CCP Physique 1 PSI 2000

Thème de l'épreuve Énergie électromagnétique ; étude d'une machine frigorifique
Principaux outils utilisés électromagnétisme, pression de radiation, thermodynamique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2000 PSI006 A CONCOURS (0HlllN$ POlYTECHNIOUES ÉPREUVE SPÉCIFIQUE--FILIÈRE PSI PHYSIQUE 1 DURÉE : 4 heures Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies dans la circulaire n° 99--018 du 01.02.99. Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans chaque cas, la numérotation de la question traitée. CHAMP ELECTROSTATIQUÈ. ENERGIE ELECTROSTATIQÜE. Dans toute cette partie (1, 2 et 3), le milieu est le vide ; on prendra c (célérité de la lumière) : 3.108 m.s'1 et (4m)'l : 9.109 unités S.I. ; 80 est la permittivité du vide. 1. CALCUL DE L'ENERGIE ELECTROSTATIQUË. 1.1. Définir l'énergie potentielle W d'une charge q dans un potentiel extérieur V. 1.2. Calculer Wij pour une charge qi soumise à un potentiel dû à une charge (li située à une distance rij de la charge qi (on fixe Wii : 0 pour fij : °°). 1.3. Calculer W pour n charges contenues dans un volume fini Q. Ecrire W sous la forme d'une somme sur un seul indice i (avec qi , i = l,...,n et V(M. ), où Mi est la position de la charge Qi )- 1.4. Calculer W dans le cas où les charges sont réparties de manière continue, en intégrant la contribution de la charge p(M) dit d'un élément de volume dt en M sur le volume 9. 1.5. Montrer qu'en utilisant la forme différentielle du théorème de GAUSS on peut mettre l'expression de W sous la forme d'une intégrale dans laquelle n'apparaît plus la charge électrique. Quel est l'intérêt de cette forme de dW/dt ? 1.6. Transformer l'expression de W obtenue à la question 1.5 en utilisant les relations div(A.Ë)=A.divä+ä.gräd«i et HJdiv(A.Ë).dï=flA.Ë.dä, où A et B sont des Q 2 fonctions des coordonnées de M, et 2 est la surface fermée qui limite le Üblume Q. 1.7. Pour Q fini, quel est le comportement de la contribution de _" A.Ë.dä quand 2 _) oo '? On ?: sait que pour une valeur de R très supérieure aux dimensions de la source, l'application du Tournez la page S.V.P. J. 1001 1.8. 2.1. 2.1a. 2.1b. 2.1c. 2.1d. 2.1c. 2.2. 2.2a. 2.2b. 2..3 2.3a. théorème de GAUSS montre que V varie en R'1 et |Ël en R'2. En déduire la valeur de la densité d'énergie dW/dr pour R--> °° . On considère un condensateur constitué par deux électrodes de surface S, séparées par une distance e. A partir de l'énergie W accumulée par un condensateur plan lorsque la différence de potentiel entre les électrodes est V, calculer dW/d't en fonction de E le module du champ électrique. On négligera les effets de bord (e << SW). Comparer ce résultat à la valeur obtenue à la question 1.7. Conclusions. PUISSANCE TRANSMISE PAR UNE ONDE ELECTROMAGNÈTIQUÈ. Considérons une onde électromagnétique localement plane, polarisée rectilignement, monochromatique et progressive, se propageant dans le vide; son champ électrique s 'écrit Ë= E0 .ü. cos(k. r -- (1). t), où ü est un vecteur unitaire. Préciser la signification du vecteur k et donner la valeur de son module k (k = k.n , ñ étant un vecteur unitaire). Exprimer le champ magnétique de cette onde. Exprimer la densité moyenne d'énergie électromagnétique (on la notera ). Exprimer le vecteur de Poynting dont le module est H. Quelle est son interprétation ? Quelle est la valeur de II/w ? Commenter. On considère une source de rayonnement électromagnétique placée à la surface de la terre. Sa puissance moyenne est Po, elle émet dans le demi--espace supérieur (21: stéradians -- voir figure 1). La densité de puissance par unité de surface P n'est fonction que de la distance R à l'émetteur et ne dépend pas de la direction (antenne « omnidirectionnelle »). »,..