CCP Physique 2 PSI 2008

Thème de l'épreuve À propos de la machine asynchrone. Autour du dioxyde de titane.
Principaux outils utilisés conversion de puissance, électromagnétisme, électrocinétique, atomistique, cristallographie, équilibres, diagrammes potentiel-pH, polymères, courbes intensité-potentiel
Mots clefs dioxyde de titane, empilement pseudo-compact, trioxotitanate de fer(II), sulfate de titanyle, tétrachlorure de titane, peinture, acide acrylique, machine synchrone, moteur, courants triphasés, autopilotage, machine asynchrone, modulation d'amplitude, filtrage

Corrigé

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 mm.--52-- .v " mm.--fifi ...... mao...æ>Ë ...wm ammfiE - a:oËoËoe Ë5...ËË ......=o_zzu...-->_ooe ...::EOEou mz=ovzcu ' Les calculatrices sont autorisées. ***** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. ***** /¶pSUHXYH FRPSRUWH XQ SUREOqPH GH chimie et un problème de physique. Les candidats traiteront les deux problèmes daQV O¶RUGUH GH OHXU FKRL[ HW OHV UpGLJHURQW GH IDoRQ VpSarée. Le sujet comporte 12 pages. Durées approximatives : Chimie : 2 heures Physique : 2 heures PROBLEME DE CHIMIE Toutes les données nécessaires à la résolution de ce problème apparaisVHQW DX 9, HQ ILQ G¶pQRQFp AUTOUR DU DIOXYDE DE TITANE Le dioxyde de titane est un solide minéral largement utilisé dans des domaines YDULpV GH O¶LQGXVWULH (production mondiale entre 4 et 5 Mt/an). Sa principale application (> 90%) concerne les peintures auxquelles il apporte, comme pigment, une couleur blanche très lumineuse. Dans des secteurs de pointe, on utilise également ses propriétés catalytiques (synthèses diverses) ou photo-catalytiques (vitrages auto-nettoyants). Le problème ci-dessous évoque la synthèse et les propriétés de ce composé. 1/12 I. /¶pOpPHQW WLWDQH I.1. Ecrire la structure électronique du titane. Pourquoi cet élément fait-il partie de la famille des éléments de transition ? I.2. 3RXUTXRL O¶LRQ 7L4+ possède une grande stabilité ? I.3. &RPSWH WHQX GH OD YDOHXU GH OD PDVVH DWRPLTXH GH O¶pOpPHQW WLWDQH TXHO HVW OH QRPEUH GH neutrons de son isotope, très probablement majoritaire dans la nature ? II. Le titane métallique II. 1. A température ordinaire, le titane métallique cristallise, comme de nombreux métaux, dans le système hexagonal. Calculer sa compacité en utilisant les paramètres de maille fournis au § VI. &RPSDUHU OD YDOHXU REWHQXH j FHOOH G¶XQ HPSLOHPHQW VWULFWHPHQW FRPSDFW $%$% GH VSKqUHV GXUHV LGHQWLTXHV HW GLVFXWHU O¶Dppellation de « pseudo-compacte » généralement utilisée pour la structure du titane hexagonal. II.2. Calculer la masse volumique du titane hexagonal. II.3. Au-dessus de 880°C environ, le titane métallique cristallise dans le système cubique centré. Quelle évolution de coordinance observe-t-on au passage de la variété allotropique basse température à la variété allotropique haute température ? II.4. Montrer, en observant le diagramme e-S+ IRXUQL TXH OH WLWDQH PpWDOOLTXH UpGXLW O¶HDX (FULUH les bilans correspondant à cette réduction à pH = 2 et à pH = 12 (on considérera que le titane V¶R[\GH DX GHJUp ,, &DOFXOHU O¶DIILQLWp chimique standard de la réaction à pH = 12. Conclure. II.5. 