CCP Physique 2 PSI 2010

Thème de l'épreuve La production massive de dihydrogène. Autour d'un véhicule électrique.
Principaux outils utilisés thermochimie, diagrammes E-pH, solutions aqueuses, cristallographie, atomistique, électronique, couplage électromécanique, thermodynamique, électromagnétisme, mécanique
Mots clefs hydrogène, cycle iode-soufre, décomposition de l'eau, réaction de Bunsen, moteur à courant continu, hacheur, climatiseur, plasma, GPS

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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' SESSION 2010 PSIP208 A CONCOURS (OMMUNS POI.YIECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQÜE - FILIERE PSI PHYSIQUE 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. * * * * * Le candidat atta chera la plus grande importance à la clarté, à la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'noncé, ille signalera sur sa c0pie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. L'épreuve comporte un problème de chimie et un problème de physique. Les candidats traiteront les deux problèmes dans l'ordre de leur choix et les rédigeront de façon. séparée. Le sujet comporte 16 pages Durées approximatives : Chimie : 2 heures Physique : 2 heures PROBLEME DE CHIMIE Toutes les données nécessaires àla résolution de ce problème apparaissent au 5 III en fin d'énoncé. LA PRODUCTION MASSIVE DE DIHYDROGÈNE Le dihydrogène est considéré comme le carburant du futur, utilisable aussi bien dans les moteurs thermiques que dans les piles à combustible. Sa production devra rapidement s'intensifier et les experts mettent l'accent sur des procédés thermochimiques ou électrochimiques qui se résument à un bilan simple : la décomposition de l'eau. Un des procédés thermochimiques, le « cycle iode-- soufre » est discuté, de façon simplifiée, dans ce problème. ' SESSION 2010 PSIP208 A CONCOURS (OMMUNS POI.YIECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQÜE - FILIERE PSI PHYSIQUE 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. * * * * * Le candidat atta chera la plus grande importance à la clarté, à la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'noncé, ille signalera sur sa c0pie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. L'épreuve comporte un problème de chimie et un problème de physique. Les candidats traiteront les deux problèmes dans l'ordre de leur choix et les rédigeront de façon. séparée. Le sujet comporte 16 pages Durées approximatives : Chimie : 2 heures Physique : 2 heures PROBLEME DE CHIMIE Toutes les données nécessaires àla résolution de ce problème apparaissent au 5 III en fin d'énoncé. LA PRODUCTION MASSIVE DE DIHYDROGÈNE Le dihydrogène est considéré comme le carburant du futur, utilisable aussi bien dans les moteurs thermiques que dans les piles à combustible. Sa production devra rapidement s'intensifier et les experts mettent l'accent sur des procédés thermochimiques ou électrochimiques qui se résument à un bilan simple : la décomposition de l'eau. Un des procédés thermochimiques, le « cycle iode-- soufre » est discuté, de façon simplifiée, dans ce problème. I. La décomposition thermochimique de l'eau 1.1. On se propose, dans un premier temps, d'étudier la décomposition de la vapeur d'eau par la chaleur, au voisinage de 1 800 K, pour obtenir le dihydrogène et le dioxygène. Cette réaction est-- elle ex.othermique ou endothermique ? Préciser, à l'aide de la loi de Vant'Hoff, pourquoi elle est favorisée par une élévation de température. 1.2. Calculer la constante d'équilibre correspondante à 1 800 K. 1.3. On porte à 1 800 K un réacteur ne contenant que de la vapeur d'eau pure sous la pression de 100 bars. Quelle pression. partielle de dihydro gène obtient--on à l'équilibre ? Quel est le rendement ? Conclure sur l'intérêt économique de ce procédé. II. Le cycle iode-soufre II. 1 . Bilan Afin d'obtenir un rendement satisfaisant sans se placer à des températures rédhibitoires pour les installations industrielles, on envisage d'utiliser le cycle thermochimique ci--dessous qui se décline selon les trois réactions suivantes : 12 + 802 + 2 1120 ---> 112804 + 2 HI (T = 400 K) Réaction (l) HZSO4 ---> 802 + l/2 02 + 1120 (T = 1 100 K) Réaction (2) 2 HI ----> 12 + 112 (T = 700 K) Réaction (3) Quel est le bilan de l'ensemble de ces opérations ? II. 2. L 'iode 11.2.1. Observer la structure électronique de l'élément iode ; en déduire son numéro atomique. 