CCP Physique 1 PSI 2004

Thème de l'épreuve Étude énergétique et thermodynamique d'un réacteur nucléaire à eau pressurisée. Écoulement dans un canal.
Principaux outils utilisés diffusion thermique, bilans énergétiques et mécaniques, mécanique des fluides
Mots clefs énergie nucléaire, machines thermiques, écoulement laminaire

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(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 SESSION 2004 . PSIP106 CONCOURS (OMMUNS POIYÏECNNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE -- FILIÈRE PSI PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. *** N. B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer cequi peut lui sembler être une erreur d 'énoncé, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. *** Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans chaque cas, la numérotation de la question traitée. ' ' DOSSIER REMIS AUX CANDIDATS . Texte de présentation (11 pages) . . Document-Réponse concernant le Problème A (1 page recto simple) PROBLÈME , A: ÉTUDE ÉNERGÉTIQUE ET THERMODYNAMIQUE D'UNE TRANCHE NUCLÊAIRE FRANCAISE REP 900 MW Une unité de production nucléaire est constituée de plusieurs éléments parmi lesquels trois seront plus particulièrement étudiés dans ce problème : le réacteur, le circuit primaire et le circuit secondaire. Dans tout ce problème, on notera q les échanges de chaleur par unité de temps, P.,. la puissance électrique et PTh la puissance thermique. Il est demandé au candidat de respecter la numérotation définissant les différents points des circuits discutés, telles qu'elles sont sur les figures ; on prendra pour la charge de l'électron e = 1,602.10°19 C, le nombre d'Avogadro NA = 6,022.1023 atomes/mole et la célérité de la lumière dans le vide c : 2,998.108 m.s". A.]. FISSION NUCLÊAIRE, ASPECT ÉNERGÉTIQUE Un réacteur nucléaire est basé sur la fission de l'uranium 235 (noté U5 dans la suite) induite par neutrons lents. Dans une telle réaction, un neutron lent, capturé par un noyau d' U5, donne lieu à la fission du noyau 236U ainsi produit et génère deux fragments de fission (FFI et PF2) tout en libérant x neutrons (n), le x moyen étant compris entre 2 et 3. On cède ainsi au milieu une énergie QN (enthalpie de réaction) pour chaque fission. Une fois ralentis, les neutrons serviront à entretenir la chaîne de réactions ; ainsi, la maîtrise du flux de neutrons permet de contrôler la réactivité du Coeur. L'uranium naturel est principalement composé de deux isotopes (même Z = 92) de masse 238 (U8, environ 99,28 %) et 235 (US, environ 0,72%). Il est nécessaire d'enrichir l'uranium en U5 très fissile aux neutrons lents à des taux allant de quelques %, pour les réacteurs de puissance, jusqu'à quelques dizaines de %, pour des réacteurs de recherche à haut flux. L'U5 (235U92) est composé de Z = 92 protons et N = 143 neutrons, le nombre total de nucléons étant A = 235. Comme c'est le cas pour tous les atomes, la quasi-totalité de la masse atomique est constituée par les nucléons (neutrons et protons) situés dans le noyau. A.l.a. Donner la relation entre la masse m(U5) d'un noyau d'U5, la masse de ses constituants et l'énergie de liaison nucléaire BN(US). Notez qu'il est d'usage de donner non pas la masse mais son équivalent énergétique, en appliquant la relation E : mc2; on notera mn (respectivement mp) la masse du neutron (respectivement proton). A.l.b. L'énergie libérée par une réaction de fission (ON) étant liée à une variation d'énergie de liaison nucléaire entre l'US et les éléments finaux (PF l, PF2 et x neutrons), établir l'expression de l'énergie libérée par la réaction nucléaire QN, en fonction de la masse des éléments en présence (mus, m..., m..., mn). A.l.c. Appliquer cette relation au cas particulier de la production de 132Sn50 et de l°°Mo,z , via la fission induite par neutron lent de 235U92. ( on donne: mc (n)=939, 57 MeV, mc ('328n50)= 122 880, 49 MeV, mc ('OOMO42)=93 069, 46 MeV et me (=235U92) 218 942,00 MeV). A.l.d. Les fragments de fission n'ont pas tous la même masse. Or, on peut produire plus d'une centaine de