CCP Physique 1 PSI 2012

Thème de l'épreuve Étude des phénomènes d'hystérésis et des effets des champs magnétiques
Principaux outils utilisés électronique, optique, électromagnétisme, mécanique du point
Mots clefs hystérésis, AO, interféromètrie, ferromagnétisme, déformation plastique, spectromètre de masse, induction, supraconducteur, effet Meissner

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                                   

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
     

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2012 PSIP103 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI ____________________ PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures ____________________ N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. ___________________________________________________________________________________ Les calculatrices sont autorisées Le sujet comporte 12 pages Cette épreuve comporte deux problèmes indépendants : le premier porte sur l'étude des phénomènes d'hystérésis en physique grâce à différents exercices indépendants et le deuxième problème porte sur les effets des champs magnétiques dans différents systèmes. 1/12 Tournez la page S.V.P. PROBLEME A : quelques phénomènes d'hystérésis en physique En grec, << notepnotÇ >>, hystérésis signifie << en retard >>. Hystérésis en électronique : trigger de Schmidt On considère le montage de la figure 1 où l'amplificateur opérationnel est supposé parfait et idéal mais fonctionnant en régime non--linéaire. Le montage est alimenté par une tension e(t) d'amplitude variable. La tension de sortie de l'amplificateur vaut s = i V sat ' ! Figure 1 : montage trigger de Schmidt A.] A quelle condition sur V+, potentiel de la borne d'entrée non-inverseuse, a-t-on s : +V ? sat A.2 Montrer que le potentiel V+ s'écrit comme une combinaison linéaire des tensions e et s : V+ : a - e + ,B - s où l'on précisera les valeurs des coefficients & et ,B. A.3 Supposons que la tension 6 soit suffisamment négative pour que s soit égale à --V, La sa! ' tension e augmente alors. Pour quelle valeur V1 de e la sortie s bascule de --V à +V ? sa! sa! Supposons maintenant que la tension 6 soit suffisamment positive pour que s soit égale à +V La tension 6 diminue alors. Pour quelle valeur V2 de e la sortie s bascule de +V_ à sa! ' sa! --V'? sat A.4 Tracer avec le plus grand soin l'allure de la caractéristique s(e) du montage. On précisera bien le sens de parcours de la caractéristique en y plaçant des flèches. A.5 Applications : - Un tel montage peut servir à stocker de l'information : par exemple, lorsque la sortie est << bloquée >> à la valeur +V on dit que l'on a enregistré un bit de valeur << 1 >> et lorsque la sat ' sortie est << bloquée >> àla valeur -- V sal 7 on dit que l'on a enregistré un bit de valeur << 0 >>. On souhaite enregistrer un code formé de 4 chiffres (allant de 0 a 9). On rappelle que tout P entier peut se décomposer en binaire selon la relation N = z bk 2k où bk = 0 ou l . L'ensemble k=0 des bk forme le code binaire de l'entier N. Quel est le plus grand nombre que l'on puisse écrire avec un code binaire de 13 chiffres et de 14 chiffres ? En déduire le nombre de circuits << trigger de Schmidt >> à utiliser pour stocker un code formé de 4 chiffres en base décimale. - Citez une autre application du trigger de Schmidt que vous avez étudiée pendant l'année. Hystérésis en optique : porte logique optique Une onde lumineuse est caractérisée par la grandeur scalaire S dont la représentation complexe en un point d'abscisse x est de la forme E (x, t) : a-exp[j(wt--w(x))] où a est l'amplitude supposée constante de l'onde, ça(x) sa phase au point considéré, ] est le nombre imaginaire pur tel que ]2 =--l et west la pulsation de l'onde. L'intensité lumineuse [ associée est reliée à g par la relation [ : lfi|2. On étudie l'interféromètre de PEROT -- FABRY (figure 2) constitué d'une lame à faces parallèles d'un matériau transparent d'indice de réfraction n0 occupant l'espace compris entre x=0 et x = L . Les faces de la lame sont traitées de façon à posséder une réflectivité élevée. L'ensemble est placé dans le vide. On envoie depuis x=--oo une onde lumineuse monochromatique plane de pulsation a) se propageant dans la direction ex . Cette onde arrive en incidence normale sur la face d' entrée de l ' interféromètre. 