CCP Physique et Chimie PSI 2017

Thème de l'épreuve Étude d'un actionneur électromécanique
Principaux outils utilisés électromagnétisme, conversion de puissance, phénomènes diffusifs, optique, courbes courant-potentiel, mélanges binaires
Mots clefs onduleur, actionneur linéaire synchrone, soudure, laser, soudure, étain, bismuth

Corrigé

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SESSION 2017 PSIPC03 ! ! ! EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" ! PHYSIQUE - CHIMIE Mercredi 3 mai : 8 h - 12 h! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la !"#$%&'()*+,'+-)+%$)#'#$&+./&+$0.)"+1+!.2"!.!+%.+3-'+2.-&+4-'+/.054.!+6&!.+-).+.!!.-!+#7")()%"8+'4+4.+ /'9)$4.!$+/-!+/$+%(2'.+.&+#.:!$+2(-!/-':!.+/$+%(02(/'&'()+.)+.;24'3-$)&+4./+!$'/()/+#./+')'&'$&':./+3-7'4+ a été amené à prendre.! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" ! ! ! ! ! ! ! ! Les calculatrices sont autorisées ! ! ! ! ! ! ! ! ! Ce sujet est composé de quatre parties, toutes indépendantes. ! ! Leurs poids respectifs sont approximativement de 30 %, 15 %, 38 % et 17 %. ! ! Des ! données numériques et mathématiques sont disponibles en fin de sujet. ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1/14 ! Étude d'un actionneur électromécanique La première partie étudie le principe du moteur linéaire synchrone, la seconde concerne son pilotage, la troisième traite de la soudure des connectiques et la quatrième du capteur optique nécessaire à sa commande. Partie I - Principe de l'actionneur électromécanique linéaire synchrone Ce type d'actionneur qui s'affranchit de tout dispositif de transmission mécanique classique est utilisé en robotique. Il est aussi particulièrement bien adapté aux trains à sustentation magnétique comme le SCMaglev japonais (figure 1) qui peut atteindre des vitesses de l'ordre de 600 km/h. Figure 1 - SCMaglev I.1 - Multi-pôle magnétique On considère (figure 2) un circuit magnétique composé de deux plaques de fer supposées infinies et distantes d'un entrefer e. Des conducteurs électriques, de diamètre négligeable, parcourus par des courants d'intensité I sont placés à l'interface fer-air de la plaque inférieure. Ils sont distants d'une longueur L. Deux conducteurs voisins sont parcourus par des courants opposés comme le montre le sens des flèches sur la figure 2. y I I I I I Fer Air Fer e Ligne de champ moyenne de longueur 2e dans l'air et lfer dans le fer. x=0 L z Figure 2 - Circuit magnétique 2/14 x Le module du champ magnétique n'est pas tout à fait uniforme dans l'actionneur. Son intensité moyenne peut être déterminée par application des théorèmes de l'électromagnétisme sur une ligne de champ particulière appelée : ligne de champ moyenne. Cette ligne de champ moyenne est représentée en pointillés sur la figure 2. D'un point de vue magnétique, le fer sera assimilé à un matériau magnétique doux de perméabilité relative !r . L'air sera assimilé au vide de perméabilité magnétique !0 . ! De façon générale, on note H , le champ d'excitation magnétique. ! ! On notera respectivement Hair et Hfer les champs d'excitation magnétique dans l'air et dans le ! ! fer, Bair et Bfer les champs magnétiques dans l'air et dans le fer. Q1. Préciser les unités de !0 et de !r , ainsi qu'un ordre de grandeur de !r pour le fer. Q2. Par une analyse des invariances, déterminer de quelle(s) variable(s) de l'espace dépendent les ! ! champs B et H . Q3. Ecrire, dans l'approximation des régimes quasi-stationnaires, l'équation de Maxwell-Ampère dans un milieu magnétique. On considère la ligne de champ moyenne, de longueur 2e dans l'air et lfer dans le fer, figure 2. Déterminer, en considérant Hair et Hfer comme uniforme, l'équation liant Hair, Hfer, e, lfer et I. Q4. On a représenté sur la figure 3 un tube de champ magnétique traversant l'entrefer. Fer ! B Air Fer Figure 3 - Tube de champ magnétique ! Quelle propriété de B permet d'affirmer que Bfer = Bair ? Ecrire l'équation de Maxwell qui traduit cette propriété. Dans la suite du problème, cette valeur commune sera notée B. Q5. Rappeler les équations liant d'une part Hair et B, puis d'autre part Hfer et B. En remarquant que lfer << e , déterminer l'expression de B en fonction de e, I et de !0 . µr Dans ce type de moteur, a-t-on intérêt à avoir un entrefer large ou réduit ? ! ! Q6. Dans l'entrefer, on a B = B(x)e y . Tracer l'allure de la fonction B(x). 