CCP Physique 1 PSI 2001

Thème de l'épreuve Précession de l'orbite des satellites de la Terre. Cinétique de charge des gouttes formées par la brisure d'un jet capillaire.
Principaux outils utilisés mécanique céleste, hydrostatique, électrostatique, équation de diffusion, électrocinétique

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SESSION 2001 PSIOOS A CONCOURS (OMMUNS POlYÎECHNIOUES ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI PHYSIQUE 1 DURÉE: 4 heures Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies dans la circulaire n° 99--186 du 16.11.99. Le candidat doit respecter les notations des énoncés et préciser, dans chaque cas, la numérotation de la question traitée. L'épreuve se compose de deux problèmes distincts. Pour ces deux problèmes, les résultats intermédiaires donnés dans le texte rendent les diflérentes questions relativement indépendantes. Le candidat aura cependant intérêt à lire complètement l'énoncé pour bien comprendre la démarche proposée. PREMIER PROBLEME Précession de l'orbite des satellites de la terre. Description du problème Sous l'effet de sa propre gravitation, la terre, comme tous les corpssuffisamment massifs est grosso modo sphérique. Néanmoins, à cause de sa rotation, la planète est déformée: elle est aplatie aux pôles alors qu'un bourrelet apparait à l'équateur. De cette déformation, il résulte une modification du champ de gravitation qui n'est plus le champ radial newtonien en 1/r2 qui caractérise les corps à symétrie sphérique. Ce champ modifié induit à son tour une perturbation de l'orbite des satellites (naturels ou artificiels) gravitant autour de la terre. Cette perturbation se réduit, dans le cas d'une orbite circulaire, à un mouvement de précession du plan de l'orbite. L'amplitude de la précession est d'autant plus grande que le satellite est plus proche de la terre. Le but de ce problème est de proposer une étude simplifiée afin de comprendre et éventuellement de prévoir une telle perturbation des orbites des satellites. On se restreint volontairement au cas particulier, mais fréquent en pratique, d'une orbite proche du cercle, cas qui permet de simplifier les calculs et de présenter les mécanismes essentiels du phénomène. Une application--test de notre modèle est proposée àla fin de l'étude. Tournez la page S.V.P. Si la terre était ronde... Une masse ponctuelle m0 située au point 0 exerce sur une masse test ponctuelle, de valeur unité et située au point N (N non confondu avec 0) la force attractive (force de Newton): '" .. g(r)=--G G-------°r ;-°2 ----'----æ où ? == ON désigne le vecteur position de la particule test, ? le vecteur normé suivant ? et G la constante de gravitation universelle. Le champ vectoriel g est appelé champ de gravitation de la masse mo . 1. Calculer l'expression du potentiel de gravitation V(r) défini par : ê=--gradV(r) et V(r=oo)=0_ Donner son expression en fonction de G , m0 et r. --. L'utilité de la définition des champs g et V réside dans l'observation que l'interaction simultanée de plusieurs masses (ceci s'étend au cas d'une distribution continue) sur la particule test est bien décrite par les champs obtenus en faisant la somme (l'intégrale) des différentes contributions. Nous allons utiliser cette propriété pour trouver une expression du potentiel gravitationnel de la terre. On définit un référentiel To ayant pour origine le centre d'inertie 0 de la terre et des axes portés par les vecteurs io, jo, kO formant une base orthonormée directe, k() est porté par l'axe des pôles (sud vers nord) et io, j0 sont situés dans le plan équatorial et pointant vers des directions fixes (étoiles lointaines). Dans tout le problème, on supposera To galiléen. Pour expliquer son aplatissement, la terre est bien modélisée par une goutte de liquide très visqueux et de masse volumique uniforme p. En l'absence de rotation propre et de toute influence extérieure, on admettra que, sous l'effet de sa propre gravitation, la goutte acquiert une forme sphérique (masse totale M , centre O, rayon R ). Dans ce cas, le fluide est au repos