CCP Physique 2 PSI 2013

Thème de l'épreuve L'aluminium
Principaux outils utilisés cristallographie, chimie des solutions, thermochimie, mécanique des fluides, électromagnétisme, électrocinétique
Mots clefs Aluminium, Aluminothermie, Eolienne, ondes électriques

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2013 PSIP208 .i- CONCOURS COMMUNS -=- POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI PHYSIQUE 2 Durée : 4 heures N .B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'nonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. Les calculatrices sont autorisées PROBLEME DE PHYSIQUE CHIMIE L'ALUMINIUM De par ses propriétés physiques et chimiques, l'élément aluminium est un composé très présent dans notre environnement moderne. Nous nous proposons ici d'étudier ses propriétés intrinsèques et d'en voir quelques applications. Un formulaire global se trouve en fin d'énoncé, pages 14 et 15. 1/15 PARTIE CHIMIE A) Etude cristallographique de l'aluminium : L'aluminium comme de nombreux métaux cristallise suivant la structure cubique à face centrée. 1) Représenter l'allure d'une maille élémentaire. 2) Comment s'effectue le contact entre les atomes ? En déduire la relation entre le paramètre de maille a et le rayon atomique RA1. 3) Combien y a-t-il d'atomes par maille ? 4) Définir la compacité C puis l'évaluer numériquement. 5) Soient M la masse molaire de l'aluminium, RA1 son rayon atomique, Na le nombre d'Avogadro et p A] la masse volumique de l'aluminium, déterminer la relation entre M, RA1, Na et p A] . Application numérique : évaluer la densité dA1 de l'aluminium. B) Détermination expérimentale de constantes d'équilibre : On considère les équilibres chimiques suivants de constantes d'équilibre KS et B : AI(OH)3 (,, = A13+ + 3 OH" K, A13+ + 4 OH" = AI(OH).{ [5 6) Comment nomme-t-on ces deux constantes d'équilibre KS et B ? Comment nomme-t-on le complexe Al(OH).{ ? 7) On considère l'équilibre thermodynamique suivant : AI(OH)3(S) + OH" : Al(OH).{ ,de constante d'équilibre K. Exprimer K en fonction de KS et de B . On réalise le dosage, suivi par pHmétrie, de 40 mL d'une solution aqueuse d'acide nitrique à 0,1 mol.L'1 et de sulfate d'aluminium (2 Al3+, 3 8042") de concentration c inconnue, par de la soude à 1 mol.L". 8) Faire un schéma du dispositif du dosage et nommer la verrerie utilisée. 9) Quelle grandeur physique, mesurée par le pHmétre, est l'image du pH de la solution ? La figure 1 donne le pH de la solution titrée en fonction du volume de soude versé. On peut distinguer différentes étapes au cours de ce titrage. 2/15 14 10 / V(mL) () l l l l l l 0 5 10 15 20 25 30 Figure 1 : courbe de dosage, pH en fonction du volume de soude versé PourV = 3,7 mL, on apH = 3,7 et pourV = 13,8 mL, on apH : 11,2. Observations : Etape 1 : 0 < V < 3,7 mL, la solution est claire et limpide. Etape 2 : 3,7 mL < V < 13,8 mL, la solution devient de plus en plus trouble. Etape 3 : 13,8 mL < V < 17,2 mL, a la fin de cette étape, la solution est a nouveau claire et limpide. 10) Associer à chacune de ces étapes une réaction prépondérante. 11) Evaluer la concentration c en sulfate d'aluminium de la solution utilisée. 12) En déduire les valeurs des deux constantes d'équilibre KS et [3 . On donnera aussi les valeurs de sz et de log...