CCP Physique 1 PSI 2013

Thème de l'épreuve Instruments en aviation légère et sismomètre vertical de Wiechert
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, mécanique du solide
Mots clefs référentiels non galiléens, pression, Bernoulli, effet gyroscopique, écoulements, filtre passe-haut, amortisseur, induction magnétique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2013 PSIP103 -î- CONCOURS COMMUNS '=' POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures N .B . : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'nonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. Les calculatrices sont autorisées Le sujet comporte 12 pages. 1/12 PROBLEME A : quelques instruments utilisés en aviation légère Ce problème a pour but d'étudier les principes physiques intervenant dans quelques instruments de bord d'un avion : l'anémomètre, le compas, l'altimètre, le variomètre et l'indicateur de virage. Unités couramment utilisées en aéronautique : . Mille nautique (Nm) : 1 Nm = 1 852 m . Noeud(kt)z1kt=le/h . Pied (ft) : 1 ft = 0,30 m L'anémomètre (badin) Le dispositif utilisé pour déterminer la vitesse par rapport à l'air est \ \ , ,, r o - - , , 2 ' appele badm en France (figure 1). La v1tesse de l'av1on est generalement " 16° ° 40 , , \ ' ' ' , ' mesurée en noeuds. L'anemometre donne la v1tesse md1quee. Cette _14o » vitesse correspond à la << vitesse propre » à la pression de 1 013 hPa (au niveau de la mer en atmosphère standard) et à la température de 15 °C. La << vitesse propre » est la vitesse de l'avion par rapport à l'air environnant. Avec la baisse de la densité de l'air, la vitesse propre est supérieure à la BED '<2° ..":Lî / 100 8° ""il;--;{; \! vitesse indiquée (une approximation peut être faite en ajoutant 1 % par tranche de 600 pieds au-dessus de la surface isobare 1 013 hPa). Figure 1 : anémomètre A.] Un avion vole au niveau de vol FL60, ce qui signifie qu'il vole à 6 000 pieds au-dessus de l'isobare 1 013 hPa. Le badin indique 150 kt. Quelle est alors sa vitesse vraie en km/h ? Principe de fonctionnement de l'anémomètre A.2 Rappeler le théorème de Bernoulli de la dynamique des fluides ainsi que les hypothèses sous- jacentes. L'anémomètre est en fait un manomètre différentiel (tube de Pitot de la figure 2 placé sous le fuselage de l'avion) : il mesure la différence entre la pression totale Pt exercée par l'air entrant dans l'orifice avant au point A (somme de la pression au point B, PS, dite << statique >> et de la quantité -- v2, d1te ressmn«d nam1 ue >> et la ressmn de l'or1fice lateral au omt B. 2,0 P Y q P P manomètre différentiel pression totale B A / --|l \ 41 Figure 2 : tube de Pitot 2/12 pression statique A.3 En utilisant le théorème de Bernoulli à l'air, relier PA à PB en notant V la vitesse de l'avion par rapport à l'air. A quelle condition sur V peut-cn établir cette relation ? En déduire l'expression de la vitesse V en fonction de la pression totale P; et de la pression statique P,. L'avion doit suivre une route vraie rectiligne d'une ville D vers une ville E. Les deux villes sont situées sur un même parallèle La ville D est située à l'ouest de la ville E. Le vent souffle de manière uniforme du nord vers le sud avec une vitesse par rapport au sol de 20 kt (noeuds). La vitesse indiquée par le badin est de 100 kt. A.4 On appelle Crn (cap magnétique) l'angle que forme l'axe longitudinal de l'avion (dans le sens queue -- nez) par rapport à la direction du Nord magnétique terrestre. L'avion étant entrainé par le vent, calculer numériquement cet angle Crn ainsi que la vitesse Vs de l'avion par rapport au sol. On pourra faire un schéma représentant la situation et on rappellera la loi de composition des vitesses. Le compas Le cap magnétique est mesuré grâce au compas (boussole). Il s'agit d'un petit barreau aimanté fixé à une rosace baignant dans un liquide. Un trait -- la ligne de foi -- matérialise l'axe queue--nez de l'avion. A.5 On montre que