CCP Physique 1 PSI 2010

Thème de l'épreuve Clarinette et saxophone soprano. Quelques propriétés du four à micro-ondes.
Principaux outils utilisés acoustique, mécanique des fluides, mécanique, électrocinétique, électromagnétisme, ondes
Mots clefs onde stationnaire, instrument à vent, tuyau sonore, magnétron, cavité résonante, guide d'onde, clarinette, saxophone, four à micro-ondes

Corrigé

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SESSION 2010 PSIP103 A concours connus tonncauuoou EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans chaque cas, la numérotation de la question traitée. Le sujet comporte 9 pages PROBLEME A: CLARINETTE ET SAXOPHONE SOPRANO Aucune connaissance musicale n "est requise pour traiter ce problème. Dans tout ce problème, R : 8,31l-K" --mol"'l représente la constante des gaz parfaits. La clarinette a été créée vers 1700 par Johann. Christophe Denner à Nuremberg. La clarinette en. Si - bémol en est le modèle le plus commun (figure 1). Le tube de la clarinette est modélisé par un cylindre de longueur L fermé du côté de l'embouchure (à gauche) et ouvert du côté du pavillon ela ' (à droite). Il s'agit d'une approximation grossière qui a le mérite de préserver les caractéristiques physiques les plus importantes. En réalité, le tube de la clarinette n'est pas à section constante et le traitement mathématique est alors beaucoup plus compliqué. .. Figure 1 : clarinette et son modèle de tuyau cylindrique 2 O Lola SESSION 2010 PSIP103 A concours connus tonncauuoou EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans chaque cas, la numérotation de la question traitée. Le sujet comporte 9 pages PROBLEME A: CLARINETTE ET SAXOPHONE SOPRANO Aucune connaissance musicale n "est requise pour traiter ce problème. Dans tout ce problème, R : 8,31l-K" --mol"'l représente la constante des gaz parfaits. La clarinette a été créée vers 1700 par Johann. Christophe Denner à Nuremberg. La clarinette en. Si - bémol en est le modèle le plus commun (figure 1). Le tube de la clarinette est modélisé par un cylindre de longueur L fermé du côté de l'embouchure (à gauche) et ouvert du côté du pavillon ela ' (à droite). Il s'agit d'une approximation grossière qui a le mérite de préserver les caractéristiques physiques les plus importantes. En réalité, le tube de la clarinette n'est pas à section constante et le traitement mathématique est alors beaucoup plus compliqué. .. Figure 1 : clarinette et son modèle de tuyau cylindrique 2 O Lola Le saxophone a été breveté en 1846 par Adolphe Sax, en Belgique. Parmi les modèles utilisés aujourd'hui, on trouve le saxophone soprano en Si bémol (figure 2). Le saxophone est ouvert du côté du pavillon (à droite), mais il est quasiment fermé de l'autre coté (à gauche). Le tube du saxophone est approximativement conique. Nous allons modéliser le tube du saxophone soprano par un simple tuyau conique de longueur un peu plus grande que celle de la clarinette (soit L ) et d'angle au sax sommet oc . Figure 2 : saxophone soprano et son modèle de tuyau conique x +--------------------------------æ O LS(IX EQUATION DE PROPAGATION D'UNE ONDE SONORE DANS UN TUBE On considère un tube indéformable de longueur L, d'axe de révolution (OX) rempli d'air, supposé être un gaz parfait à la température moyenne ambiante 73 et à la pression R,. Soit ,00 la masse volumique moyenne de cet air. La section transverse du tube est une fonction de l'abscisse x: soit S(x) cette section (figure 3). :dx: Figure 3 : Petite tranche d'air dans un tube acoustique de section variable En présence de l'onde sonore, le champ de vitesse de l'air est le suivant: ü(x,t) : u(x, t) ëx où u(x,t) est faible. On note