SP[801], Sm[801], CV[801] et MV[801]. (trois 
chiffres significatifs.)
Q50. ! Conclure sur la capacité du correcteur à atténuer une perturbation ainsi 
que la précision.

16/16

I M P R I M E R I E N A T I O N A L E ­ 17 1188 ­ D'après documents fournis

FIN

NE RIEN ÉCRIRE

Examen ou Concours : Concours Communs Polytechniques

Série* : PSI

Spécialité/option :
Repère de l'épreuve :
Épreuve/sous-épreuve :

Modélisation et Ingénierie Numérique

Si votre composition
comporte plusieurs
feuilles, numérotez-les
et placez les
intercalaires dans le
bon sens.

(Préciser, s'il y a lieu, le sujet choisi)

Appréciation du correcteur* :

Note :
20

* Uniquement s'il s'agit d'un examen.

PSIMI06

DOCUMENT RÉPONSE

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B

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&+-./*+)*/

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DR2 : Question 37

Tensions (en Volts)

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...»....:"nu...-"'"...u.. :
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y...-u......"um _" __

.....Ioclnooolllnd

Figure 13 -- Enregistrement de utension (t) et ucourant (t) en régime permanent.

3/8

DR2 : Question 37

Tensions (en Volts)

O

W
00

(sw ua) sd...aj_

.n-ctn"'°"

...
Slopo-Ü"'"" '" '

1umnoan

Figure 14 -- Zoom de la DR2 Figure 13

4/8

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m
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0
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!

!
!
!"#$

DR4 : Questions 46 et 47
Code Python

1 n=5 #nombre échantillon

2tf= 109#durée de la simulation

3w=[i for i in range(0,tf,tflln) l# définition du vecteur temps
4TI=IO# constante de temps du modèle

5Kn=l# gain du modèle

6Tech=tf/n;# calcul de la periode d'échantillonnage

7 an=exp( --Tech/Tm)

85n=(n)*[91

9for ii in range(n-ll:

19 snlü+11=aæs.liil+mt(1æu)*190

Code Scilab

1 nFS:.//nombre-échantillon

1:15- 100://durée - de- la - simulation

w=1 : ttln: tt: - // -- définition du-- vecteur- temps
1'm=10://-- constante- dew temps- du modèle

Rm=l: , //gain-du-modè1e

Tech=t£/n: // - calcul - de- la -periode- d 'échantillonnage
wexp (--Iech/Tm} : //constante- au

fill--zero: (1,11) : »

9 to:: -- 11-1:1:n--1,

10 Sm(ii+ll=m*3m(ii)+lün* (l--an) * (10°) : //--EOdèle
11 end

D--lûtflü'ùN

100

30

20

10

l
I
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

7/8

DRS : Questions 48 et 49

Code Python

1 "'définition des constantes'"

2 n=1560 #nombre échantillon

3tf= lSOE#durée de la simulation

4u=[i for i in range(fl.tf,tfiln) l# définition du vecteur temps
5Tech=tfin;# calcul de la periode d'échantillonnage

6Kn=l.7; Tn=120; au=exp(-Tech/Tn); bn=1--am;

7Kp=1.7; Tp=126: ap=exp(--Techflp): bp=l-ap;

& TRBF=I45; lh=1-exp( -Tech*3/TRBF) ;

9 "" initialisatim'"

16W=(n)*[61; cv=h)*lel; Su=(n)*[01; DV=(n)*[O]; SP=(n)*IOI; r=68;
11 "'Progrmtion de la c...nde prédictive'"

12 for ii in range(2+r,tf,l):

13 if ii.-(700:

14 wifi]: a
15 else: _ _
16 DVliil=5

17 SP[iil=--18

18 s.liil=æ*sælii-11+bvxæ*nvlü-1]

19 CV[iil=ap'CVlii--ll+bp*(Kp'flVlii-1-- rl+DV[iil )

ze mliil=((svliil - (cvlül+(s--liil -soelii-d )*1) )*1h+s--lül*bæ)1(wboel
21 if mliil>20:

22 _ mliçl=ze
23 ehf HV[J_.1]<-26:
24 Whil=-ZO

Code Scilab

1 //de'fini tion - des- constantes

2 n=1500: -//nombre- échantillon

t£- - 1500:l/durée- de» la-- simulation

w=1 : tit/n: tt: -- //-- définition- du-- vecteur temps
Tech--till:: // - calcul - de- la - periode - d 'échantillonnage
[th-1.7: i'm--120: mxpl--Iech/I'n) : tm=1---an; --
[(p-1.7: -1'p-120: -arexp (--1'echlïp} : -bp'l--ap: --