dans le référentiel To. 2. On notera que la force de Newton exercée par une masse ponctuelle m0 sur une masse unité, Le le champ de gravitation g(r)---- ---- --G------- 2 --------r , présente une grande analogie formelle avec la force de Coulomb r exercée par une charge ponctuelle go sur une charge unité, Le le champ électrostatique Ê(r)- --- 4 1 q--î-- r. Pour une distribution quelconque des charges, on rappelle que le flux du champ 72780 r électrique É à travers une surface fermée est égal au quotient des charges intérieures par 80 (théorème _. de Gauss). En transposant ce résultat au cas de la gravitation, donner les' expressions des champs g et V en fonction de G , M , R et r (O R, établir un développement du potentiel V selon les puissances croissantes de R/ r En déduire que V peut s écrire sous la forme: 7--2 2 3 V(r,a) : V0(r) + V,(r,a) : Vo(r) {1+ B 5-- (1-- 3cosza) + O(EUR--;--)] Le terme principal : v0 (r) : _.fî r correspond au "potentiel newtonien. Le second terme représente la correction due à l'aplatissement. Exprimer A en fonction de G et M puis B en fonction de M et m. On rappelle le développement en séries entières : (l + x)" = 1 + a.x + ...... + ... + ...... (rayon de convergence 1) n. Et les satellites ne tournent pas rond. Le terme B peut--être évalué directement en calculant l'intégrale de volume qui apparaît dans l'expression du potentiel de la terre avec rotation. Le calcul de cette intégrale étant un peu lourd dans le cadre de cette étude, on prendra la valeur de B obtenue de façon empirique en observant le mouvement des satellites : B ;: 0,000541 ; de plus, on admet que l'expression du potentiel trouvée à la question précédente est valable dès que r > R. ?! Etant donné la valeur de B, le potentiel Vl apparaît comme un terme correctif, petit Plan orbital devant VO, que l'on décide de négliger dans un premier temps ; ceci nous ramène à la situation « terre sphérique ». On considère dans ces conditions le mouvement le plus général d'un satellite ponctuel de masse unité dont le vecteur position est ? , la vitesse Ü dans le référentiel To. 11. Exprimer le moment cinétique du satellite Ë au point 0 par rapport au référentiel To_ Montrer que la trajectoire du satellite est contenue dans un plan fixe (P). Plan équatorial Soit [E un vecteur unitaire normal à ce plan et il le vecteur unitaire de même direction que k0 A k , on note {? le vecteur tel que le tn'èdre (ü , iî , k ) soit orthonormé direct. Le trièdre (ü ,îî ,Ë ) se déduit du trièdre (il,, ÎO,ËO) par une rotation d'angle w autour du vecteur ËO suivie d'une rotation d'angle 6 autour de L7 . Les angles w (appelé précession) et 6 (appelé nutation) définissent la direction du vecteur k et par conséquent le plan (P) de l'orbite du -5- satellite. La position du satellite dans ce plan est repérée par ses coordonnées polaires r et (p (angle orienté par k entre le vecteur il et le vecteur? ). dt r 2 dt dt et en déduire une équation différentielle du second ordre vérifiée par r. 2 2 12. Montrer que L- --- r2------ dcp et E : ----4--+--1-- (_d_r) + r2 (Æ) sont deux constantes du mouvement 13. La valeur de L étant fixée (L # O), montrer que pour une certaine valeur deE , la trajectoire du . , . . d satellite est un cercle (C) (centre O , rayon r) parcouru a v1tesse angulaire ------qî constante. Pourl' orbite dt . . . dço . . Circulaire, exprimer r, --(--1---- et E en fonct1on de L et A uniquement. Donner la valeur rg de r pour [ l'orbite géosynchrone (caractérisée par ÎÎ= (1) : ---2T--7[-- où T= 23h56mn est le jour sidéral, le temps t 5 que la Terre emploie pour faire un tour sur elle--même dans un référentiel de Galilée). On considère la trajectoire (C) du plan (P) de la question précédente. On prend maintenant en compte le terme du potentiel Vl(r,a) provenant de l'aplatissement. Ce terme étant très petit, on suppose que la trajectoire demeure le cercle (C) de la question précédente (centre O, rayon r), mais que l'orientation du plan (P), définie par le vecteur k change lentement au cours du temps. Le modèle proposé dans cette