CCP Physique 1 PSI 2009

Thème de l'épreuve Semi-conducteurs et jonctions PN. Le jeu de jokari.
Principaux outils utilisés mécanique du point, électrostatique, diffusion, mécanique des fluides réels
Mots clefs Drude, semi-conducteur, diode, Reynolds, frottements fluides

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 mou--5...-- e. " mm.--fifi ... amo--mum...-- ...mm Ëm3Ë - a:oËoËoe ËËÈ mu=o_:=u:.>dca u2:l£0v oeoe=cuzOU ' SESSION 2009 A PSIP103 CONCOURS (0MMUNS POlYTECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées *** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans chaque cas, la numérotation de la question traitée. *** Le sujet comporte 12 pages PROBLEME A : SEMI-CONDUCTEURS ET JONCTION PN Aucune connaissance sur les matériaux semi-conducteurs n 'est requise pour traiter ce problème. Dans tout ce problème, k B = 1,38 -10"23 J -- K"1 représente la constante de Boltzmann, N A = 6,02 - 1023 mol"1 représente la constante d 'Avogadro, et e = 1,6 -10"19 C représente la charge élémentaire. Modèle de Drude de la conduction électrique (1900) On considère un matériau conducteur dans lequel les électrons libres sont uniformément répartis dans le volume du matériau. On note ne le nombre par unité de volume de ces électrons . Les interactions entre les électrons sont négligées et celles entre les électrons et le réseau cristallin sont modélisées par une force de type frottement visqueux subie par chaque électron de masse m selon . . _. m --> ' , . --> . la relat10n vectorielle f = ----v ou 2' est une constante propre au matériau et v la Vitesse d'un *: électron dans le référentiel lié au matériau conducteur. Un champ électrique Ë est appliqué dans le matériau. On négligera le poids de l'électron devant les autres forces. A.1 Quelle est l'unité de 2" dans le Système International '? Justifier. Page 1 / 12 A.2 En appliquant le principe fondamental de la dynamique à un électron dans le référentiel lié au matériau et supposé galiléen, montrer que la vitesse d'un électron tend, en régime permanent, vers _» une constante que l'on précisera en fonction de E , m , r et e la charge élémentaire (9 valeur positive). A.3 En déduire l'expression du vecteur densité volumique de courant électrique L, en fonction de ----> E , e , m , ne et r . Donner alors l'expression de la conductivité électrique du matériau en fonction des paramètres précédents. A.4 Dans le cas du cuivre, chaque atome libère un seul électron qui participera à la conduction électrique. La densité du cuivre par rapport à l'eau est d = 8,9 , la masse molaire du cuivre est MCu : 63,5 g-mol'1 , et P... : lO'kg/m3 Donner l'expression littérale du nombre d'électrons de conduction par unité de volume ne en fonction de d, MC,, et de la constante d'Avogadro N A. Effectuer l'application numérique. Comparer avec la densité électronique du silicium, semi--conducteur très répandu, qui est de l'ordre de 1019 cm "3 à température ambiante. Résistivité du silicium en fonction de la température On réalise une pastille cylindrique de silicium comportant ne électrons de conduction par unité de volume. On mesure la résistance de cette pastille en fonction de la température et on en déduit la résistivité du silicium. A.5 Rappeler la relation existant entre la résistance R d'une pastille cylindrique de longueur EUR et de section S et la résistivité ,a du matériau. A.6 Un dispositif permet d'abaisser la température du silicium. On mesure la résistivité du silicium entre 4,2 K (température de liquéfaction de l'hélium) et 12 K. On relève le tableau de mesures suivant : ___" Montrer à l'aide d'une représentation graphique ou d'une régression linéaire, en utilisant la calculatrice, que la résistivité suit une loi du type : p(T ) : A-eB/T . Calculer B et A . Ne pas oublier les unités ! A.7 Evaluer la résistivité du silicium à 300 K. La comparer à celle du cuivre qui est de l'ordre de pc,, =10"8Q--m. A.8 D'après vos connaissances, quand on augmente (ou que l'on diminue) la température d'un métal comme le cuivre, comment varie la résistivité ? En est-il