CCP Modélisation et Ingénierie numérique PSI 2015

Thème de l'épreuve Dispositif médical d'injection
Principaux outils utilisés asservissements, mécanique du solide, mécanique des fluides, diffusion thermique, informatique
Mots clefs pivot de Gauss, écoulement de Poiseuille, débitmètre à fil chaud

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SESSION 2015 PSIMIO6 _:â=_ CONCOURS COMMUNS - - POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI MODELISATION ET INGENIERIE NUMERIQUE Durée : 4 heures N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'noncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. 'Les calculatrices sont autorisées Le sujet comporte 16 pages dont : -- 14 pages de texte de présentation et énoncé du sujet; -- 2 pages d'annexes. Toute documentation autre que celle fournie est interdite. REMARQUES PRELIMINAIRES Les développements mathématiques, les schémas, les graphes et les courbes seront rendus dans leur forme définitive sur la copie (les brouillons ne seront pas acceptés). Il est demandé au candidat de bien vouloir inscrire les résultats et les développements nécessaires aux différentes questions sur sa c0pie7 en précisant bien le numéro de la question traitée et, si possible, dans l'ordre des questions. Les résultats attendus seront obligatoirement entourés. 1/16 Dispositif Médical d'Injection I Présentation du système Les problèmes de contamination ont engendré le développement de systèmes pour protéger les aiguilles d'injection et ainsi limiter les risques d'accidents. De nombreux dispositifs sont ac-- tuellement développés afin d'améliorer la qualité des injections ou l'ergono-- mie pour les patients pour améliorer l'adhésion au traitement. Actuellement, il existe deux types de contenant pour les solutions médica-- menteuses : le Vial et la cartouche (fi-- gures 1). (b) Cartouche Figures 1 -- Différents contenants actuels I.1 Dispositifs Médicaux d'Injection innovants (DMI) Eveon, jeune start--up dans le monde des dispositifs médicaux d'injection, a l'ambition de réaliser un DMI sécurisé, automatisé et facile d'utilisation. Le dispositif réalisé est un DMI monodose, miniaturisé, automatique et adapté a tout type d'injection. Ce dispositif est présenté schématiquement sur les figures 2. V1al ou cafloucfi'e'.' Coque "\ Perfomæur Acüonneur de descente d'aiguifle et perforation \ Carte de commande ' Micmpompe Packaging Anguille Capteurs de tissus ......-- ---- ...._.._.,,/--' Figure 2 -- Dispositif médicalisé d'injection de l'entreprise Eveon La solution retenue pour la pompe est l'utilisation d'une micropompe a membrane MEMS, permettant de résoudre les problèmes liés a l'utilisation d'un piston. 2/16 Le principe est simple : il s'agit de déformer une membrane délimitant un volume donné afin de créer successivement dans celui--ci des phases de dépression et de sur--pression, permettant via un système de clapet de respectivement aspirer le liquide puis de le refouler. Le principe est décrit sur les figures 3. Solution du vial Actionneur . piezoelectrique Membrane Membrane \ / « ,_ » [w. Clapet Clapets \ , / Cavité à volume variable Solution vers aiguille (b) Fonctionnement des clapets : a) membrane au repos, b) aspiration du liquide, c) refoulement du liquide (a) Structure Figures 3 -- Micropompe a membrane La déformation de la membrane est assurée par un actionneur thermique collé sur la face supérieure de la membrane, mais également par un actionneur piézoélectrique permettant d'as-- surer une action mécanique suffisante sur la membrane en cas de pression élevée dans la cavité de la pompe. En effet, l'actionneur thermique étant peu puissant et la température d'échauf-- fement limitée pour ne pas dégrader le liquide médicamenteux, il est nécessaire de prévoir un actionneur de secours pour assurer les mouvements de la membrane. Le système d'injection ainsi asservi par un système de capteurs de débit (débimètre) est ainsi modélisé par le schéma--bloc fonctionnel simplifié donné sur la figure 15 -- annexe 1. 