0 L x Figure 2 : Interféromètre de PEROT -- FABRY A.6 Les ondes lumineuses peuvent se réfléchir sur les interfaces verre / vide. On considère une onde lumineuse qui a effectué 1 aller et p allers-retours dans la lame et qui sort de la lame. Exprimer le déphasage @ entre cette onde et celle qui a effectué 1 aller et p +] allers-retours en fonction de n() , L, dela pulsation w et de la célérité de la lumière dans le vide c0 . A.7 On appelle 10 l'intensité lumineuse avant traversée de la lame. On montre que l'intensité (1--R)2 l+R2 --2Rcos$ coefficient de réflexion de l'interface verre / vide. Pour quelles valeurs @, de @ aura-t-on une intensité transmise maximale ? On introduira un nombre entier P . lumineuse transmise totale est l, = 10 où R est une constante dépendant du A.8 Représenter graphiquement et succinctement I t en fonction de sur quelques périodes pour les deux valeurs suivantes de R : R = 0,1 puis R = 0,9 (sur le même graphique en précisant bien la légende). On précisera les valeurs des intensités lumineuses maximale et minimale. On suppose maintenant que le matériau formant la lame possède des propriétés optiques nonlinéaires : son indice de réfraction n en un point du matériau dépend de l'intensité I ( x ) en ce point selon la loi n = n0 (1 + I ( x )) où est une constante positive. Le déphasage s'écrit alors = 2k L 0 n( x)dx où k est le vecteur d'onde. 1 L I ( x)dx . L 0 On admettra que l'intensité transmise I t est proportionnelle à l'intensité moyenne I : A.9 Exprimer alors en fonction de k , L , n0 , et de l'intensité moyenne I = I t = I où est le coefficient de proportionnalité que l'on ne cherchera pas à calculer. A.10 Montrer alors que I t varie de manière affine avec selon une relation de la forme I t = ( - 0 ) . On note (E) cette équation. Exprimer et 0 en fonction des paramètres de l'énoncé : k , L , n0 , et . L'intensité transmise I t varie de manière affine avec ET varie selon la loi vue en A.7. Pour la suite, on supposera que 0 = P - 0,1 . La figure 3 représente I t / I 0 en fonction du déphasage autour d'un maximum P . I t / I0 1 P - 0,2 P - 0,1 P P + 0,1 P + 0,2 Figure 3 : courbe I t / I 0 ( ) A.11 Montrer graphiquement (on pourra reproduire le graphique de la figure 3) qu'il existe deux valeurs critiques I 1 et I 2 de I 0 telles que dans l'intervalle de considéré sur la figure 3 : - pour I 0 < I 1 et I 0 > I 2 , l'équation (E) admet une seule solution pour ; - pour I 1 < I 0 < I 2 , l'équation (E) admet trois solutions. 4/12 It = ( - 0 ) sur le graphique de la figure 3. I0 I0 A l'aide du graphique de la figure 3, déterminer graphiquement le rapport I 2 / I1 . On admettra que l'intensité transmise I t varie continument en fonction de I 0 sauf lorsque c'est impossible. On précise que, pour I 1 < I 0 < I 2 , seules les deux solutions correspondant aux valeurs extrêmes du déphasage correspondent à des situations stables. Ce domaine d'éclairement incident est dit « domaine bistable ». La courbe donnant I t en fonction de I 0 est représentée sur la figure 4. On pourra tracer la droite d'équation A.12 Expliquer et commenter cette courbe. La reproduire sur la copie et y ajouter le sens de parcours. On précisera aussi les valeurs particulières correspondant aux deux points d'interrogation. It I0 ? ? Figure 4 : It en fonction de I0 A.13 Voyez-vous une application pratique à ce dispositif ? Hystérésis en électromagnétisme : ferromagnétisme On considère tout d'abord le montage expérimental de la figure 5. Il s'agit d'un transformateur dont le noyau ferromagnétique est un tore très mince de rayon moyen Rm. Le bobinage primaire (formé de N 1 spires) est parcouru par le courant i1 (t ) . Le bobinage secondaire est relié à un montage intégrateur. On visualise à l'oscilloscope la tension u1 aux bornes de r et la tension u s en sortie de 1 l'intégrateur, telle que u s = u 2 (t )dt où est une constante positive. On précise que l'intensité du courant i2 est nulle. On supposera que les grandeurs magnétiques (champ magnétique, excitation magnétique et moment magnétique) sont invariantes par rotation dans le tore ferromagnétique et y sont uniformes. 