3/14 I.2 - Multi-pôle magnétique sinusoïdal La répartition du courant à l'interface inférieure air-fer, n'est pas constituée, par pôle, d'un seul conducteur aller et d'un seul conducteur retour, espacés d'une longueur L, mais d'un ensemble de deux groupements de trois conducteurs aller et de trois conducteurs retour centrés sur les abscisses x = -!L/2 et x = L/2, comme le montre la figure 4. Les trois conducteurs d'un même groupement sont équidistants de !L < L/4. y !L < L/4 Fer Air Fer - L/2 x L/2 z Figure 4 - Multi-pôle magnétique quasi-sinusoïdal Q7. Tracer, dans ce cas, l'allure graphique de la fonction B(x). Dans toute la suite du problème, on admettra qu'en choisissant bien le nombre et la répartition des conducteurs aller et retour, le champ magnétique dans l'entrefer est de la forme B = KI cos( x )e! y où K ! L est une constante positive. I.3 - Onde magnétique plane progressive sinusoïdale On considère maintenant la superposition de deux multi-pôles magnétiques sinusoïdaux décalés spatialement d'une distance de L/2. Ils sont respectivement alimentés par des courants sinusoïdaux, de même amplitude Is et de même pulsation "# $!en quadrature de phase, de sorte que i1 %t&!=!Is cos%"s t& '(!i2 %t&!=!Is sin%"s t&. Le premier multi-pôle crée ainsi dans l'entrefer un champ magnétique B1 = Ki1 (t) cos( x )e! y ! L ! (x - L/2) ! alors que le second crée un champ magnétique B2 = Ki 2 (t) cos( )e y . L 4/14 s , l'expression du champ magnétique créé par cette double ! répartition du courant dans l'entrefer. Dans quel sens et à quelle vitesse, notée vs , se propage cette Q8. Déterminer en fonction de K, Is, L et onde magnétique ? Q9. Que faut-il faire pour inverser le sens de propagation de cette onde magnétique ? Application numérique : dans le cadre d'une application au train à sustentation magnétique, déterminer la valeur de la distance inter-polaire L permettant d'obtenir une vitesse vs = 500 km/h avec une alimentation à la fréquence fs = 100 Hz. I.4 - Actionneur linéaire synchrone L'actionneur linéaire synchrone (figure 5) est constitué : - d'une partie statique, analogue à celle étudiée précédemment, qui crée une onde magnétique ! ! sinusoïdale progressive B(x, t) = B0 cos(s t - kx)e y ; - d'une partie mobile assimilable : · d'un point de vue électrique, à une spire rectangulaire orientée, parcourue par un courant électrique permanent I, imposé par un dispositif extérieur. Elle a pour longueur L = 2a suivant l'axe des x et pour largeur 2b suivant l'axe des z, ! ! · d'un point de vue magnétique, à un dipôle de moment M = 2LbIey . y "!#$%&'( 2b x(t) x I z 2a Figure 5 - Actionneur linéaire synchrone ! ! Cette spire est en mouvement supposé rectiligne et considéré comme uniforme à la vitesse v = v ex . On note x0 la position initiale du centre de la spire qui a donc pour abscisse, à la date t, x(t) = x0 + vt. ! Q10. La force qui s'exerce sur la spire, à la date t, est de la forme F(t) = Fx (t)ex . On admettra que : ! ! ! B Fx (t) = (M. )centredudipôle . x Exprimer Fx(t) en fonction de b, L, I, B0, s , k, v, x0 et t. 5/14 Q11. En faisant une analogie avec vos connaissances sur les machines synchrones, déterminer la valeur ! de la force F(t) , maintenant notée F, en fonction de b, L, I , B0, k et x0. ! Exprimer en fonction de k, la valeur de x0 pour laquelle la composante maximale. Fx de cette force est Partie II - Pilotage de l'actionneur synchrone Le principe de l'autopilotage de l'actionneur synchrone consiste à mesurer, à l'aide d'un codeur optique par exemple, la position de la partie mobile de l'actionneur. On alimente alors les conducteurs de la partie statique par un onduleur de tension. Sa commande, dictée par la sortie des boucles de contrôle des courants, permet