-- ""\____' Emetteur Figure 1 Calculer P à la distance R. Calculer la valeur de E0 à la distance R, en fonction de la puissance totale Pg émise par la source. On admettra que R est toujours très supérieur à la longueur d'onde et aux dimensions de l'antenne émettrice. Applications numériques. On considère un émetteur continu puissant: Po: 1 kW. Calculer EO pour R- -- 1000 m et R: 1000 km. 2.3b. 2.3c. 2.3d. 3.1. 3.2. 3.3. 3.3a. 3.3b. 3.4. 3.5. 3.5a. 3.5b. 3.5c. 3.6. On considère une source pulsée puissante (radar) : Po : 1 GW. Calculer E, pour R = 1000 m et R = 1000 km. Quels sont les ordres de grandeur des différences de potentiel dans un circuit intégré ? En sachant qu'une modification de 10% des potentiels introduit déjà des dysfonctionnements graves, est--il indispensable de blinder les circuits dans tous les cas examinés, en 2.33 et 2.3b ? On admettra que la surface du circuit intégré est de 1 cm2. On admettra que pour ce rayonnement, on sait détecter un signal EO : 10 uV.cm'1 ; peut-on détecter les deux émetteurs considérés à R = 1000 km ? PRESSION DE RADIATION. Quelle est l'énergie d'un photon ? Ecrire la relation de DE BROGLIE entre p, la quantité de mouvement du photon, et sa longueur d'onde À, et la relation entre la quantité de mouvement et sa fréquence v. Quelle est la valeur de N, le nombre de photons incidents par unité de surface et par unité de temps, à la distance R d'une source de puissance Po émettant dans 211 stéradians comme en figure 1 ? Utiliser la réponse àla question 2.2. Application numérique : P0 = 1 kW ; R = 1000 m ; v = 10 GHz (= 1010 Hz) ; h (constante de PLANCK) = 6,63.10'34 J.s. Quel sera l'effet du choc d'un photon sur un écran perpendiculaire à la direction de propagation ? Calculer la pression de radiation pk sur cet écran. Vérifier l'homogénéité de votre équation en écrivant l'équation aux dimensions. On donnera la valeur de pR dans le cas d'un écran parfaitement noir et dans le cas d'un écran parfaitement réfléchissant. Justifier vos réponses. Si on souhaite la valeur la plus élevée possible pour une valeur de Po donnée, quel est le meilleur écran ? On gardera ce choix dans la suite. Application numérique : Calculer pR pour P0 = 1 kW, avec R = 1000 m et R = 1000 km. On veut faire voler un aéronef à R = 1000 m, à la verticale de l'émetteur continu (Po=l kW), avec deux techniques différentes (3.6a et 3.6b), l'énergie étant captée au moyen d'un écran, de Tournez la page S.V.P. surface S, perpendiculaire au faisceau incident (figure. 2). On admettra que les dimensions de l'écran sont très petites par rapport à R. 3.6a. 3.6b. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10. 3.11. Aéronef avec son écran \ > Emetteur Figure 2 L'énergie reçue par l'écran est complètement transformée en chaleur. Celle-ci est transférée à une turbine qui actionne un rotor d'hélicoptère, avec un rendement de CARNOT n = 0,2. On admettra qu'il faut un moteur de 1 kW pour exercer une force de sustentation de 100 Newtons, dans l'atmosphère terrestre à basse altitude. Quelle sera la masse maximale mo de l'aéronef pour S : 1m2 ? On prendra : g (accélération de la pesanteur sur la terre, supposée constante ) = 9,8 m .s'2. Ici, l'écran optimal doit-il être parfaitement noir ou parfaitement réfléchissant ? Quelle sera la masse maximale mo de l'aéronef, toujours pour un écran de l m2 (avec le choix optimal d'écran trouvé en 3.5b), si la force de sustentation est uniquement due à la pression de radiation ? Conclusion. Au vu des conclusions, quel serait l'intérêt de la méthode utilisée au 3.6b ? Calculer mo, toujours pour la technique de la question 3.6b, si toute la puissance émise est concentrée sur l'écran. Proposer un système optique donnant une image de la source sur l'écran permettant ainsi de réaliser la concentration évoquée en 3.8. Où faut--il placer la source par rapport au foyer du système ? Illustrer votre réponse par un schéma simple sur lequel on indiquera les positions respectives du système, de son foyer, de la source et de l'écran. L'image de la source formée sur l'écran associé à l'aéronef (un