8 mar--145: ' 1h'1--exp (--Tech*3lïRflï) :

g //- initialisation

10 u-zerostl,tf) : -HV-u: -CV'": -Sm-u: -W'll: -SP'u: l',--60:
11 //Programation- de- la- amande-prédictive

12 for _ ii-2+r: :t£,

cam--tu

13 ..,.ig.n<7oo.thean(ü)'°:>
14 ......e15eW(ii)'5:--
15 » . - end-

15 SP(1i)-18: f/-point-de- consigne

17 CV(ii)=ap'CV(ii--l)+bp* (Rp'bN(ii--l-r)+N(ii) ) : -//--pmessus

13 &!ii)=m*âtii--l) +M*M*W(ii--l) : - //--modèle

19 HV(ii)=( (SP(11)-(W(ii)+(Sn(ii)--Sm(ii--r) )*1) )*1h+Sn(ii) *bm)/ (Rn*hn) :

20 »...-if-W(ii)>20--then-!N(ii)=20: -end
21 r----if-lN(ii)<-ZO-then-HV(11)=--20: end
22 end

8/8

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Modélisation et Ingénierie numérique PSI 2017
Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tom Morel (professeur en CPGE) ; il a été relu par
Olivier Frantz (professeur agrégé en école d'ingénieur) et Julien Dumont 
(professeur
en CPGE).

Ce sujet porte sur les propriétés d'une machine frigorifique et sa modélisation.
Il est constitué de quatre parties indépendantes.
· La première partie est consacrée aux propriétés thermodynamiques de la 
machine. Après un rappel de notions proches du cours, le sujet étudie le cycle 
dans
le diagramme (P, h), dit « diagramme des frigoristes ».
· La modélisation du système proprement dit est étudiée dans la deuxième partie.
On s'intéresse tout d'abord à la simplification du modèle à partir de données
expérimentales. Cette partie repose essentiellement sur des notions du cours de
sciences de l'ingénieur.
· La troisième partie concerne l'existence d'un pic de courant au démarrage du
moteur ainsi que le facteur de puissance. On détermine les caractéristiques
électriques du moteur puis on évalue le facteur de puissance du système à
partir de données expérimentales.
· Enfin, la dernière partie traite de la commande de la variation en 
température. On utilise des notions de FTBO et d'informatique ainsi que la 
lecture de
quelques programmes Python ou Scilab.
Le sujet, de longueur raisonnable, est équilibré entre modélisation et sciences
physiques. Il permet une bonne révision des chapitres abordés.

Indications
Partie I
5 Utiliser la conservation du débit massique en régime permanent.
7 Déterminer l'ordre de grandeur de la taille d'une machine frigorifique.
11 Supposer la transformation isenthalpique et lire sur le diagramme (P, h) la 
différence de pression sur la transformation étudiée.
12 L'enthalpie est une fonction d'état. On peut donc décomposer la 
transformation
en deux étapes.
13 La chaleur latente correspond à la différence d'enthalpie entre les deux 
points
extrêmes d'une isotherme sous la courbe de saturation.
18 L'entropie échangée est nulle pour cette transformation. D'après le deuxième 
principe, on a alors
s = scréée > 0
Partie II
-
-
-
23 Comparer l'amplitude du mouvement selon 
z aux amplitudes selon 
x et 
y.
24 En parallèle, les constantes de raideur s'additionnent.
Partie III
32 Déterminer la valeur de E à partir de la tension en régime permanent.
35 Vérifier la validité de l'ARQS.
37 Calculer l'intensité en utilisant le coefficient 0,1 V.A-1 . Par ailleurs, 
le déphasage  s'écrit
 = 2

t
T

où t est l'écart temporel entre les deux signaux.
38 L'incertitude sur cos() donne

 cos()
max - cos()min

 cos() =
3
Partie IV
40 Il s'agit d'une FTBO de classe 1.
42 L'argument de la fonction complexe est
 = -T -