d'asservir i1(t) et i2(t) , en fréquence et en phase, de façon à garantir la condition de synchronisme ainsi qu'une force F maximale. II.1 - Alimentation par onduleur de tension L'alimentation des deux phases de l'actionneur fait appel à une source de tension continue U et à deux onduleurs. On note : K1a, K1b, K1c et K1d les quatre interrupteurs électroniques de l'onduleur de tension qui alimente la phase 1 de la partie statique de l'actionneur (figure 6). On donne la loi de commande de l'onduleur de la phase 1 sur une période T : ! T" K1a et K1d sont fermés sur l'intervalle de temps #0, $ , % 2& !T " K1b et K1c sont fermés sur l'intervalle de temps # , T $ . %2 & K1b K1a U Phase 1 de l'actionneur K1c u1(t) K1d Figure 6 - Onduleur alimentant la phase 1 Q12. Représenter graphiquement l'allure de la tension u1(t) sur une période T de fonctionnement de l'onduleur. 6/14 Q13. La structure de l'onduleur de tension qui alimente la phase 2 de l'actionneur (figure 7) est analogue à la précédente. K2b K2a U Phase 2 de l'actionneur K2c u2(t) K2d Figure 7 - Onduleur alimentant la phase 2 En gardant la même horloge pour les deux onduleurs, décrire les séquences d'ouverture-fermeture des interrupteurs K2a, K2b, K2c et K2d : - d'une part, lorsque la partie mobile de l'actionneur se translate dans le sens des x > 0 ; - d'autre part, lorsque la partie mobile de l'actionneur se translate dans le sens des x < 0. II.2 - Onduleur à commande décalée Les tensions u1(t) et u2(t) présentent un contenu harmonique. Bien que filtrés par les impédances de l'actionneur, les courants i1(t) et i2(t) ne sont donc pas rigoureusement sinusoïdaux. L'onde magnétique n'est plus monochromatique. Il s'ensuit des composantes harmoniques, dans le spectre de la force F, à l'origine de vibrations de l'actionneur. Par une modélisation prenant compte les premières composantes en fréquence, on a !i1 (t) = I1 cos(s t + 1 ) - I3 cos(3s t + 3 ) + I5 cos(5s t + 5 ) " #i 2 (t) = I1 sin(s t + 1 ) + I3 sin(3s t + 3 ) + I5 sin(5s t + 5 ) avec I1 > I3 > I5. L'onde magnétique est alors de la forme : ! ! B(x, t) = K [ I1 cos(s t - kx + 1 ) - I3 cos(3s t + kx + 3 ) + I5 cos(5s t - kx + 5 ) ] e y . Q14. Déterminer l'expression de la force F(t) à la vitesse vs de synchronisme. Quelle est la fréquence de la première vibration de F(t) ? Pour atténuer ce comportement vibratoire, on a recours généralement à un onduleur à modulation de largeurs d'impulsions ou à des onduleurs avec une loi de commande décalée des interrupteurs. 7/14 La loi de commande de l'onduleur de la phase 1, sur une période T, est alors la suivante : ! T T T " , K1d est fermé sur l'intervalle de temps : # - , - % 2 2 2 $& ! T T T " , K1a est fermé sur l'intervalle de temps : # , + 2 $& % 2 2 T " ! T T , K1b est fermé sur l'intervalle de temps : # - ,T - 2 $& %2 2 T " ! T T . K1c est fermé sur l'intervalle de temps : # + ,T + 2 2 $& %2 Q15. Représenter graphiquement, avec une valeur de 0,1 , l'allure de la tension u1(t) sur une période T de fonctionnement de l'onduleur. Quelle valeur de préconisez-vous pour atténuer fortement le comportement vibratoire de l'actionneur ? Partie III - Soudure de la connectique Une grande partie de la connectique, que ce soit pour l'assemblage initial ou pour la maintenance, est encore assurée par un travail au fer à souder. Il est nécessaire d'obtenir un cordon de soudure très fluide, à température suffisamment basse pour assurer une fusion quasi-instantanée. III.1 - Choix d'un mélange binaire Différents alliages sont bien adaptés à ce travail en particulier les associations bismuth-étain et étain-argent. 