CCP Physique 2 PSI 2005

Thème de l'épreuve Étude d'une chaîne de transmission de l'information. Le diamant, le graphite et quelques autres varités de carbone.
Principaux outils utilisés cristallographie, oxydoréduction, thermochimie, courbes intensité-potentiel

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2005 PSIP209 A CONCOURS (OMMUNS POlYTECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - F ILIERE PSI PHYSIQUE2 Durée : 4 heures ***** Les calculatrices sont autorisées. * ***** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. ***** L'épreuve comporte un problème de physique et un problème de chimie. Les candidats traiteront les deux problèmes dans l'ordre de leur choix et les rédigeront de façon séparée. Durées approximatives : Physique : 2 heures Chimie : 2 heures PROBLÈME DE PHYSIQUE Texte de présentation : pages 2 à 12 Annexe : page 13 Le sujet comporte trois parties indépendantes. La deuxième partie utilise toutefois des informations données dans la première partie. ' PARTIE 1. FABRICATION D'UN SIGNAL MODULÉ--EN AMPLITUDE La modulation d'amplitude est une technique intervenant dans la transmission, via une onde électromagnétique, d'un signal informatif (téléphonie, radio, télévision. . .). - Généralités sur la modulation d'amplitude Pourtransmettre une onde sonore (un signal informatif supposé sinusoïdal de pulsation ca), on module l'amplitude d'une pOrteuse de pulsation Q très supérieure à ca. 1.1) À quel intervalle de fréquences correSpond le domaine audible '? Quelle est la célérité de l'onde modulée transmise par voie hertzienne ? 1.2) Donner deux raisons essentielles justifiant la nécessité de la modulation (en amplitude ou en fréquence, par exemple) pour transporter un signal par voie hertzienne par l'intermédiaire d'une onde électromagnétique. ' 1.3) Le signal modulés(t) obtenu est mis sous la forme usuelle s(t) : so (1 + mcos wt) cos Qt, dans" laquelle m est un réel positif, appelé taux de modulation. L'image électrique de ce signal pourra être obtenue sous forme d'une tension (on écrira alors s(t) : v(t), grandeur exprimée en volt) ou sous forme d'une intensité (on écrira alors s(t) : i(t), grandeur exprimée en ampère). 5e (en V ou A) , _ sÉ (en V ou À) _ Hill intl HH..." hi... È i "| i[i_'i5i hill "H -1 !" u...HHHH...H! _}... ! ... , :î FIG. 1 -- Signaux obtenus avec différents taux de modulation 1.3.a) Soient s et smin les valeurs maximale et minimale de l'amplitude de s(t). En faisant max apparaître clairement s... et s... sur l'une ou l'autre des figures précédentes (qui sera reproduite sur la copie), exprimer le taux de modulation m en fonction de s et smin [MX 1.3.b) Calculer les taux de modulation correspondant aux deux graphes proposés. 1.3.c) Représenter le signal modulé dans le cas m = 1. Fabrication d'un signal modulé en amplitude Pour réaliser l'émission, nous allons utiliser un courant électrique modulé en amplitude, d'intensité i(t) : 10 (l + mcos cat) coth, où Q >> a) L'intensité électrique délivrée par la source de courant circule dans un dipôle oscillant, l'émetteur, qui réalise l'émission. L'ensemble est représenté sur la figure 2. F IG. 2 - Schéma de l'émetteur Nous ne nous intéresserons pas à l'émetteur, mais seulement à la source de courant, que nous allons tenter de fabriquer. 1.4) Représenter, en le justifiant, le spectre fréquentiel de l'intensité délivrée par la source (on notera f=--£Ù--etF=--&). 27r . 