CCP Physique 1 PSI 2011

Thème de l'épreuve Sources en mouvement et « murs d'ondes »...
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, ondes mécaniques, optique géométrique et ondulatoire
Mots clefs équation d'Euler, paquet d'ondes, équation de d'Alembert, vitesse de phase, vitesse de groupe, réseau, facteur de démultiplication, mur de la caténaire, mur du son, sillage de bateau

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                                

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
        

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2011 PSIP103 A CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la précision et d la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'nonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. Les calculatrices sont autorisées Le sujet comporte 11 pages Sources en mouvement et « murs d'ondes ». .. Cette épreuve comporte quatre problèmes totalement indépendants et portant sur la physique ondulatoire et les phénomènes qui se produisent quand la source de l'onde se déplace. PROBLEME A : LE MUR DE LA CATENAIRE Le TGV a battu son propre record du monde de vitesse sur rail le 3 avril 2007 : 574,8 km/h. La tentative officielle de record s'est déroulée sur la nouvelle ligne Est européenne entre Paris et Strasbourg. Pour réaliser cet exploit, les ingénieurs de la SNCF ont dû tendre plus que d'habitude le câble électrique qui est suspendu au dessus des voies ferrées et que l'on appelle caténaire. 1/11 Equation de propagation d'une onde sur un câble On considère un câble de masse linéique ,u tendu entre deux extrémités A et B sous une tension?"() . Au repos, le câble est horizontal : on néglige la force de pesanteur devant la force de tension. Un ébranlement y(x,t) se propage le long du câble àla célérité v que l'on se propose de calculer. Pour cela, on isole une portion de câble de longueur ds comprise entre les points G et D (d'abscisses x et x + dx). Cette portion est soumise aux forces de tensions -- Î(x,t) et Î(x + dx,t). On appelle a(x,t) (resp. a(x+dx,t)) l'angle que fait la tension --Î (x, t) (resp. Î(x+dx,t)) par rapport à l'horizontale (figure 1). La corde reste dans le plan vertical au cours du mouvement. TÎÏ+dx,t) y /\ %"l'dX, î) \! x x+dx Figure 1 : déformation du câble A.1 Quelle est la masse, en fonction de dx notamment, du petit morceau de câble GD ? Sans calcul, décrire le mouvement de ce petit morceau. A.2 En projetant le principe fondamental de la dynamique (ou seconde loi de Newton) selon x et y, et en supposant que la déformation est petite (l'angle a(x,t) est très petit devant l radian), ÔZy Ôa(x,t) 2 : To _ Ôt Ôx montrer que : "Î(x,t)" = HÎ(x+ dx, t)" = T0 et ,u 2 2 A.3 En déduire que Ê%--v2â--Ï=O. On précisera l'expression de v. Que représente x physiquement cette grandeur ? Montrer que l'expression est dimensionnellement correcte. Tension d'une caténaire Dans cette partie, le câble est au repos. Il s'agit d'étudier la manière dont on le tend. A.4 Schématiquement, la caténaire est tendue entre deux poteaux par un ensemble de poids en béton identiques (chacun de masse M) comme indiqué par la figure 2. Le câble est de masse négligeable devant les masses M et il est inextensible. Les poulies sont de masse négligeable et peuvent tourner sans frottement autour de leurs axes. 2/11 \ Figure 2 : schéma de principe de la tension d'une caténaire Exprimer simplement la tension T0 de la caténaire en fonction de M et de l'accélération de la pesanteur g . En pratique, la tension est assez élevée : il faudrait des masses de béton élevées, ce qui coûte cher et est très encombrant. Il faut donc utiliser un système de « démultiplication des forces >> à l'aide de poulies. A.5 On considère le dispositif