271 232 : température (°C) I 200 II III 150 138 E (wSn = 42 %) 100 IV 0 0 Bi 20 50 wSn (% massique) 100 Sn Figure 8 - Diagramme binaire sous P = 1 bar du système bismuth-étain 8/14 En première approximation, on peut considérer que le bismuth et l'étain sont non miscibles à l'état solide. Le diagramme binaire, isobare, solide-liquide simplifié du système bismuth-étain, avec une composition exprimée en fraction massique est représenté sur la figure 8. Q16. Préciser les phases des constituants Sn et Bi, dans chacun des domaines I, II, III et IV. Q17. Nommer le point E. Préciser la composition molaire du point E. Q18. Tracer les trois courbes de refroidissement iso-titres des systèmes représentés par les trois points initiaux : M1 (w Sn = 0; = 300 °C) , M2 (w Sn = 0, 2; = 300 °C) et M3 (w Sn = 0, 42; = 300 °C) . On précisera les températures de rupture de pente. Q19. Préciser les températures de fusion du bismuth et de l'étain sous la pression de 1 bar. Pourquoi ce mélange binaire semble-t-il approprié pour les applications de soudure ? Quelle composition massique préconisez-vous et pourquoi ? Q20. On prépare un mélange contenant 4 g d'étain et 16 g de bismuth. Ce mélange est fondu, homogénéisé, puis lentement refroidi. Déterminer les masses de Sn et de Bi dans chacune des phases solide et liquide, en équilibre à 150 °C. Q21. Pour des assemblages complexes, on assemble parfois deux pièces avec un point de soudure du type étain-argent, puis une troisième avec un point de soudure du type bismuth-étain pour ne pas prendre le risque de dessouder les deux premières pièces. Justifier ce protocole opératoire. III.2 - Phénomène d'oxydation Q22. Les couples Sn4+/Sn et Ag+/Ag sont des couples oxydoréducteurs rapides sur la plupart des électrodes. Tracer l'allure des courbes intensité-potentiel associées à ces deux couples pour des concentrations en espèces dissoutes Sn4+ et Ag+ de 1 mol.l-1. Q23. La présence d'une gouttelette d'eau aérée, sur une soudure du type étain-argent donne lieu à un phénomène d'oxydation. On observe ainsi un ternissement localisé au centre de cette gouttelette. Lequel de ces deux métaux s'est-il oxydé ? Quelle est l'espèce chimique qui est réduite ? Décrire succinctement le circuit de bouclage du courant électrique. Q24. Contrairement au cas d'une gouttelette d'eau aérée qui stagnerait sur une plaque d'acier, le point de soudure n'est soumis à aucune dégradation profonde du type corrosion. Expliquer cette différence. III.3 - Refroidissement d'un point de soudure On se propose ici de déterminer un ordre de grandeur du temps, noté t, nécessaire à la solidification d'un point de soudure. On adopte le modèle simplifié suivant (figure 9, page suivante), où le point de soudure, de masse m1 et d'un matériau nommé Mat1, est assimilé à une boule de diamètre 2Rb = 10 mm qui raccorde deux conducteurs cylindriques de diamètre d = 2 mm, constitués du même matériau nommé Mat2 et supposés infinis. 9/14 Point de soudure (matériau Mat1) Conducteurs cylindriques (matériau Mat2) Figure 9 - Modélisation d'un point de soudure On admettra que la chaleur s'évacue du point de soudure, de température uniforme notée T1, à la fois par conduction thermique par les conducteurs cylindriques et par un échange conducto-convectif avec l'air extérieur. On note Text la température supposée constante de l'air extérieur. L'échange conductoconvectif suit une loi du type Pth = h.S.(T1 ­ Text), où Pth est la puissance thermique évacuée, S la surface du point de soudure et h ( 10 W.m-2.K-1) le coefficient d'échange conducto-convectif. La température initiale du point de soudure, notée T1init ! n'est que très légèrement supérieure à la température de fusion du matériau Mat1, de sorte qu'on assimilera T1init à T1fusion. On admettra, de plus, que le profil de température dans les conducteurs soudés entre eux obéit à une loi de fonction affine représentée par le graphe suivant (figure 10), où b 10 cm. T(x) T1 Text x - (Rb + b) - Rb Rb Rb + b Figure 10 - Profil de température Q25. Recenser, en précisant leur unité, les grandeurs physiques dont vous avez besoin pour résoudre ce problème. Q26. Ecrire la (ou les) équation(s) faisant intervenir les grandeurs précitées permettant de déterminer le temps de solidification t. " " 10/14 Q27. Pour le matériau Mat1, on donne : - masse volumique 1 = 8 500 S.I., - capacité thermique massique : c1 = 180 S.I., - enthalpie massique de fusion : Lfus1 = 60 103 S.I. - conductivité électrique : 1 = 5 106 S.I. Pour le