272" 1.5) En déduire que la source de courant peut être théoriquement fabriquée à l'aide de trois sources de courant sinusoïdales idéales, associées de façon très simple. Préciser --- les expressions complètes (amplitude et pulsation) des intensités i] (t), i2 (t) et i3 (t) délivrées par chacune des sources ; ---- le montage réel de la source équivalente. PARTIE 2. DÉMODULATION D'AMPLITUDE Pour récupérer l'information contenue dans un signal modulé en amplitude, plusieurs approches sont possibles, dont les deux suivantes. La première exploite les possibilités d'un circuit passif à base de diode, la seconde repose sur l'emploi d'un multiplieur. Dém0dulation par détection d'enveloppe (à l'aide d'une diode) Un récepteur capte, par voie hertzienne, un signal modulé qu'il traduit sous la forme d'une tension ve (t) : VO (1 + mcos cat) cos Qt. Pour en extraire l'information, on utilise le dispositif suivant (voir figure 3) appelé détecteur d'enveloppe ou de crête. Il est constitué d'une.diodé idéale, d'une résistance et d'un condensateur, ces deux derniers formant la cellule RC. La valeur des composants est adaptée au signal à démoduler. ve(t) vs(t) FIG. 3 - Démodulateur à diode \ 2.1) Soient r = RC la constante de temps de la cellule RC et T = % la période de la porteuse du signal d'entrée. En raisonnant qualitativement sur le fonctionnement de la cellule RC, selon l'état passant ou bloqué de la diode, établir une inégalité liant ? et T permettant d'obtenir en sortie la tension approchée vs (t) z V0 (1 + m cos cat). Cette expression approchée sera conservée pour les questions suivantes. 2.2) Établir l'expression de l'intensité traversant la diode, lorsque celle--ci est passante, en fonction de V, (t) et de ses éventuelles dérivées par rapport au temps. Déduire de la question précédente que l'intensité traversant la diode peut être mise sous la forme V _ iD(t) =_Ë'--[l +gcos(wt+ça)] avec g > 0, où g sera explicitée en fonction de m, R, C, au et tan(p en fonction de R, Cet m. 2.3) L'intensité du courant traversant la diode quand celle--ci est passante ne pouvant être que strictement positive, en déduire que la constante de temps 1 du filtre doit obligatoirement être inférieure à une certaine valeur que l'on exprimera en fonction de m (supposé inférieur à l) et w. 2.4) Les conditions d'utilisation du montage sont telles que a.-- -- 3,14 -104 rad - s'1 et m- -- 0,7. Sachant que les deux pulsations (a) et Q) sont dans un rapport 100, déterminer un encadrement numérique de la constante de tempsr ) 2.5) On place tour à tour, en entrée de la cellule RC, les tensions ve(t) : Se(t) représentées sur les "figures 1(a) et 1(b), tracées pour des valeurs quelconques de m. ' ' ' 2.5.3) Représenter, dans chaque cas, les tensions V, obtenues en sortie du détecteur d'enveloppe. 2.5.b) L'un des deux signaux des figures 1(a)-l(b) n'est pas correctement démodulé par ce montage. Identifier le signal dont il s'agit et le représenter correctement démodulé. Préciser la condition portant sur m assurant une démodulation correcte. Démodulation synchrone (à l'aide d'un multiplieur) L'utilisation d'un multiplieur va permettre de résoudre quelques--unes des limitations rencontrées par le démodulateur à diode. Ve vd ? v'" FIG. 4 - Schéma de principe d'un multiplieur Le montage représenté sur la figure 4 est câblé de façon à ce que V... (t) = kve(t)vd (t), où k est une constante positive caractéristique du multiplieur. On place, sur la première entrée, le signal à démoduler, réceptionné par voie hertzienne, dont l'équation est v (t) = V 0(1 + mcos cat) cos Qt et on impose, sur la seconde entrée, la tension vd (t) : Vd cos Qt. En sortie du multiplieur, le signal traverse un filtre qui peut être de type passe- -haut ou passe--bas, selOn le traitement souhaité (voir figure 5). Les diverses caractéristiques de chacun des filtres sont fournies en annexe. FIG. 5 -- Filtra'ge 2.6) Représenter, en le justifiant, le spectre du signal vm en sortie du multiplieur, en indiquant l'amplitude des différentes composantes spectrales. ' 2.7) Une partie du signal "... représente l'information recherchée. 2.7 .a) Parmi les filtres l et 2 fournis en annexe, justifier quel est celui qui doit être employé pour sélectionner cette information. ' Ce choix sera maintenu dans toute la suite du problème. 2.7.b) Déduire des documents disponibles la fréquence de coupure du filtre choisi. 2.8) Pour tester le montage ainsi réalisé, on place sur son entrée ve le signal se (t) de la figure 1(b). 