question et dans les suivantes n' a donc de sens que si les vecteurs k et k() ne sont pas alignés, ce qui exclut a priori le cas d'un satellite en orbite équatoriale (on peut néanmoins montrer que les résultats dans ce cas particulier s'obtiennent comme cas asymptotique de ceux du cas général). On admet qu'au cours de ce mouvement, l'angle de nutation 6 reste constant et que seul varie l'angle de précession l/f . Il s'ensuit que la période de précession du plan de l'orbite est grande devant la période de révolution du satellite sur son orbite. Dans ces conditions, on décide de représenter l'interaction gravitationnelle entre la terre et le satellite par le potentiel Y(r,6) obtenu en moyennant le potentiel V(r,0£) sur une péri0de de révolution autour de la terre. On donne la relation : cosa : sin(p sin9 . l4. Reporter cette expression dans celle du potentiel V(r,CZ), intégrer sur une révolution et montrer que le potentiel moyen s'écrit sous la forme : 17(r,6) = v() (r) + @ (ne) . On exprimera Y,(r,9) en fonction de A, B, r, R et 9. L'hypothèse précédente revient à imaginer que la masse (unité) du satellite est uniformément répartie sur sa trajectoire (C); le satellite est ainsi assimilé à un / « cerceau » (C) de masse unité en rotation autour de son (I axe k avec la vitesse angulaire _c_i_(£; le potentiel V0 (1) dt Tournez la page S.V.P. -6- représente l'énergie gravitationnelle d'interaction d'une sphère de masse M (masse totale de la terre) et du « cerceau >> (C) ; le potentiel Y, (r,6) représente l'énergie gravitationnelle d'interaction des deux « cerceaux » : le bourrelet équatorial (E) de la terre de masse m et le « cerceau » (C) du satellite. On conçoit aisément que cette dernière interaction se traduit par un couple Î' que la terre exerce sur le satellite et qui, en l'absence de rotation du cerceau (C), tendrait à aligner les axes des deux cerceaux. Ce couple est porté par la ligne de noeuds (vecteur directeur ü ). La variation de Yl (r,6) entre deux valeurs de 9 est l'opposée du travail du couple Î' ; on admettra la relation dY, (r,9) : --Î'ûd9 . 15. Donner l'expression du couple Ï' que la terre exerce sur le cerceau (C) du satellite en fonction de A, B, r , R et9 . 16. En admettant que l'expression du moment cinétique Ï, trouvée à la question (1 l) demeure valable, appliquer le théorème du moment cinétique au cerceau (C) du satellite et en déduire la vitesse angulaire de précession u? en fonction de B, r, R , 6 et @ puis la précession Al]! de l'orbite au cours d'une révolution du satellite en fonction de B, r , R et 6 . A titre d'illustration, on considère le cas d'un satellite de cartographie : le satellite « SPOT » (trajectoire circulaire d'altitude 832 km avec 6 : 98°45' et (à > O ). 17. Calculer la valeur numérique de la précession Av de l'orbite au cours d'une révolution du satellite. Combien de jours solaires (le jour solaire est l'intervalle de temps entre deux passages successifs du soleil dans un même plan méridien, c'est à dire 24 heures) faut-il pour que la précession soit de 27z ? Un tel satellite est dit héliosynchrone : pourquoi '? Fin du premier problème. DEUXIEME PROBLEME Cinétique de charge des gouttes formées par la brisure d'un jet capillaire. Description du problème Certains dispositifs d'impression industriels très rapides (marquage en série des oeufs, des yaourts, des boîtes de conserve etc) dits à jet continu, utilisent la tendance naturelle que possède un jet liquide suffisamment fin (capillaire) à se briser en gouttelettes sous l'action de la tension superficielle. Dans ces applications, cette tendance «naturelle >> est amplifiée, généralement par stimulation du réservoir contenant le liquide à projeter (encre, peinture..) par une variation rapide et périodique de pression produite par un quartz piézo-électrique. Cette excitation supplémentaire a le double avantage de diminuer la longueur du jet avant brisure et d'obtenir des gouttelettes bien calibrées. Au voisinage du point de fragmentation du jet, on place une électrode de charge portée à un potentiel ajustable