CCP Physique 1 PSI 2007

Thème de l'épreuve Conductivité d'anneaux mésoscopiques isolés. Approche d'un projecteur de diapositives.
Principaux outils utilisés électrostatique, magnétostatique, induction, ondes, optique géométrique
Mots clefs physique mésoscopique, projecteur de diapositives

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 wc.--52... ? " «w.--:D ... m=9æ:Ë * ...mm mm...--SE - mao...äoËoe ËmmÈ oeu=o_:=v...-->uooe ":=IOEOV aoe=cu:OU ' Les calculatrices sont autorisées. *** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la précision et à la concision de la rédaction. Si un "candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. Certaines des questions peuvent donner lieu à une application numérique, une attention toute particulière y sera donnée lors de la correction de ce problème. Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préCiser, dans chaque cas, la numérotation de la question traitée. $$$ DOSSIER REMlS-AUX CANDIDATS . Texte de présentation (13 pages) 0 Document réponse pour le problème B (3 pages) L'épreuve comporte deux problèmes totalement indépendants. Dans chaqùe problème, de nombreuses questions sont indépendantes. PROBLEME A : CONDUCTIVITE D'ANNEAUX MESOSCOPIQUES lSOLES Un système mésascopique est un échantillon & une échelle intermédiaire entre la matière à l'état microscopique (l'atome) et macroscopique (le solide). Sa taille, micronique, lui confère un grand nombre d'électrons qui, si la température est assez basse (typiquement de l'ordre de quelques centièmes de degrés Kelvin), vont conserver leur « cohérence quantique ». La physique mésoscopique est une physique récente, qui se développe avec l'avancée des nanotechnologies. On sait fabriquer par lithographie des petits anneaux carrés de quelques micromètres de côté dans lesquels des électrons sont contraints de se déplacer. Un champ magnétique constant imposé perpendiculairement au plan de l 'anneau va forcer les électrons & tourner dans l'anneau, créant ainsi un courant permanent. Il apparaît que la valeur de ce courant est une fonction périodique du flux magnétique. Pour mesurer ce courant, les anneaux sont couplés à un résonateur formé d "une ligne bifilaire en régime harmonique A.1 LIGNE BIFILAIRE SUPRACONDUCTRICE AU NIOBIUM La ligne bifilaire est un micro--résonateur constitué de deux fils parallèles d'une longueur EUR et distants de 2d . Celui--ci est fabriqué par lithographie optique sur un substrat de saphir. Afin de limiter la dissipation par effet Joule, un supraconducteur, le niobium, a été choisi comme matériau constitutif de la ligne. Enfin, pour minimiser la taille du résonateur, une géométrie en méandre a été adoptée (voir figure l). 1:« W,. 5 à?" «u-- m 2 ww"... Figure 1 : micr0photographie optique d'une partie de la ligne bifilaire en meandre et de ses anneaux mésoscopiques carrés. Dans cette partie, on cherche à établir l'équation de propagation des ondes de courant dans la ligne. Pour ce faire, la ligne est « déployée » sur toute sa longueur EUR. Le modèle de lignes à constantes réparties est le suivant : on isole une portion de la ligne entre les abscisses x et x+ dx. Le schéma électrique équivalent est donné par la figure 2. On notera que A est l'inductance linéique (inductance par unité de longueur) et que I" est la capacité linéique. On remarquera que l'axe des x est orienté de la droite vers la gauche. Figure 2 : ligne bifilaire et portion de largeur dx A.1.1 Quelles sont les unités de A et de F ? Justifier rapidement le fait qu'il n'y ait pas de résistors dans ce modèle. . . - ' . - , . . Ôu ôi A.1.2 En se limitant a des termes du premier ordre, etabhr une relation entre ----à----- et --à-- d'une part, t x ôu ôi , et une seconde entre ---------- et ----------- d autre part. ôx ôt A.1.3 Déterminer alors l'équation différentielle régissant l'évolution de u(x, t) et celle régissant l'évolution de i(x, t) . A.1.4 Quelle remarque peut--on faire quant à ces deux équations ? Que traduisent--elles (? 