de la figure 3. Les deux poulies sont de masse négligeable et tournent sans frottement autour de leurs axes. La poulie n°1 est accrochée au support horizontal grâce à une tige (en trait épais). La masse d'épreuve K est solidaire de la poulie n°2 par l'intermédiaire d'une tige de masse négligeable (en trait épais). La masse M est soutenue par un fil de masse négligeable, inextensible, s'enroulant autour des deux poulies. Le système est à l'équilibre. Calculer K en fonction de M pour qu'il en soit ainsi. Définir le « facteur de démultiplication >> dans ce cas et donner sa valeur. \ \\ \\\\ \ \\\\\\\\\ W\ W >< k/ m M \J\J Figure 3 : palan à deux poulies Figure 4 : palan à six poulies 3/11 A.6 On considère maintenant le dispositif de la figure 4. Pour simplifier, on supposera que les brins de fil sont quasi verticaux (les angles par rapport à la verticale sont très petits). Calculer le facteur de démultiplication dans ce cas. On supposera que c'est ce type de palans qui est utilisé pour tendre la caténaire du TGV. Application à la caténaire du record de vitesse de 2007 Une caténaire de TGV est constituée d'un câble profilé de cuivre pur d'une section de 150 millimètres carrés, soutenu par un câble porteur en bronze. La densité du cuivre par rapport à l'eau est de 8,9. La tension du câble est de 2600 daN (decanewton). Le pantographe (dispositif situé au dessus de la locomotive) balaie la caténaire de façon à capter l'énergie électrique : il soulève la caténaire afin de créer un bon contact électrique. La caténaire adopte la forme d'un V renversé dont la pointe est soutenue par le pantographe. Lorsque le train se déplace, le V renversé se déforme et des ondulations sont transmises dans la caténaire. Cette dernière se soulève alors jusqu'à plus de 30 centimètres Les ingénieurs estiment que le TGV ne doit pas dépasser 97 % de la vitesse de propagation des ondes, pendant un court laps de temps, pour qu'il n'y ait pas de problèmes d'avarie. A.7 Calculer la valeur numérique de la masse linéique de la caténaire ainsi que la célérité des ondes transverses le long de la caténaire. A.8 Proposer deux solutions pratiques pour << repousser le mur de la caténaire >>. Quelle est la plus simple à mettre en oeuvre ? A.9 Pour réaliser le record de 2007, avec quelle tension minimale doit-on tendre la caténaire (tout du moins au niveau des endroits où le record aura lieu) ? Sachant que la caténaire est tendue par des palans à six poulies, quelle masse de béton a dû être rajoutée à l'extrémité de chaque palan ? Pour l'application numérique on prendra pour simplifier g = 10 m - s'2 . PROBLEME B : CÔNE DE MACH B.] L'air est composé en première approximation de 20 % de dioxygène et de 80 % de diazote. La masse molaire de l'oxygène est 16 g -mol'1 et la masse molaire de l'azote est 14 g - mol'l. Quelle est la masse molaire moyenne de l'air ? B.2 La célérité du son dans un gaz parfait dépend de la températureT , de la masse molaire M et de la constante R des gaz parfaits. Proposer, par analyse dimensionnelle, une relation donnant la vitesse du son dans le gaz. On écrira la célérité du son sous la forme (: = T "M " Rd où l'on précisera la valeur numérique des trois exposants a, b et d. B.3 En fait, dans la relation de la célérité du son, on doit multiplier la constante R par le coefficient numérique 1,4. Que représente ce coefficient numérique ? Pourquoi vaut-il 1,4 ? B.4 Application numérique : calculer la célérité du son en km/h pour de l'air à une température de -- 20°C. On rappelle que R = 8,31 ] - K"1 -mol'1 B.5 Considérons un avion de chasse volant à la vitesse mach 2 dans un air à -20°C. Cela signifie qu'il vole à deux fois la vitesse du son. Quelle est sa vitesse en km/h ? 