CCP Physique 1 PSI 2008

Thème de l'épreuve L'entropie dans le système respiratoire. Effet de peau dans divers domaines.
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, thermodynamique, électromagnétisme
Mots clefs effet de peau, conduction, chaleur, onde de chaleur, onde de cisaillement, fluide visqueux, équation de Navier-Stokes, écoulement de Poiseuille, résistance hydraulique, respiration

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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 mou--5...-- e. " mm.--fifi ... amo--mum...-- ...mm Ëm3Ë - a:oËoËoe ËËÈ mu=o_:=u:.>dca u2:l£0v oeoe=cuzOU ' Les calculatrices sont autorisées *** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concisidn de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans chaque cas, la numérotation de la question traitée. ' *** Le sujet comporte 12 pages PROBLEME A : L'ENTROPIE DANS LE SYSTEME RESPIRATOIRE ETUDE D'UN ECOULEMENT DANS UN TUYAU CYLINDRIQUE ETUDE LOCALE On s'intéresse à l'écoulement d'un fluide incompressible de viscosité 77 et de masse volumique p dans un tuyau cylindrique horizontal d'axe Oz, de longueur L et de rayon R. Cet écoulement _p_>_p unidirectionnel est caractérisé dans un repère cylindrique (O,er,e9,e2) par un champ de vitesse 5 = v(r, 9, z, t) &: qui vérifie l'équation de Navier--Stokes, ÔÇ ] 2 """" _. _. _. ----+-- ad v + rot v AV =---- adP+ Av "(a 2gr ( ) ) gr " Figure 1 P représente la pression et on note : P(z = O) = P() et P(z = L) = PL . On néglige les phénomènes de pesanteur. A.1. Justifier que le champ de vitesse est indépendant de 9 . A.2. Rappeler dans le cas général, l'équation locale de Conservation de la matière. Que devient cette relation dans le cas d'un fluide incompressible ? En déduire que le champ de vitesse ne dépend pas de z. A.3. Quelle propriété présente le champ de vitesse dans le cas d'un écoulement stationnaire '? On étudie maintenant un écoulement stationnaire. A.4. En projetant l'équation de Navier-Stokes dans la base cylindrique, montrer que P ne dépend . , . . , . .' di" que de z et établir une equat10n differentlelle rehant v(r) , r et ---- dz . Les expressions des opérateurs en coordonnées cylindriques sont données à la fin du sujet. A.5. Etablir l'expression de P(z) en fonction de P0 , PL , z et L. . _ » _ _ P A.6. En dédu1re que le champ de v1tesse s'écrit v(r) =--LPO L 4 L (RZ--r2) sachant que la 77 vitesse en r = O est bomée. Tracer le profil de la vitesse v(r) en fonction de r. ' Préciser la valeur maximale vmax de la vitesse. ECOULEMENT STATIONNAIRE ETUDE GLOBALE On s'intéresse toujours à l'écoulement d'un fluide incompressible de viscosité ?] et de masse volumique p dans un tuyau cylindrique horizontal d'axe Oz de longueur L et de rayon R . On désire retrouver le champ de vitesse précédent à partir d'un bilan. On s'intéresse à une portion de liquide (représentée en grisé sur la figure 2) contenue dans un cylindre de rayon r (r < R) , compris entre les plans 2 = 0 et z = L. On rappelle que sur la surface latérale de ce cylindre de rayon r s'exerce une force de viscosité parallèle à Oz et dont la norme est ôvz (r) ôr P (2 = O) = P() et P (2 = L) : PL . On néglige les phénomènes de pesanteur. Il?" =Sî] , où S est la surface latérale du cylindre et V, la vitesse du liquide. On note A.7. A.8. A.9. A.10. A.11. A.12. Faire l'inventaire des forces s'exerçant sur le cylindre de rayon r. On rappelle que la vitesse ne dépend que de r . En appliquant le principe fondamental de la dynamique au petit cylindre en régime permanent, déduire une équation différentielle de la forme ËÏ- = k.r où k s'exprime en fonction de L , PO , PL , u et n . dr Retrouver le champ de vitesse v(r) précédent. RESISTANCE