CCP Physique 1 PSI 2014

Thème de l'épreuve Refroidissement de l'hélium à 1,9 K
Principaux outils utilisés thermodynamique, mécanique des fluides, électrocinétique, hydrostatique, mécanique
Mots clefs cycle de Claude, évaporation, changement d'état, débit massique, résistivité, diffusion thermique, capteur, perte de charge

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2014 PSIP103 .::=_ CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'énonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. Les calculatrices sont autorisées La découverte du boson de Higgs au CERN (Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire) n'aurait jamais été possible sans les installations frigorifiques perfectionnées nécessaires pour refroidir en particulier les aimants supraconducteurs du LHC (Large Hadron Collider). Ce problème propose dans une première partie d'étudier, en la simplifiant largement, une installation de liquéfaction de l'hélium à la température de 4,2 K. Est abordée dans une deuxième partie la modélisation d'un échangeur de chaleur dont le but est d'assurer à l'hélium liquide de rester à la température nécessaire au refroidissement des aimants supraconducteurs. Dans une troisième partie, est abordé de manière succincte l'écoulement de l'hélium dans une ligne de distribution cryogénique. La quatrième partie permet d'étudier un procédé de refroidissement de l'hélium liquide permettant de le faire passer de la température de 4,2 K à la température de 1,9 K. Une cinquième et dernière partie se propose d'étudier différents procédés de mesure et de contrôle des paramètres température, pression, débit volumique et hauteur du bain d'hélium liquide. Les différentes parties sont indépendantes les unes des autres. L'annexe en page 15 regroupe les principales données. 1/15 A -- Etude du cycle de Claude pour la liquéfaction de l'hélium. A.]. Bilan énergétique d'un système en écoulement. Un fluide s'écoule en passant de l'état thermodynamique @ à l'état thermodynamique @ en traversant une machine thermique où il échange du travail et de la chaleur. L'écoulement est considéré comme permanent (figure 1). Î @ Zz --- _» Ëi Zl'i @» Figure 1 : système en écoulement Pour une masse dm de fluide circulant entre l'état @ et l'état @, le bilan énergétique appliqué à cette masse s'écrit : deh2 +âcâ +gzâ--(h1 +%°Î +ng)i = ôWu +ôQ A.1.1. Préciser la signification de chaque terme de la relation précédente. A.1.2. Réécrire ce bilan énergétique en faisant apparaître les puissances et le débit massique Dm du fluide. A.2. Cycle de Claude. On souhaite refroidir de l'hélium selon un cycle de Claude. Dans ce cycle, on pré-refroidit l'hélium avant de le liquéfler partiellement en lui faisant subir une détente de Joule-Thomson. Le principe de la machine thermique est représenté en figure 2, page 3. On y distingue : - le compresseur C où l'énergie est injectée pour comprimer l'hélium à température ambiante ; - une boîte froide thermiquement isolée dans laquelle sont placés les différents échangeurs de chaleur El à ES ainsi que le détendeur D. La boîte froide ne consomme pas d'énergie mais en rejette sous forme mécanique par l'intermédiaire des turbines T1 et T2. 2/15 --«/WWVV\ --WWVW Circuit d'eau de refroidissement ®' Boîte froide El E2 E3 E4 @ ' ES Figure 2 : cycle de Claude 3/15 + D... . \-- L + @ V / T1 ' WT1 \ A @ V [\ : u--Î\_\ L A 't / T2 ' WT2 \ [\ © ' A : Æ-->DmEUR Au repère @, l'hélium gazeux entre à la pression P2 = 20 bar et à la température T1 avec le débit massique Dm =l 600 g.s_1 . Une fraction massique X1 du gaz en sortie de l'échangeur El est prélevée pour lui faire subir une détente dans la turbine T1. De même, une fraction massique X2 du gaz sortant de l'échangeur E3 est prélevée pour lui faire subir une détente dans la turbine T2. Les débits massiques aux repères @ et @ sont donc respectivement : Dm2 =(l--X1)Dm et Dm4 =(l--XJ(l--X,)D