CCP Physique et Chimie PSI 2021

Corrigé

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2021 PSI2PC

INP

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

PHYSIQUE - CHIMIE

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de six parties toutes indépendantes.

Les données se trouvent en fin de sujet.

1/16
Etude de quelques phénomènes naturels et environnementaux

Partie I - Séisme

Un séisme ou tremblement de terre est une secousse du sol résultant de la 
libération brusque
d'énergie accumulée par les contraintes exercées sur les roches. Cette 
libération d'énergie provient
de la rupture des roches le long d'une faille préexistante, d'une activité 
volcanique. Elle peut être
aussi d'origine artificielle (explosions par exemple). Les mouvements des 
roches engendrent des
vibrations élastiques qui se propagent, sous la forme de paquets d'ondes 
sismiques, autour et au
travers du globe terrestre.

Les mouvements du sol sont étudiés par l'intermédiaire de sismographes. 
L'acquisition et
l'enregistrement du signal s'obtiennent dans une station sismique regroupant, 
outre les sismographes
eux-mêmes, des enregistreurs, des numériseurs, des horloges et des antennes GPS.

I.1 - Étude du sismographe

Un sismographe simple (figure 1) est constitué d'un support rigide de hauteur 
h, auquel on
suspend une masse m, supposée ponctuelle, par l'intermédiaire d'un ressort de 
masse négligeable de
raideur k, de longueur à vide I, et d'un amortisseur de coefficient de 
frottement À. Cet amortisseur

_ d(h-Z) , dz .,
exerce sur la masse m une force : F, = À 2) e, = -À = e,.
dt dt
Z
\
H
M
Z(t)
GS
| Zs(t)
O X

Figure 1 - Sismographe

Un mouvement vertical du sol déclenche un mouvement vertical de la masse m 
caractérisé
par la fonction z(t) dans Île référentiel lié au sol.

2/16
On pose : Z(t) = Zeq + u(t). La position z = zs correspond à la position 
d'équilibre de la masse
m en l'absence de séisme et u(t) représente l'écart par rapport à l'équilibre.

On modélise une composante en fréquence de la vibration verticale du sol par 
rapport à un
référentiel galiléen (O, X, Y, Z) au moyen de la fonction : zs(t) = Zocos(owt).

Q1. Écrire l'équation différentielle qui relie z(t), z(t), m, £, À, h, k et lo. 
Préciser l'expression de Zéa;
puis l'équation différentielle qui relie u(t), Z.(t), m, 2 et k.

Le sismographe peut être assimilé à un système linéaire de fonction de 
transfert :

| u(t)
H(jo) = : L

On donne sur la figure 2 les diagrammes de Bode en amplitude pour des filtres 
du second ordre.

log(®/@0)

Pente de -40 dB/décade

JG) | 2
HG) = --}-- Huy = -- 2207
-- 1+2j0--- +(12)2 = 1+2jo-- +(12)2
O0 O0 O0 O0

Figure 2 - Diagrammes de Bode en amplitude

Q2. Déterminer l'expression de la fonction de transfert du sismographe en 
fonction de m, Kk, À, © et J,
nombre complexe tel que j* = -- 1. De quel type de filtre s'agit-il ?

Q3. Préciser l'expression de l'amplitude maximale U de la réponse verticale 
u(t) du régime forcé
de la masse m en fonction de Zo, m, Kk, À et ©.

n .... , K À
Q4. Ecrire deux conditions portant sur la fréquence et les rapports mn et -- 
Pour que l'amplitude U

du mouvement de la masse m soit égale à l'amplitude Z, du sol. La suspension 
est-elle qualifiée

de souple ou de rigide ? La masse m vibre-t-elle en phase, en quadrature de 
phase ou en
opposition de phase avec le sol ?

Q5. Le cahier des charges du sismographe impose d'éviter tout phénomène de 
résonance, ce qui

. Préciser cette

À
Vk:m

impose une condition supplémentaire sur la grandeur sans dimension

condition supplémentaire à l'aide d'une inégalité.

3/16
L.2 - Spectre d'un signal numérique

Nous nous proposons ici d'illustrer quelques impacts de la numérisation du 
signal sismique
sur son Spectre. Pour des raisons de facilité, cette étude est menée à plus 
haute fréquence avec le
matériel usuel du laboratoire de sciences physiques du lycée. Elle se 
généralise à tout enregistrement
numérique.