5/12 Tournez la page S.V.P. Primaire, N 1 spires Figure 5 : montage expérimental pour la visualisation de l'hystérésis ferromagnétique (les points noirs indiquent la convention de signe des enroulements) A.14 Proposer un montage comportant deux amplificateurs opérationnels, trois résistors identiques , . . , , . l de res1stance R et d'un condensateur de capac1te C permettant de reahser us =--Ju2(t)dt. T On précisera l'expression de 1: en fonction de R et C. A.15 En appliquant le théorème d'Ampère sur un contour que l'on précisera, montrer que l'excitation magnétique H est proportionnelle à N1-il(t). On précisera le facteur multiplicatif. On supposeraH uniforme dans tout le tore, de valeur égale à celle en r = R. A.16 En appliquant la loi de Faraday au niveau du circuit secondaire (formé de N 2 spires, chacune de sect10n S ), montrer que le champ magnet1que s ecr1t B : ------ f (t) ou l on prec1sera N2S f (t) en fonction de us . A.17 On veut tracer l'aimantation M en fonction de l'excitation H . Comment faire en pratique ? . . . . -- l -- -- Exphquer le protocole expénmental. On rappelle la relat10n su1vante: H =--B--M . ;"0 On supposera de plus que les vecteurs H, R etM sont colinéaires. A.18 Tracer l'allure du cycle d'hystérésis M en fonction de l'excitation H . On précisera sur ce graphique les valeurs de l'excitation coercitive H C, de l'aimantation rémanente M , et de l'aimantation à saturation M s... . A.19 Exprimer la puissance P reçue par le bobinage primaire en fonction de u] et de il. En déduire . . dB . qu'elle est proporüonnelle au produ1t H ---. Montrer alors que la pu1ssance moyenne dt dissipée dans le matériau ferromagnétique est proportionnelle à l'aire du cycle d'hystérésis H M . On pourra admettre que THdB : T ,a HdM où T est la période des signaux utilisés. 0 0 ° A.20 Application : éléments de spintronique La spintronique (ou électronique de spin) est une technologie émergente qui exploite la propriété quantique du spin des électrons dans le but de stocker des informations. On peut montrer qu'un électron, suivant la valeur de son spin, ne traversera pas avec autant de facilité un matériau ferromagnétique selon la direction et le sens de l'aimantation globale. Les physiciens ont développé des systèmes formés de deux couches de matériaux ferromagnétiques différents séparés par une couche isolante. Les têtes de lecture des disques durs sont formées de tels dispositifs. On considère alors le système de la figure 6. Aimant en fer doux Couche isolante Aimant en fer dur Figure 6 : dispositif à deux couches ferromagnétiques. On relève expérimentalement le cycle d'hystérésis suivant, donné par la figure 7 (l'unité Oe ­ ou Oersted ­ est une unité d'excitation magnétique H). Aimantation (M/Msat) 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 Champ (Oe) Figure 7 : cycle d'hystérésis expérimental En modélisant le cycle de chaque aimant par un cycle rectangulaire, expliquer l'allure du cycle d'hystérésis mesuré. On pourra faire plusieurs croquis rapides pour éclairer l'explication. Pour des raisons de simplicité, on pourra supposer que l'aimantation rémanente de 1 est égale à celle de 2. 