p(x, t) la masse volumique de l'air à l'instant t et à l'abscisse x. On supposera qu'en présence de l'onde sonore, la masse volumique de l'air s'écrit p(x, t) = po + p(x, [) où p(x, t) << ,00 et que la pression de l'air s'écrit P(x, t) : F0 + p(x, t) avec p(x, t) << PO. Bilan de masse sur un système ouvert On s'intéresse à l'air compris entre les sections d'abscisses X et X+ dX'. Ce système est ouvert. A.l Exprimer la masse dm(t) de ce système à l'instant ten fonction de S(X) notamment Même question pour l'instant t+ dt. A.2 Exprimer la masse âme de fluide entrant dans le système pendant la durée dt en fonction de p(x, {) , 5( X) et U(.X, t) . Exprimer aussi la masse 51118 de fluide sortant du système pendant la même durée. A.3 En se limitant à des termes du premier ordre, montrer que l'on obtient l'équation de 8,0 d(5u) z 0 conservation de la masse suivante : S(X)--ä-- + ,00 8 t X Equation du mouvement On. rappelle l'équation d'Euler régissant la dynamique des fluides parfaits : p(âu+ (ü grad) u]=----gradP 81 A.4 On appelle 'Z' la durée caractéristique de variation temporelle de la vitesse, L la distance caractéristique de variation spatiale de la vitesse et U l'ordre de grandeur caractéristique de la vitesse particulaire. A quelle condition sur U peut-on négliger le terme (ü - grad)ü devant le du terme -------- ? a: A. 5 A l'aide d' un développement limité à l'ordre 1, exprimer la quantité pO%Ë- en fonction de BMX0 BX A. 6 On 1appelle que le coefficient de compressibilité isentropique ,1g est égal a --(â----Ê] . Toujours P 5 à l'aide d'un développement limité à l'ordre 1, établir une relation entre p(x, {) , Z..» ,00 et p(X,t)_ Equations de propagation A.7 En combinant les résultats de A. 3, A. 5 et A. 6, montrer que. ' d'" p(X, t) --c .'°'(ê___ p(X, [) +(__ 1 )d5 8 p(X, ,t)] (équation El) 812 BX2 5(X) dX BX et que: 82u(X,t) d"u(x, t) 1. d5 dU(X, t)+ 1 d5 , . 812 C ( 8X2 +(S(X) dx) 8X +dX(... 5(X) dx] "(X' )] (equatlon EZ) Préciser l'expression de la constante c en fonction de ,00 et de ,1g.. A.8 En supposant que l'air est un gaz parfait, exprimer ,00 en fonction de la masse molaire de l'air notée M, de la pression & , de la température 73 et de la constante des gaz parfaits R. A.!) En supposant que l'air dans le tube subit une transformation isentropique, la loi de Laplace est vérifiée. Rappeler cette loi reliant les grandeurs pression P(x, t) et masse volumique p(x, t'). On introduira le coefficient d'atomicité ;! a C% où C P et CV sont les capacités thermiques V molaires de l'air respectivement à pression constante et à volume constant. Exprimer alors 15 en fonction de y et de H, . A.10 Donner alors l'expression de la constante (: en fonction de la température 13, de la masse molaire de l'air M _, de la constante des gaz parfaits R et du coefficient 7. Faire l'application numérique avec M == 29 g - mol"1 , ;! =1,4 et 75 correspondant à une température de 20 °C. ONDES STATIONNAIRES DANS UNE CLARINETTE Tous les trous de la clarinette sont bouchés. La clarinette est alors modélisée par un tube cylindrique de section 5 constante. A.11 Que deviennent les équations E1 et E2 obtenues àla question A.7 dans le cas de la clarinette ? Que représente alors la constante c'? A.12 Que valent la vitesse u(x,t) en X: 0 et la surpression p(x,t) en xx Lda '? A.13 On recherche des solutions stationnaires pour la surpression et la vitesse qui sont donc de la forme p(x, t) = f(x) - cos(æt) et u( x, t) = g(x) - sin(æt). Montrer que les fonctions f(x) et g(x) doivent être solutions d'une équation différentielle à préciser. A.14 On montre alors que la vitesse u(x, t) est une fonction du type u(x, t) = a1 sin(kx) - sin(oet) où