HYDRAULIQUE Calculer le débit volumique Q dans la conduite. On l'exprimera sous la forme Q = K (PO --- PL) , connue sous le nom loi de Poiseuille. Calculer la constante K. ' En déduire la vitesse moyenne, v en fonction de L , P0 , PL, u et n . may La comparer à la vitesse maximale, vmax . On définit RHy, résistanCe hydraulique de longueur L et de surface S, par la relation Po -- PL = RHyQ . Exprimer R Hy en fonction de L, R et 77 . Quelle est l'analogie avec la définition de la résistance électrique '? Comment varie la résistance hydraulique RHy avec le rayon R '? Comparer ce résultat avec la résistance électrique d'un barreau de longueur L de section S = "R' et de conductivité électrique 0' . Justifier qualitativement la différence. La loi de Poiseuille n'est valable que pour un écoulement laminaire. Rappeler la signification du terme en gras. En déduire une inégalité sur le rayon R pour que le calcul soit valable si on prend une vitesse moyenne vmoy =O,lm/s, une viscosité dynamique 77 = 10"3 Pas et une masse volumique p = 103 kg - m"3 . ASSOCIATION DE RESISTAN CES HYDRAULIQUES A.13. On associe deux cylindres A1 et A2 (figure 3) de résistances hydrauliques RH" et KM de même section S. L'un est compris entre x0 = 0 et x1 : L1 , le second est compris entre x1 : L1 et x2 =Ll +L,. On note P0, P1 et P2 les pressions pour xO =O, x1 =L,, x2 =L1 +Lz. On néglige les pertes de charges au niveau du raccordement. Figure 3 a) Établir l'expression de la résistance hydraulique RHy (qu'on définit bien sûr par la relation : PO -- PL : RHyQ) de l'ensemble en fonction de R Hy ,» et RHy2 . Indiquer, en la justifiant, une analogie avec un problème d'électrocinétique. b) En déduire la pression P1 en fonction de P0 , P2 , R Hy , et R W. Figure 4 A.14. Les deux cylindres A,, de section S1 et de longueur L1 et A2 de section S2 et de longueur L2 sont associés en « parallèle » (figure 4). On note P0 , la pression sur les faces d'entrée pour x0 = 0 et P1 , la pression sur les faces de sorties ( x1 :! L1 pour A1 , et x2 : L2 pour A2 ). Etablir l'expression de la résistance hydraulique de cette association en raisonnant par analogie avec l'électrocinétique. En déduire le débit Q1 dans le cylindre A1 de section S1 en fonction du débit total Q , R,... et RHy2. A.15. Rappeler l'expression de la puissance électrique dissipée dans une résistance électrique R traversée par un courant d'intensité I . Par analogie, déterminer la puissance dissipée par les forces de viscosité en fonction de RHY et Q. L'ARBRE BRON CHIQUE ET L'ENTROPIE Dans un arbre bronchique, les voies respiratoires se divisent par dichotomie avec une réduction systématique de la longueur et du diamètre. Dans le problème, nous allons supposer que la trachée se divise en deux bronches. Chacune d'elle se divise à son tour en deux autres, et ainsi de suite. Nous notons générations les différentes subdivisions qui seront indicées par les nombres successifs, p : la trachée est la génération p =l, les bronches, p = 2 , et ainsi de suite. Nous nous plaçons en régime permanent et l'air est assimilé à un fluide de viscosité 77 . \ Une bronchiole de génération p est assimilée a un cylindre de rayon rp et de longueur Ip. Nous admettrons que la loi de Poiseuille établie précédemment reste valable (en particulier entre p = 6 etp=16). A chaque génération, chaque dimension (rayon et longueur) est multipliée par une constante h que l'on supposera identique pour les deux dimensions. A.16. Déterminer le nombre N (p) de bronchioles à la p lère génération de résistance hydraulique, R, et volume V1 îème génération : Les dimensions (rayon et longueur) sont multipliées par h par rewort la génération( 1) 3ème génération ; Les dimensions - (rayon et longueur) sont multipliées par h2 par rapport àla génération( 1) 'eme génération en fonction de p . A.17. Déterminer le rayon rp et la longueur 1}) de la bronchiole de génération p en fonction de p , h, r1 et l,,valeurspour p=l. A.18. A.19. A.20. Calculer le volume Vp d'une bronchiole de génération p en fonction de V1 , h et p. En déduire le volume total th de la génération p . On posera X : 2h3 . 