Rappels sur le fonctionnement de l'oscilloscope numérique

- Lors d'un enregistrement, l'oscilloscope numérique discrétise et enregistre 
un signal sur une
durée égale à la durée de balayage, soit 10 carreaux x base de temps.

- Le nombre d'échantillons enregistrés est toujours le même et égal à 2 480. La 
période
d'échantillonnage dépend ainsi de la durée d'enregistrement et donc de la base 
de temps.

- Un menu permet l'affichage du spectre du signal échantillonné. Pour tous les 
spectres fournis
dans cet énoncé, les amplitudes relatives des différentes composantes en 
fréquence sont
représentées sur une échelle en dB en ordonnées. L'échelle des abscisses est 
linéaire, graduée
de f -- 0 HZ jusqu'à une fréquence f., qui dépend de la base de temps. Deux 
curseurs
verticaux, dénommés XI et X2, permettent de pointer deux fréquences pour une 
lecture aisée
de leur valeur sur l'écran.

Expérience 1

Un signal sinusoïdal est délivré par le GBF et est envoyé sur l'oscilloscope 
numérique. Il a
été enregistré avec une base de temps de 250 us par division comme indiqué en 
bas de l'écran. Il est
à la fois représenté dans le domaine temporel et dans le domaine fréquentiel 
sur l'oscillogramme 1]
de la figure 3.

G INSTEK r d. 00 'ign JL CURSEUR

: Soutce
| MATH
r "1

F6, GAAHZ
M:--15. 3dE

Ag
fa: dé. GKHZ

ne
| M6. dé
| Ale

"STE, GKHZ
Dit: 56, GEHZ
Ads, dE

Pr PE

( 250UuS EDGE FAC
1 1.49995KHZ m+E

Figure 3 - Oscillogramme 1]

Q6. Déterminer la période et la fréquence du signal sinusoïdal.
Déterminer une valeur approchée de la fréquence d'échantillonnage de cet 
enregistrement.
Quel lien existe-t-1l entre la plus haute fréquence fmax = 496 KHz, repérée par 
le curseur 2, et la
fréquence d'échantillonnage ?

4/16
Q7. Pour un repérage aisé du pic en fréquence au moyen du curseur X1, 1l faut 
dilater l'échelle des
fréquences. Quel ajustement proposez-vous de faire sur l'oscilloscope ?
Est-ce cohérent avec le nouvel oscillogramme 2 de la figure 4 ?
La nouvelle valeur de la plus grande fréquence fa, de ce spectre était-elle 
prévisible ? Si oui
comment ?

GHINSTER + G.488s IF1958% 0 FL. CURSEUR
R > | | Source
MATH

Me
fa d. GÉGKHz
M:-57. 6dE

- & : FSÛKEHEZ
dCi :S66Hz
4 :d?, 4dE

.
_
.
r
L
À
&
Æ
:
TT
_
.
E

AT
Br SGGm) D 25ms "OCHi EPCE AC
a = ill © 1. 4S39335ÈHZ mt

Figure 4 - Oscillogramme 2

Q8. On renouvelle cette opération et on obtient l'oscillogramme 3 de la figure 
5.
Expliquez la valeur f -- 1 KHZz de la fréquence donnée par le curseur X1.

GHINSTER | © ALTER AT CURSEUR
Es | 0 Source

MATH

Ke

Mr

| fs 1. 24BEHz
M-52. 7üB

AlEZ
s:cdf, GHZ

Diu:175H7z

1:32. 74e

| Key

Be coemt Dibémerou QCHi EBCE FAC
g--il G 1.49995kHz Co

Figure 5 - Oscillogramme 3

5/16
Expérience 2

On considère le montage électronique 1 (figure 6) où l'A.L1. est considéré 
comme parfait et
fonctionne en régime linéaire. Vi, V, V; correspondent aux trois tensions 
d'entrée et V, est la tension

de sortie.

V3

[TITT

Figure 6 - Montage électronique 1

Q9. Déterminer l'expression de V, en fonction de V:, Vi, V3, Ro, R1, R2 et R3. 
Proposer un nom à

ce montage.

