CCP Modélisation et Ingénierie numérique PSI 2016

Thème de l'épreuve Suspension magnétorhéologique
Principaux outils utilisés sciences de l'ingénieur, mécanique des fluides, magnétostatique
Mots clefs suspension, magnétorhéologie, asservissement, amortisseur, identification de paramètres

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                                                        

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
        

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2016 PSIMI06 ! ! ! EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" ! MODELISATION ET INGENIERIE NUMERIQUE Jeudi 5 mai : 8 h - 12 h! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" ! ! ! ! ! ! Les calculatrices sont interdites ! ! Le sujet comporte 19 pages de texte de présentation et énoncé du sujet. ! Le sujet est composé d'une mise en situation et de 3 parties, indépendantes. ! Toute documentation autre que celle fournie est interdite. ! ! ! ! REMARQUES PRÉLIMINAIRES ! ! ! ! ! Il est conseillé d'utiliser des feuilles de papier brouillon afin de mettre au point les développements ! mathématiques, schémas, graphes et courbes, avant de les recopier au propre sur la copie. ! ! Il est demandé au candidat de bien vouloir inscrire les résultats et les développements nécessaires aux ! différentes questions sur sa copie, en précisant bien le numéro de la question traitée et, si possible, ! dans l'ordre des questions. Les résultats attendus seront obligatoirement encadrés. ! Même s'il est conseillé de traiter les parties dans l'ordre du sujet pour comprendre la logique d'enchaî! nement des questions, le candidat pourra, s'il le souhaite, tirer profit de l'indépendance des parties. ! Chaque partie possède ses propres notations. ! 1/19 ! Suspension magnétorhéologique I Mise en situation Figure 1 ­ Mise en oeuvre de la suspension sur un véhicule La suspension sur un véhicule est le terme donné au système composé des ressorts, des amortisseurs et des liaisons mécaniques qui connectent le châssis du véhicule aux roues. Dans une suspension, l'amortisseur joue un rôle central en répondant à un double objectif : il contraint l'élasticité du ressort de suspension et limite ainsi les mouvements oscillatoires du véhicule ; il freine le rebond des roues sur les obstacles et maintient celles-ci en contact avec le sol. La modification continue de l'état de la route et des exigences sur la tenue en virage oblige à modifier les caractéristiques de réponses des suspensions. C'est le cas de cette suspension qui est capable de faire varier la raideur de l'asservissement roue par roue. Pour contenir les mouvements de caisse et préserver le confort sur chaussée dégradée, la vitesse de déplacement de la suspension devra être très précise. Ce sujet concerne donc la caractérisation d'un nouveau type de suspension utilisant un fluide magnétorhéologique et son asservissement. Les exigences désirées par les constructeurs l'utilisant (Audi, Ferrari,...) sont fournies et représentées dans le tableau 1. Exigences Critères 1.1 La suspension doit être rapide pour s'adapter à la route 1.2 Le système doit résister au poids de la voiture 1.3 L'asservissement du système doit être stable Temps de réponse à un échelon (T r5% ) Charge maximale sur l'amortisseur Marge de phase Valeur < 35 ms < 800 kg > 45 Tableau 1 La suspension magnétorhéologique (MR), ou MagneRide (dénomination commerciale), fait appel à des amortisseurs à orifices fixes et fluide magnétorhéologique. En cas de besoin de raidissement, les bobines électriques à la périphérie de l'orifice sont alimentées en courant, ce qui provoque l'attraction des particules souples magnétisées en suspension dans le fluide et augmente la résistance à l'écoulement. 