Le gaz sortant de l'échangeur ES passe dans le détendeur D où il subit une détente isenthalpique, amenant le fluide de la pression P2 = 20 bar (repère @) à la pression P1 =l bar (repère ®). L'hélium liquide formé avec un débit massique D... est prélevé en sortie. m | Le gaz sortant du détendeur passe dans l'échangeur ES (repère .) pour refroidir le gaz circulant à contre-courant. Le gaz sortant de la turbine T2 se rajoute au gaz sortant de l'échangeur ES (repère ©). De même, le gaz sortant de la turbine Tl se rajoute au gaz sortant de l'échangeur E3 (repère ®). Le compresseur C comprime le gaz de la pression P1 =l bar à la pression P2 = 20 bar. Un circuit d'eau de refroidissement permet alors de ramener le gaz à la température T1- On injecte la quantité de gaz nécessaire pour que le débit massique en @ soit à nouveau Dm . Les écoulements dans les différents échangeurs de chaleur sont supposés isobares. On notera : - hi l'enthalpie massique du fluide dans l'état thermodynamique n (i), correspondant sur la figure 2 au repère noté i ; - h et hvap l'enthalpie massique de l'hélium liquide et vapeur à la pression 1 ; - (PTI et (PT, les puissances cédées par les gaz dans les turbines l et 2 respectivement. Ces liq puissances sont utilisées pour entraîner partiellement le compresseur. On négligera systématiquement les variations d'énergie cinétique et potentielle de pesanteur. Les soutirages et l'injection de fluide se font sans addition de puissance. Les données relatives à l'hélium sont regroupées en annexe, page 15. A.2.1. Donner l'expression du débit massique entrant dans le compresseur (repère @ ) en fonction de Dm et D.... A.2.2. En considérant les puissances entrantes et sortantes de la boîte froide, écrire une relation reliant les grandeurs Dm , D h1, h h (PTI et (PT,. mEUR' 139 liq? A.2.3. Par un bilan énergétique sur la turbine Tl, écrire une relation entre les variables X1 , Dm (PTI , h2 et hu. A.2.4. Par un bilan énergétique sur la turbine T2 , écrire une relation entre les variables X1 , X2 , Dm, (PT,, h4 et h,. 4/15 . . . . D On défimt le taux de 11quéfact10n de la machme comme le rapport y = Dmé . m A.2.5. Montrer que y : h1 _h13 + Xl (hu _hh2 ) +hX2 (1_X1)(h9 _h4)_ 13 liq _ A.2.6. En faisant un bilan énergétique sur le premier échangeur de chaleur El, exprimer le débit massique D... en fonction de Dm et des enthalpies massiquesh1 , h,, h12 et h13. En déduire la valeur du taux de liquéfaction. Faire l'application numérique. A.2.7. En faisant un bilan énergétique sur le deuxième échangeur de chaleur, exprimer et calculer la fraction massique x1 . A.2.8. Par un raisonnement analogue, exprimer et calculer la fraction massique x2 . Vérifier que la relation établie en A.2.5. permet bien de retrouver la valeur de y calculée précédemment. A.2.9. Relier le titre en liquide x, du mélange diphasé en sortie du détendeur aux grandeurs h6 ' hliq celle calculée à la question A.2.6. et hvap . En déduire une nouvelle expression du taux de liquéfaction et comparer avec A.2.10. En déduire l'expression du débit volumique DW de l'hélium liquide formé à la température de 4,2 K et calculer sa valeur que l'on exprimera en L.s'1_ La puissance frigorifique équivalente (Pf est définie comme la puissance à prélever au gaz ,eq froid de débit massique D... pour le liquéfier : (Pf,eq = D...Lvm où Lvm représente la chaleur latente massique de vaporisation. A.2.11. Calculer la puissance frigorifique équivalente pour l'hélium à la température de 4,2 K. On considère que les puissances ÇPT1 et (PT, , que les gaz cèdent dans les turbines T1 et T2, sont intégralement récupérées par le compresseur. A.2.12. Donner l'expression de la puissance mécanique @@ qu'il reste à fournir au compresseur pour que celui-ci comprime effectivement le gaz de la pression P1 à la pression P 2 . A.2.13. En déduire la puissance à fournir à l'installation pour prélever une puissance frigorifique équivalente de 1 kW. Comparer le rendement de l'installation à celui du cycle idéal de Carnot fonctionnant entre les températures TF = 4,2 K et TC = 280 K. Les installations du CERN sont capables quant à elles de produire plusieurs kilogrammes d'hélium liquide par seconde. Leur rendement par rapport au cycle de Carnot atteint 30 %, soit un des meilleurs rendements possibles actuellement. 