2.8.3) Exprimer la tension vs en sortie du filtre. 2.8.b) Représenter vs . 2.8.c) Citer au moins un avantage de la démodulation par un multiplieur par rapport à celle à diode. 2.9) Les paramètres du filtre employé (l'Ordre n et le gain HO) étaient inconnus jusqu'à ce que l'on mesure la valeur absolue du gain, à une fréquence donnée. Ainsi, à 100 kHz, on a trouvé |G| = 50 dB. 2.9.a) En exploitant cette mesure et les documents fournis en annexe, déterminer H O. 2.9.b) Calculer, de la même façon, l'ordre n de ce filtre. 2.10) Pour parfaire le filtrage, un condensateur, de capacité C, est placé en série en sortie du filtre. Le signal alors démodulé est transformé en onde sonore par l'intermédiaire d'un haut--parleur (voir figure 6). FIG; 6 -- Chaîne de réception ' ' 2.10.à> En aSSimilarit le haut--parleur à, une résistance R0 ," IpréciSer le rôle du condensateur. ' 2.10.b) En prenant pour v, sa représentation déterminée à la Question 2.8.b, représenter l'allure du _signal vsf. ' ' " PARTIE 3. ÉTUDE D'UN HAUT-PARLEUR EUR Le signal précédent, issu de la démodulation, est transformé en signal sonore par le biais d'un haut-- ' parleur (voir figure 6). La membrane et la bobine du haut--parleur sont solidaires l'une de l'autre. L'ensemble est appelé équipage mobile et sa masse est notée m. La bobine circulaire est réalisée par l'enroulement d'un fil de longueur £= 27zNa. On pourra la considérer comme l'union de N spires identiques de rayon a. ' . L' équipage mobile est relié au bâti par un ressort de raideur k, d'axe Oz. La bobine évolué dans l' entréfer d' un aimant imposant un chMp magnétique stationnaire radial (voir figure 7). FIG. 7 - Modèle d'un haut--parleur Du point de vue mécanique, --> « --> -- on note respectivement z et v = v u 2 les position et vitesse de l'équipage mobile qui se translate sans frottements solides ; __) -- on note F, , la force de rappel élastique exercée par le ressort ; --+ --> -- on note F f = -- f v , la force de frottements fluides que subit la membrane lors de ses déplacements dans l'air. Du point de vue électrique, -- on notera R, la résistance du bobinage et L, son inductance ; ---- un courant électrique d'intensité i(t) peut circuler dans le fil bobiné, sous l'effet de la tension V,... (t) résultant de la démodulation précédente, et dont il n'est pas nécessaire de connaître l'expression. APPROCHE THÉORIQ UE Principe de fonctionnement du haut--parleur 3.1) Lorsque le haut-parleur est alimenté, on observe la mise en mouvement de la membrane de celui--ci. Expliquer qualitativement ---- l'origine de ce mouvement ; -- le mécanisme à la base de l'émission sonore. 3.2) À l'aide d'un schéma clair et détaillé d'un tronçon de spire, représenter et exprimer la force _ --) élémentaire s'exerçant sur l'élément de courant i(t)d£. Calculer sa résultante, notée FL , sur l'ensemble de la spire. ' ' 3.3) Le mouvement de l'équipage mobile dans l'entrefer est responsable de l'apparition d'une grandeur électrique. Justifier qualitativement son existence et préciser sa nature (tension, courant, impédance... .) Établir son expression, en vous appuyant sur un schéma électrique équivalent a la bobine faisant v apparaître, si nécessaire, les conventions employées. Mise en équations différentielles 3.4) Établir l'équation différentielle électrique que vérifie l'intensité i(t) ducourant circulant dans la bobine alimentée par la tension vs (t). ' ' ' 3.5) Établir l'équation différentielle du mouvement de l'équipage mobile. Impédance du haut-parleur 3.6) On s'intéresse à la réponse du système soumis à une excitation électrique sinusoïdale de la forme vs (t) = v... cos (ot. Exprimer l'impédance du haut-parleur sous la forme Z _ = R + jLw+â...,dans laquelle Z dépend de B, [, f, m, k et w. ...em Bilan de puissances 3.7) Afin d'évaluer le rendement de ce convertisseur électromécanique, on s'intéresse à la nature et à la répartition des différentes grandeurs énergétiques en jeu. 3.7.a) Établir, à l'aide des équations différentielles électrique et mécanique, une nouvelle équation différentielle traduisant le bilan électromécanique de puissance du système. Préciser clairement le sens physique de chacun des 6 termes qu'elle comporte. 