4X¶REWLHQW-on en théorie par ajout G¶un excès de titane métallique en poudre à une solution aqueuse de chlorure titanique TiCl3 ? II.6. Pourquoi le titane est-il un métal passif dans les eaux naturelles aérées ? Schématiser le montage électrochimique permettant de mettre en évidence cette passivité par tracé des courbes i/e. III. Préparation du dioxyde de titane III.1. La méthode de préparation de TiO2 par voie humide a comme point de départ le trioxotitanate de fer (II), composé naturel de formule FeTiO3, disponible sous forme de minerai. Ce titanate solide est solubilisé GDQV O¶acide sulfurique concentré, donnant un mélange de sulfate ferreux FeSO4 et de sulfate de titanyle TiOSO4 (TiO2+ + SO42±). Montrer HQ XWLOLVDQW OHV QRPEUHV G¶R[\GDWLRQ que cette WUDQVIRUPDWLRQ Q¶HVW SDV XQH UpDFWLRQ G¶R[\GR-réduction. III.2. Après séparation du sulfate ferreux par cristallisation, la solution de sulfate de titanyle est traitée par une base qui précipite le dioxyde de titane. Dans quelle partie du diagramme e-pH de la Figure 1 (page 5) envisageriez-YRXV GH SODFHU OH GRPDLQH GH O¶Lon titanyle TiO2+(aq) ? III.3. Par quelle réaction de dismutation, dont on écrira le bilan complet, pourrait-on également obtenir le dioxyde de titane ? 2/12 IV. Purification du dioxyde de titane IV.1. Le dioxyde de titane obtenu par cette méthode ainsi que le dioxyde de titane naturel doivent toujours être purifiés. Cette purification utilise le passage par le tétrachlorure gazeux TiCl4. Quelle est la formule de Lewis de cette molécule ? Quelle est sa géométrie ? IV.2. La méthode utilisée industriellement pour préparer le tétrachlorure n'est pas la réaction directe : T102 (s) + 2 Clg (g) = T1Cl4 (g) + 02 (g) [Réaction 1] mais la « Réaction d'Oerstedt », une carbo--chloration de TiOz à température élevée selon : T102 (s) + 2 Clg (g) + 2 C (s) = T1Cl4 (g) + 2 CO (g) [Réaction 2] Pour comprendre la nécessité de l'ajout de carbone aux réactants TiOZ et C12, calculer la constante d'équilibre à 1 100 K de la réaction sans carbone (réaction 1). En déduire la quantité de TiCl4(g) formée dans un réacteur fermé porté à 1 100 K et contenant initialement un excès de TiOz solide et 10 mol de dichlore gazeux a la pression de 1 bar. Rendement ? IV.3. Comment évoluerait cette quantité (IV.2.) si on travaillait avec les mêmes quantités de matière dans un réacteur de volume 10 fois plus petit ? IV.4. On place maintenant dans le même réacteur 10 mol de dichlore, un excès de TiOz et un excès de carbone, ce dernier supposé occuper un volume négligeable. Calculer, de la façon la plus concise possible, la quantité de tétrachlorure de titane formée par la réaction 2 dans ces conditions et comparer au résultat de la question IV.2. Conclure. V. Utilisation du dioxyde de titane dans l'industrie de la peinture La majeure partie du dioxyde de titane produit dans le monde est utilisée comme pigment blanc dans les peintures. Une peinture est un mélange de plusieurs phases : 0 Une phase liquide constituée d'un solvant dans lequel est dissous un composé filmogène qui génère le feuil de peinture par évaporation du solvant (séchage de la peinture), 0 Une phase solide pulvérulente d'un pigment apportant la couleur désirée (TiOz dans le cas présent), 0 Une ou plusieurs phases solides pulvérulentes accessoires, les charges, conférant des propriétés mécaniques ou anti--corrosion. V.1. Les composés organiques ont longtemps constitué l'essentiel des solvants de peintures. Ce sont des hydrocarbures, des alcools, des esters, des cétones et des dérivés chlorés. Combien d'isomères de chaîne compte--t--on pour le monométhylhexane ? Quel est le nom de celui qui est optiquement actif ? Représenter son stéréoisomère R. V.2. L'acide acrylique (acide 2--méthyl, propénoïque) est le composé qui a donné son nom aux peintures acryliques. De nombreux dérivés polymères et polycondensés de cet acide sont employés comme composants filmogènes des peintures. Ecrire la formule développée de cet acide et celle du carbanion qui se forme quand il est attaqué par la base amidure NH{ (ce carbanion est le précurseur de polymérisation anionique de l'acide acrylique). V.3. Donner le mécanisme de formation du dimère a partir de ce carbanion. Quelle est la formule du motif de l'acide polyacrylique ? 