les lignes de champ magnétique d'un dipôle magnétique sont les mêmes que les lignes de champ électrique d'un dipôle électrique. Si on suppose qu'au centre de la Terre la distribution volumique des courants se comporte comme un dipôle magnétique, tracer l'allure des lignes de champ autour de la Terre. On précisera leur orientation ainsi que les pôles magnétiques. A.6 Est-ce que le compas est utilisable lors d'une accélération ? On pourra s'intéresser à deux cas particuliers : l'accélération longitudinale lors d'une augmentation de vitesse puis à une accélération radiale lors d'un virage. Pour quel(s) mouvement(s) de l'avion le compas est-il alors utilisable ? A.7 Un avion doit suivre une route magnétique au cap 090 (c'est-à-dire vers l'Est). Le vent lui fait subir une dérive de 5° vers la droite. Quelle indication doit afficher le compas pour que l'avion suive la bonne route ? L'altimètre L'altimètre fournit une indication appelée << altitude-pression >>. En effet, la mesure par l'instrument est basée sur la décroissance de la pression atmosphérique lorsque l'altitude augmente. L'altimètre est en réalité un baromètre gradué en altitude. A.8 Afin de comprendre le principe de l'altimétrie, nous allons étudier le modéle suivant d'atmosphère : air considéré comme un gaz parfait, à l'équilibre dans le champ de pesanteur uniforme â. On notera (OZ) la verticale d'origine le sol. En raisonnant sur un petit élément d'atmosphère à l'équilibre, établir la relation différentielle liant la pression P(Z) à la masse volumique p(z) de l'air et à l'accélération de la pesanteur. A.9 Donner la relation entre la masse volumique p de l'air, la masse molaire moyenne M, la température T, la pression P et la constante de Joule R. 3/12 A.10 En supposant la température constante égale à T 0, montrer que le champ de pression s'écrit : P( 2 ) =POe_%i où P0 est la pression atmosphérique au niveau du sol et H une constante à déterminer en fonction de M, g, R et T 0. Que représente physiquement H ? Calculer numériquement H avec les valeurs suivantes : M= 29 g.mol", g = 9,8 m.s'2, R = 8,3 J.K".mol" et T0 = 298 K. A.11 En aéronautique, on a l'habitude, pour simplifier, de dire que la pression chute de l hPa pour 28 ft (pieds). Montrer que ce résultat est cohérent avec le résultat précédent pour des faibles altitudes. En fait, la température diminue lorsque l'altitude augmente On supposera que la température diminue de 0,65 °C pour 100 m. La température au sol sera prise égale à T 0 = 288 K. A.12 En écrivant la température T (2) sous la forme T (2) = T 0 (l- az), donner la valeur numérique de la constante 0t. A.13 En aéronautique, on utilise l'atmosphère << normalisée >> ISA (International Standard Atmosphere) qui tient compte des valeurs moyennes sur des points du globe terrestre à la latitude 45O nord (tableau 1). Altitude (m) 0 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 Pression (hPa) 1 013 955 900 845 794 746 700 Température (°C) 15,0 12,0 8,5 5,5 2,0 - 1,0 - 4,5 Altitude (m) 3 500 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000 Pression (hPa) 658 617 541 471 411 357 307 Température (°C) - 7,5 - 11,0 - 17,5 - 24,0 - 30,5 - 37,0 - 43,5 Tableau 1 : atmosphère normalisée ISA Par une régression linéaire (ou par une représentation graphique), vérifier que la température est bien du type T(Z) = TO (1- az). A.14 On souhaite connaitre le gradient de pression % pour les différentes valeurs de z données dans le tableau. Expliquer comment estimer simplement ces valeurs à partir des données numériques. Donner une estimation de ce gradient de pression à l'altitude de l 000 m. A.15 On peut montrer que la pression P suit la relation P(Z) = PO (1 - flz)" où fl = 2,26.10'5 m". Quelle courbe doit-on tracer (quelle grandeur représente-t-on en ordonnée et quelle grandeur en abscisse) pour vérifier cette loi ? Par une régression linéaire ou par une représentation graphique, donner une estimation de la puissance 5. Le candidat expliquera correctement la démarche suivie. 