matériau Mat2, on donne : - masse volumique 2 = 8 200 S.I., - conductivité thermique : 2 = 400 S.I. En faisant preuve d'initiatives, proposer des valeurs numériques pour les grandeurs physiques éventuellement non fournies. Puis estimer la valeur numérique du temps t de solidification du cordon de soudure. Partie IV - Capteur optique de position Le capteur optique de position fait appel à une technologie laser. Le laser est un dispositif qui amplifie la lumière et la rassemble en un étroit faisceau, dit cohérent. Il fournit un rayonnement lumineux directif et quasiment monochromatique grâce à une émission stimulée de radiation. Les lasers couvrent aujourd'hui toute la gamme des rayonnements électromagnétiques, des rayons X et ultraviolets, aux ondes infrarouges et micrométriques. Principe de fonctionnement Le laser (figure 11) consiste en un milieu amplificateur placé dans une cavité résonante qui fournit un rayonnement d'ondes cohérentes et monochromatiques par émission stimulée. matériau optiquement actif faisceau laser propagation de photons par effet laser miroir totalement réfléchissant source d'énergie miroir partiellement réfléchissant Figure 11 - Schéma d'un dispositif laser 11/14 L'excitation du milieu permet d'obtenir l'inversion de population, occupation anormale de niveaux d'énergie élevés, qui favorise l'émission stimulée par rapport à l'émission aléatoire spontanée (dans des proportions décrites par les coefficients d'Einstein). La cavité permet, en effet, de réfléchir au sein du milieu les photons émis, de manière à ce qu'ils provoquent à leur tour une émission stimulée (production de photons de même fréquence, de même phase et de même direction de propagation que ceux du rayonnement stimulateur). La longueur d'onde d'émission doit correspondre à un mode propre de la cavité (résonateur) pour que puisse s'y installer un système d'ondes stationnaires. Le gain de l'ensemble milieu amplificateur-cavité doit être supérieur à ses pertes (dues entre autres aux réflexions). Comme tout oscillateur, le laser peut se représenter par le schéma bloc de la figure 12, dans lequel A( j) et B( j) représentent respectivement les fonctions de transfert de la chaîne directe et de la chaîne de retour. A(j) B(j) Figure 12 - Schéma bloc associé au laser Q28. Quelle partie du dispositif optique joue le rôle de chaîne directe ? De chaîne de retour ? Rappeler, sans démonstration, par une simple égalité mathématique, la condition d'oscillation du dispositif. Comment doit être modifiée cette condition pour assurer le démarrage du dispositif ? Q29. En faisant une analogie avec les modes propres d'une corde vibrante de longueur connue, déterminer les longueurs d'onde des modes propres de la cavité résonante, en fonction de sa longueur notée L0. Quel est l'écart en fréquence L0 entre deux modes voisins ? Application numérique : déterminer, pour une longueur de la cavité L0 = 10 cm, l'écart absolu L0 ainsi que l'écart relatif L0 L0 pour une longueur d'onde de 633 nm. Q30. Après quelques minutes de fonctionnement, la température d'un laser a augmenté de quelques degrés. Quel est, qualitativement, l'effet de la dilatation thermique des parois sur la fréquence de la lumière émise ? En supposant la section de la cavité résonante constante, déterminer au 1er ordre, l'expression de la d variation relative de fréquence , induite pour un échauffement d de la cavité résonante. 1 ! V " On rappelle l'expression du coefficient de dilatation isobare = # $ . V % T &P d Application numérique : d! = 10 °C, = 9.10-6 K -1. Evaluer et conclure. 12/14 Données Célérité de la lumière dans le vide : c = 3,00 108 m.s-1. Température de fusion de l'eutectique (Sn 96,5 ­ Ag 3,5) : 220 °C. Masse molaire de l'étain : M(Sn) = 119 g.mol-1. Masse molaire du bismuth : M(Bi) = 209 g.mol-1. Potentiels standard d'oxydo-réduction à 25 °C : E°(Ag+/Ag) = 0,80 V ; E°(Sn4+/Sn) = 0,005 V. Formules trigonométriques : cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b p+q p-q ) cos( ) 2 2 p+q p-q cos p - cos q = - 2sin( ) sin( ) 2 2 p+q p-q sin p + sin q = 2sin( ) cos( ) 2 2 p+q p-q sin p - sin q = 2 cos( ) sin( ) 2 2 cos p + cos q = 2 cos( 13/14 Séries de Fourier Signal 1 : cas général E 0 T t 4E cos((2k + 1)) 2(2k + 1)t s1 (t) = sin( ). ! 2k + 1 T k =0 Signal 2 : cas particulier pour = 0 E T 0 s 2 (t) = 4E 1 2(2k + 1)t sin( ). ! T k =0 2k + 1 FIN 14/14 t