On associe au montage précédent un multiplieur dont les deux tensions d'entrée 
sont V' et V:.
Il délivre en sortie la tension V,, avec : V,{(t) = kV.(t)V(t), où k = 0,1 V-!. 
On aboutit au montage

électronique 2 de la figure 7.

R2

-- |

x R:
A

[TT

1]

Figure 7 - Montage électronique 2

6/16
V.(t) et V(t) sont respectivement deux tensions sinusoïdales de même amplitude 
maximale
Vo et de fréquence fi et f. On pose : Vi(t) = Vocos(2rfit) et V:(t) = 
Vocos(2rht).

Q10. On suppose 1c1 que Ro = R; = R2 = R3.
Tracer l'allure du spectre théorique de la tension de sortie V4.

Q11. Comment est modifié ce spectre lorsque Ro = R; = R; = 2R; ?

Q12. L'enregistrement du signal V, et la détermination de son spectre par 
l'oscilloscope numérique
sont donnés sur l'oscillogramme 4 de la figure 8.

GX INSTEE Hur JL CURSEUR
SOLUCE

MATH

#1

+1: 3098, GHZ
F:4, HAE

ir

9408, GHz

Ma, 4G dE
Ale

#60, GHZ
Dit: 256 Hz
4:20. SAGE

GI Sms ROLL 2LIHE EDGE +FHC
Ari] 3 49, SSSSHE mt E

ka NA ML ="

Figure 8 - Oscillogramme 4

Déterminer les valeurs des fréquences f: et f.

7/16
Partie II - Eutrophisation

Lorsqu'un milieu aquatique reçoit trop de matières nutritives assimilables par 
les algues,
celles-ci prolifèrent (photo 1). L'eutrophisation peut aboutir à la mort des 
d'organismes vivants par
asphyxie.

Photo 1 - Eutrophisation

Un procédé de lutte contre l'eutrophisation consiste à réduire la teneur en 
phosphore des
eaux rejetées par un ajout suffisant de chlorure de magnésium MgCl,, supposé 
entièrement soluble
dans l'eau (Mg'*,2CT). Le phosphore précipite alors sous forme de struvite de 
formule
MgePO;NH/,(s) suivant l'équation bilan :

Mg" + NH;

4(aq)

+PO*

(aq) 4 (aq)

=MgPO,NH,,

On considère un effluent aqueux contenant initialement Cp = 5:10 mol: L-\ de 
phosphore
et Cn = 16-10 mol. L_! d'azote ammoniacal. Le pH de cet effluent est maintenu à 
9,3.

Le phosphore peut être présent sous les formes suivantes : H3POz, H2PO; , HPOS 
, PO; .
L'azote ammoniacal peut être présent sous les formes NHY et NH;

On suppose que l'hydroxyde de magnésium (Mg(OH) 24) ne se forme pas.

On se propose de déterminer la masse minimale de chlorure de magnésium à 
ajouter dans 1 m
d'effluent pour faire apparaître le précipité de struvite.

Q13. Préciser sous quelles formes prépondérantes se trouvent le phosphore et 
l'azote ammoniacal
dans cet effluent. Préciser les concentrations de ces différentes espèces 
prépondérantes.

Q14. Déterminer la concentration minimale de Mg" pour laquelle le précipité de 
struvite apparaît.

Q15. En déduire la masse minimale de chlorure de magnésium à ajouter dans 1 m° 
d'effluent pour
faire apparaître le précipité de struvite.

8/16
Partie III - Composition et fonte de la banquise

La banquise est une couche de glace à la surface de la mer. Quand la 
température de l'eau
de mer atteint -- 1,8 °C, l'eau salée gèle et emprisonne des gouttelettes de 
saumure (solution aqueuse
de sel de forte concentration). Ensuite, ces gouttelettes de saumure migrent 
par gravitation vers le
bas de la banquise, avant de rejoindre peu à peu la mer. La salinité de la 
banquise diminue avec le
temps.

La banquise arctique pérenne est celle qui ne fond pas en été. Elle a une 
épaisseur de l'ordre
de 4 m et sera assimilée à de la glace d'eau douce.

