CCP Physique et Chimie PSI 2017

Thème de l'épreuve Étude d'un actionneur électromécanique
Principaux outils utilisés électromagnétisme, conversion de puissance, phénomènes diffusifs, optique, courbes courant-potentiel, mélanges binaires
Mots clefs onduleur, actionneur linéaire synchrone, soudure, laser, soudure, étain, bismuth

Corrigé

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2017

PSIPC03

!

!
!

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
!

PHYSIQUE - CHIMIE
Mercredi 3 mai : 8 h - 12 h!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
!"#$%&'()*+,'+-)+%$)#'#$&+./&+$0.)"+1+!.2"!.!+%.+3-'+2.-&+4-'+/.054.!+6&!.+-).+.!!.-!+#7")()%"8+'4+4.+
/'9)$4.!$+/-!+/$+%(2'.+.&+#.:!$+2(-!/-':!.+/$+%(02(/'&'()+.)+.;24'3-$)&+4./+!$'/()/+#./+')'&'$&':./+3-7'4+
a été amené à prendre.!

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!
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!
Les calculatrices sont autorisées
!
!
!
!
!
!
!
!
!
Ce
sujet
est
composé
de
quatre
parties,
toutes
indépendantes.
!
!
Leurs
poids respectifs sont approximativement de 30 %, 15 %, 38 % et 17 %.
!
!
Des
! données numériques et mathématiques sont disponibles en fin de sujet.
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!

1/14

!

Étude d'un actionneur électromécanique
La première partie étudie le principe du moteur linéaire synchrone, la seconde 
concerne son pilotage, la
troisième traite de la soudure des connectiques et la quatrième du capteur 
optique nécessaire à sa
commande.

Partie I - Principe de l'actionneur électromécanique linéaire synchrone
Ce type d'actionneur qui s'affranchit de tout dispositif de transmission 
mécanique classique est
utilisé en robotique. Il est aussi particulièrement bien adapté aux trains à 
sustentation magnétique comme
le SCMaglev japonais (figure 1) qui peut atteindre des vitesses de l'ordre de 
600 km/h.

Figure 1 - SCMaglev
I.1 - Multi-pôle magnétique
On considère (figure 2) un circuit magnétique composé de deux plaques de fer 
supposées infinies
et distantes d'un entrefer e. Des conducteurs électriques, de diamètre 
négligeable, parcourus par des
courants d'intensité I sont placés à l'interface fer-air de la plaque 
inférieure. Ils sont distants d'une
longueur L. Deux conducteurs voisins sont parcourus par des courants opposés 
comme le montre le sens
des flèches sur la figure 2.
y
I

I

I

I

I

Fer
Air
Fer

e

Ligne de champ moyenne
de longueur 2e dans l'air
et lfer dans le fer.

x=0

L

z
Figure 2 - Circuit magnétique
2/14

x

Le module du champ magnétique n'est pas tout à fait uniforme dans l'actionneur. 
Son intensité
moyenne peut être déterminée par application des théorèmes de 
l'électromagnétisme sur une ligne de
champ particulière appelée : ligne de champ moyenne. Cette ligne de champ 
moyenne est représentée en
pointillés sur la figure 2.
D'un point de vue magnétique, le fer sera assimilé à un matériau magnétique 
doux de perméabilité
relative !r . L'air sera assimilé au vide de perméabilité magnétique !0 .
!

De façon générale, on note H , le champ d'excitation magnétique.

!

!

On notera respectivement Hair et Hfer les champs d'excitation magnétique dans 
l'air et dans le

!

!

fer, Bair et Bfer les champs magnétiques dans l'air et dans le fer.
Q1. Préciser les unités de !0 et de !r , ainsi qu'un ordre de grandeur de !r 
pour le fer.
Q2. Par une analyse des invariances, déterminer de quelle(s) variable(s) de 
l'espace dépendent les
!
!
champs B et H .
Q3. Ecrire, dans l'approximation des régimes quasi-stationnaires, l'équation de 
Maxwell-Ampère dans
un milieu magnétique.
On considère la ligne de champ moyenne, de longueur 2e dans l'air et lfer dans 
le fer, figure 2.
Déterminer, en considérant Hair et Hfer comme uniforme, l'équation liant Hair, 
Hfer, e, lfer et I.
Q4. On a représenté sur la figure 3 un tube de champ magnétique traversant 
l'entrefer.

