CCP Physique 1 PSI 2006

Thème de l'épreuve Capteur de dilatation interférométrique. Variation de pression dans un tube indéformable.
Principaux outils utilisés optique, électrocinétique, ondes sonores, thermodynamique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2006 PSIPIOS A CONCOURS (OHMUNS POIYÏECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. *** N B Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d' énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa c0mposition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené a prendre. Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans chaque cas, la numérotation de la question traitée. *** DOSSIER REMIS AUX CANDIDATS - o Le sujet comporte 9 pages L'épreuve comporte deux problèmes totalement indépendants. Dans chaque problème, de nombreuses questions sont indépendantes. PROBLÈME A: CAPTEUR DE DILATATION INTERFEROMETRIQUE Dans ce problème, la lumière se propage dans des fibres optiques à saut, d'indice, très fines.,On , pourra confondre le trajet de lalumière avec l'axe de la fibre. A.1 COUPLEUR OPTIQUE _ On réalise un coupleur optique en approchant suffisamment deux fibres optiques. Ceci est réalisé actuellement avec des composants à base de semi- conducteurs. A.1.1 Citer un exemple de matériau semi-conducteur très répandu. A.1.2 Le schéma de principe du coupleur est donné sur la figure 1. Figure 1 : schéma de principe d'un coupleur optoélectronique Si @ et Q2 désignent les amplitudes complexes des entrées du coupleur, les amplitudes complexes 121 et à; aux sorties sont données par la relation matricielle suivante : tr 1\ \ { \ @ l=lr tlxlg2l (@ la où ! et r sont deux "réels compris entre 0 et 1 tels que t2 +r2 : l. Un coupleur est alors caractérisé par sa constante de couplage t. ' Ecrire les amplitudes _l_9_jet La; en fonction de g_; , @ et de tunique"ment. A.1.3 Par quelinstrument couramment utilisé en optique pourrait-on remplacer ces coupleurs ? A.2 INTERFEROMETRE DE MACH -- ZEHNDER ET DETECTION DE DILATATION Le dispositif est schématisé ci-dessous : Diode Laser ... "'--;. Coupeulr Cé... .; Fibre Ë'Ê Figure 2 : dispositif de Mach -- Zehnder à fibres optiques A.2.1 A.2.2 A.2.3 A.2.4 A.2.5 A.2.6 Une fibre optique F 0 (appelée fibre de référence) traverse deux coupleurs Optiques identiques (de conStante de couplage t). Une diode Laser émet une onde monOchromatique de longueur _ d'onde dans le vide it : 1,2 um et d'amplitude A. Entre les deux coupleurs, cette fibre d'indice n() = 1,5 est enroulée sur un cylindre et sa longueur totale est L0 = 100 m. La lumière se propageant dans la fibre subit une atténuation de l'amplitude : on notera ,B le facteur multiplicatif d'atténuation. Une deuxième fibre F1 (appelée fibre de mesure) traverse aussi les deux coupleurs, ses caractéristiques (longueur et indice) sont les mêmes que celles de la fibre de référence. Rien n'est connecté à l'entrée de cette fibre. On enroule (sur environ 10000 tours) cette fibre sur un cylindre de matériau très dilatable. Une variation de température AT (autour d'une température dite de référence To) provoque la dilatation de ce cylindre, ce qui provoque une déformation de la fibre F 1 qui voit ainsi sa longueur varier de 5L = a - L0 -AT . A quel domaine du spectre électromagnétique appartient la radiation émise par la diode Laser '? ' ' Quelle est l'unité du coefficient a ? Typiquement, a est de l'ordre de 10'7 SI, quelle sera la variation de longueur de la fibre pour une variation de température de 0,1 °C ? Exprimer les amplitudes. g_o et g; des deux ondes entrant dans le deuxième coupleur respectivement