5/15 B -- Etude d'un échangeur de chaleur à contre-courant. B.]. Résistance conducto-convective. On considère un cylindre creux constitué d'un matériau de conductivité thermique % supposée indépendante de la température, de rayon intérieur R1 et de rayon extérieur R2 (figure 3). Un fluide de température T1 occupe l'intérieur de ce cylindre tandis qu'un fluide de température T2 entoure l'extérieur du cylindre. On note Ts1 la température du cylindre sur sa surface intérieure et TSZ celle sur sa surface extérieure et on considère que la température au sein du matériau ne dépend que de la distance r par rapport à l'axe du cylindre. On néglige les effets de bord (comme si le cylindre était infiniment long selon l'axe des x) et on raisonne sur une longueur L de ce cylindre. L'étude du système se fait en régime permanent. Ts2JA T2 /ÆÀ\ \\ k \ A R1 « R2 ©). ' (D L Figure 3 : échangeur de chaleur B.1.1. Rappeler l'expression de la loi de Fourier en précisant la signification des différentes grandeurs. B.1.2. Relier la puissance thermique (DTh au vecteur densité de puissance ÎTh Que peut-on dire, en régime permanent, de la puissance thermique (DTh traversant les surfaces latérales 27tR1L , 27trL et 27tR2L? Justifier. B.1.3. Etablir la loi d'évolution de la température T(r) au sein du matériau de conductivité thermique % en fonction de la puissance thermique (DTh . B.1.4. En déduire la relation entre la puissance thermique (DTh transférée de l'intérieur vers l'extérieur du cylindre et la différence de température Ts1 -- TSZ B.1.5. Définir et donner l'expression de la résistance thermique RTh du cylindre de conductivité thermique % . Le transfert de chaleur entre un solide à la température TS et un fluide à la température TF se décrit en introduisant le coefficient de transfert convectif noté hc: la puissance thermique transférée du solide vers le fluide à travers un élément de surface dE est dOETh =hC(TS--TF)dE. On notera hCl (respectivement hC2) le coefficient de transfert convectif relatif au fluide de température T1 (respectivement T2 ). 6/15 B.1.6. Relier la puissance thermique (DTh transférée en régime permanent du fluide intérieur au fluide extérieur aux différences de température T1 -- Ts1 et TSZ -- T2 . B.1.7 . En déduire la relation entre (DH et T1 -- T2 . Montrer alors que l'expression de la résistance conducto-convective RCC de l'ensemble est donnée par la relation : 1 1 ln R /R 1 CC = + ( ' ') + . 271:L R1h01 %. R2hCZ B.2. Modélisation d'un échangeur de chaleur à contre-courant. Un échangeur de chaleur à contre--courant est modélisé par deux cylindres coaxiaux à l'intérieur desquels circulent les fluides dans des sens opposés (figure 4). Le transfert de chaleur d'un fluide à l'autre se fait au travers du cylindre de rayon intérieur R1, de rayon extérieur R2 et de conductivité thermique % supposée indépendante de la température L'axe x'x de l'échangeur est horizontal. On admettra que la température des fluides ne dépend que de l'abscisse x, que l'évolution des fluides est isobare et qu'il n'y a pas de variation d'énergie cinétique des fluides. On notera Dmi le débit massique du fluide de température Ti et cpi sa capacité calorifique massique à pression constante. Le fluide intérieur chaud n°1 entre dans l'échangeur à la température T1(O) = Tel et en sort à la température T1 (L) = TSI. Le fluide extérieur froid entre dans l'échangeur à la température Te (L) = T62 et en sort à la température T2 (0) = T SZ" <--D T T x+dx <--D X , R2 R _>Dml x T1(x + dx) X _} Dml T1(X X Figure 4 : échangeur de chaleur n°2 B.2.]