Fer
!
B

Air
Fer

Figure 3 - Tube de champ magnétique
!

Quelle propriété de B permet d'affirmer que Bfer = Bair ?
Ecrire l'équation de Maxwell qui traduit cette propriété.
Dans la suite du problème, cette valeur commune sera notée B.
Q5. Rappeler les équations liant d'une part Hair et B, puis d'autre part Hfer 
et B.
En remarquant que

lfer
<< e , déterminer l'expression de B en fonction de e, I et de !0 .
µr

Dans ce type de moteur, a-t-on intérêt à avoir un entrefer large ou réduit ?
!
!
Q6. Dans l'entrefer, on a B = B(x)e y . Tracer l'allure de la fonction B(x).

3/14

I.2 - Multi-pôle magnétique sinusoïdal
La répartition du courant à l'interface inférieure air-fer, n'est pas 
constituée, par pôle, d'un seul
conducteur aller et d'un seul conducteur retour, espacés d'une longueur L, mais 
d'un ensemble de deux
groupements de trois conducteurs aller et de trois conducteurs retour centrés 
sur les abscisses x = -!L/2 et
x = L/2, comme le montre la figure 4. Les trois conducteurs d'un même 
groupement sont équidistants de
!L < L/4.
y
!L < L/4
Fer
Air
Fer

- L/2

x

L/2

z
Figure 4 - Multi-pôle magnétique quasi-sinusoïdal
Q7. Tracer, dans ce cas, l'allure graphique de la fonction B(x).

Dans toute la suite du problème, on admettra qu'en choisissant bien le nombre 
et la répartition des
conducteurs aller et retour, le champ magnétique dans l'entrefer est de la 
forme B = KI cos( x )e! y où K
!

L

est une constante positive.

I.3 - Onde magnétique plane progressive sinusoïdale
On considère maintenant la superposition de deux multi-pôles magnétiques 
sinusoïdaux décalés
spatialement d'une distance de L/2.
Ils sont respectivement alimentés par des courants sinusoïdaux, de même 
amplitude Is et de même
pulsation "# $!en quadrature de phase, de sorte que i1 %t&!=!Is cos%"s t& '(!i2 
%t&!=!Is sin%"s t&.
Le premier multi-pôle crée ainsi dans l'entrefer un champ magnétique B1 = Ki1 
(t) cos(  x )e! y
!

L

!
(x - L/2) !
alors que le second crée un champ magnétique B2 = Ki 2 (t) cos(
)e y .
L

4/14

s , l'expression du champ magnétique créé par cette double
!
répartition du courant dans l'entrefer. Dans quel sens et à quelle vitesse, 
notée vs , se propage cette

Q8. Déterminer en fonction de K, Is, L et
onde magnétique ?

Q9. Que faut-il faire pour inverser le sens de propagation de cette onde 
magnétique ?
Application numérique : dans le cadre d'une application au train à sustentation 
magnétique,
déterminer la valeur de la distance inter-polaire L permettant d'obtenir une 
vitesse vs = 500 km/h
avec une alimentation à la fréquence fs = 100 Hz.

I.4 - Actionneur linéaire synchrone
L'actionneur linéaire synchrone (figure 5) est constitué :
-

d'une partie statique, analogue à celle étudiée précédemment, qui crée une onde 
magnétique
!
!
sinusoïdale progressive B(x, t) = B0 cos(s t - kx)e y ;

-

d'une partie mobile assimilable :
· d'un point de vue électrique, à une spire rectangulaire orientée, parcourue 
par un courant
électrique permanent I, imposé par un dispositif extérieur. Elle a pour 
longueur L = 2a
suivant l'axe des x et pour largeur 2b suivant l'axe des z,
!
!
· d'un point de vue magnétique, à un dipôle de moment M = 2LbIey .
y

"!#$%&'(

2b
x(t)

x

I

z
2a
Figure 5 - Actionneur linéaire synchrone
! !
Cette spire est en mouvement supposé rectiligne et considéré comme uniforme à 
la vitesse v = v ex .
On note x0 la position initiale du centre de la spire qui a donc pour abscisse, 
à la date t, x(t) = x0 + vt.