4/11 B.6 Ce même avion génère des ondes sonores. On va supposer que ces ondes sont émises de manière isotrope dans le référentiel de l'avion et que l'avion est ponctuel. Ainsi tout se passe comme si l'on avait une source sonore ponctuelle. L'air dans lequel se propage le son est immobile. Comment peut-on qualifier géométriquement ces ondes ? B.7 L'avion se déplace à la vitesse v le long de l'axe des x. On prendra l'origine des temps à l'instant où l'avion passe par x = 0 . En quelle abscisse xr se trouvait l'avion à l'instant -- T ? Quel est, à l'instant t> O, le rayon de la surface d'onde sonore émise à l'instant --Z' par l'avion à l'abscisse xT . On exprimera ce rayon en fonction de T, t et de la célérité du son c . B.8 Le système possède une invariance par rotation autour de l'axe (Ox), il est donc intéressant d'utiliser les coordonnées cylindriques p,<9,x. Déduire de la question B.7 l'équation cartésienne de cette même surface d'onde. On mettra l'équation sous la forme p = f (x,t,r) de cette même surface d'onde. B.9 Si la vitesse v de l'avion est supérieure à la célérité c du son, l'énergie sonore va s'accumuler sur la surface enveloppe des surfaces d'onde décrites ci-dessus (voir la figure 5). Sphère émise à l'instant -t p/\ % v>< Avion à l'instant { Figure 5 : cône de Mach On admettra que la surface enveloppe doit vérifier le système d'équations suivant : f(xaïJ)=,0 (1) Ôf(x,t,r) : 0 (2) ÔZ' A partir de l'équation (2), exprimer ? en fonction de v, 6, x, [. Injecter cette relation dans l'équation (l) et montrer que, si v > c , alors l'équation de la surface enveloppe est: p = l// -- (vt -- x) où l'on donnera l// en fonction de v et c . B.10 En déduire que, si v > c , l'énergie sonore se concentre sur un cône de demi--angle au sommet ,6 dont on exprimera le sinus en fonction de v et c. B.11 Avec les valeurs numériques de la question B.4, calculer numériquement l'angle ,6 . 5/11 B.12 L'avion vole a la vitesse v a une altitude h. Un observateur P est sur la surface de la terre. Donner la relation reliant l'intervalle de temps At qui sépare les deux événements EUR] et 632 suivants : EUR] : l'avion passe au dessus de la tête de P, 632 : P entend le «bang » du mur du son. On exprimera l'intervalle At en fonction de h , v et c. PROBLEME C : LE SILLAGE DE LORD KELVIN Curieusement, un canard et un pétrolier créent un sillage de même forme dans l'eau (figure 6). De plus, l'angle de ce sillage ne dépend pas de la vitesse de l'objet qui se déplace. Figure 6 : photographie aérienne du sillage d'un pétrolier Ondes de gravité On rappelle l'équation d'Euler pour un fluide de masse volumique ,0 et non visqueux : p£Ê--î + (17 - grad)Ü) = pg -- gradP A l'équilibre, la surface libre d'une étendue d'eau, plane et horizontale (formant le plan 2 = O) sépare l'atmosphère (région 2 > 0 où la pression est uniforme et vaut PO) et l'eau, liquide supposé parfait et incompressible de masse volumique ,0 . L'étendue d'eau est très profonde (profondeur H très grande devant la longueur d'onde des ondes de gravité). On se propose d'étudier la propagation suivant la direction Ox d'une onde de gravité d'amplitude a très inférieure à la longueur d'onde/1 . La surface libre de l'eau est déformée par rapport a la surface à l'équilibre : cette surface a pour équation z = 5(x,t) (voir la figure 7). 