CCINP Physique 2 PSI 2009

Thème de l'épreuve Ferromagnétisme et protection électrique. La chimie autour du fluor.
Principaux outils utilisés électromagnétisme, diffusion thermique, structure électronique, structure de Lewis, cristallographie, oxydoréduction, solutions aqueuses, polymères
Mots clefs fluor, PTFE, milieu fondu, électrolyse, induction, transformateur, hystérésis, diffusion, ferromagnétisme, courant de Foucault, disjoncteur, fusible

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SESSION 2009

A PSIP208

CONCOURS (OMMUNS POlYTECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.
*****

N.B. : Le candidat atiachera la plus grande importance àla clarté, à la 
précision et à la concision
de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler 
être une erreur
d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en 
expliquant les raisons

des initiatives qu 'il a été amené à prendre.
*****

L'épreuve comporte un problème de physique et un problème de chimie. Les 
candidats traiteront les
deux problèmes dans l'ordre de leur choix et les rédigeront de façon séparée. 
Le sujet comporte 12

pages.
Durées approximatives : Physique : 2 heures

Chimie : 2 heures

Problème de physique

Ce problème comporte quatre parties largement indépendantes. Un formulaire se 
trouve en
fin de problème.

Partie I : Etude expérimentale d'un matériau ferromagnétique

On désire tracer expérimentalement le cycle d'Hystérésis B = f (H) d'un 
matériau se
présentant sous la forme d'un tore sur lequel sont bobinés deux enroulements. 
On note R son rayon

moyen et S sa section.
Le schéma de principe du montage expérimental est le suivant :

1/12

voie Y

Dans les conditions expérimentales, N2.i2 << N1.i1. On ne tiendra pas compte de la résistance des enroulements. H et B sont supposés uniformes dans le tore. Compte tenu qu'on peut inverser (en appuyant sur la touche « invert >>) une des 
deux voies
de l'oscilloscope, on n'attachera pas trop d'importance aux signes des 
coefficients de
proportionnalité K1 et K2 dans les deux questions suivantes.

1) La relation entre il et H est du type H : K1.i1 . Etablir l'expression de K1 
en fonction de N1 et R.

2) a) Rappeler la relation entre le flux $... à travers une section droite du 
circuit magnétique et
la tension induite vz dans la bobine 2. La relation entre vs et B est du type B 
: K2.vs. En déduire

l'expression de K2 en fonction de oc, N2 et S. On admettra que vs = 0, lorsque 
B = 0.

b) On utilise le montage ci--contre pour réaliser l'intégrateur.
Quelles doivent être les bornes d'entrée + et - de
l'amplificateur opérationnel pour un fonctionnement en mode

linéaire '? Etablir alors l'expression de oc en fonction de R et
de C.

3) Les composants donnent K 1 = 100 S.]. et K2 = 0,20 S.]. .

On observe sur l'écran de l'oscilloscope la courbe ci-dessous.
En déduire l'ordre de grandeur du champ magnétique rémanent Br , de sa valeur à 
saturation Bsat et

de l'excitation coercitive HC dont on précisera les unités !

...............................................................................................................

ocu---'-cooou.ouono.oootvonaecolcu-- coon-l\o-ooo 
uovou--o.c..oc|v|\oonooc-opoo'-oo----.-on->----no--ocooo ooooooooooo
. \ . .

.----.-

2/12

4) La ferrite présente un cycle de surface inférieure à celle du fer ainsi 
qu'un champ rémanent plus
faible.
Quel est parmi ces deux matériaux celui qui est le mieux adapté àla réalisation 
:

* d'un transformateur ?

* d'un aimant permanent '?

5) Sur l'oscillogramme, on évalue l'aire A du cycle à 6 carreaux. Rappeler sous 
forme d'une
intégrale, l'expression de la densité volumique d'énergie dissipée dans le 
matériau au cours d'un
cycle. L'évaluer numériquement dans le cas du cycle étudié ci-dessus.

