CCP Physique 1 PSI 2003

Thème de l'épreuve Ondes évanescentes et miroir à atomes. Pendule de Foucault.
Principaux outils utilisés optique, électromagnétisme dans les milieux, composition des vitesses, équations de la dynamique
Mots clefs pendule de Foucault, réflexion totale, onde évanescente, miroir à atomes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 SESSION 2003 . | PSIP106 coucouas cominuus _ronncnuiou:s EPREUVE SPECIFIQUE -- FILIERE PSI PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. *** N.B. : Le candidat att'achera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. *** Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans chaque cas, la numérotation de la question traitée. DOSSIER REMIS AUX CANDIDATS - Texte de présentation (11 pages) PROBLÈME A: PRINCIPE DU MIROIR À ATOMES PAR CHAMP ÉVANESCENT Ce problème comporte de nombreuses questions indépendantes. . Nota Bene : les vecteurs sont notés en gras, exemple : E pour le champ électrique. .. Dans tout le problème, j sera le nombre imaginaire pur tel que j2 =--I . On prendra pour la Constante de Planck: h=6,62.10'"J.s, le nombre d'Avogadro: NA=6,022.1023atomes/mole, la constante de Boltzmann : kB=1,38.10'23 J.K'l, l'accélération de la pesanteur : g=9,81 m.s'2 et pour la célérité de la lumière dans le vide c : 2,998.108 m.s'l. A.1 A.1.a A.1.b A.1.c A.2 A.2.a A.2.b À PROPOS DES ONDES ÉVANESCENTES... PHÉNOMÈNE DE RÉFLEXION TOTALE EN OPTIQUE GÉOMETRIQUE On considère 2 milieux transparents (] ) et (2) d'indices respectifs nl et riz. Ces deux milieux sont séparés par un dioptre plan. On s'intéresse à un rayon lumineux qui se propage dans le milieu ( 1 ) vers le milieu ( 2 ). ' Rappeler dans quelles conditions il n'y aura pas de rayon réfracté. On introduira l'angle limite en... (angle repéré par rapport à la normale au dioptre) que l'on exprimera en fonction de nl et riz. Donner un exemple concret d'utilisation de la réflexion totale. On considère le dispositif représenté sur la figure 1, où le prisme de verre, d'indice n présente une section trapézoïdale avec des angles supérieurs de valeur égale à 7t/4. Le prisme est plongé dans le vide. Fig. 1. - Marche d'un rayon dans le prisme Donner l'intervalle des valeurs possibles pour l'angle oc tel que l'on soit en réflexion totale sur l'interface verre/vide pour n = 1,89. On remarquera que on peut être négatif. ONDES ÉVANESCENTES DANS LE F ORMALISME DE MAXWELL L'optique géométrique est insuffisante pour décrire plus précisément le phénomène de réflexion totale et plus particulièrement pour décrire l'onde qui règne dans le vide au dessus de la surface du prisme. On utilise donc le formalisme de Maxwell. Ecrire les équations de Maxwell pour les champs E et B dans un milieu diélectrique linéaire, homogène isotrope et non magnétique, en fonction de l'indice n du milieu et de la ' vitesse de la lumière c dans le vide. On rappelle que l'indice d'un milieu et la permittivité relative t--:r sont reliés par la formule er=n2. En déduire l'équation de propagation'du champ électrique dans ce milieu. Quelle est la vitesse de propagation de l'onde dans le diélectrique '? A.2.c A.2.d A.2.e A.2.f Donner, sans démonstration, les conditions aux limites auxquelles doivent satisfaire les composantes tangentielles E... EQ, Bt1 et Btz et normales E..., En2, B... et Bn2 des champs E et B de part et d'autre de l'interface séparant les milieux (l) et (2). Il n'y a pas de ' distribution surfacique de charges libres. Un milieu diélectrique d'indice n>1 occupe le demi-espace ZO (figure 2). / vide Fig. 2. - Géométrie utilisée dans cette partie Une onde plane monochromatique incidente de pulsation w et de vecteur d'onde ki, et se propageant dans le milieu d'indice n tombe sur la surface de séparation z=O avec un angle 6=(uz,ki) tel 'que l'on soit en réflexion totale. On supposera l'onde électromagnétique polarisée de façon rectiligne. Le champ électrique incident E est perpendiculaire au plan d'incidence, son amplitude est EO. Ecrire les composantes du vecteur ki en fonction des quantités suivantes : nw nca . a =--cosô ,B =--s1n9 c c Ecrire la forme complexe de cette onde en