3/12 VI. DONNÉES NUMÉRIQUES Numéro atomique : Ti : 22 Masse molaire atomique : Ti = 47,9 >< 1073 kg.molfl Constante des gaz parfaits : R = 8,314 J.Kfämofi Charge élémentaire : q = 1,60 >< 10719 C Nombre d'Avogadro : N = 6,02>< 1023 mor1 Constante de Nernst à 298 K : ln 10 >< RT/OE ... 0,06 V Rayon atomique Ti (S): rTi : 144,8 pm Paramètres de maille du titane hexagonal : a = 295,0 pm 0 : 468,6 pm Enthalpies libres de formation à 1 100 K (kJ.mol_l) : ArG°1 = -- 744,803 ArG°2 = -- 209,075 ArG°3 = -- 630,638 Tl02(5) C0 TiCl4(g) 4/12 0.0 Ti3+(aq) -0.5 E (V) TiO2 (s) -1.0 Ti2+(aq) Ti2O3 (s) -1.5 TiO ( s) Ti(s) -2.0 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 pH Fig. 1. Diagramme potentiel-pH du titane tracé pour une concentration en espèces dissoutes de 10±2 mol.L±1. 5/12 PROBLEME DE PHYSI! QUE A PROPOS DE LA MACHINE SYNCHRONE Le principe de la conversion d'énergie électrique en énergie mécanique repose sur une interaction champ magnétique -- courant électrique. Dans la machine synchrone, le stator est alimenté par un système de courants triphasés. Il crée à l'intérieur de la machine un champ tournant. Le rotor s'apparente à une bobine alimentée en courant continu. L'interaction du champ magnétique créé par le stator sur le courant du rotor est à l'origine d'un couple électromagnétique. La machine peut être alimentée par un réseau de fréquence fixe ou par un onduleur autopiloté. Cette dernière solution permet d'optimiser les performances du moteur. Il délivre alors un couple maximum pour des courants d'intensité minimale, tout en ayant un fonctionnement stable. Un formulaire se trouve en fin de problème. PARTIE I - Préliminaire : champ magnétique créé par une spire en un point de son axe. On considère une spire circulaire de centre O, de rayon R, contenu dans le plan Oxy, orthogonal à l'axe 02 et parcourue par un courant électrique constant I. Elle est située dans l'air assimilable magnétiquement a du vide. Elle est orientée dans le sens trigonométrique comme le montre la figure 1. On considère un point M, de cote 2, situé sur l'axe Oz. M(Z) Figure 1 1) Par des considérations de symétrie, déterminer la direction du champ magnétique Ê(M ) , créé par la spire au point M. Déterminer ensuite son expression en fonction de I, R, 2 et de la perméabilité magnétique du vide ,uo . 6/12 PARTIE II - Principe de la conversion d'énergie électromécanique : A] Etude du stator : Le stator est constitué de trois bobines, dont les axes principaux contenus dans le plan xOy , , 27r . , . sont decales de -- les uns par rapport aux autres. Elles sont ahmentees par un systeme de courant 3 triphasé d'amplitude maximale I..., (de valeur efficace Ieff) et de fréquence fs (de pulsation cas) . On a i1(t) : Im cos(wÿt + (z)) i2(t) : Im cos(wÿt + ça -- 2%) 2 i3 (t) : Im cos(wÿt + ça + %) Chaque bobine crée dans la machine un champ magnétique proportionnel au courant qui la traverse et dirigé suivant son axe principal. On note K le coefficient de proportionnalité et on a : Ëj(z) =K.ij(z).ëj , avecj = 1, 2 ou 3 EUR1=EURx ê2 et @ se déduisent de ê1 par les rotations d'angle respectif 2% et "2% . Figure 2 A.1) Donner l'expression du champ magnétique Ës créé par le stator à l'intérieur de la machine dans la base (êx, êy) . On exprimera chaque composante en fonction de K, Im, cost et (p . A.2) Montrer que ce champ est de norme constante et porté par un vecteur unitaire dont on précisera le sens et la direction dans la base (êx, êy) . Justifier l'appellation de champ tournant et préciser son sens de rotation. A.3) Que se passe t--il si on inverse les phases 1 et 2 de la machine c'est à dire si on a : 7/12 i1(t) : Im cos(æJ + ça -- 2%) i2 (t) : Im cos(wJ + (p) 2n' i3 (t) : Im cos(æg + (p + Î) A.4) On donne K = 0,05 T.A'1, leff : 15 A, fS : 50 Hz. Calculer la valeur numérique de HËSH et la vitesse de rotation de ce champ tournant en tr/min. B] Couple exercé sur le rotor : Dans la suite du problème, on pose Ë, : BS .it (I) , où B, est l'amplitude du champ magnétique créé par le stator et ü(t) le vecteur unitaire de la base (êx, êy) tel que l'angle êx,ü(t) : cost + ça . Le rotor tourne autour de l'axe Oz, à la vitesse angulaire constante Q : Qêz. D'un point de vue électrique, il est assimilable à une bobine plate rectangulaire de surface géométrique S : 2.ro.H, de largeur 2.r0 et de longueur H suivant 02. Cette bobine comporte p spires en série. Elles sont géométriquement confondues. Chaque spire est parcourue par le courant continu d'intensité 1. Soit ñ(t) le vecteur unitaire de la base (êx, êy) , normal à la surface S orientée du rotor. On note 0 l'angle (êx,ñ) . On pose 6'(t) : 490 + Qt . Figure 3 B.1) Déterminer le moment mécanique Î(t) : F(t)ëz des actions électromagnétiques, exercé sur le rotor . B.2) La pulsation (05 étant imposée et constante, établir, suivant les valeurs de Q , le couple moyen FW associé à Î(t) . Pourquoi ce type de moteur est--il qualifié de synchrone ? Ce type de moteur, connecté a un réseau de fréquence fixe peut--il démarrer seul ? B.3) Tracer la courbe représentant FM en fonction du décalage angulaire 1// : ça --90 . Délimiter les intervalles de w correspondant aux fonctionnements moteur et générateur. Que vaut (// lorsque FM est maximum ? Donner l'expression de ce couple maximum, noté 1"... . 8/12 Que vaut le flux magnétique (Ü...g créé par le stator, c'est à dire le flux de ËS a travers le rotor lorsque F,... : l"max ? B.4) Pour un couple OSFM STI... donné, il existe deux valeurs (éventuellement une valeur double) de l'écart angulaire l// = ça -- 190 . Discuter de la stabilité du fonctionnement de la machine pour chacune de ces deux valeurs. Cette étude doit aussi prendre en compte la valeur double. On étudiera ! 'eflet sur le couple moteur d'une perturbation (motrice ou non) de la position du rotor, c'est-à-dire la répercussion d 'une variation de l'angle ru sur le couple moteur. PARTIE III - Autopilotage de la machine synchrone : Le principe de l'autopilotage de la machine consiste à mesurer, à l'aide d'un capteur de position angulaire, appelé résolveur, la position 6 du rotor de la machine. On alimente alors le stator de la machine par un onduleur (ou alimentation à fréquence variable) qui délivre trois courants triphasés : i1(t) , i2 (t) et i3 (t) . Ces courants sont asservis en fréquence et en phase de sorte que :cog : Q et que (p =90 +--. On obtient alors un fonctionnement 1ntr1nsequement stable de la 2 machine et un couple maximum. Dans toute cette partie II, on supposera que la machine tourne a une vitesse angulaire % I 619 I . . . , . , , . . Q : Qez =--ez. Compte tenu de l'1nert1e de la machme et des echelles de temps cons1derees 1c1, dt Q sera supposée constante. Q & [O, Qmax] , Qmax est la vitesse maximale de rotation de la machine. On supposera la relation 9 : Qt + 90 toujours valable. A] Etude du résolveur : Le résolveur s'insère autour de l'arbre reliant la machine et sa charge. Il est composé d'une partie tournante, solidaire de l'arbre de la machine, appelée roue polaire, et de deux autres bobines fixes dans le référentiel (O,x,y,z) lié au stator de la machine. On définit le référentiel (O,u,v,z) lié à l'arbre de la machine et qui se déduit du référentiel (O,x,y,z) par la rotation autour de l'axe Oz. Vi(t) Figure 4 9/12 La roue polaire, solidaire de l'arbre de la machine, est assimilable à une bobine BO parcourue par un courant j. Cette bobine crée à l'intérieur du résolveur un champ magnétique É, dont l'intensité est proportionnelle au courant j et dont le sens et la direction dépendent de la position de l'arbre. On pose B : a.j.