2

46 Pour t =  = 10 s, ce système d'ordre 1 a atteint 63% de sa valeur finale.

Modélisation d'une machine frigorifique
I. Modélisation du cycle frigorifique
1 Le système considéré est constitué par le fluide. Ainsi, d'après les 
informations
sur le cycle :
· La transformation 1  2 est une compression du fluide. Le compresseur fournit
de l'énergie sous forme de travail à celui-ci. Par conséquent,
w12 > 0
· La transformation 2  3 correspond à l'échange thermique avec la source
chaude. Or, le fluide réchauffe la source chaude donc lui cède de l'énergie, 
soit
q23 < 0
· Lors de la transformation 4  1, la source froide cède un transfert thermique
au fluide, c'est-à-dire que
q41 > 0
2 Il n'y a pas de travail lors des transformations 2  3 et 4  1. L'échange
thermique se fait donc dans le sens naturel. Lorsqu'un corps chaud est en 
contact
avec un corps froid, le corps chaud se refroidit et le corps froid se 
réchauffe. Or, dans
le condenseur, le fluide réchauffe la source chaude donc
Tfluide > Tchaud
De même, dans l'évaporateur, la source froide se refroidit. Par conséquent,
Tfluide < Tfroid
3 Dans un réfrigérateur, l'intérieur doit se refroidir donc
La source froide est l'intérieur du réfrigérateur
et la source chaude l'air ambiant de la maison.
4 Notons v la vitesse d'écoulement et S la section. La vitesse étant uniforme, 
le débit
massique Dm s'écrit
Dm = µ S v
5 En régime permanent, le débit massique se conserve. Or, la section des 
canalisations est constante. D'après la question 4, on a
µ v = Cte
Avant la compression, la masse volumique est minimale. Par conséquent,
La vitesse du fluide est maximale juste avant compression.
6 D'après le diagramme (P, h), on lit approximativement h1 = 390 kJ.kg-1 et
h2 = 440 kJ.kg-1 , soit h12 de l'ordre de 50 kJ.kg-1 . Or, l'énergie cinétique 
massique maximale ec vaut
1
ec = v max 2 = 0,5 J.kg-1  h12
2
Les variations d'énergie cinétique sont négligeables devant celles d'enthalpie.
On peut donc retirer le terme « cinétique » de l'expression du premier principe.

7 La taille d'une machine frigorifique est de l'ordre de z = 1 m. L'énergie 
massique
de pesanteur gz est de l'ordre de 10 J.kg-1 . On constate que cette énergie est 
aussi
négligeable devant la variation d'enthalpie. Ainsi,
Les variations d'énergie de pesanteur sont négligeables devant celles 
d'enthalpie.
On peut donc retirer le terme de « pesanteur » de l'expression du premier 
principe.
8 Le point 1 se situe sur l'isotherme T1 = -20 C. La température de la vapeur 
saturante correspond à la température du palier qui se situe dans la courbe de 
saturation.
On lit Tsat (Pbp ) = -30 C. Il vient
T1 - Tsat (Pbp ) = 10 C

9 Reprenons le raisonnement précédent. À l'état 3, T3 = 30 C et le palier est à 
la
température Tsat (Php ) = 40 C. Par conséquent,
T3 - Tsat (Php ) = -10 C
10 Les parois sont calorifugées donc q34 = 0. En outre, il n'y a pas de pièce 
mobile
donc w34 = 0. D'après le premier principe établi à la question 7,
h34 = 0
Cette étape est donc bien isenthalpique.
11 Lors d'une transformation isenthalpique, h = 0. Du point 3 jusqu'à la courbe
de saturation, la masse volumique du liquide µliq ne varie pas. On obtient alors

P
P

=
µliq
µliq
Comme h = u + P/µ et h = 0, il vient
P
u = cv T = -
µliq
D'après le diagramme (P, h), P  -2 bar et µliq = 1,3 · 103 kg.m-3 . Finalement,
T = -

P
= 0,2 K
cv µliq

Cette variation de température est bien négligeable devant celle de la 
transformation 3  4 qui est de l'ordre de 60 K.
Une isenthalpique est bien assimilable à une isotherme.
P

12 Décomposons la transformation en deux étapes
(voir le schéma ci-contre) :
· De A à B, la température du liquide varie de
T3 à T4 . Sa variation d'enthalpie vaut donc
hAB = cP (T4 - T3 ) ;

A
B

C
h

· De B à C, une fraction massique xvap de liquide se vaporise à la température 
T4 . Or, Lvap correspond à l'énergie massique de vaporisation. La variation
d'enthalpie est hBC = xvap Lvap (T4 ).
L'enthalpie est une fonction d'état donc sa variation lors de cette 
transformation
correspond à la somme des deux variations précédentes. Ainsi,
hvap = xvap Lvap (T4 ) + cP (T4 - T3 )