u,_ est l'amplitude. Préciser l'expression de k. Vérifier que la condition limite en x = 0 est vérifiée. A.15 Déterminer alors complètement la fonction p(x, t) === f(x) - cos(æt) à l'aide des grandeurs po, u1 etc (on. pourra se servir de la question A.5). En déduire aussi que seules des ondes stationnaires de pulsations bien particulières peuvent exister dans la clarinette. A.16 Donner l'expression de la fréquence fl du mode fondamental existant dans la clarinette en fonction. de cet Lda . Donner aussi l'expression de la fréquence du premier harmonique. A.l7 La musique occidentale est basée sur la gamme tempérée chromatique suivante : D0 D0# Re Re'# Mi Fa Fa# 501 501# La La# Si Do Quand on passe du premier Do au deuxième Do, on dit qu'on est passé à l'octave (la fréquence de la note émise est multipliée par 2). En admettant qu'entre deux notes consécutives la fréquence est toujours multipliée par le même facteur &, évaluer ce facteur en l'écrivant sous la forme d'une puissance de 2. A.18 Sur la clarinette, il existe une clé au niveau du pouce appelée clé de douzième qui. permet d'enlever l'émission du mode fondamental, mais qui ne compromet pas l'émission du premier harmonique. Quand tous les trous de la clarinette sont bouchés et que l'on n'active pas la clé au niveau du pouce, on émet un son grave qui correspond à Ré (son réel entendu par une oreille). On active la clé, on émet alors un son plus aigu: par combien est multipliée la fréquence '? En déduire la note réelle entendue par une oreille. ONDES STATIONNAIRES DANS UN SAXOPHON E SOPRANO Tous les trous du saxophone sont bouchés. Le saxophone soprano est formé par un tube conique de hauteur L d'origine O et d'angle au sommet oc. A.19 Calculer la section S(X) en fonction de X et de 0t. A.20 Montrer alors que l'équation E.l obtenue àla question A.7 s'écrit aussi : 82p0 dans les champs E et B. 3.3 En partant du vecteur position OM , démontrer les expressions de la vitesse il et de l'accélération a en coordonnées polaires. B.4 En déduire les projections de l'équation différentielle de la question B.2 suivant à: et e: . B.5 Vérifierque --g--(r2 Ë--a)Lr 2)=O. dt dt B.6 Que vaut _'ÏÊ pour r : RC '? En déduire ËÊ_ en fonction des variables wL , r et RC . dt dt B.7 Préciser l'énergie mécanique d'un électron en fonction des variables 177, v, e et V0"). ') , . dr " . . . . En dedu1re (----) en tonetron des var1ables e,n1,r,Rc,wL et du potentiel V(r). dt B.8 Si le champ magnétique est trop élevé, les électrons ne parviendront pas jusqu'à l'anode : on dit qu'on a atteint la coupure. Quelle doit être alors la valeur maximale du champ magnétique pour que les électrons atteignent l'anode ? On exprimera cette valeur minimale en fonction des var1ables m, e, R,, RC et VA . Cavité résonante : Les cavités du magnétron sont analogues en radiofréquence à un circuit résonant LC. On ne considérera plus ici le faisceau électronique, et on s'intéressera seulement à la propagation sur une ligne électrique. Dans un plan de coupe du magnétron, la cathode est parfaitement circulaire, alors que l'anode est formée de N cavités régulièrement espacées. On peut donner dès lors un schéma équivalent de la ligne en tant que structure périodique comprenant des cavités résonantes identiques et équidistantes. Le schéma développé en ligne est donné par la figure 5. Les composants (L,C) représentent la cavité résonante et F , la capacité séparant l'anode et la cathode : n+l Figure 5 : schéma électrique de la ligne B.9 Trouver une relation entre un,un__1 et a... , la pulsation, &) et les valeurs des composants. B.10 On cherche une solution de la forme __L_1£ : _L_19_ exp( j (æt+ nça)) , où j est le