(l3 ). Dans la suite du problème, on admettra que sz : 32 et que logoe(B) = 34. C) Diagramme E-pH de l'eau : L'eau (ou ses ions) peut agir comme oxydant ou comme réducteur. Dans cette partie, on supposera les pressions partielles des constituants gazeux égales à la pression standard, soit PH2 = P02 = P0 , avec P° = 1 bar ou 105 Pa. 13) Ecrire les deux demi--réactions rédox dans lesquelles interviennent les couples de l'eau. En déduire les deux équations des deux droites E : f(pH), figurant dans le diagramme E-pH de l'eau. 3/15 14) Tracer le diagramme E-pH de l'eau, on veillera à bien préciser les domaines de prédominance de chacune des espèces étudiées. D) Diagramme E-pH de l'aluminium : Les espèces chimiques envisagées ici sont Al(OH)3(S), Al3+, Al(S) et Al(OH)4. On donne le diagramme potentiel-pH de l'aluminium à 298 K, pour une concentration totale en espèces dissoutes de 10"2 mol .L'1 (figure 2). Le point A a pour ordonnée : E = - 1,71 V, le point B a pour abscisse pHB : 10. A E(V) 1,5 _ 1 _ 0,5 _ 0 | | > _05 _ ........................................... --1 --1,5 Figure 2 : diagramme E-pH de l'aluminium 15) Préciser le degré d'oxydation de l'aluminium dans chacune des espèces envisagées et attribuer à chacun des quatre domaines numérotés de 1 à 4 l'espèce qui lui est rattachée. 16) Déterminer l'abscisse, notée pH A, du point A. 17) Préciser les valeurs des pentes des trois segments figurant sur ce diagramme. 18) Déterminer la valeur du potentiel standard E°(Al"7Al). 19) Définir en quelques mots les termes : passivation, immunité et corrosion. Attribuer à chacun de ces termes une zone dans le diagramme E-pH. 20) Par ajout de poudre d'aluminium dans une solution d'acide concentrée, on assiste à une vive réaction accompagnée d'un dégagement gazeux. De quel gaz s'agit-il ? Préciser l'équation bilan de cette réaction. 4/15 21) Peut-on laisser sans protection particulière une barre d'aluminium en contact avec de l'eau de pluie ? E) Utilisation de l'aluminium pour les structures métalliques : 22) Pourquoi l'aluminium est-il couramment utilisé pour les cadres de vélo, les structures de remorque, les lignes électriques à haute tension, etc ? F) Aluminothermie : Le soudage par aluminothermie consiste à générer un très fort dégagement d'énergie thermique par réaction de poudre d'aluminium sur un oxyde métallique. Le métal en fusion permet alors de réaliser des soudures de grande qualité. Cette technique est particulièrement bien adaptée au soudage des rails de chemin de fer. On considère la réaction chimique : Fe203(5) + 2 Al(s) : 2 Fe(s) + Al2O3(S). 23) Sachant que l'aluminium se trouve dans la 136 colonne, et 3EUR période de la classification périodique des éléments, décrire la configuration électronique de l'aluminium. Quel est son degré d'oxydation maximal ? Justifier que l'alumine A1203 est une forme oxydée de l' aluminium. 24) Déterminer l'enthalpie standard de réaction,A,H°(298 K), de la réaction précédente. Commenter son signe. 25) Lorsqu'on mélange dans un creuset de l'oxyde de fer (III) et de la poudre d'aluminium dans des proportions stoechiométriques, après un amorcage de la réaction, celle-ci est extrêmement violente et peut être considérée comme totale et instantanée. Pour justifier qu'il y a effectivement fusion des phases solides, on se propose d'évaluer un ordre de grandeur de la température atteinte par le mélange en fusion en fin de réaction. On adopte un modèle simple dans lequel on néglige la capacité thermique du creuset et on considère le système comme adiabatique. Déterminer dans ces conditions la température T des produits obtenus. Justifier qu'il y a effectivement eu fusion des produits de la réaction. 