6/11 Le champ de vitesse est à l'instant t dans le référentiel lié au fond du bassin : 17 = vx (x, Z, t)êx + VZ (x, Z, t)êz La pression au sein du liquide est P(x,z,t) = Pe(z) + fi(x,z,t) où Pe(z) est la pression du liquide à l'équilibre en l'absence de vagues et fi(x,z,t) désigne la perturbation de la pression par rapport à l'équilibre. Pour terminer, le champ de pesanteur est supposé uniforme : g = --gêz . "Z ë(Xfi) 0 /\ >x \/ \/ Figure 7 : ondes de gravité _» C.] A quelles conditions le terme (17- grad )17 est-il négligeable devant le terme ÔÔ--î ? On supposera ces conditions vérifiées pour la suite du problème. C.2 Que devient l'équation d'Euler dans le cas où le fluide est à l'équilibre ? En déduire le champ de pression Fe (2) . On se limite aux perturbations sinusoïdales du système. On utilise alors la notation complexe : È = f(z)efW_kxl , Q = Ü(z)ej(wt_kx), Ë(x,t) = aef(""_'") avec j2 = --1. C.3 En utilisant l'équation d'Euler et l'équation différentielle de conservation de la masse, montrer --> 2 que pÔ--L) = --gmdfi puis que LEZ) Ôt _ dz -- fl2f(z) = 0 où ,8 est un paramètre à exprimer en fonction de k (vecteur d'onde). C.4 Montrer alors que la perturbation de la pression réelle s'écrit ñ(x, z, t) = plekz cos (cat -- kx) où l'on ne cherchera pas à déterminer la constante p1 . C.5 En traduisant la continuité de la pression de part et d'autre de l'interface eau/air déformée et pl dans l'hypothèse où eka % l , montrer que a = . P g 7/11 _» C.6 En reprenant l'équation p% = --gradfi , montrer que la composante selon 2 du champ de t _ . 1 ' a) -- x \ . . . v1tesse vaut 122 = --_--h(z)ef< t k ) ou l'on exphc1tera h(z) en fonction de z, p1,k. _ ] 50,0 C.7 Quelle est la relation entre ê(x,t) et la composante selon 2 du gradient de champ de pression , . . , . a . , . , . a l'interface eau/air ? En dedu1re que a) = (g - k) ou l'on prec1sera la valeur numerique de a . C.8 Par analyse dimensionnelle, retrouver l'expression précédente w=(g-k)a en précisant la valeur numérique de oc. C.9 Exprimer la vitesse de phase et la vitesse de groupe des ondes de gravité en fonction de g et du vecteur d'onde k. Quelle est la relation simple qui relie la vitesse de phase à la vitesse de groupe ? Calcul de Lord Kelvin Intéressons-nous à un canard naviguant sur une eau très profonde à la vitesse v supérieure à la vitesse de phase des ondes de gravité. Un sillage en V apparait et suit le canard. L'animal se déplace le long de l'axe des x . C.10 A partir de la photographie de la figure 6, évaluer la mesure de l'angle du sillage en V. On expliquera la démarche suivie. C.11 Comment peut-on qualifier le sillage dans le référentiel qui suit le canard ? A l'instantr , une onde de pulsation a) arbitraire est émise par le canard au point A . On définit le point M comme étant le point où la «surface» de l'onde sera à l'instant t dans la direction de propagation Ë pour laquelle cette onde contribue au sillage en V. Il en résulte que a) = Ë -17 où 17 est le vecteur vitesse du canard dans le référentiel de la berge. C.12 Sachant alors que le canard est au point A à l'instant t et au point B à l'instant t > T (figure 8) --» lEUR . Aîâ -- . . -- - montrer alors que AM = £--)k . On se serv1ra de la relation a) = k -v , que l'on admettra. _.2 k . M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . / - - Figure 8 : construction de Kelvin En déduire le lieu des points M lorsque l'on fait varier a) . 8/11 C.13 Une vaguelette est formée d'un paquet d'ondes. Au cours de sa propagation, la vaguelette se déforme car toutes les ondes ne progressent pas à la même vitesse. A quelle vitesse se déplace alors le maximum de la vaguelette ? On rappelle que dans la question C.9 on a montré que la vitesse de groupe est proportionnelle à la vitesse de phase avec un facteur numérique inférieur à l'unité. En déduire alors que le lieu des points N correspondant au maximum du paquet d'ondes, de pulsation centrée en 00 arbitrairement choisie, émis en A à l'instant t et dans la direction de propagation Ë est un cercle de diamètre AB/2 et passant par le point A. On appellera FT ce cercle pour la suite. C.14 Si le canard est à l'abscisse vt à l'instant [, quels sont les rayon et abscisse du centre du cercle F émis à l'instant T < t . On rappelle que le canard avance àla vitesse v. T C.15 Le sillage est donc formé par l'enveloppe des cercles F émis à des instants ? différents. T (voir la figure 9 ci-après). Cercle FT émis à l'instant T )] l\ \, Canard à l'instant { \\\ 4.