2/19 Pour caractériser les paramètres de cette suspension, une suspension MR de taille réduite sera montée sur un banc d'essai et sollicitée. Tout d'abord, il faut identifier les paramètres importants de ce type d'amortisseur. Une modélisation de cet amortisseur sur un véhicule est réalisée dans la première partie. La deuxième partie porte sur l'étude d'une suspension réduite utilisée pour l'expérimentation. Cette partie étudie une modélisation de l'écoulement du fluide dans l'amortisseur, puis une modélisation de l'influence du caractère ferromagnétique du fluide et enfin une modélisation du circuit magnétique et du circuit électrique de l'amortisseur. Dans la dernière partie, une expérimentation sur le quart d'un véhicule réel est réalisée. Ce système est soumis à des sollicitations sinusoïdales. Cette partie comporte une identification de l'amortisseur pour des sollicitations sinusoïdales puis la caractérisation du correcteur afin de valider le critère de stabilité de la suspension. II Caractérisation et modélisation de l'amortisseur L'étude effectuée dans cette partie repose sur un modèle de quart de véhicule simplifié qui sera expérimenté dans la suite. Ce modèle permet de saisir le comportement vertical de l'ensemble caisse-rouepneu. Il est constitué d'une masse suspendue (caisse) qui repose, par l'intermédiaire de la suspension, sur la masse non suspendue (roue) qui repose elle-même sur le sol par l'intermédiaire du pneumatique. La masse suspendue représente le quart de la masse de la caisse du véhicule. La suspension proprement dite est représentée par un ressort monté en parallèle avec un amortisseur. Objectif L'objectif de cette partie est de modéliser le banc d'essai. La modélisation retenue est représentée par la figure 2. #$%&&' !(" & ( )$ $*% !+" ' ,&&%'- !." #" !%" /0-' !1" 23'-4$*%5-' !6" ) # $! $ " ! Figure 2 ­ Schéma cinématique du modèle quart de véhicule 3/19 Hypothèses ­ Aucun frottement sec n'est considéré. ­ Seul le mouvement vertical de la voiture (caisse-essieu-roue) est pris en compte. ­ Le rayon de la roue est négligé. ­ Le contact roue/sol est permanent. ­ La masse de l'essieu est négligée. ­ La masse de la roue est négligée. ­ On considère que la vitesse et l'accélération de la roue sont négligeables devant celle de la caisse zr (t) = 0 et z¨r (t) = 0. La masse m est associée à la portion de poids du quart de véhicule reposant sur la roue comme cela est expliqué dans l'introduction. Soit R(O,x,y,z) le repère galiléen prenant la route comme solide de référence. Soit G le centre de gravité de la caisse, tel que : O1G = ay + (zm (t) - zr (t))z. On note : ­ m la masse du quart de la caisse en kg. ­ k la constante de raideur du ressort en N.m-1 . ­ c le coefficient de frottement fluide dans l'amortisseur en N.(m.s-1 )-1 . Données ­ Action mécanique due à l'amortisseur sur la caisse en négligeant zr (t) : Fa = -c(zm (t))z . {TAmortisseurcaisse } = - 0 (1) A ­ Action mécanique due au ressort sur la caisse : Fr = -k(zm (t) - zr (t))z {TRessortcaisse } = - 0 A ­ On notera une action mécanique de la forme : Xi j Li j Y M Ti j = ij ij Z N i j i j R P . (2) (3) où ­ Xi j , Yi j , Zi j sont les composantes de la résultante du torseur Ti j dans le repère R(O,x,y,z). ­ Li j , Mi j , Ni j sont les composantes du moment du torseur Ti j au point de réduction P dans le repère R(O,x,y,z). Q1. Donner la forme du torseur d'action mécanique transmissible des liaisons en A, B et C. Exprimer le torseur de l'action mécanique de la pesanteur sur la caisse T pesanteurcaisse . 4/19 Q2. Appliquer le Principe Fondamental de la dynamique à la caisse en résultante suivant z. Écrire l'équation différentielle en fonction de zm (t) et zr (t) et de leurs dérivées temporelles éventuelles. On pose : zm0 (t) - mg = zm (t). k Q3. Réécrire l'équation différentielle précédente en effectuant le changement de variable défini ci-dessus. Q4. Effectuer le passage de l'équation différentielle dans le domaine de Laplace en considérant des conditions initiales nulles. On notera Zm0 (p) = L [zm0 (t)] et Zr (p) = L [zr (t)]. La mettre sous la forme donnée ci-dessous en exprimant les constantes K, 0 et 0 . H(p) = Zm0 (p) = Zr (p) 1+ K 20 0 p+ 1 20 p2 . H(j!)=2e0j Afin de comparer les performances entre l'amortisseur magnétorhéologique et un amortisseur classique, on fait varier la fréquence d'excitation au moyen d'un moteur pour les deux amortisseurs. On fait varier cette fréquence d'excitation du moteur entre 0 et 20 Hz. Sur la figure 3 est tracé le gain de Zm0 ( j) la fonction de transfert H( j) = de la suspension caractérisant le rapport d'amplitude entre Zr ( j) la caisse et la roue en fonction de la pulsation , pour les deux systèmes, pour différentes valeurs du taux d'amortissement. On définit 0 = sky pour un amortissement magnétorhéologique et 0 = pour l'amortisseur classique. "#$%&'( (avec !