7/12 Tournez la page S.V.P. Hystérésis en mécanique : déformation plastique d'un matériau On considère un ruban d'acier inoxydable, de largeur d , que l'on tord en appliquant un couple de forces F antagonistes à une des extrémités du ruban, l'autre extrémité est fixée dans un bâti immobile (figure 8). Les forces F sont appliquées à angle droit de l'extrémité du ruban. En modifiant la valeur du moment , on modifie l'angle dont a tourné l'extrémité du ruban. On comptera positivement le moment lorsque celui-ci est orienté selon la verticale ascendante. Figure 8 : ruban déformé A.21 Exprimer en fonction de F et de d . En calculant le travail élémentaire des deux forces F, montrer que si l'extrémité du ruban tourne d'un angle élémentaire d , alors le ruban a reçu le travail élémentaire W = d . A.22 On part d'une situation où le ruban n'est pas déformé ( = 0 ) et on applique un couple de moment croissant. On admettra que est proportionnel à , selon la loi = C tant que est inférieur à une valeur maximale Max au-delà de laquelle la déformation devient plastique : on a alors bloqué à Max , quelles que soient les valeurs de plus élevées (dans la limite de la rupture du ruban). - Comment peut-on qualifier la déformation dans la phase où = C ? - Quelle est l'unité de la constante C ? - Tracer la courbe ( ) montrant les deux types de déformation. Cette courbe s'appellera "courbe de première déformation". A.23 Modélisation du phénomène d'hystérésis : On déforme pour la première fois un ruban d'acier inoxydable jusqu'au domaine plastique. Puis, on diminue le moment . L'angle reste bloqué à Max tant que est positif. Puis, quand devient négatif (ce qui signifie que l'on force le ruban à se déformer dans l'autre sens), l'angle décroit de manière affine avec en décrivant une droite parallèle à la "courbe de première déformation" et ce, jusqu'à atteindre la valeur extrémale - Max où l'angle restera bloqué à cette valeur tant que la norme du moment appliqué ne diminuera pas. Ensuite, on diminue la norme de et le ruban se déforme en sens inverse de manière symétrique à la phase précédente. Représenter l'allure du cycle d'hystérésis ( ) en précisant les points particuliers, notamment le moment "coercitif " c à exprimer en fonction de Max et de C. Calculer le travail fourni par un opérateur pour faire décrire un cycle par le ruban. 8/12 PROBLEME B : quelques effets des champs magnétiques Effet d'un champ magnétique sur le mouvement d'une particule chargée B.1 On considère un champ magnétique uniforme de norme B0 et dirigé selon le vecteur e z d'un système d'axes cartésiens. Une particule de masse m , de charge q > 0 est émise à l'origine du repère avec une vitesse initiale v0 = v0 ex suivant l'axe (Ox) . En négligeant toutes les forces autres que la force de Lorentz, écrire le système d'équations différentielles vérifiées par les composantes (v x , v y , v z ) du vecteur vitesse. Montrer que le qB0 ? On justifiera à partir des m qB équations déterminées dans cette question. Pour la suite, on posera c = 0 . m mouvement est plan. A quoi est homogène la quantité B.2 Pour résoudre le système précédent, on pose V = v x + j v y où j 2 = -1 . Ecrire l'équation différentielle vérifiée par V . La résoudre en tenant compte des conditions initiales. B.3 On pose maintenant R = x(t ) + j y (t ) où ( x(t ), y (t ) ) sont les coordonnées de la particule dans le plan z = 0 . Quelle est la relation entre V et R ? En déduire l'équation cartésienne de la trajectoire de la particule. On mettra cette équation sous la forme suivante : (x - xC )2 + ( y - yC )2 = L2 où l'on précisera l'expression des constantes xC , yC et L . B.4 Pour communiquer une vitesse à une particule chargée, on l'accélère grâce à un champ électrique. Supposons qu'une particule de charge q soit accélérée entre le point A et le point B pour lesquels la différence de potentiel électrique vaut U BA = VB - V A . Exprimer le gain d'énergie cinétique de la particule en négligeant toute interaction autre que la force électrique. B.5 Application : spectromètre de masse Une source émet des ions de même charge +q mais de masses m différentes. Les ions n'ont pas tous la même vitesse. Ces ions pénètrent en A dans une zone où règne un champ magnétique B uniforme comme représenté sur la figure 9. A B source d M Figure 9 : dispositif magnétique Le champ magnétique dévie la trajectoire des ions et ces ions viennent percuter une plaque d'enregistrement (symbolisée par le trait épais) au point M situé à une distance d du point A. 9/12 9/12 Tournez la page S.V.P. - Exprimer la distance d en fonction de la masse m de