Partie II : influence des courants de Foucault sur un cycle d'hystérésis

On considère un conducteur ohmique, cylindrique de très grande hauteur h (Le. 
supposé
infini) suivant l'axe z'z. Il est amagnétique, c'est-à-dire assimilable d'un 
point de vue magnétique à

du vide de perméabilité ....

...,

Ce conducteur est placé dans une région où règne un champ magnétique extérieur B

ext

_.

uniforme avec Bex, : Bmax cos(æt) @. Celui--ci provient d'une excitation 
extérieure

_.

H : Hmax cos(wt) @ .

EUR)Ct

On note ,a son rayon et y sa conductivité électrique.

42

_.

1) L'air est assimilé à du vide. Rappeler la relation qui existe entre Ë et H

ext ext '

---- rB cos cat _. . , . , . *
2) Montrer que A = Æ----(----)- ea est un potentrel vecteur dont derrve le 
champ magnet1que B

2 ext '
où ê}, est le vecteur unitaire ortho-radial des coordonnées cylindriques.

3) Expliquer pourquoi, il apparaît dans ce conducteur ohmique un champ 
électrique induit Ë ainsi
que des courants induits de densité volumique Îv .

4) Quelle relation existe--t-il entre une densité volumique de courant Z et son 
courant I ? Quelle est

l'unité de Z '?

3/12

5) En se plaçant dans l'approximation des régimes quasi--stationnaires, 
déterminer les expressions
de É et Îv en fonction de B

max'

r, y, a) et t.

6) Rappeler l'expression de la densité volumique locale des pertes J oule 
instantanées, puis établir sa
valeur locale moyenne sur le temps en fonction de B r, y et a) .

max'

7) A l'aide d'une intégration sur le conducteur de rayon p et de hauteur h, 
donner l'expression de la
densité volumique des pertes J oules moyennes sur le temps et sur l'espace.

8) Dessiner l'allure des lignes de courants induits à l'intérieur du conducteur 
étudié précédemment.
Les pertes à l'intérieur de ce conducteur sont elles modifiées :

- si on découpe le conducteur suivant un plan d'équation @ = constante '?
- si on découpe le conducteur suivant un plan d'équation z = constante '?

9) Pourquoi feuillette--t--on les circuits magnétiques des transformateurs 
électriques ?
Pourquoi aj oute-t--on du silicium (peu conducteur) au fer de ces circuits 
magnétiques '?

10) La densité de courant jv crée à l'intérieur du conducteur un champ 
magnétique B' avec

2 2
Ë'(Ï) : "O)/Bmaxw(p Î' )
4
et B'(r) =Ô pour tout r > ,a .

sin(wt) ëz pour tout r < p _. En assimilant l'induction magnétique B à l'intérieur du conducteur aux deux contributions B EUR)Ct et B' soit B = Bex, + B' , déterminer en fonction de Bmax , p , a) , t et y, le flux fi(t) de B à travers un disque de rayon p et d'axe z'z. @@ -- 2ez. 7rp 11) On définit le champ magnétique moyen dans le conducteur par < B(t) >= 
Déterminer

< B(t) > en fonction de Bmx, ..., y, a) , p et t.

12) On rappelle qu'à une grandeur sinusoïdale réelle x(t) : X max cos(wt + ça) 
, on peut lui associer la

grandeur complexe gg(t) : )_Çmaxej"" où X est le complexe de module X max et 
d'argument ça .

--HlâX

4/12

Montrer qu'on peut définir une perméabilité complexe # telle que < l_3(t) >= 
ÆËext(Ï)- On

précisera le module et l'argument de ,u en fonction de flo , y, a) et p.

13) Quelle est alors l'allure des cycles d'hystérésis des matériaux 
ferromagnétiques en haute
fréquence, lorsque les courants de Foucault sont importants ?

Partie III : utilisation des matériaux ferromagnétiques

A] Etude d'un circuit magnétique

On considère le dispositif suivant qui comporte un circuit magnétique torique 
et un
conducteur rectiligne supposé infini, parcouru par un courant i(t), placé sur 
l'axe de révolution du
tore. Le tore est à section rectangulaire de hauteur H, les côtés sont distants 
de a et b de l'axe de
révolution; a et b sont donc les rayons intérieur et extérieur du tore. On a 
b=2a et H=lcm. Le
matériau magnétique constituant le tore est supposé homogène, linéaire, de 
perméabilité

magnétique relative ur = 106. On rappelle que uo = 47c.10'7 Hm"'.