11.2.2. Quelle est la formule de Lewis de la molécule diatomique 12 '? 11.23. Le diiode solide cristallise dans le système cristallin orthorhombique ; dans ce système, la maille élémentaire est un cuboïde dont les trois dimensions sont différentes (parallélépipède rectangle). La figure 1 (page 5) présente la projection des atomes d'iode sur une des faces rectangulaires de ce cuboïde, avec leurs coordonnées associées. Combien cette maille contient--elle d'atomes d'iode '? 11.2.4. Calculer la distance l-----l pour les atomes CA, CD, CE, CF. En déduire le nombre de plus proches voisins d'un atome d'iode, confirmer la structure moléculaire du diiode solide et préciser la nature des liaisons C--A, C--D, C--E, C--F. [1.2.5 . Le diiode solide se transforme en diiode gazeux par élévation de la température. Comment appelle--t--on cette transformation '? Calculer la pression de 12 @ au-dessus de 12 (S) à la température ordinaire (298 K). II. 3. Le dioxyde de soufre 11.3. 1. Ecrire la formule de Lewis de la molécule 802. En déduire sa structure géométrique. 11.32. Le dioxyde de soufre, gazeux à température et pression ordinaires, est très fortement soluble dans l'eau à laquelle il confère un caractère acide marqué. Quel nom la nomenclature systématique donne--telle à l'anion hydrogénosulfite, HSOg", base conjuguée de cet acide ? II.3.3. Déterminer le pH à 298 K d'une solution dans laquelle on a dissous l mol.L """ ' de dioxyde de soufre. Il.3.4. Le diagramme potentiel--pH du système soufre-eau est représenté sur la figure 2 (page 6). Quel type de réaction subit le soufre solide au--dessus de pH = 7,5 ? Ecrire le bilan de cette réaction. Pourquoi ce diagramme ne fait--il pas apparaître les espèces 802 et HSOg'" '? II. 4. La réaction de Bunsen Le diiode et le dioxyde de soufre réagissent ensemble en présence d'eau selon la réaction (1), dite « Réaction de Bunsen », qu'on étudie de façon simplifiée en considérant les constituants dans l'état physique qu'ils ont à 400 K : 12 (EUR) + SO}, @) + 2 H7_O (g) ---> 2 HI (g) + HzSO4 (EUR) Réaction (4) 114.1. Préciser quel(s) est (sont) l' (les) élément(s) réduit(s), oxydé(s), ou qui ne change(nt) pas de nombre d'oxydation pendant l'évolution selon la réaction (4). 11.42. Montrer, en calculant sa constante d'équilibre à 400 K, que cette réaction n'est pas thermodynamiquement favorable dans les conditions retenues ici. Proposer une méthode permettant d'augmenter son rendement. II. 5. La décomposition de l'acide sulfurique (Réaction (5)} Cette réaction permet de recycler le dioxyde de soufre et de récupérer le dioxygène ; elle s'écrit : HQSO4 (g) ---> 802 (g) + l/2 03 (@ + HzO (g) RéflC-ti0fi (5) 11.5. 1. Ecrire la formule de Lewis de la molécule H2804 et en déduire sa géométrie. On considère parfois, de façon simplifiée, que l'acide sulfurique se déshydrate rapidement puis que son anhydride 803 se réduit en SO; selon : 803 (g) ---> 802 (3) + "2 02 @) Réaction (6) La constante d'équilibre à 1 100 K de cette réaction est égale à 0,5. Un réacteur fermé contient initialement, à cette température, du trioxyde de soufre pur sous la pression de 1 bar. La température dans le réacteur est maintenue à 1 100 K. 11.5.2. Calculer les pressions partielles des trois constituants à l'équilibre thermodynamique. 1153. Quelle est alors la pression dans le réacteur en supposant que tous les gaz sont parfaits ? III. Données numériques et figures Numéros atomiques : H:1;0:8;S:16 Structure électronique : [I] = [Kr] 5s2 4d'° 5p5 Constante des gaz parfaits : R = 8,314 J.K""1 .mol"l Température de fusion de 12 : Tf = 386,8 K Enthalpie standard de réaction à 298 K (kJ.mol'l) 12 (Si) : 12 (EUR) [X,--HO : 62,421 Entropies standards a 298 K (J.mol"l) 12 ($) S° ... = 116,142 I2 @) S° (g) : 260,685 Enthalpie et enthalpie libre standards de formation à 1 800 K (kJ.mol") : H20 (@ Af ° =----- 251,139 A ° =------ 147,330 Enthalpies libres standards de formation à 400 K (kJ.mol'l) : 802 @) AfG° = ---- 300,942 H30 @) AfGO = ------- 223,951 HI (@ At ° = ---- 6,428 112804 (EUR) AfG° == ----- 647,930 12 (EUR) AfG° = 0 Constante d'acidité : SOZ(aQ)+2 H20 0) : HSO3" (aq) + H30+ (aq) Ka : 10"l'8 Paramètres de maille du diiode solide orthorhombique : Selon- (OX) & == 727,00 pm Selon (Oy) b = 979,34 pm Selon (02) 0 = 479,00 pm 0,8... 