1-- X " 1--X Montrer que le volume de l'arbre supposé contenir n générations est V, = V1 Calculer la résistance hydraulique RP d'une bronchiole de génération p en fonction de R1 (résistance hydraulique pour p =]) et p . En déduire la résistance hydraulique R,}, totale de la génération p. » Déterminer la résistance hydraulique R, de l'arbre supposé contenir n générations. Montrer que le volume total diverge quand n --> 00 lorsque la constante h est supérieure à une valeur critique hc dont on précisera la valeur numérique. A quelle condition sur h , la résistance hydraulique diverge--t-elle ? La puissance thermique cédée à l'environnement assimilé à un thermostat de température T, est due à la puissance des forces de viscosité. A.21. A.22. A.23. En utilisant la loi de Poiseuille, calculer la puissance thermique cédée par un arbre bronchique ayant n générations en fonction de Q1 , débit àla génération 1, R1 , X et n. A partir d'un bilan d'entropie entre les instants t et t + dt , établir l'expression 0' de l'entropie créée par unité de temps pour cet écoulement unidimensionnel en régime permanent. ' ' ° ; r o-- o ' Expnmer l'entrop1e creee og, =------ par unite de temps et de volume dans un arbre V ! bronchique ayant n générations en fonction de T , Q1 , R1 , X et n. Montrer que ce terme diverge quand n ---> oo si h < hc . Conclure pour l'homme où h = 0,85. Il est à remarquer que cette application au système pulmonaire n'est pas exacte puisque le flux n 'est pas stationnaire mais pulsé. FIN DU PROBLEME A PROBLEME B : EFFET DE PEAU DANS DIVERS DOMAINES L'effet de peau se rencontre en physique lorsqu'il y a absorption de l'énergie. Ce phénomène se retrouve dans des domaines très variés : électromagnétisme, diffusion thermique et mécanique des fluides visqueux par exemple. PRELIMINAIRES Pour cette question, a est une conductivité électrique en S-m" , 17 une viscosité dynamique, p une masse volumique, À une conductivité thermique et c une capacité thermique massique. B.l Par analyse dimensionnelle, quelles sont les unités dans le système international de 77 , p, À et c '? Vous justifierez vos résultats à partir de lois physiques très simples. ' B.2 On note a) une pulsation en radians par seconde. On définit les quantités . A quelle grandeur physique ces quantités sont--elles homogènes ? Justifier votre réponse. B.3 On appelle po la perméabilité magnétique du vide. En utilisant la loi d'Ohm locale et n l'équation de Maxwell--Ampère, montrer que l'unité du produit 0'- po est: m -s" (m désigne l'unité du mètre et s l'unité de la seconde) où l'on donnera les valeurs numériques des entiers relatifs n et p. Etablir alors une longueur possible (notée 5 ) en fonction de ,u0 , a et a) . d2.y d x2 Montrer que les solutions de cette équation sont de la forme y(x) : Ae(l")""' + Be'(l")"'x. On pourra se servir de ce résultat pour la suite du problème. B.4 Soit l'équation différentielle suivante --2ia2y(x) = 0 où i2 = ----1 et oc un réel positif. EFFET DE PEAU EN ELECTROMAGNETISME On considère un fil de cuivre cylindrique de rayon R et de longueur L très grande devant le rayon R. Ce fil est placé dans le vide. On note 00 sa conductivité électrique supposée constante. On appelle ___. (Oz) l'axe du fil de vecteur unitaire ez . On