par la fibre Fo et par la fibre--F1 en fonction de A, t, fl et d'un déphasage CD. Exprimer ensuite leur différence de phase CD en fonction de no, À, La, 05 et AT . Exprimer alors les intensités 10 et II des deux ondes en sortie du deuxième coupleur en fonction de CD, A, ,8 et t. ' ' ' Des photodiodes (PO) et (P1) sont placées à la sortie de chaque fibre. Elles délivrent un courant proportionnel à l'intensité lumineuse qu'elles reçoivent. Ces photodiodes sont , insérées dans des circuits dits de polarisation non représentés ici. On prélève alors une tension image du courant de chaque photodiode, puis à l'aide d'un soustracteur A on réalise la soustraction des deux signaux. Ainsi à la sortie du soustracteur, on récupère une tensi0n V de la forme V = k() -10 -- k1 -11 ou ko et k; sont des constantes choisies de telle façon que V - soit de la forme V : VM cos CD avec VM constante donnée. . . . , , . . 7r , . . , Le d15posrt1f est regle de telle façon a av01r CD = 5 en 1 absence de vanat1on de temperature. De combien varie CD si la température varie de 0,001°C '? En déduire que V est proportionnelle à AT . En déduire que l'on parvientà suivre la moindre dilatation du cylindre. Il se peut que le cylindre sur lequel est enroulé la fibre F 0 se dilate très faiblement, entraînant une variation de la longueur La de la fibre F0 de 10'12 en valeur relative. Evaluer alors le" déphasage correspondant et comparez le à celui obtenu dans la question A.2.5. A.3. REALISATION DES CIRCUITS ELECTRONIQUES UTILISES A.3.1 On considère le circuit suivant (cf. figure 3) où l'amplificateur est idéal et fonctionne en régime linéaire. Les tensions V; et V2 alimentent le circuit. Exprimer la tension de sortie V5 en fonction des grandeurs du circuit. A quelle condition aura-Fon un montage Soustracteur idéal ? Figure 3 : montage soustracteur A.3.2 Une photodiode est un composant non linéaire dont la caractéristique courant --- tension dépend de l'intensité lumineuse arrivant sur la photodiode (aucune connaissance sur les dipôles non linéaires n'est requise pour traiter cette question). La caractéristique de la _ photodiode est donnée sur la figure 4. Dans quelle partie de la caractéristique devrait se -- situer le point de fonctionnement (LU) afin d'avoir un courant proportionnel au flux lumineux '? A.3.3 On branche la photodiode en série avec un générateur de Thévenin (E, R). Proposer alors un schéma de branChement convenable afin de travailler dans le régime désiré pour la photodiode. On justifiera le sens de branchement en traçant la caractéristique du générateur de Thévenin Sur celle" de la photodiode et on placera le point de fonctionnement de ce circuit. A.3.4 Quelle tension peut-on alors injecter à l'une des entrées du soustracteur '? A . U  correspondante est la valeur moyenne du vecteur densité de flux d'énergie acoustique par unité de surface. Donner son expreSsion littérale. Le seuil d'audition d'une oreille humaine correspond à une intensité de 10'12 W/m2. Quelle est la variation de crête-à--crête de pression TCCàC correspondante ? Application numérique. Quelle est l'amplitude crête-à-crête ucàc du déplacement ass0cié ? Application numérique. IN TEN SITE ACOUSTIQUE La sensation auditive étant, d'après la loi de Fechner, proportionnelle au Log (décimal) de l'excitation, cette dernière est exprimée dans l'unité appropriée, le décibel : I(dB) = 10.L0g{--£--) Pref I(dB) = 20.Log{f--) . ref où Pdésigne une puissance et A l'amplitude du mouvement oscillant correspondant. Laquelle des deux expressions convient à la définition de l'intensité acoustique en fonction de la