0,507 un 06156 0,350? .m-- __ 03844 0,1493 0,3844 0, 6493 0,1 156 O, 1493 0,1 156 O, 6493 "2 Figure ]. Projection sur la face y0z des atomes contenus dans la maille orthorhombique du diiode et coordonnées de chaque atome, exprimées en fraction du paramètre de maille correspondant. 2.0 HSO4" (aq>----> 1.5 -- Figure 2. Diagramme potentiel--pH du système soufre-eau à 25°C tracé pour une concentration des espèces dissoutes de 0,1 mol.L"l. Fin du problème de chimie PROBLEME DE PHYSI UE AUTOUR D'UN VEHICULE ELECTRIQUE Cette étude aborde différents thèmes liés à l'automobile. Les différentes parties sont indépendantes. Un formulaire global se trouve en fin d'énoncé. PARTIE I : étude de la motorisation I] A) Principe de fonctionnement et modélisation. Le principe de la conversion d'énergie électrique en énergie mécanique repose sur une interaction champ magnétique - courant électrique. L'espace sera repéré par les bases habituelles (êx,êy,êz) ou (ër,ë9,êz) suivant qu'on travaille en coordonnées cartésiennes ou cylindriques. L'axe principal de la machine est colinéaire à ëz . Dans la machine à courant continu que nous étudions ici, le stator aussi appelé inducteur est alimenté par un courant continu, appelé courant d'excitation et noté : l'.... Il crée à l'intérieur de la _, machine un champ magnétique radial, porté par ër :B : Brër avec B, : Br(i EUR) = K (6)i qui est exc ' exc proportionnel au courant d'excitation i... et qui dépend de (9. On a K(9)=k pour ÛE]%;î--[ et K(Û)=--k pour 95}--fl;%[U]--Ë;fl[ où k est une constante positive. Pour un courant d'excitation iexc positif donné, Br(i exc ' EUR) est alors la fonction de 0 constante par morceau, représentée figure 1: Br(iexoe 9) k. l., C ..T[ 9 2 5 'k- iexc Figure 1 Le rotor, aussi appelé induit se compose de N spires rectangulaires montées en parallèle. Les spires de rayon a et de longueur 11, ont pour axe principal z'z. Lorsque le rotor est parcouru par un courant continu ], chaque spire est parcourue par le courant : IS : 1 N . Ces spires peuvent tourner autour de l'axe de rotation z'z. Un système bagues-balais permet d'inverser le courant dans les spires à chaque demi-tour de sorte qu'on se trouve toujours dans la configuration décrite par les figures 2 et 3. B ...................... .. -./vducteur aller Traj ectoire d'un conducteur . .. o' o . 'o .. . n o o .. .. '. .. o o '. .. °°°°°°° °°°°°°° ........... Figure 2 Système bagues-balais\ Figure 3 D'un point de vue électrique, chaque spire du rotor & une résistance i" et une inductance propre 5. D'un point de vue mécanique, le rotor tourne autour de l'axe z'z à la vitesse angulaire Q = Q ê" , on & note J son moment d'inertie. Modélisation : 1) Par induction électromagnétique, un circuit électrique peut être le siège d'une tension induite. Rappeler dans quelle(s) condition(s) ce phénomène apparaît, on distinguera le cas de Neumann et le cas de Lorentz. 2) Lorsque le rotor tourne, il apparaît le long des conducteurs aller (oc, B) et retour (y, 6) deux tensions induites 60113 et 675, de sorte qu'une spire peut être modélisée par le schéma électrique de la figure 4. Figure 4 Déterminer les fem. (forces électromotrices) induites 60113 et 675 en fonction de Q , a, 11, k et iexc. En déduire la fem. totale induite espioe aux homes d'une spire. 3) On modélise le rotor par le circuit R, L, E alimenté par une source de tension continue Vreprésenté figure 5. I R L E 1 Figure 5 Donner les expressions de R, L et E en fonction de r, 6, a, h, Q , k, iexc et N. 4) Applications numériques : On donne r = 12 @, EUR= 1,4 1--1, a = 25 cm, h = 1,1 m, N: 40 spires, i... = 0,5 A et k = 3,2 s.1... Le moteur fonctionne en régime permanent à 3000 tours par minute. Il est alimenté par une source de tension V= 310 V. Préciser les valeurs numériques de R, L et E. Quelle est l'intensité du courant ] absorbé par le moteur '? Etude mécanique : Lorsque "le moteur est parcouru par un courant continu [, il est soumis à des forces électromagnétiques de moment (ou couple) F : I'ëz . S) Exprimer F en fonction de I, a, 17, k et iexc. Application numérique : Calculer le couple F pour un courant I = 113 A. Etude énergétique : On considère un fonctionnement moteur pour lequel Q = 3000 tr/min, V= 310 V et l = 113 A. On note : - P...