!
Q10. La force qui s'exerce sur la spire, à la date t, est de la forme F(t) = Fx 
(t)ex . On admettra que :

!

!
! B
Fx (t) = (M. )centredudipôle .
x
Exprimer Fx(t) en fonction de b, L, I, B0,

s , k, v, x0 et t.
5/14

Q11. En faisant une analogie avec vos connaissances sur les machines 
synchrones, déterminer la valeur

!
de la force F(t) , maintenant notée F, en fonction de b, L, I , B0, k et x0.
!

Exprimer en fonction de k, la valeur de x0 pour laquelle la composante
maximale.

Fx de cette force est

Partie II - Pilotage de l'actionneur synchrone
Le principe de l'autopilotage de l'actionneur synchrone consiste à mesurer, à 
l'aide d'un codeur
optique par exemple, la position de la partie mobile de l'actionneur. On 
alimente alors les conducteurs de
la partie statique par un onduleur de tension. Sa commande, dictée par la 
sortie des boucles de contrôle
des courants, permet d'asservir i1(t) et i2(t) , en fréquence et en phase, de 
façon à garantir la condition de
synchronisme ainsi qu'une force F maximale.
II.1 - Alimentation par onduleur de tension
L'alimentation des deux phases de l'actionneur fait appel à une source de 
tension continue U et à
deux onduleurs.
On note : K1a, K1b, K1c et K1d les quatre interrupteurs électroniques de 
l'onduleur de tension qui
alimente la phase 1 de la partie statique de l'actionneur (figure 6).

On donne la loi de commande de l'onduleur de la phase 1 sur une période T :
! T"
K1a et K1d sont fermés sur l'intervalle de temps #0, $ ,
% 2&
!T "
K1b et K1c sont fermés sur l'intervalle de temps # , T $ .
%2 &

K1b

K1a

U

Phase 1 de l'actionneur

K1c

u1(t)

K1d

Figure 6 - Onduleur alimentant la phase 1

Q12. Représenter graphiquement l'allure de la tension u1(t) sur une période T 
de fonctionnement de
l'onduleur.
6/14

Q13. La structure de l'onduleur de tension qui alimente la phase 2 de 
l'actionneur (figure 7) est analogue
à la précédente.

K2b

K2a

U

Phase 2 de l'actionneur

K2c

u2(t)

K2d

Figure 7 - Onduleur alimentant la phase 2

En gardant la même horloge pour les deux onduleurs, décrire les séquences 
d'ouverture-fermeture
des interrupteurs K2a, K2b, K2c et K2d :
- d'une part, lorsque la partie mobile de l'actionneur se translate dans le 
sens des x > 0 ;
- d'autre part, lorsque la partie mobile de l'actionneur se translate dans le 
sens des x < 0.

II.2 - Onduleur à commande décalée
Les tensions u1(t) et u2(t) présentent un contenu harmonique. Bien que filtrés 
par les impédances
de l'actionneur, les courants i1(t) et i2(t) ne sont donc pas rigoureusement 
sinusoïdaux. L'onde magnétique
n'est plus monochromatique. Il s'ensuit des composantes harmoniques, dans le 
spectre de la force F, à
l'origine de vibrations de l'actionneur.
Par une modélisation prenant compte les premières composantes en fréquence, on a

!i1 (t) = I1 cos(s t + 1 ) - I3 cos(3s t + 3 ) + I5 cos(5s t + 5 )
"
#i 2 (t) = I1 sin(s t + 1 ) + I3 sin(3s t + 3 ) + I5 sin(5s t + 5 )
avec I1 > I3 > I5.
L'onde magnétique est alors de la forme :
!
!
B(x, t) = K [ I1 cos(s t - kx + 1 ) - I3 cos(3s t + kx + 3 ) + I5 cos(5s t - kx 
+ 5 ) ] e y .