disque circulaire de diamètre d) est affectée par la diffraction. Soit 6 le diamètre de la tache d'Airy dans le plan de l'écran. Quelle condition doit remplir 6 par rapport à d pour pouvoir recueillir la fraction la plus importante de la puissance émise ? Le diamètre apparent de la tache d'Airy étant donné par 6 = 1,22 MD, où À est la longueur d'onde électromagnétique et D le diamètre de la pupille d'entrée du système, quelle doit être la valeur minimale de D, si la fréquence de l'émetteur est de 35 GHz ? de 10 GHz ? de 900 MHz ? Quels commentaires suggèrent les résultats de ces calculs ? CALORIMETRIE, VARIATION D'ENTROPIE, ECHANGES DE CHALEUR. Les parties A, B, C et D sont indépendantes. On y admettra que les chaleurs massiques et les capacités calorifiques sont indépendantes de la température, donc constantes. A. CALORIMETRIE. On dispose d'un calorimètre, parfaitement isolé, rempli d'un mélange eau-glace en équilibre thermique (à 0°C). Le calorimètre comporte un thermomètre, un agitateur et une résistance chauffante immergés dans le mélange eau--glace. La capacité calorifique totale du calofimètre avec ses accessoires est p....J ; ici tt est sa valeur en eau et J la chaleur massique de l'eau. A l'instant initial t... la masse de glace est mg et la masse totale (eau + glace) est M. La résistance chauffante est alors alimentée avec une puissance constante P. Le thermomètre indique une température constante jusqu'à l'instant t1 qui correspond à la fin de la fusion de la glace. Ensuite la température augmente jusqu'à la température d'ébullition de l'eau (100 °C) qui se produit à l'instant t2. A.1. Soit alors Lp la chaleur latente massique de fusion de la glace. On admettra que pour l'eau, les chaleurs massiques, entre 0 et 100°C, restent constantes : Cp : Cv : J. En déduire Lp en fonction de J, M, u , mg et des instants to, t1 et t2. A.2. Une fois la température d'ébullition atteinte (à l'instant tz), la puissance de chauffage restant constante (toujours égale à P), l'ensemble du dispositif ayant été placé sur une balance, on suit l'évolution de la masse du calorimètre avec son contenu et ses accessoires jusqu'à ce que la masse totale soit réduite de M/2 ; soit alors t3 l'instant qui correspond à cette perte de masse. Soit alors LV la chaleur latente massique de vaporisation de l'eau, exprimer Lv en fonction de J, M, n, tl, t; et t_--,. A.3. Application numérique : M/mg =10 ; mg : 100g ; p: : 200g ; tl - to : 2 minutes ; t; - tl : 30 minutes ; t3 - t; = 67,5 minutes. On donne J = 4180 J.kg".K". Donner les valeurs de Lp et Lv, et calculer la valeur de P. B. VARIATION D'ENTROPIE. Soient deux masses de même valeur m constituées du même matériau de capacité calorifique Cp ; l'une est à la température absolue T; et l'autre à T2. On les met en contact ; elles échangent de la chaleur sans perte avec l'extérieur. B.l. Au bout d'un temps suffisamment long, le système atteint l'équilibre thermique ; quelle est alors la température des deux masses ? B.2. La transformation est-elle réversible ou irréversible ? Expliquer. B.3. Calculer la variation d'entropie du système constitué par les deux masses au cours de cette transformation. B.4. Montrer que cette variation d'entropie est strictement positive. Tournez la page S.V.P. C. ENTROPIE DANS UNE POMPE A CHALEUR. On envisage une machine thermique : Vanne de détente Evaporateur Condenseur Compresseur Dans les échangeurs (évaporateur et condenseur), il y a des masses d'eau identiques (M), elles échangent de la chaleur avec le fluide ffigofigène qui est propulsé par le compresseur. Au départ, le compresseur étant arrêté, les deux masses d'eau ont des températures identiques et homogènes (T0 en K). Après un certain temps de fonctionnement, les sources ont d'autres températures homogènes (TC pour la source chaude et Tp pour la source froide). On admet que les capacités calorifiques des parois et des serpentins des