Un iceberg est un bloc de glace d'eau douce dérivant sur la mer ou un lac. Il 
provient
généralement du détachement du front d'un glacier.

On donne sur la figure 9 le diagramme binaire du système (eau-NaCÏ) sous 
pression

atmosphérique.
T(°C) À 10 20 30
| > % massique
Il
-- 10 -- III
I
-- 20 +
IV P

Figure 9 - Diagramme binaire (eau-NaCl)

Q16. Préciser les phases qui existent dans chacun des domaines LE, IE, IE et IV.

Q17. Tracer la courbe de refroidissement T(°C), en fonction du temps t, d'un 
verre d'eau de mer
initialement à 15 °C placé dans un congélateur maintenu à pression 
atmosphérique et dont la
température intérieure est maintenue -- 30 °C.

Q18. Comment nomme-t-on le point P ?

Tracer la courbe de refroidissement d'un verre d'eau salée initialement à la 
température de 15 °C,
ayant la composition du point P.

9/16
Q19. Un iceberg (photo 2) de volume total V flotte dans l'océan. Il présente un 
volume émergé v.
Déterminer le rapport v/V.

Photo 2 - Iceberg flottant dans l'océan

Q20. Dans cette question, 1l vous est demandé de faire preuve d'autonomie. 
Toute démarche même
partielle de résolution sera prise en compte.
La banquise arctique pérenne occupe environ 1,5 % de la surface du globe 
terrestre alors que
l'ensemble des océans en occupe environ 70 %.
Evaluer un ordre de grandeur de la hauteur de montée des océans en cas de fonte 
totale de la
banquise arctique pérenne ?

10/16
Partie IV - Tornade

On peut modéliser simplement une tornade (photo 3) en considérant l'air comme 
un fluide
parfait en écoulement stationnaire et incompressible de masse volumique p,. Cet 
écoulement est
qualifié de rotationnel à l'intérieur d'un cylindre EUR d'axe OZ et de rayon 
Rr. On définit le vecteur
tourbillon ©, tel que : rot(v)=2&.
® = @,Y pour r < Rr Ona:0=060E6,. avec | 7? © =0 pourr > Rr

Photo 3 - Tornade

Q21. Énoncer les deux équations de Maxwell pour un champ magnétique en régime 
permanent.

Q22. Etablir l'équation locale traduisant la conservation de la charge 
électrique en coordonnées
cartésiennes à une dimension. Par analogie, on admettra l'équation locale de 
conservation de

la masse pour un fluide en écoulement : div(uv) + = = (0,

Q23. Que devient l'équation locale de conservation de la masse dans le cadre 
d'un écoulement
stationnaire incompressible ? Par analogie avec l'électromagnétisme ou par 
application du
théorème de Stokes, proposer une formulation analogue au théorème d'Ampère en 
régime
permanent qui permet de déterminer le champ des vitesses V en tout point de 
l'espace.

Q24. Déterminer le vecteur vitesse V en tout point de l'espace et tracer 
l'allure de la courbe v(r).

Q25. Rappeler les hypothèses d'application du théorème de Bernoulli. On suppose 
que ces
hypothèses sont valables dans la zone r > Rr. En considérant la pression de 
l'air égale à P° loin
du cyclone, préciser l'expression de la pression P(Rr) à la surface de la 
tornade, en fonction de

P°, Po: @ et Rr.

Q26. Évaluer dans le cadre de ce modèle simplifié la dépression AP = P° - P(R.) 
pour des vents de
180 km/h à la surface de la tornade en Rx.

Q27. La masse d'une tuile en terre cuite est d'environ 2,8 kg. Le faible 
recouvrement offre une
densité surfacique de masse réduite de la couverture, de l'ordre de 40 kg-m?. 
Justifier de la
nécessité du collage des tuiles sur le toit dans les zones particulièrement 
ventées.

11/16
Partie V - Nécessité de la chlorophylile

Photosynthèse chlorophyllienne

Grâce à la chlorophylle, beaucoup de végétaux permettent la photosynthèse du 
glucose solide
(CO) et du dioxygène gazeux à partir du dioxyde de carbone gazeux et de l'eau 
liquide.

Q28. Écrire l'équation bilan (1) de la synthèse directe d'une mole de glucose 
solide à partir du
dioxyde de carbone gazeux et de l'eau liquide.