æ la puissance mécanique délivrée par le moteur, -- P] les pertes Joule dissipées dans le moteur, . Pa"... la puissance délivrée par l'alimentation. 6) Quelle relation existe--t-il entre ces trois puissances '? Calculer chacune d'elles. 7) Définir le rendement du moteur et le calculer. Compromis couple / vitesse : On suppose ici que le moteur est fortement sollicité de sorte que l'alimentation stabilisée en tension délivre son. courant maximum dit courant de saturation. Vet ] sont alors fixés ! 8) Comment varie la vitesse de rotation du moteur ainsi que le couple F si on diminue progressivement le courant d'excitation iexc '? Expliquer pourquoi un véhicule tout électrique, motorisé par une machine à courant continu peut s'affranchir d'une boite de vitesse. On pourra, par exemple, expliquer comment agir sur le courant d'excitation pour simuler un « rétro gradage ». I] B) Alimentation de la machine par un hacheur série : Le véhicule, motorisé par la machine à courant continu (M.C.C.) modélisée précédemment, est alimenté par une source de tension constante U = 400 V, par l'intermédiaire d'un hacheur série, de rapport cyclique oc et de période de hachage T, représenté figure 6. . > «ou f IK L Figure 6 La M.C.C. est considérée, dans cette partie, comme parfaite, on néglige sa résistance R. Son modèle se ramène ainsi à une inductance L en série avec la f.e.m. E. On supposera ici que le courant * d'excitation iexc ne varie pas. Il est fixé à 0,5 A. La f.e.m. E est donc proportionnelle à la vitesse. On a E = 276 V pour Q = 3000 tr/min. La commande du transistor K est la suivante : -- Sur l'intervalle [O, od], le transistor K est passant. --- Sur l'intervalle [DJ, 7], le transistor K est bloqué. Dans les mêmes conditions de frottement, on a relevé les deux chronogrammes de la figure 7. L'un des deux est obtenu lorsque le véhicule roule sur le plat, l'autre lorsqu'il aborde une montée. .................................................................................................................................................................................................................................................................................................. Courant (A) [max = 61 A [max ___--_ [min := 50 A 11771... : 0 5 ms t 0 5 ms t Chrono gramme l Chrono gramme 2 Figure 7 9) Quel chronogramme correspond au fonctionnement en montée du véhicule ? Parmi les courants i;ç, ip et i, quel est celui relevé sur les chronogrammes '? Quelle est la fréquence de hachage ? Que vaut approximativement le rapport cyclique on ? 1.0) Ecrire l'équation différentielle reliant i, U et E sur l'intervalle de temps [O, od]. En déduire l'ondulation du courant Ai = [max ----- I...... en fonction de L, U, E, or et T. ll.) Ecrire l'équation différentielle reliant 1' et E sur l'intervalle de temps [OLT, 7]. En déduire une autre expression de l'ondulation du courant Ai = L,... ---- ,... en fonction de L, E, oc et T. 12) D'après les deux relations précédentes, déterminer la relation entre E, oc et U. Quelle est approximativement la vitesse de rotation de la M.C.C. au cours des deux essais correspondant aux chronogrammes précédents ? Quelle est la vitesse de rotation maximale du dispositif étudié ici ? 13) Exprimer Ai en fonction de L, oc, T et U. Retrouver à l'aide des chronogrammes précédents la valeur de l'inductance L. PARTIE II : étude des équipements de confort II] A) Système de climatisation. Pour un confort optimal, on se propose de maintenir l'air contenu dans le véhicule à 20°C. On rappelle que la pression à l'intérieur du véhicule est maintenue par équilibre mécanique avec le milieu extérieur à 1 bar ou 105 Pa. Le volume d'air contenu dans le véhicule est V= 4 m3 . L'air sera assimilé à un gaz parfait. La température extérieure est Hg = 35°C. Dimensionnement du système de climatisation : Si on coupe toute ventilation et toute climatisation, on constate que la température de l'air contenu dans le véhicule passe de 20°C à 21,5°C en une minute. 