3.7.b) Justifier soigneusement que plusieurs termes de ce bilan de puissance sont de valeur moyenne temporelle nulle. En déduire l'expression de la puissance moyenne délivrée en entrée du haut--parleur. 3.7 .c) Montrer que le rendement du haut-parleur peut se mettre sous la forme < PS > < PS > + < PJ > où  représente la puissance moyenne dissipée par effet Joule et la puissance 7]: moyenne dédiée à l'émission sonore, que l'on explicitera en fonction des données. APPROCHE EXPÉRIMENTALE Mesure de la puissance moyenne consommée et du rendement ' 3.8) De façon à confronter le bilan théorique de puissance à l'expérience, le montage suivant a été réalisé. ' ' ' - ' ' ' Filtre Passe--bas FIG. 8 - Mesure de puissance moyenne Les caractéristiques du multiplieur sont celles décrites dans la partie 2 (figure 4). Le haut- parleur est placé en série avec une résistance r de valeur 1 ohm. Un générateur de courant alimente le tout. On note i(t) : io cos cat l'intensité qu'il délivre, et par souci de simplification, on prendra v..., : vo cos(wt + ça). 3.8.a) Pour la mesure de puissance, aurait-on pu se contenter d'employer un voltmètre et un ampèremètre ? Justifier. 3.8.b) Établir l'expression de la tension vm et représenter son spectre fréquentiel. À quelle grandeur énergétique est-elle proportionnelle '? Justifier. 3.8.c) La tension vm est filtrée par un circuit de type passe--bas. En sortie de celui--ci, on récupère le signal de plus basse fréquence, de tension vpb. Justifier que la tension vpb est bien proportionnelle à la puissance moyenne consommée par le haut--parleur. 3.8.d) Pour une fréquence donnée, la puissance moyenne délivrée par le générateur de courant a été mesurée à 70 mW et celle dissipée par effet J oule vaut 25 mW. En déduire la puissance moyenne associée à l'émission sonore et le rendement du haut- parleur. Mesure du coefficient de frottement f et de la masse m de l'équipage mobile 3.9) Le haut-parleur est déconnecté du circuit précédent. On le branche à la voie X de l'oscilloscope (figure 9(a)). Pourquoi peut--on considérer ce circuit électrique comme ouvert ? En déduire que l'équation différentielle satisfaite par la vitesse v de la membrane peut s'écrire d2v dv k ----2+2awO--+wâv=0 avec a= f et 600: --. dt dt 2mwo m 3.10) Le haut-parleur, toujours relié à l'oscilloscope, est posé horizontalement. On laisse tomber une bille sur la membrane (figure 9(a)) et on enregistre la perturbation que provoque la percussion (figure 9(b)). ' F 1G 9 -- Enregistrement de la percussion Les Conditions du choc sont telles qu'il n'y a pas de déplacement initial de la membrane, bien que la ' vitesse initiale soit nulle, ce que l'on traduit par z(O) : 0 et v(0) : O., ' ' 3.10.a) Pourquoi peut-on considérer que la tension VX (t) traduit fidèlement l'évolution de la vitesse v(t) '? 3.10.b) On admet que l'équation différentielle en vitesse, trouvée à la question 3.9, est valable après le choc. Sachant qu'elle a pour solution v(t) : Ae'"'"°' cos(w{,t + (p), exprimer ---- la pseudo pulsation 505 en fonction de 600 et a ; --- l'amplitude des oscillations A en fonction de V0 et ça ; -- le déphasage ça, en explicitant tango en fonction de &. 3.10.c) Soient \v1 et v2 les deux premiers maxima consécutifs de la vitesse, que l'on suppose être distants d'une pseudo période T O'. Montrer que v2 : v1exp(--2fltança). En déduire les valeurs numériques de & puis de mo. 3.10.d) Sachant que k : 510N-m", en déduire alors la masse m de l'équipage mobile et le coefficient de frottements fluides f. Mesure de l'inductance L de la bobine 3.11.a) Déduire de l'expression exacte de l'impédance Z trouvée à la question 3.6, son _em expression approchée en haute fréquence, en fonction du produit BZ, de m et de a). 