prendra a, : 6,2-107 S-m" ; 50 : 8,84--10"" F-m'l et y, = 47p10*7 H-m-1 B.5 B.6 B.7 B.8 B.9 Figure 1 : géométrie du fil de cuivre On applique une différence de potentiel U constante entre les deux extrémités du fil de cuivre. En supposant que le champ électrique créé dans le cuivre est uniforme, donner l'expression littérale de la norme J du vecteur densité volumique de courant en fonction de 0'0, UetL. Calculer alors l'intensité du courant traversant le fil de cuivre et en déduire l'expression littérale de la résistance électrique R de ce fil de cuivre. élec Application numérique : calculer la résistance linéique R de ce fil de section 2,5 mm2 . lin Dans la suite du problème, un courant sinusoïdal d'intensité i(t) : I0 cos(æt) traverse le fil de cuivre. La fréquence du courant est inférieure au térahertz (1THZ : 1012 Hz ). Montrer que l'on peut alors négliger le courant de déplacement dans l'équation de Maxwell--Ampère. Etablir que le vecteur densité volumique de courant Î satisfait à l'équation différentielle ---> . -: 0 ' , . . , ' suivante : A ] = 5 --â--î-- ou l on expnmera 5 en fonct10n des donnees du probleme. Les symétries du problème permettent d'écrire le vecteur densité volumique de courant sous ' où i 2 = --l et r est la distance d'un point M du fil par ia2t*' ez la forme complexe _]Î : JO (r) - e _-- rapport à l'axe. On rappelle que ez est le vecteur unitaire de l'axe (Oz). L'expression de l'opérateur laplacien en coordonnées cylindriques est donnée à la fin du sujet. Etablir l'équation différentielle du second ordre vérifiée par JO (r). On introduira la quantité 2 60/1060 5.-. B.... Calculer 5 à la fréquence de 1 GHz. Comparer cette grandeur au rayon du fil de cuivre de section 2,5 m2. ' B.11 La résolution de l'équation différentielle obtenue à la question B.9 n'est pas demandée ici. On admettra donc que la densité de courant diminue lorsque l'on se rapproche de l'axe du cylindre (le rayon r diminue donc). La distance caractéristique sur laquelle se réalise cette décroissance est naturellement 5. On propose donc le modèle suivant: la conductivité r--R électrique est une fonction exponentielle de la distance r : a(r) : 00 --eÎ' . Tracer l'allure de la fonction a(r). Tracer la tangente à la courbe en r = R. Quelle est l'abscisse du point d'intersection de cette tangente avec l'axe des abscisses '? B.12 Justifier le fait que, en haute fréquence, on utilise des câbles formés de multiples brins de cuivre très fins isolés électriquement les uns des autres (appelés fils de Litz). Justifier aussi le fait que l'on recouvre les conducteurs en cuivre des circuits imprimés d'ordinateurs d'une mince pellicule d'argent. B.13 On se propose maintenant de calculer la résistance du fil avec le modèle de conductivité ' variable. On découpe la section circulaire du fil de cuivre en éléments de surface annulaires de largeur dr et de longueur 27tr. On découpe ainsi le fil en éléments de volume. Figure 2 : découpage en volumes élémentaires Quelle est la conductance électrique élémentaire dG d'un tel élément de volume '? On l'exprimera en fonction de r , a(r) , dr et L. B.14 Comment sont branchés entre eux ces éléments de volume ? En déduire la conductance totale G du fil en fonction de 5, R, L, 00 EFFET DE PEAU EN THERMODYNAMIQUE Soit un milieu homogène de conductivité thermique  , de masse volumique p et de capacité thermique massique à pression constante c remplissant le demi-espace z > O. Le problème est invariant par toute translation selon Ox et Oy . Figure 3 : géométrie du milieu semi--infini B.15 En effectuant un bilan d'enthalpie sur une petite tranche d'épaisseur dz et de surface S (surface parallèle au plan 2 = O), établir