un point M repéré par le vecteur position r=OM en fonction de oc, B, Eo, x, z et t. Au nombre réel cos(wt_) on associe le nombre complexe exp(-- [' wt). Retrouver la relation vectorielle qui lie B et E pour une onde plane. En déduire les composantes en valeur complexe du champ magnétique Bi de l'onde incidente en fonction de EQ, (1), OL, B, x, z et t. L'onde réfléchie sur le dioptré possède le vecteur d'onderéfléchi k,. Exprimer les composantes de kr en fonction de oc et B. A.2.g On admet que le champ électrique de l'onde réfléchie s'écrit en notation complexe sous la ' forme : _ j(k,r--wt) E,- E0re .uy E... est une constante éventuellement Complexe. Calculer les composantes du champ magnétique Br de l'onde réfléchie en fonction de E... (1), OL, B, x, zet t. A.2.h Montrer que les conditions aux limites rappelées auparavant ne peuvent être satisfaites sur la surface z=O que s'il existe une onde (E',B') transmise dans le vide. A.2.i On supposera que l'onde transmise est de la forme : E'=EO 'e--kzzeflk """" .uy Commenter cette expression. Quelle est l'expression du vecteur d'onde complexe de l'onde transmise. Donner alors l'expression de B' ' A.2.j En utilisant les conditions aux limites vues précédemment, trouver une relation entre k; et' 2 a) B. Puis montrer que k; : ,B 2 -------,_. Exprimer aussi Eg' en fonction de E0, oc et k2. C . A.2.k On définit la longueur d'amortissement 6 de l'onde évanescente, comme la distance au bout de laquelle l'amplitude de l'onde transmise est divisée par 2. . Quelle est l'expression de cette longueur en fonction de la longueur d'onde À de l'onde électromagnétique, de l'indice du milieu n et de l'angle 6 ? Faire l'applicati0n numérique pour un angle d'incidence de 60° par rapport à la normale de l'interface verre/vide. On utilisera comme milieu le verre du prisme décrit au A.2 et on utilise l'onde associée à un faisceau LASER de 780 nm de longueur d'onde. Conclure. PRINCIPE DU MIROIR ATOMIQUE En 1924 Louis De Broglie a introduit le concept de dualité onde-corpuscule. L'onde associée à un corpuscule de quantité de mouvement p possède une longueur d'onde ÀdB=h/p où h est la constante de Planck. Un ensemble d'atomes identiques pourra être étudié du point de vue ondulatoire avec les méthodes de l'optique par analogie avec une onde lumineuse de même longueur d'onde que la longueur d'onde de De Broglie. Ainsi par exemple on peut décrire par une onde plane progressive un faisceau d'atomes possédant tous le même vecteur vitesse. De même qu'une onde lumineuse, un faisceau d'atomes peut--être réfléchi, diffracté. .. . En optique photonique, les miroirs sont de simples surfaces métalliques sur lesquelles « rebondissent >> les photons associés à l'onde lumineuse. Quand on passe à l'optique atomique, pour laquelle les atomes jouent le rôle des photons, il n'est plus possible d'utiliser de simples surfaces. On se propose ici de décrire un miroir à atomes qui utilise le phénomène d'ondes évanescentes. Une autre technique, non décrite ici, est basée sur les champs magnétiques ; on parle alors de miroir magnétique. A.3 A.3.a A.3.b A.3.c NÉCESSITÉ DE CONSTITUER UN TRAITEMENT RÉFLÉCHISSANT On se propose d'expliquer pourquoi sans l'onde évanescente, un atome ou une molécule est attirée par un milieu diélectrique. Il faut utiliser le concept de forces de Van der Waals. On rappelle que l'interaction entre des molécules A et B (pas forcément identiques) peut être modélisée par une énergie potentielle attractive du type : E...:C/r6 où C est une constante positive qui dépend du type des molécules et r est la distance séparant les deux molécules. Quelle est l'expression vectorielle de la force de Van-der Waals qu'exerce une molécule A sur une molécule B. On introduira un vecteur unitaire u. Est--elle attractive ou répulsive '? Le milieu diélectrique, supposé semi-infini est composé de molécules B avec la densité volumique de molécules égale à # (nombre de molécules par unité de volume). Une molécule (ou un atome A) est située à une distance D du milieu semi--infini. Précisez la direction et le sens de la force totale agissant sur la molécule A due au milieu