1.2 Exigences du système Un extrait des exigences du système est donné sur la figure 4 : << Requirement >> Injection automatique de réaliser des injections --v automatiquement. Le système doit permettre '__ « ; ; o 4 ; ; 4 4 ; ; O « ; .; « << Requireinent >> Intégrité solution La solution doit rester à température controlée ([10 °C ; 45 °C]) " ' \ << Requirement >> Rapidité << Requirement >> Précision injection On doit avoir t5% 5 15 s La dose injectée doit avoir un volume précis à i 0,01 mL Figure 4 -- Diagramme partiel des exigences 3/16 Objectif L'objectif de ce sujet est de modéliser le système médicalisé d'injection afin de vérifier les performances du cahier des charges concernant le contrôle de la quantité de solution injectée. II Modélisation de l'asservissement du volume injecté Objectif L'objectif de cette partie est de modéliser l'ensemble de l'asservissement du volume injecté afin de vérifier que le systéme respecte l'exigence du cahier des charges. Dans la suite du sujet, la transformée de Laplace d'une fonction f(t) sera notée F(p). II.1 Actionneur thermique Objectif L'objectif de cette partie est de modéliser le fonctionnement de l'actionneur ther- mique. L'actionneur thermique est une membrane bimétallique qui, sous l'effet thermique, se dé-- forme. Elle fonctionne sur le principe suivant : si on accole deux matériaux possédant des coefficients de dilatation thermique différents, une élévation de la température va provoquer la déformation de la membrane du côté du matériau possédant le coefficient de dilatation le plus élevé (figures 5). Afin d'identifier le comportement de l'actionneur thermique, on réalise un essai en alimen-- tant l'actionneur sous un échelon de tension ut}, : 12 V. Q1. A l'aide de la courbe de réponse obtenue (figure 5b), déterminer la fonction de transfert F K de l'actionneur thermique (supposée du premier ordre) : Hath(p) : "'(p) -- "' Uth(p) _ 1 + Tthp' Effort (N) T° élevée ' / l-- 0 0004 0.008 0.012 0.016 002 T0 basse temps (8) (a) Actionneur thermique (b) Réponse a un échelon de tension Figures 5 -- Actionneur thermique et réponse a un échelon de tension En réalité, l'actionneur thermique est alimenté par une tension hachée, puisqu'il est succes-- sivement chargé et déchargé pour obtenir l'effet de pompage. 4/16 II.2 Ecoulement dans le canal de l'aiguille Objectif L'objectif de cette partie est de modéliser l'écoulement dans une conduite afin de déterminer la relation entre le débit dans la conduite et la pression en entrée de conduite. Le canal de l'aiguille est modélisé par un tube cylindrique d'axe (0.2), de longueur L et de section circulaire de rayon R. Le fluide médicamenteux est assimilé à de l'eau de masse volumique p et de viscosité dynamique 77. L'écoulement unidirectionnel et stationnaire se fait dans le sens des ?: croissants. On note P(0) : P(z : 0) la pression à l'entrée du canal et P(L) : P(z : L) la pression à la sortie du canal. Q2. Rappeler les hypothèses à vérifier pour pouvoir appliquer le théorème de Bernoulli. Si le canal est horizontal, comment s'exprime le théorème de Bernoulli entre l'entrée et la sortie en fonction de la perte de charge Ah homogène à une longueur ? Q3. Définir et évaluer le nombre de Reynolds correspondant à l'écoulement dans l'aiguille de longueur 5 cm et de diamètre intérieur 200 mn dans le cas d'un débit de 5 mL-min_l. La viscosité du fluide est 77 : 1,0.10_3 Pas. Aa: < v2 > Q4. Les pertes de charge régulières sont données par la relation Ah : AË 2 9 est l'accélération de la pesanteur et A le paramètre dit de frottements, sans dimension. Que représente < ?? > ? Quelle est la dimension de Aa: ? Que peut représenter Aa: ? En déduire la perte de charge entre l'entrée et la sortie de l'aiguille. oùg Q5. Un calcul non demandé ici montre que la vitesse moyenne de l'écoulement dans la seringue fï0)---FTL) 877L du fluide noté Q pour cet écoulement. est donnée par la relation < ?} > = R2. En déduire l'expression du débit volumique Q6. Pour une aiguille de longueur 50,0 mm et de diamètre intérieur 0,2 mm, calculer, toujours en négligeant la pesanteur, la valeur numérique de la pression à exercer au sommet de la co-- lonne de liquide pour assurer un débit de 5,0 mL-min_1 a la sortie de l'aiguille. On prendra 77 = 1,0 - 10_3 Pas . Pour la suite du sujet, on supposera que la fonction de transfert représentative du compor-- ----ÊKËL----==KQ==9ÆîMY1nYS_ËNFÏ tement de la conduite s'écrit : Hconduioe(p) : F ( ) charges p II.3 Membrane de la micropompe Objectif L'objectif de cette partie est de modéliser le fonctionnement de la membrane de la micropompe afin de lier les efforts exercés sur la membrane avec le débit effectif de la pompe. II.3.1 Modélisation générale Le comportement de la membrane est modélisé par un assemblage de segments reliés entre eux par des liaisons pivots comme décrit sur la figure 6 page 6. 