fragments différents lors de telles réactions. On est donc amené à considérer une ' moyenne des énergies libérées par ces réactions. Sachant qu'on passe d'une énergie de liaison de 7,55 MeV/nucléons, pour l'uranium, à 8,4 MeV/nucléons, pour les fragments de fission, et qu'on émet en moyenne 2,5 neutrons par fission, quelle est en MeV la valeur moyenne de l'enthalpie de réaction de fission QN ? A.l.c. À partir de la masse en MeV d'U5, retrouver la valeur (en grammes par mole) de la masse molaire de l'US isotopique. A.l.f. Quelle est, en MeV, puis en watt.heure, l'énergie libérée par la fission d'un gramme d'U5 ?-- A.l.g. Sachant que la combustion d'un hydrocarbure libère environ 6 eV par molécule de C02 formé, déterminer l'énergie libérée par la combustion d'un gramme de CH.; (en watt.heure). A.l.b. En déduire la masse de CH.; correspondant, d'un point de vue énergétique, à lg d'U5. A.2. ÉTUDE ÉNERGÉTIQUE DU COEUR DU RÉACTEUR A.2.a. Combien de fissions par seconde sont nécessaires pourfoumir les 2,6 GWTh produits par le A.2.b. A.2.c. A.3. Coeur d'un réacteur REP 900 en régime continu '? Déterminer, en grammes par seconde, et en tonnes par an, la consommation AM(U5) d'U5 en régime continu. Le réacteur comprenant, dans sa première année, 157 assemblages combustibles, contenant chacun 461,7 kg d'Uranium enrichi à 2,42% en US, déterminer la masse M(U5) d'U5 contenu dans le Coeur neuf et le taux de combustion annuel d'U5, AMU5/MU5 (en %). ÉTUDE THERMIQUE DU CIRCUIT PRIMAIRE Cdmme on peut le constater sur le schéma simplifié d'un réacteur REP 900 MW (Figure 1), le circuit primaire d'un réacteur nucléaire à eau sous pression (REP) est composé de quatre éléments : le Coeur (C) situé dans la Cuve Réacteur (CR), le Pressuriseur (Pr), le Générateur de Vapeur (GV) et la Pompe primaire (PI). Le bore servant à la limitation du flux de neutrons, le contrôle de la puissance nucléaire est effectué à l'aide du fluide caloporteur qui est de l'eau borée. Dans tout ce cycle, le fluide caloporteur est en phase liquide et ne fournit ' aucun travail. Pour augmenter l'efficacité d'échange, une tranche nucléaire 900 MWel comprend trois boucles parallèles comprenant chacune un Générateur de Vapeur (GV) et une Pompe \ primaire (PI). La pression est maintenue constante dans le Coeur grâce a un unique Pressuriseur (Pr) situé dans une des trois boucles. Par souci de clarté, seule cette dernière est schématisée sur la Figure 1. BR Bâtiment réacteur SM Salle des machines CR Cuve réacteur C Coeur BC Barres de contrôle Pr Pressuriseur GV Générateur de vapeur (échangeur) ... P1 Pompe primaire lllllllllllllllllllllllll ... . PSF Pompe Source Froide T "Turbine Alt Alternateur CO Condenseur SF Source froide (rivière, mer ou aéroréfrigérant) Fig. 1. - Configuration générale d'une tranche nucléaire type réacteur à eau sous pression A.3.a. A.3.b. Pour décrire un échange de chaleur entre deux milieux, on dispose de la loi de Newton qui relie l'énergie échangée par unité de temps (q) et la surface d'échange A à la différence de température AT entre les deux milieux : 3- : h.AT A La conductance surfacique h est une grandeur caractéristique du matériau utilisé et dépend de la température à laquelle s'effectue l'échange. Dans cette formulation, on tient implicitement compte de l'épaisseur du matériau utilisé. Si on souhaite avoir explicitement accès à l'épaisseur Ax, on travaillera plutôt avec la conductivité thermique k, sachant qu'elle est reliée à la conductance surfacique par k : h.Ax En régime permanent, le Coeur du Réacteur maintient le fluide caloporteur à 330°C et compense les échanges de chaleur avec le circuit secondaire au sein du GV, ainsi que les déperditions de chaleur. Dans cette partie du problème, on va décrire les échanges de chaleur entre la Cuve Réacteur (CR) et l'enceinte de confinement du Bâtiment Réacteur (BR), via l'air ambiant que l'on supposera immobile pour simplifier le problème. Cette enceinte est en fait composée de deux murs de béton distants d'environ 2 mètres. On se limitera ici à l'étude du profil thermique entre le Coeur et la paroi intérieure de BR portée, dans ces conditions, à une température de TE : 38°C (Figure 2). Pour simplifier le problème, on ne tiendra pas compte des gradients thermiques liés à l'évolution du fluide primaire dans la Cuve Réacteur. On caractérisera donc le fluide par sa Température de sortie Coeur TC. Enceinte Extérieure 0 ëë Êæ mE TEXT rn >< ---l m 2 rn C 23 CD 23 INTERIEUR BR ___-__..