l'ion, de la charge q, de la norme du champ magnétique B et de la vitesse V de l'ion. - Montrer qu'il est impossible de trier les particules selon leur masse uniquement. - Pour pallier ce problème, la source est constituée d'un four ionisant duquel sortent des ions de même charge +q à des vitesses quasi nulles. Puis, on accélère les ions à l'aide d'un dispositif formé de deux grilles parallèles entre lesquelles on applique une tension U > 0 placée dans le bon sens. Exprimer la vitesse des ions en sortie de ce dispositif. - Calculer alors le rapport d1 / d2 pour deux ions de masses respectives m1 et m2. Effet d'un champ magnétique sur un conducteur : effet d'induction Une tige CD de cuivre de masse m et de longueur L est suspendue par ses deux extrémités à deux ressorts identiques de constante de raideur k et de longueur à vide 0 (figure 10). Le courant électrique peut circuler à travers les ressorts et le « plafond ». On note R la résistance électrique de tout le circuit et on négligera le phénomène d'induction dans les ressorts et d'auto-induction dans le circuit. On appelle g l'accélération de la pesanteur. Un champ magnétique uniforme et constant B est appliqué orthogonalement au plan de la figure. « Plafond » z B g O y D C × x Figure 10 : dispositif électro-mécanique B.6 Le système est au repos. Quelle est la longueur des ressorts dans ce cas ? On placera l'origine de l'axe (Oz) au niveau de la barre quand elle est à l'équilibre. B.7 On appelle eind la force électromotrice induite dans la tige orientée dans le sens de C vers D. dz La vitesse de la barre vaut e z . Exprimer eind en fonction des données du problème. dt B.8 On note i(t) l'intensité du courant électrique parcourant le circuit et orienté dans le sens de C vers D. Calculer la force de Laplace qui s'applique sur la tige en fonction de i(t), B, L et du vecteur unitaire e z . B 2 L2 2k B.9 Déterminer l'équation différentielle vérifiée par z(t). On posera = 2 et = 02 . mR m 10/12 B.10 On supposera que : wä -- a 2 = 7/ 2 > 0. Quel est le régime obtenu ? Déterminer complétement z(t), en fonction de oc et y, en prenant comme conditions initiales z(0) : 0 et È (O) : V0 > 0 . Tracer l'allure de z(l) en indiquant l'enveloppe exponentielle dt B.11 Appliquer le théorème de l'énergie cinétique à la barre entre l'instant de départ et l'instant infini pour calculer le travail de la force de Laplace. En déduire sans calcul supplémentaire l'énergie Joule dissipée entre l'instant initial et l'instant infini. Effet d'un champ magnétique sur un matériau supraconducteur : effet Meissner Un matériau supraconducteur est un matériau qui présente une résistivité nulle en dessous d'une certaine température critique: il laisse passer le courant sans aucune résistance ! Ce phénomène n'est pas encore très bien compris à l'heure actuelle malgré quelques théories qui ont fait leurs preuves. Une théorie ancienne, la théorie de London fondée sur un modèle à deux << fluides », conduit à formuler l'existence d'une densité volumique de courant électrique jL relié au champ magnétique local Ë selon la relation ÆÎL : _2 É où A est une constante, appelée constante de London. 1"0A B.12 En se servant de l'équation de Maxwell-Ampère, déterminer l'unité de la constante A. On considère une plaque infinie d'épaisseur 2Æ délimitée par les plans 2 =--EUR et z = EUR. Cette plaque est constituée d'un matériau supraconducteur de constante de London A. On applique un champ magnétique extérieur BÎ : Boeî uniforme et constant (figure 11). Il apparaît donc un champ magnétique à l'intérieur de la plaque. On se propose de déterminer ce champ. Pour des raisons de symétrie et d'invariance, le champ recherché est de la forme Ë(M,t) : B(z) ex . X__ Figure 11 : géométrie du problème B.13 Dans le cadre d'un régime ne dépendant pas du temps, établir l'équation différentielle vérifiée par la fonction B (z ) . B.14 Rappeler les conditions de passage pour le champ magnétique et en déduire les valeurs de B (z ) en z = - et z = sachant qu'il n'y a pas de courants superficiels. B.15 Résoudre