=1) Figure 3 ­ Courbe de gain du diagramme de Bode Q5. Commenter l'amortissement des vibrations en fonction de la fréquence pour 0 = 0,5 et 0 = 1,5 dans le cas de la suspension MR et dans le cas d'une suspension classique. 5/19 III Description de l'amortisseur à fluide magnétorhéologique Objectif Modéliser l'écoulement du fluide dans l'amortisseur et montrer que l'amortisseur exerce sur = - V où V est la vitesse de la roue la roue une force d'amortissement de la forme F perpendiculairement à la route. -z ). À l'inL'amortisseur est constitué d'un fluide enfermé dans un cylindre de révolution d'axe (O térieur de ce cylindre se trouve un piston, de même diamètre que le cylindre, percé d'une valve. On suppose que le piston coulisse sans frottements à l'intérieur du cylindre. Le fluide enfermé dans le cylindre est ici une huile, que l'on supposera newtonienne (en absence de champ magnétique) et incompressible. Lorsque le véhicule roule sur une anfractuosité de la route, le piston se déplace dans le cylindre et le fluide passe d'un coté à l'autre du piston en s'écoulant par la valve. Le corps du piston est constitué d'un matériau ferromagnétique doux (acier) et d'une bobine parcourue par un courant électrique d'intensité i. Le tout forme un circuit magnétique dont la valve est l'entrefer. Données et notations utilisées Les données ci-dessous sont celles de l'amortisseur de taille réduite utilisé pour réaliser les expériences : ­ coefficient de viscosité dynamique de l'huile MR : = 1,0 Pa.s ; ­ masse volumique de l'huile MR : = 3,0 kg.L-1 ; ­ perméabilité magnétique relative de l'acier : µ1 5 000 ; ­ perméabilité magnétique relative de l'huile MR : µ2 2,5 ; ­ rayon du piston (S p sa surface) : r p = 10 mm ; ­ rayon interne de la valve : r1 = 7,0 mm ; ­ rayon externe de la valve : r2 = 8,0 mm; ­ rayon moyen de la valve : rm ; ­ circonférence moyenne de la valve : w = 2rm ; ­ épaisseur de la valve : e = 1,0 mm ; ­ longueur du piston : L = 20 mm ; ­ vitesse caractéristique de déplacement du piston : 0 < V0 < 100 mm.s-1 ; ­ intensité du courant électrique circulant dans la bobine : i ; ­ nombre de spires (jointives) de la bobine : N ; ­ rayon interne de la bobine : r0 = 3,0 mm ; ­ hauteur de l'entrefer : h = 1,0 mm ; ­ développements limités en 0 : ( - 1) 2 ­ (1 + x) = 1 + x + x + (x2 ) ; x0 2 x2 + (x2 ) ; ­ ln(1 + x) = x - x0 2 ­ lors des applications numériques, on utilisera les données suivantes : ­ 16 50 ; ­ 0,1963. 16 6/19 Figure 4 ­ Amortisseur à fluide magnétorhéologique Sur les figure 5.(b) et figure 5.(c) et dans toutes les suivantes, le fluide circule dans la partie annulaire en gris foncé. III.1 Modélisation de l'écoulement du fluide dans la valve = - V0uz On suppose que le piston est animé d'un mouvement de translation verticale de vitesse V dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Q6. Expliquer pourquoi le caractère incompressible du fluide implique un écoulement de celui-ci à travers la valve en sens inverse par rapport à la vitesse de déplacement du piston, puis donner l'expression du débit volumique du fluide Dv à travers la valve en fonction de V0 et S p . On fait les hypothèses suivantes. i) ii) iii) iv) v) vi) vii) L'écoulement est stationnaire. L'écoulement est étudié en absence de champ magnétique. L'influence de la gravité est négligeable. La vitesse caractéristique U de l'écoulement est bien supérieure à V0 . L'épaisseur e de la valve est négligeable devant son rayon de courbure moyen rm . Les pressions sont supposées uniformes de part et d'autre du piston. Le nombre de Reynolds de l'écoulement est très inférieur à 1. Ces hypothèses permettent de modéliser l'écoulement dans la valve par un écoulement de Poiseuille entre deux cylindres immobiles de rayon r1 et r2 , de rayon moyen rm et de longueur L. On utilise comme référence la base cartésienne (u x ,uy ,uz ) représentée par la figure 5 à laquelle on associe la base cylindrique (ur ,u ,uz ). 