nombre imaginaire pur tel que j2 = ---1 et où ne [LN]. En déduire le cosinus du déphasage ça entre deux résonateurs sous la forme cos(ça) =1------ f (a), L, CJ") . B.11 Compte tenu que la ligne circulaire est refermée sur elle--même, en déduire une condition sur (0 en fonction de N et d'un entier, p. Préciser les valeurs prises par p donnant des solutions distinctes. B.12 En déduire les pulsations de résonance, (up. Guide d'onde : Un guide d'onde permet de guider les ondes vers la cavité du four. On considère un guide de section rectangulaire & b avec a < b ( figure 6) dont la paroi. est supposée parfaitement conductrice. fffÆfffiflffffæfiffflfifffffff;' "' äïäääï'e'e'e'êä --;:#' f ;fi 3ä£ :'ïË' Æ" jî£ â f-Æ fÆffJf£f££ffi£ffifff£fiff££â'f'yat b Figure 6 : guide d'onde On rappelle les équations de Maxwell dans le vide : 1)dI-v( E)----() (2) Î&("Ë):-%Ê ... _. a'Ë 3)div( B==)O (4) rot(B)rz ,uOEUR 0 81" avec "080 02 =1 et où cest la célérité de la lum1ere dans le vide. On rappelle également : Æ(ÏBÏ(Z)) m grad(div(îl)) --AΠB.13 Etablir l'équation de propagation. vérifiée par le champ magnétique Ë. B.14 Rappeler quelles sont les composantes des champs qui sont continues à la surface d'un conducteur. 3.15 On recherche des solutions décrivant des ondes progressives dans la direction 02 de l'axe du guide. Ces solutions sont du type : E() (X, y) exp(jæt---- jkz) et B0 (X, y) exp(jæt--- jkz) où [( est le module du vecteur d'onde et j est le nombre imaginaire pur tel que j2 = ----l . Ecrire, en les justifiant les conditions aux limites pour E? ,sur la surface du guide pour : sur f1oe . 832 dans les plans y==0 et y: b a--y surfàce . 883 dans les plans x=0 et X: &. aX surface On n0oe Eux(X .:Y) Eo_Xy( y)9EOz(Xa}/)' OX(X,Y),BO},(X,y), 0Z(X,}/), les amplitudes complexes des composantes des champs. B.16 On note A(2 f== 82 {+ 82f 8X'" +ôy2 BOX,Ë£,BOZ,k,æ,£O et p.,. . En déduire A(2)Bo_ÿ,, A(2)BOX et A(2)BOZ en fonction de B.17 On étudie maintenant les solutions du type TE (transversale électrique) pour lesquelles .... .... .... .... BB , dB E:,(X, y) = O. Exprimer dÏV( B) = 0 et rot(B). EUR -------- fl080 ê--ê e en fonction de O" , OX , " dt BX dy BBQ}, , 8Ë921, k,BOZ. BX dy ' (2) aBOZ (2) algOz . En déduire que A B() O,} = a 8 et A BOX : a 8 où &: f (k) que l'on précrsera. En déduire à l'aide de 8.16, que les composantes complexes du champ magnétique vérifient B -- Jk 8802 et B --- jk 8302 ---'-'-- k' -------wZEO/JO 8X ----°ï k" ----w280u0 By , . . . ---------_-- ------ BB B.18 En dedu1re a part1r de mt(E) == ----âÎ' les composantes du champ électrique EO et _I_Ë21 en fonction des dérivées de BOZ . Conclure. IIIflX & b recherchée. Vérifier que cette solution satisfait aux conditions aux limites vues en B.15. B.19 Une solution de la forme BOZ(X,y)=B cos(££x]cos(££ ) , où (n,m)e N", est B.20 En déduire l'équation vérifiée par le nombre d'onde [( en fonction de a, b, m, n, a), 8... po . En déduire que seules les fréquences supérieures à V... peuvent se propager. On précisera V......- Que se passe--t--il. dans le cas contraire ? B. 21 Le four à micro- ondes annonce une fréquence V:: 2450 MHZ. Quelle se1ait la longueu1 d'onde dans le vide ? On donne la vitesse de la lumière (3---- 3X108 m. s B.22 Les dimensions du guide d'onde rectangulaire sont respectivement & = 34 mm et b = 72 mm. Quels sont les modes (n, m) susceptibles de se propager '? B.23 Quelle est alors la valeur numérique de k et de la vitesse de phase vw ? Commentaire. B.24 En déduire les composantes réelles du champ électrique Ë et du champ magnétique B dans ce cas particulier. FIN DU PROBLEME B FIN DE L'ENONCE