__ Fig. 2. - Profil de température selon une coupe radiale d'un bâtiment réacteur (BR). Écrivez la relation à l'équilibre thermique entre la température TC du Coeur supposée homogène, celle de surface de la cuve Ts et la quantité de chaleur dissipée par unité de temps et de Surface d'échange qC/Séch_. En pratique, il est plus simple de travailler avec la conductance surfacique hc qui donne directement, en watts par mètre carré et par 0C , la capacité de dissipation de la cuve. Donner la valeur numérique de*hC sachant que la conductivité thermique de l'acier noir, dont la cuve est constituée, est k = 51 W/m.°C au voisinage de la Température Cuve, et que cette dernière a une épaisseur 8 = 20 cm. A.3.c. A.3.d. A.3.e. A.3.f. A.3.g. A.3.h. A.3.i. A.3.j. A.3.k. A.4. A.4.a. La quantité de chaleur dégagée par la cuve est ensuite dissipée par l'air environnant (on supposera que les formules vues précédemment sont valables dans la présente géométrie). Il s'établit un équilibre de conduction qui fixe la valeur de Ts. Sachant que l'air présente une conductance surfacique de hair : 10 W/m2.°C, déterminez la relation à l'équilibre entre la Température de Surface de la cuve Ts, celle de l'enceinte intérieure du bâtiment réacteur TE ' et la quantité de chaleur dissipée par unité de temps et de surface de cuve qc/Séch_ en Wlm2. En déduire l'expression de la Température de Surface de la cuve Ts ainsi que celle de la chaleur échangée par unité de Surface d'échange qc/Séch_ Le système cuve--air présente donc une conductance combinée h' à la surface de l'interface cuve/air. Donner son expression et sa valeur. Commentez. On supposera que, toutes les déperditions ont lieu en surface de cuve (Rcuve : 2 m, H,...= 12 m) et des boucles primaires. En sachant que la Surface totale d'échange S..... représente environ 750 m2, déterminer la Quantité de Chaleur qc échangée à l'équilibre thermique. ' Déterminer la Température de Surface Ts de la cuve correspondante. Une isolation de conductance surfacique hi : 0,25 W/m2.°C a été placée au niveau des Surfaces d'échange. Déterminer le coefficient h"ç pour le groupement « cuve+isolant ». Application numérique. Commentez. Déterminer la nouvelle Température de surface T's , ainsi que la déperdition q'c correspondante. Pour cette estimation, on supposera que tout le'fluide primaire est à la température TC. . Comparer la déperdition totale à la puissance thermique générée. On fournit une puissance F...: 5,5 MW au niveau des Pompes primaires de chaque boucle d'échange, pour assurer la circulation du fluide, et une puissance Ppr= 1,5 MW au niveau du Pressuriseur, afin d'assurer le maintien en pression -- donc en phase liquide -- du fluide caloporteur (P = 155 bars). En tenant compte de toutes les informations utiles connues à ce . point, déterminer la valeur du rendement du premier cycle pl : qu/Pc , défini comme le rapport de la quantité de chaleur fournie par unité de temps du circuit primaire au secondaire dans le Générateur de Vapeur GV (q...), à celle fournie parle Coeur au primaire (Pc). Faites suivre la valeur littérale par l'application numérique correspondante. CIRCUIT SECONDAIRE : ÉCHANGES AU NIVEAU DU CONDENSEUR Dans le cas d'un cycle thermique à changement de phase, la chaleur latente de liquéfaction intervient dans le procédé. Dans le Condenseur d'une tranche 900 MW, le circuit secondaire passe, à température constante (32,7°C), d'une enthalpie de H.: 2228,76 kJ/kg à 136,9 kJ/kg (eau). En parallèle, la pression passe de 0,05 bars à 0,95 bars. La source froide produisant ce changement entre dans l'échangeur (Condenseur) à 13,0°C et en ressort à 23,0°C , en subissant une différence d'enthalpie AHF de 41,69 kJ/kg. ' Sachant