1 \/_AÎ . physiquement ? Que représente la quantité A.2 CALCUL DE LA CAPACITE LIN EIQUE DE LA LIGNE BIFlLAIRE On considère deux fils infinis parallèles portant chacun respectivement la charge +q , et --q par unité de longueur. Ces fils sont déposés sur un substrat de saphir qui est un milieu diélectrique linéaire et isotrope (figure 3). Le demi-espace 2 < 0 est occupé par le saphir et le demi-espace z > 0 est occupé par le vide. Z mmaænm...m «- ' Figure 3 : portion de ligne bifilaire déposée sur un substrat de saphir Pour les calculs d'électrostatique de cette partie, il suffira d'employer les théorèmes classiques (théorème de Gauss par exemple) en remplaçant la permittivité du vide 50 par EURefi. -80 une permittivité effective qui tient compte du fait qu'une partie de l'espace est occupée par le saphir. A.2.1 Soit un fil infini portant la charge linéique +q. Calculer le champ électrique créé en tout point M de l'espace en fonction de r (distance de M au fil). On justifiera proprement le calcul (symétries, invariances, théorème utilisé). On appelle 2d la distance séparant les deux fils, ainsi le fil « positif » est situé en y : +d et le fil « négatif » en y = -----a' . A.2.2 En déduire le champ électrique créé en tout point P du plan z == 0 (plan sur lequel se situent les deux fils). Les fils ne sont pas infiniment minces : soit 2a leur épaisseur, négligeable devant la distance les séparant. A.2.3 Calculer la circulation du champ électrique sur un chemin allant d'un point du bord de la ligne portant la charge linéique +q (abscisse d ---- a) à un point du bord de la ligne portant la charge ------q (abscisse ----- d + a ). En déduire la différence de potentiel qui règne entre ces deux fils. A.2.4 En isolant une portion de ligne bifilaire de longueur d£ , tout se passe comme si l'on était en présence d'un condensateur. Quelle est la charge portée par chaque armature ? En déduire la capacité de ce condensateur puis la capacité linéique P de la ligne bifilaire en fonction de EURefi% d et a. A.3 RESONAN CES DE LA LIGNE BIFILAIRE ET IMPEDAN CE EQUIVALENTE A.3.1 On considère une onde électrique qui se propage dans le sens des x croissants, repérée par l'indice « + ». Les expressions complexes de la tension et du courant sont alors respectivement : u+ (x, t) : U+ej(a""kx) et i+ (x, t) = I+ej("""kx) où j2 = -----1 A.3.l.a En reprenant l'équation du A.1.3, quelle est la relation entre k et co '? A.3.1.b En utilisant les équations obtenues en A.1.2, calculer le rapport ZC == u+ (x, t)/ i+ (x, t) en fonction de A et de F . Quelle est la signification physique de ce rapport ? Quel nom peut-- on lui donner '? A.3.2 On considère maintenant une onde électrique qui se propage dans le sens des x décroissants, repérée par l'indice « -----». En suivant la même démarche qu'en A.3.1, exprimer i_ (x, t) en fonction de u_ (x, t) et de ZC. A.3.3 La ligne bifilaire étant ouverte, les ondes vont se réfléchir en x«= EUR). On cherche alors des solutions pour l'onde électrique sous la forme suivante : _Z{_(X, [) : U+ej(wt_kx) + U_ej(wt+kx) et £(X, t) : I+ej(wt--kx) +I--ej(wt+kx) En utilisant les résultats des questions A.3.1 et A.3.2 et le fait que la ligne bifilaire est ouverte en x = 0 , établir une relation entre U + _ et U et calculer le rapport _Z_(x) =y_(x,t)/i(x,t) en fonction de ZC, k et x. A.3.4 Tout se passe comme si le générateur qui alimente la ligne était branché sur une impédance, l'impédance d'entrée Ze à _Z_ (x : £) de la ligne bifilaire. Calculer Ze en fonction de ZC, k etfi. A.3.5 On considère maintenant une bobine pure d'inductance L placée en parallèle sur un condensateur pur de capacité C . A.3.S.a Calculer l'impédance équivalente de cette association parallèle. On la mettra sous la forme suivante : ' Zo Zeq=--j... ""'" fl...