4/12 Principe de fonctionnement de l'altimètre L'élément de base de l'altimètre est une capsule barométrique (appelée capsule de Vidi) constituée de deux parois circulaires de diamètre 40 a 60 mm séparées par une paroi qui se comporte comme un ressort. Il règne à l'intérieur de cette capsule un vide poussé. Cette capsule est placée dans un boîtier où règne la pression extérieure qui écrase donc la capsule et ainsi comprime le ressort. Les variations de volume de la capsule sont amplifiées et transmises à un levier pour afficher le résultat (figure 3). capsule ., - Î"-F-'Ï=Ê-g'æ\' arrivée de la prise statique fenêtre de calage altimétrique bouton de réglage de la pression de calage Figure 3 : altimétre A.16 Montrer que la compression du ressort est proportionnelle à la pression régnant dans le boîtier. On pourra faire un schéma. A.17 Quand l'atmosphère est très froide, l'indication de l'altimètre est-elle sur ou sous--évaluée ? Le variomètre A.18 La pression statique PS varie avec l'altitude selon la loi de l'hydrostatique. Rappeler cette loi dans le cas d'un champ de pression ne dépendant que de z dans le champ de pesanteur S uniforme. Montrer alors que la vitesse verticale VZ est proportionnelle à . On précisera la constante de proportionnalité. S Le variomètre est donc un manomètre différentiel qui doit évaluer . Il est aussi basé sur une capsule de Vidi. La figure 4, page suivante, présente un écorché du variomètre et la figure 5 un schéma simplifié. 5/12 capsule orifice calibré arrivée directe pression statique Figure 4 : variomètre surface déformable prise statique tube capillaire ressort (k) --E PB (;) Ps (i) : capsule de Vidi Figure 5 : schéma simplifié du variomètre A.19 La pression dans la capsule est égale instantanément à la pression extérieure P, de l'air. A cause du capillaire, la pression PB dans le boîtier varie très lentement dans le temps : il y a un effet de retard. Ainsi, la pression PB à l'instant t est égale àla pression P, à l'instant t - T. A quel phénomène physique est dû cet effet de retard ? Montrer que la déformation du ressort . . . , dP de ra1deur k est env1ron proport10nnelle a d S . { A.20 Un avion en approche finale pour atterrir doit descendre en suivant un plan d'angle oc par rapport à l'horizontale, tel que tan oc = 5 % (on parle de pente à 5 %). Sa vitesse indiquée par le badin est stabilisée à 80 kt (noeuds). Quelle doit--être l'indication du variomètre en pieds/minute (ft/min) pour qu'il en soit ainsi ? L'indicateur de virage L'indicateur de virage mesure le taux et le sens du virage. On appelle taux de virage la vitesse de changement de cap de l'avion. Le virage est dit standard ou taux = 1 si l'avion effectue 3600 en 120 secondes. A.21 Considérons un avion effectuant un virage circulaire en palier (sa trajectoire reste parallèle au sol) à la vitesse V. Pour réaliser ce virage, il faut incliner l'avion d'un angle d) (ce qui signifie que le plan moyen des ailes est incliné de d) par rapport au plan horizontal). Le profil des ailes est responsable des forces aérodynamiques, dont la portance. La portance est la composante orthogonale (de ces forces aérodynamiques) au vent relatif de l'avion qui permet à ce dernier 6/12 d'être sustenté. L'avion est soumis en tout a 4 forces (en négligeant la poussée d'Archimède). Quelles sont ces forces ? Faire un schéma en vue de derrière lorsque l'avion est incliné pour effectuer un virage à gauche. On représentera les vecteurs orthogonaux aux plans de la figure par une croix dans un cercle (vecteur s'enfonçant dans le plan de la figure) ou un point dans un cercle (vecteur sortant du plan de la figure). On travaillera dans le référentiel terrestre supposé galiléen. A.22 Etablir l'expression de l'accélération sur un cercle de rayon R lorsque le point matériel est animé d'une vitesse uniforme V. A.23 En appliquant le principe de la dynamique