7/19 Figure 5 ­ Schématisation de l'amortisseur à fluide magnétorhéologique Le champ des vitesses est supposé de la forme v = vz (r)uz en coordonnées cylindriques. Q7. Dans ces conditions, l'écoulement est régi, en coordonnées cylindriques, par l'équation suivante : 1 d dvz P uz . [ (r )]uz = (4) r dr dr L où P = P(z = L) - P(z = 0) est la perte de charge du fluide lors de son écoulement à travers la valve. Quelles sont les conditions aux limites vérifiées par vz (r) en r = r1 et r = r2 ? Q8. Résoudre l'équation (4) et montrer que le champ des vitesses s'écrit : r vz (r) = C1 [(r2 - r12 ) - C2 ln( )] . r1 où C1 et C2 sont des constantes que l'on exprimera en fonction de L, , P, r1 et r2 . 8/19 (5) Figure 6 ­ Vue en coupe transversale du piston, w est la circonférence moyenne de la valve Q9. On pose : r = r1 +, exprimer vz () en fonction de L, , P, r1 et e. Effectuer un développement e limité à l'ordre 2 en et que l'on supposera du même ordre de grandeur et montrer que : r1 r1 P vz () = ( - e) . (6) 2L Q10. En utilisant l'équation (6), montrer que le débit volumique à travers la valve est : Dv = - we3 P . 12L (7) On utilisera avec pertinence le fait que l'expression obtenue à la question précédente est identique à celle d'un écoulement de Poiseuille entre deux plans parallèles. Q11. Un logiciel de calcul numérique permet de calculer le débit volumique à partir de l'équation (5) et donne Dv = -1,964.10-10 P. Discuter la pertinence de l'approximation effectuée. Q12. Exprimer la résultante F p des forces de pression s'exerçant sur le piston. Q13. Évaluer littéralement l'ordre de grandeur de la norme de la résultante des forces de viscosité s'exerçant sur le piston et montrer qu'elle est négligeable devant la norme de la résultante des forces de pression s'exerçant sur le piston. Q14. En déduire que l'amortisseur exerce sur la roue une force d'amortissement de la forme où V est la vitesse de la roue perpendiculairement à la route. Donner l'expresF = - V sion de en fonction de L, , e, w et S p . Q15. Calculer la valeur de . La valeur typique de pour une automobile est v 104 kg.s-1 . L'amortisseur présenté pourrait-il être monté sur une automobile? 9/19 III.2 Influence du caractère ferromagnétique du fluide Objectif Caractériser le facteur d'amortissement de l'amortisseur. Le fluide magnétorhéologique est une suspension colloïdale de particules ferromagnétiques (typiquement du fer) d'un diamètre compris entre 0,1 µm et 10 µm. Les particules ferromagnétiques s'organisent sous forme d'agrégats sous l'action d'un champ magnétique et altèrent les propriétés du fluide qui semble changer de viscosité d'un point de vue macroscopique. Sous l'action d'un champ magnétique, les particules ferromagnétiques s'organisent sous forme de chaînes selon la direction du champ (figure 7). Le mécanisme de formation des agrégats lors de l'application d'un champ magnétique B magnétique est représenté figure 8. Figure 7 ­ Image au microscope électronique des particules ferromagnétiques du fluide MR sans champ magnétique (à gauche) et en présence d'un champ magnétique (à droite) Figure 8 ­ Schématisation de la formation des agrégats de particules de fer lors de l'application d'un champ magnétique Q16. En présence d'un champ magnétique, expliquer qualitativement la formation des agrégats de particules ferromagnétiques (figure 8). Q17. En considérant la figure 9, sur quelle plage de vitesse peut-on considérer que l'amortisseur ? Est-ce acceptable? exerce sur la roue une force d'amortissement de la forme F = - (H)V 10/19 Figure 9 ­ Évolution de la norme de la force d'amortissement F en fonction de celle de la vitesse du piston V pour différentes valeurs de l'excitation magnétique H dans la valve Q18. Le temps de formation caractéristique des agrégats est de 3 ms. Ce temps de réponse est-il acceptable? III.3 Modélisation du circuit magnétique et du circuit électrique de la bobine Objectif Modéliser le circuit magnétique et le circuit électrique permettant de contrôler . Vérifier que le temps de réponse du système est en accord avec le cahier des charges. Le circuit magnétique du piston est représenté figure 10. On supposera que l'acier et le fluide MR et on suppose sont des milieux ferromagnétiques doux. Le vecteur excitation magnétique est noté H que le circuit magnétique canalise la totalité des lignes de champ magnétique. On négligera les pertes fer dans l'acier. Q19. Rappeler les équations de Maxwell-Ampère et de Maxwell-Thomson. Q20. Définir ce qu'est l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) et