surpression n(x,t) correspondante ? Pourquoi ? La pression de référence (0 dB) correspond à 2 dixmillièmes de millibar. Quelle estla valeur correspondante en unité SI et quelle est l'unité appropriée ? En prenant cette valeur pour la surpression crête-à--crête TCCàC, déterminer la valeur de l'amplitude crête-à--crête "CàC du déplacement associé à une fréquence de 1 kHz. Un train passant en gare à pleine vitesse produirait sur le quai un son dont l'intensité peut atteindre les 120 dB à une fréquence de l'ordre de 100 Hz. Quel est le rapport entre l'amplitude crête-à-crête générée par le train "CàC(tÏain) et celle de référence ucàc(ref). Application numérique. ' Comparer ce déplacement à celui lié au seuil d'audition. Commentez. FIN DU PROBLÈME B FIN DE L'ENONCE.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Physique 1 PSI 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Pierre-Marie Billangeon (ESPCI) ; il a été relu par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Emmanuel Bourgeois (ENS Lyon). Cette épreuve comporte deux parties complètement indépendantes : c'est un sujet assez facile. La plupart des questions requièrent des réponses courtes sans débordements calculatoires. On s'attache tout au long de l'épreuve à donner des ordres de grandeur qu'il faut commenter, ce qui nécessite dans certains cas de faire preuve d'esprit critique. · Le premier problème traite d'un dispositif interférométrique, qui est appliqué à la mesure de dilatation de matériaux. On commence par exprimer les amplitudes des deux ondes parcourant un interféromètre Mach-Zehnder en fonction du déphasage induit par la dilatation du matériau étudié : ceci permet d'évaluer la sensibilité d'une telle mesure. Le problème se conclut sur une étude du système électronique utilisé pour lire le déphasage en sortie de l'interféromètre : on redémontre la condition pour avoir un montage soustracteur idéal, puis on explicite la manière de polariser les photodiodes chargées de mesurer l'intensité lumineuse des deux ondes à la sortie de l'interféromètre. · Le second problème porte sur la propagation du son : on établit l'équation de d'Alembert dans un tube indéformable, puis on dérive les expressions du champ de déplacement et du champ de surpression dans différentes situations (réflexions totales ou non). Le problème se conclut sur des considérations plus générales : on discute les ordres de grandeur des variables mises en jeu en acoustique dans différentes limites. Cette seconde partie est une succession de questions de cours, ce qui en fait un bon exercice de révision pour tester ses connaissances en acoustique. Un candidat bien préparé doit pouvoir répondre à toutes les questions dans le temps imparti : ce sujet est donc aussi l'occasion d'évaluer sa rapidité. Indications Partie A A.2.3 Utiliser la relation donnée dans l'énoncé à la question A.1.2, reliant les amplitudes en entrée et en sortie d'un coupleur optique. A.2.5 Faire l'hypothèse que , et utiliser le développement limité + = - cos 2 A.3.1 Appliquer le théorème de Millman à chaque entrée de l'amplificateur, et utiliser le fait que ce dernier est idéal. Partie B B.1.1 L'énoncé fait un abus de langage qui peut s'assimiler à une petite coquille en parlant de densité là où on s'intéresse à la masse volumique. B.1.4 Utiliser l'approximation acoustique pour simplifier l'expression de la dérivée particulaire en négligeant le terme convectif. B.2.1 La formule définissant le coefficient de compressibilité K est incorrecte alors que le texte est correct. Il faut lire K=- 1 V V p d'où - V = -K P V B.2.2 Écrire V(x, t) en fonction du