à l'avion, supposé ponctuel, établir la relation entre le rayon R du virage, la vitesse V de l'avion et la tangente de l'angle d'inclinaison d). A.24 Un avion effectue un virage à l'inclinaison d) = 30 ° a la vitesse V = 100 kt. Que vaut le rayon du virage ainsi que le temps pour effectuer un tour complet ? On prendra g = 9,8 m/s2. Une lourde roue (c'est-à-dire un gyroscope) tourne très vite autour d'un axe. Un gyroscope a la propriété de garder l'orientation de son axe fixe dans l'espace. On appelle L le moment cinétique de la roue, calculé en son centre, dans le référentiel du sol. Si l'avion tourne avec le vecteur rotation 9 , alors, par réaction, le bâti relié a la roue est soumis au moment appelé couple gyroscopique M = L /\ Q. A.25 Dans la figure 6, quels sont les directions et sens du vecteur Ï ? Si l'avion tourne vers la droite, quels sont les directions et sens du vecteur Ô ? En déduire dans quel sens (D ou G) va s'incliner la maquette d'avion de l'indicateur. Le candidat devra argumenter soigneusement ! sens de rotation de la roue gyroscopique système d'inversion et de transmission axe longitudinal de l'avion Figure 6 : indicateur de virage 7/12 PROBLEME B : sismomètre vertical de Wiechert Pour étudier les séismes, on a développé au début du vingtième siècle des sismomètres afin d'enregistrer les mouvements du sol. On étudie ici le modèle vertical d'Emil Wiechert, construit à Gôttingen, qui a fonctionné à Strasbourg jusqu'en 1968. Amortisseur pneumatique du sismomètre Un récipient, cylindre d'évacuation de rayon R = 1 mm et de longueur L = 50 mm, est rempli d'air, de viscosité dynamique 77=l8-10_6 Paz-s. On considère l'air comme quasi-incompressible (peu déformé durant l'écoulement), de masse volumique po constante. La génératrice du cylindre est un axe Oz. Une extrémité de ce cylindre d'évacuation, en z = L, est ouverte sur l'atmosphère, à pression fixe PA, l'autre extrémité, en z = O, est plongée dans une chambre à pression Pc. Cette chambre est uniquement ouverte sur le cylindre d'évacuation, sa forme est également cylindrique et sa base est un disque de rayon R' = 90 mm, de surface S. Du côté opposé au cylindre d'évacuation, la paroi de cette chambre, disque de rayon R' de masse négligeable, est mobile et se déplace perpendiculairement à elle-même à la vitesse Vp. En dehors de l'air dans la chambre, le seul contact sur la paroi est un axe à l'extérieur, solidaire de la paroi mobile, qui exerce une force F perpendiculaire à la paroi. Le reste des parois de la chambre et le cylindre d'évacuation sont un ensemble indéformable (figure 7). L'ensemble paroi mobile et axe coulisse sans frottements dans la chambre, sans écoulement d'air autour de cette paroi mobile. /;\ i tube d'évacuation R' : tige fixée àla paroi mobile i ression P | "" ' F p , A Al 'i'r ËR 0: E \\ <--P _ | _ Z | press1on ' P \ VP Z _ L Z = 0 c \ paroi mobile ) chambre Figure 7 : amortisseur du sismomètre B.] Ecrire le lien entre la force exercée sur la paroi, la pression Pc qui règne dans la chambre et la pression de l'atmosphère PA. On supposera que la paroi mobile est constamment à l'équilibre car sa masse est négligeable. B.2 Comment écrire la condition pour la pression qui permet de négliger les variations de masse volumique ? On considérera que l'air se comporte comme un gaz parfait en évolution réversible adiabatique. On notera po la masse volumique de l'air à la pression atmosphérique et pla masse volumique de l'air lors de la transformation. Pour finir, on notera P la pression -- P -- P . M : ;ç--A où l'on expr1mera le po P A coefficient K en fonction du coefficient 7 des gaz parfaits de l'air lors de la transformation et on montrera que : 8/12 w.... Ëoä...ää Êa ...@ %...v: Eäoe5£o a.oeW ...... 5203 ::a 3235 &: Sa...--58 wæ%oes&Ê...oerä ...... AONV om" ...:Êwoezmæä @@ _m ©8Eo: N. --w.A m...êaäQ :... %...v: 5oeoeoefiflo %...5 9Ëm :... 8È:&.o o...... 35253 &... ...m <...8oeoeoe s...... %... ...m 38... 