de même pour le silicium ? Page 2 / 12 A.9 En utilisant la formule du A.3, montrer que la densité électronique ne suit une loi dite de _ES Boltzmann, c'est-à-dire que ne =ng-ekBT où l'on ne cherchera pas à déterminer nf et où kB représente la constante de Boltzmann. On donnera la valeur numérique de la grandeur Es en électron-volt. En plaçant des impuretés dans un matériau semi-conducteur, on peut contrôler la résistivité électrique. Cette dernière varie de façon considérable en fonction de la concentration en impuretés : c'est le dopage. Les porteurs de charge Modèle de semi--conducteur : Pour comprendre la variation de la résistivité du silicium avec la température, il faut admettre que les électrons dans le silicium ne peuvent être que dans << deux états » : soit ils sont libres (électrons conducteurs), soit ils sont liés (électrons de valence). Pour qu'un électron passe de l'état lié à l'état libre, il faut lui fournir de l'énergie. Il laisse alors une place vacante dans l'ensemble des électrons liés : c'est ce qu'on appelle un trou. A.10 Que vaut la << charge électrique >> d'un trou en fonction de la charge élémentaire e ? On montre que le mouvement collectif des électrons de valence (très nombreux) peut être décrit par celui de l'ensemble des trous (beaucoup moins nombreux). De ce point de vue les trous peuvent être assimilés à des porteurs de charge indépendants et distincts des électrons de conduction. On note n le nombre d'électrons conducteurs par unité de volume et p le nombre de trous par unité de volume. On admettra que le produit n -p est une constante, notée n,2 , dépendant de la température et du matériau : n -- p = nf . A.11 On parvient à fabriquer un matériau semi-conducteur à base de silicium dans lequel quelques atomes de bore (symbole B) ou de phosphore (symbole P) se substituent à des atomes de silicium, et ce, de manière uniforme sur tout le volume du matériau. On parle de dopage au bore ou au phosphore. Soit N B (respectivement N P) la densité volumique d'atomes de bore (respectivement de phosphore) présents dans le matériau . On donne un extrait du tableau périodique des éléments : H He Li Be B C O F Ne Na Mg Al Si P S Cl Ar Figure 1: extrait du tableau périodique Combien d'électrons de valence maximale possèdent le silicium, le bore et le phosphore '? On admet que le phosphore perd un électron : quel ion est formé '? On admet que le bore gagne, quant à lui, un électron : quel ion est formé '? Page 3 / 12 A.12 Dans le cas du dopage au phosphore, augmente--t-on la densité d'électrons ou de trous ? Sachant que le matériau est électriquement neutre, que vaut la somme p + N P en fonction de n ? En se ra elant ue n- = 11.2, calculer n et dans le cas où n << N . Com arer n à . On PP q 17 1 P 1 P P P parle alors de dopage N. A.13 Par analogie avec la question précédente, donner l'expression de n et p dans le cas du dopage au bore avec n, << N B . On parle de dopage P. Electrostatique d'une jonction PN à l'équilibre Lorsqu'un semi--conducteur présente, dans une région très localisée de l'espace, une variation très brutale de la concentration en dopant, voire un changement de la nature du dopant, on dit que l'on a une jonction. Au voisinage de la jonction, dans une région dite << zone de charge d'espace », le cristal acquiert une distribution de charge électrique non nulle que l'on se propose d'étudier. Les propriétés qui en résultent sont à la base de la caractéristique des diodes, des transistors et de tous les circuits intégrés. A.14 On supposera que dans le silicium on peut encore appliquer les lois de l'électrostatique à condition de remplacer 80 par 8 = 80 °8,. où 8, est la permittivité relative du silicium. On suppose que la densité volumique de charge pC autour d'une jonction située dans le plan x = 0 a l'allure suivante : Si x<----L1 pc=O Si --L,O Si L2L2»P1 etp2. On admettra que, en dehors de la zone de charge d'espace, le champ électrique est nul en tout point d'abscisse x telle que x < --L1 et x > L2 A.15 Rappeler l'équation de Maxwell -- Gauss où l'on