ÊZQ... 600 a) Exprimer 20 et 500 en fonction de L et C. Comparer cette expression à l'impédance d'entrée Ze calculée à la question A.3.4. A.3.5.b Tracer sur la copie l'allure du module Zeq en fonction de la pulsation &) . Quel est le phénomène qui se produit pour a) = (00 ? A.3.6 On remarque que la ligne bifilaire présente en fait plusieurs pulsations de résonance. En utilisant l'expression de l'impédance équivalente obtenue en A.3.4, montrer que les pulsations de résonance sont des multiples entiers d'une pulsation fondamentale que l'on exprimera en fonction de la longueur £ de la ligne et de \f11\Î . A quel système simple vous fait penser ce résultat ? A.3.7 Application numérique : la première fréquence de résonance est de l'ordre de 320 MHz et la ligne bifilaire a une longueur de 20 cm, une fois déployée. En déduire la valeur de la vitesse de propagation des ondes sur la ligne bifilaire. Cette valeur vous semble-t-elle cohérente '? ' A.4 QUAN TIF ICATION DU FLUX MAGNETIQUE --- COURANT PERMAN ENT L 'espace est muni d 'un repère carte'sien (O,x, y,z). Un champ magnétique permanent et uniforme règne en tout point, dirigé selon l'axe ( Oz) : Ë == Be: . A.4.1 On considère un anneau circulaire métallique de rayon R , situé dans le plan 2 : O. Exprimer la quantité CD = " Ë - ËÊ en fonction de la normeB du champ magnétique et du anneau rayonR . En quelle unité exprime-t-on CD '? A.4.2 Un électron de masse m et de charge ------e est assujetti à se déplacer dans la circonférence de l'anneau d'épaisseur très faible. Il est alors soumis à la force de Lorentz. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à l'électron, montrer que la norme v de la vitesse de cet électron s'exprime simplement en fonction des grandeurs suivantes : e , CD , m et R. A.4.3 Nous allons utiliser maintenant une hypothèse émise par Bohr au début du vingtième siècle afin d'expliquer les niveaux d'énergie quantifiés des électrons dans les atomes : le moment Cinétique de l'electron est quant1fie. Il ne peut prendre que des valeurs multiples de ------------ ou 275 h est la constante de Planck. On donne h = 6, 62 --10'34 J -s. ' A.4.3.a Montrer que h possède bien la dimension d'un moment cinétique. A.4.3.b En appliquant la condition de quantification de Bohr à l'électron toumoyant dans l'anneau, montrer que la quantité CD est quantifiée, c'est-à-dire qu'elle ne peut prendre que des valeurs multiples d'une certaine autre quantité CI)1 que l'on exprimera en fonction de la constante de Planck h et de la charge élémentaire e. La quantité 1 est appelée quantum de flux. A.4.3.c Application numérique : calculer la valeur numérique de CD, sachant que e = l, 61 -10'19 C. A.4.4 On peut montrer en utilisant la mécanique quantique que l'anneau est le siège d'un courant permanent périodique avec le flux =<1>DC co @@ ôË8aoe...u $... ...--83.3È :...... o:> " N «.:--mE mË.æëËuæ u£mäâ ...»? ...