ü où oc est un coefficient de proportionnalité connu et 11 est le vecteur unitaire de l'axe Ou du référentiel (O,u,v,z) lié à l'arbre de la machine, en rotation à la vitesse angulaire Q par rapport au référentiel fixe (O,x,y,z) lié au stator. On a 9 = (êx, ü ) . Les deux autres bobines B1 et B2 sont fixes, identiques et ont pour axe principal respectif Ox et Oy. Les spires de ces bobines ont pour vecteur normal respectif EUR, et êy . Elles ne sont parcourues par aucun courant. Elles possèdent chacune n spires de surface 2. A.1) La bobine BO est ici alimentée par un courant continu j : JO . Déterminer en fonction de 05, JO, 9, n et 2 les expressions des tensions V1( t) et V2(t) aux homes des bobines B1 et B2. Ces deux tensions permettent--elles toujours de déterminer la position Ûdu rotor ? A.2) On alimente maintenant la bobine BO par un courant sinusoïdal de fréquence fi, ou de pulsation a),,_ On a j(t) : J0m c0s(a)pt) . Dans le cas où la pulsation oep est très grande devant Q, montrer que V1 (t) : n.Z.a.caP.J0m.sin(a)pt).cos 6. Puis, déterminer l'expression de la tension V2(t). Dans toute la suite du problème on supposera oep>>Q. A.3) Tracer les deux graphes représentant l'allure des tensions V;(t) et V2(t) lorsque la machine est à l'arrêt. On choisira une valeur quelconque de «9. AA) Reprendre ces graphes lorsque la machine tourne a vitesse constante. On donnera la valeur numérique de l'amplitude de ces tensions. On prendra a : 4T / A, Jo... : 200mA, n = 10, E : 0,lcm2 et fp : 10 kHz. B] Conditionnement du signal délivré par la bobine B1 : B.1) On rappelle que pour un multiplieur de constante multiplicative k, on a Vî(t) : k"/el(t)'V62(t)' Vel @) l V,...) ..." Figure 5 Préciser l'unité et la valeur numérique de k, pour le multiplieur que vous avez utilisé en travaux pratiques. 10/12 B.2) On considère le montage de la figure 6. Donner l'expression de la tension de sortie s...(t) et représenter son spectre en amplitude. >< î V0 sin(æpt) --W_ifiî-- Figure 6 v1 S ... B.3) Quelle est l'opération de traitement du signal nécessaire pour retrouver un signal proportionnel à cos(9) ? Proposer un montage ne comportant que des composants passifs permettant d'effectuer cette opération. B.4) Donner la (ou les) contrainte(s) sur les composants, pour que les composantes résiduelles hautes fréquences soient atténuées de 40 dB. B.5) Donner alors l'expression de la tension relevée, en pratique, en sortie de ce dernier montage. On précisera son amplitude et sa phase. En déduire la valeur de l'erreur commise sur 9 lorsque la machine tourne à Q : 3000tr/ min. B.6) Quelle est alors la perte relative de couple, exprimée en %, par rapport a un autopilotage . , 7r parfait ou (p vaut exactement 90 +--. Commenter. 2 PARTIE IV - Démarrage en fonctionnement asynchrone : Lorsque la machine est directement reliée à un réseau de fréquence et de phase fixe, on effectue parfois un démarrage en fonctionnement asynchrone. Lors du démarrage de la machine, la vitesse angulaire @. du rotor augmente avec le temps. Néanmoins, compte tenu que les constantes de temps électriques sont bien plus petites que les constantes de temps mécaniques, on assimilera £). à une constante inférieure à cos . Lors de cette phase de démarrage, la bobine plate constituant le rotor n'est pas encore alimentée en courant continu comme en régime établi, mais fermée sur elle même. Elle est en court circuit ! Elle est modélisée d'un point de vue électrique par une inductance pure L et une résistance R. La position du rotor est toujours repérée par l'angle 6 que fait la normale à la surface de la bobine et l'axe des abscisses. On a toujours : 6(t) : 90 + Qt (cf ILE). Le stator est toujours alimenté par un système de courant triphasé. Il crée à l'intérieur de la --> machine un champ tournant : B, : Bs.