échangeurs sont négligeables par rapport à celle de l'eau qu'ils contiennent. C.1. C.2. C.3. C4. C5. C6. C7. Calculer la variation d'entropie de l'ensemble des deux sources en fonction de TC, Tp, To, M et J. Ici _] est la chaleur massique de l'eau ; sa valeur ne dépend pas de la température. Quelle relation devraient suivre les températures pour qu'il n'y ait pas de variation d'entropie ? En admettant que la relation de C.2 puisse être vérifiée, exprimer TC en fonction de l'abaissement de la température AT de la source froide (Tp : To - AT) et de To; on effectuera un développement au second ordre en fonction de AT/To. Quelle serait la variation de la température moyenne des deux échangeurs TM : (Tc + Tp)/2 si la variation d'entropie était nulle ? Le sens de la variation de TM était-il prévisible sans faire de calcul ? On considère le fonctionnement de la machine thermique en tant que pompe à chaleur et on s'intéresse à l'évolution de la température de l'eau du condenseur TC. Le compresseur ayant été mis en marche, consomme une puissance constante (Po : 400 W) ; on constate alors que la température de l'eau du condenseur s'élève à la vitesse de 2 K par minute. L'efficacité EUR (ou coefficient de performance) de cette pompe à chaleur, dont on donnera la définition, est de 2,5 ; sa valeur reste constante quand la température du condenseur varie. En déduire la capacité calorifique totale du condenseur Ac (supposée indépendante de la température). Calculer alors la masse d'eau M du condenseur (On donne J = 4180 ] .K".kg'1 ). D. ETUDE D'UNE MACHINE FRIGORIFIQUE. On envisage une nouvelle machine thermique dont le principe est comparable à celle de la partie C, avec quelques modifications qui nous permettent d'étudier son comportement en machine frigorifique : une résistance chauffante est immergée dans l'évaporateur pour permettre d'y apporter une certaine puissance thermique. Par ailleurs la température étant susceptible de descendre en dessous de 0°C, l'eau de l'évaporateur a été remplacée par un liquide antigel. Un agitateur permet d'égaliser la température dans la masse liquide sans y apporter de chaleur. Comme dans la partie C, les capacités thermiques de la résistance chauffante et de l'agitateur sont négligeables devant celle du liquide de l'évaporateur. Dans la suite, même si la température du liquide de l'évaporateur n'est pas constante, on parlera de source froide. D.l. D.2. D.3. La machine étant en fonctionnement depuis quelque temps, on note l'évolution de la température de la source froide; la résistance n'étant pas alimentée, on constate que la température baisse. Sur un petit intervalle de température, la vitesse de refroidissement est constante, elle sera caractérisée par une pente - a (= d0/dt où 0 est la température et t le temps). Lorsque la résistance est alimentée avec une puissance Pc, la machine restant en marche, le fluide frigorigène continuant à extraire de la chaleur, on constate que la température de la source froide augmente. Sur le même intervalle de température que celui du refroidissement, on constate que la vitesse de réchauffement est également constante, la pente est maintenant + b. La source froide échange de la chaleur avec l'extérieur qui est à la température ambiante ; soit alors PA la puissance correspondant à cet échange. La source froide échange aussi de la chaleur avec le fluide frigorigène ; soit PF la puissance correspondante. Pour chacune des pentes ( - a et b), établir, en fonction de PA , P].