3.11.b) En déduire qu'il existe, dans ce domaine de fréquences, une pulsation particulière car telle que l'impédance 1 soit réelle. 3.11.c) Sachant que BK : 3,5 T- rn", et cor =1641rad-s", \calculer'l'inductance L. ANNEXE ' Courbes de gain (Certaines dor-mêes sont valontairzme&t absente: des : xe: des oh!0nnëes) G1 (dB) Y . G: (dB) Courbesde phase î . î'?2 (tué) 104 105 «105 Fin du problème de physique PROBLÈMEaDE CHIMIE-- Texte de présentation : pages 14 à 17 Annexe : page 18 LE DIAMANT,' LE GRAPHITE ET QUELQUES AUTRES VARIÉTÉS DE CARBONE Le carbone possède deux variétés allotropiques principales, le diamant et le graphite, et de nombreuses variétés plus ou moins bien définies. La structure, la stabilité et les propriétés de chacune de ces Variétés sont très différentes- Ce problème propose de mettre en lumière quelques--unes de ces différences. Les réponses fournies devront concilier précision et concision. Toutes les données numériques nécessaires sont disponibles en Annexe. Q1 : L'allotropie est une propriété relativement répandue chez les corps purs élémentaires. Donnez sa définition. - Q2 : Quel est le nombre de protons d'un atome de carbOne ?! Donner la structure électronique du carbone selon Klechkowsky. 1. Le diamant Le diamant cristallise dans un système cubique à faces centrées ; on notera @ son paramètre de v % maille. Dans cette structure particulière, quatre des huit cubes d'arête ? comportent un atome au centre, comme le montre la projection cotée de la Figure 1 (annexe, page 19). Q3 : Déterminer : o Le nombre d'atomes de carbone par maille, o Le nombre de plus proches voisins de chaque atome (coordinence), . La forme géométrique dessinée par ces plus proches voisins. Q4 : Connaissant la longueUr de la liaison carbone--carbone, fournie en Annexe, calculer la valeur du paramètre de maille aD. ' QS: Calculer la compacité de cette structure. Existe-t-il des structures plus compactes ? Préciser. Q6 Citez deux propriétés physiques du.diamant directement générées par sa structure électronique parfaitement covalente. II. Le graphite Le graphite est la variété allotropique du carbone stable à température et pression ordinaires. Dans cette structure particulière, les atomes de carbone sont rangés sur des plans parallèles distants de 335 pm. Dans ces plans, la distance carbone-carbone est de 120 pm et chaque atome de carbone est lié à 3 voisins. Q7 : Quel type de liaison évoque la grande distance inter--plans '? Q8: Quelle propriété mécanique et quelle propriété électrique présente le graphite, liée a ce type de liaison '? -- Le graphite a longtemps été utilisé pour réaliser les anodes pour l'électrolyse des solutions aqueuses de chlorure de sodium, procédé de préparation du dichlore gazeux et de l' hydroxyde de sodium en solution. Q9: Quelles sont les deux demi-réactions cathodiques et les deux demi-réactions anodiques envisageables au cours de l'électrolyse d'une solution aqueuse de NaCl ? Q10: En considérant les valeurs des potentiels redox standard des couples Correspondants, déterminer quelle est la réaction globale thermodynamiquement favorisée dans l'état standard. Q11 : Calculer la valeur du potentiel redox de chacun des quatre couples redox en présence, dans les conditions du début de l'électrolyse (N a+ = Cl" = 5 mol--1, P(Cb) = 1 bar, pH = 7). Q12 : Une propriété de la surface du graphite est de ralentir la réaction de dégagement du dioxygène, imposant pour cette réaction une surtension anodique qu'on prendra égale à 500 mV à pH = 7. Schématiser alors, à ce pH, les courbes intensité-potentiel des quatre demi-réactions envisageables en situation 'd'électrolyse. On indiquera clairement sur le schéma les valeurs des potentiels à i = 0. On prendra comme unité sur l'axe des potentiels : 1 V = 4 cm ; sur l'axe des intensités : une unité arbitraire. Ql3 : Ecrire le bilan global de l'électrolyse et déterminer la différence de potentiel minimale à imposer entre anode et cathode à pH = 7. Q14: Faire un schéma de principe de cette électrolyse en y précisant le déplacement des ions (cations et anions) ainsi que celui des électrons. III. La synthèse du diamant à partir du graphite Q15 : Quelle est la variance de l'équilibre Graphite = Diamant '? Q16: Déduire de la valeur de cette variance la situation obtenue quand on soumet un mélange de graphite et de diamant a une température et une pression arbitrairement fixées ? Q17 : En observant 'les données judicieuses de l'annexe, justifier les conditions de formation naturelle et de préparation industrielle du diamant à partir du graphite : 0 Température élevée . Pression élevée. Q18 : Pourquoi le diamant existe-t-il à température et pression ordinaires ? IV. Le carbone pyrolytique Une variété de carbone proche du graphite, souvent pulvérulente et mal cristallisée, est obtenue, généralement sans être désirée, dans les installations pétrochimiques fonctionnant à haute température. Elle est traditionnellement appelée « coke » et sa formation « cokage ». Le cokage provient principalement de la décomposition thermique d'hydrocarbures gazeux, telle que : (CH4)g --> (C)s + 2 (Hz)g / Q19 : En utilisant les données thermodynamiques de l'annexe, calculer la constante d'équilibre de cette transformation à l OOO°C. Q20: Dans un réacteur fermé de volume 1 m3 ,porté à la température de l OOO°C, on introduit du méthane contenant 0 ,()l % de dihydrogène comme impureté. La pression totale a cet instant est de 1 bar. Calculer la masse de carbone pyrolytique obtenue quand l'équilibre thermodynamique est atteint. V. Les fibres de carbone Une variété de fibres de carbone, utilisée comme renfort mécanique de divers matériaux métalliques ou polymères, est appelée « ex--PAN » car elle est obtenue par transformation du polymère PolyAcryloNitrile, dénomination aujourd'hui peu usitée pour « eyanure de polyviner ». Q21 : Connaissant la formule brute du monomère eyanure de vinyle (monocyanoéthène C3H3N), déterminer sa formule développée plane. Q22 : En observant que l'atome d'azote confère au substituant de l'éthène un effet mésomère attractif, écrire deux fOrmules mésomères du eyanure de vinyle. Q23: L'une de ces formules décide sans ambiguïté du choix du type de polymérisation : radicalaire, anionique ou cationique. Quel est-il ? Pourquoi ? Q24 : Dans ces conditions, écrire le mécanisme de la réaction de formation du premier intermédiaire de polymérisation à partir d'un initiateur de type alcoolate (action de l'alcoolate sur le monomère). Y faire figurer tous les doublets électroniques non liants et y préciser les mouvements électroniques. ANNEXE DONNÉES Numéros atomiques : H : 1 C : 6 O : 8 Masses molaires atomiques (g.mol"l) : H=1,0 C=12,0 _ ] O=16,0 Constante des gaz parfaits : R = 8,314 J.K--l.mor1 Enthalpie molaire standard de la transformation diamant--graphiteâ 298 K : "CD --> CG : A,H0 = -- 1,9 kJ.moÎ1 Entropie molaire standard de la transformation diamant-graphite à 298 K : ' CD _) CG : 21,5" = + 3,3 J.K_l.mol_l Variation d'enthalpie libre molaire de réaction à 1 000°C : (cm),, --> (C), + 2 (Hz),, A,G",...C = -- 48,96 kJ.mo1"1 Distance carbone-carbone dans le diamant : d (Cp--Cp) = 154 pm Masses volumiques Diamant : pG = 3,5 x 103 kg.m'3 Graphite/: pG = 2,2 >< 103 kg.m"3 Potentiels redox standard à 298 K : (C12)g / (Cl--)aq : e° = + 1,36 V/ESH (Na+)aq / (Na), : e° = -- 2,70 V/ESH (02)g / H20 : 60 = + 1,23 V/ESH Constante à 298 K : ln IOXRT/Ϋ»0,06V Figure 1 Projection cotée de la structure cristalline du diamant sur une des faces de la maille cubique. La cote perpendiculaire au plan de la figure, indiquée dans chaque atome de carbone, est exprimée en fraction du paramètre de maille. Absence de valeur signifie cotes () et + 1 (les huit sommets de la maille). Fin du problème de chimie Fin de l'énoncé