Ëwäæm. :.UV B.2.1 B.2.2 B.2.3 B.2.4 B.2.5 B.2.6 B.2.7 B.3 Quel est le grandissement ynécessaire ? Commenter le signe. Dans un premier temps, on utilise le montage de la figure 2 qui comprend une source lumineuse (que l'on supposera ponctuelle) située en un point S (située sur l'axe optique) située en amont d'un diaphragme et un diffuseur épais. La diapositive sera insérée, centrée en I sur l'axe optique juste devant le diffuseur. L'objectif est constitué d'une lentille convergente de focale j' = O? : ---5Ï" centrée sur l'axe optique en 0. Quel est l'intérêt du diffuseur épais '? Tracer sur la figure (B.2.3) du document réponse G' et D' les images des points G et D représentant respectivement les bords gauches et droits de la diapositive. Dans quel sens faut-il monter la diapositive '? Justifier votre réponse. Déterminer les expressions de e, m et f' en fonction du grandissement ;! et de [. Réaliser l'application numérique pour le grandissement souhaité. On souhaite en plus pouvoir obtenir une image nette par déplacement de l'objectif pour des distances ! comprises entre 2 et 5 m. Quelles sont les grandissements et largeurs d'images horizontales correspondant à ces deux limites (image nette d'une diapositive horizontale) ? Quelles sont les limites de déplacement de la lentille (Cl) entre 0... et O,... (donner 10... et ID,... ) '? Quelle est la course nécessaire pour l'objectif? Quel intérêt/inconvénient voyez-vous à utiliser toute la surface de la lentille ? PROJECTEUR DE SECONDE GÉNÉRATION Pour réaliser un projecteur de seconde génération, on interpose une lentille (CO) convergente entre la lampe et le diaphragme du montage précédent. Cette lentille est en général épaisse, mais pour les besoins de cet exercice, on supposera qu'elle est mince et qu'on se trouve toujours dans les conditions de GAUSS (cf. figure 3). On remplace le diffuseur par un verre parfaitement transparent permettant de séparer thermiquement les deux parties du projecteur. On supposera qu'il est suffisamment fin pour qu'on puisse négliger le décalage de rayons qu'il induit. (C0) (C1) Figure 3 : Vue du projecteur de diapositives de seconde génération :oOEË......Êw «...:--83 $... 8>ËËÊË % .533 .--oÈ :c «:> " m «.:--mE .K ( :.U... B.3.1 B.3.2 B.3.3 B.3.4 B.3.5 B.3.6 B.3.7 B.3.8 On a placé la lentille convergente (C0) de manière à ce que le pinceau lumineux issu de S englobe toute la largeur de la diapositive et se focalise en 0, centre optique de la lentille (Cl). Sur la figure (B.3.1) du document réponse : - tracer l'enveloppe « utile » du pinceau lumineux entre S et E (définie par les rayons limites) - construire les images G ' et D ' de G et D respectivement (co...entaire) - indiquer explicitement la position du plan focal image de (CO). Donner la relation entre la distance focale image fg' de (CO) et O'O pour un grandissement transversal associé à (C0) G; = -4. Pour des raisons d'encombrement, on est contraint de fixer la distance ÎSÎ à 5 cm. En déduire la valeur de la distance SO' pour une image nette pour une distance [3200 cm. Quelle est alors la valeur de la distance focale de la lentille (CO) '? Dans le cadre des conditions aux limites imposées pour le réglage de la netteté dans B.2, on a prévu de pouvoir déplacer la lentille (Cl) entre O,... et O...x déterminés dans B.2.5. Ceci implique un mouvement conjugué de (CO) entre les positions O'... et O'...ax. Donner les distances SO'... et SO'mx correspondantes de manière à toujours respecter les conditions explicitées dans B.3.1. Quelle est la relation entre la course ASO' de la lentille (CO) et la course AIO de la lentille (Cl) '? Application numérique. ' Doit-on toujours mettre la diapositive dans le même sens ? Commenter. Quels sont les avantages à placer (Cl) au point conjugué de S par (CO) ? FIN DU PROBLEMEB FIN DE L'ENONCE. ' - - n' uements'fls'a it d'un examen): Note : Appoeczatzon du correcteur (u :q 9 20 * Uniquement s'il s'agit d'un examen. DOCUMENT REPONSE *** ' N.B. : Le candidat veillera à bien remettre le présent document réponse avec sa copie eta le placer dans le même sens que les autres copies rendues afin de préserver son anonymat. É Les tracés d'optique étant délicats, le correcteur attachera une importance au soin et à le clarté du document rendu. *** , Figure B.1.1 : \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \ Proposé sur le site [""/""""z/"""/""; ? 