@ Z

V
2 I
a
H 4-------->
2h

1) En justifiant soigneusement votre réponse, montrer qu'à l'intérieur du tore 
le champ

magnétique est de la forme 13 = B(r, z) @ ;
2) Exprimer ce champ B(r, z) ;

3) En déduire l'expression du flux (b à travers une section droite du circuit 
magnétique.

B] Principe du disjoncteur différentiel

Un disjoncteur différentiel se compose de deux circuits électriques couplés par 
le circuit
magnétique précédent. La ligne électrique bifilaire EDF (230 Veff, 50 Hz qui 
assure le transport aller
et retour du courant) est placée au centre du circuit magnétique précédent. Une 
autre bobine,
assimilable à un circuit ouvert, comporte N spires enroulées autour du circuit 
magnétique.

5/12

ialler")

Bobine de N spires de section H.(b-a)

iretour")

Ligne
bifilaire EDF

4) Un usager touche accidentellement un seul des deux fils de la ligne centrale 
bifilaire, par
exemple le conducteur aller, en même temps que ses pieds sont reliés à la 
terre. Il y a alors un
courant de fuite : tout le courant véhiculé par le conducteur aller ne repart 
pas par le conducteur
retour. Pour qu'il n'y ait pas d'accident grave, l'intensité efficace du 
courant qui traverse
l'usager doit être inférieure à 30 mAeff. Expliquer en quoi ce dispositif 
permet-il de détecter une

électrocution '?

5) La bobine précédente alimente un électroaimant qui coupe l'alimentation EDF 
sur seuil de
tension : Vseuil = 5 Veff_ Combien doit--elle comporter de spires pour une 
protection de 30 mAeff

(courant maximal admissible dans le corps de l'usager !) '?

6) En pratique, les matériaux magnétiques ne sont généralement pas linéaires, 
mais présentent un
cycle d'hystérésis B(H). Pourquoi les constructeurs de disjoncteurs 
différentiels recherchent-ils

dB

en H = 0, soit maximum '?
dH

des matériaux magnétiques doux tel que

C] Protection des personnes à l'aide d'un transformateur

Dans certains pays, on impose que certaines installations électriques (salles 
de bains,
piscines. . .) soient alimentées via un transformateur de rapport m =].

i1(t) iz(t)

/__+_
___/

6/12

7) Y a-t-il un risque d'électrocution si on touche accidentellement un seul des 
deux conducteurs
du secondaire du transformateur. En quoi un transformateur constitue-t-il un 
élément de

protection des personnes '? Quelles sont ses limites ?
Partie IV : protection des lignes électriques domestiques

On considère un conducteur métallique de grande longueur L, de section 
circulaire de rayon R,
de masse volumique u, de capacité calorifique massique c. On notera y sa 
conductivité électrique et

À sa conductivité thermique. Toutes ces grandeurs sont uniformes dans le 
conducteur et considérées
indépendantes de la température.

Ce conducteur est parcouru par un courant électrique d'intensité I, dont la 
densité de courant L

est supposée uniforme. On se place en régime permanent et on néglige les effets 
de bords. On
admettra qu'entre le fil et l'air ambiant, dont la température vaut To, il 
s'établit des échanges

thermiques superficiels définis par la loi de Newton : dd : h [T (R) -- TO] 
6119 . La puissance thermique

récupérée par le milieu extérieur est proportionnelle à la surface du 
conducteur et à la différence de
température entre l'air et la périphérie du conducteur.

1) Les phénomènes de conduction thermique et électrique sont décrits par deux 
lois
phénoménologiques : lesquelles ? Préciser les unités des grandeurs qui 
interviennent.

2) Du fait des symétries, de quelle(s) variable(s) dépend la température et que 
peut-on dire du
vecteur densité de courant thermique ÎQ '?