simplifier l'équation de Maxwell-Ampère dans ce cadre. On se place maintenant et pour toute la suite dans le cadre de l'ARQS. Q21. Retrouver le théorème d'Ampère à partir de l'équation de Maxwell-Ampère. On considère un solénoïde infiniment long de section circulaire de rayon , comportant n spires jointives par unité de longueur régulièrement réparties et parcourues par un courant d'intensité i. Q22. Établir l'expression du champ magnétique créé par ce solénoïde infini en admettant que le champ extérieur est nul. 11/19 Figure 10 ­ Schématisation du circuit magnétique du piston Q23. Que pouvez-vous dire des lignes de champ magnétique dans le cas d'un solénoïde infini? Q24. Dessiner l'allure des lignes de champ magnétique dans le cas d'un solénoïde de longueur finie. Rappeler le lien entre l'équation de Maxwell-Thomson et l'allure des lignes de champ que vous venez de tracer. Q25. Dans le cas du solénoïde infini, exprimer le flux magnétique à travers une spire. Q26. On note Nt le nombre total de spires et l la longueur du solénoïde. Exprimer, toujours en considérant le solénoïde comme infini, le flux propre p à travers les Nt spires. En déduire l'expression de l'inductance propre L p de ce solénoïde. On considère que le vecteur excitation magnétique et le champ magnétique sont uniformes au niveau de la bobine et dans l'entrefer. On note : H1 = H1uz et B1 = B1uz au niveau de la bobine ; H3 = H3ur et B3 = B3ur entre E et D (entrefer). Q27. Au vu de ce qui précède, justifier cette modélisation. 12/19 et H pour un milieu ferromagnétique doux. Q28. Rappeler la relation entre B Figure 11 ­ Vue en coupe transversale du piston Q29. Donner la relation liant B3 , B1 , la section S 1 = r02 de la partie interne du piston, le rayon moyen rm de l'entrefer et la hauteur h de l'entrefer. Une vue en coupe transversale du piston est représentée figure 11. Q30. Évaluer la norme du champ magnétique le long du contour C, représenté sur la figure 10. En sur le contour C, vérifie : déduire que la circulation de H 2eH3 . dl H. (8) C Q31. Appliquer le théorème d'Ampère au contour C. En déduire qu'une modification de l'intensité du courant circulant dans la bobine permet de modifier le facteur d'amortissement de l'amortisseur. Q32. Montrer que l'inductance propre L de la bobine vérifie, en présence du fluide, L = µ2 L0 où L0 est l'inductance propre de la bobine en absence de fluide (µ2 = 1). Q33. Proposer une modélisation pour la bobine réelle en justifiant l'origine physique des composants idéaux qui la composent, à savoir une inductance L et une résistance Rb . Faire un schéma électrique équivalent de la bobine réelle. Q34. On soumet la bobine à un échelon de tension : Ue (t) = E pour t > 0. Établir l'équation différentielle vérifiée par l'intensité i(t) du courant électrique circulant dans la bobine. Donner l'expression du temps caractéristique d'évolution de l'intensité du courant circulant dans la bobine. Q35. Sachant que Rb = 1,7 , vérifier la cohérence des résultats expérimentaux (figure 12) avec l'expression de L trouvée question Q32. Q36. Conclure sur la possibilité d'adapter en "temps réel" le facteur d'amortissement d'un amortisseur à fluide magnétorhéologique. 13/19 Figure 12 ­ Réponse à un échelon de tension de la bobine en présence ou non du fluide MR dans le piston IV Caractérisation expérimentale de la suspension MR Nous voulons maintenant lier la modélisation dynamique de la suspension avec la modélisation physique de l'amortisseur. Dans la réalité, la suspension est soumise à des perturbations et excitations provenant de la route qui représentent les irrégularités de la chaussée. Ces perturbations se décomposent comme une somme de sinusoïdes de différentes fréquences. Pour ces raisons, l'excitateur de la partie II est placé au niveau de la roue pour simuler une route cabossée. La suspension est uniquement pilotée par le courant dans la bobine. Objectif L'objectif de cette partie est de caractériser l'influence du courant sur la réponse de la suspension. Afin de mettre en évidence l'influence de l'effet magnétorhéologique, nous comparons l'amplitude du mouvement de la masse suspendue par rapport à celle du mouvement excitateur (figure 13, page 15). Le profil du mouvement produit par l'excitateur est une sinusoïde d'amplitude 10 mm : zr (t) = 10. sin(.t) . (9) Pour chaque valeur de l'intensité du courant dans l'amortisseur, on fait varier la fréquence d'excitation et on reporte dans un tableau les amplitudes zm et zr maximales. 