Q14. Déterminer l'expression de la force F(t) à la vitesse vs de synchronisme. 
Quelle est la fréquence de
la première vibration de F(t) ?
Pour atténuer ce comportement vibratoire, on a recours généralement à un 
onduleur à modulation
de largeurs d'impulsions ou à des onduleurs avec une loi de commande décalée 
des interrupteurs.

7/14

La loi de commande de l'onduleur de la phase 1, sur une période T, est alors la 
suivante :
! T T T "
,
K1d est fermé sur l'intervalle de temps : # -
, -
% 2 2 2 $&
! T T T "
,
K1a est fermé sur l'intervalle de temps : #
, +
2 $&
% 2 2
T "
! T T
,
K1b est fermé sur l'intervalle de temps : # -
,T -
2 $&
%2 2
T "
! T T
.
K1c est fermé sur l'intervalle de temps : # +
,T +
2
2 $&
%2

Q15. Représenter graphiquement, avec une valeur de   0,1 , l'allure de la 
tension u1(t) sur une période
T de fonctionnement de l'onduleur. Quelle valeur de  préconisez-vous pour 
atténuer fortement le
comportement vibratoire de l'actionneur ?

Partie III - Soudure de la connectique
Une grande partie de la connectique, que ce soit pour l'assemblage initial ou 
pour la maintenance,
est encore assurée par un travail au fer à souder. Il est nécessaire d'obtenir 
un cordon de soudure très
fluide, à température suffisamment basse pour assurer une fusion 
quasi-instantanée.

III.1 - Choix d'un mélange binaire
Différents alliages sont bien adaptés à ce travail en particulier les 
associations bismuth-étain et
étain-argent.

271
232
 : température (°C)

I
200
II

III

150
138
E (wSn = 42 %)
100
IV

0
0
Bi

20

50
wSn (% massique)

100
Sn

Figure 8 - Diagramme binaire sous P = 1 bar du système bismuth-étain

8/14

En première approximation, on peut considérer que le bismuth et l'étain sont 
non miscibles à l'état
solide. Le diagramme binaire, isobare, solide-liquide simplifié du système 
bismuth-étain, avec une
composition exprimée en fraction massique est représenté sur la figure 8.

Q16. Préciser les phases des constituants Sn et Bi, dans chacun des domaines I, 
II, III et IV.
Q17. Nommer le point E. Préciser la composition molaire du point E.
Q18. Tracer les trois courbes de refroidissement iso-titres des systèmes 
représentés par les trois points
initiaux : M1 (w Sn = 0;  = 300 °C) , M2 (w Sn = 0, 2;  = 300 °C) et M3 (w Sn = 
0, 42;  = 300 °C) .
On précisera les températures de rupture de pente.
Q19. Préciser les températures de fusion du bismuth et de l'étain sous la 
pression de 1 bar. Pourquoi ce
mélange binaire semble-t-il approprié pour les applications de soudure ? Quelle 
composition
massique préconisez-vous et pourquoi ?
Q20. On prépare un mélange contenant 4 g d'étain et 16 g de bismuth. Ce mélange 
est fondu,
homogénéisé, puis lentement refroidi. Déterminer les masses de Sn et de Bi dans 
chacune des phases
solide et liquide, en équilibre à 150 °C.
Q21. Pour des assemblages complexes, on assemble parfois deux pièces avec un 
point de soudure du type
étain-argent, puis une troisième avec un point de soudure du type bismuth-étain 
pour ne pas prendre
le risque de dessouder les deux premières pièces. Justifier ce protocole 
opératoire.
III.2 - Phénomène d'oxydation
Q22. Les couples Sn4+/Sn et Ag+/Ag sont des couples oxydoréducteurs rapides sur 
la plupart des
électrodes. Tracer l'allure des courbes intensité-potentiel associées à ces 
deux couples pour des
concentrations en espèces dissoutes Sn4+ et Ag+ de 1 mol.l-1.
Q23. La présence d'une gouttelette d'eau aérée, sur une soudure du type 
étain-argent donne lieu à un
phénomène d'oxydation. On observe ainsi un ternissement localisé au centre de 
cette gouttelette.
Lequel de ces deux métaux s'est-il oxydé ? Quelle est l'espèce chimique qui est 
réduite ? Décrire
succinctement le circuit de bouclage du courant électrique.
Q24. Contrairement au cas d'une gouttelette d'eau aérée qui stagnerait sur une 
plaque d'acier, le point de
soudure n'est soumis à aucune dégradation profonde du type corrosion. Expliquer 
cette différence.