26) Dans le cadre du soudage des rails de chemin de fer, quel(s) phénomène(s) physique(s) est (sont) a l'origine de la solidification du cordon de soudure ? Fin de la partie chimie 5/15 PARTIE PHYSIQUE Bon conducteur, moins ductile et moins onéreux que le cuivre, l'aluminium est largement employé dans le domaine du génie électrique. On l'utilise en particulier sous forme d'alliage, l'almélec, pour la fabrication des lignes électriques. On se propose ici d'étudier une unité de production d'énergie électrique renouvelable, une éolienne, puis d'analyser la ligne qui assure le transport de cette énergie. Etude de l'éolienne : G) Préliminaire : Bilan d'énergie pour un système ouvert en écoulement permanent : Expression générale du premier principe de la thermodynamique pour un systéme fermé : 27) Rappeler l'équation générale traduisant la conservation de l'énergie pour un systéme fermé en mouvement. Bilan enthalpique lors de l'écoulement unidimensionnel d'un fluide en régime permanent : On considère un fluide parfait, en écoulement permanent, de débit massique Dm qui traverse une partie active (figure 3) qui lui fournit une puissance utile Pu et une puissance thermique P.... Partie active Figure 3 : partie active On note respectivement P1, eC1, ep1, u1, h1 et v1 : la pression, l'énergie cinétique massique, l'énergie potentielle massique, l'énergie interne massique, l'enthalpie massique et le volume massique du fluide en amont de la partie active. Ces mêmes grandeurs sont notées P2, eC2, ep2, u2, h2 et V2 en aval de la partie active. 6/15 On considère comme système fermé à la date t l'ensemble constitué du fluide contenu dans la partie active à la date t et du fluide, de masse dm1, qui va entrer pendant l'intervalle de temps dt dans cette partie active. 28) a) Définir le système àla date t + dt. b) En notant dm2 la masse qui est sortie de la partie active entre t et t + dt, comparer dm1 et dm2. Que conclure quant au débit massique Dm ? 29) Donner les expressions des travaux des forces de pression ôW1 et ôW2 respectivement en amont et en aval du système pendant l'intervalle de temps dt. 30) En s'appuyant sur l'équation de conservation de l'énergie, montrer qu'on peut établir une nouvelle équation (E) de la forme : Dm |:(X2 -- x1)+(e02 --ecl) + (ep2 --ep1)] =Pu + P... . (El) Préciser a quoi correspond la fonction x ainsi que son unité. Dans toute la suite du problème, on négligera les variations d'énergie potentielle de sorte que le bilan précédent s'écrira sous la forme suivante : D [+]=Pu+P.... m Bilan de quantité de mouvement pour un système unidimensionnel en écoulement permanent: De même, l'établissement d'un bilan de quantité de mouvement sur un volume de contrôle (figure 4) délimité par deux sections droites S1 et 82, d'un tube de courant où le fluide entre avec --> une vitesse V1 supposée uniforme sur la section 81 et en ressort avec une vitesse V2 également uniforme sur la section 52, permet d'établir une équation (E2) du type : 1î (E» Ym(v,_vl) où R est la résultante des forces exercées sur le fluide considéré par les éléments en contact avec celui--ci. Volume de contrôle délimité par les sections 81 et SZ W<_ \/V 81 SZ Figure 4 : volume de contrôle 31) Par analyse dimensionnelle, préciser l'unité de Ym et préciser à quoi correspond ce terme. 7/15 H) Application à l'éolienne : Modélisation : L'éolienne sera assimilée à ses pales qui récupèrent une puissance mécanique Pég] provenant de l'écoulement de l'air avoisinant. L'étude est faite dans le référentiel terrestre supposé Galiléen où les pales sont animées d'un mouvement de rotation uniforme autour de l'axe x'x de vecteur unitaire ëX (figure 5). Les effets de la pesanteur sont négligeables. L'air est assimilé à un gaz parfait. L'écoulement de l'air autour des pales est supposé stationnaire, parfait, incompressible et à symétrie de révolution autour de l'axe x'x. On note p la masse volumique de l'air. La figure 5 représente le tube de courant passant par les extrémités des pales de l'hélice. . /\ & SA ,: > ___--, --------________ ---- -- -- -----------_----_ l 1 _--_--------..