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H 25 Asservissement mécanique -- Sismomètre de Wiechert Le sismomètre pendulaire (figure 8) consiste en un bloc de masse m = 6 tonnes, suspendu à deux ressorts verticaux, chacun ayant une raideur k. Les ressorts sont solidaires d'un bâti rigide fixé à la Terre en profondeur. Les tiges EN, IH et KL sont considérées comme indéformables et de masse négligeable. La tige supérieure LM peut coulisser horizontalement sans frottements sur des roulements, elle est fixée à la tige mobile KL au point L. Ses extrémités sont fixées respectivement à l'amortisseur et a un système d'enregistrement de position (stylet ou bobine perpendiculaire au plan du schéma, d'axe central selon x). _ galvanomètre aimant amortisseur L Mi\ @ EOEK$- 1 ? b/obÊe x tm % . //////...////// Figure 8 : sismomètre pendulaire B.13 Exprimer le rapport entre la force Fr exercée par le ressort sur la masse et la distance 25 - ZA. Exprimer ce rapport à l'équilibre, sans tension dans le câble EN ni mouvement. On a alors 25 - ZA = 2D - 23 = EUR, = l 500 mm, où l'axe Oz considéré ici est dirigé selon la verticale vers le haut. Par ailleurs, la longueur à vide de ces ressorts est de EO = 500 mm. Calculer la constante de raideur du ressort k. 10/12 B.14 Exprimer également, hors équilibre, la somme vectorielle (orientée vers le haut) de la force de rappel des ressorts et du poids du bloc, en fonction de zc - ZA = 2D - 23 (le bloc effectue une translation verticale dans le bâti). B.15 Lors d'un séisme, le référentiel du bâti rigide est fixé rigidement a la Terre. Localement, la Terre se déplace par rapport a un référentiel galiléen, effectuant un mouvement en fonction du temps t dont la composante verticale est zT(t) dans le référentiel galiléen. On nomme ZE, l'altitude du point E lié a la masse en mouvement dans le référentiel du bâti. Exprimer le lien entre ZE, sa position à l'équilibre ZOE, la force exercée au point N sur la partie mobile du sismomètre (comptée positivement vers le haut) et la composante verticale du mouvement de la Terre. B.16 Il faut considérer le système de démultiplication constitué du levier NT H. Le point T est fixé pour être en translation avec le bâti, il permet la rotation sans frottement du levier autour de lui. Le levier est quasi horizontal, le point T est respectivement à 100 mm et 400 mm des points N et H. Sachant que la masse du levier est négligeable, écrire le lien entre la force F H exercée verticalement par la tige H] sur le levier et la force F N exercée verticalement par la tige NE. Exprimer également le lien entre les altitudes des points N, H et T. B.17 Sachant qu'une rotation autour de K est permise par un axe dont on néglige les frottements, que des axes rigides sont montés sur la roue avec KL = K] et que la masse de la roue est négligeable, écrire : - la relation entre la force F H et la force horizontale F L exercée vers la droite par la tige KL sur l'axe supérieur - le lien entre l'écart à l'équilibre des positions verticale de [, z; - 20], et horizontale de L, XL -- X0L - le lien avec l'écart à l'équilibre des positions ZH - 20H. B.18 La barre horizontale supérieure coulisse horizontalement sans frottement, entraînée par le point L. A une extrémité, elle subit dans l'amortisseur a air une force proportionnelle à sa vitesse, Fa= - ocäc, avec oc = 1 483 kg/s. A l'autre extrémité, un système d'enregistrement, composé soit d'une bobine, soit d'un stylet, se déplace avec la barre mais exerce une force négligeable dessus (on peut négliger les frottements mécaniques ou magnétiques dans cette partie par rapport aux autres forces exercées sur la barre). La masse de cette barre est négligeable. Déduire de ce qui précède une d2xL + 05 de + 2kfl (XL _xî)=_Ë dt2 mfl dt dt2 exprimera la quantité ,5 en fonction des longueurs TN et TH. On pourra admettre cette équation pour pouvoir continuer. où l'on relation entre xL et ZT . On montrera que fl B.19 Pour une oscillation régulière de la surface terrestre, zT(t) = Re[ %! expÛæt)], où j est le nombre imaginaire pur tel que j2 = - l, montrer que l'on obtient un mouvement x 'L = xL - x0L tel que x 'L(t) =Re[x_@ expÛæt)], avec une fonction de transfert Ii(j w) telle que )_c 'L = Ii . zT . HO f+rwl+W Q w0 % Dans les sismomètres historiques, cette position était enregistrée à l'aide d'un stylet venant gratter du papier couvert de noir de fumée, qui défilait régulièrement face au stylet. Donner Ii(j (0) sous forme canonique Æ ( j (z)) = 11/12 B.20 De quel genre de filtre s'agit-il ? Donner la fréquence propre (00 de lil. Quelle est sa valeur numérique ? B.21 Préciser le facteur de qualité Q. Que vaut lfi(1%% , Où H» = limæoelfi ( jw)' ? Calculer numériquement le facteur de qualité. B.22 Tracer l'allure du diagramme de Bode réduit, défini par G = ZOlogÛHU 600% ] en fonction de log(æ/am). B.23 L'amortissement oc est réglable. Quel est l'intérêt d'avoir un grand facteur de qualité ? Quel est l'intérêt d'en avoir un petit ? B.24 Couplage magnétique - Le sismomètre de Galitzine Au bout de la tige d'enregistrement, est fixée une bobine a N spires enroulées sur un cylindre de rayon R. Cette bobine oscille dans un champ magnétique B permanent créé par un aimant. B est orienté selon la génératrice du cylindre et dépend de la position x, localement, comme B = Bref + 7/(x - xeq), où xeq est la position d'équilibre du cylindre. Les forces de Lorentz exercées sur le cylindre sont négligeables dans ce dispositif par rapport aux autres forces exercées sur la tige. Calculer la tension U(t) apparaissant aux bornes de la bobine en fonction de ZT (t). On négligera l'auto--induction Dans les sismomètres développés par la suite, comme celui de Galitzine, le courant créé par cette tension induite lorsque le circuit électrique est fermé était envoyé à un galvanomètre et enregistré optiquement. Fin de l'énoncé 12/12 IMPRIMERIE NATIONALE -- 131171 -- D'aprèsdocumentsf0urnis

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 CCP Physique 1 PSI 2013 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Alizée Dubois (ENS Cachan) ; il a été relu par Rémi Lehe (ENS Ulm) et Emmanuel Bourgeois (professeur en CPGE). Le sujet est composé de deux parties indépendantes consacrées à l'étude d'instruments de mesure utilisés en aviation, puis au fonctionnement d'un sismomètre. · La première partie présente les différentes façons de mesurer la vitesse horizontale et verticale de l'avion, son cap, l'angle des virages qu'il effectue et son altitude. Il est remarquable que toutes ces informations résultent de simples mesures de pression ou d'angle. Cette partie utilise la dynamique et la statique des fluides. · La seconde partie propose d'étudier un sismomètre. La manière de récupérer puis de transmettre les vibrations du sol jusqu'à l'observateur est détaillée. L'idée est de voir comment transformer une oscillation verticale, le mouvement de la croûte terrestre lors d'un tremblement de terre, en une translation horizontale mesurée par un capteur magnétique. Cette analyse est principalement faite grâce à des résultats de mécanique et aboutit à l'étude de la fonction de transfert du sismomètre. Ce sujet ludique aborde de plusieurs manières le cheminement de l'information, depuis la mesure d'une quantité physique jusqu'à son analyse par l'observateur. Les questions sont cependant de difficultés inégales, et parfois mal posées. Les raisonnements demandés sont le plus souvent proches de ceux faits en cours, si bien que le principal écueil réside dans la compréhension et l'interprétation de l'énoncé. Indications Problème A A.3 Utiliser le théorème de Bernoulli sur deux lignes de courant passant respectivement par A et B. A.6 Comparer l'effet de la pseudo-force d'inertie d'entraînement sur deux portions symétriques de la boussole. En résulte-t-il un couple ? A.11 Utiliser l'hypothèse des faibles