. En exprimant que la puissance thermique cédée par le fluide n°1 est celle reçue par le fluide n°2, établir une relation entre les variations de température T1(x) --T1 (0) et T2(x)--T2 (O) . B.2.2. On note dû) la puissance thermique élémentaire transférée du fluide n°1 au fluide n°2 à travers un élément de longueur dx de l'échangeur. En reprenant le résultat de la question B.1.7, montrer que dCD = K {Tl (x) -- T2 (x)] dx et identifier le coefficient K. Pour Simplifier, on cons1derera pour la su1te que Dmlcpl = szsz = DmcP . B.2.3. En combinant les résultats des questions B.2.]. et B.2.2., établir l'équation différentielle régissant l'évolution de la température T1 en fonction de x. En déduire T1(x) . B.2.4. En déduire l'expression de T2 (x) . 7/15 C - Perte de charge dans une ligne de distribution cryogénique. La ligne de distribution cryogénique, acheminant 1'hé1ium liquide aux différents aimants, se modélise par une conduite cylindrique de rayon R et de longueur L. L'hypothèse d'un écoulement isobare dans une canalisation revient à négliger toute résistance à l'avancement du fluide, c'est-à-dire sa viscosité. Nous considérons ici le modèle plus réaliste de l'écoulement permanent de 1'hé1ium de masse volumique p constante et de viscosité dynamique n . On note AP = P@ -- PS > 0 , la variation de pression entre l'entrée et la sortie de la canalisation. On montre que la vitesse du fluide évolue en fonction de la distance r par rapport à l'axe du . . . _, AP _, cyhndre, su1vant la 101 : v = 4--(R2 --r2 ) eX . nL C.]. Etablir l'expression du débit massique Dm d'écoulement du fluide. C.2. Calculer la perte de charge AP pour de l'hélium liquide à T = 4,2 K s'écoulant dans une conduite de rayon R = 0,5 m et de longueur L = 3 km avec un débit volumique DV = 10 L.s--1 . C.3. Que deviendrait l'expression du débit massique si la canalisation était verticale ? C.4. Etablir l'expression de la puissance (P que la pompe doit fournir au fluide s'écoulant pompe dans la canalisation horizontale. Faire l'application numérique. D - Refroidissement de l'hélium liquide. On cherche à refroidir l'hélium liquide de la température de 4,2 K à la température de 1,9 K. Cette température est celle à laquelle doivent être maintenus les aimants supraconducteurs en niobium-titane du LHC. Nous allons étudier dans cette partie une façon usuelle de procéder, mais également faire apparaitre un défaut de la méthode. On notera : VÆ (respectivement VV) le volume molaire du liquide (respectivement de la vapeur) LV (respectivement LVm) la chaleur latente molaire (respectivement massique) de vaporisation. Données: LV =90,4 J.moï', Ti =4,2 K , TF =1,9 K Pression de vapeur saturante à la température Ti : Pi = 0,992.105 Pa Capacité calorifique massique de 1'hé1ium liquide : c, = 5,17 M .K_1.kg_1 Masse initiale d'hélium liquide : mi = 100 kg . . . dP . . La relat10n de C1apeyron donnée c1--dessous rehe la pente d_T de la courbe d'équ1hbre entre les deux phases en présence dans le diagramme P(T) de la figure 5, page 9, à la chaleur latente de changement d'état. dP _ L Pour1'é ui1ibre 1i --fi_va : -----. q q p dT T(VV--VÆ) V 8/15 + Liquide Vapeur -+ «+ dT Figure 5 : diagramme d'équilibre (P,T) D.]. Rappeler ce que représente la pression de vapeur saturante. On assimile la vapeur à un gaz parfait et on se place loin du point critique de sorte que l'on fera l'approximation vV >> vf . On suppose que LV est constante dans le domaine de température considéré D.2. On note Pi la pression de vapeur saturante à la température Ti . Déterminer l'évolution de la pression de vapeur saturante en fonction de la température. On actionne une pompe qui aspire à débit volumique constant DV la vapeur saturante contenue dans le cryostat contenant le mélange liquide-vapeur (figure 6). OE _--> Pompe He Vapeur He Liquide Figure 6 : pompage hélium gazeux D.3. Expliquer physiquement pourquoi le fait de prélever la vapeur au-dessus du liquide va conduire à un refroidissement de celui--ci. D.4. Déterminer le nombre de mole d'hélium vapeur à la température T aspiré par unité de temps. D.5. Montrer que la puissance thermique prélevée au liquide peut s'écrire sous la forme: L . . . PTh = --exp [_R_Ë'J et donner l'express1on du coeffic1ent A. 9/15 On fait l'hypothèse que la masse mi d'hélium liquide que l'on veut refroidir reste sensiblement constante durant le processus. On note c f la capacité calorifique massique de l'hélium liquide. D.6. Ecrire l'équation différentielle régissant l'évolution de la température du liquide en fonction du temps. D.7. Justifier que l'hypothèse d'une masse de liquide constante ne peut être qu'une approximation. Relier la variation dm de masse du liquide à sa variation dT de température D.8. Le liquide passant de la température Ti à TF , donner l'expression et calculer la masse Am de liquide évaporé. Conclure quant à la validité de l'hypothèse d'une masse de liquide constante. Sachant qu'un calcul exact conduit à un même ordre de grandeur pour Am , quel inconvénient voyez-vous à cette méthode de refroidissement ? D.9. Le fonctionnement d'une pompe à palettes est représenté sur la figure 7. On note f la fréquence de rotation du rotor et AV le volume aspiré à chaque demi--tour. Donner l'expression du débit volumique moyen de la pompe aspiration /\ f'\ Etat 1 Etat 11 refoulement A & Etat III Etat IV Figure 7 : pompe à palettes 10/15 E -- Contrôle des différents paramètres. E.]. Contrôle de la température -- correction hydrostatique. On contrôle la température de l'hélium liquide à l'aide d'un thermomètre à tension de vapeur. Le principe est de mesurer la pression de vapeur saturante pour en déduire la température du liquide. Le thermomètre à tension de vapeur est constitué d'un bulbe en cuivre contenant le mélange diphasé, relié par un capillaire à un capteur de pression à température ambiante (figure 8). Z T A \ A manomètre ' h--- -- T (_Hé_\ vapeur He liquide \_/ Figure 8 : thermomètre à tension de vapeur E.1.1. Le capteur de pression mesure-t-il la pression de vapeur saturante au niveau du liquide ? Expliquer. Le capteur de pression est à la température ambiante Ta et le bain d'hélium liquide à la température TF. On suppose que la température de l'hélium gazeux évolue linéairement le long du capillaire de hauteur h : T (z) : TF + ( T' LTF )z = TF + ocz . On assimile l'hélium gazeux à un gaz parfait de masse molaire M. E.1.2. Ecrire la condition d'équilibre d'une tranche de gaz soumise au champ de pesanteur g . . , . . dP ! et compr1se entre les alt1tudes z et z + dz. En dedu1re la relat10n entre d_ , g et la temperature z T(z) du gaz parfait. E.1.3. Déterminer la pression Pcap détectée par le capteur de pression en fonction de la pression de vapeur saturante PV (TF) au niveau du liquide et des variables M, g, 06 et R. 11/15 E.1.4. Calculer la variation de pression AP = PV (TF ) --Pcap pour la température du bain d'hélium liquide TF = 4,2 K. On prendra: PV = 0,9923.105 Pa , h =1m) g =9,8 m.s_2 et Ta =300 K. E.1.5. En s'aidant de la relation de Clapeyron, en déduire une estimation de la correction AT à apporter pour la détermination de la bonne température du liquide. E.2. Mesure des faibles pressions. Le capteur de pression utilisé est un capteur à variation de capacité (figure 9). Une membrane flexible se déforme sous l'effet de la pression, faisant varier la distance entre son centre et une membrane fixe de surface S. Une différence de potentiel est appliquée entre la membrane flexible et la membrane fixe et on peut considérer que l'ensemble se comporte comme un condensateur plan de section S et d'épaisseur variable e. On rappelle que la capacité d'un condensateur plan de section S et d'épaisseur e est C = ELS . e On note eo la distance entre la membrane fixe et la membrane non déformée (P = O) . L ' ' EUR {& 60 Figure 9 : capteur de pression On admet que la variation d'épaisseur Ae=eO--e est proportionnelle à la variation de pression: Ae = oc(P--Poef). L'ultravide a été réalisé dans la chambre contenant l'armature fixe, de sorte que Pref ... 