----_--____ ---- _-- -- '-- \ --____ ___--_-- --_ _______--------- ; \ --___ ------------------------ ------------------ /. 21 SB & Figure 5 : pales de l'éolienne et tube de courant La vitesse de l'air est supposée uniforme sur une section perpendiculaire au tube de courant. Elle vaut respectivement: YA =VAëX, sur la section SA située loin en amont des pales et vaut YB = VBëX sur la section SB située loin en aval des pales. A grande distance des pales, en amont ou en aval, la pression de l'air est égale à la pression atmosphérique P° et la température égale à TO. Les sections 21 et 22, situées au voisinage immédiat des pales, l'une en amont et l'autre en aval, ont leurs aires quasiment identiques. De sorte que l'on supposera 21 = 22 = S, au premier ordre. La pression du fluide est supposée uniforme sur chacune de ces sections et vaut P1 sur 21 et P2 sur 22. Au voisinage des pales, il y a continuité de la composante normale, (suivant ë,), de la vitesse de l'air. Cette composante sera notée: Y =Vëx. On néglige la dissipation d'énergie par frottement de l'air le long des pales. 8/15 Puissance récupérable par les pales de l'éolienne : 32) Ecrire deux relations liant tout ou partie de ces grandeurs : S A, V A, SB, VB, S et V. 33) Exprimer les pressions P1 et P2 en fonction de P°, p, VA, VB et V. 34) On se propose d'appliquer l'équation (E2) sur le fluide contenu dans le tube de courant compris entre les sections voisines 21 et 22 situées de part et d'autre des pales de l'éolienne. a) On note R12 =R12ëX : la résultante des forces exercées sur l'air considéré et Fpâles % air = FéX : la force exercée par les pales de l'éolienne sur l'air. Exprimer R12 en fonction de F, P1, P2 et de S. b) Par application de l'équation (E2), en déduire que Ë12 =0 . c) Exprimer alors F en fonction de P1, P2 et S. d) Puis exprimer F en fonction de p, S, V A et VB. 35) On se propose d'appliquer l'équation (E2) sur le fluide contenu dans le tube de courant compris entre les sections éloignées SA et SB situées en amont et en aval des pales de l'éolienne, en admettant que la résultante des forces de pression est nulle. Exprimer F en fonction de p, S, V, V A et VB. 36) Déduire de ce qui précède une relation simple entre VA, VB et V. 37) On se propose d'appliquer l'équation (E) sur la portion du tube de courant, délimitée par les sections S A et SB, considérée comme une partie active. Quelle(s) hypothèse(s) justifie(nt) le fait que P... = 0 ? Quelle(s) hypothèse(s) justifie(nt) le fait que hB -- hA : 0 ? 38) Quelle est la puissance algébrique utile fournie par les pales de l'éolienne au fluide considéré ? En déduire l'expression de la puissance mécanique, Pé01, fournie par le vent à l'éolienne en fonction de p, S, V A et VB. 39) En posant x = & , exprimer Pé01 en fonction de p, S, VA et x. Pour quelle valeur de x, Pég] A est--elle maximale ? Exprimer cette valeur maximale en fonction de p, S et V A. 40) Application numérique : a) Evaluer la puissance maximale récupérable par une éolienne dont les pales ont un diamètre D = 60 m pour une vitesse du vent de 40 km.h". b) Combien faudrait-il d'éolienne de ce format, dans les mêmes conditions météorologiques pour produire la même puissance qu'une tranche de centrale nucléaire de l 500 MW ? 