remplacera 80 par 8 = 50 -5,. Déterminer alors le champ électrique en tout point M appartenant à la zone de charge d'espace (-- L1 < x < L2 ). On distinguera entre les diverses régions de l'espace suivant les valeurs de x. Représenter graphiquement l'allure de la composante selon x du champ électrique en fonction de x. Page 4 / 12 A.16 En déduire l'expression du potentiel électrostatique V dans les différentes régions de l'espace. On choisira l'origine des potentiels dans le plan x = O. Représenter graphiquement V en fonction de x. A.17 Donner l'expression de la différence de potentiel V, : V(L,)--V(-- L,) entre deux points situés de part et d'autre de la zone de charge d'espace en fonction de p1 , L1 , L, et 5 . A.18 La région (x > 0) a été dopée avec du phosphore à raison de N, = 1,6 - 1021 atomes P par m3 , tandis que la région (x < 0) a été dopée avec du bore avec un nombre d'atomes B par unité de volume N1 >> N,. Dans la zone de charge d'espace, chaque atome P est ionisé en P+. Les électrons ainsi libérés traversent spontanément le plan (x = O), et chaque atome B situé dans la zone de charge d'espace, capte un électron se transformant ainsi en ion B'. On a réalisé une jonction PN. En déduire ,01 et p, en fonction de e (la charge électrique élémentaire), N1 et N,. Comparer L1 à L, avec la condition N1 >> N,. En déduire l'expression, en fonction de L, , de la largeur totale de la zone de charge d'espace, que l'on appellera ô. A.19 Le système ainsi constitué est une diode à jonction dont la tension seuil est voisine de V0 . En déduire une expression approchée de la largeur 5 de la zone de charge d'espace en fonction de 8, V,, e et N,. On donne: VO =O,3V & =1,4-10"10 F-m'1 ete =1,6-10'19C. Calculer la valeur numérique de 8. Diffusion de porteurs dans une jonction PN On réalise la même jonction que précédemment : Diffusion des électrons Figure 3 : Diffusion d'électrons et de trous dans la jonction Page 5 / 12 Par diffusion, les électrons vont se déplacer vers la gauche, se recombinant avec les trous, créant ainsi des charges négatives à gauche de la jonction (et donc des charges positives à droite). Un champ électrique va donc se créer comme on l'a vu précédemment. A.20 En notant n(x) le nombre d'électrons par unité de volume en fonction de l'abscisse x, donner l'expression du vecteur densité de courant de diffusion à partir de la loi de Pick. On note Dn le coefficient de diffusion des électrons dans le milieu. En déduire l'expression du courant électrique résultant de cette diffusion. On note e la charge élémentaire. On se propose de trouver une relation entre le coefficient de diffusion D,, et la température du milieu (relation d'Einstein). Pour cela, supposons qu'un électron soit soumis en plus de la force _» m _» ' --> f = ---- a une force F constante dans le temps. T A.21 Quelle est la vitesse atteinte par l'électron en régime permanent ? Nous considérons alors une tranche de semi--conducteur de type N, de surface droite S et comprise entre les plans x et x+dx. Dans cette tranche, la densité d'électrons est toujours n(x). Les électrons à gauche du plan x exercent une pression P(x) sur la tranche, et les électrons à droite exercent une pression P(x + dx) . A.22 En déduire la composante dFP selon x de la force de pression s'exerçant sur la tranche en fonction de S , dx et did?) . A.23 Si on assimile le gaz d'électrons à un gaz parfait, quelle est la relation entre P(x) , n(x) , kB et T ? On rappelle que pour la constante des gaz parfaits, on a la relation R = k B --NA. A.24 En déduire alors la vitesse limite atteinte par les électrons soumis à cette force de pression et montrer que l'on retrouve la loi de Pick avec un coefficient de diffusion D,, , dont on donnera l'expression en fonction de k B , T, r et m la masse de l'électron. A.25 Quelle est alors, en fonction de n(x), e, r, m, D,, , l'expression de la densité volumique de courant électrique total , somme du courant lié à la diffusion et du courant électrique vu dans le modèle de Drude (voir question A.3) pour le déplacement des