10_4 Pa << P . On écrira donc Ae = ocP . Données: S=1 cm2, eo =0,2 mm, 80 =8,85.10_12 F.m_l, oc=1,6.10_9 m.Pa_l. E.2.1. Calculer la variation relative de capacité Ê--C pour une pression mesurée de 100 Pa à 0 partir de la pression nulle. E.2.2. Sachant que le détecteur permet de mesurer une variation de capacité AC = 2,5105 pF, estimer la pression minimale que peut mesurer ce détecteur. 12/15 E.3. Contrôle du débit volumique du liquide. Le débit d'écoulement du fluide est mesuré à l'aide d'un débitmètre à ultrasons (figure 10). Deux transducteurs acoustiques piézoélectriques situés en A et B jouent alternativement le rôle d'émetteur et de récepteur d'onde ultrasonore. Ils permettent de mesurer précisément les temps de propagation t AB et tBA de l'onde sonore de A à B et de B à A respectivement. ........................... ........................... ........ ............. E ' A+ {; m \! A Figure 10 : débitmètre à ultrasons On considère que le fluide s'écoule dans la canalisation avec une vitesse moyenne vm . On note L la distance entre les deux transducteurs et (p l'angle constant entre le vecteur vitesse vm et le vecteurAB. Le son étant une onde de compression, l'onde sonore est entraînée par le fluide en mouvement. La vitesse du son dans un référentiel où le fluide est mobile suit la loi de composition des vitesses de la mécanique classique. On note c la célérité de l'onde sonore lorsque le fluide est au repos dans le référentiel d'étude. E.3.]. Donner l'expression de la vitesse vAB de l'onde sonore dans le fluide en mouvement pour l'onde se déplaçant du capteur A au capteur B. E.3.2. Donner l'expression de la vitesse vBA de l'onde sonore dans le fluide en mouvement pour l'onde se déplaçant du capteur B au capteur A. E.3.3. Donner l'expression de la vitesse moyenne d'écoulement du fluide en fonction de L , (p , t AB et tB A . En déduire l'expression du débit volumique DV du fluide. E.4. Contrôle de la hauteur h d'hélium liquide dans le cryostat. La mesure du niveau de l'hélium dans le cryostat est réalisée en mesurant la résistance d'un fil supraconducteur partiellement plongé dans l'hélium liquide (figure 11, page 14). La supraconductivité est la manifestation de l'annulation de la résistance électrique en dessous d'une certaine température dite critique. La partie immergée dans le liquide est supraconductrice et n'a aucune résistance. La partie située dans le gaz est résistive. Le fil électrique de longueur totale L, plié en deux (cf. figure 11), plonge dans l'hélium liquide de hauteur h comme représenté sur la figure ci-après. 13/15 TT_ @ A EUR Résistance / \ @ t"* _1 @ TF _ " He h liquide \ J Figure 11 : contrôle niveau d'hélium E.4.1. Rappeler l'expression de la loi d'Ohm locale. E.4.2. On raisonne en régime continu de sorte que la densité volumique de courant se répartisse uniformément sur la section transverse S. Démontrer l'expression de la résistance électrique d'un conducteur homogène de résistivité électrique peÉ , de longueur L et de section S. E.4.3. En supposant peÉ constant pour la partie conductrice, donner l'expression de la résistance du fil en fonction de la hauteur h. On mesure précisément la résistance électrique par le montage dit à quatre fils (figure 12). Les quatre fils ont la même résistance r. La sonde est alimentée avec un faible courant I. La mesure de la tension aux bornes de la résistance R à déterminer est effectuée par l'intermédiaire de deux fils reliés au voltmètre. Le voltmètre est supposé d'impédance d'entrée suffisamment grande pour que l'on puisse supposer qu'aucun courant ne le traverse. Figure 12 : montage à quatre fils E.4.4. Expliquer comment on détermine la résistance R dans ce montage. La résistance r des fils intervient-elle ? 