l'équation différentielle d'évolution de la temperature, d1te << equation de la chaleur >>. On posera a : ---- , appelee d1ffu51v1te p c thermique. ' ' B.16 Quelle est l'unité de la quantité a '? Le milieu homogène est un sol. Nous nous intéressons à des variations de température sinusoïdales dans le temps dont on notera a) la pulsation. La notation complexe sera une nouvelle fois utilisée. B.17 Justifier le fait que l'on puisse se limiter à l'étude de variations sinusoïdales de température. B.18 Dans le sol, nous recherchons une solution sous la forme T (z,t) =TO +Re( f (z)--e..."). Quelle est l'équation différentielle vérifiée par f (2) , fonction a priori complexe ? B.19 En introduisant la grandeur 5 = __a_ , trouver l'express1on generale phy51quement a) acceptable de f (z) . B.20 Le sol a une diffusivité thermique moyenne a... = 2-10"7 m2 -s"'. Calculer la valeur numérique de 5 dans les cas où l'on s'intéresse à des variations journalières de la température puis à des variations annuelles de la température. B.21 Il est d'usage d'enterrer les canalisations à au moins 80 centimètres de profondeur. Justifier. EFFET DE PEAU EN MECANIQUE DES FLUIDES Considérons une plaque plane, infinie en longueur et largeur, formant le plan xOy. Un fluide visqueux incompressible (par exemple du miel) de viscosité 77 est déposé sur cette plaque sur une grande épaisseur h. Le fluide occupe alors le demi-espace z > 0 (tout se passe comme si l'espace était illimité). La plaque oscille à la pulsation &) , sa vitesse étant Yplaque = VO cos(æt) êx . On néglige les phénomènes de pesanteur. _ Z Liquide visqueux Plaque oscillante ' ' x Figure 4 : géométrie de l'écoulement induit On rappelle l'équation de Navier-Stokes: ôÇ ] 2 _" .. .. - _. --+-- rad v + rot v /\V =-- radP+ Av. p(,, ,g ( ) ) g ?? B.22 En analysant les invariances et symétries du système et en supposant que la vitesse du fluide est parallèle à celle de la plaque, de quelles variables peut dépendre le champ de vitesse ? B.23 Montrer que le terme convectif (!-- grad v2 +(rot 17 )A17 ) est nul pour ce problème. En 2 déduire alors que la pression dans le fluide est une fonction affine de la cote z et que le . . . , , . . , . . ôv 82v . . ' champ de Vitesse satisfait a l'équation differentielle suivante --à-t-- : vc ô--2_ ou l'on exprrmera z vc en fonction de p et de 77. (pour information, vc est appelée viscosité cinématique). ___--.. iæt --> B.24 On cherche une solution pour le champ de vitesse sous la forme ÿ = f(z) -e -ex . Donner la 2vc a) aux limites du fluide, donner l'expression du champ de vitesse réel dans le fluide. Commenter l'expression obtenue. forme générale de f (2) ; on introduira la quantité 5 = . En étudiant le comportement B.25 Dans le cas d'un fluide mille fois plus visqueux que l'eau (on rappelle que la viscosité de l'eau est delO"3 Pa - s) et pour une fréquence de 2 Hz, calculer la valeur numérique de la distance caractéristique d'atténuation 5 en prenant comme masse volumique la masse volumique de l'eau. B.26 Les roches en fusion dans le manteau terrestre sont extrêmement visqueuses et ont une masse volumique très grande, si bien que leur viscosité cinématique V0 est de l'ordre de vc z 10"2 m2 -s". En déduire une propriété importante pour les ondes sismiques de cisaillement qui ont des fréquences de quelques hertz. FIN DU PROBLEME B ANNEXES Données pour les coordonnées cylindriques ô -- lô ---- ô ---- grad[f(r,9,z)]=â--Çq+--r--è--%eg+äÇ--ez Fin de l'énoncé