électrons sous l'effet du champ électrique E = --E ex . Pourquoi ce champ électrique est orienté dans le sens x < 0 ? Potentiel de diffusion d'une jonction PN à l'équilibre A l'équilibre thermodynamique, il n'y a plus de courant électronique : la diffusion est contrecarrée par le champ électrique créé dans la zone de charge d'espace. Page 6 / 12 A.26 En partant de l'expression de la densité de courant totale de la question A.25, donner l'expression de Ll--de en fonction de m,r,Dn,e,n(x=Lz) et n(x=--Ll) à l'équilibre 2 thermodynamique. A.27 Que valent n(x : L2 )et n(x : --L1) en fonction de N1 et N 2 ? On rappelle que n - p : nf et que dans la zone << type P » la densité en dopants est N1 et dans la zone << type N » la densité en dopants est N 2. A.28 En partant de la réponse à la question A.27, donner la relation entre la différence de potentiel 2 n . l . . N N V(LZ)-- V(-- L1) en fonctron de kB , T , e et la quantité ln( 1 2 ] . La quantité V(L2 ) -- V(---- L.) est appelée potentiel de diffusion. Jonction polarisée en direct ou en inverse On porte la zone N à un potentiel VN et la zone P à un potentiel VP . On pose U : VP -- VN A.29 Dans le cas où U est >O , le potentiel de diffusion est-il augmenté ou abaissé '? En déduire si un courant électrique s'établit ou non. Même question pour U < 0. A.30 La caractéristique courant-tension d'une diode à jonction PN est la suivante : IE! 1 Figure 4 : caractéristique d'une diode Recopier sur la copie le schéma suivant de la diode et préciser la zone N et la zone P. Zone: Zone: /---A'_\f'*'\ Figure 5 : diode PN et zones P/N FIN DU PROBLEME A Page 7 / 12 PROBLEME B : LE JEU DE JOKARI Préambule : Ecoulement sur un obstacle -- Formule de Stokes On s'intéresse à l'écoulement d'un fluide incompressible de viscosité 77 et de masse volumique p autour d'une sphère de centre O de rayon R à très faible nombre de Reynolds (Re << 1). On R pv 77 volumique du fluide et 77 la viscosité. Dans ce problème, la pesanteur est négligée. On note rappelle que le nombre de Reynolds est Re : où v est la vitesse de la sphère, p la masse _-->--p (ex,ey,ez) la base assoc1ée au repère (0, x, y, 2). ligne de champ de vitesse _-- __- plan perpendiculaire & Oz y ." L'angle 9 est l'angle entre OM et EUR; et l'angle ça est l'angle entre 5% et &; , vecteur unitaire de l'axe OX, m étant le projeté orthogonal de M dans le plan (O,x,y). A une distance 2 très grande devant R , la pression est notée p... l'écoulement est uniforme et la vitesse vw est parallèle à l'axe Oz : voo : vo0 ez . Cet écoulement permanent est caractérisé dans un repère sphérique (O,e,,e6,eæ) par un champ de vitesse v=v(r,9,(p) et un champ de pression p = p (r, 9, ça) qui vérifie l'équation de Navier-Stokes, p{Æ) = --gradP + "Ai--5 Dt On rappelle que Æ(ÆÏZ) = grad(dîvî£l)-- A2 ; div(ÆÎËl) : O ; div(gradf) : Af Page 8 / 12 B.1 Quelle est l'unité du nombre de Reynolds Re dans le Système International '? On justifiera par une analyse dimensionnelle. B.2 Rappeler dans le cas général, l'équation locale de conservation de la matière. Que devient cette relation dans le cas d'un fluide incompressible '? B.3 En comparant les différents termes de l'équation de Navier-Stokes, montrer que cette dernière peut approximativement s'écrire gradP : " Ai? . B.4 En déduire que le laplacien de p vérifie Ap : O . B.5 Justifier que la pression p est indépendante de la variable ça et préciser la direction de la résultante des forces pressantes F sur la sphère. â nvoeR cos 9 2 r2 On rappelle qu'en coordonnées sphériques, @ 2 Af=-ä- Ê-(ÏZÊJÎ') + 2 1_ --Ô-- Sifi9 (f) +__2_1_2__Ô f r ôr ôr r s1n9 89 69 r sm 9 êça' B.7 En déduire la résultante des forces pressantes F;. L'élément de surface sur une sphère de rayon R est dS : R2 sin(9) d9 dça . B.6 Vérifier que p = p,() -- est solution de l'équation de la question B.4. _ B.8 Sachant que la résultante des forces visqueuses vaut FV : 47mR voe , en déduire la force totale subie par la sphère. Résistance à l'avancement Considérons maintenant une sphère de vitesse v , de rayon R en mouvement uniforme