3) La conduction électrique est responsable d'une dissipation d'énergie par 
effet Joule dans le
conducteur. Rappeler, en faisant intervenir je et une caractéristique du 
milieu, l'expression de la

densité volumique de puissance dissipée, notée pJ.

4) Donner l'expression du flux thermique % (r) traversant le cylindre de rayon 
r < R et de longueur L. Dans les questions 5 et 6, on se propose de déterminer l'équation différentielle qui régit la variation radiale de température en régime permanent. On considère comme système la portion de conducteur comprise entre r et r + dr et de longueur L. 7/12 5) On note dPg1 la puissance thermique élémentaire dissipée par effet J oule dans notre système. A l'aide de la question 3, exprimer dPg1 en fonction de je et des caractéristiques géométriques du système. 6) Relier % (r) , % (r + dr) et dP.... Puis en déduire l'équation différentielle qui régit la variation de température. 7) Déterminer l'expression de T(r) en fonction de la condition aux limites T(R) encore inconnue. On remarquera que r d--T est nul en r = 0 ou que T(O) reste finie. dr 8) En écrivant la conservation de la puissance en R, déterminer T(R) en fonction de 1, y, h et des caractéristiques géométriques du conducteur. On rappelle que I : jeîrR2 . 9) On donne les températures de fusion du plomb et du cuivre : Tfu5(Pb) = 327 °C et Tfus(CU) = 1085°C, ainsi que les conductivités électriques y(Pb) = 4,8 106 8.1. et y(Cu) = 59,6 106 S.l.. On supposera que To = 300 K (ou 27 °C) et h = 1,3 W.m'2.K'l. Que pensez-vous d'un conducteur de plomb de rayon R = 0,25 mm, parcouru par un courant de lA ? Les anciens fusibles étaient des fils de plomb non gainés. Sur quel(s) paramètre(s) jouait--on pour qu'ils servent de limiteur de courant à usage unique ? Formulaire : On donne en coordonnées cylindriques : _. ÔU_. lÔU.. ÔU_. adU :_ +----- +---- , gr ( ) ôr er r 99 69 92 6" @ . ...-1 +aô.ôwz>
r ôr r 99 62

,5,(ä)=[ __1_ a ô), +(a<ôar>_ôgaz>)ëe +(1a_1ô]_
Z ]"

r 92 92

a2U lôU 1 62U 82U 1 @ 5U 1 a2U 62U
: 2 +__+--2' 2 + 2 =--_(r----)+--Î 2 + 2
ôr r Ôr r 99 Ôz r ôr ôr r 99 92

AU

Fin du problème de physique

8/12

PROBLÈME DE CHIMIE

La chimie autour du fluor

Toutes les données nécessaires àla résolution de ce problème sont disponibles 
en fin d'énoncé.

La préparation industrielle du difluor gazeux F2(g) s'effectue par électrolyse 
à 100°C d'un bain
électrolytique fondu, composé d'un mélange liquide anhydre de fluorure de 
potassium et de fluorure
d'hydrogène, noté KF, 2HF. La notation KF, 2HF indique que ce mélange contient 
1 mole de KF
pour 2 moles de HF. Après avoir détaillé les différents constituants qui 
interviennent au cours de

cette électrolyse (questions 1 à 5), nous aborderons en détail la préparation 
du difluor gazeux
(question 6). Ensuite nous nous intéresserons aux solutions aqueuses de 
fluorure d'hydrogène
(question 7), puis àla formation des complexes fluorés du fer (III) (question 
8) et enfin au polymère
de tétrafluoroéthy1ène (question 9).

1. L'élément fluor F.
1.1. Ecrire la structure électronique du fluor à l'état fondamental.

1.2. Combien d'électrons de valence comporte le fluor à l'état fondamental '?
1.3. A quelle famille appartient le fluor '?

2. Le difluor F2.
2.1. Quel est le schéma de Lewis de la molécule F2 ?
2.2. Quelle est la nature de la liaison chimique entre les deux atomes de fluor 
dans la

molécule F2.