que le débit massique du circuit secondaire à ce point est D2 : 830 kg/s, déterminer la puissance thermique qco évacuée par unité de temps, par la source froide, dans le Condenseur . A.4.b. Le fluide refroidissant est entraîné par une pompe (PSP) de 3,3 MW de puissance. A l'aide des résultats de la question précédente, déterminer le débit massique DF du fluide de refroidissement correspondant. Commentez. ' A.4.c. Donner, en vous justifiant, la relatiOn entre le titre x de la vapeur d'eau (% massique de vapeur) et les enthalpies de mélange (H,), de vapeur (Hm) et d'eau (H...), à une température et une pression données. A.4.d. En déduire l'expression du titre x. Appliquer au cas de la vapeur d'eau à l'entrée du Condenseur, sachant qu'à 32,7°C et à une pression de 0,05 bars, Hvap vaut 2561,26 kJ /kg. A.5. RENDEMENT THERMIQUE DU CIRCUIT SECONDAIRE SANS SOUTIRAGE Le circuit secondaire est composé d'un Générateur de Vapeur (GV, source chaude) d'un turboaltemateur, d'un Condenseur (CO, 'source froide) et d'une Pompe (P2). À la sortie du Condenseur, le fluide est comprimé en phase liquide de façon isentropique (à isentropie constante) vers le GV dans lequel il passe, à pression constante, sous forme de vapeur d'eau surchauffée (vapeur sèche) par échange thermique avec le circuit primaire. Il subit ensuite une détente isentropique dans la Turbine (T) du turboaltemateur et passe sous forme de mélange eau-vapeur à basse pression. Le Condenseur le ramène ensuite de façon isotherme et quasi-isobare en phase liquide. (A.5.a) (A.5 .f ) mlll:lllflll numul Fig. 3. - Vues schématiques des circuits secondaires considérés et diagrammes correspondants. A.5.a. Représenter, sur les diagrammes (P,V) et (T,S), fournis en Document--Réponse, le cycle décrit ci-dessus, correspondant à la partie haute de la Figure 3 (veillez à respecter les notations des points de mesure 1, 2, 3 et 4 du haut de la Figure 3, lors de leur report sur le papier). Notez que la courbe de saturation a été systématiquement représentée, que le point ( 1) [entrée Pompe secondaire P2] est indiqué sur les diagrammes (P,V) et que l'isobare correspondant au passage du Générateur de Vapeur (GV) est indiqué sur les diagrammes (T, S) fournis. Il est conseillé de procéder en étudiant les variations des couples (P, V) et (T, S) étape par étape. Il est rappelé que l'eau est incompressible et qu 'il existe une loi simple pour les gaz que l'on supposera parfaits. A.5.b. Expliquerl' intérêt technique de surchauffer la vapeur dans le Générateur de Vapeur (GV). A.5.c. Que représente l'aire délimitée par les courbes obtenues ? A.5.d.-- Établissez l'expression littérale du rendement p2=Pe1/PGV de ce circuit secondaire en fonction des enthalpies H, mesurées aux différents points (i) du circuit et du débit massique D; du circuit secondaire, avec Pel la puissance électrique fournie au réseau. Il est rappelé que, comme nous l'avons vu, une partie de l'électricité produite sert au fonctionnement du procédé. (on donne: H;=136,90 kJ/kg , H2=357,91kJ/kg , H3=2686,60 kJ/kg , I--h=1756,97 kJ/kg et D2=0,83 tonnes/s). A.5.e. Quel est le rendement global d'une telle installation ? Le titre de la vapeur changeant dans le turboaltemateur, il est plus intéressant de séparer la partie génération de travail en deux turboaltemateurs, un Corps Haute Pression (CHF) et un Corps Basse Pression (CEP). Il est ainsi possible d'introduire entre ces deux turbines un Groupe Sécheur Surchauffeur (GSS) qui sépare l'eau du gaz et qui resurchauffe le gaz à la sortie du CBP de façon isobare. Il joue donc, à l'entrée de CEP, le même rôle que la surchauffe du GVà l'entrée de CHP. Le circuit ainsi réalisé est représenté au bas de la Figure 3. La surchauffe est produite' a l'aide de fluide prélevé' a la sortie du GV. Il conduit' a une variation d'enthalpie AHgss : H6 -- Hs que l'on supposera directement prélevée au niveau du GV. Ce fluide n'ayant pas cédé toute son énergie dans GSS, on le fait interagir au niveau du réchauffeur (R) à la sortie de P2. On chauffe ainsi l'eau d'injection du GV par échange thermique, de façon