9/15 Etude d'une ligne électrique : I) Optimisation de la section des conducteurs, mise en parallèle : Problématique et modélisation globale : La ligne électrique est assimilable à un conducteur rectiligne électriquement neutre, de longueur infinie, suivant l'axe Z'Z, de section S (figure 6). Il transporte un courant sinusoïdal i(t) : Im cos(oet) de pulsation 00 et de fréquence f = 50 Hz. Z'\ \- S j/ Figure 6 : ligne électrique Z On se propose d'étudier le vecteur densité de courant Î qui circule dans le conducteur et d'optimiser la section S de ce conducteur. Pour tout point M du conducteur, compte-tenu de la géométrie du problème, on pose: Î(M,t) : j(r,t) cos(oet + (p(r))eÎ, où r est la distance à l'axe Z'Z. Modèle local : On suppose que la longueur caractéristique des variations de la fonction j(r,t) est faible devant le rayon du conducteur. On adopte donc un modèle local où le conducteur est supposé semi infini avec lequel on travaillera en coordonnées cartésiennes. Dans ce modèle local, le conducteur occupe le demi-espace x > 0 (figure 7). On pose :Î(M,t) : j(x) cos(oet + (p(x))eÎ. On lui associe la densité de courant complexe : î(M,t) : i(x) exp(ioet)eÎ, où i(x) est une fonction à valeur complexe, i2 = -1 et j(M,t) : ReQ(M,t)) où Re désigne l'opérateur partie réelle. On a comme condition aux limites: Î(O,t) : j(0) cos(oet)eÎ, ce qui donne en complexe: î(0,t) = 1(0) exp(ioet)eÎ, soit j(0) = j(O) . Z /\ milieu 3,7, conducteur "' Il, / x > 0 I,, l' \ 7 Figure 7 : milieu semi infini. 10/15 Effet de peau : Soit y la conductivité électrique du conducteur. 41) Rappeler les unités de la densité de courant Î et de la conductivité électrique y. 42) Comment s'écrivent les quatre équations de Maxwell dans le conducteur '? --> --_ E 43) Montrer que pour un conducteur en almélec, le courant de déplacement: jD = 80 8_ est t négligeable devant le courant de transport : Î= yË, à la fréquence de 50 Hz. 44) En déduire que Î(M,t) vérifie l'équation aux dérivées partielles : AÎ -- u0y% =0 . Comment nomme-t-on ce type d'équation '? L'avez--vous déjà rencontré dans d'autre(s) domaine(s) de la physique '? Si oui le(s)quel(s) '? 45) a) Déterminer l'équation différentielle vérifiée par la fonction : j(x). b) En déduire l'expression de j(x) et de j (M,t) à deux constantes multiplicatives près. 46) En remarquant que le module de Î(M,t) reste fini et par application de la condition aux limites en x = 0, donner l'expression de j(x). En déduire l'expression de la densité de courant :Î(M,t) : j(x) cos(oet + (p(x))é£. On fera apparaître une longueur caractéristique notée ô appelée épaisseur de peau. 47) Applications numériques : a) Evaluer 5 pour un conducteur en almélec à 50 Hz. b) Pour limiter les pertes Joule, on limite les densités de courant à 0,7 A/mm2. Quel serait l'ordre de grandeur du rayon du conducteur d'une ligne électrique haute tension, de courant de transport nominal égal à l 500 A '? c) Pourquoi cette ligne est en pratique composée de plusieurs conducteurs en parallèle '? J) Effet Ferranti : Pour des lignes électriques dont la longueur est inférieure à 400 km, on peut utiliser le modèle global de la figure 8, où R, L et C désignent la résistance, l'inductance et la capacité de la ligne. 11/15 1, 1, = 0 --+ 7\ A A R L Figure 8 : modèle global de ligne électrique courte La ligne électrique est alimentée par un générateur de tension d'impédance nulle qui délivre une tension sinuso'1'dale : V@ (t) = Vem cos(oet) de fréquence f = 50 Hz. A une grandeur sinuso'1'dale X(t), on associe classiquement la grandeur complexe X(t) telle que X(t) = Re (X(t)), où Re désigne l'opérateur partie réelle. La ligne électrique est à vide, de sorte que IS = O. 48) Que représente la grandeur RL,2 '? Où est-elle localisée dans la réalité '? Que représente la grandeur % LL,2 '? Où est-elle localisée dans la réalité '? 