5/16 Actionneur \v Fmembrane . (, Ê yo Segmen n * . \ : Segment 2 P 0 : Segment 1 Un "+1 \ Segment 0 . » ÿ * . : P \ 50 ' />>_4 3 P "announeur \ . WJ,,,ol -- la raideur de torsion kt est identique pour chaque noeud avec kt : 5 N / rad; -- la norme de l'effort exercé par l'actionneur Fmembrane est : F = 8 N; -- on suppose par la suite que 93 est nul (93 = O). "actionneur __________ 50 Figure 7 -- Modélisation de la membrane avec 2 segments Les 6 équations issues du Principe Fondamental de la Statique appliqué successivement au segment 1 au point 01 puis au segment 2 au point 02, ainsi que les deux conditions limites portant sur 331 et % permettent d'obtenir le système matriciel ci--dessous : _1 0 --19 ---1 0 0 ' }n_ _ 0 _ 0 1 0 0 ---1 0 y1 _}? () 0 ---2kt 0 --:L0 kt 0 91 ---£%9 0 () 0 1 0 --19 -1 () æ2 __ 0 0 0 0 0 1 0 () --1 ' y2 _-- --}> 0 0 kt 0 0 --2@ 0 ---L0 (@ --£%l 1 0 0 0 0 0 0 fig 0 _0 0 0 0 0 0 1 _ }Æ_ _ F'_ Le problème discret mis en équation peut ainsi être traité numériquement. Pour déterminer les déplacements de la membrane en fonction des actions mécaniques, il est nécessaire d'inverser le système matriciel précédent. Pour cela, il est décidé d'utiliser un algorithme basé sur la méthode du pivot de Gauss, permettant de déduire les inconnues de liaisons a:1,y1, &... Une version de l'algorithme du pivot de Gauss est donnée dans l'annexe 2. 7/16 On appelle pour la résolution le programme Gauss et on entre la ligne de commande sol : Gauss(H,G) avec les matrices [H] et [G] suivantes : _1 0 ---10 ---1 0 0 0 0 _ _ 0 _ 0 1_ 0 0 ---1 0 0 0 --10 0 0 ---10 () --(r00125 5 0 0 --(r00625 ÜÎl== 0 () 0 1 0 --10 ---1 0 KH== 0 0 () 0 0 1 0 0 ---1 ---10 0 0 5 0 0 ---10 () --(r00125 --lL00625 1 () 0 0 0 0 0 0 0 _0 () 0 0 0 0 0 1 _ _ 8 _ Q9. Donner la sortie affichée par la ligne de commande A fichage 1 (ligne 37 pour le code Python et 42 pour le code Scilab) a la première itération (i=1) . Remarque : la fonction NP.CONCATENATE(A,B.T), ligne 5 du code python, permet d'as-- sembler A avec la transposée de B par la droite. Le résultat donné par l'application du programme est le vecteur solution suivant : T T 501=[æ1 gn_ 91 aa y2 65 fig gg] ==[0 ---12 (L000916 () ---2 (L0000833 () 8 Q10. En déduire le déplacement de la membrane noté uactionneur sur la figure 7. II.3.3 Modélisation dynamique La modélisation permet de connaitre le comportement statique de la membrane et donc son comportement sous charge. Néanmoins, il est nécessaire d'étudier son comportement dynamique pour évaluer la fonction de transfert de la membrane. Ainsi, la modélisation dynamique revient a écrire le système matriciel suivant : 0 ---J ê1_+ k, --2@ 91 _ --J--nu? --mL2 è2 --aa @ 92 Or, il a été vu a la Q6 que le débit est directement proportionnel a P (via les pertes de charge dans la conduite). Ainsi, le système matriciel précédent peut s'écrire sous la forme : LFfiaP% --LF + P% VHKN-+lBHCÜ+-KËKX==lFl (1) où [O] = [9192] et [F] est une matrice 2 >< 1 exprimée en fonction de F et L. On cherche a résoudre l'équation différentielle (l) a l'aide de la méthode d'Euler a deux pas. Pour simplifier la programmation, nous nous intéressons dans la suite a la résolution d'une équation différentielle d'ordre 2 non matricielle, de la forme : aÿ+bÿ+oy=f où a, b, c et f sont des scalaires et y la solution recherchée. Une partie du programme de résolu-- tion de cette équation par la méthode d'Euler est donnée ci--après, la déclaration des variables 8/16 &, b, c et f étant supposée déjà effectuée. De plus, dt et nbdt correspondent respectivement au pas de temps et au nombre de pas de temps de la simulation. Version Python Version Scilab 1 import numpy as np 1function ddy=derivee2(y,dy) 2 def derivee2(y,dy) 2 ddy : (f--c*y--b*dy)/a 3 ddy : (f--c*y--b*dy)/a 3endfunction 4 return ddy 4function y=Euler_ordre2 (dt ,nbdt) 5 def Euler_ordre2(dt,nbdt): 