isobare. La variation d'enthalpie AHR : H3 -- Hz sera supposée directement prélevée au GV. Cette eau est ensuite réinjectée dans le GV. A.5.f. Représenter, sur les diagrammes (P,V) et (T,S) fournis en Document-Réponse, le cycle décrit ci--dessus, correspondant à la partiebasse de la Figure 3 (veillez à respecter les notations des points de mesure 1 à 7 du haut de cette Figure). Notez que la courbe de saturation a été systématiquement représentée, que le point (1) [entrée Pompe secondaire P2] eSt indiqué sur les diagrammes (P,V) et que l'isobare correspondant au passage du Générateur de Vapeur (GV) est indiqué sur les diagrammes (T,S) fournis. Aidez-vous des résultats de A.5.a. A.5.g. Quel est l'intérêt, pour le cycle principal, de la réchauffe ainsi obtenue àla sortie de P2 ? A.5.b. Établissez l'expression littérale du rendement p'2= PCI/POV de ce circuit en fonction des enthalpies H', mesurées aux différents points (i) du circuit, et du débit massique D' 2 du circuit secondaire. (on donne : H'1=136,90 kJ/kg , H'2=357,91 kJ/kg , H'3=510,36 kJ/kg , H'4=2716,60 kJ/kg , H'5=2186,78 kJ/kg , H'6=2279,47 kJ/kg , H'7=1756,97 kJ/kg et D'2=0,81 tonnes/s) A.5.i. Quel est le rendement global d'une telle installation ? A.6. RENDEMENT THERMIQUE DU CIRCUIT SECONDAIRE AVEC SOUTIRAGE Pour augmenter l'efficacité de réchauffement, on procède à des soutirages dans chaque turbine. Le fluide ainsi extrait n'a pas fourni toute son énergie sous forme mécanique et peut donc la rendre sous forme thermique au sein de réchauffeurs. Comme on peut le voir sur la Figure 4, on a, outre le circuit déjà présenté dans la Figure 3, détaillé le groupe sécheur surchauffeur (GSS). On constate que l'on a découpé l'étage de pompage en deux et que l'on incorpore également aux réchauffeurs les résidus du GSS. On a reporté dans le tableau les grandeurs thermodynamiques relevées en différents points du circuit, repérés par un numéro. «---w '_ :) 118113 AR)7 ' ,__: 13ç4_1 997,5__ ___0,95: 32,7___ \Î Surchauffeur 7:- _---_--...- .....- .... _ ...... -..... -... _%éCh9ug_ .; : 2 1____ ___]_6_Z,_6__:14340 66,2_ _:__ __1__8_Q,4_ __ ......3....l. 2316 LL4Â'YQ... ....i_ 63.!- -î...-2_1.-7-!... 4 2786,6 1434,0 5_2_,_2_ __266,6 --.-- --.-------l-.. ...... --' _- ...- ...- -- ...-...- .-- 5 25610 12170 110 1841 .-.'....._.. -..... .-.--..-La... 6 â"'2942,7 9975 103 _2__50,4 :... :"""22288 8045 005 3.2.7- 8 °â"""'27866 ;" 1113 52,2 266,6 9r___ëî27866 13227 522 2666 10 : 2561,0 11090 _'-__ 110 1841 11 :""27597 ? 9975 : 11,0 . 184,1 ....._.----.L.-...- g____1-2_-1-...Ë69_9L;... !93 Z-- -__,-- 2-4-Z :... 2.23 3 13 :___25610 _: 1080 11_0___3 __1_84,1__ 14 7814î _ __ 11,0____:__1_8_4,1_ : 15 1138,8 111,3 i--...475....1-Z_69Z- 16__1f_23280_; 193,0 _-___093___; _97_,65__ _____11 _;f" 785,7_":_ 217,6 _ 15,9 _:__185"6 18"":ä ' 765,5 14340 353 1784 ' 19___ 7810 { 4365 '?'__"_'353 178,4" ""'20 __: "7_5Ï_7,1"5'_Ï9975 ' "_3_5_3""_:__"'178Ï4 "21"; "771,7?"4365 "105" 182,0 """22'"'ï"'"'563,2"5"""3975"'î' 36,4" ; ' 132, 7 23 :"""""1'8'5','3î" 1930 05 "56,6 "'2'4""' """""'142Ç5' 997, 5 "43",'7""î"""33Ï1 Fig. 4. -- Vue simplifiée des soutirages du circuit secondaire. A.6.a. Lorsqu'en un point d'un circuit, un fluide A, caractérisé par (HA et DA), se mélange à un fluide B, caractérisé par (HB et DB), quelle est l'enthalpie du mélange Sortant ? Justifier votre réponse. Appliquer au point 25 de la Figure 4.-- A.6.h. Déterminer l'expression de la puissance extraite par les turbines CHF et GBP. Faites l'application numérique. A.6.c. Déterminer la puissance nécessaire au sécheur. A.6.d. Même question pour l'ensemble des Pompes. A.6.c. Quelle est la quantité de chaleur échangée par unité de temps dans le surchauffeur ? A.6.f. Même question pour le réchauffeur R3. A.6.g. Déterminer le débit massique D 14 à l'extraction du sécheur. A.6.h. Déterminer le rendement de cette version du circuit secondaire. On tiendra également compte de la Pompe du circuit P2" de refroidissement (PPSF= 3,3 MW,:). A.6.i. Déterminer le rendement global P...," d'une telle installation. FIN DU PREMIER PROBLÈME PROBLÈME