14/19 #$%&&' !(" & ( )$$*% !+" ' ,&&%'- !." #" !%" /0-' !1" 23'-4$*%5-' !6" ) # $! $ %"&'( " ! Figure 13 ­ Suspension soumise à un profil sinusoïdal. Courbes de zm et zr obtenues sur le banc d'essai IV.1 Identification des paramètres pilotant la suspension Objectif Déterminer la fonction de transfert H(p) = Zm (p) pour chaque valeur du courant et valider le Zr (p) choix d'un capteur de déplacement. Sur la base de l'étude réalisée dans les parties précédentes, le choix des paramètres de la suspension MR à échelle réduite doit être mené. Ces paramètres sont la constante de raideur k du ressort, la masse suspendue m et l'intensité i du courant qui permet de commander l'effet de la bobine. Pour visualiser correctement l'ensemble des réponses émises pour différents courants, un plan d'expériences est réalisé. Pour chaque courant commandé dans la suspension, un diagramme de gain dans le plan de Bode perZm ( j) met de visualiser le rapport [H( j)]db = 20log(| |) pour différentes sollicitations fréquentielles. Zr ( j) Une courbe obtenue pour une valeur de l'intensité i = 0 est reportée sur la figure 14, page 16. Cette courbe a été réalisée à l'aide d'une caméra ccd et d'un opérateur qui relève les valeurs d'amplitudes maximales grâce à cette caméra. Q37. À partir de la courbe de la figure 14, identifier la forme de la fonction de transfert, en déduire le gain K et la pulsation propre 0 . On relève sur la courbe les valeurs de la pulsation de résonance r et de la pulsation propre. r On donne le rapport ( )2 = 0,8725 et 0,06325 0,25. 0 Q38. Calculer le facteur d'amortissement de la fonction de transfert. À partir de l'abaque figure 15, en déduire le temps de réponse de la suspension. 15/19 !" *+,-./012#3145 " %!" %(" %)" %'" %$" %&" ! $ !" $" !"" $"" !#""" 37819:5 (avec 6=1) Figure 14 ­ [H( j)]db = 20 log(| 7*48601*0598).6*0591:-/ #$ Zm ( j) |) pour une intensité de commande de i = 0 Zr ( j) " # %&$'#$ # #$ $ %&$'#$ !" !" #$ !# #$ $ # #$ ()*+,-*./01234)5/-66*4*./ #$ " Figure 15 ­ Temps de réponse réduit en fonction du coefficient d'amortissement z Pour simplifier la mesure et permettre la réalisation optimale du plan d'expérience, le choix d'un capteur de déplacement est décidé. 16/19 IV.2 Caractérisation du capteur de déplacement On se restreint à deux types de capteur de déplacement : ­ un capteur de type capacitif dont le principe repose sur la mesure d'une capacité dont la valeur dépend de la position de l'objet cible ; ­ un capteur optique fonctionnant sur le principe de la triangulation laser : un faisceau lumineux est envoyé sur l'objet cible qui se comporte comme une source secondaire dont on détermine la position (figure 16). Figure 16 ­ Principe de mesure par triangulation laser Les caractéristiques des deux capteurs retenus sont données tableau 2 et la réponse à un échelon de la chaîne d'acquisition associée à chaque capteur figure 17, page 18. La résolution et la linéarité sont données en pourcentage de la plage de mesure (d.p.m). Tableau 2 - Caractéristiques du capteur capacitif (à gauche) et du capteur optique (à droite) Q39. Déterminer le temps réponse caractéristique des chaînes d'acquisitions associées à chaque capteur, systèmes que l'on supposera du premier ordre. Q40. Quel capteur est-il possible d'utiliser? Justifier. On désire maintenant vérifier si le capteur de déplacement convient pour l'étude de la suspension. Q41. Peut-on, avec une bonne approximation, considérer que le capteur de déplacement est un système "instantané"? Justifier. Q42. Simplifier alors la fonction de transfert du capteur. En déduire le nom de cette fonction. 17/19 ()*+,- ()*+,- #& #$ #% #! #$ ' #! ' & & % % $ $ ! ! ! !"!!$ !"!!% !"!!& !"!!' !"!# ! Capteur capacitif !"!!!$ !"!!!% !"!!!& !"!!!' !"!!