3. Le fluorure de potassium KF.

3.1. Quel est le schéma de Lewis de la molécule KF '?

3.2. Calculer le moment dipolaire de la molécule KF.

3.3. Calculer le caractère ionique partiel de la molécule KF.

3.4. En déduire la nature de la liaison chimique entre l'atome de potassium et 
l'atome de fluor
dans la molécule KF.

3.5. Le fluorure de potassium solide cristallise dans le même système que le 
chlorure de sodium.
3.5.1. Faire le schéma de la maille.
3.5.2. Sachant que la masse volumique du fluorure de potassium est p = 2480 
kg.m"3 ,

déterminer le paramètre de maille de KF(s) en pm.

3.5.3. Calculer la compacité de KF(s).
3.6. L'énergie réticulaire d'un cristal est l'énergie standard, à 0 K, de la 
réaction de dissociation

de ce cristal en ses ions constitutifs, à l'état gazeux et sans interaction 
entre eux.
3.6.1. Ecrire la réaction associée àla définition de l'énergie réticulaire du 
cristal KF(s).
3.6.2. Calculer l'énergie réticulaire du cristal KF(s) grâce à un cycle 
enthalpique à l'aide
des données précisées en fin d'énoncé.

9/12

4. Le fluorure d'hydrogène.
4.1. Quel est le schéma de Lewis de la molécule HF '?

4.2. Calculer le moment dipolaire de la molécule HF.

4.3. Calculer le caractère ionique partiel de la molécule HF.

4.4. En déduire la nature de la liaison chimique entre l'atome d'hydrogène et 
l'atome de fluor
dans la molécule HF.

4.5. Après justification, attribuer les températures de fusion T1 et T2 aux 
cristaux HF(s) et

KF(S). T1 = 859,9°C et T2 = 20°C.

5. L'ion hydrogénodifluorure.
L'ion hydrogénodifluorure HF5 joue un rôle important dans les milieux fondus de 
type KF, 2HF et

également dans les solutions aqueuses qui contiennent HF. Il faut noter que la 
situation de l'atome
d'hydrogène dans l'ion hydrogénodifluorure n'est pas permise par les théories 
élémentaires de la
liaison chimique. Seul le calcul de la stabilité de l'édifice HF 5 par la 
mécanique quantique permet
d'expliquer la position centrale de l'atome d'hydrogène au milieu du segment 
[FF].

5.1. Ecrire le schéma de Lewis de l'ion HF5 .

5.2. En déduire la géométrie de l'ion HF5 .

6. Préparation du difluor gazeux par électrolyse.
Au cours de l'électrolyse de KF, 2HF, si le fluorure d'hydrogène HF est bien 
réduit, ce sont les ions

hydro génodifluorure HF5 qui subissent la réaction d'oxydation.

6.1. Ecrire les réactions électrochimiques à l'anode et à la cathode. Il faut 
noter que le fluorure
de potassium KF n'a pas d'activité électrochimique dans cette électrolyse et 
que les ions H+
n'existent pas dans ce type de milieu fondu KF, 2HF.

6.2. Vérifier que le bilan de cette électrolyse est bien la décomposition de HF 
en H2 et F2.

6.3. Donner le schéma complet du dispositif permettant cette électrolyse. Vous 
indiquerez
notamment le sens du courant et le sens de déplacement des électrons, ainsi que 
le sens de
déplacement des ions hydrogénodifluorure dans la cuve d'électrolyse.

6.4. Le rendement de cette électrolyse est de 70 %. Calculer le volume (en 
litre) de difluor
gazeux produit à 100°C, sous la pression atmosphérique, à partir de 100 kg de 
mélange KF,
2HF. On assimilera le difluor à un gaz parfait dans les conditions 
expérimentales de
l'électrolyse.

6.5. Au cours de l'électrolyse de KF, 2HF il faut appliquer une différence de 
tension anode-
cathode comprise entre 8 et 10 V pour que l'électrolyse s'effectue dans de 
bonnes
conditions, alors que la tension thermodynamique de décomposition de HF est de 
2,9 V.

Donner une explication.