ü(t), où B, est l'amplitude du champ magnétique créé par le stator et ü(t) le vecteur unitaire de la base (êx, êy) tel que l'angle êx, ü(t) : a)St +(p . 11/12 De par les phénomènes d'induction électromagnétique, il existe une tension induite dans la bobine du rotor. Elle engendre des courants induits. L'interaction de ces courants et du champ magnétique Êy est à l'origine d'un couple électromagnétique. A) Donner en fonction de B, , p, S , cas , Q, 90 et de (I) l'expression de la tension induite dans la bobine du rotor. B) L'intensité du courant électrique induit dans la bobine du rotor est de la forme iÏ(t) = I, sin(at +b) . Après avoir dessiné le schéma électrique équivalent au rotor, préciser les expressions de a, b et de I, en fonction de BS , p, S , cos , Q , 90 , (p , R et L. C) Préciser les éléments de réduction du torseur des actions de Laplace (résultante des forces et couple) exercées par le champ magnétique ÊS (t) sur les enroulements du rotor. D) Préciser l'expression de la valeur moyenne dans le temps, noté F..., du couple exercé sur le rotor lors de cette séquence de démarrage. Pourquoi ce fonctionnement asynchrone est--il complémentaire du fonctionnement synchrone étudié dans la partie I ? Formulaire : cos(p)+cos(q) =2cos(p;q)c0s(pgq) c0s( p) --cos(q) = --2sin(p ; q)sin(p ?) cos(29) : l -- 2 sin2 (6) cos(a + b) : cos a cos b -- sin a sin b sin(a+b) : sinacosb +sinbcosa . Fin de l'énoncé. 12/12

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 CCP Physique 2 PSI 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tiphaine Weber (Enseignant-chercheur à l'université) et Antoine Bréhier (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Mickaël Profeta (Professeur en CPGE), Brice Gabrielle (ESPCI), Thomas Tétart (ENS Cachan) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Le problème de chimie est consacré au dioxyde de titane. Il est divisé en cinq courtes parties indépendantes. · La première aborde l'élément titane via une brève introduction atomistique. · La deuxième, un peu plus longue, traite de la structure cristallographique du titane métallique ainsi que de ses propriétés d'oxydoréduction en solution à travers l'étude de son diagramme potentiel-pH. · La troisième poursuit l'étude du diagramme afin de trouver les réactions susceptibles de former TiO2 . · On envisage alors, dans la quatrième partie, deux réactions qui font intervenir TiO2 en phase gazeuse, dans le but de le purifier. · Enfin, la dernière partie s'intéresse à la fabrication de polyacrylate de méthyle, l'un des composants des peintures contenant du dioxyde de titane, par polymérisation anionique. Tout le programme est abordé dans ce sujet extrêmement complet, qui pourra être mis à profit au cours des révisions pour identifier les points à approfondir. Toutefois, au cours de l'épreuve, il ne faut pas hésiter à sauter les questions portant sur une partie que l'on maîtrise moins, quitte à y revenir ensuite. Le problème de physique, qui porte principalement sur la conversion de puissance, traite du fonctionnement d'une machine synchrone. Il se compose de quatre parties indépendantes. · La première partie amène à redémontrer un résultat très classique du cours de magnétostatique de première année, qui n'est cependant pas utilisé explicitement dans la suite du problème. · La deuxième partie décrit le principe de fonctionnement d'une machine synchrone dont le stator est alimenté par un système de courants triphasés sinusoïdaux. On établit