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 CCP Physique et Chimie PSI 2017 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Alexandre Herault (professeur en CPGE) et Jérôme Lambert (enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Jimmy Roussel (professeur agrégé en école d'ingénieur), Augustin Long (ENS Lyon) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE). Ce problème s'intéresse à différents aspects d'un actionneur électromagnétique. · La première partie aborde le principe d'un actionneur électromécanique linéaire synchrone : on étudie la production d'une onde de champ magnétique et la force qu'elle exerce sur un cadre mobile. · La deuxième partie est consacrée à la description du pilotage de ce dispositif, puis à son optimisation afin d'en minimiser les vibrations. · Dans la troisième partie, on étudie la soudure de la connectique, qui est composée d'un alliage de bismuth et d'étain. On s'intéresse au diagramme de phases liquide/solide de ce mélange binaire, ainsi qu'à l'oxydation de la soudure en présence d'eau. Puis on aborde les mécanismes de refroidissement d'un point de soudure obtenu avec cet alliage afin d'optimiser la rapidité de solidification. · La quatrième partie, très courte, permet de s'intéresser à un aspect du fonctionnement d'un capteur optique de position à travers l'étude de la stabilité de la longueur d'onde du laser utilisé dans ce dispositif. La première partie présente quelques difficultés en raison de la manière expéditive dont est déterminé le champ magnétique. En outre, des ambiguïtés de notation peuvent déconcerter dans les deux premières parties où B et I désignent tour à tour des champs et des courants différents. Les deux dernières parties sont indépendantes. Ce problème est fidèle au programme et à l'esprit de la filière PSI. Il donne l'occasion d'une révision tous azimuts. Indications Partie I 6 Quelle hypothèse implicite fait l'énoncé sur le champ magnétique entre deux fils en demandant de ne considérer qu'une ligne de champ moyenne ? 7 Appliquer le principe de superposition. 11 Si la force est modulée dans le temps, que peut-on dire de sa valeur moyenne ? La lecture de la suite de l'énoncé rappelle la condition à respecter. Partie II 13 De quelle fraction de période le courant i2 (t) est-il décalé par rapport à i1 (t) ? 14 Ne pas oublier de prendre en compte la composante temporelle due au déplacement de la partie mobile dans l'expression de F(t). 15 Le développement en série de Fourier de u1 (t) donné suggère qu'il est possible d'annuler son harmonique la plus basse pour une valeur particulière de . Partie III 17 Écrire la définition de la fraction molaire, puis faire apparaître les masses des deux constituants. 18 La traversée de l'horizontale donne toujours lieu à un palier de température. 19 Les températures de fusion des corps purs sont lues sur le diagramme. Pour quelle composition de l'alliage est-il le plus facile de réaliser la fusion pour souder ? 20 Lire graphiquement la composition du liquide puis appliquer le théorème des moments chimiques pour trouver les masses des deux phases. 21 Comparer les températures de fusion des deux alliages. 22 Penser au palier de diffusion pour la réduction des ions métalliques. 23 L'étain est plus réducteur que l'argent. 24 Le fer est encore plus réducteur et peut être oxydé par l'eau. De plus les oxydes de fer sont poreux et permettent à l'eau de s'infiltrer en profondeur. 25 Que peut-on dire de la température T1 durant la phase de solidification ? La capacité thermique massique doit-elle être prise en compte en l'absence de variation de température ? 