5 y=[0] //c0nditlon finit .nulle 6 y=[0] #condition finit. nulle 6 dy=[0] //c0nditlon finit. nulle 7 dy=[0] #condition finit. nulle 7 for i=1:nbdt 9 for i in range(nbdt): 8 dy(i+1)= //a completer 10 dy=dy+.... #a. completer 9 y(i+1)=y(i)+dt*dy(i) 11 y=y+[y[i]+dt*dy[i]] 10 end 13 return y 11endfunction Q11. Ecrire la ligne a compléter dans le code précédent permettant d'effectuer une résolution de l'équation différentielle précédente par la méthode d'Euler. Le résultat donne l'évolution de @ en fonction du temps. Il est alors possible de déterminer le déplacement de la membrane en fonction du temps et donc le débit effectif de fluide. On prendra par la suite comme fonction de transfert de la membrane : QQ?) _ Km}? _ 0700023}? F@@)_läfiaai_onduæfl+i' Hmembrane (p) = 11.4 Commande de l'actionneur piézoéIectrique Objectif L'objectif de cette partie est de décrire la commande de l'actionneur piézoé1eo- trique. L'actionneur piézoélectrique (figure 8) est actionné en cas d'insuffisance de l'actionneur thermique a respecter le débit imposé. Cette condition est vérifiée par le capteur de débit étudié ci--après et des capteurs de température disposés sur la mem-- brane. L'objectif de ces capteurs est de vérifier que la tempé-- rature de la membrane ne dépasse pas la valeur imposée par le cahier des charges (45 °C). Q12. En supposant que le capteur de débit fournit la valeur du débit notée qréel et que le capteur de température fournit la valeur de la température notée t...embmne, écrire une fonc-- tion qui s'appelle ACTIONNER(TMEMB) qui retourne la valeur Figure 8 -- Actionneur piézo-- True si t...embmne S 45 et False si t...embmne > 45 selon la tem-- électrique utilisé pérature. Dans la suite du sujet, nous supposerons que l'actionneur piézoélectrique n'est pas activé. 9/16 II.5 Débitmétre a fil chaud Objectif L'objectif de cette partie est de modéliser le fonctionnement du débimétre a fil chaud utilisé comme capteur de débit dans l'asservissement. II.5.1 Principe de base d'un anémométre a fil chaud : loi de King Un anémomètre a fil chaud (non miniaturisé) est constitué d'un fil d'environ EUR = 1 mm de long et de diamètre d de l'ordre de quelques mm. Les mesures sont le plus souvent effectuées dans des souffleries (écoulement d'air allant de 0,1 m/s a plusieurs centaines de m/s). Le principe de l'anémométrie a fil chaud est basé sur le refroidissement éolien et consiste a mesurer la puissance thermique transférée depuis un fil chauffé par effet Joule et refroidi par le passage du fluide. La puissance emportée donne une mesure indirecte de la vitesse d'écoulement V (figure 9). On note m la masse du fil, c la capacité thermique mas-- sique du matériau formant le fil, T... la température du fil, H... la résistance électrique du fil, T 0 la température sup-- posée uniforme du fluide loin du fil. L'intensité du courant Figure 9 -- Fil Châlld dans 17ëCOU-- électrique traversant le fil est ] et la puissance thermique lement transférée du fil vers l'extérieur est noté P.... Q13. Si le fil est plus chaud que l'extérieur, quel est le signe de P... si le système considéré est le morceau de fil ? Q14. Effectuer un bilan d'enthalpie sur le fil et en déduire que T... satisfait a l'équation diffé-- rentielle dT... d--t où l'on déterminera 04 en fonction des données du problème. =Rw 12-- Pth Q15. La puissance thermique évacuée par le fil peut être transférée selon 4 possibilités diffé-- rentes. Lesquelles? Q16. Parmi les 4 possibilités de transfert thermique, nous ne retiendrons que la conduction et la convection vers le fluide. Ce transfert se fait par la surface latérale A du fil. Exprimer A en fonction des dimensions du fil. On appelle 32 le vecteur densité volumique de courants thermiques a la surface du fil. En supposant le fil assez long pour négliger les effets de bord comment est orienté le vecteur jq ? De quelles variables dépend-- il? Si on suppose de plus jq uniforme en norme a la surface du fil, que vaut PH,? . Q17 . 