Q29. On note M, la masse molaire du glucose. Quel volume V(O:) de dioxygène, 
assimilable à un
gaz parfait, peut-on recueillir dans un récipient maintenu à la pression P et à 
la température T
par la synthèse directe d'une masse m de glucose ?

En se plaçant dans l'approximation d'Ellingham, on a A,G°,(298K) = 2 870 
kJ-mol-! pour la
réaction (1) obtenue à la Q28. Les conditions atmosphériques ordinaires sont 
caractérisées par une
température voisine de 300 K, une pression totale de 1 bar et des fractions 
molaires respectives en

dioxygène et en dioxyde de carbone de 20 % et de 0,03 %.

Q30. Dans les conditions atmosphériques ordinaires, la synthèse directe du 
glucose est-elle
spontanée ou provoquée ? Justifier la nécessité de la préservation des forêts 
équatoriales.

Partie VI - Séchage des sols

On se propose 1c1 de déterminer le temps de séchage complet d'un sol saturé en 
eau (photo 4).

MX , > Vi re
m1 4 É 7: . æ.
RC DPF :S
RE T4 AUS

Photo 4 - Sol saturé en eau

On travaille en coordonnées cartésiennes (x, y, z) de base orthonormée 
(EUR,,6,,EUR,). Le sol

(figure 10) est considéré comme infini dans les directions EUR, et EUR. Le plan 
(O,é,,é6,)est ici

considéré comme imperméable. Le sol s'étend depuis la côte z = 0 jusqu'à la 
côte H.

12/16

Figure 10 - Modèle du sol

On note T la température, supposée uniforme, de l'air extérieur situé en z > H 
et assimilable
à un gaz parfait ; R désigne la constante des gaz parfait et NA la constante 
d'Avogadro. La pression
partielle de l'eau dans l'atmosphère est notée Pext.

On admet que, sous l'action de l'air extérieur, le sol s'assèche par sa partie 
supérieure. On
adopte un modèle dans lequel z;(t) délimite la partie mouillée du sol. On a 
z(t=0) = H. On note niq
le nombre de molécules d'eau liquide par unité de volume de sol. mi, est 
supposé constant dans la
partie mouillée du sol.

À la date t, dans la zone z < zn(t), le sol est mouillé et contient de l'eau liquide. Dans la zone Z > Zm(t), le sol est sec mais contient de la vapeur d'eau assimilée à un gaz 
parfait. On fait l'hypothèse

que cette vapeur d'eau est également à la température uniforme T. Elle diffuse 
vers l'extérieur suivant
la loi de Fick de coefficient de diffusion D.

À l'interface sol-atmosphère, en z = H, le vecteur densité de courant en 
molécules d'eau est de
la forme : j=h(P(H)-P..)e, où P(H) est la pression partielle de l'eau en z = H.

À la date t, pour z > zn(t), on note Nyap(Z,t) la densité locale en molécules 
d'eau sous forme
vapeur et ®,(7,t) le débit ascendant en molécules d'eau qui traversent une 
section horizontale $,
orientée vers le haut et située à la côte z.

Q31. Rappeler la définition de la pression de vapeur saturante. Écrire une 
condition faisant intervenir
la pression partielle P.,. de l'eau dans l'atmosphère et la pression saturante 
de l'eau notée P,a(T)
pour que le sol puisse effectivement sécher.

Q32. Pourquoi un sol sèche-t-1l plus vite lorsqu'il y a du vent ?

Q33. Rappeler la loi de Fick et préciser les unités, dans le Système 
International, des grandeurs qui
interviennent.

Q34. On suppose que dans le sol le phénomène de diffusion est en régime 
stationnaire. Justifier que
le débit ®, est uniforme.