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Physique 1 PSI 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Stanislas Antczak (Professeur agrégé) ; il a été relu par Olivier Frantz (Professeur agrégé) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet comporte deux problèmes indépendants. · La première partie, intitulée « L'entropie dans le système respiratoire », traite d'écoulements de fluides visqueux dans des conduites cylindriques. Malgré son nom, elle contient assez peu de thermodynamique. Dans un premier temps, il s'agit de résoudre l'équation de Navier-Stokes pour un écoulement dans un cylindre afin de déterminer le champ des vitesses. Ensuite, l'énoncé conduit à retrouver ce résultat à l'aide d'un bilan. S'ensuivent des considérations sur la résistance hydraulique, avec des analogies électriques. Enfin, tout ceci est appliqué à l'écoulement de l'air dans les voies respiratoires, à l'aide d'une modélisation originale de l'arbre bronchique. · La deuxième partie, nommée « Effet de peau dans divers domaines », contient, outre un ensemble de questions préliminaires générales, trois sous-parties quasiment indépendantes les unes des autres, étudiant l'effet de peau et ses conséquences dans le domaine de l'électromagnétisme (effet de peau pour la conduction à la surface des conducteurs), de la thermodynamique (équation de la chaleur pour les ondes thermiques) et de la mécanique des fluides (onde de cisaillement dans un fluide visqueux). À chaque fois, il faut mettre le problème en équation, résoudre l'équation en s'inspirant éventuellement des questions préliminaires et discuter de la forme du résultat et de ses implications physiques éventuelles. Ce sujet ne comporte pas de difficultés conceptuelles majeures ; le cheminement est très guidé par un enchaînement de questions souvent proches du cours. En outre, beaucoup de sous-parties peuvent être traitées indépendamment du reste, ce qui permet de faire une grosse portion du sujet même si on reste bloqué sur certains points. Néanmoins, il importe de rester toujours rigoureux dans la rédaction, la correction étant d'autant plus intransigeante que les questions sont élémentaires. En outre, le rapport du jury mentionne que la présentation et l'orthographe ont été évaluées et, pour 10% des copies, cette évaluation a conduit à une baisse de la note. Il importe, pour éviter cela, de prendre le temps de relire sa copie. Indications Problème A -- - A.4 Réécrire l'équation de Navier-Stokes à l'aide de l'opérateur v · grad . A.6 Le fait que la vitesse est bornée en r = 0 donne une constante d'intégration. A.8 En régime permanent, que vaut la somme des forces s'exerçant sur le cylindre considéré ? Noter que µ, qui n'est défini nulle part dans l'énoncé, n'intervient pas dans l'expression demandée. A.9 La vitesse moyenne est la vitesse uniforme donnant le même débit que l'écoulement considéré. Attention, elle dépend aussi de R. A.12 Exprimer le nombre de Reynolds de l'écoulement. A.13.a Remarquer que P0 - P2 = (P0 - P1 ) + (P1 - P2 ). A.14 Faire l'analogie avec deux conducteurs ohmiques en parallèle. A.19 Utiliser le résultat de la question A.10. Il s'agit d'une association en parallèle pour une génération donnée, en série entre deux générations successives. Problème B B.1 Utiliser la loi de Fourier pour , la relation U = m c T pour c et l'expression de la force visqueuse pour . - E . En régime sinusoïdal et en notation B.7 Le courant de déplacement est 0 t complexe, que vaut son module ? B.8 Utiliser les équations de Maxwell-Ampère, de Maxwell-Faraday, de MaxwellGauss et la loi d'Ohm. B.11 Dans le tracé, exagérer la valeur de pour faire apparaître clairement la tangente. B.13 Une conductance électrique est l'inverse d'une résistance électrique. B.14 Les conductances de conducteurs ohmiques montés en parallèle s'ajoutent. B.17 Considérer l'alternance jour-nuit et l'alternance des saisons. B.19 L'amplitude