32 a la surface est donné par la relation H j--q' "= h \ T... -- T 0 \. Quelle est l'unité de h ? Q18. Rappeler, en explicitant chacun des termes, l'expression de la loi de Fourier. On intro-- duira la conductivité thermique Àf du fluide environnant. Le nombre de Nusselt N... permet de comparer le transfert thermique avec ou sans écoulement du fluide environnant (N... est d'autant 10/16 plus grand que la vitesse V de l'écoulement est grande). On montre que ce nombre vaut dans le cas du fil chaud Nu = À--. Vérifier que cette quantité est bien sans dimension. f Q19. Montrer alors qu'en régime permanent, l'équation différentielle obtenue Q14 se simplifie en R...]2 : 7TEURÀf(Tw -- TO)Nu. Q20. Application numérique : le fil chaud dissipe une puissance de 0,25 W. La conductivité thermique de l'air est de 0,02 \N-K--1-m_1 et la différence de température est de l'ordre de 200 °C. Que vaut le nombre Nu ? Que dire du transfert par convection par rapport au transfert par conduction ? Q21.En 1914, King a proposé la loi suivante : Nu : a + b\/Îe où Re est le nombre de Reynolds et a et 19 deux coefficients qui ne dépendent pas de la vitesse de l'écoulement V. Quelle est l'expression du nombre de Reynolds dans ce problème ? On introduira le coefficient de viscosité dynamique du fluide noté 77 et la masse volumique du fluide notée p. Comment varie alors Nu avec la vitesse V ? Le fil chaud est fait d'un matériau dont la résistivité électrique dépend de la température de manière affine. La résistance R... du fil s'écrit alors R...(T...) : R0(l + oz(Tw -- T e)) avec oz une constante dépendant du matériau. R...I2 (Rw _ RO) Àf, oz, R...d,a,b,n et de p. Q22. Montrer alors que : 611 + [).../V où l'on exprimera 611 et 191 en fonction de EUR, II.5.2 Electronique d'asservissement : anémométrîe à température constante (CTA) On vient de voir que la résistance du fil dépend directement de la vitesse V de l'écoulement. L'anémométrie a température constante (CTA) consiste a garder la résistance R... constante et donc la température T ... du fil constante. On mesurera donc V a travers les fluctuations de l'intensité ] qui traverse le fil chaud. Q23.La résistance du fil chaud est insérée dans un circuit type << pont de Wheatstone >>. Oe circuit comporte deux résistances égales a R1, une résistance Roe que l'on peut faire varier et le fil chaud représenté par la résis-- tance R.... En utilisant deux diviseurs de ten-- sion bien choisis, montrer que la tension 6 est l l égale à EUR = E (m _ @ OÙ. POD pré-- cisera les expressions de fi et 5 . Quelle est la condition sur R... et Roe pour que le pont soit équilibré, c'est--à--dire e = 0 ? Figure 10 -- Pont de Wheatstone On peut choisir d'équilibrer le pont (6 = 0) en jouant sur la valeur de 3957 ce qui va fixer la température de travail du fil chaud. 11/16 Q24. Si on augmente la valeur de R... est--ce qu'on sélectionne une température de travail plus élevée ou plus faible? Dans le cas d'un fluide médicamenteux, pourquoi vaut--il mieux choisir R,, de telle façon que la température du fil chaud n'excède pas 100 °C ? Lorsque la vitesse V de l'écoulement varie, le pont sera déséquilibré car Rw va varier. Afin de maintenir la température constante, le circuit électrique doit comporter une boucle de ré-- troaction. Le circuit est donné figure 11. L'Amplificateur Linéaire Idéal (ALI) fonctionne en régime linéaire et est idéal. Q25. Que valent les courants d'entrée @ et 2'_ respectivement dans les bornes d'entrée + et -- de l'ALI? Que vaut la tension entre ces deux bornes d'entrée dans le cas d'un fonctionnement linéaire ? Q26. Montrer que ce circuit va permettre d'ajuster le courant I pour que le fil chaud soit maintenu a température constante lorsque la vi-- tesse V de l'écoulement varie. Figure 11 -- Circuit avec rétroaction Q27 . Montrer que la tension de sortie de l'ALI ES vaut yU où l'on exprimera y en fonction de R1 et RU,. En vous appuyant sur les questions Q22 et Q26, montrer que la tension de sortie de l'ALI vérifie la relation E32 : A + B \/V où l'on ne cherchera pas a établir les expressions de A et de B. Cette relation s'appelle la loi de King. II.5.3 Validation expérimentale de la modélisation Comme il est difficile de contrôler tous les paramètres qui interviennent dans la loi de King, les coefficients A et B sont déterminés par un étalonnage empirique. Pour chaque vitesse V de l'écoulement, on relève la tension de sortie E,. Les résultats sont résumés dans le tableau ci--dessous. V'@ns--1) 0 (L5 Le L5 2£>2Æ33l)4Æ)5fl) _ES(V) {ro ao a4 5J'ôp 62 6A.6J'7n Q28. Que vaut le coefficient A ? Q29. La loi de King est un modèle trop fort. On observe qu'il est plus facile d'ajuster les valeurs au modèle suivant : E32 : A + BV" où l'exposant n est compris entre 0,4 et 0,6. Quelle courbe doit--on tracer pour trouver l'exposant n? Déterminer alors cet exposant a l'aide du tableau fourni. 