Q35. Pour zn(t) < z < H, déterminer l'expression de n,(Z) en fonction de n,3p(Zm(t)), Ds, D, S, z et Zm(t). 13/16 Q36 Q37. Q38. Q39. Q40. Q41. Q42. Q43. En considérant qu'en z = Zn(t), la vapeur d'eau est en équilibre thermodynamique avec l'eau liquide, exprimer nvap(Zm(t)) en fonction de NA, Psa(T), R et T. En déduire l'expression de n,,(Z) en fonction de NA, Psat(T), R, T, D, D, $, z et Zm(t). Exprimer alors P(H) en fonction de P.a(T), Na, R, T, D, D, S, H et zut). En utilisant la condition à l'interface sol-atmosphère, exprimer ®, en fonction de h, Psa(T), Pext, S, R, T, H, Zzn(t), Na et D. Ecrire une équation différentielle de conservation des molécules d'eau à l'interface z = z;{t) dz. (t reliant Ds, nig et n ) À l'aide des deux équations établies aux deux questions précédentes, en déduire l'équation différentielle vérifiée par Zn(t), puis exprimer le temps de séchage + en fonction de h, Piat(T), Pexts Diiq» KR, T, H, NA et D. séchage Le temps de séchage des sols dépend du phénomène de diffusion de la vapeur d'eau dans le sol et du phénomène d'évaporation à l'interface sol-atmosphère. On peut définir asymptotiquement deux zones, délimitées par une hauteur notée Hi, dans lesquelles soit le phénomène de diffusion, soit le phénomène d'évaporation est déterminant. Préciser l'expression de Hi, en fonction de h, R, T, NA et D. Les figures 11 et 12 représentent le temps de séchage en fonction de la hauteur H pour T = 300 K, D = 5-10 SI, h = 5-10!7 molécules-m*-s"!-Pa }, P.x = 600 Pa et nig= 1,2:10'* molécules-m *. Déterminer à l'aide de ces courbes (échelles différentes) la valeur numérique de H;,, et préciser le positionnement de chacune de ces zones. & u1 A J © T T T T 7 temps en jours U T 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 Hauteur en cm Figure 11 - Temps de séchage en fonction de la hauteur H 14/16 temps en heures & ' L 1 1 1 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 Hauteur en mm Figure 12 - Temps de séchage en fonction de la hauteur H 15/16 Données Constantes physiques R = 8,31 J-mol-!-K-! N1 = 6,022-10*° mol ! Données physicochimiques Densités et masse volumique Masse volumique de l'air dans les conditions ambiantes : p,= 1,2 kg-m Densité d'un glaçon : du = 0,9 Densité de l'eau des océans : dé = 1,1 Masses molaires M(M£gCb) = 95 g-mol | M(NaCI) = 58,5 g-mol | M(E0) = 18 gmol ! Principaux sels dissous dans les eaux des océans Anions (en g / kg d'eau) Cations (en g / kg d'eau) Chlorure (CT) : 19 Sodium (Na°) : 10,5 Sulfate (S04") : 2,65 Magnésium (M£g**) : 1,3 Hydrogénocarbonate (HCO,; ) : 0,14 Calcium (Ca?) : 0,4 Données thermodynamiques H3PO, est un triacide dont les constantes d'acidité sont : pK:1 = 2,1 ; pKa = 7,2 ; pKa3 = 12,3 Constante d'acidité du couple (ion ammonium, ammoniac) : pK; = 9,3 Réaction de solubilité de la struvite : MgPO,NH,,., =Mg"*.. +POS,. + NH; 4(s) (aq) 4 (aq) 4 (aq) Produit de solubilité de la struvite : K, = 107!! Formules trigonométriques cos( a + b) = cos( a) cos(b) -- sin( a) sin( b) cos(a---b)+cos(a+b) 2 cos( a) cos( b) -- Théorèmes d'analyse vectorielle Théorème de Stockes : Ï. fermé ä.dl = [ [. rot( a ).dS où est une surface qui s'appuie sur le contour 7 me orienté. Théorème de Green-Ostrogradski : if. ä.dS = | | [ div( à )dr où V est le volume délimité par la surface Z smée. ferm FIN 16/16 IMPRIMERIE NATIONALE - 211169 - D'après documents fournis

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCINP Physique et Chimie PSI 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Steve Arnefaux (professeur en CPGE) et Alexandre
Herault (professeur en CPGE) ; il a été relu par Arthur Alexandre (ENS 
ParisSaclay), Émilie Frémont (professeur en CPGE) et Stéphane Ravier 
(professeur en
CPGE).