14) Quelle est l'énergie thermique récupérée par l'air du véhicule en une minute ? 15) En déduire la puissance du climatiseur nécessaire pour maintenir la température de l'air à 20°C. 16) Dans la pratique, on installe un climatiseur de puissance bien plus importante : P = 500 W. Commenter ce choix. Etude du système de climatisation en circuit fermé (figure 8) : En mode non recyclable, l'air du véhicule est aspiré par le compresseur à la température @; = 20°C et àla pression. PA = 1 bar. Il est alors comprimé adiabatiquement de façon réversible jusqu'à une pression PB et une température «93. Il échange thermiquement de l'énergie, de façon isobare avec l'air extérieur de température 92 = 35°C. La température de l'air comprimé diminue ainsi jusqu'à (95. La turbine effectue alors une détente adiabatique et réversible jusqu'à la température Hp = 5°C et à la pression PD === PA = 1 bar. Le compresseur, la turbine et le moteur sont montés sur le même arbre mécanique. Air extérieur 62 = 35°C Echangeur Turbine Compresseur Moteur Figure 8 17) Pour un système ouvert unidimensionnel en écoulement permanent pour lequel il n'y a quasiment pas de variations d'énergies cinétique et potentielle macroscopiq,ues le bilan en puissance s'écrit: D mAh : Eh + 3 où lîh correspond à la puissance thermique récupérée par le système et la à la puissance mécanique récupérée par le système autre que celle des forces de pression amont et aval. A quoi correspondent les grandeurs Dm et Ah ? On en précisera bien les unités S.1.. 18) Représenter l'allure du cycle des transformations subies par l'air dans un diagramme (P, V), où P est la pression du gaz et v son volume massique. 19) Quelle est la valeur minimale de la température qu'on peut espérer atteindre en C ? Quelle contrainte sur la géométrie de l'échangeur permet de s'approcher au mieux de cette température '? 20) En admettant qu'on ait le refroidissement maximum dans l'échangeur, quelle doit être la pression minimale en sortie du compresseur pour rejeter de l'air à 5°C dans le véhicule. 21.) Quel débit massique du climatiseur permet d'assurer la puissance de climatisation PCI,-... : - 120 W ? 22) Déterminer la puissance mécanique prélevée par le compresseur sur l'arbre du moteur, ainsi que celle fournie à cet arbre par la turbine. En déduire l'efficacité globale de ce dispositif idéal. 23) Dans la pratique, on a plutôt une efficacité de l'ordre de 3 à 4. Expliquer cette différence. H] B) Etude du système de positionnement par satellite (G.P.S.) : Les premières couches de l'atmosphère terrestre sont constituées de gaz électriquement neutres et, du point de vue électromagnétique, peuvent être assimilées au vide. Au contraire, la dernière couche appelée ionosphère, est un plasma, c'est--à--dire un gaz partiellement ionisé, très dilué, localement neutre et constitué d'électrons et d'ions atomiques monochargés. Le vide et le plasma ont pour permittivité électrique 80 et pour perméabilité magnétique ,uO . On notera m la masse de l'électron et --e sa charge électrique, M la masse d'un ion et +6 sa charge électrique. On remarquera que, quelle que soit la nature de l'ion, m est négligeable devant M. Il y a n ions et n électrons par unité de volume dans l'ionosphère. Ces particules sont supposées non relativistes, c'est--à--dire que leur vitesse est très inférieure àla célérité c de la lumière. Les signaux électromagnétiques envoyés depuis la surface de la terre vers un satellite G.P.S. (situé à très haute altitude) doivent traverser l'ionosphère. Il en est évidemment de même pour les signaux émis par le satellite vers la surface de la terre. On envoie depuis la surface de la terre vers le satellite G.P.S. une onde électromagnétique plane, progressive, monochromatique, polarisée rectilignement, qui traverse d'abord les premières couches de l'atmosphère, puis l'ionosphère, pour atteindre le satellite. Pour cette étude, on ne tient pas compte de la géométrie sphérique de la terre. On considère le problème comme localement plan. L'axe des 2 est l'axe vertical ascendant. On utilise les notations complexes habituelles, les champs électrique et magnétique associés à cette onde ont pour expression: _É== E0exp(i(a)t-- ](Z)) et B= & exp(i(æt-- kz)). Etude du plasma : 24) Quelle est la relation entre les amplitudes iiË0ii du champ électrique, Ë0" du champ magnétique et la célérité (: dans le cas de la propagation dans les premières couches de l'atmosphère '? 