altitudes z H. A.14 Revenir à la définition du gradient. A.16 La paroi supérieure de la capsule subit la force de pression extérieure ainsi qu'une force de rappel élastique. A.17 Penser à la correspondance entre P et z (par exemple en utilisant les résultats de la question A.10). A.19 Dériver le principe fondamental de la dynamique par rapport au temps, après avoir négligé l'accélération. Quel autre terme peut-on négliger ? Problème B B.2 Calculer la différentielle logarithmique de la loi de Laplace. B.3 Quel est le lien entre div ( - v ) et le débit massique ? B.7 Dériver l'égalité de la question B.6 par rapport à z. B.9 La vitesse doit rester bornée. B.10 Écrire le débit massique de deux façons : par intégration du profil de vitesse ou en utilisant la vitesse moyenne. B.15 Travailler sur le système {bloc + tige sans masse} en prenant garde au référentiel d'étude. B.18 Utiliser l'équation obtenue en B.15 et le PFD appliqué à la tige mobile LM. Lier les deux expressions grâce aux relations entre les longueurs et les forces trouvées aux questions précédentes. B.19 L'énoncé comporte ici une erreur : on recherche bien la fonction de transfert d'un passe-haut et non d'un passe-bas. B.24 Exploiter la loi de Faraday, en ne considérant que les pulsations pour lesquelles le sismomètre fonctionne. A. Quelques instruments utilisés en aviation légère L'anémomètre (Badin) A.1 D'après l'énoncé, avec la baisse de la densité de l'air, la vitesse propre est supérieure à la vitesse indiquée. On peut retrouver avec une bonne approximation la vitesse vraie en ajoutant 1% par tranche de 600 pieds au-dessus de l'isobare à 1013 hPa. Comme l'avion vole à 6000 pieds, la vitesse vraie est 6000 1 v propre = v badin + v badin 600 100 d'où v propre = 165 kt = 306 km.h-1 A.2 Le théorème de Bernoulli énonce que, le long d'une ligne de courant, P+ v2 + g z = Cte 2 où z est l'altitude en prenant (z z) l'axe vertical ascendant et où est la masse volumique du fluide considéré, v la vitesse de l'écoulement et P la pression. Les conditions de validité du théorème sont les suivantes : le fluide est homogène, en écoulement parfait incompressible et stationnaire, les seules forces volumiques étant les forces de pesanteur. Dans le cas où le fluide est en écoulement irrotationnel, la constante est la même partout dans le fluide et non plus uniquement le long d'une ligne de courant. A.3 La situation est équivalente au dessin suivant où A et B sont les deux prises de pression : · B C C ·· A · P = gh Le fluide arrive avec une vitesse qui est l'opposée de celle de l'avion par rapport à l'air notée V. Considérons deux points C et C situés en avant de l'avion, proches l'un de l'autre (z(C) z(C )). On a v(C) = v(C ) = V P(C) = P(C ) = Ps et v(A) = v(B) = 0 P(A) = Pt Le théorème de Bernoulli appliqué le long de la ligne de courant CA donne P(C) + v(C)2 v(A)2 + g z(C) = P(A) + + g z(A) 2 2 donc P(C) + V2 = Pt 2 Par ailleurs, le théorème de Bernoulli appliqué sur la ligne de courant C B donne P(C ) + v(C )2 v(B)2 + g z(C ) = P(B) + + g z(B) 2 2 donc P(B) = P(C ) = Ps Finalement, Ps + dont on déduit V= r V2 = Pt 2 2 (Pt - Ps ) Le tube de Pitot ne peut mesurer que des vitesses dans l'axe de la prise de pression dynamique. Certains modèles présentent plusieurs ouvertures dans des directions différentes, ce qui permet de déterminer précisément l'angle et la vitesse de l'écoulement. Cet appareil est aussi utilisé sur les bateaux et les voitures de Formule 1. A.4 D'après la loi de composition des vitesses, - vs=- v avion/vent + - v vent/sol L'avion devant rester sur un parallèle, la composante selon l'axe Nord-Sud de sa vitesse par rapport au sol doit être nulle. N - v avion/sol O Cm - v vent/sol E - v avion/vent S Il vient k- v vent/sol k cos Cm = - k v avion/vent k Puisque le badin indique 100 kt, en appliquant la correction liée à l'altitude on obtient v avion/vent = 110 kt d'où puis Cm = 79, 5 v s = v avion/sol sin Cm = 108 kt