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 CCP Physique 1 PSI 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Jérôme Lambert (Enseignant-chercheur à l'université) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Ce sujet est constitué de deux problèmes indépendants, de longueurs équivalentes, qui abordent respectivement les ondes sonores et les ondes électromagnétiques. · Le premier problème traite de la physique de deux instruments à vent, la clarinette et le saxophone soprano. On établit l'équation de propagation d'une onde acoustique dans un tube, puis on analyse les solutions acceptables pour les deux instruments. L'énoncé est directif et fournit le seul résultat difficile à obtenir. Ce problème ne présente pas de difficulté majeure. · Dans le second problème, on étudie différents aspects du fonctionnement d'un four à micro-ondes. Tout d'abord, on décrit le magnétron, dispositif servant à générer les micro-ondes, à l'aide d'une étude des électrons d'un point de vue mécanique. Puis on précise les fréquences émises par ce système, à l'aide d'un modèle électrocinétique de cavités résonantes. Enfin, on s'intéresse à la propagation dans une cavité de l'onde électromagnétique émise par le magnétron. Si le début de ce problème reste relativement simple (il ne fait d'ailleurs appel qu'au programme de sup), il n'en va pas de même de la deuxième moitié (dernière partie). Beaucoup plus technique, elle nécessite du recul sur le cours. La physique des ondes tient donc une place importante dans ce sujet, qui est dans l'ensemble bien conçu. Le premier problème peut être utilisé à bon escient pour réviser l'acoustique. Quant au deuxième, il constitue un bon moyen de tester ses connaissances en électromagnétisme. Conseils du jury Le jury précise en préambule de son rapport qu'une « part non négligeable des points a été allouée à la présentation : encadrer ses résultats, souligner ses applications numérique, une écriture soignée à l'orthographe correcte, non grappillage de points. » On ne saurait que trop conseiller de suivre ces recommandations. Indications Problème A A.7 Injecter le résultat obtenu à la question A.6 dans l'équation de conservation de la masse. Pour éliminer u(x, t), dériver par rapport au temps, puis utiliser l'équation d'Euler linéarisée. Pour obtenir (E2), dériver l'équation (E1) par rapport à x et utiliser à nouveau l'équation d'Euler. A.9 Prendre la différentielle logarithmique de la formule de Laplace. A.12 Lorsque le tube est ouvert, la pression en sortie est égale à la pression atmosphérique. Que vaut alors la surpression ? A.15 Intégrer l'équation d'Euler linéarisée de la question A.5, puis appliquer la condition limite en x = Lcla . A.18 Quel est le rapport f2 /f1 ? Utiliser la question A.17 pour savoir combien de notes il faut alors franchir. A.19 On peut considérer l'angle petit. A.20 Développer le second membre de l'équation (E1) et comparer le résultat avec la formule proposée. A.22 Reprendre le raisonnement de la question A.13. A.23 Toutes choses égales par ailleurs, quel instrument produit le son le plus grave ? Problème B B.1 Le champ électrique est dirigé dans le sens des potentiels décroissants. Comment doit-il être orienté pour que l'électron quitte la cathode ? B.5 Développer l'expression proposée et utiliser la question B.4. B.6 Que vaut la composante orthoradiale de la vitesse en tout point de la cathode ? Intégrer l'équation obtenue à la question B.5. B.7 L'énergie mécanique de l'électron se conserve au cours de son mouvement. B.8 Un électron n'atteint l'anode que si sa vitesse radiale est non nulle en ce point. B.9 Remplacer les cellules (L, C) par leurs admittances équivalentes, puis utiliser le théorème de Millman. B.10 