25) En supposant que cette relation reste valable dans l'ionosphère, justifier que la force magnétique est négligeable devant la force électrique qui s'exerce sur une particule chargée de l'ionosphère. 26) Montrer que les électrons de l'ionosphère tendent à vibrer par rapport à une position moyenne avec une vitesse complexe & qu'on exprimera en fonction de a), e, m et _E_ . 27) De même, exprimer la vitesse complexe ip de vibration des ions en fonction de a), e, M et _E_--_ . '? Que peut on dire de Hifi)" par rapport à {; EUR 28) Justifier qu'il existe dans le plasma une densité de courant :; . A l'aide d'une approximation, exprimer Î en fonction de n, a), e, m et _E: . Montrer qu'on peut définir une conductivité électrique complexe ;! qu'on exprimera en fonction de n, e, a) et m. 29) Y a--t--il dissipation d'énergie au cours de la propagation de l'onde dans le plasma '? Pourquoi ? Etude des ondes électromagnétiques : 30) Ecrire les quatre équations de Maxwell dans le plasma. 31) En déduire l'équation aux dérivées partielles satisfaite par le champ _Ê_ dans le plasma. 32) En remarquant que A_Ë_ =----k2_É _. établir la relation de dispersion de l'onde dans le plasma. 2 7 a) ------(0 "' _ _ _ On l'écr1ra sous la forme : k2 : ------------.,----3-- et on préc1sera l'expressron de (()p en fonction de n, 6, Ca'- , 80 et m. ! a)}? r r . . 33) La frequence fp == 2 est appelee frequence de coupure du plasma. Justifier son nom. Y a--t--1l * ][ des précautions particulières à prendre sur le choix de l'onde électromagnétique utilisée selon qu'on souhaite communiquer avec un satellite situé au dessus de l'ionosphère (cas du GPS.) ou qu'on souhaite propager une émission radio en ondes courtes à très grande distance au dessus de la terre '? 34) On suppose f > ]Ç,, exprimer en fonction de 0, f et [... la vitesse de groupe vg d'un paquet d'ondes très étroit centré sur la fréquence f. Correction ionosphérique pour le système GPS. : Un satellite S, supposé ponctuel, se trouve au dessus de l'ionosphère, d'épaisseur H, à la verticale d'un point P de la terre. On note D la distance SP (figure 9). On rappelle que la partie de l'atmosphère qui n'est pas l'ionosphère est assimilée à du vide. ionosphère Figure 9 35) Le satellite émet simultanément à t = 0 deux paquets d'ondes très étroits, centrés autour des deux fréquences f; et fg, avec J'] > fg >> 1}. Ils arrivent respectivement en P aux dates t; et {Z. Exprimer en fonction de H, (3, f... f; et fg le décalage temporel At = t. ---- 1'! des temps de réception des deux signaux à leur arrivée en P. Simplifier cette expression en remarquant qu'au voisinage de 0 on a : (l --- X)" z l-- [or. 36) Etablir l'expression du temps { mis par une onde de fréquence [ >> 1} pour parvenir du satellite jusqu'au point P en fonction de D, H, c, fet I}. 37) En déduire à l'aide des résultats précédents que D = ct --- d, où l'on exprimera d en fonction de 0, At, £ f; et fg. 38) Le terme d est appelé correction ionosphérique, il est obtenu par mesure de At en temps réel. Il est de l'ordre du cm. Commenter cette valeur dans le cas d'une localisation automobile. Formulaire : Capacité themique massique de l'air à pression. constante : c,, = 1,00 k].kg'l .K"'. Masse molaire de l'air : M... = 29 g.mol". Constante des gaz parfaits : R = 8,31 J.KÎ'.mol"'. Rapport des capacités thermiques à pression et volume constants pour l'air : y : Cp/Cv = 1,4. Permittivité électrique du vide : 80 = 8,85><1042 F.m°'. Perméabilité magnétique du vide : ,u0 = 47t><10"7 S.I. Célérité de la lumière dans le vide : c = 3><108 ms". Masse de l'électron : m = 9,1 ><10"27 kg. Charge électrique élémentaire e = l,6>< 10"19 C. On rappelle que rôt(rôt(â)) : gfad(div(ä)) ------ Aâ . Fin du problème de physique Fin de l'énoncé