Le sujet s'intéresse à quelques phénomènes naturels et environnementaux. Ses six
parties sont totalement indépendantes.
· La première partie est consacrée à l'étude des mouvements du sol. On présente
tout d'abord un dispositif mécanique pouvant mesurer les vibrations des sols :
le sismographe. L'étude de cet outil amène à revenir sur les notions de filtrage
mécanique. Ensuite, les résultats obtenus par cet instrument sont transformés
en signaux électriques et numérisés. On s'intéresse alors aux conséquences de
la numérisation à travers deux expériences : la première montre l'influence de
la durée d'acquisition du signal sur la résolution spectrale et la seconde 
utilise
un montage électrocinétique permettant de translater les fréquences afin de les
observer sans modifier la résolution spectrale.
· La partie II, très courte, aborde le phénomène d'eutrophisation au sein d'un
milieu aquatique et fait appel au cours sur les solutions aqueuses.
· Dans la partie III, on étudie la composition et la fonte de la banquise. Après
quelques questions de chimie sur l'exploitation d'un diagramme binaire, cette
partie se termine par une question où l'on doit faire preuve d'autonomie pour
estimer la montée du niveau de la mer si la banquise était amenée à fondre
entièrement.
· La quatrième partie modélise une tornade. Elle commence par des questions
classiques sur le cours d'électromagnétisme (équations de Maxwell, 
démonstration de l'équation de conservation de la charge). Ensuite, les 
questions se
focalisent sur la mécanique des fluides dans le but de déterminer la vitesse des
vents en tout point de l'espace. Pour finir, on calcule la dépression causée par
la tornade afin de vérifier s'il est nécessaire de coller les tuiles sur un 
toit.
· La partie V, très courte, s'intéresse à la photosynthèse chlorophyllienne et 
aux
aspects thermochimiques de cette réaction.
· La partie VI aborde le séchage des sols saturés en eau. Une étude 
thermodynamique permet d'aboutir à une équation différentielle sur la position 
de
l'interface sol sec - sol humide. La résolution de cette dernière permet de 
calculer la durée de séchage en fonction de la hauteur du sol et de montrer que
deux phénomènes entrent en compétition : la diffusion et l'évaporation.
Le sujet est vaste et demande d'utiliser beaucoup de notions de première et de
deuxième année. Le niveau de difficulté des questions est variable mais cela 
reste
progressif dans chaque partie. Les quelques questions de chimie sont triviales 
et ne
résultent que de l'application directe du cours.

Indications
Partie I
3 Le module de la fonction de transfert correspond au rapport de l'amplitude U 
et
de l'amplitude Z0 .
4 Déterminer le domaine de fréquences pour que le module de la fonction de 
transfert s'approche de l'unité.
5 Exprimer le facteur de qualité et rappeler la condition de résonance.
9 Utiliser la loi des noeuds en termes de potentiels.
10 Penser à linéariser l'expression.
Partie II
14 Déterminer tout d'abord la concentration de l'espèce minoritaire PO4 3- .
Partie III
16 L'abscisse du diagramme donné est le pourcentage massique en NaCl.
20 Déterminer le volume d'eau douce obtenu par la fonte de la banquise puis, 
sachant
que la masse se conserve, calculer le volume immergé de celle-ci. La différence
représente l'augmentation de volume. En supposant que ce volume se répartit
uniformément, calculer la hauteur H de montée des eaux.
Partie IV
23 L'analogie avec l'électromagnétisme est plus rapide mais demande plus 
d'aisance.
27 Considérer que la force causée par la dépression est verticale et comparer 
sa norme
à celle du poids d'une tuile.
Partie V
28 Équilibrer les éléments dans cet ordre : C puis H puis O.
30 Calculer le quotient réactionnel et le comparer avec la constante 
d'équilibre, qu'il
n'est pas nécessaire de calculer précisément.
Partie VI
34 Faire un bilan de matière dans un petit volume de longueur dz et de section 
S.
36 Attention, la quantité nvap (z m ) ne représente pas un nombre de moles mais 
une
densité particulaire.
40 Un petit oubli de l'énoncé : l'équation différentielle fait aussi intervenir 
S.
41 Il est plus simple d'utiliser un changement de variable Z = H - z m . De 
plus,
 
d Z2
dZ
=
Z
dt
dt 2
Le séchage est terminé lorsque Z = H.
43 Avec la figure 12, déterminer la hauteur H ' Hlim /10 à partir de laquelle 
l'approximation linéaire n'est plus vérifiée.