par rapport au réservoir (conducteur parfait de l'électricité) qui reste relié à la masse. Par influence électrostatique, cette électrode (supposée également parfaitement conductrice de l'électricité) permet de charger à travers le jet (de conductivité finie non nulle) les gouttes formées à la valeur de charge requise. Une fois les gouttes chargées, elles seront déviées de manière contrôlée par un système d'électrodes déflectrices avant d'atteindre le support d'impression (Fig. 1). Réservoir V0=300 Volts Tension pressurisé _Q « quelques kV U, N "'Ê @ -o e » 2 l 2 % Quartz Electrode Electrodes d'excitation de charge déflectrices Figure 1: schéma de principe du dispositif d'impression Le jet étudié ici est caractérisé par son rayon a : 20um, sa vitesse moyenne u : 20m.s"1 et sa résistivité électrique ,0 =10Q.m (proche de celle de l'eau). L'électrode de charge est un cylindre de révolution infiniment conducteur de l'électricité (rayon b : 300p.m, longueur 1 : 2mm , situé à la distance ze : lmm de l'orifice de sortie du jet). La fréquence d'excitation imposée par le quartz piézoélectn'que est f : 120kHz , ce qui signifie que l'on fabrique 120.000 gouttes par seconde. Autrement dit, le temps nécessaire pour la formation d'une goutte est Tf : 1/ f : 8,33us . La question, objet de ce problème, est de savoir si on a le temps de charger les gouttes en si peu de temps. Tournez la page S.V.P. Modélisation Il! v0 =300 Volts & +=o* ! Figure 2: modèle du barreau avec longueur d'entrée zEUR L'électrode de charge et le jet constituent les armatures d'un condensateur dont nous allons étudier la cinétique de charge dans différents modèles. Dans tous ces modèles, nous nous restreindrons à l'étude de la cinétique de charge des gouttes dans le cas simple, mais emblématique, où l'électrode de charge est soumise à un échelon de potentiel : L'électrode de charge et le jet sont au potentiel nul jusqu'au temps t= 0 ; puis, à partir de t=0', l'électrode de charge (infiniment conductrice) est instantanément (et uniformément) portée au potentiel constant V0 =300V. L'extrémité z = 0 du jet reste constamment reliée à la masse (potentiel nul) par l'intermédiaire du réservoir (conductivité infinie). Nous simplifierons la géométrie du jet (Fig. 2) qui sera modélisé par un barreau cylindrique fixe (rayon a : 20um , vitesse u nulle, résistivité électrique non nulle p : 10£2.m ). Dans une remière a roche, nous traiterons le cas z = O, uis le cas d'une lon ueur d'entrée EUR non nulle. Charge d'un barreau cylindrique fixe avec ze : 0 vo :soo Volts r'""""" Réservoir Figure 3: barreau eT électrode &: t=0+ Le mode opératoire étant celui décrit ci-- dessus, on envisage d'abord le cas où la longueur d'entrée Ze est nulle (Fig. 3). Ce cas fera à son tour l'objet de deux approches successives : -- la cinétique de charge sera d'abord étudiée par un modèle très simplifié, discret à un élément (Fig. 4). -- le cas intermédiaire du modèle discret à n éléments ne sera pas abordé ici: on passera directement au modèle de charge et résistance réparties (modèle continu) qui en constitue le cas asymptotique pour n grand. ze : O : Modèle discret à un élément. Le système barreau + électrode de charge est v0 :soo vg|fgà+=o* équivalent au schéma électrique de la Fig. 4: 1 - , . . ' % _ resrstance et condensateur en serre. La résrstance c1 R1 est la résistance «effective », sorte de Réservoir R1 moyenne de la résistance vue par les charges qui .ressurisé "W se répartissent le long du barreau; en première approximation, on prendra donc pour R,, La moitié de la résistance totale R du barreau de longueur [, soit : Figure 4: schéma équivalent sans longueur d'entrée Ze R 1 ! R,=_=_f_. 2 27m2 C1 est la capacité d'un condensateur cylindrique dont les armatures sont constituées par l'électrode de charge et le barreau. On suppose, dans ce modèle discret à un élément, que la charge Q portée par le barreau est uniformément répartie et que chaque armature est une surface équipotentielle. En négligeant les effets de bords, le champ électrique Ë entre les électrodes est alors radial et ne dépend que du rayon r (distance à l'axe de révolution). 