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 CCP Physique 2 PSI 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Claire Besson (Docteur en chimie) et Rémy Hervé (Professeur agrégé à l'université) ; il a été relu par Alexandre Hérault (Professeur en CPGE), Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE), Mickaël Profeta (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Comme souvent dans les épreuves de CCP, ce sujet aborde de fa con indépendante un vaste éventail de domaines touchant au programme des deux années de classe préparatoire, ce qui permet aux candidats de sélectionner ceux qui leur sont les plus familiers. L'ensemble de l'épreuve reste d'un longueur raisonnable, puisque d'après le rapport de jury, « 10 % des candidats l'ont traitée dans sa quasi-intégralité. » Il faut noter que bien que le problème de chimie représente le même poids dans le barème que la partie physique, il est comparativement plus court et ne présente de surcroît pas de difficulté notable. Il n'est donc pas nécessairement judicieux d'y consacrer la totalité des deux heures suggérés par l'énoncé. Le problème de chimie s'articule autour de deux méthodes permettant de décomposer l'eau en dihydrogène et dioxygène. On s'intéresse tout d'abord à la réaction directe, effectuée par chauffage de l'eau à haute température et sous pression. Étant donné l'inefficacité de cette méthode, une deuxième possibilité, faisant intervenir des espèces intermédiaires iodées et soufrées, est alors étudiée. Bien que la partie chimie forme un ensemble cohérent, ses questions sont presque toutes indépendantes. Elles traitent majoritairement de thermodynamique et d'équilibres en phase gazeuse ou en solution aqueuse. Sont également abordées, bien que plus brièvement, les structures électroniques des atomes et molécules ainsi que la cristallographie. Le problème de physique s'intéresse quant à lui à la voiture électrique. Ses deux parties sont indépendantes et abordent des domaines physiques distincts. · La première partie est consacrée aux moteurs à courant continu. Elle aborde leur principe de fonctionnement puis l'utilisation d'un hacheur pour alimenter le rotor. Les chapitres portant sur l'électronique et le couplage électromécanique doivent être maîtrisés pour aborder cette étude. · La seconde partie juxtapose deux thématiques différentes : d'une part l'étude thermodynamique d'un climatiseur pour voiture, d'autre part la propagation d'une onde électromagnétique dans un plasma en vue d'appliquer les résultats à la localisation par GPS. De ces deux sous-parties, la seconde est la plus proche du cours : elle demande essentiellement de retrouver des résultats d'électromagnétisme dans les milieux conducteurs. La première, en revanche, requiert d'être à l'aise avec les raisonnements et les calculs thermodynamiques car la démarche à suivre pour répondre aux questions est rarement évidente. Ce sujet riche et varié aborde de nombreux domaines de la physique. Il est prétexte à étudier des dispositifs de la vie courante dont le principe de fonctionnement gagne à être compris. Il est par ailleurs bien structuré et bien écrit ; il constitue un entraînement solide aux écrits. Indications Problème de chimie I.1 La loi de Van't Hoff est une loi de modération, qui peut être démontrée à partir de la relation de Van't Hoff d ln K r H = dT RT2 I.3 Exprimer les différentes pressions partielles en fonction de PH2 et de la pression initiale. Il convient de supposer que les gaz sont parfaits. II.2.1 Dans quelle ligne du tableau périodique l'iode se trouve-t-il ? II.2.4 Les variables x, y et z sont des coordonnées fractionnaires : ne pas oublier les paramètres de maille dans l'expression des distances. II.3.1 Le soufre peut éventuellement être hypervalent. II.4.2 Il n'est besoin, pour trouver le bon cycle thermodynamique, que de se laisser guider par les données numériques fournies par l'énoncé. II.5.2 Noter que la résolution de cette question est formellement identique à celle de la question I.3. Problème de physique 2 3 4 5 Prendre garde aux orientations. Les spires sont montées en parallèle. On peut supposer que I est constant. La force de Laplace pour une portion de conducteur d orientée dans le sens du courant est -- - - dFL = I d B Il faut sommer les moments de chaque force infinitésimale. 