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 CCP Physique 2 PSI 2005 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Olivier Frantz (Professeur agrégé) et François-Xavier Coudert (ENS Ulm) ; il a été relu par Georges Rolland (Professeur en CPGE), Sandrine Brice-Profeta (Professeur agrégé en école d'ingénieurs), Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE) et Alexandre Hérault (Professeur en CPGE). Le problème de physique porte sur l'étude de la chaîne de transmission d'un signal audio : modulation, transport par voie hertzienne (non étudié) et réémission par haut-parleur électrodynamique. · La première partie présente des généralités sur la modulation d'amplitude : taux de modulation, signaux surmodulés ou non, spectre d'un signal modulé. À la fin de cette partie, on conçoit brièvement un circuit modulateur à base de sources de courant. · Dans la deuxième partie, on étudie les propriétés de deux démodulateurs de base. Le premier est un détecteur de crêtes, montage non linéaire à base d'une diode et d'un condensateur. Le deuxième présente la démodulation synchrone, utilisant un multiplieur et un signal de même fréquence que la porteuse. Pour chacun de ces montages, on exprime les tensions à chaque étape de la démodulation, de la réception au filtrage. · La troisième partie reprend l'étude classique du haut-parleur électrodynamique. Après une présentation qualitative du fonctionnement, on décrit les équations mécanique et électrique du dispositif. L'impédance électrique est brièvement abordée avant de passer au bilan de puissance et à l'évaluation du rendement. Enfin, un essai mécanique permet de calculer les différentes grandeurs intervenant dans la modélisation du haut-parleur. Ce problème ne présente aucune difficulté particulière. Il reste très proche du cours et ne cherche pas à mettre en évidence les subtilités de fonctionnement des dispositifs présentés. Même si le multiplieur n'est vu qu'en TP-cours en PSI, il n'en figure pas moins au programme. Les deux premières parties doivent donc être traitées rapidement. La troisième est un peu plus longue et demande de se souvenir du cours sur le haut-parleur. Ce problème est un bon entraînement pour l'oral. Le problème de chimie, qui s'intéresse aux différentes variétés allotropiques du carbone, balaye de nombreux points de thermochimie au programme. Les premières questions concernent l'étude de structures cristallines et leurs conséquences sur les propriétés physiques macroscopiques du diamant et du graphite. Les suivantes éclairent le rôle des anodes de graphite dans l'électrolyse de solutions de chlorure de sodium, utilisant notamment un diagramme intensité-potentiel. L'énoncé propose ensuite l'étude de l'équilibre graphite-diamant et de la réaction de formation du carbone pyrolytique. Enfin, les dernières questions abordent la synthèse de fibres de carbone par polymérisation du cyanure de vinyle. Indications Problème de Physique 1.1 Les signaux hertziens sont des ondes électromagnétiques. 1.3.a L'amplitude de s peut être négative ici ; elle est représentée par s0 (1+m cos t). 1.4 Linéariser l'expression du courant. 2.1 Lorsque la diode est passante, on la remplace par un fil ; lorsqu'elle est bloquée, par un circuit ouvert. 2.4 Il faut lire = 3, 14.104 rad.s-1 et non pas = 3, 14.104 rad.s-1 . 2.5.a Le détecteur d'enveloppe, lorsqu'il est bien dimensionné, suit l'enveloppe du signal d'entrée, pour sa partie positive dans notre cas (cela dépend du sens de la diode). 2.6 Exprimer et linéariser le signal de sortie du multiplieur. 2.9.a À l'aide du point (100 kHz, |G| = 50 dB), retrouver l'échelle du graphique. 2.9.b On rappelle que l'asymptote de la courbe de gain du filtre passe-bas d'ordre n a pour pente -20 n dB/décade. 3.3 La force électromotrice est calculée en intégrant le champ électromoteur le long des spires. 3.5 Prendre z = 0 pour la position à l'équilibre de la partie mobile du ressort. 3.6 On travaille en régime sinusoïdal forcé ; utiliser la notation complexe pour réécrire les équations. 3.7.a Pour effectuer un bilan de puissance, multiplier l'équation mécanique par la vitesse et l'équation électrique par l'intensité. 