semi-infini. On s'intéresse maintenant à l'expression de l'énergie potentielle d'interaction de Van der Waals U ... (x,z) "entre la molécule A et le milieu semi-infini. On commence par découper le milieu en anneaux à section rectangulaire de hauteur dz et d'épaisseur dx, de rayon moyen x. Combien y a--t-il de molécules B dans cet anneau '? En déduire la contribution d 2U dw (x, z)à l'énergie potentielle totale de l'anneau situé en z et de rayon x en fonction de x=oe .dx 1 [L, C, x, z, dx et dz. Sachant que L_O ----)-c-----3= 4, .. (x2 +Z2) 4_z d'interacti0n totale. On la mettra sous la forme U ..., (x, z) = --A/Z3 calculer l'énergie potentielle En déduire la norme de la force d'interaction. Fig. 3. - Géométrie pour le calcul de la f0rce de Van der Waals A.4 A.4.a A.4.b A.4.c A.5 A.5.a ACTION DE L'ONDE ÉVANESCENTE SUR UN ATOME À DEUX NIVEAUX D'ÉNERGIE Dans la suite du problème, on s'intéressera au modèle à 2 niveaux d'énergie 8, et EUR, (e,> de la vitesse sera v0 et que, la terre tournant sur elle--même, les points d'amplitude maximale du pendule se déplacent avec une vitesse légèrement différente. En déduire, le temps T que mettra le pendule, pour un observateur immobile dans le Panthéon, pour faire un tour complet, sachant que la terre tourne autour d'elle--même en TO=24 heures. Justifier votre réponse. B.2.f Quel est le sens de rotation du plan d'oscillation du pendule pour un observateur dans le Panthéon (justifier votre réponse) '? B.2.g Que se passe--t-il si on réalise cette expérience en un point de latitude 48° 51' Sud '? B.2.'h Que se passe--t-il si on réalise cette expérience sur l'équateur ? FIN DU DEUXIÈME PROBLÈME Fin de l'énoncé

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 CCP Physique 1 PSI 2003 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Nicolas Caudal (ENS Ulm) ; il a été relu par Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) et Vincent Fourmond (ENS Ulm). Ce sujet se compose de deux problèmes indépendants. Le premier, le plus long, est un sujet d'optique. Le second traite de mécanique et aborde le cas classique du pendule de Foucault. Dans le premier problème, on étudie la réflexion totale dans un prisme, d'abord en optique géométrique selon les lois de Descartes, puis en affinant la description en optique ondulatoire. Il apparaît ainsi qu'une onde évanescente est en fait transmise. On se fonde sur les équations de Maxwell dans un milieu diélectrique, et sur les équations de continuité des champs à la traversée de la surface séparant deux milieux. L'étape décisive est donc de bien poser ces équations. On envisage ensuite d'utiliser cette onde évanescente pour réaliser un miroir à atomes. On crée une force répulsive d'interaction entre le champ et le dipôle induit par polarisation. Afin de pouvoir réfléchir un faisceau d'atomes, cette force doit l'emporter sur les forces de Van der Waals qui les attirent vers le milieu diélectrique. Toutefois, au-delà d'une vitesse d'agitation thermique maximale, la barrière de potentiel peut être franchie, et les atomes ne sont plus réfléchis. Cela oblige à utiliser des atomes froids. On fait ensuite l'analogie courante entre une onde électromagnétique et un faisceau d'atomes se comportant comme une onde, grâce à la relation de Louis de Broglie. Dans la partie A.7, la plus difficile, on réalise ainsi une diffraction d'atomes en faisant onduler la surface du miroir. Le second problème traite du pendule de Léon Foucault (1819-1868) qui est exposé au Panthéon à Paris. Il met en évidence la rotation de la Terre au travers de la perturbation qu'elle induit sur le mouvement d'un pendule. On étudie d'abord un pendule au pôle Nord, ce qui permet de revoir le cas du pendule simple dans un référentiel galiléen, avant d'aborder le cas général. Ce problème propose une description approchée, faisant appel au sens physique plutôt qu'aux équations de la dynamique dans un référentiel non galiléen. Ce sujet est assez long, mais la difficulté est progressive à l'intérieur de chaque partie. Indications Premier problème A.2.b On peut se servir de la formule d'analyse vectorielle -- - - - rot (rot - a ) = grad (div a ) - - a A.2.d On rappelle que le plan d'incidence est défini par le vecteur d'onde incident, la normale au dioptre et le point d'incidence. - - A.2.e Pour retrouver la relation qui lie E et B pour une onde plane, utiliser l'équation de Maxwell-Faraday. - A.2.h Remarquer qu'il suffit de montrer que B 6= 0. A.2.k Le verre du prisme est en réalité décrit à la question A.1.c. A.3.b Si le terme « semi-infini » paraît peu clair, considérer sur la figure 3 le demiespace d'équation z > D. A.5.a S'ils ont une énergie cinétique trop élevée, les atomes peuvent franchir la barrière de potentiel et ne sont pas réfléchis. A.5.d Utiliser de préférence une relation de conservation, au lieu d'intégrer les équations du mouvement. A.6.a On peut trouver trois grandeurs conservées, reliées aux trois dimensions de l'espace. A.6.b Se servir des grandeurs conservées établies à la question précédente. A.7.a Pour cette question, plus difficile et plus longue, remarquer que l'onde réfléchie par l'interface a la même amplitude que l'onde incidente et qu'elles sont simplement déphasées. La deuxième onde transmise s'exprime en adaptant l'expression de l'onde transmise à un vecteur d'onde incident différent. Ajouter les deux champs transmis. Poursuivre l'approximation de la question A.4.b en négligeant la dépendance temporelle en e -jt , ou bien repasser en notations réelles pour le calcul de Edip . Second problème B.1.d Exprimer d'abord T en fonction de , puis utiliser la conservation de l'énergie mécanique pour remplacer par une fonction de , indépendante du temps. B.2.d Après avoir vérifié que 1, faire un développement limité au premier ordre en . B.2.f Cette question est délicate. Appliquer la formule de composition des vitesses, en faisant attention à bien définir les différentes vitesses, ou raisonner à l'aide de la force de Coriolis. A. Principe du miroir à atomes par champ évanescent A.1. Phénomène de réflexion totale en optique géométrique A.1.a S'il existe un rayon transmis, la loi de Snell-Descartes sur la réfraction s'écrit 1 1 lim n1 n1 sin 1 = n2 sin 2 Ce rayon transmis n'existe que si | sin 2 | 6 1, soit n1 | sin 1 | 6 1 n2 n2 2 rayon rasant · Si n1 < n2 , cette condition est vérifiée quel que soit l'angle d'incidence 1 . Il existe toujours un rayon transmis lorsque la lumière passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent. · Si n1 > n2 , seuls les angles d'incidence tels que | sin 1 | 6 n2 /n1 donnent lieu à un rayon réfracté. L'angle d'incidence limite, au-delà duquel il n'y a pas de rayon réfracté, vérifie n2 sin lim = n1 n2 ou encore lim = Arcsin n1 A.1.b Dans une fibre optique, la réflexion totale permet la propagation de lumière sans perte. Les conditions d'obtention de la réflexion totale sont réunies : un indice supérieur à l'indice de l'air ou de la gaine qui entoure la fibre, et des angles d'incidence supérieurs à l'angle limite ; en effet, les rayons sont pratiquement parallèles à l'axe de la fibre. A.1.c Exprimons en fonction des angles puis . La somme des angles du triangle AIO vaut : 3 + + - = 4 2 d'où =- 4 z A 4 3=4 4 0 O I La loi de Descartes sur la réfraction s'écrit sin = n sin = n sin - 4 La réflexion est totale si > lim ce qui, compte tenu de la croissance de la fonction sinus sur [ -/2 ; /2 ], se traduit par sin > n sin lim - 4 h i d'où > Arcsin n sin lim - 4 et avec lim = Arcsin on obtient A.2. 1 = 31, 9 n > -25, 3 Ondes évanescentes dans le formalisme de Maxwell A.2.a Le premier groupe d'équations de Maxwell est indépendant des sources et garde donc une forme immuable : · Maxwell-flux · Maxwell-Faraday - div B = 0 (M-) - - B - rot E = - t (M-F) Le second groupe d'équations de Maxwell s'écrit de façon générale dans un milieu matériel : div - D = lib - lib D - - rot H = - + t Or, dans un milieu linéaire, homogène, isotrope et non magnétique, - - - D = 0 r E = 0 n2 E - - - - B B H = -M= µ0 µ0 et - lib div E = 0 n2 Ainsi, - lib E - - rot B = µ0 - + µ0 0 n 2 t Enfin, comme il n'y a ici ni charges libres ni courants libres, on obtient les équations : · Maxwell-Gauss · Maxwell-Ampère - div E = 0 (M-G) - - n2 E - rot B = 2 c t (M-A)