B : ECOULEMENT D'EAU DANS UN CANAL RECTILlGNE Ce problème comporte de nombreuses questions indépendantes. Nota Bene : dans tout ce problème, l'eau est traitée comme un fluide parfait et incompressîble. B.1 MESURE DE DÉBIT Soit un canal horizontal à section rectangulaire de côté L = 4 m, parcouru par de l'eau de masse volumique p, avec une vitesse v uniforme et constante sur toute une section droite du canal. La hauteur de l'eau est notée h, supposée constante dans un premier temps. B.1.a Rappeler, sans démonstration, l'équation locale de conservation de la masse dans le cas d'un fluide quelconque. ' B.1.b Que peut--on en déduire concernant le champ de vitesse pour l'eau '? Que dire aussi du débit volumique Q ? B.1.c Donner alors l'expression du débit volumique Q en fonction des variables du problème. On place un tube de verre coudé dans l'eau comme suit : Fig. 1. -- Géométrie de l'écoulement. On appelle z la hauteur de la colonne d'eau dans le tube par rapport à la surface libre du canal B.1.d Rappeler l'énoncé du théorème de Bernoulli avec les hypothèses sous--jacentes. B.1.c Exprimer alors la vitesse v du courant en fonction de z et de g, accélération de la pesanteur. B.1.f On mesure une hauteur z = 10 cm. La hauteur d'eau h vaut 3 m. Calculer alors numériquement le débit volumique de ce canal. On prendra g = 10 ms"2 . B.2 B.2.a B.2.b B.2.c B.2.d ' B.2.e B.2.f B.2.g B.3 RÉGIMES D'ÉCOULEMENT DANS LE CANAL La hauteur h de l'eau circulant dans le canal n'est plus constante maintenant. Que dire de la quantité e définie par e : gh+v2/2 sur tout le long du canal '? Justifier votre réponse. Quelle signification physique voyez--vous pour la quantité e ? Donner la valeur numérique de e en prenant les valeurs numériques prises précédemment dans la question B.l.f. Exprimer le débit Q en fonction de la largeur du canal L, de h, e et g. Représenter, sur la copie, l'allure de la courbe du débit en fonction de h, et montrer que, pour un débit donné, il y a deux profondeurs hr et hp > hT possibles. On ne cherchera pas à calculer ces profondeurs ! Calculer la hauteur critique hc du canal qui correspond à un débit maximal. On expfimera cette hauteur critique en fonction de e et g. Faire l'application numérique. En déduire la vitesse vc de l'écoulement quand la hauteur du canal est égale à hc. Les profondeurs hr et hp correspondent à deux régimes d'écoulement dans le canal. Caractérisez ces deux régimes. Quels noms peut--on leur donner '? GÉNÉRATION D'UNE ONDE DE RESSAUT A un instant donné, le canal est obturé à un endroit par une paroi verticale. Une vague remonte alors le canal àla vitesse w mesurée dans le référentiel terrestre. La hauteur d'eau en amont du ressaut est h, et la vitesse du courant est v. En aval du ressaut, la hauteur d'eau est h" constante. _ On étudie dans le référentiel terrestre, supposé galiléen, le système fermé (S) de fluide délimité par les sections (en pointillés sur le dessin) amont S, et 52. On supposera que l'on peut encore calculer les forces de pression dues à la colonne d'eau comprise entre 82 et la paroi. Pour simplifier, on supposera que le front de la vague est vertical. Fig. 2. -- Génération d'une onde de ressaut. B.3.a B.3.b B.3.c B.3.d B.3.e B.3.f B.3.g En traduisant la conservation de la masse du système (S), établir une relation entre v, w, h et h'. Faire, sur la copie, un dessin du système (S) à l'instant t et à l'instant t+dt. On pourra griser ou hachurer le fluide déplacé. En déduire la variation de la composante horizontale de la quantité de mouvement du système (S) pendant la durée dt. On montrera qu'elle s'écrit sous dPx dt On supposera que la vitesse v du fluide est nulle en 82. =--pLh x g(v,w) où g(v,w) est une fonction de v et w que l'on explicitera. la forme La pression étant P° sur la surface de l'eau en écoulement, calculer, en fonction de la profondeur, la pression qui règne dans l'eau, en appliquant la relation fondamentale de la statique des fluides. Soit une paroi rectangulaire plongée dans l'eau, de largeur L et de hauteur h. Calculer la résultante des forces de pression