dans un fluide de viscosité 77 et de masse volumique p . B.9 On cherche à déterminer la traînée exercée sur la sphère. Cette force exercée par le fluide sur la sphère est fonction de v, R , p et R,. La force de traînée peut se mettre sous la forme : F =%Cx (R,)Rav'p où Cx (R6) représente une fonction de Re et (X,}! etÀ sont des entiers naturels. Par une analyse dimensionnelle, déterminer les nombres &, y et À . B.10 Dans le cas d'un écoulement rampant, (Re < 1) , nous obtenons la loi dite de Stokes : _} F : --67ran . Préciser alors la valeur de C x en fonction de Re . B.11 Que devient cette force pour un fluide parfait ? Page 9 / 12 Le jeu de Jokari : étude à une dimension Le Jokari est un jeu qui se joue à deux ou seul. Il est composé d'une balle en caoutchouc de masse m attachée à un socle par un élastique, permettant ainsi à la balle de revenir. On frappe la balle avec une raquette en bois. L'élastique sera assimilé à un ressort de raideur k et de longueur à vide KO. L'effet de l'élastique ne se produit que si la longueur de l'élastique est supérieure à ÆO, c'est-à-dire l'élastique tendu. Le socle sera placé sur le sol en un point O pris comme origine. L'étude du mouvement s'effectue dans le référentiel terrestre assimilé à un référentiel galiléen. On note g le champ de pesanteur terrestre supposé constant et uniforme. On désigne par (0, x, y, 2) le repère orthonormé direct lié à la terre, l'axe Oz étant dirigé suivant la verticale ascendante. On modélisera la balle par un point M. Données et notations : _-->--) o Coordonnées du point M, (x, y,z)dans la base (ex,ey,ez) ; . longueur àvide, &, ; . masse de la balle, m ; . raideur de l'élastique, k; . viscosité de l'air, 77 = 1,8-10'5 Pa-s ; 0 vitesse initiale de lancement, vo ; . hauteur initiale de lancement, h = 1 m : . rayon de la balle en caoutchouc , R = 2 cm ; o le champ de pesanteur terrestre, E, : g 0 = 9,8 m -- s'2 . A l'instant initial, t= O , on lance la balle M avec une vitesse v; suivant l'axe Oz ascendant et à une hauteur h (h < [0 ). On néglige dans cette partie tout frottement. B.12 Quelle doit être la vitesse minimale VO,... pour que l'élastique se tende '? Etude pour VO < VO,min B.13 Dans l'hypothèse où vo < V0,min , donner l'expression de la vitesse VZ (t) : dz/dt à un instant t donné. En déduire la position z(t). Préciser les expressions de la vitesse vs et de l'instant ts quand la 2 v 2h masse touche le sol. On posera 52 : ---°2-- +-- . go go B.14 En déduire une expression de z en fonction de VZ , vo et h. Quelle est la nature de la courbe obtenue '? Comparer cette expression à celle des courbes de niveau de l'énergie mécanique. En déduire une autre expression de z en fonction de go , v, et V, . Page 10 / 12 B.15 L'espace des phases est un plan où l'on porte en abscisse z et en ordonnée vZ : dz/dt. Tracer la courbe correspondante dans l'espace des phases pour te [O,ts]. On précisera les points remarquables. B.16 Quand la balle touche le sol, on admet que la vitesse se transforme instantanément, en Ü(tS+) : +evs 52 où 6 est un coefficient de restitution 0 < 6 < 1 . On prend une nouvelle origine des temps et on pose t' = t --î,. Exprimer la nouvelle vitesse vZ ([ ') et la nouvelle position z(t ') . En déduire l'expression z en fonction de go , VZ , e et V, Comparer au résultat précédent. B.17 On représente ci-dessous la trajectoire dans l'espace des phases après plusieurs rebonds : V Z Reproduire ce graphique sur la copie en y précisant le sens de parcours. Pourquoi a--t-on des tangentes verticales sur l'axe des 2 '? Par quelle propriété graphique se traduit la conservation de l'énergie ? Quelle propriété présentent ces courbes les unes par rapport aux autres '? B.18 On tient compte maintenant de la force de traînée. La résistance de l'air sur la balle de rayon R et animée d'une vitesse v se traduit par une force qui en norme vaut f = ,6 v2 où ,B est une constante. On lance toujours la balle de masse m d'une hauteur h avec une vitesse v0  