49) Rappeler les modèles équivalents, en basse et en haute fréquence, d'une bobine parfaite et d'un condensateur. En déduire sans calcul à quel type de filtre s'apparente la ligne électrique. & 50) Déterminer en fonction de R, L, C et 00 la fonction de transfert complexe :fl(joe) = V ... . 51) La tension de sortie est de la forme : VS (t) = Vsm cos(oet + (p) . Préciser l'expression de Vsm et de (p en fonction de V..., ou, R, L et C. 52) Application numérique : On note respectivement : r, l et c la résistance linéique, l'inductance linéique et la capacité linéique de la ligne électrique. sm a) Déterminer le rapport pour une ligne de longueur d, en fonction des grandeurs linéiques de la ligne, de d et de ou. b) Pour quelle valeur critique notée d...tique, ce rapport est-il maximal '? c) Evaluer ce rapport pour une ligne de longueur d = 400 km. Commenter. 12/15 K) Ligne quart d'onde : Pour des lignes de longueur plus importante, on utilise le modèle réparti dans lequel une portion de longueur dz de ligne peut être modélisée par le schéma de la figure 9, dans lequel on néglige la résistance élémentaire rdz devant l'impédance élémentaire iloedz. On notera d la longueur globale de la ligne. I(z ,t) I(Z+dZ ,t) 4 ldz cdz V(z+dz ,t) V(Z,t) _-- Figure 9 : modèle réparti 53) a) Expliciter le système d'équations aux dérivées partielles vérifié par les fonctions V(Z,t) et I(Z,t). b) En déduire les deux équations aux dérivées partielles, découplées, vérifiées par la fonction V(Z,t) d'une part, puis par la fonction I(z,t) d'autre part. La tension en entrée de ligne est toujours sinuso'1'dale de fréquence f = 50 Hz et d'amplitude Ve(t) =Vem cos(oet). On se propose de déterminer la tension V(z,t) en tout point de la ligne, lorsqu'aucun récepteur n'est branché en bout de ligne, c'est-à-dire lorsque I(L,t) = O . 54) On cherche pour V(Z,t) une solution de la forme : V(Z,t) : [a cos(kz) + b sin(kz)]cos(oet). a) Comment nomme-t-on ce type d'onde '? b) Déterminer la dépendance entre k, 1, c et ou. c) Préciser les conditions aux limites et en déduire les expressions de a et de b en fonction de V k et L. em' 55) Application numérique : a) Evaluer la longueur d'onde 7». b) Est--il raisonnable de construire sans précaution particulière des lignes de longueur proche de %? Expliquez pourquoi la mise sous tension de la ligne électrique Vietnam Sud -- Vietnam Nord, longue de 1 490 km, a posé des problèmes. Fin de la partie physique. Fin de l'énoncé 13/15 FORMULAIRE Données pour la partie chimie : Masse molaire de l'aluminium : M = 27 g.mol'l. Rayon atomique de l'aluminium : RA1 : 143 pm. Nombre d'Avogadro : Na : 6,02 1023 mol--1. On rappelle que l'acide nitrique est un mono acide fort, c'est-à-dire qu'il se dissocie entièrement dans l'eau. On a : E°(H+/H2) : 0 V ; EO(O2/H2O) : 1,23 V. On admettra que : R--fîln(x) : O,Oôlog10 (X) . Avec R la constante des gaz parfaits, T la température et F la constante de Faraday. On donne à 298 K : AfH° (A12o3) = - 1 673 kJ.mol'l. AÎH° (Fe203) = - 824 kJ.mol'l. A toute température, on a : Cp°(Fe(s)) = Cp°(Fe...) = 25 J.K'1.mol'l. Cp°(A12o3(s)) = Cp°(A12o3...) = 120 J.K'1.mol'l. On donne : AH°qu (A12o3) = 110 1<10'2 Q.km'l. Inductance linéique : l = 1,5 mH.km'l. Capacité linéique : o = 10 nF.km'l. Conductivité électrique de l'almélec : y = 3.107 8.1. Constantes physiques : ..., = 4n.10'7 H.m'1. 1 -1 e =_ F.m ° 36.7t.109 c = 3.108 m.s'1. Opérateurs vectoriels en coordonnées cartésiennes : 82U 82U 82U = + AU + dX2 dy2 822 Aä = (AaX )üX +(Aay)üy +(Aaz )üZ rôt[rôt(ä)] = gräd[div(ä)] -- Aä 15/15