III.3 - Refroidissement d'un point de soudure
On se propose ici de déterminer un ordre de grandeur du temps, noté t, 
nécessaire à la
solidification d'un point de soudure.
On adopte le modèle simplifié suivant (figure 9, page suivante), où le point de 
soudure, de masse m1
et d'un matériau nommé Mat1, est assimilé à une boule de diamètre 2Rb = 10 mm 
qui raccorde deux
conducteurs cylindriques de diamètre d = 2 mm, constitués du même matériau 
nommé Mat2 et supposés infinis.

9/14

Point de soudure
(matériau Mat1)

Conducteurs cylindriques (matériau Mat2)
Figure 9 - Modélisation d'un point de soudure

On admettra que la chaleur s'évacue du point de soudure, de température 
uniforme notée T1, à la
fois par conduction thermique par les conducteurs cylindriques et par un 
échange conducto-convectif avec
l'air extérieur. On note Text la température supposée constante de l'air 
extérieur. L'échange conductoconvectif suit une loi du type Pth = h.S.(T1 ­ 
Text), où Pth est la puissance thermique évacuée, S la surface
du point de soudure et h (  10 W.m-2.K-1) le coefficient d'échange 
conducto-convectif.
La température initiale du point de soudure, notée T1init ! n'est que très 
légèrement supérieure à la
température de fusion du matériau Mat1, de sorte qu'on assimilera T1init à 
T1fusion.

On admettra, de plus, que le profil de température dans les conducteurs soudés 
entre eux obéit à
une loi de fonction affine représentée par le graphe suivant (figure 10), où b  
10 cm.

T(x)

T1

Text
x
- (Rb + b)

- Rb

Rb

Rb + b

Figure 10 - Profil de température
Q25. Recenser, en précisant leur unité, les grandeurs physiques dont vous avez 
besoin pour résoudre ce
problème.
Q26. Ecrire la (ou les) équation(s) faisant intervenir les grandeurs précitées 
permettant de déterminer le
temps de solidification t.
"
"

10/14

Q27. Pour le matériau Mat1, on donne :
- masse volumique 1 = 8 500 S.I.,
- capacité thermique massique : c1 = 180 S.I.,
- enthalpie massique de fusion : Lfus1 = 60 103 S.I.
- conductivité électrique : 1 = 5 106 S.I.
Pour le matériau Mat2, on donne :
- masse volumique 2 = 8 200 S.I.,
- conductivité thermique : 2 = 400 S.I.
En faisant preuve d'initiatives, proposer des valeurs numériques pour les 
grandeurs physiques
éventuellement non fournies. Puis estimer la valeur numérique du temps t de 
solidification du
cordon de soudure.

Partie IV - Capteur optique de position
Le capteur optique de position fait appel à une technologie laser.
Le laser est un dispositif qui amplifie la lumière et la rassemble en un étroit 
faisceau, dit cohérent.
Il fournit un rayonnement lumineux directif et quasiment monochromatique grâce 
à une émission stimulée
de radiation. Les lasers couvrent aujourd'hui toute la gamme des rayonnements 
électromagnétiques, des
rayons X et ultraviolets, aux ondes infrarouges et micrométriques.