# Capteur optique Figure 17 ­ Réponse à un échelon (en unité SI) IV.3 Pilotage de la suspension et choix du correcteur Objectif L'objectif de cette partie est de déterminer les paramètres de commande du système asservi pour obtenir un déplacement nul de la suspension. Pour la suspension magnétorhéologique à piloter, le système à contrôler possède un degré de liberté lié à la variable de réglage qui est le courant i dans la bobine de l'amortisseur. L'objectif est de maîtriser la position de la masse (donc de sa vitesse vm , en terme énergétique). Un confort idéal serait d'avoir une position fixe de la caisse quelles que soient les perturbations, c'est-à-dire une vitesse de référence nulle vm re f = 0, avec vm (t) = zm (t) la vitesse du quart de caisse. Tous les paramètres et entrées de la suspension sont connus à l'exception du correcteur C(p). On se propose de vérifier l'exigence fournie dans le tableau 3 par les constructeurs automobiles pour la suspension. Critères Valeur Marge de phase > 45 Exigences 1.3 L'asservissement du système doit être stable Tableau 3 Pour cela, le schéma-bloc en boucle fermée du système est représenté sur la figure 18. !" #$%& #'(()*+),( -'./0) Figure 18 ­ Modélisation en boucle fermée de la suspension MR avec : ­ Vm la vitesse de la masse du véhicule ; ­ Vm re f la vitesse désirée. 18/19 De gauche à droite, le premier bloc C(p) représente le correcteur. La sortie correspond àla force totale de référence F mt en N. Le deuxième bloc est l'amortisseur, dont on tient compte du temps de réponse électrique Te. La sortie obtenue est la force d'amortissement F a en N et le dernier bloc représente la caisse sur laquelle on applique la deuxième loi de Newton. Nous désirons valider le critère de stabilité du système. Q43. Calculer la fonction de transfert en boucle ouverte FTBO(p) du système pour C(p)=l. Ce système est-il précis pour une entrée temporelle Vm ref en échelon? Une analyse harmonique de la fonction de transfert en boucle ouverte pour C(p)=l dans le plan de Bode a donné le diagramme asymptotique en gain et en phase sur la figure 19. Amplitude (dB) N -l> au 00 O O 0 O 0 vb :: 0.01 0.1 10 100 1. 00 (rad/s) -100 --120 -140 Phase (°) -160 -180 . . . . . . . . . . , 0.01 0.1 1 10 100 w (rad/S) Figure 19 -- Diagramme asymptotique en gain et en phase dans le plan de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte Q44. Déterminer la marge de phase M (,à. On décide de choisir pour le correcteur C(p) un correcteur de type proportionnel. On note K,] le gain du correcteur. Q45. Déterminer la valeur de Kp permettant de valider exactement l'exigence 1.3 du cahier des charges. Fin 19/19

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Modélisation et Ingénierie numérique PSI 2016 Corrigé Ce corrigé est proposé par Julien Dumont (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Cyril Ravat (Professeur en CPGE). Ce sujet évoque différents aspects d'une suspension magnétorhéologique. Composé d'une mise en situation et de trois parties largement indépendantes, il est assez équilibré entre physique et sciences industrielles. · La première partie se donne pour objectif de modéliser et valider le banc d'essai. Elle ne comporte que 5 questions de mécanique et d'identification de paramètres. · Le but de la deuxième partie est de modéliser l'écoulement du fluide dans l'amortisseur et de montrer que celui-ci exerce sur la roue une force de type frottement visqueux. La mécanique des fluides et l'électromagnétisme ont ici la part belle, les calculs succédant à des raisonnements qualitatifs et des évaluations d'ordres de grandeur. · La troisième et dernière partie cherche à caractériser l'influence du courant sur la réponse de la suspension. À partir d'un modèle harmonique, il s'agit essentiellement de lire des diagrammes de Bode ou de réponses indicielles. Le sujet est assez court mais constitué d'un grand nombre de questions qui appellent pour certaines des réponses d'une page tandis que pour d'autres, une ligne suffit. Il s'agit d'aller vite et de ne pas s'arrêter trop en chemin. Les questions d'identification de paramètres sont nombreuses, celles de mécanique torsorielle quasi absentes. Ce sujet est un peu étrange car il reste finalement superficiel sur la plupart des points qu'il aborde, promettant dans de longues introductions des résultats pratiques intéressants pour finalement ne consister qu'en un relevé de temps de réponse à 5%. Néanmoins, c'est un excellent sujet pour travailler la vitesse, l'efficacité, et apprendre à ne pas s'attarder lorsque l'on bloque. Soulignons enfin que l'énoncé met quasi systématiquement trois chiffres significatifs alors même que les calculatrices étaient interdites : il ne faut donc pas s'attendre à obtenir soi-même une telle précision, mais seulement l'ordre de grandeur de la réponse. Indications dvz 8 Trouver tout d'abord une expression de r puis intégrer celle-ci entre r et r1 . dr Utiliser les conditions aux limites pour trouver C1 et C2 . 