-- \ \ ' \ g \ | \. . ' .".l ( V, : "'. ' .." X B .' . . . . . ç . . . . o' . V %v (t-ï) Figure 9 : sillage de Kelvin Le sillage de Kelvin est donc un V qui avance àla vitesse du canard. Exprimer alors sin(%) . a l . . . , . , . , . sous la forme sm(î) = ; ou F est un entier a determiner. En déduire la valeur numerique de l'angle & . Comparer avec l'estimation de la question C.10. 9/11 PROBLEME D : EFFET DOPPLER Un réseau plan par transmission est formé de traits fins parallèles séparés d'une distance a. Le faisceau lumineux incident a une direction fixe et fait l'angle variable «90 avec la normale au réseau. Le réseau peut tourner autour d'un axe parallèle aux traits. Questions expérimentales D.] A partir d'une source lumineuse utilisée en TP (lampe à sodium par exemple), comment peut-on D.2 D.3 D.4 D.5 obtenir un faisceau de lumière parallèle ? On fera un schéma. Comment s'appelle le dispositif expérimental sur lequel on pose le réseau et permettant de mesurer des angles avec une grande précision ? Au travers de quel instrument d'optique peut-on observer directement le faisceau de lumière diffracté par le réseau ? On donnera un schéma de principe de cet instrument d'optique en précisant bien la disposition des lentilles entre elles. Tracer aussi la marche d'un rayon quelconque frappant la face d'entrée de la première lentille. On supposera les conditions de Gauss vérifiées. Le grossissement angulaire de l'instrument d'optique utilisé dans la question précédente est ! , . a . , . , . . , defin1 par G = -- ou a est l angle sous lequel on observe a l oe1l nu les rayons d1ffractes et a a' l'angle sous lequel on observe les rayons après traversée de l'instrument. Exprimer ce grossissement en fonction des distances focales des lentilles utilisées. On supposera les conditions de Gauss toujours vérifiées La mesure des angles sur le dispositif de D.2 s'effectue avec un vemier angulaire précis à la minute. On rappelle que 1 minute (notation : 1') correspond à 1/60°. La figure 10 présente une situation de mesure d'angle avec un vemier. Donner la mesure de l'angle à la minute près. Vernier O' 49 -" lO' l/l/\... / _ÿ/ /////?///ÿ/ÿ/////ÜW/ OO 100 20° Figure 10 : vemier angulaire, la coïncidence des graduations est indiquée sur la valeur 4' 10/11 Diffraction par un réseau en transmission D.6 On appelle «9k l'angle correspondant au maximum principal d'ordre k pour la longueur d'onde dans le vide xl . Etablir la relation entre «90, «9k , k , xl et a. On justifiera ce résultat en s'appuyant sur un schéma clair précisant les différents chemins optiques. D.7 On appelle Dk la déviation entre le rayon émergent et le rayon incident. Exprimer Dk en fonction de «90 et «9k. Effet Doppler en astrophysique : le décalage vers le rouge « red-shift » Lorsqu'une source lumineuse est en mouvement par rapport à un observateur, il y a alors une variation de la longueur d'onde perçue par l'observateur. Le décalage est appelé effet Doppler. On appelle xle la longueur d'onde émise et À, la longueur d'onde reçue sur Terre. Si (: est la vitesse de la lumière dans le vide et v est la vitesse radiale d'éloignement de la source par rapport à la Terre, 1+V/C . On donne 6 = 299792458 m-s_1. \/1--vZ/c2 on montre que : xl, = /le  -- . . D.8 On pose 5 = '" EUR . Cette quant1té représente l'écart relat1f en longueur d'onde. Dans le cas 6 . . . v . , ou v << (: , expr1mer au prem1er ordre en -- la quant1te 6 . (: D.9 Une lampe à hydrogène émet, dans le visible, les