Principe de fonctionnement
Le laser (figure 11) consiste en un milieu amplificateur placé dans une cavité 
résonante qui fournit
un rayonnement d'ondes cohérentes et monochromatiques par émission stimulée.

matériau
optiquement actif

faisceau laser

propagation de photons
par effet laser

miroir totalement
réfléchissant

source
d'énergie

miroir partiellement
réfléchissant

Figure 11 - Schéma d'un dispositif laser

11/14

L'excitation du milieu permet d'obtenir l'inversion de population, occupation 
anormale de niveaux
d'énergie élevés, qui favorise l'émission stimulée par rapport à l'émission 
aléatoire spontanée (dans des
proportions décrites par les coefficients d'Einstein).
La cavité permet, en effet, de réfléchir au sein du milieu les photons émis, de 
manière à ce qu'ils
provoquent à leur tour une émission stimulée (production de photons de même 
fréquence, de même phase
et de même direction de propagation que ceux du rayonnement stimulateur). La 
longueur d'onde
d'émission doit correspondre à un mode propre de la cavité (résonateur) pour 
que puisse s'y installer un
système d'ondes stationnaires. Le gain de l'ensemble milieu 
amplificateur-cavité doit être supérieur à ses
pertes (dues entre autres aux réflexions).
Comme tout oscillateur, le laser peut se représenter par le schéma bloc de la 
figure 12, dans lequel
A( j) et B( j) représentent respectivement les fonctions de transfert de la 
chaîne directe et de la chaîne
de retour.

A(j)

B(j)
Figure 12 - Schéma bloc associé au laser

Q28. Quelle partie du dispositif optique joue le rôle de chaîne directe ? De 
chaîne de retour ? Rappeler,
sans démonstration, par une simple égalité mathématique, la condition 
d'oscillation du dispositif.
Comment doit être modifiée cette condition pour assurer le démarrage du 
dispositif ?
Q29. En faisant une analogie avec les modes propres d'une corde vibrante de 
longueur connue, déterminer
les longueurs d'onde des modes propres de la cavité résonante, en fonction de 
sa longueur notée L0.
Quel est l'écart en fréquence L0 entre deux modes voisins ?
Application numérique : déterminer, pour une longueur de la cavité L0 = 10 cm, 
l'écart absolu L0
ainsi que l'écart relatif

L0
 L0

pour une longueur d'onde de 633 nm.

Q30. Après quelques minutes de fonctionnement, la température d'un laser a 
augmenté de quelques
degrés.
Quel est, qualitativement, l'effet de la dilatation thermique des parois sur la 
fréquence de la lumière
émise ?
En supposant la section de la cavité résonante constante, déterminer au 1er 
ordre, l'expression de la
d
variation relative de fréquence
, induite pour un échauffement d de la cavité résonante.

1 ! V "
On rappelle l'expression du coefficient de dilatation isobare  = #
$ .
V % T &P
d
Application numérique : d! = 10 °C,  = 9.10-6 K -1. Evaluer
et conclure.

12/14

Données
Célérité de la lumière dans le vide : c = 3,00 108 m.s-1.
Température de fusion de l'eutectique (Sn 96,5 ­ Ag 3,5) : 220 °C.
Masse molaire de l'étain : M(Sn) = 119 g.mol-1.
Masse molaire du bismuth : M(Bi) = 209 g.mol-1.
Potentiels standard d'oxydo-réduction à 25 °C : E°(Ag+/Ag) = 0,80 V ; 
E°(Sn4+/Sn) = 0,005 V.

Formules trigonométriques :
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b

p+q
p-q
) cos(
)
2
2
p+q
p-q
cos p - cos q = - 2sin(
) sin(
)
2
2
p+q
p-q
sin p + sin q = 2sin(
) cos(
)
2
2
p+q
p-q
sin p - sin q = 2 cos(
) sin(
)
2
2
cos p + cos q = 2 cos(

13/14

Séries de Fourier

Signal 1 : cas général

E

0

T

t

4E  cos((2k + 1))
2(2k + 1)t
s1 (t) =
sin(
).
!
2k + 1
T
 k =0

Signal 2 : cas particulier pour  = 0

E

T

0

s 2 (t) =

4E  1
2(2k + 1)t
sin(
).
!
T
 k =0 2k + 1

FIN
14/14

t

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique et Chimie PSI 2017 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Alexandre Herault (professeur en CPGE) et Jérôme
Lambert (enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Jimmy Roussel
(professeur agrégé en école d'ingénieur), Augustin Long (ENS Lyon) et Stéphane
Ravier (professeur en CPGE).