26 La surface du point de soudure étant 50 fois plus grande que sa surface de contact avec les conducteurs cylindriques, on peut assimiler la surface d'échange conductoconvectif à celle de la sphère. Partie IV 30 Comparer la variation relative de fréquence induite par l'élévation de température du laser avec la variation relative de fréquence entre deux modes successifs. Étude d'un actionneur électromécanique I. Principe de l'actionneur électromécanique linéaire synchrone 1 La perméabilité µ0 s'exprime en H.m-1. En cas d'oubli, on peut repartir des relations liant la norme du champ magnétique B au courant i dans un solénoïde infini d'une part, et le flux magnétique au courant d'autre part : B = µ0 n i et = BS = Li où n est un nombre de spires par unité de longueur (en m-1 ), S une surface (en m2 ) et L une inductance (en H). En combinant ces relations, il vient [µ0 ] = [L] = H.m-1 [n] [S] La perméabilité relative µr caractérisant un matériau est sans dimension et n'a donc pas d'unité. Dans le cas du fer doux, un ordre de grandeur de µr est µr 1000 2 Le dispositif représenté sur la figure 2 est invariant par translation suivant l'axe z, ce qui implique que les composantes des grandeurs sont indépendantes de z. - - B et H ne dépendent que de x et de y. Pour compléter l'analyse des invariances par translation, on peut d'ores et - - déjà remarquer que, du fait de la périodicité du dispositif, B et H sont des fonctions périodiques selon x de période 2L. 3 Dans l'approximation des régimes quasistationnaires, l'équation de Maxwell-Ampère dans un milieu magnétique s'écrit - - rot H = - Appliquons le théorème d'Ampère au contour C tracé sur la figure ci-contre : I - - H ·d = I Fer - H fer Air - H air I -I Fer C -I x -L/2 0 L/2 C où I est le courant traversant le fil enlacé par C . Les champs Hair et Hfer étant uniformes dans les deux milieux, la circulation de l'excitation magnétique devient I - - H · d = 2e Hair + fer Hfer C soit 2e Hair + fer Hfer = I - 4 La conservation du flux de B permet d'affirmer l'égalité du champ magnétique dans le fer et dans l'air. Elle découle de l'équation de Maxwell-flux : - div B = 0 Redémontrons ce résultat. Pour cela, partons de la forme intégrale de l'équation de Maxwell-flux. Pour toute surface fermée , ZZ - - B · dS = 0 Appliquons cette relation à la surface repré- sentée ci-contre, où le contour en pointillés reB fer S présente l'intersection du cylindre avec l'inter - face Fer/Air. Le flux de B se décompose en - B air la somme du flux à travers les parois latérales h et du flux à travers les bases du cylindre. Il est Fer possible de rendre le flux latéral arbitrairement petit en faisant tendre h vers 0, si bien que le Air - flux de B se réduit à ZZ - - B · d S = S(Bfer - Bair ) = 0 Il en résulte que Bfer = Bair = B. 5 Dans un milieu linéaire, homogène et isotrope, la relation liant l'excitation magnétique au champ magnétique est H = B/µ0 µr , qui conduit ici à Hair = B µ0 et Hfer = B µr µ0 Injectons ces expressions dans la relation obtenue à la question 3. Il vient B B + fer =I 2e µ0 µr µ0 B fer qu'on réécrit 2e 1+ =I µ0 2eµr Comme e fer /µr , on peut négliger le deuxième terme entre parenthèses. Dès lors, B= µ0 I 2e Dans un moteur, c'est l'énergie magnétique (proportionnelle au carré du champ magnétique) qui est à la source de la force qui engendre le déplacement. Il faut donc que le champ magnétique soit le plus fort possible. Par conséquent, l'entrefer doit être le plus réduit possible. - 6 Dans l'entrefer, B n'est fonction que de x et est parallèle à - ey . Le contour de hauteur h représenté en pointillé sur la figure ci-contre n'est traversé par aucun - courant. La circulation de H est donc nulle le long de ce contour. En outre les plans x = x1 et x = x2 sont compris entre les mêmes fils, si bien que l'excitation magnétique doit avoir la même direction dans ces deux plans. Le théorème d'Ampère s'écrit Fer Air - H (x1 ) I Fer h - H (x2 ) -I x x1 0 x2 h(H(x1 ) - H(x2 )) = 0 De la relation B = µ0 µr H, il résulte que B(x1 ) = B(x2 ). Donc le champ dans l'entrefer entre les deux fils placés en x = -L/2 et x = L/2 est uniforme et égal à sa valeur