s'exerçant sur cette paroi. Exprimer le résultat en fonction de L, h, ,a, P0 et g. On pourra introduire un vecteur ñ normal à la paroi que l'on exprimera en fonction du vecteur unitaire êx de l'axe (Ox). Que vaut la résultante des forces de pression sur la section gauche S, de (S) ? Même question pour la section droite S; de (S) et pour le front de vague qui est supposé vertical. En déduire l'expression de la résultante des forces extérieures s'appliquant sur (S), en fonction de ,a, g, L, h et h'. En déduire alors que h(v+w)v : g/2Xf(h',h), où f est une fonction de h et h' que l'on précisera. Déduire des relations obtenues en B.3.a et B.3.f la célérité w de la vague en fonction de g, h et h '. ' B.3.h Si on fait h 3 h', que retrouve-t-on ? FIN DU DEUXIÈME PROBLÈME ... Document-Ré anse $.m.8 $.m.3 .... ... . _ ...... , . . , ... . . . . ,. , , : . , , _ . , .... .. « .... . . J -..... . . ..u. .....Îiî .. ..» v... . ... ,.... .... . ... .;3. «fuM.t....\w\â. +». ,.,Ï .. .. î. ....\N.mY...Ï...L...ÈÔC.. m.]? .... . .. . :... .. . . ..î.: .}... .. .... a.. En. @. . <:aoe mÈmEæ--Eäm nom n...--.Ê...OE moen@bàæ...--.æm 83399 2 &»oewËoeæ 82.æoe--ë:@E--OE. Fin du Document-Ré anse.

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 CCP Physique 1 PSI 2004 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Stanislas Antczak (Professeur agrégé) ; il a été relu par Karol Kozlowski (ENS Lyon) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm). Ce sujet comporte deux problèmes totalement indépendants. Au sein de chacun des problèmes, de nombreuses questions sont elles-mêmes indépendantes, ce qui aide à la progression. Le premier problème fait l'étude énergétique d'une unité de production nucléaire. Dans une première partie, on étudie du point de vue énergétique la réaction de fission de l'uranium 235. Ensuite, on étudie les différents circuits qui constituent l'unité, en faisant tout d'abord l'étude énergétique du coeur du réacteur, puis en s'intéressant au circuit primaire et enfin au circuit secondaire. Plusieurs versions de ce dernier sont étudiées. L'aboutissement de ce problème est le calcul du rendement global de la tranche nucléaire. Ce problème ne fait pas appel à beaucoup de concepts de la thermodynamique, mais nécessite d'avoir une vision claire de ce qui se passe en pratique. Il est résolument axé sur une étude réaliste du fonctionnement de la tranche nucléaire ; beaucoup d'applications numériques sont demandées. L'énoncé n'est pas toujours clair, de sorte qu'il est nécessaire de le lire de nombreuses fois pour trouver le renseignement cherché (par exemple une donnée numérique), ce qui prend beaucoup de temps. Le deuxième problème traite d'écoulements dans un canal, d'abord à hauteur constante, puis à hauteur variable, et enfin dans le cas où une onde de ressaut remonte le courant. Ce problème est relativement classique et, là encore, une difficulté réside dans la désinvolture de l'énoncé, qui laisse parfois bien des libertés, parfois non ­ cela peut dérouter. Il importe de rester très rigoureux jusqu'au bout. Indications Problème A A.1.a L'énergie de liaison nucléaire est l'énergie libérée par la réaction de séparation du noyau en nucléons séparés. A.1.d Passer par l'intermédiaire d'une étape fictive où les nucléons sont séparés. A.1.f Un joule est égal à un watt.seconde. A.3.a Intégrer l'équation de la chaleur et utiliser la loi de Fick. A.3.e Faire une analogie avec les conductances en électricité. A.3.h Réutiliser le résultat de la question A.3.e. A.3.k La puissance produite par le coeur est de 2,6 GW. Ne pas oublier qu'il y a trois pompes primaires. A.4.a Faire le bilan d'enthalpie massique au niveau du condenseur, puis multiplier par le débit massique pour avoir la puissance évacuée. A.4.b Diviser la puissance thermique à évacuer par l'enthalpie massique évacuée pour obtenir le débit. A.5.a La surchauffe est le chauffage de la vapeur sèche. A.5.d Faire un bilan d'enthalpie massique au niveau de P2, puis multiplier par le débit pour obtenir la puissance apportée par P2. Procéder de même au niveau du GV. A.5.f On