7. Les solutions aqueuses de fluorure d'hydrogène.
Le fluorure d'hydrogène est une molécule polaire, donc très soluble dans les 
solvants polaires et

dans l'eau en particulier. Les applications du fluorure d'hydrogène sont très 
nombreuses:
' précurseur de la synthèse de nombreux composés dans l'industrie 
pharmaceutique et de la

fabrication de divers polymères (PTFE notamment).

10/12

7.1. Ecrire l'équilibre acide base selon Bronsted de HF. La constante d'acidité 
associée à cet
équilibre est notée K1 = 10"3 "18,

7.2. Les solutions aqueuses d'acide fluorhydrique contiennent aussi (comme les 
milieux fondus
de type KF, 2HF) l'ion hydrogénodifluorure HF5 qui résulte de l'équilibre 
suivant :

F" + HF : HF; K2 = 10 0967.

7.2.1. Exprimer la concentration molaire Cp en élément fluor de la solution 
aqueuse, en

fonction des concentrations molaires [HF], [F] et [HF5].
7.2.2. Calculer le pH et la valeur de la concentration CF lorsque 2[F_] = 
[HFQ]. On négligera

l'autoprotolyse de l'eau et on vérifiera les hypothèses posées.

8. Les complexes FeFQ".
L'ion fer (III) forme avec l'ion fluorure quatre complexes successifs FeFQ'" 
tel que x = l, 2, 3 et

4. Les constantes globales de formation BX associées aux quatre complexes 
formés sont définies
telles que :

B1=106,O; BZ =1010,7 ; B3 =1013,7 ; B4 =1016,1.

8.1. Calculer les constantes successives de dissociation de ces complexes.

8.2. Tracer le diagramme de prédominance des complexes en fonction de pF = -- 
log[F"].

8.3. On considère une solution aqueuse constituée de sulfate de fer (III) de 
fluorure de
potassium. Déterminer l'espèce majoritaire dans cette solution pour les 
conditions
expérimentales suivantes :

8.3.1. pF = 5,3
8.3.2. [F'] = 9.10--4 mol.L_l.
8.4. On considère une solution aqueuse de sulfate de fer (II) dans laquelle on 
fait buller du

difluor gazeux.
8.4.1. Quelles sont les précautions expérimentales à prendre '?
8.4.2. Peut-on envisager la formation d'un complexe de fer (III) de type FeFÿ" 
'? Expliquer

toutes les étapes de votre raisonnement.

9. Le polymère de tétrafluoroéthylène PTFE.
Le PTFE possède des propriétés remarquables notamment sa résistance et son 
inertie chimique

vis--à-vis de la plupart des agents chimiques. L'un des seuls corps à attaquer 
le PTFE est le
difluor du fait de son très grand pouvoir d'oxydation.

9.1. Donner le motif du PTFE.
9.2. Ecrire la formule du monomère.

9.3. Quel est le nom courant du PTFE ?
9.4. Donner des exemples d'utilisation du PTFE.

11/12

Données numériques.

Electronégativité
Masse molaire en g.mol"

un.

"...
Rayon ionique (pm) 133 151

e =1,6.1(ï19 c
1Debye = 3,33.10"30 C.m

HF
L, longueur de liaison (pm) L(K--F) = 213 L(H--F) = 92

qF, charge partielle sur le fluor (C) _ 1,34 >< 10--19 _ 6956 >< 10-- ' Données thermodynamiques : Enthalpie standard de formation du cristal de fluorure de potassium : AÆ°(KF, s) = -- 567 l<{J.mol_1 Enthalpie standard de sublimation du potassium : AsubH° : 89 kJ.mol"1 Enthalpie standard de première ionisation du potassium : A...H1 = 415 kJ.mol"1 Enthalpie standard de dissociation de la liaison dans F2 : AdisH°= 159 kJ.mol"1 Enthalpie de premier attachement électronique du fluor : AattH1 = 328 kJ.mol"1 Constante des gaz parfaits R = 8,314 J .mol_l.K_1 Pression atmosphérique normale P = 1,013.105 Pa Potentiels standard d'oxydoréduction E°(F2/F_) = 2,87 V/ESH EO(Fe3+/Fe2+) = 0,77 V/ESH Fin de l'énoncé 12/12