'IlIII/IIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 1/3 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\ \\\\\\\\\\\ Figure B.l.3 ; (C1) . ËËÎ3- Figure B.l.7 rx _(C1) Figure B.2.3 : Système schêmfique ' Figure B.3.1 : (C1) (C1) FIN DU DOCUMENT REPONSE

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Physique 1 PSI 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Aymeric Spiga (École Polytechnique) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Ce sujet est constitué de deux problèmes indépendants. Le premier est consacré à la conductivité d'anneaux mésoscopiques isolés. Constitué de sous-parties relativement indépendantes, il représente environ les deux tiers de l'épreuve. Même si la thématique générale (la physique mésoscopique) est originale, elle est abordée dans le cadre du programme, au travers de sous-parties relevant de la physique des ondes, de l'électrostatique, de la magnétostatique, de l'induction et de l'électrocinétique. Certaines questions sont très classiques, aussi l'énoncé attire-t-il tout particulièrement l'attention des candidats sur la rédaction. La dernière partie recèle quelques questions difficiles. Le second problème propose une approche d'un projecteur de diapositives ; il est constitué de trois parties qui s'enchaînent, à traiter dans l'ordre comme le demande l'énoncé. Il ne fait appel qu'aux connaissances d'optique géométrique de première année. En plus de questions où les calculs utilisent essentiellement les formules de conjugaison, l'énoncé demande des constructions géométriques qui devaient être réalisées sur le document réponse. Si ce problème est dans l'ensemble de difficulté moyenne, la fin de la dernière partie est plus ardue et relativement calculatoire. On peut par ailleurs regretter quelques imprécisions qui peuvent dérouter. L'ensemble constitue une épreuve intéressante, abordant des parties très diverses du programme de première et de deuxième année. C'est l'occasion de rappeler que l'ensemble du programme des deux années est susceptible de faire l'objet de tout ou partie d'un problème de concours. Enfin, la progressivité du sujet et la variété de ses questions en font une bonne base de révision. Indications Problème A A.1.2 Utiliser la loi des noeuds et la loi des mailles. A.2.1 Attention : au-delà du résultat (très classique), c'est surtout la rédaction qui importe dans cette question. A.2.2 Penser au théorème de superposition. A.3.3 Exprimer I+ et I- en fonction de U+ et U- , puis utiliser la condition en x = 0. A.4.1 Le signe du flux dépend de l'orientation du circuit. A.4.4 La fonction I() est impaire. A.5.3 Commencer par orienter le carré : le signe de M dépend de cette orientation. A.5.4 Ne pas oublier que le flux magnétique a pour origine le champ magnétique créé par les deux fils qui entourent l'anneau. A.5.7 Le flux magnétique total à travers la ligne est la somme de deux termes : le flux propre de la ligne et le flux du champ créé par les anneaux. A.5.10 Le résultat s'exprime en fonction de I0 , 1 et DC (et non ). A.5.12 Déterminer la « période » de Im (G) en fonction de B sur la figure et relier cette période à 1 . Problème B B.1.4 L'énoncé ne précise pas s'il faut définir G comme la largeur du faisceau incident divisée par la largeur du faisceau émergent, ou l'inverse. Il faut faire un choix et s'y tenir. Pour