6 Déduire une équation énergétique de l'équation électrique et comparer la puissance du couplage inductif à la puissance des forces de Laplace. 9 La vitesse étant fixée, comment varie le couple entre du plat et une côte ? Quand la diode est-elle passante ? 12 Pour que le moteur fonctionne correctement, il faut que les deux i calculés soient égaux. 19 La valeur minimale est atteinte lorsqu'il y a équilibre thermique avec l'air extérieur. 20 Pour un gaz parfait, au cours d'une transformation adiabatique réversible, P T/(1-) = Cte 21 Utiliser la relation de la question 17 entre l'entrée de l'air refroidi dans l'habitacle et son aspiration par le compresseur. 22 Pour les deux puissances, utiliser la relation de la question 17. 25 Pour des particules non relativistes, k- v k c. - - 28 La conductivité est définie par = E . 33 Quelle est la nature de l'onde pour f < f p ? 38 Comparer cette correction à la taille de la voiture. La production massive de dihydrogène I. La décomposition thermochimique de l'eau I.1 On étudie la réaction 1 O2(g) T = 1 800 K 2 Cette réaction est la réaction opposée à la réaction de formation de l'eau. On a donc H2 O(g) - H2(g) + r H = -f HH2 O = 251,139 kJ.mol-1 Ainsi, r H > 0 : la réaction est endothermique. On déduit de la relation de Van't Hoff, qui s'écrit d ln K r H = dT RT2 la loi de modération de Van't Hoff. Celle-ci stipule que pour un système fermé à pression ou volume constant, une augmentation de la température entraîne un déplacement de l'équilibre dans le sens endothermique. La décomposition de l'eau est donc favorisée par une élévation de la température. I.2 Par définition, la constante d'équilibre s'écrit -r G K = exp RT et donc puisque r G = -f G K = exp f G RT = exp -147 330 8,314 × 1 800 = 5,3.10-5 I.3 On a à l'équilibre K = PH2 (PO2 ) PH2 O (P )1/2 (1) avec P la pression standard. Calculons les pressions partielles en fonction de l'avancement de la réaction, noté . On note également ni la quantité de matière d'eau initialement introduite. 1 H2 O(g) - H2(g) + O2(g) 2 initial ni 1 à l'équilibre ni - 2 Par conséquent, en notant xk la fraction molaire du composé k et nt = ni + /2 la quantité de matière de gaz totale, on obtient ni - x = H2 O nt xH2 = nt xO = 2 2nt d'où, en notant P la pression totale, ni ni P H2 O = n P - n P = n P - P H2 t t t P P H2 = nt P H2 P O2 = P= 2nt 2 Supposons les gaz parfaits. On a alors, en notant Pi la pression initiale et V le volume du réacteur utilisé, supposé constant, Pi P RT = = ni nt V ( P H2 O = P i - P H2 Il vient finalement P H2 P O2 = 2 L'énoncé ne propose pas de relation permettant de relier pression totale et pression initiale, ce qui est une erreur. L'hypothèse que les gaz sont parfaits est la plus simple qui permette de répondre à la question. On pourrait également se contenter de l'hypothèse, légèrement moins restrictive, que Pi P = = f (T, V) ni nt Introduisons les pressions partielles obtenues dans l'équation (1). On obtient K = (PH2 )3/2 (Pi - PH2 )(2P )1/2 Il ne reste qu'à résoudre cette équation d'inconnue PH2 , avec P = 1 bar, Pi = 100 bar et K = 5,3.10-5 . L'application numérique donne PH2 = 3,83.10-2 bar ni En considérant les gaz comme parfaits, on obtient Le rendement de la réaction vaut = = 3,83.10-2 P H2 = = 3,83.10-4 Pi 100 Le rendement est très faible. De surcroît, le procédé nécessite une température extrêmement élevée. Ces différents paramètres rendent le procédé économiquement peu intéressant. Le faible rendement n'est en réalité pas nécessairement un obstacle à l'application de ce système : l'exploitation de ce procédé nécessiterait la séparation du dihydrogène du mélange réactionnel, ce qui entraînerait un déplacement de l'équilibre dans le sens de production de ce gaz et donc une amélioration du rendement. Le problème provient donc plutôt de la température élevée, nécessaire à la fois pour les raisons thermodynamiques évoquées à la question I.1 et pour favoriser la cinétique de la réaction de décomposition.