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Physique 1 PSI 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Rémy Hervé (Professeur agrégé en école d'ingénieur) ; il a été relu par Olivier Frantz (Professeur agrégé) et Vincent Freulon (ENS Ulm). Ce sujet se décompose en deux problèmes indépendants abordant des thématiques très différentes et couvrant ainsi un large pan du programme. Le premier problème se consacre à une étude des semi-conducteurs et à leur utilisation pour réaliser une diode. Il se décompose en sept parties, partant de considérations générales très proches du cours sur la conduction, pour aller vers une description détaillée du comportement des semi-conducteurs dans une jonction PN. Ainsi, à partir du modèle de Drude et de résultats expérimentaux sur la conduction dans un semi-conducteur, on met en évidence la spécificité de la population électronique de ces matériaux en la comparant à celle de conducteurs. On introduit alors le principe du dopage qui vise à altérer la population électronique des semi-conducteurs par l'insertion de nouveaux atomes. Le reste du problème est consacré à l'étude d'une jonction réalisée à l'aide de deux semi-conducteurs dopés différemment : une modélisation simple permet d'abord d'obtenir une description des champs électriques dans la jonction ; puis, une étude approfondie de la diffusion des électrons permet de mieux cerner les mécanismes dynamiques à l'oeuvre et d'établir le lien avec le comportement d'une diode à jonction. Ce problème s'avère riche et bien formulé, permettant d'aboutir à une description assez fine des diodes à jonction PN en abordant successivement des éléments de mécanique du point, d'électrostatique, de diffusion des particules et, dans une moindre mesure, d'électrocinétique. Très peu calculatoire, ce problème nécessite surtout une bonne maîtrise tant des lois et méthodes du cours que de leurs implications. Le second problème prend le prétexte du jeu de Jokari, qui ne sera finalement jamais traité, pour s'intéresser aux forces de frottement fluide et à leur effet sur le mouvement. Il comporte essentiellement trois parties. Les deux premières consistent en une étude simplifiée de l'écoulement d'un fluide autour d'une sphère pour les faibles nombres de Reynolds, afin d'aboutir à une description de la force de frottement subie par la sphère dans ce régime. Cette étude est menée en grande partie à l'aide d'analyses dimensionnelles et suppose de bien connaître les manipulations du nombre de Reynolds et l'estimation de l'ordre de grandeur de termes analytiques. La troisième partie est consacrée à l'étude du mouvement de chute libre d'une balle en l'absence puis en présence de frottements fluides. Elle est l'occasion de s'assurer de la maîtrise du principe fondamental de la dynamique et du théorème de l'énergie mécanique, ainsi que de manipuler un outil graphique intéressant, fréquemment rencontré dans les concours : les diagrammes de phase. Nettement plus calculatoire que le précédent, ce deuxième problème est en revanche plus guidé et moins exigeant dans les concepts abordés ; cependant, les calculs peuvent être sources de nombreuses erreurs. Indications Problème A A.2 Supposer que le champ électrique est constant et uniforme. A.3 La conductivité électrique est définie par la relation - - el = E A.4 Par définition de la densité : d = Cu /eau . L'expression demandée fait également intervenir eau . A.6 Représenter ln en fonction de T-1 . A.9 Un électronvolt est l'énergie cinétique acquise par un électron soumis à une différence de potentiel électrique de 1 V, soit 1 eV = 1,6 · 10-19 J. A.12 L'électron libéré par le phosphore devient un électron de conduction. Obtenir une équation du second degré en p et la résoudre avant d'utiliser l'approximation proposée. A.13 L'électron capté par le bore est un électron de valence d'un atome de silicium voisin, pas un électron de conduction. A.14 Considérer la charge contenue dans un volume de section constante s'étendant d'un bout à l'autre de la jonction. A.18 Dans chaque zone, la charge volumique n'est due qu'aux ions. A.24 Étudier le système constitué