-- et Pc , le bilan des puissances échangées avec la source froide. Au vu de ces bilans, déterminer la puissance PE que devrait fournir la résistance chauffante pour stabiliser, toujours sur ce même intervalle restreint, la température de la source froide à une valeur constante. Dans un premier temps donner la valeur de PE en fonction des autres puissances. On admettra que la relation, entre les pentes et les bilans des puissances, est linéaire; exprimer alors P,; en fonction des valeurs de a , b et Pc . Préciser la valeur de la puissance qui provoque l'abaissement de température de la source froide avec la pente d0/dt : - a et en déduire une relation permettant de calculer A (capacité thermique totale de la source froide, supposée indépendante de la température). Application numérique: - a - 0,16 K/minute; b : +0,08 K/minute; Pc : 960 W. Donner les valeurs de PE et de A . Donner aussi le coefficient de performance de réfrigération CF sachant que le compresseur consomme une puissance PM : 400 W. Dans la suite de ce problème, la valeur de PE ayant été déterminée, la résistance chauffante ne sera plus utilisée. Lorsque la machine est arrêtée, la température de la source froide remonte lentement, la puissance correspondant à cet échange est proportionnelle à la différence des températures : PA : B (TA - 0) où TA est la température ambiante et 0 celle de la source froide. Ecrire l'équation différentielle régissant la remontée en température lorsque la machine est arrêtée et en donner la solution générale 0(t) en fonction de TA, B et A. Tournez la page S.V.P. D.4. D.5. D.6. D.7. D.8. D.9. D.10. D.11. D.12. D.13. Donner la solution particulière de cette équation lorsque la température de la source froide remonte à partir d'une température initiale 60 qui était celle atteinte à l'instant où l'on a arrêté la machine thermique (t = 0). Par analogie avec les équations régissant la décharge d'un condensateur, exprimer la constante de temps 1:R qui caractérise cette variation de la température et commenter son expression. Indiquer comment augmenter la valeur de cette constante de temps. La puissance thermique extraite par le fluide frigorigène à la source froide PF est elle aussi proportionnelle à la différence des températures ; celle du fluide circulant dans le serpentin T... est maintenue constante par les organes de régulation de la machine ; elle est inférieure à celle de la source froide. Pour cette puissance échangée Pp, on peut (comme en D.3) écrire : PF = - F (6 - TLV) . Le signe du coefficient d'échange F est positif (c'est aussi le cas pour B). A partir des expressions de PF et PA , déterminer la température la plus basse 6... que peut atteindre la source froide. On fait fonctionner cette machine entre deux températures de la source froide : B., température à laquelle s'arrête le compresseur et 6+, température où le compresseur se remet en marche ; ces températures vérifient : EUR... < 9. < 6 < & < TA. Ecrire l'équation qui permet de donner la variation de la température B(t) dans la phase de fonctionnement du compresseur. Donner la solution complète de cette équation différentielle B(t) en partant de la température B., à l'instant t = 0. On donnera cette solution en fonction de &, 9... et une nouvelle constante de temps tp que l'on précisera. Exprimer la durée (tv) de fonctionnement de la machine pour atteindre la température B., en fonction de "tp , 9+, 9. et en,. Pour calculer la durée ( tR ) de repos de la machine, lors de la remontée de la température de 9. à &, utiliser les résultats de DA et D.5 et donner ta en fonction de ta , &, 9- et TA. En fonctionnement, le compresseur consomme une puissance PM constante, déterminer la puissance moyenne effectivement consommée Peff pour maintenir en permanence la source froide entre les températures & et B.. On exprimera Peff en fonction de PM, tp et tR. La détermination expérimentale de la constante de temps "511 donne 60 heures ; calculer B. Sachant que les pentes évoquées en D.2, ont été mesurées la source froide étant à 6 = -5 °C avec TLV : --20°C et TA: 20°C, donner les valeurs de F, 9... et, en heures, celle de TF . Calculer tp, tR, et la consommation journalière C en {kWh/24h}, de cette machine frigorifique fonctionnant entre les températures B.. = - 2 °C et B. = --5 °C. avec PM : 400 W. Fin de l'énoncé.