12/16 II.5.4 Le débitmètre a fil chaud MEMS La structure miniaturisée est la suivante : Capot Canal Fil chaud Hcap0t : 500 Hm Z I'Icanal/2 0 Hcanal : 500 Nm --H°...1/2 _ I '" H... = 300 nm «" '"""""""* W = 500 m Couche / oepæur H Hsub : 500 nm fonctionnelle Substrat Figure 12 -- Structure MEMS du débimètre On trouve les données (en unités SI) suivantes pour quelques matériaux : Matériaux Masse volumique Capacité thermique massique Conductivité thermique Silicium 2 330 700 130 Verre 1 650 730 1,4 Plastique 130 1 180 0,2 Air 1,19 1 006 0,023 Q30. Quel matériau préconiseriez--vous pour le substrat ? J ustifiez! On supposera par la suite que le débimètre, étudié dans cette partie et utilisé comme capteur de débit dans l'asservissement du système, est modélisable par un gain pur de coefficient : KCCL Heapt(p) : Tpt avec Kcapt = 3,6103 V.m_3.s_1. 11.6 Simulation de l'asservissement en volume injecté Objectif L'objectif de cette partie est de mettre en oeuvre le modèle théorique de Passer- vissement et d'effectuer la simulation permettant de vérifier les performances de l'asservissement. Le schéma--bloc retenu pour cette partie est donné ci--dessous. Il correspond a un modèle simplifié du schéma--bloc fonctionnel donné figure 15 -- annexe 1. 13/16 Fchar es p g ( ) Kd { Voens(p) Uc(p) AU(p) Uth(p) K... Fth(p) Fm(p) K...p @@ vréel(p) Kcapt ®--'Hcorr(p) > 1+Tthp -->®--> % > 1/1) _} Ucapt(p) Kcapt p _ Figure 13 -- Schéma--bloc fonctionnel simulé On suppose tout d'abord que le correcteur 1 (figure 15 -- annexe 1) est un gain pur de la fOÏIÏ1EUR Hcorr (p) : Kcorr- Vi"éel (p ) Q31. Déterminer la fonction de transfert de l'asservissement du volume délivré H (p) : --(). COHS p Q32. Le système est--il précis pour une entrée de type échelon de volume ? Justifier. Une simulation effectuée avec un correcteur de gain KC... : 1 et une entrée échelon d'am-- plitude 5 mL donne le résultat suivant : 07005 . . . . . | | | | | ' ' | | | | | | | | | | | | | | | | ...... '-----J--- _L_____L____J_____l_____L_____L____J_____. | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | _| T _____ |__--___| _____ T _____ r _____ l _____ _| ______ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | -| + ----- |--------| ----- + ----- |-- ----- | ----- -| ------------ A | | | | | | | | Q | | | | | | | | V | | | | | | | | \@ J L _____ L-----_| _____ J. _____ L _____ | _____ J ...... 4.7 | | | | | | | | U | | | | | | | | a | | | | | | | | | | | | | | | | -E _| T _____ |__--___| _____ T _____ r _____ l _____ _| ______ @ | | | | | | | | | | | | | | | | 5 | | | | | | | | E -| -|-- ---------- |------------| ---------- + ---------- |- ---------- | ---------- -| ------------ O | | | | | | | | > : : : : : : : : J L _____ L-----_| _____ J. _____ L _____ | _____ J ...... | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ___--___________l_ _____ | ______ | ___--__| _____ |-- _____ |___--__| ______ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 1-- ---------- |------------| ---------- + ---------- |-- ---------- | ---------- -| ------------ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | -i- | -i-- i i i temps(s) 0 10 20 30 40 Figure 14 -- Simulation d'injection d'un volume de 5 mL avec Kcorr : 1 Q33. Le système ainsi réalisé respecte--t--il les exigences définies par le constructeur ? 