1. Dans ces conditions, appliquer le théorème de Gauss à une surface bien choisie et en déduire l'expression de E(r) en fonction de Q, a, b , l et 80, permittivité diélectrique du vide. On admet que la relation dV(r) : --Ë(r).d? de l'électrostatique est applicable à ce problème. 2. En déduire la relation permettant de relier la différence de potentiel (V() --V) aux homes du condensateur à la charge Q du barreau; en déduire l'expression et la valeur de C,, capacité du condensateur, en fonction de a, b, l et 80. Pour les applications numériques, on prendra 50 ; ----l---10--9 Fm". 367z 3. Donner l'expression du potentiel V(t) du barreau en tenant compte de la condition initiale envisagée. Quelles sont l'expression et la valeur numérique de la constante de temps de charge t1 du condensateur ? Au bout de quel temps tc obtient--on 99% de la charge finale que l'on obtiendrait à t= oo ? Tournez la page S.V.P. -10- z, = 0 : Modèle résistance et charge réparties. , . R , . " . , C . , . , On defin1t 'i = --l---- , la re31stance par unite de longueur du barreau et c] = --l--'--, la capacrte par unite de longueur du condensateur cylindrique. On simplifie le problème en considérant un problème unidimensionnel où le potentiel et l'intensité du courant axial traversant le barreau peuvent être représentés respectivement par des fonctions de la forme V(z,t) et I(z,t). Corrélativement, on remarquera que la densité de charge apparaissant à la surface du barreau peut s'écrire Q(z,t). On considère une tranche de barreau comprise entre les abscisses z et z + dz. 4. Appliquer la loi d'Ohm entre les homes z et z +dz de cette tranche. 5. Ecrire le bilan traduisant la conservation de la charge électrique pour ce volume (on admet que l'expression de C , trouvée précédemment demeure valable). 6. En déduire l'équation de diffusion du potentiel dans le barreau : ?..Y... = & aZV dt ôz2 Exprimer le coefficient de diffusion a en fonction de r] et c1 puis de l et Il . L'équation de diffusion étant linéaire, on cherche la solution sous la forme d'une série de tenues (modes) à variables séparées: V(z,t>=Ëvp 75ë02p+1p[(p)4121[(p)21 ll. En examinant l'allure de différents termes de cette expression, il apparaît que l'un d'entre eux est rapidement prépondérant. En déduire l'expression asymptotique de la fonction V(z,t) et la valeur numérique de la constante de temps de charge t,' du barreau. Au bout de quel temps tc' obtient--on, au bout du barreau (c'est à dire à z=EUR ), 99% de la charge finale que l'on obtiendrait à t : oo ? \ 12. Comparer tc' a t (' : conclusion quant à la validité du modèle discret à un élément par rapport au modèle continu? Que vaut en fait la résistance «effective » du barreau Rejf définie par la relation . . ,, , R t,'= Re", C, et qu1 ava1tete approchee par R, = ----2-- ? 13. Comparer la vitesse du front de charge 1) z-£-; à la vitesse du jet u : 20m/ 5. Conclusion quant à tC l'une des hypothèses du modèle '? Charge d'un barreau cylindrique fixe avec ze # 0 14. Pour tenir compte de l'existence d'une longueur d'entrée ze non nulle, on modifie le modèle précédent en ajoutant, en série avec R, (dont l'expression est maintenant celle de R4f ), la résistance Re correspondant à la résistance d'une longueur ze de barreau (Fig. 5). Exprimer la nouvelle constante de temps de charge t,", d'abord en fonction de R, : Re + R, (avec R, : Re,) et C,, puis en fonction de p, ze, l,a, b et 80 . Tournez la page S.V.P. -12- ! vou--300 Volts & +=o+ ___--. C1 Re R1 Réservoir ! - ressuris - \\\ : \ Figure 5: schéma équivalent avec longueur d'entrée 2 EUR 15. Au bout de quel temps tc" obtient-on 99% de la charge finale que l'on obtiendrait à t : oo '? Comparer tc" à Tf : conclusion quant à la possibilité de charger les gouttes ? 16. Comment varierait la valeur de tc" si on prenait en compte la forme réelle du jet (allure analogue à celle de la Fig. 1) avec ses pincements et ses renflements'? Commenter. Fin du second problême. ___--___..." Fin de l'épreuve.