l'expression du champ tournant créé par les courants statoriques et on montre notamment que la machine ne peut fonctionner que si la condition de synchronisme est réalisée. · La troisième partie introduit la notion d'autopilotage de la machine synchrone et présente le dispositif électronique de traitement du signal qui lui est associé. · Enfin, la quatrième partie revient sur la possibilité du démarrage de la machine en mode asynchrone. Ce problème, de longueur raisonnable (pour peu que l'on ne se perde pas dans les calculs des premières questions de la partie II), ne présente pas de difficulté majeure. Il aborde des aspects de l'électromagnétisme spécifiques à la filière PSI et développe un concept théorique présenté en cours (l'interaction d'un champ tournant et d'un moment magnétique permanent) pour aboutir à des applications plus techniques (autopilotage, impossibilité du démarrage en mode synchrone...). Indications Chimie I.3 La masse molaire d'un atome, en g.mol-1 , est approximativement égale à son nombre de masse. II.1 L'énoncé donne la nature du système cristallin du titane mais ne précise ni le réseau, ni la maille : il s'agit d'un empilement hexagonal compact déformé, comme on peut s'en douter en lisant la question dans son intégralité. II.4 Sur le diagramme e-pH fourni, la ligne pointillée représente le potentiel du couple H3 O+ /H2 . Les potentiels des couples concernés par la réaction peuvent être lus sur le diagramme e-pH pour une valeur de pH bien choisie. Rappelons que le Faraday représente la charge portée par une mole d'électrons F =e×N III.3 Rechercher un domaine de pH pour lequel l'un des degrés d'oxydation du titane n'existe pas. IV.2 Utiliser la loi de Hess pour calculer l'enthalpie libre standard de la réaction. IV.3 La loi de Le Chatelier décrit le déplacement d'équilibre d'un système soumis à des variations de pression. IV.4 La constante d'équilibre de cette réaction étant très grande devant 1, elle peut dans un premier temps être supposée totale. V.2 À la différence du méthacrylate de méthyle, l'acide méthacrylique possède également un caractère acide dont il faut tenir compte avant d'envisager la formation du carbanion. V.3 Raisonner sur la stabilisation de la charge afin de trouver l'intermédiaire réactionnel après addition nucléophile du carbanion sur la double liaison. Physique II.A.1 Faire attention aux calculs et utiliser les formules de trigonométrie rappelées à la fin de l'énoncé. II.A.3 Utiliser le résultat de la question II.A.1. II.B.1 Le rotor peut être modélisé comme un moment magnétique permanent : utiliser l'expression du couple exercé par un champ magnétique sur un moment. II.B.3 La machine fonctionne en moteur si syn est positif et en récepteur sinon. II.B.4 Pour un point de fonctionnement donné, étudier comment évolue le couple électromagnétique lors d'une augmentation ou d'une diminution de à la suite d'une petite perturbation. III.A.1 Que valent V1 (t) et V2 (t) lorsque le rotor est à l'arrêt ? III.A.4 Les tensions V1 (t) et V2 (t) sont modulées en amplitude par l'enveloppe basse fréquence de pulsation . III.B.5 L'exigence d'une atténuation de 40 dB des composantes hautes fréquences de sm (t) impose la valeur de la pulsation de coupure du filtre : comparer cette valeur à la fréquence du signal utile contenu dans sm (t) et observer qu'il n'est pas possible de négliger l'influence du filtre. IV.B Utiliser la notation complexe pour déterminer Ir et b. IV.C Que vaut la résultante des forces de Laplace exercées par un champ magnétique uniforme sur un circuit fermé ? Autour du dioxyde de titane I. L'élément titane I.1 Le numéro atomique du titane étant de 22, l'atome neutre possède 22 électrons. Sa configuration