14/16 Pression artérielle upiézo (Ü) F piézo (75) Correcteur2 Act. piézo î l/cons (t) uc (t) AU(Ë) uth (t) Fth (t) Act. thermique -->®--> Capteur débit V V V Correcteurl V Convertisseur --> A Figure 15 -- Schéma--bloc fonctionnel simplifié 91/91 On retrouve ainsi sur ce schéma--bloc fonctionnel les grandeurs : -- Voens(t) le volume de la solution a injecter; -- Voeel(t) le volume réel déjà injecté de la solution; -- uc(t) la tension consigne proportionnelle au volume a injecter; -- upiézo et u... les tensions de commande après correction envoyées aux actionneurs piézoéle« -- F..., Fpiézo; Fcharges les actions mécaniques exercées sur la membrane par respectivement 17 l'actionneur piézoélectrique et la pression de la solution injectée créée par les pertes de cl et la pression artérielle; -- q(t) le débit de solution; -- ue(t) la tension image du volume de solution injecté. Annexe 2 -- Code informatique pour le pivot de Gauss (Q9). Version Python Version Soilab 1import numpy as np 1function M:Augmente(A,B) 2def Augmente(A,B) : 2 n=size (A, "r ") 3 n=len(A) 3 m=size(B, "r") 4 m=len(B.T) 4 MzA 5 OEnp.concatenate((A,B.T) ,axis=1) 5 for i=1:n 6 return M 6 M(i ,n+1)=B( i) 7 end 7de Echligne (M, 1 ,J ) : 8endfunction 8 N=np . copy (M[ i ] ) 9 M[ i]=M[J] 9function MzEChligne (M, i ,J ) 10 M[J]=N 10 X1M(i ,:) 11 returnM 11 M(i,:)zM(j,:) 12 M(J ,:)=X 12def Pivot (M, 1) : 13endfunction 13 n=len(M) 14 J=i 14function r=Pivot (M, i) 15 for k in range(i+1,n): 15 n:size(M,"r") 16 if abs(M[k,i])>abs(M[J,i]): 16 r=i 17 J=k 17 for k=i+1:n 18 return J 18 if abs (M(k, i) )>abs (M(r , i ) ) then 19 r=k 19def Elimine (M, i ,J ) : 20 end 20 a=--M[J,i]/M[i,i] 21 end 21 M[j]+=a*M[ i ] 22endfunction 22 return M 23function MzElimine (M, i ,J ) 23def Normalise_diagonale(M) : 24 a=--M(J , i)1/M( ,i) 24 n=len (M) 25 M(J )1M(J )+a*M( 1) 25 for i in range(n) : 26endfunction 26 M[i]/=M[i,i] 27 return M 27function M:Normalisediagonale(M) 28 n=size (M, "r") 28def Gauss(A,B): 29 for i=1:n 29 M:Augmente(A,B) 30 M(i)zM(i)/M(i , i) 30 n=len (M) 31 end 31 for i in range(n--1)z 32endfunction 32 p=Pivot (M, i) 33 if iÏ=pî 33function MzGE...SS(A,B) 34 MzEChligne(M p) 34 n=size(A,"r") 35 for J in range(i+ll, H): 35 M:Augmente(A,B) 36 Elimine(M, i, J) 36 for i=1:n--1 37 print (M, "\n") #Affichage] 37 i_piv=Pivot (M, 1) 38 Normalise_diagonale(M) 38 if (i!=i_piv) then 39 for i in range(n--1,0,--l)z 39 MzEChligne(M,i ,i_piv) 40 for J in range(i--1,--1,--l): 40 for J=i+1zn 41 Elimine (M, i ,J ) 41 MzElimine (M, i ,J ) 42 return (M) 42 disp (M, "\n") //Affichage] 43 M:Normalisediagonale(M) 44 for i=n--1:--1:1 45 for J=i --1:--1,0 46 MzElimine (M, i ,J ) 47endfunction Fin de l'énoncé 16/16 IMPRIMERIE NATIONALE -- 151321 -- D'aprèsdocumentsfournis

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 CCP Modélisation et Ingénierie numérique PSI 2015 Corrigé Ce corrigé est proposé par Olivier Frantz (Professeur agrégé en école d'ingénieurs) ; il a été relu par Guillaume Maimbourg (ENS Cachan) et Julien Dumont (Professeur en CPGE). Ce sujet de modélisation et ingénierie numérique étudie un dispositif médical d'injection qui a pour but de remplacer les aiguilles traditionnelles afin de limiter les risques d'accident. On utilise à cette fin une membrane qui, en jouant sur les dépressions et surpressions qu'elle crée, module le débit injecté. Pour déformer cette membrane, on envisage l'utilisation d'effets thermiques et mécaniques. · La première partie débute par l'identification des paramètres d'un système du premier ordre correspondant à l'actionneur thermique envisagé. Suivent des questions relativement classiques, préparant à la modélisation de la membrane, qui portent sur l'écoulement d'un fluide visqueux dans une conduite. · La modélisation mécanique de la membrane utilisée dans la micropompe a pour but de relier les efforts exercés sur celle-ci avec le débit de liquide injecté. Le modèle complet fait intervenir un grand nombre d'inconnues : il faut par conséquent utiliser des résolutions numériques, ce qui conduit à quelques questions d'informatique. · La dernière partie propose un système d'asservissement du volume injecté, destiné à savoir si les exigences sont respectées. Dans un premier temps, un anémomètre à fil chaud servant de capteur de débit est détaillé dans des questions de diffusion thermique et d'électronique. Dans un second temps, on met en place l'asservissement proprement dit. Le problème est équilibré entre sciences physiques, modélisation numérique, asservissements et mécanique du solide, respectant bien les attentes de l'épreuve. Les différentes parties sont indépendantes les unes des autres et toutes très abordables. Le sujet est plutôt court et faisable dans le temps imparti. Indications 3 Écrire le débit volumique Q en fonction de la vitesse moyenne hvi puis le nombre de Reynolds Re en fonction du débit. 