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 CCP Physique 1 PSI 2001 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) ; il a été relu par Vincent Fourmond (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (ENS Lyon). Ce sujet traite, dans le premier problème, du phénomène de précession de l'orbite des satellites de la Terre et, dans le second problème, de la cinétique de charge des gouttes formées par la brisure d'un jet capillaire. · Après quelques rappels sur le champ gravitationnel créé par une masse sphérique, le premier problème aborde la non-sphéricité de la Terre due à sa rotation. On étudie par la suite comment la modélisation simple de cette non-sphéricité va légèrement perturber le potentiel gravitationnel créé par la Terre. Enfin, après avoir traité le cas d'un satellite soumis au potentiel non perturbé, on calcule l'effet de cette perturbation sur le satellite. · Le second problème, quant à lui, se déroule en trois temps. Après avoir étudié un modèle discret de charge d'un barreau fixe, on s'intéresse au modèle continu. La dernière partie traite du cas où l'électrode permettant de charger le barreau n'est pas directement accolée à l'origine du barreau. Ce sujet, très classique et bien guidé, ne présente pas de grosses difficultés (les questions 10 des deux problèmes demandent cependant de la réflexion). Il utilise des outils de mécanique céleste et un zeste d'hydrostatique pour le premier problème ainsi que des outils d'électrocinétique élémentaire (circuits RC) pour le second. Indications Premier problème 2 Prendre garde aux constantes d'intégration. 6 Penser à la force d'inertie d'entraînement dans le référentiel tournant. 8 La surface terrestre est définie comme la surface de pression nulle. 10 Bien décomposer le vecteur courant sur le cercle suivant les différents axes. Penser à ses formules de trigonométrie et aux valeurs moyennes de cos et cos2 afin d'obtenir la formule demandée. - 16 Comment L varie-t-il ? 17 Utiliser l'énoncé pour vérifier son application numérique. Second problème 2 Prendre garde aux conventions d'orientation choisies. 3 Établir une équation différentielle pour V(t). 5 Faire un dessin et choisir une convention pour le courant. 7 Séparer les variables. S'inspirer de la question 10 pour prendre directement les bonnes notations. 10 Décomposer le créneau en série de Fourier. 16 Regarder la variation de tc en fonction de a. Premier problème Précession de l'orbite des satellites de la Terre Si la Terre était ronde. . . -- - 1 Projetons la relation (1) g = - grad V(r) sur rb, on obtient : +G D'où, avec V() = 0, m0 dV =+ r2 dr V(r) = - Gm0 r Lors de pareilles intégrations, il ne faut pas omettre les constantes que l'on détermine par la suite grâce aux conditions aux limites. Dans la situation présente, la constante est nulle, mais ce ne sera pas toujours le cas. 2 Procédons par analogies. La masse m0 (dépendant de la particule) s'apparente à la charge q0 (dépendant elle aussi de la particule créant le champ). Il ne reste que les constantes : -G s'apparente à 1/ (4 0 ). ZZ - - Qint Le théorème de Gauss s'écrit E . dS = 0 Transposé au cas gravitationnnel, cela donne ZZ - - g . d S = -4 G Mint où Mint est la masse comprise à l'intérieur de la sphère d'intégration. Le système est à symétrie sphérique. Tout axe passant par le centre de la sphère est donc axe de symétrie du système. Le champ gravitationnel étant un vrai vecteur tout comme le champ électrique, il est dirigé selon les éléments de symétrie du système. Il est donc dirigé suivant rb et ne dépend pas de la direction du vecteur position mais juste de sa norme. On intègre sur une sphère de rayon r et de centre O : comme g y est constant, il suffit de le multiplier par la surface de la sphère. L'intégrale donne donc simplement 4 r2 g(r). On distingue alors deux cas : · Si r > R, la masse interne est simplement M. GM r2 D'où g(r) = - En utilisant (1) V(r) = - GM r · Si r < R, la masse interne s'écrit, puisque = Mint = 3M : 4 R3 4 r3 r3 = M 3 3 R D'où g(r) = - En utilisant (1) V(r) = GM r R3 GM 2 r + Cte 2 R3 On détermine la constante d'intégration en utilisant la continuité de V en R. Il vient V(r) = GM 2 3 GM r - 2 R3 2R GM g(r) = - 2 r Si r > R GM V(r) = - r GM g(r) = - 3 r R si r < R GM 3 GM V(r) = r2 - 2 R3 2R En résumé Évolution du potentiel gravitationnel en fonction de r : V(r) R r GM R 3 GM - 2R - 3 La loi de l'hydrostatique s'écrit : -- - grad P = avec = 3M 4 R3 - où représente la densité massique de forces à distance. - Dans notre cas, on a simplement = - g . À l'intérieur de la Terre : -- 3 GM2 r grad P = - rb 4 R6 4 En projetant cette relation sur rb et en intégrant de R à r, il vient Z r Z r dP 3 GM2 r dr = - dr R6 R dr R 4 " # 2 R 3 GM2 r P(r) - P(R) = 4 2 R6 r