3.7.b Calculer la valeur moyenne de la dérivée d'un signal périodique. 3.9 L'impédance d'entrée de l'oscilloscope est très grande. 3.10.b La première égalité se trouve en injectant la solution dans l'équation différentielle. Dans la deuxième, v0 est la vitesse initiale de la membrane. Il y a une erreur dans l'énoncé ; il ne faut pas utiliser v(0) = 0 ni se fier à l'enregistrement fourni (les deux sont incompatibles avec la suite de l'énoncé) mais résoudre la question dans un cas général. Enfin, pour la troisième égalité, on intègre la vitesse pour obtenir la position et on utilise alors la condition initiale z(0) = 0. 3.10.c Dans l'expression de la vitesse, en un maximum, le cosinus vaut approximativement 1 (pourvu que 1). Choisir l'instant auquel le premier maximum se produit et exprimer ensuite la vitesse en fonction de cet instant et de T0 . Problème de Chimie 5 La compacité est définie par le rapport entre le volume occupé par les atomes dans la maille et son volume total. 8 Quelles sont les conséquences de la délocalisation des électrons sur les propriétés électriques d'un matériau ? 10 La réaction favorisée lors de l'électrolyse a lieu entre les couples dont les potentiels standard sont les plus proches. 17 Les hautes pressions favorisent les états denses. Problème de Physique 1. Fabrication d'un signal modulé en amplitude 1.1 Un signal audible correspond, dans l'idéal, à l'intervalle de fréquence allant de 20 Hz à 20 kHz. Les signaux hertziens sont des ondes électromagnétiques qui se propagent dans l'air à la célérité c = 3.108 m.s-1 . 1.2 Il y a trois raisons essentielles à l'utilisation de la modulation pour transporter un signal par voie hertzienne : · On peut ainsi transporter sans les mélanger deux signaux informatifs qui s'étendent tous les deux entre 20 Hz et 20 kHz en utilisant deux porteuses de fréquence différente. · La taille des antennes est liée à la longueur de l'onde émise c = En outre, travailler à haute fréquence permet de manipuler des longueurs d'onde plus faibles. · La puissance rayonnée par un dipôle est proportionnelle à 4 ; l'antenne émettra d'autant mieux le signal que sa fréquence est élevée. La deuxième raison est d'application numérique délicate. On admet communément que la taille de l'antenne adaptée est de l'ordre de ou /2. La réalité peut en être assez éloignée : France Inter émet autour de 160 kHz et son antenne ne fait pas 2 km. Le but n'étant pas de développer une théorie des antennes, on se limitera à cette approximation. 1.3.a La modulation de l'amplitude de l'onde porteuse (de pulsation ) est exprimée mathématiquement par le terme s0 (1 + m cos t). Cette amplitude peut être négative si m > 1. On représente les amplitudes maximale et minimale pour chacun des signaux présentés dans l'énoncé : s s 3 smax 2 smin 1 0 -1 -2 -3 3 2 1 t 0 -1 -2 -3 Exprimons alors les valeurs maximale et minimale de l'amplitude : ( smax = s0 (1 + m) smin = s0 (1 - m) Ainsi, m= smax - smin smax + smin smax t smin 1.3.b Repérons les valeurs maximale et minimale de l'amplitude : pour la figure 1(a) m= pour la figure 1(b) 1, 5 - 0, 5 = 0, 5 1, 5 + 0, 5 m= 3 - (-1) =2 3 + (-1) 1.3.c Pour m = 1, on est à la limite de la surmodulation : s 2 1 0 -1 -2 t 1.4 Linéarisons l'expression de l'intensité du courant électrique : m I0 cos( + )t + cos( - )t 2 L'intensité i(t) est ainsi composée des trois fréquences F - f , F et F + f , en notant F= et f = , ce qui donne le spectre suivant : 2 2 i(t) = I0 (1 + m cos t) cos t = I0 cos t + amplitude I0 mI0 2 frequence F-f F F+f 1.5 De l'expression linéarisée de l'intensité, il vient immédiatement i1 (t) = I0 cos t m I0 i2 (t) = cos( + )t 2 i (t) = m I0 cos( - )t 3 2 L'intensité i(t) est la somme de trois intensités. En mettant à profit la loi des noeuds, on obtient la source équivalente en associant trois sources de courant en parallèle et le schéma équivalent devient : i1 (t) i2 (t) i3 (t) Emetteur u(t)