Ce problème s'intéresse à différents aspects d'un actionneur électromagnétique.
· La première partie aborde le principe d'un actionneur électromécanique 
linéaire
synchrone : on étudie la production d'une onde de champ magnétique et la force
qu'elle exerce sur un cadre mobile.
· La deuxième partie est consacrée à la description du pilotage de ce 
dispositif,
puis à son optimisation afin d'en minimiser les vibrations.
· Dans la troisième partie, on étudie la soudure de la connectique, qui est 
composée d'un alliage de bismuth et d'étain. On s'intéresse au diagramme de 
phases
liquide/solide de ce mélange binaire, ainsi qu'à l'oxydation de la soudure en
présence d'eau. Puis on aborde les mécanismes de refroidissement d'un point
de soudure obtenu avec cet alliage afin d'optimiser la rapidité de 
solidification.
· La quatrième partie, très courte, permet de s'intéresser à un aspect du 
fonctionnement d'un capteur optique de position à travers l'étude de la 
stabilité de
la longueur d'onde du laser utilisé dans ce dispositif.
La première partie présente quelques difficultés en raison de la manière 
expéditive dont est déterminé le champ magnétique. En outre, des ambiguïtés de 
notation
peuvent déconcerter dans les deux premières parties où B et I désignent tour à 
tour
des champs et des courants différents. Les deux dernières parties sont 
indépendantes.
Ce problème est fidèle au programme et à l'esprit de la filière PSI. Il donne 
l'occasion
d'une révision tous azimuts.

Indications
Partie I
6 Quelle hypothèse implicite fait l'énoncé sur le champ magnétique entre deux 
fils
en demandant de ne considérer qu'une ligne de champ moyenne ?
7 Appliquer le principe de superposition.
11 Si la force est modulée dans le temps, que peut-on dire de sa valeur moyenne 
?
La lecture de la suite de l'énoncé rappelle la condition à respecter.
Partie II
13 De quelle fraction de période le courant i2 (t) est-il décalé par rapport à 
i1 (t) ?
14 Ne pas oublier de prendre en compte la composante temporelle due au 
déplacement de la partie mobile dans l'expression de F(t).
15 Le développement en série de Fourier de u1 (t) donné suggère qu'il est 
possible
d'annuler son harmonique la plus basse pour une valeur particulière de .
Partie III
17 Écrire la définition de la fraction molaire, puis faire apparaître les 
masses des
deux constituants.
18 La traversée de l'horizontale donne toujours lieu à un palier de température.
19 Les températures de fusion des corps purs sont lues sur le diagramme. Pour 
quelle
composition de l'alliage est-il le plus facile de réaliser la fusion pour 
souder ?
20 Lire graphiquement la composition du liquide puis appliquer le théorème des
moments chimiques pour trouver les masses des deux phases.
21 Comparer les températures de fusion des deux alliages.
22 Penser au palier de diffusion pour la réduction des ions métalliques.
23 L'étain est plus réducteur que l'argent.
24 Le fer est encore plus réducteur et peut être oxydé par l'eau. De plus les 
oxydes
de fer sont poreux et permettent à l'eau de s'infiltrer en profondeur.
25 Que peut-on dire de la température T1 durant la phase de solidification ? La 
capacité thermique massique doit-elle être prise en compte en l'absence de 
variation
de température ?
26 La surface du point de soudure étant 50 fois plus grande que sa surface de 
contact
avec les conducteurs cylindriques, on peut assimiler la surface d'échange 
conductoconvectif à celle de la sphère.
Partie IV
30 Comparer la variation relative de fréquence induite par l'élévation de 
température
du laser avec la variation relative de fréquence entre deux modes successifs.