14/15 ANNEXE 0 Masse molaire de l'hélium : M = 4 g.mol"1 . Constante des gaz parfaits : R = 8,31 ] .K"1.mol"1 . Viscosité dynamique de l'hélium à T = 4,2 K : n = 3, 610"6 Pa.s . Célérité du son dans l'hélium liquide à la température T = 4,2 K : c = 178 ms-- Données relatives à l'hélium à l'état diphasé Température T = 4, 2K Masse volumique Enthalpie (kg.m_3 ) (kJ .kg_1 ) Liquide 125,4 9,90 Vapeur 16,49 30,74 Température T = 1, 9K Masse volumique Enthalpie (kg.m_3 ) (kJ .kg_1 ) Liquide 145,5 1,186 Vapeur 0,609 24,63 Données relatives à l'hélium à l'état gazeux 1 Etat Pression Température Enthalpie (bar) (K) (kJ.kg1 ) 1 20 280 1 476 2 20 200 1 060 3 20 100 540,3 4 20 50 277,4 5 20 20 110,5 6 20 7,15 29,3 7 1 4,2 8 1 4,2 30,74 9 1 19,9 118 10 1 45,2 250 11 1 98,5 527,2 12 1 193 1 017,9 13 1 277 1 454,2 14 20 370 1 900 Fin de l'énoncé 15/15

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 CCP Physique 1 PSI 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tom Morel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Louis Salkin (ENS Cachan) et Vincent Freulon (Professeur en CPGE). Ce sujet analyse une installation frigorifique de refroidissement de l'hélium liquide. Ses cinq parties sont indépendantes. · La première partie est consacrée au cycle thermodynamique de Claude, qui permet de refroidir l'hélium liquide. À l'aide de bilans énergétiques, on détermine le rendement de l'installation. · L'étude d'un échangeur à contre-courant fait l'objet de la deuxième partie. On s'intéresse à la notion de résistance conducto-convective thermique, puis on modélise l'échangeur. L'énoncé s'appuie sur des notions de thermodynamique telles que la diffusion thermique. · La troisième partie concerne l'écoulement de l'hélium liquide dans une conduite cylindrique. On y utilise des raisonnements simples de mécanique des fluides faisant intervenir la perte de charge, les débits volumique et massique,... · La quatrième partie aborde une méthode de refroidissement de l'hélium liquide par pompage de la vapeur. En partant de la formule de Clapeyron, on détermine la puissance thermique prélevée au liquide ainsi que la masse liquide perdue par évaporation. · Pour finir, dans la cinquième partie, on s'intéresse à différentes méthodes de contrôle de paramètres tels que la température, la pression, la vitesse d'écoulement et la hauteur de liquide. Cette partie utilise de nombreuses notions d'hydrostatique, d'électrocinétique et de mécanique du point. De longueur raisonnable pour une épreuve CCP, ce sujet présente cependant une difficulté : les parties compliquées se situent en début d'énoncé. Il faut vous habituer à lire en entier les sujets pour traiter d'abord les parties où vous vous sentez à l'aise. D'ailleurs, beaucoup de résultats intermédiaires sont donnés, ce qui permet d'avancer sans même avoir répondu à toutes les questions. Vous pouvez utiliser ce sujet pour réviser la thermodynamique (bilans énergétiques, diffusion thermique) et l'électrocinétique. Toutes ses questions sont conformes au nouveau programme. Indications A.1.2 Par définition, Dm = dm dt A.2.1 Utiliser la conservation du débit massique. A.2.2 Déterminer les enthalpies Dmi hi entrante et sortante. En outre, les puissances reçues par le système sont -PT1 et -PT2 . A.2.3 L'enthalpie massique h n'est pas une grandeur extensive alors que Dm h l'est. A.2.9 Le titre en liquide s'écrit x = Dm /Dm7 . Introduire ensuite le taux de liquéfaction y dans l'expression de x . A.2.12 Par un bilan énergétique au niveau du compresseur, déterminer la puissance du compresseur sans apport extérieur d'énergie. B.1.3 Utiliser le fait que Th est constant. B.1.6 Le transfert thermique se fait réellement du fluide 1 vers le solide donc le solide reçoit