l'application numérique, la valeur de f1 fournie par l'énoncé n'intervient pas. B.1.10 Que se passe-t-il si |f2 | > f1 ? B.2.2 Attention l'énoncé comporte une erreur : il faut lire f = OF = -OF au lieu de f = OF = -OF . B.2.4 On peut utiliser les formules de conjugaison de Descartes et de Newton. B.2.6 S'assurer que dans les deux cas, on a IO > f . En quoi est-ce important ? B.3.3 Utiliser les résultats des questions B.2.5 et B.2.6, ainsi que le résultat de la question B.2.2. B.3.5 On arrive à une équation du second degré fixant O ; comment sont positionnées les deux solutions par rapport à I et O (qui sont fixés) ? B.3.6 Penser à différentier la formule de conjugaison de Descartes. A. Conductivité d'anneaux mésoscopiques isolés A.1 Ligne bifilaire supraconductrice au niobium A.1.1 La grandeur dx est une inductance, donc est une inductance linéique. De même, est une capacité linéique. Ainsi, dans le Système International, s'exprime en H.m-1 et en F.m-1 Le modèle ne comporte pas de résistor, car la ligne est constituée d'un matériau supraconducteur de résistance nulle, il n'y a pas de dissipation par effet Joule. A.1.2 Appliquons la loi des noeuds au schéma électrique équivalent de la figure 2 : u i(x, t) = i(x + dx, t) + ( dx) (x + dx, t) t i u i(x, t) + dx (x, t) + ( dx) (x, t) x t au premier ordre en dx. On en déduit i u = - x t De même, en appliquant la loi des mailles, on obtient au premier ordre en dx i u u(x, t) - ( dx) (x, t) = u(x + dx, t) u(x, t) + dx (x, t) t x u i = - x t soit Il faut bien faire attention aux signes. Pour une bobine d'inductance L et un condensateur de capacité C, les relations di du u=L et i=C dt dt sont vraies en convention récepteur. Le rapport du jury signale de nombreux problèmes de signes à cause d'une mauvaise connaissance des conventions. A.1.3 Dérivons la première équation aux dérivées partielles par rapport à t, et la seconde par rapport à x ; il vient 2i 2u = - 2 t x t dont on déduit et 2u 2i = - x2 x t 2u 2u - 2 = 0 2 x t De même, en dérivant la première équation aux dérivées partielles par rapport à x, et la seconde par rapport à t, on arrive à 2i 2i - 2 = 0 2 x t A.1.4 Les grandeurs u(x, t) et i(x, t) vérifient la même équation, l'équation de d'Alembert unidimensionnelle, qui décrit la propagation d'ondes non dispersive et sans absorption. La quantité 1/ est la vitesse de propagation des ondes. A.2 Calcul de la capacité linéique de la ligne A.2.1 On considère un fil infini portant la charge linéique +q. Soit M un point de l'espace en dehors du fil ; le plan P1 , contenant le fil et M, et le plan P2 , orthogonal au fil contenant M, sont des plans de symétrie de la distribution de charge (voir schéma de gauche ci-dessous). Ainsi, en M, le champ électrostatique, qui est un vecteur polaire, appartient à P1 et P2 : en coordonnées cylindriques, il est donc radial. L'axe de révolution étant l'axe Ox, ceci s'écrit - E (r, , x) = E(r, , x) - e r Par ailleurs, les invariances par translation selon Ox et par rotation autour de Ox impliquent respectivement E E =0 et =0 x - d'où E = E(r) - er D P1 x - ex r M P2 x - e - e r O - ex r L - e - e r M O z z y D y Raisonnons sur un cylindre , d'axe Ox et de hauteur h, dont on note D et D les bases et L la surface latérale. On oriente ce cylindre vers l'extérieur. Calculons le flux du champ électrique à travers : ZZ ZZ - - - - = E · dS = E · dS L - - - - - puisque E · dS est nul sur 1 et 2 (car E est radial et dS selon ex ). Finalement, - - comme dS = r d dz er sur L , on a directement = 2 r h E(r) Il ne reste plus qu'à appliquer le théorème de Gauss à la surface fermée Qint = avec Qint = +q h eff 0 pour obtenir - E = E(r) - er avec E(r) = q 2 eff 0 r