Étude d'un actionneur électromécanique
I. Principe de l'actionneur électromécanique
linéaire synchrone
1 La perméabilité µ0 s'exprime en H.m-1.
En cas d'oubli, on peut repartir des relations liant la norme du champ 
magnétique B au courant i dans un solénoïde infini d'une part, et le flux 
magnétique
au courant d'autre part :
B = µ0 n i

et

 = BS = Li

où n est un nombre de spires par unité de longueur (en m-1 ), S une surface
(en m2 ) et L une inductance (en H). En combinant ces relations, il vient
[µ0 ] =

[L]
= H.m-1
[n] [S]

La perméabilité relative µr caractérisant un matériau est sans dimension et n'a
donc pas d'unité. Dans le cas du fer doux, un ordre de grandeur de µr est
µr  1000
2 Le dispositif représenté sur la figure 2 est invariant par translation 
suivant l'axe z,
ce qui implique que les composantes des grandeurs sont indépendantes de z.
-

-

B et H ne dépendent que de x et de y.
Pour compléter l'analyse des invariances par translation, on peut d'ores et

-

-
déjà remarquer que, du fait de la périodicité du dispositif, B et H sont des
fonctions périodiques selon x de période 2L.
3 Dans l'approximation des régimes quasistationnaires, l'équation de 
Maxwell-Ampère
dans un milieu magnétique s'écrit
-
- 

rot H = -

Appliquons le théorème d'Ampère au contour C
tracé sur la figure ci-contre :
I

 -
-
H ·d  = I

Fer

-

H fer

Air

-

H air
I

-I

Fer

C
-I

x

-L/2

0

L/2

C

où I est le courant traversant le fil enlacé par C . Les champs Hair et Hfer 
étant
uniformes dans les deux milieux, la circulation de l'excitation magnétique 
devient
I

 -
-
H · d  = 2e Hair + fer Hfer
C

soit

2e Hair + fer Hfer = I

-
4 La conservation du flux de B permet d'affirmer l'égalité du champ magnétique 
dans le fer et dans l'air. Elle découle de l'équation de Maxwell-flux :

-
div B = 0

Redémontrons ce résultat. Pour cela, partons de la forme intégrale de 
l'équation de Maxwell-flux. Pour toute surface fermée ,
ZZ
 -
-

B · dS = 0

Appliquons cette relation à la surface repré-

sentée ci-contre, où le contour en pointillés reB fer
S
présente l'intersection du cylindre avec l'inter
-
face Fer/Air. Le flux de B se décompose en
-

B air
la somme du flux à travers les parois latérales
h
et du flux à travers les bases du cylindre. Il est
Fer
possible de rendre le flux latéral arbitrairement
petit en faisant tendre h vers 0, si bien que le
Air

-
flux de B se réduit à
ZZ
 -
-

B · d S = S(Bfer - Bair ) = 0

Il en résulte que Bfer = Bair = B.
5 Dans un milieu linéaire, homogène et isotrope, la relation liant l'excitation 
magnétique au champ magnétique est H = B/µ0 µr , qui conduit ici à
Hair =

B
µ0

et

Hfer =

B
µr µ0

Injectons ces expressions dans la relation obtenue à la question 3. Il vient
B
B
+ fer
=I
2e
µ0
µr µ0

B
fer
qu'on réécrit
2e
1+
=I
µ0
2eµr
Comme e  fer /µr , on peut négliger le deuxième terme entre parenthèses. Dès 
lors,
B=

µ0 I
2e

Dans un moteur, c'est l'énergie magnétique (proportionnelle au carré du champ
magnétique) qui est à la source de la force qui engendre le déplacement. Il 
faut donc
que le champ magnétique soit le plus fort possible. Par conséquent, l'entrefer 
doit
être le plus réduit possible.

-
6 Dans l'entrefer, B n'est fonction que de x et est

parallèle à -
ey . Le contour de hauteur h représenté en
pointillé sur la figure ci-contre n'est traversé par aucun

-
courant. La circulation de H est donc nulle le long de
ce contour. En outre les plans x = x1 et x = x2 sont
compris entre les mêmes fils, si bien que l'excitation
magnétique doit avoir la même direction dans ces deux
plans. Le théorème d'Ampère s'écrit

Fer
Air
-

H (x1 )
I

Fer

h

-

H (x2 )
-I

x

x1 0 x2
h(H(x1 ) - H(x2 )) = 0
De la relation B = µ0 µr H, il résulte que B(x1 ) = B(x2 ). Donc le champ dans 
l'entrefer
entre les deux fils placés en x = -L/2 et x = L/2 est uniforme et égal à sa 
valeur