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 CCP Physique 1 PSI 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Julien Derr (École Supérieure de Physique et de Chimie de Paris) ; il a été relu par Nicolas Wawresky (Mines de Paris) et Jean-Yves Tinevez (ENS Lyon). L'épreuve se compose de deux problèmes indépendants. Le premier problème, consacré à l'électromagnétisme, est lui-même divisé en trois parties globalement indépendantes. Il s'agit d'abord de généralités sur l'énergie électrostatique et sur la puissance électromagnétique. Ensuite, on considère la pression de radiation comme force de sustentation d'un aéronef. Le second problème, consacré à la thermodynamique, est lui aussi composé de parties indépendantes. Là encore, il s'agit d'abord de généralités sur la calorimétrie et la variation d'entropie. Enfin, on étudie de façon plus détaillée le fonctionnement d'une machine thermique. Indications Champ éléctrostatique. Énergie éléctrostatique. 1.1 En cas de doute, revenir à la définition de W. 1.3 Ne pas considérer trop d'interactions. 1.5 Utiliser l'équation de Maxwell-Gauss. 1.7 Exprimer la dépendance en R de chaque terme. 1 2.1.c Ne pas oublier que la moyenne d'un cos2 vaut . 2 2.1.e Persévérer dans le calcul de ; le résultat doit être remarquable. w 2.2.a Exprimer la conservation de la puissance. 2.2.b Utiliser le fait que le vecteur de Poynting est la puissance surfacique à la distance R. 3.5.a Faire un bilan de quantité de mouvement avant et après le choc. 3.6.a Le rendement est, par définition, le rapport de l'énergie utile sur l'énergie utilisée. 3.9 Le système le plus simple est constitué de deux lentilles. Calorimétrie, variation d'entropie, échanges de chaleur. A.1 Exprimer la puissance de chauffe sur deux périodes différentes. B.1 Égaliser les transferts thermiques échangés. B.4 Utiliser un argument mathématique. d D.1 Tracer la courbe = f (P). dt D.2 Considérer deux périodes différentes : avec ou sans résistance. D.3 Égaliser le transfert thermique échangé pendant un temps dt où la température varie de d. D.5 La constante de temps est caractéristique de la vitesse de décroissance exponentielle. D.7 Faire le même raisonnement qu'à la question D.3. Champ éléctrostatique. Énergie éléctrostatique. 1 Calcul de l'énergie éléctrostatique 1.1 Par définition, l'énergie potentielle W est l'énergie dont dérive la force électrique - - f = q E . On a donc : -- - q E = - grad (W) -- -- -q. grad (V) = - grad (W) ou encore On obtient alors l'énergie potentielle électrique à une constante près W = q.V 1.2 D'après la question précédente, on a Wij = qi Vj (Mi ) + C où Vj (Mi ) est le potentiel créé par la charge qj à l'endroit de la charge qi : qj qi qj Vj (Mi ) = donc Wij = +C 40 rij 40 rij La condition lim rij + Wij = 0 annule la constante C, d'où Wij = qi qj 40 rij 1.3 Pour n charges, l'énergie potentielle totale est la somme des énergies potentielles entre deux particules. Si V(Mi ) représente le potentiel créé à l'endroit de la charge qi par toutes les autres charges, on peut alors écrire : W= n 1 P qi V(Mi ) 2 i=1 Le facteur 1/2 vient du fait que l'on compte deux fois chaque interaction puisque l'on somme sur toutes les charges. 1.4 Dans le cas où les charges sont réparties de manière continue il suffit de changer de schématisation par rapport à la question précédente : ­ la somme devient une intégrale sur le volume ; ­ qi devient dq = d . ZZZ 1 Par conséquent W= V(M) d 2 - 1.5 Le théorème de Gauss provient de l'équation de Maxwell div ( E ) = ; on 0 peut donc remplacer dans l'équation précédente, ce qui donne : ZZZ - 1 W= 0 . div ( E )V(M) d 2 La charge n'apparaît plus dans l'expression de - dW 1 = 0 . div ( E )V(M) d 2 De plus, nous verrons dans la suite que cette expression est plus facilement exploitable. - - -- - 1.6 La formule de l'énoncé donne : V. div ( E ) = div (V. E ) - E . grad V, donc le resultat de la question 1.5 se réécrit : ZZZ - -- - 1 (div (V. E ) - E . grad (V))d W = 0 2 ou encore 1 0 2 W= ZZZ - - - (div (V. E ) + E . E )d W est donc la somme de deux termes : ZZ ZZZ - - 1 1 W= 0 V. E . d S + 0 E2 d 2 2 1.7 Lorsque est fini et tend vers l'infini, regardons la contribution du flux : ­ V varie en 1/R ­ E varie en 1/R2 ­ S varie en R2 Au final, le flux s'exprime en 1/R. Ainsi, sa contribution tend vers 0. On en déduit, pour R tendant vers l'infini : dW 1 = 0 E 2 d 2 1.8 Dans le cas d'un condensateur plan, on sait que E= V Q = e 0 S L'énergie électromagnétique W s'écrit donc W= 1 1 1 CV2 = QV = (0 SE).(Ee) 2 2 2 dW 1 = 0 E 2 d 2 d'où On retrouve bien le résultat théorique. 2 Puissance transmise par une onde éléctromagnétique 2.1.a Pour l'onde éléctromagnétique dont le champ électrique s'écrit - - E = E 0 .- u . cos( k .- r - w.t) - le vecteur k est le vecteur d'onde qui représente la propagation spatiale de l'onde. Son module vaut