électronique est obtenue en appliquant les règles · de Klechkowski, à savoir que les orbitales sont remplies dans l'ordre croissant des valeurs de (n + ) et à (n + ) égaux par n croissant ; · et de Pauli, c'est-à-dire que deux électrons du cortège électronique doivent différer par au moins l'un de leurs nombres quantiques. Il y a donc au maximum deux électrons de spin opposé par orbitale. Ti : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d2 Il s'agit d'un élément de transition car il possède une sous-couche d partiellement remplie. I.2 L'ion Ti4+ correspond à la perte de tous les électrons de valence du titane. Ti4+ : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 Cet ion possède la même structure électronique que l'argon (Ar) qui est le gaz noble le plus proche. Il est par conséquent particulièrement stable. I.3 La masse molaire du titane étant de 47, 9 g.mol-1 , le nombre de masse de son isotope le plus abondant doit être de 48. Son noyau comportant donc 48 nucléons dont 22 protons, son nombre de neutrons vaut nneutrons = 48 - 22 = 26 II. Le titane métallique II.1 À température ordinaire, la maille triple dans laquelle cristallise le titane métallique peut être schéa a matisée comme ci-contre. La maille hexagonale, sur laquelle seront effectués les calculs, correspond aux atomes pleins. Chaque maille hexagonale contient 1 atome sur le c plan médian ainsi que 8 atomes, sur les sommets, partagés chacun entre 8 mailles. La multiplicité de cette maille vaut donc 1 Z=1+8× =2 8 La maille hexagonale représentée n'est pas la maille élémentaire, dont la multiplicité est de 1. Toutefois cette dernière est bien plus complexe à étudier, ce qui justifie ici le choix de la maille hexagonale pour effectuer les calculs. La compacité de cette structure s'exprime alors Z × Vatome Z × 4 r3atome /3 C = = Vmaille a×h×c avec h la hauteur de la base. Elle vaut 3 h = a sin = a 2 a = 60 Z × Vatome 8 Z r3atome = d'où C = Vmaille 3 3 a2 × c a h Application numérique : C = 72, 0 % Cette valeur est légèrement moins grande que pour les structures compactes (C = 74 %) mais reste élevée et même bien plus que pour le réseau cubique centré (C = 68 %), l'autre structure qualifiée de pseudo-compacte. II.2 Chaque maille contenant deux atomes, la masse volumique du titane s'exprime µTi = Application numérique : 2 Z MTi /N Z × matome = Vmaille 3 a2 × c µTi = 4500 kg.m-3 Les métaux ont des masses volumiques pouvant varier de 500 kg.m-3 pour les alcalins des premières lignes du tableau périodique (Li : 530 kg.m-3 , K : 850 kg.m-3 ) à quelques dizaines de milliers de kg.m-3 pour les métaux de transition de la 3ème ligne (Au : 19 300 kg.m-3 , Pt : 21 450 kg.m-3 , Ir : 22 560 kg.m-3 , Os : 22 610 kg.m-3 ) II.3 Ainsi qu'on peut le voir sur le schéma de la maille hexagonale proposée à la question II.1, chaque atome de titane comporte 6 voisins dans le plan et 3 voisins dans chacun des plans supérieur et inférieur. La coordinence du titane est donc de 12 dans cette structure. On remarque toutefois que, le paramètre de maille a étant plus grand que deux fois le rayon atomique, il n'y a pas contact entre les atomes d'un même plan. Il y a donc deux longueurs de liaisons, différentes mais proches, entre les atomes de titane. Les liaisons les plus courtes correspondent aux tétraèdres de coordination, les plus longues à des liaisons moins fortes, dans le plan, entre ces tétraèdres. À plus haute température, le titane cristallise dans un réseau cubique centré. Ainsi qu'on l'observe pour l'atome situé au centre de la maille, chaque atome est alors entouré de 8 voisins. Comme on pouvait s'y attendre, la coordinence du titane diminue lors de cette transition allotropique à haute température.