12 Il suffit de calculer la résultante des deux forces pressantes s'exerçant sur le piston. v 13 Les forces de viscosité s'expriment en . - . 14 Utiliser les résultats des questions 6 et 10 et ne pas oublier que V = -V - u 0 z 26 Définir le lien entre le flux total et le flux d'une spire. Le lien entre ce flux total et l'inductance est p = Li. 29 Bien définir les surfaces traversées par les différents champs, sachant que celui de B3 doit sortir et entrer. 30 En comparant les perméabilités magnétiques, restreindre le calcul de la circulation sur le contour à celui des entrefers. 37 Attention aux graduations en abscisse du relevé proposé. 38 D'après le cours, r = 0 1 - 2z 2 . 42 L'énoncé ne dit pas jusqu'à quelle profondeur simplifier la fonction de transfert. L'essentiel est d'être cohérent dans sa réponse. II. Caractérisation et modélisation de l'amortisseur 1 L'énoncé propose de représenter le torseur d'une action mécanique en indiquant les composantes de la résultante. · La liaison entre 2 et 3 étant une glissière d'axe - e , z X23 L23 {T2- 3 } = Y23 M23 0 N23 A - · La liaison entre 3 et 4 étant une pivot d'axe ey , X34 Y34 {T3- } = 4 Z34 · La liaison entre 1 et 2 étant une glissière X12 Y12 {T1- 2 } = 0 L34 0 N34 B d'axe - ez , L12 M12 N12 C · Enfin, le torseur de l'action mécanique de pesanteur sur la caisse s'écrit 0 0 {Tpesanteur- caisse } = -mg 0 0 0 G 2 Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la caisse en résultante et en projection selon - ez conduit à mzm (t) = -mg - k(zm (t) - zr (t)) - czm (t) que l'on peut éventuellement normaliser par rapport zm (t) pour obtenir zm (t) + c k k zm (t) + zm (t) = -g + zr (t) m m m 3 Avec le changement de variable proposé, zm0 (t) + c k k zm0 (t) + zm0 (t) = zr (t) m m m 4 Dans le domaine de Laplace, l'équation différentielle précédente se transforme en c k k Zm0 (p) + Zm0 (p) = Zr (p) m m m k Zm0 (p) m = H(p) = c k Zr (p) p2 + p + m m p2 Zm0 (p) + p c'est-à-dire 1 H(p) = m c 2 p + p+1 k k ce qui est la forme demandée avec r c k 0 = K=1 0 = m 2 km ou encore 5 Le module de H est le rapport des amplitudes de Zm0 et de Zr : plus il est faible, plus le mouvement dû à la route est amorti dans l'habitacle. On constate ainsi que les courbes correspondant à une suspension magnétorhéologique sont toujours meilleures que pour une suspension classique, et ce quelle que soit la fréquence. C'est extrêmement visible pour un taux d'amortissement de 0,5 ou 1,5, moins évident sur un taux de 0,16 (mais le système n'est alors presque pas amorti), pour lequel on constate même une résonance. Une petite erreur d'énoncé ici place H et non son module en ordonnée. III. Description de l'amortisseur à fluide magnétorhéologique 6 Lorsque le piston se déplace, les volumes du haut et du bas de la figure voient leurs valeurs changer. Or, le liquide étant supposé incompressible, cela n'est possible que si la masse de fluide elle-même change. Le déplacement de cette masse est nécessairement en sens inverse au déplacement du piston, puisque le volume vers lequel se déplace le piston diminue. Le débit volumique qui intervient est alors par définition Dv = V0 Sp 7 Les conditions en r = r1 et r = r2 correspondent à celles sur les parois. Or, sur celles-ci, il y a adhérence, la vitesse y est donc nulle. v(r1 ) = v(r2 ) = 0 8 Posons dans un premier temps K = P/L. L'équation proposée se réécrit, en , projection selon - u z d dvz r = Kr dr dr dvz K r2 = + K1 dr 2 où K1 est une constante. Une fois que l'on a divisé par r, une seconde intégration entre r et r1 donne K r2 - r1 2 r vz (r) = + K1 ln + K2 4 r1 qui s'intègre en r où K2 est une seconde constante. Or d'après la question précédente la vitesse est nulle pour r = r1 , donc K2 = 0. Pour trouver K1 , il faut utiliser la seconde condition aux limites, v(r2 ) = 0 : K r2 2 - r1 2 r2 0 = vz (r2 ) = + K1 ln 4 r1