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 CCP Physique 2 PSI 2013 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Kim Larmier (ENS Ulm) ; il a été relu par Tiphaine Weber (Enseignant-chercheur à l'université) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce problème aborde quelques aspects de la physico-chimie de l'aluminium, un métal d'utilisation courante et relativement bon marché. Quelques-unes de ses nombreuses applications sont ainsi étudiées. · Le problème de chimie couvre une large part du programme. Après une première partie très classique concernant la structure cristalline de l'aluminium métallique, la spéciation en phase aqueuse de ses espèces oxydées est étudiée à travers un dosage acido-basique. L'analyse du comportement de l'aluminium au contact de l'eau est ensuite l'occasion de mettre en application la connaissance des diagrammes potentiel-pH afin d'évaluer sa résistance à la corrosion. Enfin, la dernière partie concerne l'étude thermochimique de la réaction de l'aluminium avec un oxyde de fer employée dans la soudure des rails de chemin de fer. · Le problème de physique s'intéresse quant à lui à l'application de l'aluminium dans le transport du courant électrique. Dans un premier temps, il est question d'une source d'énergie renouvelable, une éolienne, dont on cherche à évaluer la puissance maximale récupérable, en effectuant des bilans ­ d'énergie cinétique et de quantité de mouvement ­ sur l'air traversant l'appareil. Le transport de l'électricité dans une ligne électrique à proprement parler est abordé dans l'ultime partie, qui regroupe une description locale du phénomène, requérant une analyse électromagnétique, pour déterminer la section optimale de la ligne, ainsi qu'un aspect global sur le transport à longue distance, où deux modèles électrocinétiques sont comparés. Quoique fort long, ce sujet est d'une difficulté modérée. Il nécessite de la rigueur, notamment dans la manipulation de grandeurs physiques algébriques, ainsi qu'une solide connaissance du cours. Indications Partie A A.5 Attention aux unités des grandeurs physiques employées. Partie B B.11 Définir une réaction de dosage et le volume de soude versé pendant l'étape où cette réaction est prépondérante. B.12 Les points d'apparition et de fin de disparition du précipité sont les points où la concentration en aluminium dissous peut être évaluée. Partie D D.15 Une partie de la réponse figure dans la partie B. D.21 Supposer un pH neutre ou légèrement acide pour l'eau de pluie. Partie F F.23 Utiliser la règle de Klechkowski. F.25 Appliquer le premier principe de la thermodynamique à un système bien choisi, et décomposer la transformation en deux étapes : réaction chimique isotherme et évolution thermique des produits. Partie G G.30 Utiliser l'hypothèse « régime permanent » pour la portion de fluide dans la partie active. Partie H H.33 Utiliser le théorème de Bernoulli sur une ligne de courant bien choisie. H.37 Pour un gaz parfait, l'énergie interne, de même que l'enthalpie, ne dépendent que de la température. Évaluer celle-ci en A et en B. Partie I I.43 Évaluer l'ordre de grandeur du courant de déplacement et du courant de transport grâce aux données. I.45.b Rechercher la solution sous la forme Ae ikx + Be -ikx . Partie J J.50 Utiliser les impédances complexes des dipôles usuels et travailler en notation complexe. Partie K K.53.a Ne plus utiliser la notation complexe dans cette partie. Revenir aux lois caractéristiques de fonctionnement des dipôles. Utiliser la loi des mailles et la loi des noeuds pour obtenir deux équations couplées. K.54.c Exploiter l'une des équations de couplage pour exprimer l'intensité. L'expression