complètement l'équation différentielle. On écrira B ( z ) sous la forme : z où ch est la fonction cosinus hyperbolique et D est une constante que l'on B ( z ) = D ch exprimera en fonction de B0, et . B.16 Tracer l'allure de B ( z ) en fonction de z dans le cas où << . Proposer un commentaire. B.17 Des courants volumiques sont créés dans la plaque selon la relation de London 1 rot j L = - B vue auparavant. On admettra que le vecteur densité volumique de courant µ0 2 est dirigé selon l'axe (Oy) : jL = jL ( z ) ey . Déterminer à partir du résultat de la question B.15 l'expression de la fonction j L (z ) . Tracer l'allure de cette fonction dans le cas où << . Pourquoi dit-on que la plaque supraconductrice plongée dans un champ magnétique extérieur B0 est le siège de courants superficiels dus à la supraconductivité ? B.18 Application Figure 12 : lévitation d'un petit cylindre de niobium Fin de l'énoncé 12/12 IMPRIMERIE NATIONALE ­ 12 1247 ­ D'après documents fournis Le niobium est un métal qui devient supraconducteur au dessous d'une température de 23 K. On plonge un petit cylindre de niobium dans un bain d'hélium liquide dont la température d'ébullition est de 4,2 K. Le petit cylindre ainsi refroidi est ensuite placé au dessus d'un aimant permanent qui a été préalablement refroidi. Le petit cylindre lévite au dessus de l'aimant (figure 12). A la lumière des questions précédentes, comment faut-il placer l'aimant par rapport au petit cylindre (faire un schéma pour expliquer). On justifiera succinctement qu'il lévite à l'aide de la force de Laplace qui s'applique sur le petit cylindre.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Physique 1 PSI 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Grégoire Deback (ENS Lyon) ; il a été relu par Sandrine Ngo (ENS Cachan) et Vincent Freulon (ENS Ulm). Ce sujet est composé de deux problèmes indépendants : le premier porte sur l'étude des phénomènes d'hystérésis et leurs applications, le second sur les effets des champs magnétiques, dont l'effet Meissner sur les matériaux supraconducteurs. · Dans la première partie, le phénomène d'hystérésis est mis en lumière dans des domaines très variés de la physique. En électronique tout d'abord, avec un montage « trigger de Schmidt » où un amplificateur opérationnel est utilisé en mode non linéaire. En optique ensuite, avec une porte logique réalisée à partir d'un interféromètre de Fabry-Pérot. La fin de cette sous-partie s'appuie sur une analyse graphique pour comprendre et expliquer le cycle d'hystérésis de l'intensité transmise en fonction de l'intensité incidente. En ferromagnétisme, où l'on se propose de trouver une méthode expérimentale permettant de mesurer le cycle d'hystérésis du fer d'un transformateur. En mécanique, enfin, avec l'étude des déformations d'un matériau soumis à des forces de torsion. · La seconde partie se compose de trois sous-parties. La première porte sur l'étude des mouvements d'une particule chargée dans un champ magnétique et ne pose pas de problème particulier. La deuxième traite du phénomène d'induction avec les effets conjugués des forces électromotrice et de Laplace sur un système à ressort plongé dans un champ magnétique. Cette deuxième sous-partie nécessite la résolution complète d'une équation différentielle du second ordre. La dernière présente l'effet Meissner et fait appel aux équations de Maxwell. Les questions portent ici sur l'interprétation des équations obtenues. Le premier problème, mis à part la sous-partie sur l'interféromètre, est d'une difficulté raisonnable. Il permet de vérifier ses connaissances dans de nombreux domaines de la physique. Le second fait principalement appel aux équations de Maxwell et laisse la part belle à l'interprétation des résultats. Indications A. Quelques phénomènes d'hystérésis en physique A.3 Utiliser le résultat de la question A.1. A.7 Penser à encadrer dans un premier temps les valeurs possibles de R. A.8 S'appuyer sur la périodicité et la parité de la fonction à étudier pour limiter l'intervalle d'étude. A.10 Réutiliser l'expression