de l'ensemble des électrons de conduction présent dans la tranche considérée en supposant qu'ils ont tous la même vitesse - v. A.26 En L2 et -L1 , la diffusion n'a pas eu lieu. Les semi-conducteurs sont tels que décrits aux questions A.12 et A.13. A.29 Un courant peut s'établir si le potentiel de diffusion permet le passage des électrons de la zone N à la zone P. Problème B B.3 Estimer l'ordre de grandeur des termes convectifs et visqueux. B.11 La viscosité d'un fluide parfait tend vers zéro. B.14 Pour la dernière question, utiliser le théorème de l'énergie mécanique entre les instants t et ts . B.17 Pour expliquer les tangentes verticales, considérer le vecteur tangent à la trajectoire dans l'espace des phases. Pour la conservation de l'énergie, considérer les propriétés d'un système conservatif lorsque l'on renverse l'axe du temps. B.18 L'analyse de la première partie a été faite pour Re 1. B.20 Utiliser la propriété dz dvz dvz = dt dt dz A. Semi-conducteurs et jonction PN A.1 Une force est homogène au produit d'une masse par une accélération soit - ML [f ] = 2 T ML - Or, [m v ] = T M L/T =T donc [ ] = M L/T2 est homogène à un temps. Il en résulte que L'unité S.I. de est la seconde (s). - A.2 Le poids étant négligé, l'électron est soumis à la force de Lorentz -e E associé au champ électrique (avec -e la charge de l'électron) et à la force de frottements visqueux. Le principe fondamental de la dynamique s'écrit alors - d- v m- m = -e E - v dt 1 e - d- v + - v =- E soit, sous forme canonique, dt m Il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 en - v . L'équation homogène associée, d- v 1 - + - v = 0 dt admet des solutions générales de la forme - - v(t) = A e-t/ h - où A est un vecteur constant. Par ailleurs, en supposant le champ électrique uniforme et constant, l'équation inhomogène admet la solution particulière constante e - - vp (t) = - E m Les solutions générales de l'équation sont donc de la forme - e - - v (t) = - vh (t) + - vp (t) = A e-t/ - E m Après un régime transitoire d'une durée de quelques , le terme en exponentielle tend vers zéro. La vitesse de l'électron tend alors vers la constante e - - v =- E m L'énoncé ne précise pas explicitement que le champ électrique est uniforme et constant. Toutefois, cette hypothèse est indispensable pour pouvoir conclure. Plus précisément, le champ n'a pas besoin d'être réellement uniforme et constant ; il suffit qu'il varie lentement sur des échelles de temps 0 et d'espace 0 permettant l'établissement du régime permanent, soit 0 et v 0 En pratique, ces dernières hypothèses sont toujours vérifiées, étant de l'ordre de 10-15 s et v de l'ordre 0,1 mm.s-1 . Le jury précise dans son rapport qu'« il n'était pas nécessaire de résoudre complètement l'équation différentielle puisque seule la vitesse limite était demandée. » L'énoncé présente toutefois une ambiguïté sur ce point puisqu'il précise de « montrer que la vitesse d'un électron tend (...) vers une constante », ce qui suppose a priori de vérifier l'existence d'un régime transitoire évanescent, une solution constante pouvant exister sans pour autant être jamais atteinte. A.3 Le vecteur densité volumique de courant électrique est défini par - = -e n - v el e e 2 ne - - E el = m soit De la définition de la conductivité électrique , - - el = E on déduit alors = e 2 ne m A.4 Chaque atome de cuivre libérant un électron, la densité volumique d'électrons est égale à la densité volumique du cuivre donnée par Cu nCu = NA MCu où Cu est la masse volumique du cuivre. Par ailleurs, la densité du cuivre étant définie comme le rapport de sa masse volumique à celle de l'eau, on obtient ne = NA d eau = 8,4 · 1028 m-3 = 8,4 · 1022 cm-3 MCu La densité électronique du cuivre est beaucoup plus grande (près de quatre ordres de grandeur) que celle du silicium. Prendre garde ici : le fait que l'énoncé ne mentionne pas eau ne veut pas dire que le résultat n'en dépend pas. A.5 La relation liant R aux paramètres et S ainsi qu'à la résistivité est R= S Le jury souligne que cette expression doit être connue.