du fluide 1 Th = -hC1 (TS1 - T1 ) 2 R1 L B.1.7 Introduire tous les flux avec la relation T1 - T2 = T1 - TS 1 + TS 1 - TS 2 + TS 2 - T2 B.2.1 La différence de température est T1 (0)-T1 (x) pour le fluide 1 et T2 (x)-T2 (0) pour le fluide 2. C.3 Ajouter la pression hydrostatique. C.4 Utiliser une analogie électrique. D.5 Le nombre de particules aspirées par unité de temps est donné par P Th dn = dt Lv D.7 Écrire le premier principe en considérant que l'énergie reçue est dm Lv . D.8 Résoudre avec la méthode de séparation des variables. E.2.1 Prendre le logarithme de l'expression puis la différentier. E.3.1 Le fluide possède une vitesse v m cos de A vers B. E.3.2 Le fluide possède une vitesse -v m cos de B vers A. E.4.2 La résistivité électrique et la conductivité électrique sont reliées par el = 1 . el A.1.1 Dans le bilan énergétique, on a pour le système constitué de la masse dm : · Wu , le travail reçu autre que le travail de transvasement, appelé « travail utile » ; · Q, l'énergie thermique reçue ; · h dm, l'enthalpie ; c2 · dm , l'énergie cinétique ; 2 · z dm g, l'énergie potentielle de pesanteur. A.1.2 Par définition, Wu = PW dt et Q = PQ dt où PW est la puissance mécanique utile reçue par le fluide et PQ la puissance thermique reçue. De même, le débit massique est défini par dm Dm = dt Le bilan énergétique se réécrit 1 2 1 2 Dm h2 + c2 + gz2 - h1 + c1 + gz1 = PW + PQ 2 2 A.2.1 Au point de repère 14, le débit massique est de nouveau Dm . La conservation du débit massique impose Dm13 + Dm = Dm d'où Dm13 = Dm - Dm A.2.2 Le système reçoit -PT1 - PT2 . En négligeant les variations d'énergies cinétique et potentielle de pesanteur, le premier principe s'écrit Dm13 h13 + Dm hliq - Dm h1 = -PT1 - PT2 Avec l'expression de la question A.2.1, on arrive à Dm (h13 - h1 ) + Dm (hliq - h13 ) = -PT1 - PT2 A.2.3 De même, le premier principe appliqué à la turbine 1 donne Dm11 h11 - Dm12 h12 = -PT1 Or Dm11 = Dm12 = x1 Dm et h12 = h2 . Ainsi, x1 Dm (h11 - h2 ) = -PT1 L'enthalpie est une grandeur extensive mais l'enthalpie massique h ne l'est pas car cette dernière est le rapport de deux grandeurs extensives. A.2.4 Le bilan énergétique sur la turbine 2 s'écrit Dm9 h9 - Dm10 h10 = -PT2 Or h10 = h4 et Dm9 = Dm10 = x2 (1 - x1 ) Dm , donc Dm x2 (1 - x1 ) (h9 - h4 ) = -PT2 A.2.5 Remplaçons les expressions de PT1 et de PT2 des questions précédentes dans la relation obtenue à la question A.2.2 : Dm (h13 - h1 ) + Dm (hliq - h13 ) = x1 Dm (h11 - h2 ) + x2 (1 - x1 ) Dm (h9 - h4 ) ce qui se réécrit en introduisant y = Dm /Dm (h13 - h1 ) + y (hliq - h13 ) = x1 (h11 - h2 ) + x2 (1 - x1 ) (h9 - h4 ) d'où y= x1 (h11 - h2 ) + x2 (1 - x1 ) (h9 - h4 ) + h1 - h13 hliq - h13 A.2.6 Au niveau du premier échangeur, il n'y a ni transfert thermique ni travail. Le premier principe impose donc Dm (h2 - h1 ) + Dm13 (h13 - h12 ) = 0 Or Dm13 = Dm - Dm d'après la question A.2.1. L'expression précédente se réécrit h2 - h1 + h13 - h12 h13 - h12 h2 - h1 = Dm 1 + h13 - h12 Dm = Dm Ainsi, Dm ce qui donne y =1+ h2 - h1 = 4,65 × 10-2 h13 - h12 A.2.7 De même, sur le deuxième échangeur, Dm (1 - x1 ) (h3 - h2 ) + Dm13 (h12 - h11 ) = 0 Avec l'expression de Dm13 tirée de la question A.2.1, on a x1 Dm (h3 - h2 ) = Dm (h3 - h2 ) + (Dm - Dm ) (h12 - h11 ) donc x1 = 1 + (1 - y) h12 - h11 = 9,97 · 10-2 h3 - h2 A.2.8 Appliquons le bilan énergétique sur le quatrième échangeur pour faire apparaître x2 : Dm4 (h5 - h4 ) + Dm9 (h10 - h9 ) = 0 avec Dm9 le débit massique entrant dans l'échangeur au point de repère 9. On a Dm4 = (1 - x1 ) (1 - x2 ) Dm ; déterminons l'expression de Dm9 . Par conservation du débit au niveau de l'intersection du deuxième échangeur, Dm12 = Dm9 + Dm11 avec Dm12 = Dm13 et Dm11 = x1 Dm . La conservation du débit se réécrit x1 Dm + Dm9 = Dm13 = Dm - Dm d'où Dm9 = (1 - x1 ) Dm - Dm Le bilan énergétique donne alors (1 - x1 ) (1 - x2 ) Dm (h5 - h4 ) + (1 - x1 ) Dm - Dm (h10 - h9 ) = 0