Que vaut le rapport un+1 /un ? B.15 Que vaut le champ électromagnétique dans un conducteur parfait ? Pour obtenir la condition portant sur Bz /y, projeter l'équation de Maxwell-Ampère sur l'axe (Ox), puis appliquer la condition de continuité sur le champ électrique. B.17 Projeter l'équation de Maxwell-Ampère sur l'axe (Oz), puis simplifier le résultat pour le mode TE. Dériver ensuite le résultat par rapport à x, ainsi que l'équation - obtenue à partir de div B = 0 par rapport à y. On peut alors éliminer B0x . B.18 Projeter l'équation de Maxwell-Faraday sur l'axe (Oy), puis sur l'axe (Ox). Que peut-on dire de B0z ? B.20 Comment s'écrit le champ magnétique si k 2 < 0 ? B.24 Pour le mode étudié B0z = Bmax cos ( y/b). Utiliser alors les questions B.17 et B.18 pour en déduire le champ électromagnétique complexe, puis prendre la partie réelle du résultat obtenu. A. Clarinette et saxophone soprano Équation de propagation d'une onde sonore dans un tube A.1 La masse dm(t) contenue dans le système ouvert { air compris entre les sections d'abscisses x et x + dx } de volume S(x) dx s'écrit dm(t) = (x, t) S(x) dx De même, à l'instant t + dt, dm(t + dt) = (x, t + dt) S(x) dx A.2 La masse me , qui entre dans le système pendant la durée dt, est celle qui est contenue dans le cylindre u(x, t) dt de base S(x) et de longueur u(x, t) dt. Autrement dit, me = (x, t) S(x, t) u(x, t) dt me ou encore - u me = ( S u) (x, t) dt S(x) Le même raisonnement appliqué à la masse sortant du système pendant dt conduit à ms = ( S u) (x + dx, t) dt x dx x + dx On peut également écrire que le débit massique entrant est égal au flux du vecteur densité de courant - = (x, t) - u (x, t) à travers la section S(x) : me = (x, t) u(x, t) S(x) dt ce qui redonne le résultat. A.3 La conservation de la masse entre les instants t et t + dt s'écrit dm(t + dt) = dm(t) + me - ms soit, en utilisant les expressions obtenues aux questions A.1 et A.2, [(x, t + dt) - (x, t)] S(x) dx + [( S u) (x + dx, t) - ( S u) (x, t)] dt = 0 et donc S(x) ( S u) dx dt + dx dt = 0 t x ( S u) + =0 t x En présence de l'onde sonore, (x, t) = 0 + µ(x, t) et la vitesse u(x, t) est faible. Développons le deuxième terme de l'expression précédente : ( S u) (S u) (µ S u) (S u) = 0 + 0 x x x x à l'ordre le plus bas en la perturbation. Finalement, on conclut ou encore S(x) S(x) (S u) + 0 =0 t x Il est imprécis de dire que la vitesse u est faible. En effet, il faut préciser par rapport à quoi : le fait de tronquer les expressions à l'ordre le plus bas en la perturbation constitue l'approximation acoustique. Celle-ci est valable tant que la vitesse est faible devant la célérité de l'onde. L'équation de conservation de la masse s'écrit localement + div ( - u) = 0 t En intégrant sur le volume de contrôle dx S(x) de taille macroscopique dans les directions y et z et en appliquant le théorème d'Ostrogradsky, on peut retrouver le résultat établi. A.4 L'accélération particulaire se compose : - u · du terme local dont l'ordre de grandeur vaut t w w - w w w uw U w t w · du terme convectif que l'on explicite pour l'écoulement considéré : -- u - (- u · grad ) - u = u(x, t) ex x Son ordre de grandeur est alors -- U U2 k(- u · grad ) - uk U L L On peut négliger ce dernier terme si w - w w -- uw w k(- u · grad ) - ukw w t w c'est-à-dire pour U L A.5 Dans l'approximation de la question A.4, l'équation d'Euler devient -- - u = - grad P t Projetons cette relation sur l'axe (Ox), sachant que P(x, t) = P0 + p(x, t) : u(x, t) P p(x, t) =- =- t x x On procède alors comme à la question A.3 pour obtenir u u u u = 0 +µ 0 t t t t au premier ordre en la perturbation. Finalement, on conclut 0 u(x, t) p(x, t) =- t x