obtenue doit être valable à tout instant. Problème de Chimie A. Étude cristallographique de l'aluminium A.1 Représentons la maille conventionnelle cubique à faces centrées de l'aluminium métallique en modèle éclaté. Les atomes d'aluminium sont situés aux sommets du cube ainsi qu'aux centres de chacune des faces. a Atome d'aluminium Cette maille est la maille que l'on représente le plus couramment, et non la maille élémentaire, dont elle est un multiple. Les trois vecteurs de la maille élémentaire partent de l'origine vers les atomes des centres des faces les plus proches. A.2 Dans une structure cubique à faces centrées, la tangence entre les atomes se fait suivant la diagonale des faces. Une face vue de dessus peut être représentée comme ci-contre, en utilisant cette fois un modèle compact. Géométriquement, on constate que le paramètre de maille a et le rayon atomique de l'aluminium RAl sont liés par la relation : 2 RAl 2 =a 2 soit a a 2 2 RAl a=2 2 RAl = 404 pm A.3 Dénombrons le nombre Z d'atomes dans la maille : · Les atomes situés aux sommets appartiennent à 8 mailles différentes, et sont au nombre de 8. Il y a donc au total 8 × 1/8 = 1 atome de ce type dans la maille. · Les atomes situés aux centres des faces appartiennent à 2 mailles différentes, et sont au nombre de 6. Il y a donc au total 6 × 1/2 = 3 atomes de ce type dans la maille. Il y a donc au total Z = 4 atomes par maille. A.4 La compacité C est une grandeur sans dimension définie comme le rapport du volume des atomes contenus dans la maille sur le volume total de celle-ci. · Le volume VAl d'un atome d'aluminium, considéré comme une sphère de rayon RAl vaut VAl = 4/3 RAl 3 . · La maille étant cubique, le volume total de la maille Vmaille s'écrit quant à lui Vmaille = a3 On en tire l'expression de la compacité : C= Z VAl 4 Z RAl 3 = Vmaille 3 a3 Enfin, en substituant à a son expression en fonction de RAl obtenue à la question A.2, on obtient Z 2 2 = 0,74 C= 24 6 L'empilement cubique à faces centrées est l'un des deux modes d'empilement les plus compacts possibles pour un corps simple, l'autre étant l'empilement hexagonal compact. Par conséquent, n'importe quel autre empilement d'un corps simple doit avoir une compacité inférieure à 74 %. A.5 La densité étant une grandeur intensive, on peut la calculer pour toute fraction d'un cristal, par exemple dans la maille définie plus haut : soit mmaille la masse totale d'aluminium dans la maille, et mAl la masse d'un atome d'aluminium, alors Al = mmaille Z mAl Z MAl Z MAl = = = Vmaille a3 NA a3 16 2 NA RAl 3 et enfin, avec eau = 1 000 kg.m-3 dAl = Al Z MAl = = 2,73 eau 16 2 NA RAl 3 eau · Pour ce genre de calcul, il est crucial d'être très rigoureux avec les conversions d'unités. Retenir l'ordre de grandeur des densités usuelles, entre 1 et 10, permet de limiter les erreurs. · La densité de l'aluminium est relativement faible pour un métal, si on la compare à celle du cuivre ou du fer, respectivement 8,96 et 7,87. L'aluminium est un métal léger. B. Détermination expérimentale de constantes d'équilibre B.6 La constante Ks est appelée produit de solubilité, tandis que la constante est nommée constante globale de formation du complexe. On désigne comme une constante « globale » de formation du complexe parce qu'elle est associée à la formation du complexe directement à partir de l'ion métallique « nu » et du nombre adéquat de ligands. À l'inverse, on définit des constantes « successives » de formation, fréquemment notées Ki , qui sont associées aux réactions d'ajout des ligands un par un : MLi-1 + L = MLi Le complexe [Al(OH)4 ]- se nomme tétrahydroxoaluminate (III).