7 Exprimer le principe fondamental de la statique en exprimant tous les torseurs au point Oi . 9 Analyser le programme pas-à-pas, avec une matrice de taille 2 × 2 par exemple. Attention, si la première itération correspond bien à i= 1 dans la version Scilab, en revanche, elle est définie pour i= 0 en Python. 10 Attention aux notations : xi et yi sont des efforts, pas des déplacements. 11 La méthode d'Euler évalue une dérivée en calculant un taux d'accroissement. 14 La puissance Pth est perdue par le fil. 16 Utiliser les symétries et invariances du problème. 19 En régime permanent, la température ne dépend plus du temps. Reprendre l'équation obtenue à la question 14. 24 La relation entre la résistance et la température permet de conclure si l'on suppose que le pont reste équilibré. 26 Utiliser la relation fournie à la question 22. 27 Utiliser un diviseur de tension. 29 Tracer une droite et évaluer son coefficient directeur. 30 Le fil doit échanger de la chaleur uniquement avec le fluide, par convection. 32 Utiliser le théorème de la valeur finale. 1 La valeur asymptotique de la réponse d'un système du premier ordre à un échelon est égale au gain statique Kth multiplié par la hauteur uth de l'échelon. On a donc, d'après la figure 5b, lim Fth = Kth uth = 60 N t+ Le temps de réponse est obtenu lorsque la réponse atteint 63% de sa valeur finale, soit 38 N. Ainsi, on lit sur le graphique et Kth = 5 N.V-1 th = 2 ms L'équation différentielle d'un système du premier ordre est du type df (t) = Kth u(t) dt f (t) = 1 - e -t/ th Kth Uth ---- Kth Uth f (t) + th soit t+ On peut également retrouver le résultat en utilisant le théorème de la valeur finale : avec des conditions initiales nulles, lim f (t) = lim p F(p) t+ p0 = lim p H(p) U(p) p0 = lim p p0 Uth Kth 1 + th p p lim f (t) = Kth Uth t+ 2 Le théorème de Bernoulli suppose un écoulement incompressible, homogène, permanent et parfait. En notant h la perte de charge, qui correspond à la perte d'énergie mécanique entre l'entrée et la sortie, il s'écrit pour un canal horizontal v 2 (0) P(0) v 2 (L) P(L) + = + + h 2g g 2g g 3 Le nombre de Reynolds est défini comme le rapport des forces d'inertie sur les forces de viscosité. Il s'identifie avec le rapport d'un temps caractéristique de diffusion de quantité de mouvement sur un temps caractéristique de convection. Notons D le diamètre intérieur de l'aiguille, hvi la vitesse moyenne du fluide, de viscosité dynamique et de masse volumique égale à celle de l'eau, = 1,0.103 kg.m-3 . Le nombre de Reynolds s'écrit hvi D Re = 2 Avec Q = D hvi/4 le débit volumique du fluide, il devient Re = 4Q = 5.102 D L'écoulement est par conséquent laminaire. Attention aux unités ! Dans une application numérique, il faut toujours utiliser celles du système international. Le débit vaut ainsi Q = 5 mL.min-1 = 5.10-6 3 -1 m .s 60 4 Les pertes de charge régulières sont données par la relation de l'énoncé h = x v 2 2R 2g Le terme v 2 représente la moyenne du carré de la vitesse, c'est-à-dire que v 2 est le carré de la vitesse quadratique moyenne. Ce terme peut être vu comme la vitesse efficace au carré. C'est une image de l'énergie cinétique moyenne. Le terme x a la dimension d'une longueur. Il représente la longueur de la canalisation. En effet, les pertes de charge sont proportionnelles à la longueur de la conduite. Par conséquent, la perte de charge entre l'entrée et la sortie de l'aiguille vaut h = L v2 2R 2g Le paramètre de frottements pour un écoulement laminaire vaut = 64 . Re 5 Le débit volumique s'écrit - 1 - Q= v · dS = S S S Z La définition de la vitesse moyenne conduit à Z - - v · dS S Q = S hvi où S = R2 est la section droite de la conduite. Ainsi, Q= P(0) - P(L) R4 8L 6 En considérant que la pression en sortie d'aiguille est égale à la pression atmosphérique P(L) = 1,0.105 Pa, on a P(0) = 8LQ + P(L) = 2,1.105 Pa R4 7 Remarquons tout d'abord que lors d'un changement du point A au point B, - - la résultante R d'un torseur est inchangée et son moment M devient - - - - M(B) = M(A) + BA R Exprimons alors les torseurs des efforts exercés sur le segment i, réduits au point Oi : · liaison pivot avec le segment i - 1 : ( {Ti-1i } = +y - xi - x 0 i y0 - 0 ) Oi