Publié dans les Annales des Concours

I. Séisme
1 Dans le référentiel galiléen (O,X,Y,Z,t) noté (R), les forces qui 
s'appliquent sur
la masse m sont :

-
-
-
· le poids P = m
g = -mg 
ez ;
-

-
· la force de rappel du ressort Fr = k (h - z - `0 ) 
ez ;
-

dz 
· la force due à l'amortisseur Fa = - -
ez .
dt
Dans ce référentiel, le principe fondamental de la dynamique pour la masse m 
s'écrit

- -
 -

d2 (z S + z) 
-
ez = P + Fr + Fa
2
dt
Projetons cette relation sur l'axe (OZ) :
m

m

dz
d2 zS
d2 z
= -mg + k (h - z - `0 ) - 
-m 2
2
dt
dt
dt

En l'absence de séisme, la position zS est constante. Déterminons la position
d'équilibre de la masse m à partir de la relation précédente :
0 = -mg + k (h - z eq - `0 )
z eq = h - `0 -

Par conséquent,

mg
k

Avec l'expression de cette position, déterminons une équation différentielle 
vérifiée
par l'écart de la masse par rapport à l'équilibre, noté u. Pour cela, passons 
par le
changement de variable z = z eq + u et relions leurs dérivées :
dz
du
d2 z
d2 u
=
et
=
dt
dt
dt2
dt2
Dans le principe fondamental de la dynamique, cela donne
m

d2 u
du
d2 z S
=
-mg
+
k
(h
-
u
-
z
-
`
)
-

-
m
eq
0
dt2
dt
dt2

k
k
d2 z S
d2 u
 du
+
u
=
-g
+
(h
-
z
-
`
)
-
+
eq
0
dt2
m dt
m
m
dt2
En utilisant l'expression de la position d'équilibre z eq , la relation se 
simplifie

ou encore

d2 u
 du
k
d2 z S
+
+ u=- 2
2
dt
m dt
m
dt
2 En régime sinusoïdal forcé, l'équation différentielle vérifiée par u devient

k
 u + u = 2 zS
m
m
On en déduit la fonction de transfert
- 2 u + j

H(j) =

ou encore

u
2
=
zS
k/m -  2 + j  /m

H(j) =

m  2 /k
1 - m  2 /k + j /k

Par identification avec les formes données, le sismographe agit comme un filtre
passe-haut du second ordre.
On aurait aussi pu déterminer la valeur asymptotique de la fonction de 
transfert en basses et hautes fréquences :
lim H(j) = 0

0

lim H(j) = -1

et

+

3 Le module de la fonction de transfert correspond au rapport de l'amplitude U 
et
de l'amplitude Z0 . Ainsi,
|H| =

soit

m  2 /k
U
=
2
|1 - m  /k + j /k|
Z0

U= q

m  2 /k
2

(1 - m  2 /k) + ( /k)

2

Z0

4 Réécrivons l'expression précédente en simplifiant par m  2 /k :
U = rh

Z0
i2 h
i2
k/(m 2 ) - 1 + /(m)

On obtient l'égalité U = Z0 lorsque les termes k/(m 2 ) et /(m) sont 
négligeables
devant 1. Donc
2 

k
m

et

m

La condition sur la constante k du ressort implique que celle-ci doit être 
faible :
il s'agit d'une suspension qualifiée de souple.
Le déphasage des vibrations s'obtient en déterminant l'argument de la fonction
de transfert. Dans les conditions ci-dessus, elle se simplifie en
H(j) '
Ainsi,

m  2 /k
= -1
-m  2 /k

arg (H) = arg(-1) = +
-

La masse m vibre en opposition de phase avec le sol.
5 Pour un filtre du second ordre, il n'y a pas de résonance lorsque le facteur 
de
qualité vérifie

1
2
=Q< 2 2 Pour trouver l'expression du facteur de qualité, mettons la fonction de transfert sous sa forme canonique : p 2 j m/k H0 H(j) = p 2 1 + j /k + j m/k