radiations de longueurs d'onde dans le vide données en nanomètres dans le tableau ci-dessous : Radiation H H H Ha & 5 7 }. (nm) 656,3 486,1 434,0 410,2 A quelles couleurs correspondent ces différentes radiations ? D.10 On s'intéresse à une nébuleuse formée principalement d'atomes d'hydrogène. Combien de traits du réseau doivent être éclairés pour pouvoir détecter un écart À, --Àe = 10_2 nm dans l'ordre 1 pour la radiation H fl ? A quelle vitesse se déplace cette nébuleuse par rapport à nous ? On rappelle la formule du pouvoir de résolution d'un réseau dans l'ordre k: À , . , . , -- = k - N ou N est le nombre de tra1ts ecla1res. A Fin de l'énoncé 11/11

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Physique 1 PSI 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tom Morel (ENS Cachan) ; il a été relu par Sandrine Ngo (ENS Cachan) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Ce sujet, composé de quatre problèmes indépendants, traite de quelques aspects de la propagation d'ondes lorsque la source est en mouvement. · Le premier problème étudie la propagation d'une onde sur la caténaire d'un TGV. En se plaçant d'abord dans un modèle simple de corde vibrante, les premières questions sont une application directe du cours. Ensuite, on caractérise l'influence de la tension de la caténaire sur la vitesse du train. · Le deuxième problème s'intéresse à l'onde de choc créée par des avions supersoniques, c'est-à-dire qui dépassent la vitesse du son. Après avoir établi l'équation de l'enveloppe des surfaces d'ondes sonores émises par l'avion, on en déduit l'angle du cône de Mach. Cette partie assez calculatoire ne requiert quasiment aucune connaissance en physique. · Le troisième problème traite du sillage créé par un canard. On étudie dans un premier temps l'onde qui se propage à l'interface entre l'air et l'eau ; dans un second temps, on aborde mathématiquement la propagation de la vaguelette sous la forme d'un paquet d'ondes pour en déduire l'angle d'ouverture du sillage. Ce problème est lui aussi proche des mathématiques appliquées, mais il fait également appel à des concepts importants de mécanique des fluides. · Une approche expérimentale de l'effet Doppler fait l'objet du dernier problème. On s'intéresse particulièrement à un dispositif optique de détection. Cette partie, qui repose sur quelques notions d'optique géométrique, s'éloigne un peu du cours et nécessite des connaissances plus expérimentales que théoriques. L'ensemble est de longueur raisonnable et de nombreux résultats intermédiaires sont fournis, ce qui permet de progresser même si l'on n'a pas résolu toutes les questions. Signalons une volonté du concepteur de ce sujet de proposer des parties plus mathématisées et d'autres plus orientées vers les concepts physiques mis en jeu, ce qui en fait une épreuve équilibrée. Indications Problème A A.2 Utiliser le principe fondamental de la dynamique pour l'élément de masse dm. A.3 Exprimer l'angle en fonction des petites variations dx et dy. A.5 Quelles sont les forces qui agissent sur le système ? A.6 Décomposer le palan à six poulies en palan à deux poulies. A.9 Utiliser le facteur de démultiplication du palan à six poulies. Problème B B.3 Penser à la thermodynamique. B.7 Sur quelle longueur l'onde, émise à t = - , s'est-elle propagée pendant un temps t + ? B.8 Écrire l'équation mathématique d'une sphère. B.9 Attention au signe de x - v t. Problème C C.2 À l'équilibre, il n'y a aucune perturbation donc pe = 0. C.5 Calculer la pression du fluide en z = a et évaluer la valeur de cos( t - k x) en considérant que l'amplitude de l'onde est maximale à cette altitude. C.12 Partir de la relation AM = v t et remplacer v par son expression trouvée à la question C.9 puis utiliser - = k ·- v - -- Exprimer le vecteur unitaire - i tel que AM = AM - i en fonction de k . Puis comprendre qu'un produit scalaire projette un vecteur sur un autre et en déduire le lieu des points M. C.13 Trouver où le point N se situe par rapport à M et utiliser le théorème de Thalès. C.14 Attention à bien situer l'origine du repère. Problème D D.6 Calculer le déphasage de deux rayons et utiliser la condition d'interférences constructives = 2 k avec kZ D.8 Faire un développement limité en v/c et ne garder que les termes d'ordre 0 ou 1. Sources en mouvement et « murs d'ondes »... A. Le mur de la caténaire Équation de propagation d'une onde sur un câble A.1 On s'intéresse à une perturbation y(x, t) qui se propage. Ainsi, par définition de cette dernière, les déplacements dans la direction y sont petits d'où y/x 1. La longueur ds de l'élément de corde compris entre les abscisses x et x + dx vaut s 2 p y 2 2 ds = dx + dy = dx 1 + x En se limitant à l'ordre 1 en y/x, on obtient ds dx. En notant µ la masse linéique du câble, la masse dm de la portion de câble de longueur ds s'écrit dm = µ ds µ dx Au repos, le morceau de câble GD est à l'horizontale. Un ébranlement vient perturber le système et cette perturbation déforme le câble. Ainsi, au moment où l'ébranlement arrive au morceau GD, ce dernier va subir un petit déplacement dans la direction y avant de revenir à sa position d'équilibre horizontale. A.2 L'élément de corde, de longueur ds dx, de masse dm µ dx est soumis à : - T (x + dx, t) · son poids que l'on néglige ; (x + dx, t) D · la tension de la portion de fil située à - droite du point D, soit T (x + dx, t) ; dy y(x + dx, t) · la tension de la portion de fil située à (x, t) G - - gauche du point G, soit - T (x, t). - T (x, t) y(x, t) x + dx x Le mouvement de la corde ayant lieu selon Oy, le principe fondamental de la dynamique appliqué à cet élément de corde s'écrit, - - 2y - ey = T (x + dx, t) - T (x, t) t2 Soit T la norme de la tension. Projetons sur les axes (Ox) et (Oy), 0 = (T cos ) (x + dx, t) - (T cos ) (x, t) 2 dm y = (T sin ) (x + dx, t) - (T sin ) (x, t) t2 La déformation étant petite, c'est-à-dire (x, t) 1, on a, en se limitant à l'ordre 1, dm = µ dx cos (x, t) = 1 sin (x, t) = (x, t) dm Le système d'équations se simplifie et on obtient 0 = T(x + dx, t) - T(x, t) 2 y (T ) µ dx = dx 2 t x La première équation implique - - k T (x, t)k = k T (x + dx, t)k = T0 Utilisons ce résultat et simplifions par dx dans la seconde équation, µ 2y = T0 t2 x A.3 D'après le schéma de la question A.2, l'angle (x, t) peut s'écrire simplement en exprimant sa tangente, c'est-à-dire y (x, t) tan (x, t) = x En remplaçant cette expression de (x, t) dans l'équation aux dérivées partielles de la question A.2, on obtient 2y 2y µ 2 = T0 2 t x r 2 2y T0 2 y d'où - v = 0 avec v = t2 x2 µ v est la vitesse de propagation de la déformation sur le câble. Vérifions que v a bien la dimension d'une vitesse. T0 est une force, donc s'exprime en kg.m.s-2 , µ est une masse linéique, par conséquent son unité est en kg.m-1 . Dès lors v 2 = T0 /µ est bien en m2 .s-2 . Ainsi, v est bien homogène à une vitesse. La perturbation y vérifie l'équation de d'Alembert : 2 2y 2 y - v =0 t2 x2 On rappelle que sa solution générale est la somme d'une onde plane progressive dans le sens des x croissants et d'une autre dans le sens des x décroissants, se propageant à la même vitesse v, y(x, t) = f (x - v t) + g(x + v t) Ce résultat n'est cependant valable que pour l'équation unidimensionnelle. En dimensions supérieures, la solution peut être une onde sphérique. Tension d'une caténaire A.4 En exprimant le principe fondamental de la dynamique (PFD) sur une des deux masses à l'équilibre, on a - - T0 + M- g = 0 donc, en norme, T0 = M g - T0 M- g