gradient du champ de déplacement u(x, t). B.3.1 Utiliser le résultat de la question B.2.2. B.5.1 Faire l'hypothèse que les variations de pression dans le gaz sont isothermes pour dériver l'expression du coefficient de compressibilité K. B.5.8 Écrire la différentielle logarithmique de l'équation de Laplace. B.6.1 Écrire les conditions aux limites pour le champ de surpression (x, t). B.7.3 Utiliser l'équation de d'Alembert établie à la question B.2.3. B.7.6 Se rappeler qu'en notation complexe ha(t) b(t)it = 1 Re {a(t) b (t)} 2 B.8.4 Prendre garde au fait que l'on compare une intensité prise à 100 Hz, avec une intensité de référence prise à 1 kHz. A. Capteur de dilatation interférométrique 1. Coupleur optique A.1.1 On peut citer le silicium, utilisé par l'industrie informatique pour la réalisation des transistors qui constituent la base des circuits intégrés. Après le silicium, les semi-conducteurs les plus utilisés sont le germanium (semi-conducteur intrinsèque), et l'arséniure de gallium (extrinsèque). A.1.2 Selon la relation matricielle donnée, les amplitudes complexes b1 et b2 en sortie sont reliées aux amplitudes complexes a1 et a2 en entrée par ( b1 = t a1 + r a2 b 2 = r a1 + t a2 Les coefficients de transmission t et de réflexion r vérifient r2 + t2 = 1 (r, t [ 0 ; 1 ]), donc r = 1 - t2 . On en déduit que b1 = t a1 + 1 - t2 a2 b = 1 - t2 a + t a 2 1 2 A.1.3 On pourrait remplacer ces coupleurs par des lames séparatrices. 2. Interféromètre de Mach-Zehnder et détection de dilatation A.2.1 La longueur d'onde de la radiation émise par la diode laser étant de 1, 2 µm, elle émet dans l'infrarouge. A.2.2 Le coefficient de dilatation thermique peut s'écrire de la façon suivante L L donc [] = = T-1 L0 T LT L'unité de dans le système international est donc le K-1 . Pour une variation de température de 0, 1 C, la variation de longueur de la fibre L est de = L = L0 T = 1, 0 µm A.2.3 On peut refaire rapidement un schéma récapitulant les caractéristiques du dispositif interférométrique étudié dans ce problème Fibre F0 Diode Laser a0 a0 a0 b0 a1 a1 a1 b1 P0 Coupleur Coupleur P1 Fibre F1 Les amplitudes a0 et a1 des ondes en entrée du premier coupleur optique sont respectivement ( a0 = A a1 = 0 D'après la question A.1.2, les amplitudes complexes en sortie du premier coupleur sont ( a0 = t a0 + 1 - t2 a1 = t A a1 = 1 - t2 a0 + t a1 = 1 - t2 A En tenant compte de l'atténuation dans les deux fibres, ainsi que du déphasage induit par la dilatation du matériau étudié, les amplitudes des deux ondes entrant dans le second coupleur valent ( a0 = (t A) a1 = 1 - t2 A exp(j) Le déphasage est relié à la différence de chemin optique L associée à la dilatation du cylindre sur lequel est enroulée la fibre F1 L n0 = 2 L0 T n0 = 2 d'où A.2.4 Les amplitudes des deux ondes en sortie du second coupleur valent ( b0 = t a0 + 1 - t2 a1 b1 = 1 - t2 a0 + t a1 En utilisant l'expression des amplitudes des ondes dans les deux fibres entrant dans le second coupleur établies à la question précédente, on montre que ( b0 = A t2 + 1 - t2 exp(j) b1 = A t 1 - t2 (1 + exp(j)) En séparant parties réelles et imaginaires, il vient ( b0 = A t2 + (1 - t2 ) cos + j 1 - t2 sin b1 = A t 1 - t2 [(1 + cos ) + j sin ] On en déduit la valeur des intensités I0 et I1 en sortie du second coupleur ( I0 = |b0 |2 = (A )2 t4 + 2 t2 (1 - t2 ) cos + (1 - t2 )2 2 2 I1 = |b1 | = 2 (A ) t2 1 - t2 (1 + cos ) A.2.5 Si la température varie de 0, 001 C, alors d'après la question A.2.3, varie de = 7, 85.10-2 rad On regarde des variations de température suffisamment faibles pour pouvoir supposer que le déphasage induit vérifie