de It de la question A.9. À noter que, contrairement à l'énoncé, les résultats ne dépendent pas de . A.11 Mettre l'équation de la question précédente sous la forme It /I0 , et montrer que doit également vérifier l'équation obtenue à la question A.7. Poser = /I0 pour calculer les pentes des droites affines. A.13 Remarquer la similarité avec le cycle d'hystérésis de la première partie. A.16 Reconnaître l'expression de us obtenue à la question A.14 et ne pas oublier la constante d'intégration. A.17 Montrer qu'il est possible de construire une tension proportionnelle à M(t). A.19 Utiliser la loi de Lenz-Faraday pour exprimer la tension aux bornes du circuit primaire en fonction de B. B. Quelques effets des champs magnétiques B.5 Reconnaître les conditions de la question B.3. B.9 Remarquer que le courant résulte uniquement de la force électromotrice, utiliser le résultat de la question B.6 pour obtenir l'équation différentielle sur z. B.10 Calculer le discriminant réduit de l'équation du second ordre obtenue. Utiliser les deux conditions initiales sur z et dz/dt pour déterminer la solution. B.11 Se souvenir que la force de pesanteur dérive d'un potentiel pour appliquer le théorème de l'énergie cinétique. - B.13 Chercher à faire apparaître le laplacien de B en utilisant la relation -- - - - - - rot rot B = grad div B - B B.16 Donner une approximation de ch x lorsque x 1. - . B.17 Penser aux symétries du problème pour déterminer l'équation de A - Quelques phénomènes d'hystérésis en physique Hystérésis en électronique : trigger de Schmidt A.1 L'amplificateur opérationnel est supposé idéal, et fonctionne en régime non linéaire. Il vérifie la condition : s = +Vsat si V+ > V- . La borne d'entrée inverseuse est ici reliée à la masse, on obtient donc e(t) 2R R V+ s = +Vsat si V+ > 0 + - V- s(t) A.2 On applique la loi des noeuds à l'entrée non inverseuse de l'AO, en tenant compte du fait que le courant d'entrée i+ est nul. On obtient ainsi V+ - e V+ - s + =0 R 2R soit V+ = ou encore R 2R e+ s R+2R R+2R V+ = e + s avec 2 = 3 = 1 3 (1) A.3 On suppose que s(t = 0) = -Vsat . D'après la question A.1, la tension s(t) bascule à +Vsat lorsque V+ = 0, ce qui donne, en remplaçant dans l'équation (1), une tension d'entrée V1 telle que 0= soit 2 1 V1 - Vsat 3 3 V1 = 1 Vsat 2 De même, posons s(t = 0) = +Vsat . La tension de bascule est 0= soit 2 1 V2 + Vsat 3 3 1 V2 = - Vsat 2 On peut vérifier que lorsque la tension e est inférieure à V2 , on obtient dans les deux cas V+ < 0, soit une tension de sortie s égale à -Vsat . A.4 D'après les résultats précédents, on obtient la caractéristique s(e) ci-contre. s Vsat -Vsat /2 Vsat /2 e -Vsat Ce circuit permet ainsi de stocker un bit d'information : · lorsque la tension d'entrée e est inférieure à -Vsat /2, on « enregistre » la valeur -Vsat , ou un bit de valeur « 0 », lorsque la tension d'entrée e est supérieure à Vsat /2, un bit de valeur « 1 » ; · si aucune tension n'est appliquée en entrée, la tension en sortie représente la valeur du bit stocké. A.5 Pour un code binaire de n chiffres, le plus grand nombre que l'on puisse écrire est celui où tous les « bits » bk sont égaux à 1. On obtient ainsi l'équation Nn = n-1 P 1 × 2k = k=0 n-1 P 2k k=0 On reconnaît ici la série de 2k , ce qui donne Nn = 2n - 20 = 2n - 1 On cherche à enregistrer un code formé de 4 chiffres, soit un nombre compris entre 0 et 9 999. L'application numérique donne · pour n = 13, N13 = 8 191 · pour n = 14, N14 = 16 383 On a bien N14 > 9 999, et le montage doit donc contenir 14 circuits « trigger de Schmidt », chacun correspondant à un « bit », pour stocker un code de 4 chiffres. Ce circuit peut également être utilisé : · comme réducteur de bruit, lorsque l'amplitude du bruit crête à crête est inférieure à Vsat ; · pour comparer deux tensions, ce qui améliore le montage classique du comparateur simple en éliminant l'instabilité au seuil (système « anti-rebond ») ; · pour la numérisation d'un signal (la discrétisation de son amplitude, l'autre étape étant la discrétisation dans le temps, ou échantillonnage).