des oscillations de la température peut-elle augmenter lorsque la profondeur augmente ? B.23 Simplifier l'équation de Navier-Stokes et étudier ses projections. La pression ne dépend pas de z car on a négligé les effets de la pesanteur. B.24 On obtient une onde atténuée. Problème A. L'entropie dans le système respiratoire Étude d'un écoulement dans un tuyau cylindrique Étude locale A.1 La géométrie du problème étant invariante par rotation autour de l'axe (Oz), le champ des vitesses est indépendant de . On écrit par conséquent - v = v(r, z, t) - ez A.2 L'équation locale de conservation de la matière s'écrit, dans le cas général, + div ( - v)=0 t Lorsque le fluide est incompressible, la masse volumique est uniforme et constante, donc = 0 et div ( - v ) = div - v . L'équation locale de conservation de la matière t s'écrit alors div - v =0 Le champ des vitesses, qui s'écrit - v = v(r, z, t) - ez , vérifie ici div - v = 0, ce qui v - - donne simplement = 0 puisque v est colinéaire à ez : on en conclut que v ne z dépend pas de z. Par conséquent, - v = v(r, t) - ez A.3 Dans le cas d'un écoulement stationnaire, le champ de vitesses est indépendant du temps et alors - v = v(r) - ez A.4 L'équation de Navier-Stokes s'écrit, dans le cas général, - -- - -- v - + ( v · grad ) v = - grad P + - v t - - v Ici, on a vu que - v est indépendant du temps, soit = 0 , d'une part. D'autre t -- part, comme - v = v(r) - ez , l'opérateur - v · grad s'écrit ici simplement v(r) . z Appliqué à v(r) - e , cela donne un terme nul. Le premier membre de l'égalité est z donc identiquement nul. L'énoncé ne donne pas l'expression du rotationnel en coordonnées cylindriques. On est donc conduit ici à revenir à l'expression du terme convectif -- en (- v · grad ) plutôt que d'utiliser l'expression de l'équation de Navier-Stokes fournie. Le rapport du jury signale que les correcteurs ont tenu compte de cette petite difficulté introduite par la formulation de l'énoncé. Néanmoins, 1 -- 2 - - il ne fallait pas écrire que les termes grad v et rot - v v s'annulent 2 séparément, car c'est faux : seule leur somme est nulle. L'équation de Navier-Stokes donne alors ici -- - - grad P + - v = 0 En écrivant que - v = (v(r)) - ez , on obtient ainsi, compte tenu de l'expression du laplacien donnée dans l'énoncé, l'égalité suivante : -- 1 d dv - grad P = r ez r dr dr Il n'est pas évident du tout que - v = (v(r)) - ez . C'est correct dans la - - situation étudiée où v = v(r) ez , mais il ne faut pas conclure hâtivement - que, pour un vecteur F quelconque de coordonnées cylindriques (Fr , F , Fz ), - on a F = F - e + F - e + F - e , en s'inspirant de l'expression du r r z z laplacien vectoriel en coordonnées cartésiennes. En règle générale, le laplacien -- - - - - - vectoriel se calcule par F = grad div F - rot rot F . En projection sur les vecteurs transversaux à l'écoulement, il vient P r = 0 P = 0 On en conclut donc que P ne dépend que de z. On obtient finalement, en projection sur l'axe (Oz), dP 1 d dv = r dz r dr dr A.5 Le deuxième membre de l'égalité obtenue à la question précédente est indépendP dant de z. L'équation différentielle peut alors s'écrire = a, où a est indépendante dz de z. Cela s'intègre en P(z) = a z + b, où b est une autre constante. Pour déterminer a et b, on utilise les conditions aux limites P(0) = P0 et P(L) = PL . On obtient b = P0 et a = (PL - P0 )/L. Par conséquent, P(z) = P0 + PL - P0 z L A.6 En reprenant l'équation différentielle obtenue à la question A.4 et l'expression de la pression obtenue à la question A.5, on obtient PL - P0 1 d dv = r L r dr dr En intégrant une première fois, il vient r ou encore dv PL - P0 2 = r +c dr 2L dv PL - P0 c = r+ dr 2L r