découpe la détente en deux ; entre-temps on resurchauffe le fluide. A.6.b (et jusqu'à A.6.f) Faire des bilans de puissance thermique aux points d'entrée et de sortie du fluide, avec Pi = Hi Di . Problème B B.1.e Utiliser le théorème de Bernoulli en deux points de la surface de l'eau, l'un dans le tube et l'autre ailleurs dans le canal. B.2.a Que donne le théorème de Bernoulli à la surface de l'eau ? B.2.e Où s'annule la dérivée de Q(h) ? B.3.a Faire un dessin du système (S) à deux instants voisins. B.3.b Faire le bilan de la quantité de mouvement horizontale perdue en amont et gagnée au niveau de l'onde de ressaut. B.3.e L'air exerce sur le front de l'onde une pression constante. B.3.f Utiliser les lois de la dynamique pour relier les questions B.3.e et B.3.b. A. Étude énergétique et thermodynamique d'une tranche nucléaire française REP 900 MW 1. Fission nucléaire, aspect énergétique A.1.a L'énergie de liaison nucléaire est l'énergie nécessaire pour casser le noyau assemblé et obtenir ses constituants séparés. Pour un noyau A XZ , la réaction nucléaire qui a lieu est A XZ Z p + N n, dont le bilan énergétique est (Z mp + N mn - mX ) c2 . C'est cette énergie que l'on appelle l'énergie de liaison du noyau. Pour l'uranium 235, cela donne : BN (U5) = (92 mp + 143 mn - m(U5)) c2 A.1.b L'équation de la réaction de fission peut s'écrire 235 U92 + 10 n - PF1 + PF2 + x 10 n L'énergie libérée par une réaction nucléaire s'écrit QN = Eproduits - Eréactifs = (mproduits - mréactifs ) c2 L'énergie libérée par la fission est donc, ici : QN = (mPF1 + mPF2 + (x - 1) mn - mU5 ) c2 Il faut faire attention à ne pas oublier le neutron lent initiateur de la fission, car sinon le nombre x de neutrons libérés n'est pas le même. Cela n'a pas grande importance ici, mais cela en aura à la question A.1.d. A.1.c Ici la réaction considérée est 235 U92 + 10 n - 132 Sn50 + 100 Mo42 + x 10 n Pour déterminer x, il faut écrire la conservation du nombre de masse A : on a 235 + 1 = 132 + 100 + x d'où x=4 On calcule ainsi l'énergie libérée par la réaction : QN = -173,34 MeV Cette énergie est négative : cela signifie que le système cède à l'extérieur de l'énergie (sous forme d'énergie cinétique), donc que la réaction est bien exothermique. A.1.d Pour mieux comprendre le lien entre les énergies de liaison des noyaux et l'énergie moyenne libérée par la fission, on imagine que la réaction passe par l'intermédiaire des nucléons séparés. On doit donc d'abord fournir l'énergie de liaison de U5 pour séparer ses constituants, puis on récupère l'énergie de liaison des produits de la fission lorsqu'ils se forment. Représentons les choses sur un diagramme en énergie : E Z p + (N + 1) n BN (U5) BN (PF1) + BN (PF2) U5 + n QN PF1 + PF2 + x n On peut écrire pour chaque réaction de fission QN = BN (U5) - (BN (PF1) + BN (PF2)) On a donc besoin des énergies de liaison du noyau d'U5 et de celle de ses produits de fission. L'énergie de liaison du noyau d'uranium vaut BN (U5) = 7,55 × 235 = 1,77 GeV Les produits ont, à eux deux, 235 + 1 - 2,5 = 233,5 nucléons en moyenne : en effet, les 236 nucléons du départ (les 235 de l'uranium plus le neutron lent) donnent les produits PF1 et PF2 plus en moyenne 2,5 neutrons. L'énergie de liaison moyenne des produits est, par conséquent, BN (PF1) + BN (PF2) = 8,4 × 233,5 = 1,96 GeV On peut à présent calculer QN comme expliqué ci-dessus : QN = -187 MeV A.1.e Il s'agit de transformer une masse exprimée en MeV en masse exprimée en kilogrammes. On passe par l'intermédiaire des joules : m c2 (U5) (J) = m c2 (U5) (eV) × e m c2 (U5) (eV) × e = 3, 902 . 10-25 kg c2 Pour une mole d'atomes, cela donne d'où m(U5) = m(U5) × NA = 3,902 . 10-25 × 6,022 . 1023 = 2,350 . 10-1 kg.mol-1 La masse molaire de l'uranium 235 est donc MU5 = 235,0 g.mol-1 A.1.f Chaque réaction libère une énergie QN . Une mole de réactions libère donc une énergie totale |QN | NA . Or, une mole d'atomes contient une masse d'atomes de MU5 grammes, donc l'énergie EU5 libérée par la fission d'un gramme d'uranium 235 est EU5 = ou encore |QN | NA = 4,79 . 1023 MeV MU5 EU5 = 4,79 . 1029 eV